工程力学：第20课_第13章 应力状态分析(2)
《工程力学》实验应力分析
r 1 2 3 4 2(1 )M
上下表面
M
r 2(1 )
E M
E r 2(1 )
R3 R4
R2 t2
R1
B
R1
R2
A
C
R4
R3
D
21
13.3 测量电桥的接法及其应用
例2 通过应变测量(1)求偏心载荷F;(2) 求e.试确定
布片、接桥方案。截面bh
y
e
y
解：(1)测F
z x
F Fe F 分析：
Me
Me
25
13.4 二向应力状态下主应力方向已知时的应力测定
1
3
B
R1
R2
A
C
R4
R3
D
解: 应力分析
1 3
沿与轴线成450方向为主方向,
故沿主应力方向布片.
采用全桥接法.
r 1 2 3 4 41
1
r
4
26
13.4 二向应力状态下主应力方向已知时的应力测定
1
3
B
R1
R2
A
C
R4
工程力学
第13章 实 验 应 力 分 析
1
第13章 实验应力分析
§13.1 概述 §13.2 电测应力分析的基本原理 §13.3 测量电桥的接法及应用 §13.4 二向应力状态下主应力已知时
的应力测定 §13.5 二向应力状态下主应力未知时
的应力测定
2
13.1 概 述
一. 为什么要进行实验应力分析
例1 已知E， , 测定max, 试确定布片、接桥方案。
M
R1
M
解：第一方案，
R2
工程力学课后习题答案
工程力学课后习题答案工程力学练习册学校学院专业学号教师姓名第一章静力学基础1-1 画出下列各图中物体A，构件AB，BC 或ABC的受力图，未标重力的物体的重量不计，所有接触处均为光滑接触。
（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）1-2 试画出图示各题中AC杆（带销钉）和BC杆的受力图（a）（b）（c）（a）1-3 画出图中指定物体的受力图。
所有摩擦均不计，各物自重除图中已画出的外均不计。
（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）第一章静力学基础 9第二章平面力系2-1 电动机重P=5000N，放在水平梁AC 的中央，如图所示。
梁的A端以铰链固定，另一端以撑杆BC支持，撑杆与水平梁的夹角为30 0。
如忽略撑杆与梁的重量，求绞支座A、B处的约束反力。
题2-1图∑∑=︒+︒==︒-︒=PF F F F F FB A y A B x 30sin 30sin ,0030cos 30cos ,0 解得: N P F F B A 5000===2-2 物体重P=20kN ，用绳子挂在支架的滑轮B 上，绳子的另一端接在绞车D 上，如图所示。
转动绞车，物体便能升起。
设滑轮的大小及轴承的摩擦略去不计，杆重不计，A 、B 、C三处均为铰链连接。
当物体处于平衡状态时，求拉杆AB 和支杆BC 所受的力。
题2-2图∑∑=-︒-︒-==︒-︒--=030cos 30sin ,0030sin 30cos ,0P P F F P F F FBC y BC AB x解得:P F P F AB BC 732.2732.3=-=2-3 如图所示，输电线ACB 架在两电线杆之间，形成一下垂线，下垂距离CD =f =1m ，两电线杆间距离AB =40m 。
电线ACB 段重P=400N ，可近视认为沿AB 直线均匀分布，求电线的中点和两端的拉力。
题2-3图以AC 段电线为研究对象，三力汇交N F NF F F F F F FC A GA y C A x 200020110/1tan sin ,0,cos ,0=======∑∑解得：ααα2-4 图示为一拔桩装置。
工程力学-应力状态与应力状态分析
8 应力状态与应变状态分析1、应力状态的概念，2、平面应力状态下的应力分析，3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。
（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:321σσσ≥≥最大切应力为132max σστ-=（2）任斜截面上的应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=（3) 主应力的大小22minmax )2(2xyyx yx τσσσσσ+-±+=主平面的方位yx xytg σστα--=2204、主应变122122x y x y xy xyx y()()tg εεεεεεγγϕεε⎡=+±-+⎣=-5、广义胡克定律)]([1z y x x E σσμσε+-=)]([1xzyy Eσσμσε+-=)]([1yxzz Eσσμσε+-=Gzxzxτγ=Gyzyzτγ=，Gxyxyτγ=6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。
”8.1试画出下图8.1(a)所示简支梁A点处的原始单元体。
图8.1[解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。
再取A点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。
截取出的单元体如图8.1(d)所示。
(2)分析单元体各面上的应力:A点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A点的坐标x、y代入正应力和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为：zMyIσ=bIQSzz*=τ由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ；前后边面为自由表面，应力为零。
在单元体各面上画上应力，得到A点单元体如图8.1(d)。
工程力学第13章应力状态分析
FS 2 50kN MFl 25kNm
8 ⑵ 求C 点在横截面上的正应力、切应力
M y 2 5 1 0 3 6 0 0 1 0 3/4
CIz 2 0 0 6 0 0 3 1 0 1 2/1 21 .0 4 M P a
C 3 2 F b h S(14 h y 2 2)2 2 3 0 0 5 0 6 0 0 1 0 3 1 0 6(14 6 0 1 0 5 2 0 2 1 0 1 0 6 6)
63.7sin240o( 76.4)cos240o 2
10.7MPa
x 63.7MPa y 0 x76.4MPa
⑶ 求D 点的主应力和主方向及最大切应力
m m a in x x 2y (x 2y)2x 2
63.7 2
(63.7)2(76.4)2 2
114.6M P a
50.9M
Pa
1 1 1 4 . 6 M P a2 03 5 0 . 9 M P a
D63.7MPa D76.4MPa
⑵ 作出D点的应力状态图
x 63.7MPa y 0 x76.4MPa
120o
x 2 y x 2 yc o s2 xsin 2
6 3 .7 6 3 .7 c o s2 4 0 o ( 7 6 .4 ) sin 2 4 0 o 22
50.3M Pa
x 2ysin2xcos2
同理：平行于主应力σ2和σ3方向的任意斜面 II 和 III 上的正 应力和切应力分别与σ2和σ3无关，可分别由应力圆 II 和 III 表
示。
三向应力状态中空间任 意方向面上的正应力和切 应力对应于应力圆I、II、 III所围阴影区域内某一点 的坐标值。
工程力学-应力状态
sy
n
例1 已知 sx= –100MPa、sy =50MPa 、tx = – 60MPa，a = –30º
cos[2 ( 30)] ( 60)sin[2 ( 30)]
114.5MPa
τ 30
上海应用技术学院
τ T WP
此时不适用基本变形下的强度条件，应同时考虑s 、t 的影响。 又如：受内压容器筒壁
上海应用技术学院
sy
A 筒壁某点A处应力： sx 、sy，为双向受拉状态。 又如：火车车轮与铁轨接触处表层
4
sx
s s
A
s
A点应力：为三向受压状态。 此外：在通过A点不同斜截面上的应力是不同的，将影响到构 件的破坏形式。
s
OC CFcos2 α DFsin2 α σx σy σx σy cos2 α τ x sin2 α σ α 2 2
上海应用技术学院
证明： H点横坐标： OM 纵坐标： MH CD与s 轴夹角为2a0
OM σx σy 2 σx σy 2 cos2 α τ x sin2 α σ α
ty
e
cos2 α τ x sin2 α
b
sy
切线方向上： Σ F 0 τ
τ α d A (σ x d A cos α )sin α ( τ x d A cos α )cos α (σ y d A sin α )cos α ( τ y d A sin α )sin α 0
∴ τ α σ x sin α cos α σ y sin α cos α τ x cos2 α τ y sin 2 α
上海应用技术学院
如何在工程力学中进行应力分析？
如何在工程力学中进行应力分析？在工程力学领域，应力分析是一项至关重要的任务。
它能够帮助工程师了解结构或材料在受到外力作用时内部的受力情况，从而评估其强度、稳定性和可靠性，为设计安全、高效的工程结构提供关键的依据。
那么，如何进行有效的应力分析呢？首先，我们需要明确应力的基本概念。
应力，简单来说，就是单位面积上所承受的内力。
当物体受到外力作用时，内部会产生抵抗这种外力的力，这种力在单位面积上的表现就是应力。
应力的单位通常是帕斯卡（Pa）或兆帕（MPa）。
在实际的工程力学中，进行应力分析的第一步是确定所研究对象的受力情况。
这包括对各种外力的分析，如集中力、分布力、力偶等。
例如，在桥梁设计中，需要考虑车辆的重量产生的集中力，以及风荷载产生的分布力。
为了准确地描述这些外力，我们通常会建立一个力学模型，将复杂的实际情况简化为易于分析的形式。
接下来，选择合适的分析方法是关键。
常见的应力分析方法有理论分析法、实验法和数值模拟法。
理论分析法基于力学的基本原理和公式进行推导和计算。
例如，对于简单形状和受力情况的结构，可以使用材料力学中的公式来计算应力。
比如，对于受拉伸或压缩的直杆，可以通过力除以横截面积来计算正应力；对于受扭转的圆轴，可以通过扭矩除以抗扭截面系数来计算切应力。
然而，这种方法通常只适用于简单的几何形状和受力情况，对于复杂的结构往往难以直接应用。
实验法是通过对实际结构或模型进行物理实验来测量应力。
常见的实验方法包括电测法、光测法等。
电测法是在结构表面粘贴电阻应变片，当结构受力产生变形时，应变片的电阻会发生变化，通过测量电阻的变化可以推算出应变，进而计算出应力。
光测法则利用光的干涉原理，如光弹性法，来观察结构内部的应力分布。
实验法能够直接获取实际结构的应力数据，但往往成本较高，且实验过程可能会对结构造成一定的破坏。
数值模拟法则是借助计算机软件对结构进行建模和分析。
常见的数值方法有有限元法、边界元法等。
有限元法将结构离散成有限个单元，通过求解每个单元的平衡方程，得到整个结构的应力和变形。
工程力学第13章应力状态分析和强度理论
max
m in
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 xy
——主应力的大小
3)、 切应力 的极值及所在截面
由
x
y
2
sin 2
xy cos 2 ,
令 d
0
d 1
tan
21
x 2 xy
y
(1 ; 1 1 900 )
——最大切应力 所在的位置
z
x
y y
x
z x
2
I 3 1
(1)求平行于σ1的方向面的应力σα 、 τα ,其上之应力与σ1 无关.
1
3
II 2
(2)求平行于σ2的方向面的应力σα、 τα ,其上之应力与σ2 无关.
2
III 1 3
2
(3)求平行于σ3的方向面的应力σα 、 τα ,其上之应力与σ3 无关.
例2、槽形刚体内放置一边长为a = 10 cm 正方形钢块，试求钢 块的三个主应力。F = 8 kN，E = 200 GPa, μ = 0.3。
Fy
解：1) 研究对象ຫໍສະໝຸດ 正方形钢块y F 80 MPa, A
x
?,
z 0.
x 0, y ?, z ? .
y
x b
a
c x x
y
b x
x
a y
c
y t
n 单元体各面面积
x bc : dA
ab: dAcos ac : dAsin
设：斜截面面积为ｄA，由分离体平衡得：
弹性力学应力状态2
+
∂σ
y
∂y
+
∂ τ zy ∂z
+Y = 0
∂ τ yz ∂τ z ∂σ z + + +Z = 0 ∂x ∂y ∂z
切应力互等定理
σ ij = σ
ji
2－10 静力边界条件－－应力与面力的关系 － 静力边界条件－－ －－应力与面力的关系
2 2 2 2 τ n = p 2 − σ n = p x + p y + p z2 − σ n
剪应力
已知物体内一点的9个应力分量， 已知物体内一点的 个应力分量，就可求出 个应力分量 任一斜截面上的全应力和正应力、剪应力。 任一斜截面上的全应力和正应力、剪应力。
四、应力张量
使用应力张量可以完整地描述一点的应力状态
2. 将Px、Py、Pz投影到 轴上，得x’面上的正应力： 投影到x’轴上 面上的正应力： 、 、 投影到 轴上， 面上的正应力
3. 将Px、Py、Pz分别向 、z’轴投影，得x’面上沿 方 分别向y’、 轴投影 轴投影， 面上沿y’方 、 、 分别向 面上沿 向的剪应力和沿z’的剪应力 的剪应力： 向的剪应力和沿 的剪应力：
三、平面问题的应力坐标转换公式
2－4 －
主应力、 主应力、应力张量不变量
主平面是指剪应力为零的平面 主平面是指剪应力为零的平面 应力主轴为主平面法线方向（或主方向） 应力主轴为主平面法线方向（或主方向） 为主平面法线方向 主应力为主平面的正应力 主应力为主平面的正应力
一、应力状态的特征方程
A点处有一个主面n 点处有一个主面 剪应力为0 剪应力为 正应力即全应力
2 2 2 + (σ z − σ m )(σ x − σ m ) − τ xy − τ yz − τ zx ]
弹性力学_第二章__应力状态分析
第二章应力状态分析一、内容介绍弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。
应力状态是本章讨论的首要问题。
由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。
因此，一点各个截面的应力是不同的。
确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。
首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。
应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。
本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。
本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。
弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。
二、重点1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量；2、平衡微分方程与切应力互等定理；3、面力边界条件；4、应力分量的转轴公式；5、应力状态特征方程和应力不变量；知识点：体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质；截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量；切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量§2.1 体力和面力学习思路:本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。
应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。
体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。
应力状态分析
应⼒状态分析第⼆章应⼒状态分析⼀. 内容介绍弹性⼒学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体⼊⼿，本章的任务就是从静⼒学观点出发，讨论⼀点的应⼒状态，建⽴平衡微分⽅程和⾯⼒边界条件。
应⼒状态是本章讨论的⾸要问题。
由于应⼒⽮量与内⼒和作⽤截⾯⽅位均有关。
因此，⼀点各个截⾯的应⼒是不同的。
确定⼀点不同截⾯的应⼒变化规律称为应⼒状态分析。
⾸先是确定应⼒状态的描述⽅法，这包括应⼒⽮量定义，及其分解为主应⼒、切应⼒和应⼒分量；其次是任意截⾯的应⼒分量的确定—转轴公式；最后是⼀点的特殊应⼒确定，主应⼒和主平⾯、最⼤切应⼒和应⼒圆等。
应⼒状态分析表明应⼒分量为⼆阶对称张量。
本课程分析中使⽤张量符号描述物理量和基本⽅程，如果你没有学习过张量概念，请进⼊附录⼀，或者查阅参考资料。
本章的另⼀个任务是讨论弹性体内⼀点－微分单元体的平衡。
弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分⽅程和切应⼒互等定理；边界单元体的平衡条件为⾯⼒边界条件。
⼆. 重点1.应⼒状态的定义：应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；2.平衡微分⽅程与切应⼒互等定理；3.⾯⼒边界条件；4.应⼒分量的转轴公式；5.应⼒状态特征⽅程和应⼒不变量；§2.5 ⾯⼒边界条件学习思路:在弹性体内部，应⼒分量必须与体⼒满⾜平衡微分⽅程；在弹性体的表⾯，应⼒分量必须与表⾯⼒满⾜⾯⼒边界条件，以维持弹性体表⾯的平衡。
⾯⼒边界条件的推导时，参考了应⼒⽮量与应⼒分量关系表达式。
只要注意到物体边界任意⼀点的微分四⾯体单元表⾯作⽤应⼒分量和⾯⼒之间的关系就可以得到。
⾯⼒边界条件描述弹性体表⾯的平衡，⽽平衡微分⽅程描述物体内部的平衡。
当然，对于弹性体，这仅是静⼒学可能的平衡，还不是弹性体实际存在的平衡。
⾯⼒边界条件确定的是弹性体表⾯外⼒与弹性体内部趋近于边界的应⼒分量的关系。
学习要点：1. ⾯⼒边界条件。
物体在外⼒作⽤下处于平衡状态，不仅整体，⽽且任意部分都是平衡的。
在弹性体内部，应⼒分量必须与体⼒满⾜平衡微分⽅程；在弹性体的表⾯，应⼒分量须与表⾯⼒满⾜⾯⼒边界条件，以满⾜弹性体表⾯的平衡。
材料力学应力分析
应力状态
-
yx
即又一次证明了切应力的互等定理。
xy
y
§2 平面应力状态分析
应力状态
３、平面应力状态的极值与主应力
x
+ y
2
+ x
- y
2
cos 2
- xy sin 2
x
- y
2
sin 2
+ xy cos 2
x
- y sin
2
tan 20
2 -
+ xy cos 2 xy
x - y
2＝0
得到xy 的极值
＝ 1 2
x
- y
2
+
4
2 xy
应力状态
需要特别指出的是，上述切应力极值仅对垂直 于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大切应 力与面内最小切应力。二者不一定是过一点的所有 方向面中切应力的最大和最小值。
§2 平面应力状态分析
应力状态
过一点所有方向面中的最大切应力
为确定过一点的所有方向面上的最大切应力，可以
(
-
x
+
2
y
)
x
-
2
y
cos 2
-
xy
sin
2
(1)
x
- y
2
sin 2
+ xy
cos 2
x
- y
2
sin 2
+ xy cos 2
(2)
§2 平面应力状态分析
应力状态
(
-x
+ y
2
)2
+
2
a( a , a )
材料力学应力状态知识点总结
材料力学应力状态知识点总结材料力学是研究物体在外力作用下的力学性质和变形规律的学科。
而材料的应力状态是材料力学中的重要概念，它描述了材料内部的力学状态和应力分布情况。
本文将对材料力学应力状态的相关知识点进行总结和讨论。
一、概述材料力学中的应力状态描述了材料受到力的情况，主要包括应力的类型、作用面以及应力的大小和方向等。
常见的应力类型有正应力、剪应力和法向应力等。
二、正应力正应力是指材料内部单位截面上的内力除以该截面的面积所得到的值。
正应力的作用面垂直于该面，并且指向该面。
根据正应力的作用面，可以将正应力分为法向应力和切应力。
1. 法向应力法向应力是指与作用面垂直的应力，主要包括拉应力和压应力两种类型。
拉应力是指作用面上的拉力对单位面积的分布情况，用正值表示；压应力则是指作用面上的压力对单位面积的分布情况，用负值表示。
2. 切应力切应力是指作用面上的切力对单位面积的分布情况。
切应力的方向沿着作用面的切向，它可以使物体出现剪切变形。
切应力常常与正应力相互作用，共同影响材料的力学行为。
三、剪应力剪应力是指作用在材料内部引起切变形的内力作用于单位面积的横截面积。
在材料内部的应力矢量图中，剪应力是与作用面方向垂直的应力分量。
四、应力的大小和方向应力的大小和方向对材料的力学性质和变形规律具有重要影响。
在材料受到外力作用时，应力的大小会决定材料的强度和变形能力；应力的方向则会影响材料的断裂方向和裂纹扩展方向。
根据材料力学的原理和实际应用，可以通过引入应力变换理论和应力变形关系来具体分析和计算材料内部的应力状态。
应力变换理论可以将复杂的应力状态转化为简单的应力状态，并通过研究力的平衡条件和变形规律，求解出具体的应力分布情况。
总结：材料力学应力状态是研究材料受力情况的重要内容。
正应力包括法向应力和切应力，它们分别描述了材料受到的拉应力、压应力和剪应力；而剪应力则是引起切变形的内力作用于单位面积的横截面积。
应力大小和方向对材料力学性质和变形规律具有重要影响。
工程力学(天津大学)第13章答案
习 题 解 答13−1 木制构件中的单元体应力状态如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂线的夹角。
试求：（l ）平行于木纹方向的切应力； （2）垂直于木纹方向的正应力。
解： 由图a 可知MPa0MPa,6.1,MPa 2.0=-=-=x y x τσσ（1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力MPa1.0)]15(2sin[26.12MPa 97.1)]15(2cos[26.1226.121515=-⨯+-=-=-⨯+-+--=--τσ （2）垂直于木纹方向的正应力MPa1.0)752sin(26.12MPa 527.1]752cos[26.1226.127575-=⨯+-=-=⨯+-+--=τσ 由图b 可知MPa 25.1,0,0-===x y x τσσ（1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力MPa08.1)]15(2cos[25.12cos MPa625.0)15(2sin 25.12sin 1515-=-⨯⨯-==-=-⨯=-=--αττατσx x（2）垂直于木纹方向的正应力MPa08.1)752cos(25.12cos MPa625.0)752sin(25.12sin 7575=⨯⨯-===⨯⨯=-=αττατσx x13−2 已知应力状态如图一所示（应力单位为MPa ），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力解：（a ）已知 MPa 20MPa,10,0MPa 3-===x y x τσσ则由公式可直接得到该斜截面上的应力MPa 习题13−1图(a)(b)MPa10)42cos(20)42sin(210302cos 2sin 2MPa40)42sin(20)42cos(21030210302sin 2cos 22=⨯⨯-⨯⨯-=+-==⨯⨯+⨯⨯-++=--++=ππατασστππατασσσσσααx y x x yx yx（b ）已知 MPa20MPa,10,0MPa 3===x y x τσσ则：MPa21.21)5.222cos(20)5.222sin(210302cos 2sin 2MPa93.12)5.222sin(20)5.222cos(21030210302sin 2cos 22=⨯⨯+⨯⨯-=+-==⨯⨯-⨯⨯-++=--++=ατασστατασσσσσααx y x x yx y x （c ）已知60MPa15MPa,20,MPa 10-====ατσσx y x则：60(2cos[15)]60(2sin[220102cos 2sin 2MPa49.30)]60(2sin[15)]60(2cos[22010220102sin 2cos 22-⨯⨯+-⨯⨯-=+-==-⨯⨯--⨯⨯-++=--++=ατασστατασσσσσααx yx x yx yx13−3 已知应力状态如图所示（应力单位为MPa ），试用图解法（应力圆）计算图中指定截面的正应力与切应力。
材料力学应力状态分析和强度理论
材料力学应力状态分析和强度理论材料力学是一门研究物质内部各个部分之间的相互作用关系的科学。
在材料力学中，应力状态分析和强度理论是非常重要的概念和方法，用来描述和分析材料的力学行为和变形性能。
材料的应力状态是指在外力作用下，物体内部各个部分所受到的力的分布情况。
应力有三个分量：法向应力、剪应力和旋转应力。
法向应力是垂直于物体表面的作用力，剪应力是平行于物体表面的作用力，旋转应力则是物体受到扭转力产生的应力分量。
应力状态的描述可以用应力矢量来表示。
应力状态分析的目的是确定材料内部各个部分的应力分布情况，进而推导出物体的变形和破坏行为。
常用的应力状态分析方法有平面应力问题、平面应变问题和三维应力问题。
平面应力问题是指在一个平面上的应变为零，而垂直于该平面的应力不为零；平面应变问题是指在一个平面上的变形为零，而垂直于该平面的应力不为零；三维应力问题则是指在空间中3个方向的应力都不为零。
强度理论是指根据材料的内部应力状态来评估其抗拉强度、抗压强度和抗剪强度等，以判断材料是否能够承受外力而不发生破坏。
常见的强度理论有最大正应力理论、最大剪应力理论和最大扭转应力理论。
最大正应力理论是指在材料的任何一个点，其法向应力都不能超过材料的抗拉强度；最大剪应力理论则是指剪应力不能超过材料的抗剪强度；最大扭转应力理论则是指旋转应力不能超过材料的极限扭转强度。
实际应用中，强度理论通常与材料的断裂理论结合起来，以评估材料的破坏行为。
材料断裂的主要原因是应力超过了材料的强度极限，从而导致材料的破坏。
为了提高材料的强度和抗拉性能，可以通过选择合适的材料、改变材料的结构和制造工艺等方法来实现。
综上所述，材料力学应力状态分析和强度理论是描述和分析材料力学行为和变形性能的重要理论和方法。
通过深入研究应力状态、应力分析和强度理论，可以为材料的设计和制造提供指导和支持，从而提高材料的强度和抗拉性能。
工程力学中的应力分析与应力集中问题
工程力学中的应力分析与应力集中问题工程力学是一门研究物体力学性质及其相互作用的学科，它广泛应用于各个工程领域。
在工程设计和实践中，经常需要进行应力分析，以评估和优化结构的强度和稳定性。
同时，应力集中问题也是工程力学中的一个重要内容，它涉及到结构中应力的不均匀分布和集中现象，对结构的安全性和可靠性有着重要影响。
应力分析是指通过力学方法对结构或构件内部应力的大小、方向和分布进行计算和分析的过程。
应力分析的基本原理是应力沿任意截面为零，从而根据受力情况和几何形状，可以求解出结构内部的应力分布。
在应力分析中，常用的方法有静力学方法、能量方法和变分原理等。
静力学方法是最常用的一种方法，它基于平衡方程和材料的应力-应变关系，通过数学建模和求解方程组来得到应力分布。
能量方法和变分原理则是利用能量储存和最小能量原理进行应力分析。
在应力分析中，应力的计算可以通过手工计算和有限元分析两种方法进行。
手工计算是基于理论公式和近似方法推导，适用于简单的结构和荷载情况。
有限元分析则是通过将结构离散为有限个单元，利用数值计算方法求解结构的应力分布。
有限元分析具有广泛的适用性和较高的精度，可以处理复杂的结构和荷载情况。
除了应力分析，应力集中问题是工程力学中的一个研究重点。
应力集中是指结构中应力分布不均匀和应力值异常集中的现象。
应力集中可能导致结构的破坏和失效，因此对于应力集中的分析和控制至关重要。
常见的应力集中现象包括孔洞周围的应力集中和零件连接处的应力集中等。
为了分析和解决应力集中问题，工程师常常采取以下几种方法：1. 减小应力集中的影响：通过改变结构的几何形状，例如增加圆角或过渡半径，来减小应力集中的程度。
这种方法可以在设计初期进行，以减小结构的应力集中程度。
2. 使用合适的材料：选择适当的材料可以改变结构的应力集中状况。
有些材料具有较高的韧性和延展性，可以有效减小应力集中引起的破坏风险。
3. 增加结构的刚度：通过增加结构的刚度，可以使应力更均匀地分布在整个结构中，从而减小应力集中的程度。
应力状态详解
同时根据所确定的应力状态，给出相应水平最大主应力的方位，具体划分标准见下表。
应力状态定义
S1（或P）俯角(°)
S2（或B）俯角(°)
S3（或T）俯角(°)
水平最大主
应力方位
正断型
≥52
＜35
取S2（或B）方位
正走滑型
应力状态详解
应力状态分类
根据常规地质学和地球物理的一般规定，定义压应力为正，S1﹥S2﹥S3，S1为最大主压应力，S3为最小主压应力。应力资料的构造特征如下图所示。
上图是应力状态特征分类图
根据应力资料三个应力主轴（震源机制解为P、B、T轴）的空间取向，将各类应力资料所反映的应力状态分为6种：
正断型：S1（或P）轴接近垂直，其它两个轴的俯角较小。
正走滑型：S1（或P）轴俯角较大，而S3（或T）轴接近水平。
走滑型：S2（或B）轴俯角较大，同时S1（或P）轴和S3（或T）轴的俯角较小，至少有一个接近水平。
逆走滑型：S1（或P）轴接近水平，这时S3（或T）轴有较大的俯角。
逆断型：S3（或T）轴俯角较大，接近直立，同时S1（或P）轴和S2（或B）轴的俯角较小。
40≤俯角＜52
＜20
S3（或T）方位 + 90
走滑型
＜40
＞45
＜20
S3（或T）方位 + 90
＜20
取S1（或P）方位
逆走滑型
＜20
40≤俯角＜52
取S1（或P）方位
逆断型
＜35
≥52
取S1（或P）方位
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ无法确定
三个应力主轴的俯角都在25°到45°范围内，或S1（P）轴和S3（T）轴俯角较为接近，都在40°到50°之间
平面应力状态分析-主应力主平面详细推导
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
（1）
（2）
式中， 为斜截面外法线 n 与 x 轴正向的夹角。 对于主平面方位的确定，根据主平面定义可知，主平面上的切应力为 0，由 （2）式得：
0
x y sin 2 0 xy cos 2 0 0 2
tan 2 0 2 xy
（3） （4）
即
x y
方程（4）有两个解，主平面方位角 0 与 0 90 ，说明两个主平面互为垂直关 系。 将公式 （3） 的解回代公式 （1） ， 可得另外两个主应力， 代数值较大的记为 max ， 较小的记为 min ，则
2 xy
x y
sin 2 0 2 xy
更改等效形式 添加方程 联立（7） 、 （8）求得：
x y
cos 2 0
（7） （8）
sin 2 2 0 cos 2 2os 2 0 2 x y 2 2 xy sin 2 0
max min
x y x y 2 xy 2 2 x y x y 2 2 xy 2
2
2
（5）
（6）
关于公式（3）的解诸多材力教材没有此部分推导，本文列如下：
对于方程 tan 2 0
2 xy
2
（9）
x y 2
2 xy
2
（10）
注意（9） 、 （10）公式正负号的对应，再将（9） 、 （10）代入公式（3）推得 主应力计算公式（5） 、 （6） ，至此，详细推导完成！
第十三章 工程力学之交变应力
这些方法的共同特点是使构件表层产生残余应力，减少 表面出现细微裂纹的机会，从而达到提高持久极限的目 的。 但在采用这些方法时，一定要严格控制工艺过程，否则 会适得其反。
第十三章
工程力学之交变应力
§13–1交变应力与疲劳破坏
§13–2交变应力的循环特征、应力幅和平均应力 §13–3对称循环下构件的持久极限 §13–4影响构件持久极限的主要因素 §13–5提高构件抗疲劳能力的措施
§13-1 一、交变应力
交变应力与疲劳破坏
交变应力：随时间作周期性变化的应力 对于矿山、冶金、动力运输、机械及航空航天飞行器等，它们 的很多零部件及构件都承受着随时间作周期性变化的应力，即 交变应力。
b 400MPa
0.95 0.90
b 800MPa
由线性插入法可得
b 560MPa
0.90
800 560 (0.95 0.9) 0.93 800 400
（4）轮轴的实际持久极限
轮轴的实际持久极限为
0 1
k
1
0.7 0.93 250 82.61MPa 1.97
§13-5
提高构件抗疲劳能力的措施
一、采用合理的结构形式，减缓应力集中 合理的结构形式，包括尽量避免出现 方形或带有尖角的孔和槽； 在横截面 尺寸突然改变的地方，如轴肩，采用 如图13-11所示的圆弧作过渡，而且过 渡圆角越大越好。 二、提高构件表面质量，以提高构件的持久极限 为了提高构件的表面质量，一是可以通过提高加工精度，使 用中尽量避免构件表面的机械损伤； 二是在最大应力所在表 面采用某些工艺措施。如表面热处理和化学处理，包括高频 淬火、氮化、渗碳和氰化，强化构件表面； 或对表面层用滚 压、喷丸等冷加工方法。
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y
1 0 ,
1
0
2
20
2
,
2
最大切应力K点、最小切应力M点：
max min
CK
x
2
y
2
2 x
10
第十三章 应力状态分析(2)
oB
K
0 C E( y , y )
M
最大正应力A点作用面的方位：
D( x , x )
R
20 x
max
OC CA
x
y
2
x
2
y
2
2 x
FA
D
tan20
DF CF
2 x x y
max
( x y ) 2 ( x y ) 2
tan0
FD BF
x
x min
x max y
0
[
2
,
2
]
11
例：平面应力状态下，物体内一点O 在 A、B 两截面上的应力如图所示，试求 该点的最大正应力和切应力及A、B两截 面的夹角θ。
图解法： 按比例尺画出应力圆
解析法：构造如图所示微体
B
B
15
x
x
2 15
2
x 15 cos
2
sin 2(90 )
2(90 ) 15sin 2(90 ) 15cos 2(90 ) 20MPa
40MPa
两个未知数， 两个方程，求解得：
y
x
47MPa 35.5
故：
max
x
y
2
(
x
y )2
2
2 x
52.9MPa
x y
x
x
2
y
2
2 x
,
cos
21
2
sin 21
x y
x
x
2
y
2
2 x
, cos
21
2
x
2
y
2
2 x
x
2
y
2
2 x
max min
x
y
2
x
2
y
2
2 x
0 0
7
第十三章 应力状态分析(2)
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin2
x
y
2
sin2
xcos2
第十三章 应力状态分析(2)
方法一：解析法（求三角函数极值）
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin2
x
2
y
sin2
xcos2
正应力取极值：
该面上切应力为零！
d 0 d
2
x
2
y
sin2
xcos2
0
tan
20
2x x
y
1 0
2
0
2
0
4
,
4
微体内最大、最小正应力及其作用面 对应切应力：
sin 21
d 0 d
2
x
2
y
cos2
xsin2
0
tan
21
x 2 x
y
微体内最大与最小切应力 及其作用面对应的正应力：
max min
x
2
y
2
2 x
1
x
2
y
最大与最小切应力作用面与主平面关系：
tan
2 0
2 x x
y
tan
21
x 2 x
y
tan 20
1
tan 21
ct an 21
2
y
2
2 x
9
第十三章 应力状态分析(2)
oB
K
D( x , x )
R
C
20 x
FA
E( y , y )
M ( x y ) 2 ( x y ) 2
最大正应力A点、最小正应力B点：
max min
OC
CA
x
2
y
x
2
y
2
2 x
tan20
DF CF
2 x x y
2
0
=actan
2 x x
第十三章 应力状态分析(2)
§13-3 极值应力与主应力
一、平面应力状态的极值应力
y y
y
x
x x
y
y y'
x
x' x
yP
yp
xP
xp
x-y坐标系
x´-y´坐标系
xp-yp坐标系
同一点的应力状态有无穷多种表达形式。在无穷多种表达形式中有 没有一种简单的、但又能反映一点应力状态本质的表达形式？
max c ( c 15)2 152 52.9MPa max ( c 15)2 152 21.9MPa
AB
arcsin 2 35.5o
BC
14
第十三章 应力状态分析(2)
观察与思考：
对于平面应力状态： •是否一定存在正应力为零 的面？
•是否一定存在切应力为零的 面？如果有，有几个？
2 x
FA
E( y , y )
D
tan20
DF CF
2 x x y
0
[
4
,
4
]
M ( x y ) 2 ( x y ) 2
max
tan0
FD
BF x
x min
x max y
0
[
2
,
2
]
最大正应力截面实际方位
最大切应力K点、最小切应力M点：
max min
CK
x
oB
K
0 C
D( x , x )
R
20 x
FA
E( y , y )
D
M ( x y ) 2 ( x y ) 2
max
•正应力最大与最小的面，切 应力有什么性质？
•切应力最大与最小的面，正 应力有什么性质？
15
第十三章 应力状态分析(2)
二、主应力
K
D( x , x )
R
C
20 x
oB
max
(
x
y )2
2
2 x
21.9MPa
B
15MPa x
x
A
O
15MPa
15MPa
13
解析法（利用应力圆）
A(15,15)
E
2
C
B(40,20)
D
第十三章 应力状态分析(2)
B 40MPa
A 15MPa
20MPa O
15MPa
设应力圆圆心横坐标为σc,由几何关系得：
AC BC c 152 152 c 402 202 c 31MPa
FA
E( y , y )
M ( x y ) 2 ( x y ) 2
主平面－切应力为零的截面
主平面微体－相邻主平面相互垂 直， 构成一正六面形微体 主应力－主平面上的正应力（最 大、最小的正应力）
2
主应力符号与规定－ 1 2 3
1
（按代数值排列）
微体中最简单的应力状态，三
3
5
第十三章 应力状态分析(2)
应力转轴公式:
应力圆
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin2
o
D
C x
y
F
x
2
y
sin2
xcos2
y
x+y)/2 x-y)/2
x
问题：一点处具有代表性的极值应力的大小及方位？
① 微体内最大、最小正应力及其作用面方位、该面内切应力大小？ ② 微体内最大、最小切应力及其作用面方位、该面内正应力大小？ 6
1cm 10MPa
最大正应力点在D点，进行测量；最大切 应力点在E点，进行测量；对A、B两截面
的夹角进行测量
max 53MPa 36
max 22MPa
第十三章 应力状态分析(2)
B 40MPa
20MPa
O
A 15MPa
15MPa
A(15,15) E
2
C
B(40,20)
D
12
第十三章 应力状态分析(2)
t
an
21
2
0
1
4
8
第十三章 应力状态分析(2)
方法二：图解法（利用应力圆）
K
缺点：最无大法正直应接力判A断点α0、对应最的小是正最应大力还B是点最：小正应
oB
0 C
R2 0x来自D(x ,面力x) ，作E用点面mm转（ainxα例0对如O应，C最D小点CA正转应α0力对x 作2应用最y 面大 ）正？应 x力2作 y用2