抛物线压轴题

★启用前

xxx学校2014-2015学年度2月月考卷

试卷副标题

考试围：xxx

题号一总分

得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

第II卷（非选择题）

评卷人得分

一、解答题（题型注释）

大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担，明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y=－10x＋500．

⑴明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？

⑵设明获得的利润为W(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

⑶物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元，如果明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

2.如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．

（1）求直线BD和抛物线的解析式．

（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．

（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

3.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品.根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能

销售

500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况，请解答以下

问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x之间的函数关系式；

（3）商店想在月销售成本不超过10 000元的情况下，使得月销售利润达到5 000元，销售单价应定为多少？

4.如图，抛物线y=－x2+4x+5交x轴于A、B（以A左B右)两点，交y轴于点C.

(1)求直线BC的解析式；

(2)点P为抛物线第一象限函数图象上一点，设P点的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，连接AP，抛物线上是否存在这样的点P，使得线段PA被BC平分，如果不存在，请说明理由；如果存在，求点P的坐标.

5.某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价每上涨1元．则每个月少卖10件。设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．

(1) 求y与x的函数关系式

(2) 每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

(3) 若每个月的利润不低于2160元，售价应在什么围？

6.如图，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

（1）求A、B、C三点的坐标．

（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．

（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三

角形与 PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

7.某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量w （千克）与销售价x （元/千克）有如下关系：w=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为y （元）．（1）求y与x之间的函数关系式，自变量x的取值围；

（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？（参考关系：销售额=售价×销量，利润=销售额﹣成本）

参数答案

1.（1）600；（2）30；（3）500.

【解析】

试题分析：（1）根据销售额=销售量×销售单价，列出函数关系式；

（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；

（3）把y=3000代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值围求x的值．

试题解析：⑴当x=20时，y=－10x＋500=－10×20+500=300，

300×(12－10)=300×2=600，

即政府这个月为他承担的总差价为600元．

⑵依题意得，W=(x－10)(－10x+500)=－10x2+600x－5000=－10(x－30)2+4000

∵a=－10＜0，∴当x=30时，W有最大值4000．

即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．

⑶由题意得：－10x2＋600x－5000=3000，解得：x1=20，x2=40．

∵a=－10＜0，抛物线开口向下，

∴结合图象可知：当20≤x≤40时，W≥3000．

又∵x≤25，

∴当20≤x≤25时，W≥3000．

设政府每个月为他承担的总差价为p元，

∴p=(12－10)×(－10x+500)

=－20x＋1000．

∵k=－20＜0．

∴p随x的增大而减小，∴当x=25时，p有最小值500．

即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．

考点: 二次函数的应用．

2.（1）直线BD的解析式为：y=﹣x+3，抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3；

（2）满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）；

（3）在抛物线上存在点P，使S△PBD=6，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．

【解析】

试题分析：（1）由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式；

（2）首先确定△MCD为等腰直角三角形，因为△BND与△MCD相似，所以△BND也是等腰直角三角形．如答图1所示，符合条件的点N有3个；

（3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD面积的表达式，然后根据S△PBD=6的已知条件，列出一元二次方程求解．

试题解析：（1）∵直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴A（﹣1，0），B（0，3）；

∵把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，∴C（1，0）．

设直线BD的解析式为：y=kx+b，

∵点B（0，3），D（3，0）在直线BD上，

∴

3

30

b

k b

=

⎧

⎨

+=

⎩

，

解得k=﹣1，b=3，

∴直线BD的解析式为：y=﹣x+3．

设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3），