2015中考数学总复习专题二：中点类

专题二中点类

联想融通：试试看，与中点有关的知识与题目能想起多少？

中点等分线段，是线段的对称中心、是线段中垂线的垂足，进而得到等腰三角形三线合一、垂径定理、中点加平行可出现全等三角形、相似三角形，过中点的中线等分该三角形面积、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、由两条同圆直径共中点得矩形；由圆弧中点可得相等的圆心角、圆周角、角平分线......

本单元只对“中线等分三角形面积、等腰三角形底边上中线、直角三角形斜边上中线、见中点造全等、见中点作中位线”五个方面进行研究.

一、中线等分三角形面积

我们知道：对称轴平分轴对称图形的面积、过对称中心的直线平分中心对称图形的面积.下面研究的是“三角形的中线平分三角形面积”的用法.

解法归一：遇等分多边形面积题目时，最常用的方法是把多边形先转化为三角形，再借助中线等分三角形面积来解决.

例3 -1 -1 （1）你用三种不同的方法把图3-l-l①~图3-l -1③中△ABC的面积四等分．

图3-l-l①图3-l-1②图3-l-1③

交流分享：三角形中线等分三角形面积！连续使用中线，可把一个三角形的面积n等分.

（2）请你在图3-1-1④~3-1-1⑥中用三种不同的方法把梯形ABCD的面积二等分.

图3-l-2④图3-l -2⑤图3-l -2⑥

交流分享：（1）先把多边形转化为三角形，再利用中线，可等分一个多边形的面积；（2）借助一腰中点，把梯形转化为一个与它面积相等的三角形，是梯形常用的辅助线之一.

例3-1-2 （1）如图3-1-2①，过点A画一条平分△ABC面积的直线；（2）如图3-1-2②，已知l1∥l2，点E、F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO面积相等的理由；

（3）如图3-1-2③，点M在△ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线，写出画法．

图3-1-2①图3-1-2②图3-1-2③

交流分享：解决（3）需要把（1）、（2）结合起来用.即从图中给定的一点等分图形的面积时，先用中线找出一种分割法，再在此基础上利用“平行线下的同底等高面积相等”进行等积转化，根据定点的不同，可得不同的面积等分线.

体验与感悟03-1

1、定义：“把一个平面图形的面积分成相等的两部分的直线叫做这个图形的一条面积等分线．”

（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的是__________；

（2）平行四边形的一条面积等分线是________；

（3）请你尝试用不少于三种方法画出下列图形面积等分线．

分享交流：当进行多边形的面积问题探究遇到困难时，将它转化为三角形，再去思考，常有奇效.

2、如图3-1-2，已知△ABC的面积为a.延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，延长边AB到点F,使CD=BC，AE=CA，BF=AB,连接DE、DF、FE，得到△DEF，此时我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的____________倍．扩展了n次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的____________倍．

图 3-1-3 图3-1-4①

3、如图3-1-4中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点.

（1）在图3-1-4①中，四边形EBFD的面积与四边形ABCD的面积关系是；

（2）在图3-1-4②中，如果阴影部分的面积为20，则S

1+S

2

+S

3

+S

4

= __________．

图3-1-4②

4、定义：我们把被三角形一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.如图3-1-5①，在△ABC 中，CD 是边上的中线，那么△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，并且BCD ACD S S △△=.

应用：如图3-1-5②，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 在AD 上，点F 在BC 上，AE=BF ，AF 与BE 交于点O.

（1）求证：△AOB 与△AOE 是“友好三角形”； （2）连接OD ，若△AOE 和△DOE 是“友好三角形”，求四边形CDOF 的面积.

图3-1-5① 图3-1-5②

探究：在△ABC 中，∠A=30°，AB=4，点D 在线段AB 上，连接CD ，△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，将△ACD 沿CD 所在直线翻折，得到CD A '△，若CD

A '△与△ABC 重合部分的面积等于△ABC 面积的4

1

，请直接写出△ABC 的面积.

提醒：遇等分多边形面积怎么下手？

二、见直角三角形斜边中点与等腰三角形底边中点作中线

1、连结直角三角形斜边上的中线后，得两个等腰三角形、三条等线段，并且三顶点共圆；

2、特别地，等腰直角三角形斜边上中线把它分为两全等的等腰直角三角形，出现4个45°角、2组等边、2组长度为1：2的边；

3、逆用可以判定一个三角形是直角三角形.

解法归一：见直角三角形斜边上的中点和等腰三角形底边的中点，连中线，找边、角、线段的相等关系，或借助三点共圆进行角转化.

例 3-2-1 如图3-2-1，四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，M 是AC 的中点，MN ⊥BD 于N 点，求证：BN=DN ．

图3-2-1

交流分享：连结MB、MD的一个等腰三角形.

例3-2-2 如图3-2-2，在Rt△POQ中，OP=OQ=4.把三角尺的直角顶点放在斜边PQ中点M处，以M为旋转中心旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点A、B．

（1）求证：MA=MB；

（2）连接AB.探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值.若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

图3-2-2

交流分享：（1）连结MO，即见斜边的中点，作斜边上的中线；（2）见含二次整式的最值，用二次函数性质，或用完全平方公式配方.

例3-2-3 如图3-2-3，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD，求证：BF=CD.

图3-2-3