n元线性方程组线性方程组的

定理1：在齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0, a21x1 a22 x2 a2n xn 0, as1x1 as2 x2 asn xn 0, 中，如果 s<n,那么它必有非零解。
利用矩阵求解线性方程组_1
n元线性方程组（1）对应的增广矩阵为B
I）r n.这时阶梯形方程组为
c11x1 c12 x2 c1r xr c1n xn d1,
(6)
c22 x2 c2r xr c2n xn d2 ,

cnn xn dn ,
其中cii 0, i 1,2,, n.
恒等式可能不出现，也可能出现，
这时去掉它们也不影响（5）的解。 而且（1）和（5）是同解的。
现考察线性方程组（5）的解得情况
如果（5）中有方程0＝dr1，而dr1 0。 这时不管x1,, xn取什么值都不能使它成为等式。 故（5）无解，因而（1）无解。
当dr1是零，或（5）中根本没有“ 0＝0”的方程时，分两种情 况：
初等变换是揭露方程之间关系的一种方法。
一个n元方程a1x1 a2x2 anxn b可以用n 1元有序数组 (a1, a2,,an,b)来表示。方程之间的关系实际上就是代表它们 的n 1元数组之间的关系。
n维向量空间_1
定义 数域P上一个n维向量就是指由数域P中n
个为数 向组 量成 的的 分有 量序。数组。其中a1, a2, …, an∈P，称
0 0 1 2
0 0 0 0
阶梯形矩阵对应的阶梯形线性方程组为2x3x1x22

3x3

1 ,
解得x1
x3

1 (7 2 2

x2
) .
其中x2为自由未知量。
例：解线性方程组
42xx1 12xx22
3x3 5x3
1 4
2x1 x2 4x3 0
由最后一个方程开始，
xn , xn1,, x1的值就可以逐一地唯一地决定了。 因此，方程组（1）同方程组（6）有唯一解。
高斯消元法_1
例子：用高斯消元法解方程组
42xx1 12xx22
3x3 5x3
1 4
R2

2 R1 ,R3


R1
2
x1 x2 4x2
a2n
b2


asn bs
线性的方程组的矩阵表示
称矩阵
（2）
a11 a12

a21
a22

as1 as2
a1n b1
a2n
b2


asn bs
为线性方程组（1）的增广矩阵
高斯消元法_1
例子：用高斯消元法解方程组
42xx1 12xx22
3x3 Βιβλιοθήκη Baidux3

c22 x2 c2r xr c2n xn d2 ,


(5)

crr xr crn xn dr , 0 dr1,

0 0,



0 0.
其中cii 0,i 1,2,, r. 方程组（5）中的“0＝0”这样的
(4)
而（3）与（1）是同解的，
as2 ' x2 asn ' xn bs ', 因此，方程组（1）有解的充分必要条件为方程组（4）有解。
对（4）依照以上变换，一步步作下去，最后得到一个阶 梯 形 方 程 组，设为
c11x1 c12 x2 c1r xr c1n xn d1,
，
as1x1 as2x2 asnxn bs ,
as1x1 as2x2 asnxn bs ,
下证明(1)(2)同解。
高斯消元法_3
设(c1, c2 ,, cn )是(1)的任一解。因(1)和(2)的后s 1个方程是一样的，所以 (c1, c2 ,, cn )满足(2)的后s 1个方程。 又(c1, c2 ,, cn )满足(1)的前两个方程，即有 a11c1 a12c2 a1n cn b1 a21c1 a22c2 a2n cn b2 将第二式的两边乘以k , 再与第一式相加，即为 (a11 ka21)c1 (a12 ka22 )c2 (a1n ka2n )cn b1 kb2 故(c1, c2 ,, cn )也满足(2)的第一个方程，因而是(2)的解。类似地可证 （2）的任一解都是(1)的解。从而证明(1)和(2)是同解的。
由此，易求得方程组的解为(9,1,6).
高斯消元法_5
II）r n.这时阶梯形方程组为
c11x1 c12 x2 c1r xr c1n xn d1 c1,r1xr1 c1n xn ,
(7)

c22 x2 c2r xr c2n xn d2 c2,r1xr1 c2n xn ,
a11x1 a12 x2 a1n xn b1, (1)a21x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1x1 am2 x2 amnxn bm ,
a11 a12 a1n b1
B


a21
a22
a2n
b2


3x3 x3 4
1
2x2 x3 4
x3 6
由此，易求得方程组的解为(9,1,6).
高斯消元法_2
高斯消元法实际上是反复地对线性方程组进行以下三种基 本变换： 1、互换两个方程的位置 2、把一个方程的倍数加到另一个方程 3、用一非零的数乘某一方程。 定义 变换1，2，3称为线性方程组的初等变换。 线性方程组的初等变换对应于增广矩阵的初等行变换 问题 初等变换能保证把方程组变成同解方程组？
2x1 x2 4x3 －1.
解：线性方程组对应的增广矩阵
2 －1 3 1
2 －1 3 1
2 －1 3 1
4 －2 5
4

R2 2R1,R3 R1 0
0
1
2

R3 R2 ,R2 0
0
1 2
2 －1 4 －1

am1
am2

amn
bm

由于用初等变换化方程组（1）成阶梯形就相当于 用初等行变换化增广矩阵B成阶梯形矩阵。因此，
解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行，
而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还 是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解。
利用矩阵求解线性方程组_2
2x1 x2 3x3 1, 例 解4x1 2x2 5x3 4,
例：解线性方程组
42xx1 12xx22
3x3 5x3
1 4
2x1 x2 4x3 1
线性方程组解的存在性和唯一性
问题1：方程组是否有解？ 问题2：若方程组有解，解是否唯一？ 答案
首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组， 把最后的一些恒等式“0＝0”去掉。 如果剩下的方程当中最后的一个等式是0等于一非 零的数，那么方程组无解，否则有解。 在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个 数r等于未知量的个数n，那么方程有唯一解； 如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量的个 数n，那么方程有无穷多个解。
如两个方程组有相同的解集合，它们称为同解的。
线性方程组的（1）的系数可以排成下面的一个表：
a11 a12

a21
a22


as1
as 2
a1n
a2
n


asn

而利用（1）的系数和常数项又可以排成下表：
a11 a12

a21
a22

as1 as2
a1n b1
第三章 线性方程组和向量空间
n元一次线性方程组_1
定义 n元线性方程组 其中
a11x1 a12 x2 a1n xn b1, a21x1 a22 x2 a2nxn b2 , as1x1 as2 x2 asn xn bs ,
x1, x2,, xn代表n个未知量， s是方程的个数， aij (i 1,2,, s, j 1,2,, n)称为方程组的系数， bj ( j 1,2,, s)称为常数项。
对它的增广矩阵作初等行变换
练习: P154 1 2)
n维向量空间_0
对于具体求解线性方程组，消元法是一个最有 效和最基本的方法。但有时候需要直接从原方 程组来看它是否有解，这样消元法就不能用了。 同时，用消元法化方程组成阶梯形，剩下的方 程的个数是否唯一决定的呢，这个问题也还没 有解决。这些问题要求我们对线性方程组还要 做进一步的研究。
高斯消元法_3
初等变换总能保证把方程组变成同解方程组. 下面只对第二种变换来证明
a11x1 a12x2 a1nxn b1,
(a11 ka21)x1 (a1nka2n )xn b1 kb2,
(1)a21x1 a22x2 a2nxn b2, (2)a21x1 a22x2 a2nxn b2,

as1x1 as2 x2 asn xn bs ,
as2 ' x2 asn ' xn bs ',
其中aij
'
aij

ai1 a11
a1 j , i

2,,
s,
j

2,, n.这样解方程组（1）的问题就归结为解方程组
a22 ' x2 a2n' xn b2 ',可证明，方程组（3）有解的充分必要条件是方程组（4）有解，
高斯消元法_4
a11x1 a12 x2 (1)a21x1 a22 x2
a1n xn a2n xn
b1, b2
,
Ri

ai1 a11
R1 ,(i2

,,s
a11 ) (3)

x1 a22
a12 ' x2
x2
a1n xn b1, a2n ' xn b2 ',，

crr xr dr cr,r1xr1 crn xn ,
由此给出xr1,, xn的一组值，就可唯一地给出x1, x2 ,, xr的值，
即给出（7）的一个解。
一般地，由（7）我们可以把x1, x2 ,, xr通过xr1,, xn表示出来， 这样的一组表达式称为方程组（1）的一般解，而xr1,, xn称为 一组自由未知量。
n元一次线性方程组_2
n元线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1, a21x1 a22 x2 a2nxn b2 , as1x1 as2 x2 asn xn bs ,
的一个解就是指由n个数k1, k2,, kn组成的有序数组（k1, k2,, kn）， 当（x1, x2,, xn）分别用（k1, k2,, kn）代入后,方程组中的每个等式都 变成恒等式，方程组的解的全体称为它的解集合。
3x3 x3 2
1
2x1 x2 2x3 5
2x2 x3 4
R2 2 R3

2
x1
x2 3x3 x3 6

1
R2 R3

2
x1 x2 2x2
3x3 x3 4
1
2x2 x3 4
x3 6
1 4
R2

2 R1 ,R3


R1
2
x1 x2 4x2
3x3 x3 2
1
2x1 x2 2x3 5
2x2 x3 4
R2 2 R3

2
x1
x2 3x3 x3 6

1
R2 R3

2
x1 x2 2x2
P上的n维行向量:有序数组 (a1, a2 ,, an )
a1
P上的n维列向量:有序数组aan2