工程力学：第20课_第13章 应力状态分析(2)

2 x
FA
E( y , y )
D
tan20
DF CF
2 x x y
0
[
4
,
4
]
M ( x y ) 2 ( x y ) 2
max
tan0
FD
BF x
x min
x max y
0
[
2
,
2
]
最大正应力截面实际方位
最大切应力K点、最小切应力M点：
max min
CK
x
1cm 10MPa
最大正应力点在D点，进行测量；最大切 应力点在E点，进行测量；对A、B两截面
的夹角进行测量
max 53MPa 36
max 22MPa
第十三章 应力状态分析(2)
B 40MPa
20MPa
O
A 15MPa
15MPa
A(15,15) E
2
C
B(40,20)
D
12
第十三章 应力状态分析(2)
5
第十三章 应力状态分析(2)
应力转轴公式:
应力圆
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin2
o
D
C x
y
F
x
2
y
sin2
xcos2
y
x+y)/2 x-y)/2
x
问题：一点处具有代表性的极值应力的大小及方位？
① 微体内最大、最小正应力及其作用面方位、该面内切应力大小？ ② 微体内最大、最小切应力及其作用面方位、该面内正应力大小？ 6
解析法：构造如图所示微体
B
B
15
x
x
2 15
2
x 15 cos
2
sin 2(90 )
2(90 ) 15sin 2(90 ) 15cos 2(90 ) 20MPa
40MPa
两个未知数， 两个方程，求解得：
y
x
47MPa 35.5
故：
max
x
y
2
(
x
y )2
2
2 x
52.9MPa
FA
E( y , y )
M ( x y ) 2 ( x y ) 2
主平面－切应力为零的截面
主平面微体－相邻主平面相互垂 直， 构成一正六面形微体 主应力－主平面上的正应力（最 大、最小的正应力）
2
主应力符号与规定－ 1 2 3
1
（按代数值排列）
微体中最简单的应力状态，三
3
2
y
2
2 x
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第十三章 应力状态分析(2)
oB
K
D( x , x )
R
C
20 x
FA
E( y , y )
M ( x y ) 2 ( x y ) 2
最大正应力A点、最小正应力B点：
max min
OC
CA
x
2
y
x
2
y
2
2 x
tan20
DF CF
2 x x y
2
0
=actan
2 x x
第十三章 应力状态分析(2)
§13-3 极值应力与主应力
一、平面应力状态的极值应力
y y
y
x
x x
y
y y'
x
x' x
yP
yp
xP
xp
x-y坐标系
x´-y´坐标系
xp-yp坐标系
同一点的应力状态有无穷多种表达形式。在无穷多种表达形式中有 没有一种简单的、但又能反映一点应力状态本质的表达形式？
oB
K
0 C
D( x , x )
R
20 x
FA
E( y , y )
D
M ( x y ) 2 ( x y ) 2
max
•正应力最大与最小的面，切 应力有什么性质？
•切应力最大与最小的面，正 应力有什么性质？
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第十三章 应力状态分析(2)
二、主应力
K
D( x , x )
R
C
20 x
oB
x y
x
x
2
y
2
2ຫໍສະໝຸດ Baidux
,
cos
21
2
sin 21
x y
x
x
2
y
2
2 x
, cos
21
2
x
2
y
2
2 x
x
2
y
2
2 x
max min
x
y
2
x
2
y
2
2 x
0 0
7
第十三章 应力状态分析(2)
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin2
x
y
2
sin2
xcos2
max c ( c 15)2 152 52.9MPa max ( c 15)2 152 21.9MPa
AB
arcsin 2 35.5o
BC
14
第十三章 应力状态分析(2)
观察与思考：
对于平面应力状态： •是否一定存在正应力为零 的面？
•是否一定存在切应力为零的 面？如果有，有几个？
DF CF
2 x x y
max
( x y ) 2 ( x y ) 2
tan0
FD BF
x
x min
x max y
0
[
2
,
2
]
11
例：平面应力状态下，物体内一点O 在 A、B 两截面上的应力如图所示，试求 该点的最大正应力和切应力及A、B两截 面的夹角θ。
图解法： 按比例尺画出应力圆
y
1 0 ,
1
0
2
20
2
,
2
最大切应力K点、最小切应力M点：
max min
CK
x
2
y
2
2 x
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第十三章 应力状态分析(2)
oB
K
0 C E( y , y )
M
最大正应力A点作用面的方位：
D( x , x )
R
20 x
max
OC CA
x
y
2
x
2
y
2
2 x
FA
D
tan20
d 0 d
2
x
2
y
cos2
xsin2
0
tan
21
x 2 x
y
微体内最大与最小切应力 及其作用面对应的正应力：
max min
x
2
y
2
2 x
1
x
2
y
最大与最小切应力作用面与主平面关系：
tan
2 0
2 x x
y
tan
21
x 2 x
y
tan 20
1
tan 21
ct an 21
第十三章 应力状态分析(2)
方法一：解析法（求三角函数极值）
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin2
x
2
y
sin2
xcos2
正应力取极值：
该面上切应力为零！
d 0 d
2
x
2
y
sin2
xcos2
0
tan
20
2x x
y
1 0
2
0
2
0
4
,
4
微体内最大、最小正应力及其作用面 对应切应力：
sin 21
max
(
x
y )2
2
2 x
21.9MPa
B
15MPa x
x
A
O
15MPa
15MPa
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解析法（利用应力圆）
A(15,15)
E
2
C
B(40,20)
D
第十三章 应力状态分析(2)
B 40MPa
A 15MPa
20MPa O
15MPa
设应力圆圆心横坐标为σc,由几何关系得：
AC BC c 152 152 c 402 202 c 31MPa
t
an
21
2
0
1
4
8
第十三章 应力状态分析(2)
方法二：图解法（利用应力圆）
K
缺点：最无大法正直应接力判A断点α0、对应最的小是正最应大力还B是点最：小正应
oB
0 C
R
2 0
x
D(
x ,面力x) ，作E用点面mm转（ainxα例0对如O应，C最D小点CA正转应α0力对x 作2应用最y 面大 ）正？应 x力2作 y用2