等腰三角形的性质和判定
等腰三角形性质和判定
等腰三角形的性质和判定等腰三角形是一种特殊三角形，它除具有一般三角形所有的性质外，还有许多特殊性，正是由于它的这些特殊性，使得它比一般三角形的应用更广泛。
因此，我们有必要把这部分内容学得更扎实些。
【重点、难点】重点：等腰三角形的性质与判定。
难点：灵活利用等腰三角形的性质与判定。
关键：掌握好等腰三角形的性质及判定。
【知识要点】1、等腰三角形的一些重要性质：①等腰三角形的两底角相等。
这一性质是今后论证两角相等的常用依据之一。
②等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合(“三合一”)。
这一性质是今后论证两条线段相等，两角相等及两直线垂直的重要依据。
2、以上的两条重要性质在教科书中被当作两条重要定理。
除此外，根据等腰三角形的对称性还应有如下重要的性质，虽在证明中不能直接引用，但对于填空、选择则可直接运用，并且这些性质对今后的推理证明都有非常重要的作用。
①等腰三角形两腰上的中线相等已知：在ΔABC 中，AB＝AC，若BD，CE分别是AC，AB边上的中线，则有BD＝CE。
证明：∵BD，CE是AB，AC边上的中线(已知)∴AD＝AC，AE＝AB(中线定义)∵AB＝AC(已知)∴AD＝AE在ΔABD和ΔACE中，∴ΔABD≌ΔACE(SAS)∴BD＝CE(全等三角形对应边相等)。
②等腰三角形两腰上的高相等已知：在ΔABC中，AB＝AC，如果BD，CE分别是AC，AB边上的高，那么BD＝CE。
同学可以试着证明一下，还用全等三角形去证。
③等腰三角形两底角的平分线相等已知：在ΔABC中，AB＝AC，如果BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，那么BD＝CE。
同学可利用全等三角形法证明。
3、等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”)。
已知：如图，在ΔABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC。
分析：要想证出AB＝AC需构造全等三角形。
考虑学过等腰三角形性质中的“三合一”，我们不妨作顶角的平分线，或过A作AD⊥BC于D。
等腰三角形的性质与判定
第05讲等腰三角形的性质与判定【学习目标】1.了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
【基础知识】一．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．二．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．三．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．【考点剖析】一．等腰三角形的性质（共7小题）1．（2021秋•盱眙县期末）如果等腰三角形两边长是5cm和2cm，那么它的周长是（）A．7cm B．9cm C．9cm或12cm D．12cm2．（2021秋•抚远市期末）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（）A．15B．12C．12或15D．93．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝∠C，点D是△ABC外一点，E，F分别在AB，AC上，ED与AC交于点G，且∠D＝∠B，若∠1＝2∠2，则∠EGF的度数为（）A．180°﹣2αB．60°+13αC．90°−32αD．30°+23α4．（2022春•镇江期中）三角形的三边长为2，a，5，如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是．5．（2022春•金湖县校级月考）在△ABC中，∠C＝30°，且∠A＝∠B；求∠A的度数．6．（2022春•睢宁县月考）一个等腰三角形的两条边长为4，7，那么它的周长是多少？7．（2021秋•邗江区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；（2）若AB＝7，△CBD周长为12，求BC的长．二．等腰三角形的判定（共7小题）8．（2021秋•仪征市期末）在△ABC中，∠A＝100°，当∠B＝°时，△ABC是等腰三角形．9．（2021秋•靖江市期末）已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不确定10．（2021秋•滨海县期末）用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm，则第三根木棒长为cm．11．（2021秋•泗阳县期中）如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．（1）求证：AB＝AC；（2）若点H是BC的中点，求证：AH⊥AD．12．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．2，2，3D．2，2，413．（2021秋•龙华区校级期末）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有（）A．2个B．3个C．4个D．5个14．（2020秋•定西期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？三．等腰三角形的判定与性质（共6小题）15．（2020秋•绿园区期末）如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD 于点G，若∠1＝∠BEF，若EF＝3，则FG为（）A．4B．3C．5D．1.516．（2021•建湖县二模）若一条长为32cm的细线能围成一边长等于8cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为cm．17．（2021秋•句容市期末）如图，BD平分∠ABC，DE∥BC交BA于点E，若DE=52，则EB＝．18．（2021秋•射阳县校级期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，且MN ∥BC，分别交AB、AC于点M、N．求证：MN＝BM+CN．19．（2021秋•盱眙县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BDE的度数．20．（2021秋•苏州期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝62°，AB+BD＝CD，则∠BAC的度数为（）A．87°B．88°C．89°D．90°【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2021秋•溧阳市期末）若等腰三角形边长别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm2．（2021秋•江阴市期末）等腰三角形的周长为21cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．5cm B．11cm C．8cm或5cm D．11cm或5cm3．（2022•陕西模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC 的周长为20cm，则△CDE的周长为（）A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16cm4．（2022•黔东南州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的高．若∠CBD＝20°，则∠BAC 的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．2，2，3D．2，2，46．（2021秋•靖江市期末）已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不确定二．填空题（共3小题）7．（2021秋•溧水区期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，MN经过点O，且MN ∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，MN＝5cm，则CN＝cm．8．（2021秋•宁津县期末）如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD；②∠P=12∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°−12∠A；⑤PD∥AC．其中正确的结论是（直接填写序号）．9．（2021秋•东城区校级期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝3，CD＝4，ED＝5，则FG的长为．三．解答题（共3小题）10．（2022春•无锡期中）如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，试求∠MPB+∠NPC 的度数（用含∠A的代数式表示）；（3）将（2）中的直线MN绕点P旋转，分别交线段AB于点M（不与A、B重合），交直线AC于N，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明理由．11．（2021秋•淮安区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，求∠DBC的度数．12．（2021秋•泗洪县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD，CE相交于点O，求证：OB＝OC．第05讲等腰三角形的性质与判定【学习目标】1.了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
等腰三角形的性质与判断及应用
等腰三角形的性质与判定知识梳理:1．等腰三角形的概念：有相等的三角形，叫做等腰三角形，叫做腰，另一条边叫做．两腰所夹的角叫做，底边与腰所夹的角叫做．2．等腰三角形性质定理：(1)等腰三角形的两个相等，也可以说成．这一性质是今后论证两角相等的常用依据之一。
(2) 三线合一: 即．这一性质是今后论证两条线段相等，两角相等及两直线垂直的重要依据。
(3)等腰三角形是图形．除此外，根据等腰三角形的对称性还应有如下重要的性质，虽在证明中不能直接引用，但对于填空、选择则可直接运用，并且这些性质对今后的推理证明都有非常重要的作用。
①等腰三角形两腰上的中线相等②等腰三角形两腰上的高相等③等腰三角形两底角的平分线相等3．等腰三角形的判定：(1)有相等的三角形是等腰三角形．(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角也相等．简写成．4、有关等腰三角形周长的计算给出三角形中两边的数据求周长时，一定要考虑对某一边有两种可能情况：一它可能是腰，二它可能是底。
最后确定具体是腰还是底，就要看得出的三边关系是否符合：任两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
如：已知等腰三角形的两边分别是3cm，5cm，则周长此时有两种情况：11cm或13cm。
当腰长为3cm时，周长为：3cm+3cm+5cm=11cm；当腰长为5cm时，周长为：3cm+5cm+5cm=13cm。
若两边分别是4cm，8cm，则周长只有一种结果，长为20cm（8cm做腰，4cm做底）。
另一种可能是以4cm做腰，8cm做底，此时，4cm+4cm=8cm，不符合任两边之和大于第三边的三角形三边关系，故不能考虑在内。
【例题讲解】例1：已知：如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求证：CE＝CB。
例2：如图，已知点D，E在BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE。
例3：如图，点D ，E 在AC 上，∠ABD ＝∠CBE ，∠A ＝∠C ，求证：BD ＝BE 。
等腰三角形的性质定理和判定定理
教学内容（一）知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）知识点2：等腰三角形性质定理2:等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2,BD=DC AD⊥BC知识3：等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD （AAS）∴AB=AC【典型例题分析】例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。
解：∵AP=PQ=AQ（已知）∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义）∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质）∵AP=BP（已知）∴∠PBA=∠PAB（等边对等角）又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°∴∠PBA=∠PAB=30°同理∠QAC=30°∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。
求证：△DEF是等腰三角形。
证明：∵∠B+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理）∠BED+∠DEF+∠FEC=180°（平角性质）∠B=∠DEF（已知）∴∠BDE=∠FEC（等角的补角相等）在△BED和△CFE中,∠BDE=∠FEC中（已证）,BD=CE （已知）,∠B=∠C （已知）∴△BED≌△CFE （ASA）,∴DE=EF （全等三角形对应边相等）∴△DEF是等腰三角形（等腰三角形定义）例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD证明：∵AB∥CD （已知）∴∠A=∠C，∠B=∠D （两直线平行，内错角相等）∵OA=OB （已知）∴∠A=∠B （等边对等角）∴∠C=∠D （等量代换）∴OC=OD （等角对等边）例4. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形拥有一些独特的性质和判定条件。
本文将介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等腰三角形。
一、等腰三角形的性质：1. 两边相等：等腰三角形的两条边长度相等，即两边的边长相同。
2. 两顶角相等：等腰三角形的顶角（顶点所对的角）相等，即两个顶角的度数相同。
3. 底角相等：等腰三角形的底角（底边所对的角）相等，即两个底角的度数相同。
4. 对称轴：等腰三角形的对称轴通过顶角的顶点和底边的中点。
二、如何判定三角形为等腰三角形：1. 两边相等判定法：若一个三角形的两条边相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
2. 两角相等判定法：若一个三角形的两个角度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
3. 底角相等判定法：若一个三角形的两个底角相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
4. 边角关系判定法：若一个三角形的两边相等，同时这两边所对的角也相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
由于等腰三角形的性质和判定条件相对简单明确，故在解决几何问题时常常利用这些性质进行推理和证明。
以下是一些等腰三角形的应用实例：实例一：已知三角形ABC，其中AB=AC，角B=60°，求角A和角C的度数。
解：由等腰三角形的性质可知，AB=AC，故角A=角C。
又知角B=60°，所以角A=角C=60°。
实例二：判断以下三角形是否为等腰三角形：三角形XYZ，其中XY=XZ，角Y=60°。
解：由等腰三角形的判定条件可知，若一个三角形的两边相等，同时这两边所对的角也相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
已知XY=XZ，角Y=60°，符合判定条件，故三角形XYZ是等腰三角形。
实例三：已知等腰三角形PQR，其中底边PQ=8cm，顶角R=110°，求顶角P和底角Q的度数。
解：由等腰三角形的性质可知，底角Q=底角R。
又知顶角R=110°，所以底角Q=底角R=110°。
1.1等腰三角形的性质与判定
定理
等腰三角形的两个底角相等.
初 中 数 学
九 上
(简称“等边对等角”) A
B
D
C
定理
等腰三角形的顶角平分线、底边
上的中线、底边上的高互相重合.
定理
等腰三角形的两个底角相等．
初 中 数 学
九 上
逆命题 如果一个三角形的两个角相等，那么 这两个角所对的边也相等．
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C． 求证：AB=AC． A
B
D
C
等腰三角形的两个底角相等．
初 中 数 学
九 上
已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B=∠C．
A
证明:作∠BAC的平分线AD. 在△ABD 和△ACD 中， AB=AC(已知)， B C D ∠BAD=∠CAD(辅助线画法)， AD=AD(公共边)， ∴△ABD≌△ACD(SAS)． ∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等) ．
D
Ｃ
学有所获
初 中 数 学
九 上
操作得到的 结论
证明
等腰三角形 的性质定理 和判定定理 证明思路(作 辅助线的方 法)
操作过程
证明思路 (怎么想)
发现
逆过来
证明过程 (怎么写)
C
初 中 数 学
九 上
例题 已知：∠EAC是△ABC的外角， AD平分∠EAC，且 AD∥BC． 求证：AB=AC． 怎么想 怎么写 E 要想证明AB =AC， 只需证∠B=∠C． Ａ 已知∠EAD=∠DAC， 只需证∠EAD =∠B， ∠DAC =∠C． Ｂ
D
Ｃ
初 中 数 学
九 上
已知：∠EAC是△ABC的外角， AD平分∠EAC，且 AD∥BC． 求证：AB=AC． E 证明：∵AD∥BC， Ａ ∴∠EAD=∠B， ∠DAC=∠C． ∵∠EAD =∠DAC，Ｂ ∴∠B=∠C． ∴ AB=AC (等角对等边)． D
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的性质与判定等腰三角形是初中数学中经常遇到的一个重要概念，它具有一些独特的性质和判定方法。
在本文中，我将为大家详细介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等腰三角形。
一、等腰三角形的性质等腰三角形是指两条边相等的三角形。
它具有以下几个重要的性质：1. 顶角平分线：等腰三角形的顶角平分线也是底边的中线。
这意味着等腰三角形的顶角平分线与底边相等，并且平分线的中点与底边的中点重合。
2. 底角相等：等腰三角形的两个底角是相等的。
这是等腰三角形最基本的性质之一，也是判定一个三角形是否为等腰三角形的重要依据。
3. 高线重合：等腰三角形的两条高线重合于底边中点。
这意味着等腰三角形的两条高线相等，并且它们的交点与底边的中点重合。
二、判定等腰三角形的方法判定一个三角形是否为等腰三角形，我们可以运用以下几种方法：1. 两边相等：如果一个三角形的两边相等，那么它就是一个等腰三角形。
这是最简单的判定方法，只需要比较两条边的长度即可。
2. 底角相等：如果一个三角形的两个底角相等，那么它就是一个等腰三角形。
这个方法也比较简单，只需要用量角器或直尺测量两个角的度数即可。
3. 顶角平分线：如果一个三角形的顶角平分线与底边的中线重合，那么它就是一个等腰三角形。
这个方法需要用到直尺和量角器，先画出顶角平分线，再测量底边中线的长度，如果两者重合，就可以判定为等腰三角形。
三、实际应用等腰三角形在现实生活中有许多实际应用。
例如，在建筑设计中，我们经常会遇到等腰三角形的形状，比如屋顶的斜面。
通过了解等腰三角形的性质和判定方法，我们可以更好地理解和应用这些形状。
此外，等腰三角形还与数学中的其他概念有着密切的联系。
例如，等腰三角形的顶角平分线与底边的中线重合这一性质，与中位线的性质有着相似之处。
通过比较和分析这些概念之间的关系，我们可以更深入地理解数学知识。
总结：等腰三角形是初中数学中的重要概念，它具有独特的性质和判定方法。
等腰三角形的性质,等腰三角形的判定
等腰三角形的性质,等腰三角形的判定等腰三角形的性质，等腰三角形的判定等腰三角形是指具有两边相等的三角形，它有一些特殊的性质和判定方法。
本文将详细介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否是等腰三角形。
一、等腰三角形的性质1. 两边相等：等腰三角形的两个底边相等，记作AB=AC。
2. 两角相等：等腰三角形的顶角与底边相对的两个底角相等，即∠B=∠C。
3. 对称轴：等腰三角形的对称轴是通过顶角和底边中点的垂直平分线。
二、等腰三角形的判定判定一个三角形是否是等腰三角形，可以通过以下几种方式进行判定。
1. 两边相等：如果已知一个三角形的两边相等，可以判断这个三角形是等腰三角形。
例如，若已知AB=AC，则可得出三角形ABC是等腰三角形。
2. 两角相等：如果已知一个三角形的两个角相等，可以判断这个三角形是等腰三角形。
例如，若已知∠B=∠C，则可得出三角形ABC是等腰三角形。
3. 辅助线：通过画辅助线，可以判断一个三角形是否是等腰三角形。
例如，可以在顶角上作一条中位线，若中位线与底边重合，则可判定该三角形是等腰三角形。
三、等腰三角形的应用等腰三角形在几何学中有着广泛的应用，以下是其中一些应用场景。
1. 建筑设计：等腰三角形的稳定性使其在建筑中常被用于设计坚固的结构，例如建筑物的屋顶、柱子等。
2. 制图：在地图和平面设计中，等腰三角形可以用于定位和测量，方便绘制和计算。
3. 数学推导：等腰三角形的性质常常被用于解决各种几何问题，例如判断角度、求解边长等。
综上所述，等腰三角形具有两边相等和两角相等的特点。
我们可以通过两边相等或两角相等来判定一个三角形是否为等腰三角形。
等腰三角形在实际生活和数学推导中有着广泛的应用，具有重要的意义。
理解等腰三角形的性质和判定方法有助于我们更好地应用和理解几何学知识。
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有一些独特的性质和判定方法。
本文将介绍等腰三角形的性质，并提供几种判定等腰三角形的方法。
一、等腰三角形的性质1. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（底边对应的两个角）相等。
假设等腰三角形的两边长分别为a，底角为∠A，顶角为∠B，则有∠A = ∠B。
2. 顶角平分底边：等腰三角形的顶角（顶边对应的角）等于底边上的两个底角之和的一半。
即∠B = (∠A + ∠A) / 2。
3. 等腰直角三角形是等边三角形：当等腰三角形的底角是90度时，即为等腰直角三角形。
在等腰直角三角形中，两个等边也是等于斜边的长度。
二、判定等腰三角形的方法1. 通过边长判定：如果三角形的两个边长相等，则可以判断它为等腰三角形。
例如，当三角形的两边长都为3cm，底角为60度时，即可判定该三角形为等腰三角形。
2. 通过角度判定：如果三角形的两个角度相等，则可以判断它为等腰三角形。
例如，当三角形的底角和顶角均为45度时，即可判定该三角形为等腰三角形。
3. 通过边角关系判定：如果三角形的两个底角相等，则可以判断它为等腰三角形。
例如，当三角形的两个底角均为60度时，即可判定该三角形为等腰三角形。
三、等腰三角形的应用1. 建筑设计：等腰三角形常被用于建筑设计中，例如设计等腰三角形的屋顶或者窗户。
2. 数学计算：在数学中，等腰三角形的性质可用于解决各种几何问题，如计算其面积、周长以及三角形内外接圆的半径等。
3. 测量工具：在实际测量中，等腰三角形也被应用于测量工具的设计，如三角板、量角器等。
总结：等腰三角形的性质和判定方法是几何学中的基础知识。
熟练掌握这些知识，不仅可以帮助我们解决数学问题，还可以应用于实际生活中的建筑设计和测量工作中。
通过本文的介绍，相信读者对等腰三角形有了更深入的了解，能够正确判定和应用等腰三角形。
等腰三角形的性质和判定
（（2）（3）2．填空题：
3．如图所示，AB=AE，∠ABC= 4．如图，在△ABC中，
重点题型讲解
如图，△ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，若EF与BC相交于D，求证：DE=DF．
2.在△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AC=AB+BD．
3.已知△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于D，点E为AB上一点，且∠EDB=∠B，现有下列两个结论：①AB=AD+CD ②AB=AC+CD．
（1）如图1，若∠C=90°，则结论______成立，不需证明你的结论．
（2）如图2，若∠C=100°，则结论______成立，并证明你的结论．
4.如图,△ABC为等边三角形,点D位BC边上一动点（不与B.C重合）,∠DAE=60°,过点B作BE∥AC交AE与点E.
（1）求证：△ADE是等边三角形
（2）当点D在何处时,AE⊥BE?指出点D的位置,说明理由
的长度是否发生变化？。
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指两条边相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有一些独特的性质和判定方法。
本文将介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等腰三角形。
一、等腰三角形的性质1. 底角相等性质：等腰三角形的底边上的两个角相等。
设等腰三角形ABC，其中AB=AC，那么∠ABC=∠ACB。
2. 顶角平分性质：等腰三角形的顶角被底边平分。
同样设等腰三角形ABC，有AB=AC，那么∠BAC被BC平分。
3. 等腰三角形的高：等腰三角形的高线同时也是它的中位线和角平分线。
在等腰三角形ABC中，若AB=AC，那么从顶点A向底边BC引一条垂线，该垂线会平分底边BC，同时也平分∠BAC。
二、等腰三角形的判定1. 根据两边相等判定：如果一个三角形的两边相等，那么它就是一个等腰三角形。
例如给定三角形ABC，若AB=AC，那么可以判定ABC为等腰三角形。
2. 根据底角相等判定：如果一个三角形的底边上的两个角相等，那么它就是一个等腰三角形。
例如给定三角形ABC，若∠ABC=∠ACB，那么可以判定ABC为等腰三角形。
3. 根据顶角平分判定：如果一个三角形的顶角被底边平分，那么它就是一个等腰三角形。
例如给定三角形ABC，若∠BAC被BC平分，那么可以判定ABC为等腰三角形。
4. 根据高线判定：如果一个三角形的高线同时也是它的中位线和角平分线，那么它就是一个等腰三角形。
例如给定三角形ABC，若从顶点A向底边BC引一条垂线，该垂线既平分底边BC，又平分∠BAC，那么可以判定ABC为等腰三角形。
三、等腰三角形在实际生活中的应用等腰三角形在现实生活中有着广泛的应用。
下面举几个例子：1. 圆锥的底面是等腰三角形，当我们在日常生活中压缩一根圆锥形雨伞时，底部展开的形状就是一个等腰三角形。
2. 音箱的设计常常采用等腰三角形，因为等腰三角形的稳定性好，并且能够有效地防止共振。
3. 手机屏幕的倾斜角度一般为45度，这是由于45度等腰三角形的边长比例十分均匀，可以使我们的视觉效果更佳。
等腰三角形性质和判定知识点总结和重难点精析
等腰三角形性质和判定知识点总结和重难点精析一、等腰三角形的基本概念等腰三角形是一种具有两条相等边长的三角形，其中相等两条边称为腰，另一边称为底。
等腰三角形的性质和判定是数学中的重要知识点。
二、等腰三角形的性质1.等边对等角：等腰三角形两腰相等，对应的两个角也相等。
2.三角形的相似：如果两个等腰三角形的底角相等，则这两个三角形相似。
3.等腰直角三角形：如果一个等腰三角形的顶角为直角，那么它的两个底角相等，均为45度。
4.等边三角形：如果一个等腰三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形。
三、等腰三角形的判定1.定义法：根据等腰三角形的定义，通过测量或证明两个角相等来判定一个三角形是否为等腰三角形。
2.判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
3.垂直平分线：等腰三角形的垂直平分线上的任意一点到两个底角的距离相等。
4.底边上的中线：等腰三角形底边上的中线与两个腰的夹角相等。
5.两边相等：如果一个三角形其中两边相等，那么这个三角形是等腰三角形。
6.顶角平分线：等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线重合。
四、等腰三角形的应用1.几何图形：在几何问题中，等腰三角形经常出现，如在证明两个三角形全等、相似或者寻找角度之间的定量关系时。
2.代数计算：等腰三角形在代数计算中也得到广泛应用，如解方程、函数等问题。
3.实际应用：等腰三角形在实际生活中也有很多应用，如建筑设计、工程绘图等领域。
五、总结本文详细介绍了等腰三角形的性质和判定方法，重点讲解了等腰三角形的定义、性质以及常见的判定方法，并通过实例精析帮助读者更好地掌握相关知识点。
在学习过程中，建议读者首先熟练掌握基本概念和性质，然后深入理解判定方法，并在解题中加以实践。
同时，要注重知识点之间的联系与区别，以便更好地掌握和运用所学知识。
等腰三角形性质定理和判定定理
等腰三角形性质定理和判定定理
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形
等腰三角形的性质：
等腰三角形的两个底角相等.（简写成“等边对等角”）
等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合（简写成“三线合一”）
等腰三角形的两底角的平分线相等.（两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等）
等腰三角形的底边上到两条腰的距离相等
等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
等腰三角形的判定：
有两条腰相等的三角形是等腰三角形
1.三角形的任何两边的和一定大于第三边,由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边.
2.三角形内角和等于180度
3.等腰三角形的顶角平分线,底边的中线,底边的高重合,即三线合一.
4.;等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)等腰三角形的判定1有两条边相等的三角形是等腰三角形
2有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）3顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形（4所有的等边三角形为等腰三角形）。
等腰三角形定义和性质及判定
等腰三角形定义和性质及判定
1.等腰三角形的两个底角相等.
2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合
3.等腰三角形的两底角的平分线相等
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等.
5.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高
6.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴
在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)
在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中,等角对等边）。
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有一些特殊的性质和判定方法。
本文将详细介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等腰三角形。
一、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的两底角（底边两旁的角）是相等的。
设等腰三角形的两底角分别为A，那么∠A = ∠B。
2. 等腰三角形的顶角（底边对面的角）是锐角。
设等腰三角形的顶角为C，那么∠C < 90°。
3. 等腰三角形的高线（从顶点到底边的垂直线）同时也是它的中线和对称轴。
等腰三角形的高线可以将底边分成两段相等的线段，同时也将顶角分成两个相等的角。
4. 等腰三角形的中线（从顶点到底边中点的线段）是它的高线和对称轴。
等腰三角形的中线同时也是它的底边的二等分线，它将等腰三角形分成两个面积相等的小三角形。
二、判定一个三角形是否为等腰三角形在判定一个三角形是否为等腰三角形时，我们可以利用以下几种方法：1. 通过测量两边的长度。
如果一个三角形的两边长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
2. 通过测量两底角的大小。
如果一个三角形的两底角相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
3. 通过判断顶角是否为锐角。
如果一个三角形的顶角是锐角，那么这个三角形就有可能是等腰三角形。
我们可以通过测量或计算三个角的大小来判断是否满足等腰三角形的顶角为锐角的条件。
4. 通过判断两条边长和夹角的关系。
如果一个三角形的两边长度相等且夹角小于90°，那么这个三角形就是等腰三角形。
需要注意的是，以上方法只是判定等腰三角形的一些常见方法，并非所有方法的总结。
在实际问题中，可能还会涉及其他判定方法。
在几何学中，等腰三角形的性质和判定是非常重要的基础知识。
通过对等腰三角形的学习，可以帮助我们更好地理解和解决与三角形相关的问题。
无论是在数学学习中还是实际应用中，等腰三角形的性质和判定都具有广泛的应用价值。
总结：等腰三角形具有两边长度相等、两底角相等、顶角为锐角等性质。
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有一些独特的性质，也有一些方法可以用来判定一个三角形是否为等腰三角形。
本文将详细介绍等腰三角形的性质和判定方法。
一、等腰三角形的性质1. 两边相等性质：等腰三角形的两边边长相等，记为AB=AC。
2. 两底角相等性质：等腰三角形的两个底角（即两边和底边之间的角）相等，记为∠B=∠C。
3. 顶角性质：等腰三角形的顶角（即底边上的角）是不等于底角的，记为∠A≠∠B。
二、等腰三角形的判定方法1. 边长判定法：如果一个三角形的两边边长相等，那么它是一个等腰三角形。
例如，已知一个三角形的边长为AB=AC，我们就可以确定这个三角形是等腰三角形。
2. 角度判定法：如果一个三角形的两个角相等，那么它是一个等腰三角形。
例如，已知一个三角形的两个底角相等，即∠B=∠C，我们可以得出结论这个三角形是等腰三角形。
三、等腰三角形的性质应用1. 等腰三角形的高：等腰三角形的高是从顶点到底边的垂直线段。
高可以分割底边成两个相等的线段。
等腰三角形的高线段是三角形的对称轴，将等腰三角形分为两个完全相同的部分。
2. 等腰三角形的中线：等腰三角形的中线是连接底边中点和顶点的线段。
等腰三角形的中线同时也是高线，因此中线也分割底边成两个相等的线段。
3. 等腰三角形的角平分线：等腰三角形的角平分线是从顶点到底边中点的线段。
等腰三角形的角平分线同时也是高线和中线，因此角平分线也分割底边成两个相等的线段。
4. 等腰三角形的内切圆：等腰三角形有一个内切圆，该圆与等腰三角形的两边和底边相切，且切点是底边的中点。
5. 等腰三角形的外接圆：等腰三角形有一个外接圆，该圆过等腰三角形的三个顶点。
综上所述，等腰三角形具有两边相等和两底角相等的性质。
通过边长判定法和角度判定法，可以判定一个三角形是否为等腰三角形。
等腰三角形的性质在几何学中有着重要的应用，例如计算三角形的面积、周长等。
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的性质与判定知识总结归纳：（－）等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
（二）等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE ＝CD，DM⊥BC，垂足为M。
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1.1 等腰三角形的性质和判定
班级姓名学号
学习目标:
1、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式.
2、能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理.
学习重点:等腰三角形的性质及其证明.
学习难点:等腰三角形的性质及其证明.
学习过程
一、知识回顾：
1、什么叫做等腰三角形？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2、等腰三角形有哪些性质？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
3、上述性质你是怎么得到的？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？（不妨动手操作做一做）
二、新知教学：
（一）探索活动：
1、合作与讨论：证明：等腰三角形的两个底角相等.
2、思考：由上面的证明过程，你能否得出“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”的结论？请用符号语言表示.
3、通过上面两个问题的证明，我们得到了等腰三角形的性质定理.
定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，（简称：＿＿＿＿＿＿）定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，（简称：＿＿＿＿＿＿）
4、思考与探索
如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？
（二）例题分析
1、已知：如图∠EAC 是△ABC 的外角，AD 平分∠EAC ，且AD ∥BC.求证：AB ＝AC
拓展：在上图中，如果AB ＝AC ，AD ∥BC ，那么AD 平分∠EAC 吗？为什么？
2、证明：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
（三）巩固练习：
1、证明：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
2、如图，BO 平分∠CBA, CO 平分∠ABC, 且MN//BC,设AB=12,BC=24,AC=18,求△AMN 的周长.
三、总结反思
1、证明文字命题应注意什么？
2、等腰三角形的判定和性质分别是什么？如何证明？
3、一个常见的基本图形.
A B C D E A B C
M
N O
A D E
B
C 1.1 等腰三角形的性质和判定作业设计
班级 姓名 学号 等第
1．等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是 ；如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是 ；如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是 .
2．等腰三角形的一个内角为70º，它一腰上的高与底边所夹的度数为_________.
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30度，腰长为2 cm ，则其腰上的高
为 cm ．
4．如图，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝ 5，AB 的
垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则△BEC 的
周长为（ ）
A ．13
B ．14
C ．15
D ．16
5．△ABC 中，AB=AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A ．7
B ．11
C ．7或11
D ．7或10
6．已知：如图，AD 平分∠BAC ，AB=AC.
求证△DBC 是等腰三角形.
A B
C
D
7．如图，在△A B C中，D、E分别是AC、AB上的点，BD、CE交于点O，给出下列四个条件
①∠EBO=∠DCO，②∠BEO=∠CDO，③BE=CD，④OB=OC.
（1）上述四个条件中哪两个条件可以判定△AB C是等腰三角形(用序号写出所有情况) （2）选择其中一种情况证明△AB C是等腰三角形.
选做习题
8．两个全等的含300、600角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME、MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．。