高一第二学期三角函数与数列综合试卷(含答案)
三角函数、向量、集合试题及详解
高一下学期数学测试（6）1．已知集合{|0}A x x =≥，1ln B xy x x ⎧⎫⎛⎫==-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，则()A B =R I ð（）A ．()1,0-B ．(,0)-∞C ．()2,1--D ．(,1)-∞-【答案】A 【详解】由()()111001x x x x x x+-->⇒>⇒>，或10x -<<，因为{|0}A x x =≥，所以A =R ð{|0}x x <，所以()A B =R I ð()1,0-，故选：A2．已知复数z 满足(1i)2i z +=，则z 的虚部为（）A ．1B ．1-C ．iD ．i-【答案】B【详解】因为(1i)2i z +=，所以2ii(1i)1i 1iz ==-=++，所以1i z =-，故z 的虚部为1-．故选：B.3．已知()()1,,2,4a m b ==- ，若//a b r r，则m =（）A ．1B ．2-C ．0D ．1-【答案】B【详解】由向量()()1,,2,4a m b ==- ，//a b r r，412m ∴⨯=-⨯，解得2m =-.故选：B.4．有下列四种叙述：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；④棱台的侧棱延长后必交于一点.其中正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【详解】对于①：当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，①错；对于②③：如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，②③错；对于④：棱台结构特征知：侧棱延长后必交于一点，④正确.故选：B5．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城，有学者根据公布数据建立了某地区某种疾病累计确诊病例数()(I t t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.24531et K I t --=+，其中K 为最大确诊病例数．当()0.8I t K =时，则t 约为（）()ln 4 1.39≈A ．48B ．72C ．63D ．59【答案】D【详解】由题意得：0.24(53)()0.81e t K I t K --==+，即0.24(53)e 41t --=，两边取对数得10.24(53)lnln 4 1.394t --==-≈-，即0.24(53) 1.39t -≈，解得59t ≈，故选：D.6．如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长3SA =，一只蚂蚁从A 点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A ，则蚂蚁爬行的最短距离为（）A ．23B ．33C ．6D ．2π【答案】B【详解】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，一只蚂蚁从A 点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A 的最短距离为AA '，设ASA α'∠=，圆锥底面周长为2π，所以¼32πAA α=='⨯，所以23πα=，在SAA ' 中，由3SA SA ='=，得222cos AA SA AA SA SA α⋅''=+⋅'-22133233332⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭B ．7．如图，一块三角形铁片ABC ，已知4AB =，43AC =5π6BAC ∠=，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点D ，1AD =，6BAD π∠=.如果过点D 作一条直线分别交AB ，AC 于点E ，F ，并沿直线EF 裁掉AEF △，则剩下的四边形EFCB 面积的最大值为（）A ．33B ．23C 6D 3【答案】A【详解】设()(,,0,4,0,43AE x AF y x y ==∈∈则1π14π1sin 1sin 2626AEF ADE ADF S S S x y =+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ =15πsin 26xy ⨯化简得：323,x xy xy +=≥3xy ∴≥3x =，即2,3y x ==134AEF S xy =≥ 而15π443sin 4326ABC S =⨯⨯= 当AEF △面积的最小时，剩下的四边形EFCB 面积的最大为43333=故选：A8．在ABC 中，已知2AD DC =，3AC BC =，sin 3sin BDC BAC ∠=∠，当||CA CB AB ⋅- 取得最小值时，ABC 的面积为（）A 34B 52C ．38D 3516【答案】D【详解】设BC n =，3AC BC = ，3AC n ∴=，2AD DC =uuu r uuu rQ ，2223AD DC AC n ∴===，在BDC 中，sin sin BC BD BDC C =∠，在ABC 中，sin sin BC ABBAC C=∠，sin sin BAC BD BDC AB∠∴=∠,sin 3sin BDC BAC ∠=∠ ，13BD AB ∴=，设BD m =，3AB m ∴=，πBDC BDA ∠+∠= ，()cos cos πcos BDC BDA BDA ∴∠=-∠=-∠，()222222(2)3222m n m m n n mn m n+-+-∴=-⨯2223n m ∴=，2232n m ∴=，2223m n ∴=()222222||3cos 3(3)3193333()23324n n C C n m n m m m A B AB n n C m m n ⋅-=⨯-+-⋅-=-=--⨯= ，当12m =时，||CA CB AB ⋅- 取得最小值，238n ∴=，22222cos 23n n m C n +-== ，又22sin cos 1C C += ，22225sin 1cos 139C C ⎛⎫∴=-=-=⎪⎝⎭∴在ABC 中5sin 3C =213533533sin 522328316ABC S n n C n ∴=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯= 故选：D.9．如图，长方体1111ABCD A B C D -被平面BCFE 截成两个几何体，其中E ，F 分别在11A B 和11D C 上，且11EF B C ∥，则以下结论正确的是（）A ．EF BC ∥B ．AD ∥平面BCFEC ．几何体11AA EB DD FC -为棱台D ．几何体11BBE CCF -为棱柱【答案】ABD【详解】由11//B C BC 及11//EF B C ，得//EF BC ，则A 正确；由//AD BC ，BC ⊂平面BCFE ，AD ⊄平面BCFE ，得//AD 平面BCFE ，则B 正确；以两个平行的平面1AA EB 和1DD FC 为底面，其余四面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都平行，符合棱柱的定义，则C 错误（由于11,,,AA DD CF BE 延长后不交于一点，则几何体11AA EB DD FC -不为棱台）；以两个平行的平面1BB E 和1CC F 为底面，其余三面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都平行，符合棱柱的定义，则D 正确，故选：ABD 10．下列说法正确的是（）A ．若a b a c ⋅=⋅r r r r，且0a ≠ ，则b c= B ．若1z ，2z 为复数，则1212z z z z ⋅=⋅C ．设a ，b是非零向量，若||||a b a b +=- ，则0a b ⋅= D ．设1z ，2z 为复数，若1212z z z z +=-，则120z z =【答案】BC【详解】A ：a b a c ⋅=⋅r r r r 且0a ≠ ，只能说明cos ,cos ,b a b c a c =，但,b c 不一定相等，错误；B ：令1i z a b =+，2i z c d =+，,,,R a b c d ∈，12(i)(i)()i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++，则12z z =12z z ==，则12z z ⋅==所以1212z z z z ⋅=⋅，正确；C ：由22||a b a b +=- ，则222222aa ab b a b b-= ，即0a b ⋅= ，正确；D ：复数11i z =+，21i z =-，满足1212z z z z +=-，但122z z =，错误；故选：BC11．已知2π()12cos (0)3f x x ωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，给出下列说法，其中正确的有（）A ．若()()1211f x f x ==-，，且12min ||πx x -=，则2ω=；B ．存在()0,2ω∈，使得()f x 的图象右移π6个单位长度后得到的图象关于y 轴对称；C ．若()f x 在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤⎥⎝⎦【答案】CD【详解】 22ππ()cos 2sin 2π12cos 363f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴周期2ππ2T ωω==．对于A ：由条件知，周期为2π，∴12ω=，故A 错误；对于B ：函数图象右移π6个单位长度后得到的函数为ππsin 236y x ωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其图象关于y 轴对称，则ππππ()362k k ω-+=+∈Z ，13()k k ω=--∈Z ，故对任意整数k ，(0,2)ω∉，故B 错误；对于C ：由[]0,2πx ∈，所以πππ24π666x ωω≤+≤+，所以π7π4π8π6ω≤+<，解得41472424ω≤<，故C 正确；对于D ：因为ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππππ236626x ωωω-+≤+≤+，所以πππ362πππ262ωωω⎧-+≥-⎪⎪⎨+≤⎪⎪>⎩，解得203ω<≤，故D 正确．故选：CD ．12．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且b =，B 的角平分线交AC 于D，BD则（）A ．π6B =B ．ππ62C <<C．c <<D ．1624ac <≤【答案】BCD【详解】因为BD 是角ABC ∠的平分线，所以2BABD CBD ∠=∠=.由题意可知，ABC ABD ACD S S S =+ ,即111sin sin sin 222ac B aBD ABD cBD CBD =∠+∠,所以(112sin cos 22222B B Bac a c ⋅⋅=+，即2sin cos 222B B B =，因为ABC 为锐角三角形，所以π02B <<,所以π024B <<，所以sin 02B ≠，所以2cos 2B =cos 2B =所以π26B =，即π3B =,故A 错误；在ABC 中，πA B C ++=,即2π3A C =-，因为ABC 为锐角三角形，所以2ππ032π02C C ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得ππ62C <<，故B 正确；由正弦定理得sin sin b c B C=,即sin sin 2b Cc CB ==,因为ππ62C <<，所以1sin 12C <<，即C <<c <<C 正确；由正弦定理2sin b R B ==2sin ,2sin ,a R A A c R C C ====所以2π2π2π32sin sin 32sin sin 32sin cos cos sin sin 333ac A C C C C C C ⎛⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21132cos sin 162cos 282222C C C C C ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π16sin 286C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为ππ62C <<，所以ππ5π2666C <-<，所以1πsin 2126C ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，所以π1616sin 28246C ⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭，所以1624ac <≤，故D 正确.故选：BCD.13．已知复数22(34)(224)i m m m m +-+--(R)m ∈是纯虚数，则m =___________.【答案】1【详解】因为22(34)(224)i m m m m +-+--(R)m ∈是纯虚数，所以223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =.故答案为：1.14．一艘轮船航行到A 处时看灯塔B 在A 的北偏东75︒，距离C 在A 的北偏西30︒，距离为海里，该轮船由A 沿正北方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏东60︒方向，则cos CDA ∠=__________．【答案】12【详解】如图，在ABD △中，75,60,BAD ADB AB ∠=︒∠=︒=180756045B =︒-︒-︒=︒，因为sin sin AB ADADB B=∠，所以224AD =，在ACD中，30,24CAD AC AD ∠=︒==，则2222cos 144CD AC AD AC AD CAD =+-⋅∠=，所以12CD =，则2221cos 22CD AD AC CDA CD AD +-∠=⋅.故答案为：12.15．定义在R 上的单调函数()f u 满足：()()()f u v f u f v +=+，若()()()2sin sin cos 3F u f a u f u u =++-在()π,0-上有零点，则a 的取值范围是______________【答案】4a ≤-【详解】令0u v ==,则(0)2(0)f f =,则(0)0f =；再令v u =-,则有()()()0f u u f u f u -=+-=，且()f x 定义域为R.()f x ∴是奇函数.()()()2sin sin cos 3F u f a u f u u =++-在()π,0-上有零点.()()2sin sin cos 30f a u f u u ∴++-=在()π,0-上有解；()()()22sin sin cos 3sin cos 3f a u f u u f u u ∴=-+-=--+在()π,0-上有解；又∵函数()f x 是R 上的单调函数,2sin sin cos 3a u u u ∴=--+在()π,0-上有解.()π,0u ∈- ，sin 0;u ∴≠；22sin cos 3sin sin 22sin 1sin sin sin u u u u a u u u u--+-++∴===+-；令[)sin ,1,0t u t =∈-,则21a t t =+-；2y t t=+在[)1,0-上单调递减,3y ∴≤-，4a ≤-.故答案为：4a ≤-.16．已知三角形ABC 中，4,5,6,AB AC BC I ===是ABC 的重心，P 是IBC 内部（不含边界）的动点，若AP AB AC λμ=+（,R λμ∈），则λμ+的取值范围________.【答案】2,13⎛⎫⎪⎝⎭【详解】如图，以点A 为原点建立平面直角坐标系，1625361cos 2458A +-==⨯⨯，则sin 8A =，则()()50,0,4,0,8A B C ⎛ ⎝⎭，因为I 是ABC 的重心，所以5040088,33I ⎛++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，即3724I ⎛ ⎝⎭，直线BC的方程为)4y x =-0x y +，设(),P x y ，P 在IBC 内部（不含边界），()()5,,4,0,,88AP x y AB AC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，因为AP AB AC λμ=+ ，即()()5,4,0,88x y λμ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭所以5488x y λμμ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以14x y y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则14x y λμ+=，令14z x y λμ=+=，则99y x z =-+，由图可知当直线99y x z =-+过点()4,0B 时，max 1z =，当直线y x z =过点3724I ⎛ ⎝⎭时，min 23z =，所以λμ+的取值范围是2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：2,13⎛⎫⎪⎝⎭17．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()cos ,1sin ,cos ,22sin ,m x x n x x x =+=+∈R．(1)若m n ⊥，求sin x 的值；(2)若()f x m n =⋅ ，且π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数()f x 的值域．【详解】（1）∵()()cos ,1sin ,cos ,22sin ,m x x n x x m n =+=+⊥，∴22cos 22sin 2sin 2sin 0m n x x x x ⋅=++++= ．∴2sin 4sin 30m n x x ⋅=++=，解得sin 1x =-或sin 3x =-（舍）．∴sin 1x =-．（2）由（1）知()2sin 4sin 3f x x x =++，∴()()2sin 21f x x =+-．∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()sin 0,1x ∈．∴()sin 22,3x +∈．∴()38f x <<．∴函数()f x 的值域为()3,8．18．已知关于x 的方程2330()x ax a a --=∈R 的两个虚数根为12,x x ．(1)若12x x =，求1x 的取值范围；(2)若121x x -=，求实数a 的值．【详解】（1）因为关于x 的方程2330()x ax a a --=∈R 的两个虚数根为12,x x ，29120a a ∆=+<，则403a -<<，123x x a +=，123x x a ⋅=-，且复数12,x x 互为共轭复数，即21x x =，若12x x =，111123x x x x x a =-，因为403a -<<，所以032a <-<，所以1x 的取值范围是()0,2；（2）()()22221212121214912x x x x x x x x a a =-=-=+-=+，因为29120a a +<，所以29121a a +=-，所以2333a =-±.19．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为222,,,cos cos cos 1sin sin a b c A B C B C --=-+.(1)求A ；(2)若6b c +=，求ABC 的中线AM 的最小值.【详解】（1）因为222cos cos cos 1sin sin A B C B C --=-+所以222sin sin sin sin sin A B C B C -++=，由正弦定理可得222a b c bc -++=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，因为()0,A π∈，则3A π=；（2）由题意()12AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，()222211()2cos 44AM AB AC AB AB AC BAC AC∠=+=++()22211()44b c bc b c bc ⎡⎤=++=+-⎣⎦22127()424⎡⎤+⎛⎫≥+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦b c b c ，则33AM ≥ ABC 的中线AM 的最小值为332（当且仅当3==b c 取最小值）；综上，AM 33220．在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直（满足90BAD ∠=︒），灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且120ABC ∠=︒，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD ∠=︒，路宽12m AD =．设灯柱高()m AB h =，()3045ACB θθ∠=︒≤≤︒．(1)当30θ=︒时，求四边形ABCD 的面积；(2)若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．【详解】（1）当30θ=︒时，1801203030BAC ︒︒︒︒∠=--=，所以AB BC =，又9060CAD BAC ∠︒∠=︒=-所以ACD 是等边三角形，所以12AC AD ==，所以在ABC 中，sin sin sin AB BC ACACB BAC ABC==∠∠∠，即3AB BC ==所以11433sin1201212sin6048322ABC ACD ABCD S S S =+=⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒⨯= 四边形（2）18012060BAC θθ∠=︒--=︒︒-，9030CAD BAC θ∠︒-=+︒=∠，()180630900ADC θθ︒︒∠=-=︒-︒+-，在ACD 中，由正弦定理得sin sin AD AC ACD ADC∠∠=，所以()12sin60sin 90AC θ=︒︒-所以AC θ=在ABC 中，由正弦定理得sin sin AC BCABC BAC=∠∠()sin 60BC θ=︒-，所以()[]216cos sin 6016cos sin60cos cos60sin 8sincos BC θθθθθθθθ=-=︒︒-︒=-1cos24sin2444sin22θθθθ+=-=-所以()8sin24sin24sin2S AB BC θθθθθ=+=++-=++()18sin2cos28sin 26022θθθ⎛⎫=++=++ ⎭︒⎪⎪⎝因为3045θ︒≤≤︒，所以120260150θ︒≤+︒≤︒，所以当260150θ+︒=︒，即45θ=︒时，S取最小值4+，故S 关于θ的函数表达式为())8sin 2603045S θθ=++≤≤︒︒︒，S最小值为24+.21．定义非零向量(),OM a b = 的“相伴函数”为()()sin cos f x a x b x x =+∈R ，向量(),OM a b =称为函数()()sin cos f x a x b x x =+∈R 的“相伴向量”（其中O 为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S ．(1)设()()ππ3cos 63h x x x x ⎛⎫⎛⎫++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，请问函数()h x 是否存在相伴向量OM ，若存在，求出与OM 共线的单位向量；若不存在，请说明理由．(2)已知点(),M a b满足：(ba∈，向量OM 的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值，求0tan 2x 的取值范围．【详解】（1）因为()ππ3cos 63h x x x ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππcos cos sin sin 3cos cos sin sin 6633x x x x ⎫⎛⎫=-++⎪ ⎪⎭⎝⎭ππππcos sin 3cos cos 3sin sin 6633x x x x =-++33cos sin sin cos sin 3cos 2222x x x x x x=+++，所以，函数()h x存在相伴向量，)OM =，所以，与OM共线的单位向量为)12OM OM⎛== ⎝⎭或)1,2OM OM ⎛-==- ⎝⎭.（2）OM 的“相伴函数”()()sin cos ,tan b f x a x b x x aϕϕ=+=+=，因为()f x 在0x x =处取得最大值，所以，当0π2π,Z 2x k k ϕ+=+∈，即0π2π,Z 2x k k -ϕ=+∈时，()f x有最大值0πsin sin 2πcos 2x k -ϕϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，0πcos cos 2πsin 2x k -ϕϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以0cos 1tan sin tan x ϕϕϕ==，因为(tan ba ϕ=∈，1,tan 3ϕ⎫∈+∞⎪⎪⎣⎭，所以0cos 1tan sin t ,3n a x ϕϕϕ⎫∈+∞⎪⎪⎣⎭==，所以020002tan 2tan 211tan tan tan x x x x x ==--，令0,tan 3t x ⎫∈+∞⎪⎪⎭=⎣，则0011tan tan x t x t -=-，因为1,y y t t ==-均为,3⎫+∞⎪⎪⎣⎭上的单调递减函数，所以1y t t =-在,3⎫+∞⎪⎪⎣⎭上单调递减，所以0011tan ,tan 3x t x t ⎛-=-∈-∞ ⎝⎦，所以，())00202tan 2tan 2,011tan tan tan x x x x x ==∈-∞+∞-- ，所以，0tan 2x 的取值范围为()),0-∞⋃+∞.22．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，边长均为正整数，且2A B =.(1)若4b =，求a ；(2)若角C 为钝角，求△ABC 的周长的最小值.【详解】（1）由2A B =，可得sin sin 22sin cos A B B B ==，则22162cos 8cos 82a c a b B B ac+-===⨯，整理得：()()()24444a c c c -=+-，若4c =，则B C =，2,A B A B C π=++=，解得,24A B C ππ===，此时a N +=，不满足题意；则4c ≠，且()244a c =+；又()30,A B B π+=∈，故可得10,,cos ,132B B π⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()8cos 4,8a B =∈，又a 为正整数，故5a =或6或7，当5a =时，由()244a c =+可知，c 不是整数，不满足题意；当6a =时，由()244a c =+可知，5,4c b ==，满足题意；当7a =时，由()244a c =+可知，c 不是整数，不满足题意.综上所述：6a =.（2）根据正弦定理可得：sin sin sin a b c A B C==，即()sin 2sin sin 3sin 3a b c c B B B B π===-，()()222sin cos sin sin cos 22cos sin 4cos 1a b c c B B B B B B B B ===+-则22cos 4cos 1a cb B B ==-，由2cos a b B =可得：cos 2a B b =代入24cos 1c b B =-，可得：2a cb b=-；因为C 为钝角，即32A B B πππ--=->，解得6B π<，故cos 2B ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则)2cos ,2a b B b =∈2a b <<，因为a 为整数，当1,2,3b =时，都没有a 满足条件，当4b =时，此时8a <<，此时满足要求的a 的最小值为7，注意到2a c b b=-，则2a b 也为整数，当7,4a b ==时不满足，则将,a b 扩大整数倍，当扩大4倍得到28,16a b ==，此时249a b =满足要求，则当28,16,33a b c ===时，是满足题意的三角形的最短边长，故三角形ABC 周长的最小值为28163377++=.故△ABC 周长的最小值为77.。
高一数学三角函数综合测试题
高一数学三角函数综合测试题姓名 学号 一．选择题1.设0<a ，角α的终边经过点)4,3(a a P -，那么ααcos 2sin +的值等于（ ） A.52 B.32- C.32 D.52- 2.设是第二象限角，则（ ）A.12tan>θB.12tan<θC.2cos2sinθθ> D.2cos2sinθθ<3.为了得到函数R x x y ∈+=),32cos(π的图像，只需把函数)2cos(x y =的图像（ ）A.向左平行移动3π个单位长度 B.向右平行移动3π个单位长度 C.向左平行移动6π个单位长度 D.向右平行移动6π个单位长度4.若x 2log 1sin -=θ，则x 的取值范围是（ ）A.]4,1[B.]1,41[ C.]4,2[ D.]4,41[ 5.下列不等式中，正确的是（ ）A.53tan 45tanππ< B.)7cos(5sin ππ-> C.1sin )1sin(<-π D.)52cos(57cos ππ-< 6.若点)sin ,sin (tan ααα-P 在第三象限，则角α的终边必在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.已知函数)sin(ϕω+=x A y ，在同一周期内，当12π=x 时，取最大值4=y ；当127π=x 时，取最小值4-=y ，那么函数的解析式为（ ） A.)32sin(4π+=x y B.)32sin(4π+-=x y C.)34sin(4π+=x y D.)34sin(4π+-=x y8.函数)0(t an )(>=ωωx x f 图像的相邻两支截直线4π=y 所得线段长为4π，则)4(πf 的值是（ ） A.0 B.1 C.1- D.3 9.以下命题正确的是（ ）A.βα,都是第一象限角，若,cos cos βα>则βαsin sin >B.βα,都是第二象限角，若,sin sin βα>则βαtan tan >C.βα,都是第三象限角，若,cos cos βα>则βαsin sin >D.βα,都是第四象限角，若,sin sin βα>则βαtan tan >10.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（ ）A .24sin()33x y π=+ B .224sin()33x y π=- C .24cos()33x y π=+ D .224cos()33x y π=- 11.若实数x 满足㏒x2=2+sin θ,则 =-++101x x ( )A. 92-xB. x 29-C.11D. 9 12.已知ABC ∆是锐角三角形，B A P sin sin +=,B A Q cos cos +=,则 A. Q P < B. Q P > C. Q P = D.Q P ,关系不能确定 二、填空题13.终边落在y 轴的角α的集合是 。
(完整word版)高一下学期解三角形数列综合测试题.docx
一、选择题1.在ABC中，已知 a 6，b 4， C120 ,则 c的值为A.76B. 76C.28 D . 282.观察数列 1，1，2，3，5，8，x，21，34，55的规律， x应等于A.11B.12C.13D.143.在 ABC 中，已知 a6， C60 , c 3，则 A的值为A.45B.135C.45 或135D.60 或1204..已知等差数列{ a n }中， a5a11 16， a41，则 a12的值为A.15B.30C.31D.645.某船开始看见灯塔在南偏东 30 方向，后来船沿南偏东 60 的方向航行 90海里后，看见灯塔在正西方向，这时船与灯塔的距离为A.302海里B.30 3海里C.453海里D.452海里已知等差数列{ a n }中，a1a3，a8，则的值为6.. 4 a420a15A.26B.30C.28D.367..已知 { a n } 为等差数列， S n是其前 n项和 , 且S1122，则 tan a6的值为3A. 3B.3 C .3 D .33在 ABC中，已知 a， B2,当 ABC的面积等于 23时，sin C等于8.43A.7B.14C.14 D .2114147149.在ABC 中，若a7, b3, c8, 则面积为（）A 12B 21 C.28 D .6 32等差数列 an }的前n项和为 S ，若 a5,a a14,则使S 取最小值的 n为10..{n1410nA.3B.4C.5D.6在ABC中，已知a，，13,则最大角正弦值等于11.7 b8 cosC14A.3B. 2 3C .3 3D .4 37777112．等比数列{ a n}前n项乘积记为M n,若M1020, M 2010,则 M 30（）A． 1000B． 40251 C．D．4813．某人朝正方向走x km 后，向右 150°，然后朝新方向走3km ，果他离出点恰好 3 km，那么x的（）A .3B . 2 3 C. 2 3或3 D. 314．在等差数列｛ a n｝中，前 n 和 S n，若 S16— S5 =165，a8a9 a16的是（）A．90B．90C． 45D．4515．数列{ a n}的前 n 和S n，令T n S1S2 L S n，称 T n数列 a1， a2，⋯⋯，na n的“理想数” ，已知数列 a1， a2，⋯⋯， a500的“理想数” 2004 ，那么数列2，a1， a2，⋯⋯， a500的“理想数” （）A． 2002B．2004C． 2006D． 2008二、填空设为等差数列a n 的前n项和若S33, S624,则S916. S n.在等比数列中，是方程2的两个根，则17.a n a5 , a97 x18x7 0a7 ___在ABC 中，B60，＝，ABC外接圆半径R73 ，则18.S ABC1033ABC 的周长为19 已知ABC 的三边分别为 a, b, c; 且 3a 23b 2 - 3c22ab0,则 sin C20．已知△ ABC的三分是a, b， c ，且面 S ＝a2b2 c 2，角 C ＝_____4a c21．若 a、 b、 c 成等比数列， a、x、 b 成等差数列， b、y、c 成等差数列，x y 三. 解答在ABC 中，若sin22B sin2，b2, c求及a.22. A sin C sinBsinC 4. A23.在 ABC 中，若tan A2c b ,求A的值. tan B b224．（ 12 分）有四个数：前三个成等差数列，后三个成等比数列。
高一第二学期三角函数与数列综合试卷(含答案)
高一第二学期三角函数与数列综合试卷（含答案）高一数学2016．4．1一、填空题（本大题共14题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷．．．相应位置上）. 1. 已知3cos()25πα+=，且3(,)22ππα∈，则tan α的值为_____________ . 2. 已知点(tan ,cos )M 在第二象限，则角的终边在第_____________象限.3. =-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-απαπα222sin 6sin 6sin _____________ . 4. 已知1tan()42πθ-=，则sin cos θθ=_____________ . 5. 设在各项为正数的等比数列{}n a 中，若6542a a a =+，则公比q =_____________ .6. 已知a n =nn n 10)1(9+（n ∈N *），则数列{a n }的最大项是第_____________项. 7. 函数cos y x =的图象向左平移3π个单位，横坐标缩小到原来的12，纵坐标扩大到原来的3倍，所得的函数图象解析式为_____________ .8. 已知数列{}n a 的前n 项和131n n S +=-，则n a =_____________ .9. 若}{n a 是等差数列，首项01>a ，020152014>+a a ，020152014<⋅a a ，则使前n 项和0<n S 成立的最小正整数n 是_____________ .10. 在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，若222b c a +=，且ba=C ∠=_____________ . 11. 某同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前2011个圈中的●的个数是_____________ . 12. 已知,αβ均为锐角,且3sin 5α=,1tan()3αβ-=-.则cos β的值为_____________ . 13.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，c a =且满足0cos )sin 3(cos cos =-+B A A C ，若点O 是ABC ∆外一点，42==OB OA ，则四边形OACB 的面积的最大值为 _____________ .14. 我们知道，如果定义在某区间上的函数()f x 满足对该区间上的任意两个数1x 、2x ，总有不等式1212()()()22f x f x x xf ++≤成立，则称函数()f x 为该区间上的向上凸函数（简称上凸）. 类比上述定义，对于数列{}n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：212n n n a a a +++≤成立，则称数列{}n a 为向上凸数列（简称上凸数列）. 现有数列{}n a 满足如下两个条件： （1）数列{}n a 为上凸数列，且1101,28a a ==；（2）对正整数n （*,101N n n ∈<≤），都有20n n a b -≤，其中2610n b n n =-+.则数列{}n a 中的第五项5a 的取值范围为_____________ .二、解答题（本大题共6题，共90分，请在答题卷．．．指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题14分)如图，在四边形ABCD 中，AD =8，CD =6，AB =13，∠ADC =90°，且50AB AC ⋅=． （1）求sin ∠BAD 的值；（2）设△ABD 的面积为S △ABD ，△BCD 的面积为S △BCD ，求ABDBCDS S ∆∆的值．16. (本小题14分)已知向量(4,5cos ),(3,4tan )a b αα==- （1）若//a b ，试求sin α； （2）若a b ⊥，且(0,)2πα∈，求cos(2)4πα-的值.ACDB已知函数()221sin cos 42f x x x π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，x R ∈ (1)求函数()f x 最值与最小正周期； (2)求使不等式()32f x ≥[]()0,x π∈成立的x 的取值范围.18. (本小题16分)已知数列{n a }的首项111,21n n a a a +==+． (1)求证:{}1n a +是等比数列； (2)求数列{}n na 的前n 项和n S ．已知数列}{n a 满足11=a ，21=-+n n a a ，等比数列}{n b 满足11a b =，144+=a b ． （Ⅰ）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n S ．20. (本小题16分)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，． （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式； （2）设数列{}n b 的通项公式为nn n a b a t=+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，， (3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由.1. 342. 四3. 214.3105. 26. 8或97. 3cos(2)3y x π=+.8. 81223n nn a n =⎧=⎨≥⋅⎩ 9. 4029 10. 0010515或 11. 61 12. ∵π,(0,)2αβ∈,从而ππ22αβ-<-<.又∵1tan()03αβ-=-<,∴π02αβ-<-<∴sin()αβ-=(2)由(1)可得,cos()αβ-=∵α为锐角,3sin 5α=,∴4cos 5α=∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-=43(55+⨯ 13. 【命题立意】三角恒等变换，余弦定理，考查分析能力，转化能力，较难题． 【解析】因为0cos )sin 3(cos cos =-+B A A C ， 所以0cos sin 3cos cos )cos(=-++-B A B A B A ， 所以3tan =B ，因为π<<B 0，所以3π=B ，因为c a =，所以ABC ∆为等边三角形，设θ=∠AOB ，所以23||21sin ||||212⨯+⋅=+=∆∆AB OB OA S S S ABC AOB OACB θ )cos ||||2|||(|43sin 242122θθOB OA OB OA ⋅-++⨯⨯⨯= )cos 24224(43sin 422θθ⨯⨯-++= )cos 45(3sin 4θθ-+=35)3sin(8++=πθ，因为πθ<<0，所以3433ππθπ<+<，所以1)34sin(23≤+<-πθ， 所以四边形OACB 的面积的最大值为358+． 14. []13,2515. 解（1）在Rt △ADC 中，AD =8，CD =6，则AC =10，43cos ,sin 55CAD CAD ∠=∠=．又∵50AB AC ⋅=，AB =13，∴5cos 13||||AB AC BAC AB AC ⋅∠==．∵0180BAC <∠<，∴12sin 13BAC ∠=． ∴63sin sin()65BAD BAC CAD ∠=∠+∠=． （2）1252sin 25BAD S AB AD BAD ∆=⋅⋅∠=，1sin 602BAC S AB AC BAC ∆=⋅⋅∠=，24ACD S ∆=， 则1685BCD ABC ACD BAD S S S S ∆∆∆∆=+-=，∴32ABD BCD S S ∆∆=．16. 已知向量(4,5cos ),(3,4tan )a b αα==- （Ⅰ）若//a b ，试求sin α （Ⅱ）若a b ⊥，且(0,)2πα∈，求cos(2)4πα-的值解：（1）由b a //得，0tan 16cos 15=+αα，35sin =α（舍）或53sin -=α （2）由b a ⊥得，0tan cos 2012=⋅-αα，53sin =α，又)2,0(πα∈，54cos =α2572cos ,25242sin ==αα， 25031)42cos(=-πα17. （1）()1cos 21cos 212222x x f x π⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭=++ =113sin 2cos 2222x x ++=3sin 222222x x ⎫++⎪⎪⎝⎭=32242x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ∴ ()max 32f x +=， ()min 32f x -=， T π= （2）由()32f x ≥得：2024x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，∴sin 204x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，∴2224k x k ππππ≤+≤+，()388k x k k Z ππππ-≤≤+∈又[]0,x π∈，∴x 的取值范围为370,,88πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦18. 【命题立意】本题重点考查了等比数列的定义、等比数列的求和公式、错位相减求和等知识，属于中档题．【解析】（1）∵121+=+n n a a ， ∴)1(211+=++n n a a ， 则2111=+++n n a a 为常数，∴{}1n a +是等比数列（2）∵11=a ,可得n n a 21=+，∴12-=n n a ， 则n -n na n n 2⋅=，2231231112112222212222222222(12)212(1)22(1)22122n n n n n n n n n n n n T n T n T n n n n n S n +++++=⨯+⨯++⋅=⨯+⨯++⋅=-----+⋅-=-+⋅-=-++∴=--+---------------设，则分19.【答案】（Ⅰ）21n a n =-，12n n b -=；（Ⅱ）)23(23n S n n --=．【命题立意】考查等差数列、等比数列的通项公式，错位相减求和，考查转化能力，计算能力，中等题．【解析】（Ⅰ）21n a n =-，141,8b b ==,∴2q =,∴12n n b -=．（Ⅱ） 1(21)2n n c n -=-，21113252(21)2n n S n -=⋅+⋅+⋅++-2312123252(23)2(21)2n nn S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-上述两式作差得231122222222(21)2n nn S n --=+⋅+⋅+⋅++⋅--12(12)12(21)212n n n S n -⎛⎫--=+-- ⎪-⎝⎭32(32)n n S n =--.20. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d . 由已知得51323439a a a +=⎧⎨=⎩，，即118173a d a d +=⎧⎨+=⎩，，解得112.a d =⎧⎨=⎩，故221n n a n S n =-=，. （2）由（1）知2121n n b n t-=-+.要使12m b b b ，，成等差数列，必须212m b b b =+，即312123121m t t m t-⨯=+++-+， 整理得431m t =+-，因为m ，t 为正整数，所以1t -只能取1,2,4，t =2，3或5. 当2t =时，7m =；当3t =时，5m =； 当5t =时，4m =.故存在正整数t ，使得12m b b b ，，成等差数列.。
高一数学三角函数复习测试题(附含答案)
5
5
1
o 7 10 20
x
4．已知函数 y Asin(x ) 在同一周期内，当 x 时有最大值 2，当 x=0 时有 3
最小值-2，那么函数的解析式为（
）
A． y 2sin 3 x 2
B． y 2 sin(3x )
2
C． y 2sin(3x ) D． y 1 sin 3x
26
2
3
（3）①由 y sin x 的图象上各点向左平移 个长度单位，得 y sin(x ) 的图象；
6
6
② 由 y sin(x ) 的 图 象 上 各 点 的 横 坐 标 伸 长 为 原 来 的 2 倍 （ 纵 坐 标 不 变 ）， 得 6
y sin( x ) 的图象； 26
三角函数复习测试
一、选择题：（5 分×5=25 分）
1.函数 y | tan x | 的周期和对称轴分别为（ ）
A. , x k (k Z )
2
B. , x k (k Z )
2
C. , x k (k Z )
D. , x k (k Z )
2
2
2.要得到函数 y sin 2x 的图象，可由函数 y cos( 2 x ) （ ）
4
A. 向左平移 个长度单位
8
B. 向右平移 个长度单位
8
C. 向左平移 个长度单位
4
D. 向右平移 个长度单位
4
3.函数 y f (x) 的图象如图所示，则 y f (x) 的解析式为（ ）
y
A. y sin 2x 2
B. y 2 cos 3x 1
高一数学三角函数综合试题答案及解析
高一数学三角函数综合试题答案及解析1.已知cosα=﹣，，则sin（α﹣）= ．【答案】.【解析】，；则.【考点】两角和的正弦公式.2.，其中、是常数，且满足，是否存在这样的、，使是与无关的定值.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】【解析】假设存在，由于函数的值与无关，故取的多个值函数值相同，为了能够尽可能的寻找的关系，这里取.试题解析：假设存在这样的，使是与无关的定值，可取的值分别为，则:且由此可解得 6分因为，所以所以解得， 10分此时，所以当时，是与无关的定值 14分【考点】存在性问题，任意性问题（特值法）.3.曲线和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1、P2、P3…，则|P2P4|等于______________。
【答案】π【解析】可以利用两角和与差的三角函数化简，然后求出曲线与y=的y轴右侧的交点按横坐标，即可求出|P2P4 |．【考点】三角函数化简.4.函数,的最小正周期为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】这是三角函数图像与性质中的最小正周期问题，只要熟悉三角函数的最小正周期的计算公式即可求出，如的最小正周期为，而的最小正周期为，故函数的最小正周期为，故选C.【考点】三角函数的图像与性质.5.已知.（1）求的最小值及取最小值时的集合；（2）求在时的值域；（3）求在时的单调递减区间.【答案】（1）当，；（2）；（3）.【解析】先根据平方差公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式化简所给的函数.（1）将看成整体，然后由正弦函数的最值可确定函数的最小值，并明确此时的值的集合；（2）先求出的范围为，从而，然后可求出时，函数的值域；（3）将当成整体，由正弦函数的单调减区间中解出的取值范围，然后对附值，取满足的区间即可.试题解析：化简4分（1）当时，取得最小值，此时即，故此时的集合为 6分（2）当时，所以，所以，从而即 9分（3）由解得当时，，而，此时应取当时，，而，此时应取故在的单调减区间为 14分.【考点】1.三角恒等变换；2.三角函数的图像与性质.6.（1）已知f(x)＝sinx＋2sin(＋)cos(＋)．(1)若f(α)＝，α∈(－，0)，求α的值；（2）若sin＝，x∈(，π)，求f(x)的值．【答案】(1);(2).【解析】(1)首先根据三角函数公式对函数进行化简,即,从而,则,再由,又,从而求出的值.(2)由,则,根据同角平方关系,由,得,再由倍角公式,可得,,从而求出函数的值.试题解析：(1)f(x)＝sin x＋2sin(＋)cos(＋)＝sin x＋sin(x＋)＝sin x＋cos x＝sin(x＋)，由f(α)＝，得sin(α＋)＝.∴sin(α＋)＝.∵α∈(－，0)，∴α＋∈(－，)．∴α＋＝.∴α＝－.(2)∵x∈(，π)，∴∈(，)．又sin＝，∴cos＝.∴sin x＝2sin cos＝，cos x＝－＝－.∴f(x)＝sin x＋cos x＝－＝.【考点】三角函数的公式及化简求值.7.若的值为（）A．2B．3C．4D．6【答案】D【解析】因为，所以答案选D．【考点】1．三角函数式的变形、化简、求值．8.求函数y=2-sinx+cos2x的值域。
高一数学三角函数综合测试卷(含答案)
高一数学《三角函数》综合测试卷（总分：150分 时量：120分钟）班级______姓名____________学号____ 成绩____一、选择题：（每小题5分，共60分）1. 角α的终边上有一点)0(),2,(<-a a a ，则αsin = （ ）A.55-B.552-C.55D.552 2. 函数)32sin(3π+=x y 的周期、振幅依次是 ( )A.π、3B.4π、－3C.4π、3D.π、－3 3. 已知电流i=2sin ωt,电压v=3sin(ωt+2π),电功率P=iv,则电功率P 的最小值是 ( ) A.3 B.6 C. －3 D. －64. 已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2,则扇形的中心角的弧度数是 （ ） A.1 B.1或4； C.4 D.2或45. 函数sin()(0)62y x x ππ=+≤≤的值域是 ( )A.[1,1]-B. 1[,1]2C. 13[,]22 D.3[,1]26. 若x x 22cos sin <，则x 的取值范围是 （ ）A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,42432ππππB.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,45242ππππ C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,44ππππ D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,434ππππ 7.如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y(米)与时间x (秒)满足函数关系,2)sin(++=ϕωx A y 则有 ( )A ．3,152==A πωB ．3,215==A πωC ．5,152==A πωD ．5,215==A πω 8．函数x x f sin )(2=对于R x ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤，则21x x -的最小值为（ ） A ．4π B ． 2πC ． πD ． π29. 由函数x x y 2sin 32cos +=的图象经过变化得到x y 2sin 2=的图象，这个变化是( ）A.向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位； C.向左平移6π个单位； D.向右平移6π个单位10.函数)80sin(5)20sin(300+++=x x y 的最大值是 （ ）A.211 B. 637 C. 7 D. 6 11.函数sin |cot |(0)y x x x π=<<的大致图象是 （ ）12．使)2cos(3)2sin()(θθ+++=x x x f 为奇函数，且在区间]4,0[π上是减函数的θ的一个值是 （ ） A ．3π- B ．3πC ．32π D ．34π二、填空题：（每小题4分，共16分）13．αααcos )30sin()30sin(︒--︒+的值为 .14．在△ABC 中，若角60oB =，则2tan 2tan 32tan 2tan CA C A ++= . 15. 若3π=x 是方程1)cos(2=+αx 的解,其中)2,0(πα∈,则α= .16．在下列五个命题中，①函数y=tan(x+4π)的定义域是 {x | x ≠4π+ k π，k ∈Z}； ②已知sinα =21，且α∈[0，2π]，则α的取值集合是{6π} ；③函数)3x 2sin()3x 2sin(y π-+π+=的最小正周期是π；④△ABC 中，若cosA>cosB ，则A<B ；⑤函数x sin x cos y 2+=的最小值为1-.把你认为正确的命题的序号都填在横线上 .三、解答题（共74分）17．(本题满分12分)证明：x xx x x tan )2tan tan 1(cos 22sin =+.18. (本题满分12分)已知),,0(,πβα∈且βαtan ,tan 是方程0652=+-x x 的两根. （1）求βα+的值; （2）求)cos(βα-的值.19. (本题满分12分)已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=. （1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值；（2）在直角坐标系中，画出函数)(x f y =一个周期闭区间上的图象.20. (本题满分12分)设函数)22,0)(sin()(πϕπωϕω<<->+=x x f ,给出三个论断:○1它的图象关于8π=x 对称;○2它的最小正周期为π;○3它在区间]83,4[ππ上的最大值为22.以其中的两个论断作为条件,另一个作为结论,试写出你认为正确的一个命题并给予证明.21. (本题满分12分)如图,在一住宅小区内,有一块半径 为10米,圆心角为3π的扇形空地,现要在这块空地上 A D 种植一块矩形草皮,使其中一边在半径上且内接于 扇形,问应如何设计,才能使得此草皮面积最大?并求出面积的最大值. O B C22. (本题满分14分)已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是R 上 的偶函数，其图象关于点)0,43(πM 对称，且在区间]2,0[π上是单调 函数.求ωϕ和的值.高一数学《三角函数》测试参考答案：（2005年4月）13、1 14、3 15、π34 16、①③④⑤ （大题的评分标准请阅卷老师自定，注意有多种解法.）17. 证明:略18略解: 由韦达定理,有6tan tan ,5tan tan ==+βαβα得1)tan(),2,0(,-=+∈βαπβα.(1) 43πβα=+;(2)由6tan tan =βα有βαβαcos cos 6sin sin =,又由22)cos(-=+βα有22sin sin cos cos -=-βαβα,联立解得,523sin sin =βα102cos cos =βα,故1027)cos(=-βα. 19. 略解：（1）x x x x f cos sin 2sin 2)(2+=x x 2sin 2cos 1+-=)42sin(21π-+=x所以函数)(x f 的最小正周期为π，最大值为21+.（2）略。
高中数学三角函数测试卷(答案解析版)
高中数学三角函数测试卷(答案解析版)高中数学三角函数测试卷(答案解析版)一、选择题1. 假设α是锐角，sinα=0.6，那么sin(90°-α)的值是多少？解析：根据三角函数的互余关系，sin(90°-α) = cosα = √(1 - sin²α) = √(1 - 0.6²) = 0.8。
答案：0.82. 已知tanα = 3/4，sinα的值为多少？解析：由tanα = sinα/cosα可得sinα = tanα × cosα = 3/4 × 4/5 = 3/5。
答案：3/53. 已知sinα = 1/2，cosβ = 3/5，α和β都是锐角，则sin(α+β)的值是多少？解析：根据两角和的公式，sin(α+β) = sinα × cosβ + cosα × sinβ = (1/2) × (3/5) + √(1 - (1/2)²) × √(1 - (3/5)²) = 3/10 + √(3/10 × 7/10) = 3/10 + √(21/100) = 3/10 + 3√21/10√10 = (3 + 3√21)/10。
答案：(3 + 3√21)/10二、填空题4. 在锐角三角形ABC中，已知∠A=30°，BC=6，AC=10，则AB 等于多少？解析：根据正弦定理，AB/AC = sin∠B/sin∠A，代入已知条件得到AB/10 = sin∠B/sin30°，即AB = 10×sin∠B/sin30°。
由∠B + ∠C = 90°可得∠B = 90° - ∠A - ∠C = 90° - 30° - 60° = 0°。
因此，AB =10×sin0°/sin30° = 0/0 = 0。
2019—2020学年度第二学期高一数学三角函数章节测试题(含答案)
2019—2020学年度第二学期高一数学三角函数章节测试题本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)、第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求）1.下列转化结果错误的是()A. 60°化成弧度是π3B. −103π化成度是−600°C. −150°化成弧度是−76π D. π12化成度是15°2.设角α的终边与单位圆相交于点P(−35,45)，则sinα−cosα的值是()A. −75B. −15C. 15D. 753.已知点P(cosθ,tanθ)在第二象限，则角θ的终边在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.与角终边相同的角是()A. 2π3B. π6C. 5π3D. 5π65.已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于()A. 48B. 24C. 12D. 66.下列说法中正确的是()A. 第一象限角一定是正角B. 终边与始边均相同的角一定相等C. −834°是第四象限角D. 钝角一定是第二象限角7.sin1·cos3·tan4的值()A. 小于0B. 大于0C. 等于0D. 不存在8.若将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为()A.x=kπ2−π6(k∈Z) B. x=kπ2+π6(k∈Z)C. x=kπ2−π12(k∈Z) D. x=kπ2+π12(k∈Z)9.已知sin(π4+α)=23，则cos(π4−α)的值等于()A.−23B. 23C. √53D. ±√5310. 设函数f(x)=cos(x +π3)，则下列结论错误的是( )A. f(x)的一个周期为−2πB. y =f(x)的图象关于直线x =8π3对称C. f(x +π)的一个零点为x =π6D. f(x)在(π2,π)单调递减11. 已知角α的终边经过点P(−5,−12)，则sin(3π2+α)的值等于( )A. −513B. −1213C. 513D. 121312. 将函数f(x)=2sin(2x +π4)的图象向右平移个φ(φ>0)单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12纵坐标不变，所得图象关于直线x =π4对称，则φ的最小值为( ) A. 18π B. 14πC. 38πD. 12π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 如图所示，为测量一水塔AB 的高度，在C 处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D 处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为______米．14. sin(−1740°)=______．15. 若角α终边上有一点P(−4,a)，且sinα⋅cosα=√34，则a 的值为______ ．16. f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为______ ．三、解答题（本大题共4小题，共70分） 17. （10分）已知f(α)=sin(α−π2)cos(3π2−α)tan(π+α)cos(π2+α)sin(2π−α)tan(−α−π)sin(−α−π)．(1)（6分）化简f(α)；(2)（4分）若α=−31π3，求f(α)的值．18. （18分）已知函数f(x)=Asin(wx +φ)+B(A >0,w >0,|φ|<π2)的 部分图象如图所示：(1)（5分）求f(x)的解析式；(2)（4分）求f(x)的单调区间和对称中心坐标；(3)（9分）将f(x)的图象向左平移π6个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数g(x)的图象，求函数y =g(x)在x ∈[0,7π6]上的最大值和最小值．19.已知函数f(x)=sin(2x+π6)．(1)（10分）请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的图象；(2)（8分）求f(x)在区间[ π12, π2 ]上的最大值和最小值；(3)（8分）写出f(x)的单调递增区间．20.设函数．(1)（5分）求f(x)的最小正周期；(2)（5分）求f(x)的单调递增区间；(3)（6分）当x∈[0,2π]时，求f(x)的最大值和最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查角度制与弧度制的互化，直接利用角度与弧度的互化，求解即可．【解答】解：对于A，60°=60°×π180=π3，故A正确，对于B，，故B正确，对于C，−150°=−150°×π180=−56π，故C错误，对于D，π12=112×180°=15°，故D正确．故选C．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角函数的定义，属于基础题．由题意可得sinα，cosα的值，然后代入sinα−cosα计算得答案．【解答】解：由题意，sinα=45，cosα=−35，则sinα−cosα=45+35=75，故选D．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．由题意利用三角函数在各个象限中的符号，判断角θ的终边所在的象限．【解答】解：∵已知点P(cosθ,tanθ)在第二象限，∴cosθ<0，tanθ>0，则角θ的终边在第三象限，故选C．4.【答案】C【解析】解：与角终边相同的角是：2kπ−π3，，当k=1时，与角−π3终边相同的角是5π3．故选：C．利用终边相同的角相差2π的整数倍，判断选项即可．本题考查终边相同角的表示，属于基础题．【解析】【分析】本题主要考查了弧长公式，扇形的面积公式的应用，属于基础题． 由已知先求弧长，利用扇形的面积公式即可计算得解． 【解答】解：因为扇形的弧长l =3×4=12， 则面积S =12×12×4=24，故选：B ． 6.【答案】D【解析】【分析】本题考查任意角的概念，是基础题．直接利用象限角、轴线角、钝角和终边相等角的概念逐一核对四个选项得答案． 【解答】解：第一象限的角不一定是正角，例如−330°是第一象限角，故A 不正确， 0°，360°角的终边与始边均相同，但不相等，故B 不正确， −834°=−720°−114°是第三象限角，故C 不正确， 钝角的范围是(90°,180°)，是第二象限角，故D 正确． 故选D ． 7.【答案】A【解析】【分析】本题考查象限角的三角函数值的符号，根据条件直接判断即可，属于基础题． 【解答】解：因为1为第一象限角，所以sin1>0 因为3为第二象限角，所以， 因为4为第三象限的角，所以．所以．故选A ．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)图象的变换规律的应用及正弦函数的图象性质，属于基础题．由函数图象变换法则得出平移后的函数的解析式，然后利用正弦函数的性质求解即可． 【解答】解：将函数y =2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y =2sin[2(x +π12)]=2sin(2x +π)的图象，令2x+π6=kπ+π2(k∈Z)，得：x=kπ2+π6(k∈Z)，即平移后的图象的对称轴方程为x=kπ2+π6(k∈Z)．故选B．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了诱导公式，考查学生的计算能力，属于基础题．利用诱导公式，即可得结论．【解答】解：∵sin(π4+α)=23，．故选B．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查与余弦函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键，题目比较基础．根据余弦函数的图象和性质分别进行判断即可．【解答】解：对于A，函数的周期为2kπ，k∈Z，当k=−1时，周期T=−2π，故A正确；对于B，当x=8π3时，cos(x+π3)=cos(8π3+π3)=cosπ=−1为最小值，此时y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称，故B正确；对于C，因为f(x+π)=cos(x+π+π3)=−cos(x+π3)，且，则f(x+π)的一个零点为x=π6，故C正确；对于D，当π2<x<π时，5π6<x+π3<4π3，此时函数f(x)有增有减，不是单调函数，故D错误．故选D．11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义及诱导公式，属于基础题．利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得sin(3π2+α)的值．【解答】解：∵角α的终边经过点P(−5,−12)，，则sin(3π2+α)=−cosα=−(−513)=513．故选C．12.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得图象关于直线x=π4对称，即可得结论．【解答】解：函数f(x)=2sin(2x+π4)的图象向右平移φ，可得y=2sin(2x−2φ+π4)，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12，周期变小，则g(x)=2sin(4x−2φ+π4)，此时g(x)图象关于直线x=π4对称，即x=π4时，函数g(x)取得最大值或最小值∴π−2φ+π4=kπ+π2，k∈Z．∵φ>0，∴当k=0时，可得φ的最小值为3π8．故选：C．13.【答案】10√3【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的定义，根据三角函数可以把问题转化为方程问题来解决，属于基础题．利用AB表示出BC，BD.让BD减去BC等于20即可求得AB长．【解答】解：设AB=ℎm，则BC=√33ℎ，BD=√3ℎ，则√3ℎ−√33ℎ=20，∴ℎ=10√3m，14.【答案】√32【解析】解：原式=−sin1740°=−sin(5×360°−60°)=sin60°=√32，故答案为：√32．原式先利用奇函数的性质化简，将角度变形后利用诱导公式计算即可得到结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．15.【答案】−4√3或−4√33【解析】解：因为角α终边上有一点P(−4,a)，所以sinα=√16+a2，cosα=√16+a2，又sinα⋅cosα=√34，所以−4a16+a2=√34，解得a=−4√3或a=−4√33，故答案为：−4√3或−4√33．利用任意角的三角函数的定义，得到sinα，cosα，代入等式解之．本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．16.【答案】f(x)=2sin(2x+π6)【解析】【分析】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，属于基础题．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由图像过点求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：由f(x)=Asin(ωx+φ)及A>0可得A=2，1 4⋅2πω=5π12−π6，∴ω=2．由函数图像过点可得，k∈Z，由可得φ=π6，∴f(x)=2sin(2x+π6).故答案为f(x)=2sin(2x+π6)．17.【答案】解：(1)f(α)=−cosα(−sinα)tanα(−sinα)−sinα(−tanα)sinα=−cosα．(2)因为−31π=−5×2π−π，∴f(−31π3)=−cos(−31π3)=−cos(−5×2π−π3)=−cos π3=−12，即f(α)=−12．【解析】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，考查了学生的分析以及计算能力，属于基础题．(1)由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果；(2)由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得f(α)的值．18.【答案】解：(1)由图象可知{A +B =1−A +B =−3,解得{A =2B =−1, 又由于T2=7π12−π12⇒T =π，所以w =2πT =2，由， ，又|φ|<π2， 所以φ=π3，所以f(x)=2sin(2x +π3)−1； (2)由(1)知，f(x)=2sin(2x +π3)−1， 令， 得，所以f(x)的单调递增区间为，令，得，所以f(x)的单调递减区间为，令，得，所以f(x)的对称中心的坐标为；(3)由已知的图象变换过程可得：g(x)=2sin(x +2π)，因为0≤x≤7π6，所以2π3≤x+2π3≤11π6，所以当x+2π3=3π2，得x=5π6时，g(x)取得最小值g(5π6)=−2，当x+2π3=2π3时，即x=0时，g(x)取得最大值g(0)=√3．【解析】本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)+B的部分图象确定其解析式，函数y= Asin(ωx+φ)+B的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想，属于中档题．(1)由图象可求A，B的值，求得周期T，利用周期公式可求ω，由可求φ，即可得解f(x)的解析式；(2)令，得，可求f(x)的单调递增区间，令，得，可求f(x)的对称中心的坐标；(3)由已知的图象变换过程可得：g(x)=2sin(x+2π3)，由0≤x≤7π6，利用正弦函数的性质可求在x∈[0,7π6]上的最大值和最小值．19.【答案】解：(Ⅰ)画出函数f(x)在[−π12,11π12]上的图象．列表如下，π描点作图，(Ⅱ)f(x)=sin(2x+π6)，因为π12≤x≤π2，所以π3≤2x+π6≤7π6，当2x+π6=π2，即x=π6时，sin(2x+π6)取得最大值为1，即f(x)的最大值等于1；当2x+π6=7π6，即x=π2时，sin(2x+π6)取得最小值为−12，即f(x)的最小值等于−12；所以f(x)在区间[π12,π2]上的最大值为1，最小值为−12；(Ⅲ)令，(k∈Z)，解得：，(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)．【解析】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，考查了五点法作图，属于基础题．(Ⅰ)利用列表、描点、连线法画出f(x)在一个周期上的图象；(Ⅱ)利用正弦函数的性质求出f(x)在x∈[π12,π2]上的最大、最小值；(Ⅲ)利用正弦函数的性质写出f(x)的单调递增区间．20.【答案】解：(1)∵函数，故它的最小正周期为2π12=4π；(2)令2kπ−π≤x2−π3≤2kπ，k∈Z，求得4kπ−4π3≤x≤4kπ+2π3，k∈Z，故函数的增区间为[4kπ−4π3,4kπ+2π3]，k∈Z；(3)当x∈[0,2π]时，x2−π3∈[−π3,2π3]，∴cos(x2−π3)∈[−12,1]，故当x2−π3=2π3时，函数f(x)取得最小值为−1，当x2−π3=0时，函数f(x)取得最大值2．【解析】本题主要考查诱导公式、余弦函数的周期性、余弦函数的单调性以及定义域和值域，属于基础题．(1)由函数的解析式利用诱导公式、余弦函数的周期性，求得f(x)的周期．(2)利用余弦函数的单调性，求得f(x)的单调递增区间．(3)利用余弦函数的定义域和值域，求得当x∈[0,2π]时，函数f(x)的最大值和最小值．。
高一数学三角函数综合试题答案及解析
高一数学三角函数综合试题答案及解析1.如图，已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P（m，）．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ） m=﹣；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由于该圆是单位圆，=1，又角α的终边在第二象限，所以m＜0，联立，可得到结果m=﹣；（Ⅱ）由m=﹣得sinα=，cosα=﹣，对式子化简，=得将数值代入，化简可得到答案.试题解析：（Ⅰ）根据题意得：=1，且m＜0，解得：m=﹣；（5分）（Ⅱ）∵sinα=，cosα=﹣，∴原式= === ．（10分）【考点】三角函数化简.2.（本小题满分12分）已知．(1)若,求的取值构成的集合．(2)若,求的值．【答案】(1) ;(2)【解析】(1) 先化简函数f(x),再解即可．(2) 由，即，然后代入即可．(1)由已知可得 (3分)因为,即,有 (5分)．所以取值的集合为 (6分)(2)因为, (9分)所以 (12分)【考点】解三角方程；诱导公式，三角函数式的化简．3.已知，（1）若，且∥（），求x的值；（2）若,求实数的取值范围.【答案】(1) (2) .【解析】(1)先将向量化为代数式，即,；（2）由已知先写出，的坐标，再由则有：当时等式不成立；将写成关于的函数，即，再求函数的值域即是的取值范围为（或解）用表示，即，又因为，可解得的取值范围为.试题解析：（1），，,（2），若则有：当时等式不成立；解得：的取值范围为【考点】本题考查向量的坐标运算；向量共线的；利用三角函数的有界性求参数.4.函数y=++的值域是（）A．{1}B．{1，3}C．{-1}D．{-1，3}【答案】D【解析】由题意知角X的终边不在坐标轴上。
当X为第一象限角时，当X为第二象限角时，当X为第三象限角时，当X为第四象限角时。
所以或【考点】三角函数正负符号问题5.已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(，－1)，m·n＝1，且A为锐角．(1)求角A的大小；(2)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．【答案】(1)A＝.(2)函数f(x)的值域是.【解析】(1)由题意得m·n＝sinA－cosA＝1，2sin＝1，sin＝，由A为锐角得，A－＝，∴A＝.(2)由(1)知cosA＝，所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－22＋.因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]，因此，当sinx＝时，f(x)有最大值，当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是.【考点】平面向量的坐标运算，和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质，二次函数的图象和性质。
三角函数、数列、导数试题及详解
三角函数、数列导数测试题及详解一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．1．已知点A （-1，1），点B （2，y ），向量a=（l ，2），若//AB a，则实数y 的值为A ．5B ．6C ．7D ．82．已知等比数列123456{},40,20,n a a a a a a a ++=++=中则前9项之和等于 A ．50B ．70C ．80D ．903．2(sin cos )1y x x =+-是A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数 4．在右图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈，下列命题中真命题是A ．若*,//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若*,//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若*,n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等差数列D ．若*,n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等比数列6．若sin2x 、sinx 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为A B C D ．14-7．如图是函数sin()y x ωϕ=+的图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为A ．12πB ．2119π+C ．2119π-D ．2113π-8．已知函数()cos ((0,2))f x x x π=∈有两个不同的零点x 1，x 2，且方程()f x m =有两个不同的实根x 3，x 4．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为A ．12B ．12-CD9．设函数f （x ） =e x （sinx —cosx ），若0≤x ≤2012π，则函数f （x ）的各极大值之和为A ．1006(1)1e e e πππ--B ．20122(1)1e e eπππ-- C ．10062(1)1e e e πππ-- D ．2012(1)1e e eπππ-- 10．设函数011()(),21xf x x A x =++为坐标原点，A 为函数()y f x =图象上横坐标为*()n n N ∈ 的点，向量11,(1,0),n n k k n n k a A A i a i θ-===∑向量设为向量与向量的夹角，满足15tan 3nkk θ=<∑的最大整数n 是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，题两空的题，其答案按先后次序填写，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．设1(sin cos )sin 2,()3f f ααα+=则的值为 ．12．已知曲线1*()()n f x x n N +=∈与直线1x =交于点P ，若设曲线y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为201212012220122011,log log log n x x x x +++ 则的值为____．13．已知22sin sin ,cos cos ,33x y x y -=--=且x ，y 为锐角，则tan （x -y ）= ． 14．如图放置的正方形ABCD ，AB =1．A ，D 分别在x 轴、y 轴的正半轴（含原点）上滑动，则OC OB ⋅的最大值是____．15．由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项，按图中多边形的边数依次称 这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n 可 得到“n 边形数列”，记它的第r 项为P （n ，r ），则（1）使得P （3，r ）>36的最 小r 的取值是 ；（2）试推导P （n ，r ）关于，n 、r 的解析式是____．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知2(2sin ,),(1cos 1)OA a x a OB x x ==-+ ，O 为坐标原点，0,a ≠设(),.f x OA OB b b a =⋅+>（I ）若0a >，写出函数()y f x =的单调速增区间； （Ⅱ）若函数y=f （x ）的定义域为[,2ππ]，值域为[2，5]，求实数a 与b 的值，17．（本小题满分12分）如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D,从D 点可以观察到点A ，C ；到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD=90°,∠ADC= 60°,∠ACB =15°，∠BCE =105°，∠CEB =45°，DC=CE =1（百米）． （I ）求△CDE 的面积； （Ⅱ）求A ，B 之间的距离．18．（本小题满分12分）国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2010届毕业生李顺在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元．李顺同学计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x 元．（I ）若李顺恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x 的值；（II ）当x=50时，李顺同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他还清贷款的那一个月的工资余额是多少？（参考数据：1.0518 =2.406,1.0519=2.526，1.0520 =2.653，1.0521=2.786） 19．（本小题满分12分）已知函数()sin .f x x x =+ （I ）当[0,],()x f x π∈时求的值域；（II ）设2()()1,()1[0,)g x f x g x ax '=-≥++∞若在恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知211()(1),()10(1),{}2,()()()0,n n n n n f x x g x x a a a a g a f a +=-=-=-+=数列满足9(2)(1).10n n b n a =+- （I ）求证：数列{a n ，-1）是等比数列；（Ⅱ）当n 取何值时，b n 取最大值，并求出最大值；（Ⅲ）若1*1m m m m t t m N b b ++<∈对任意恒成立，求实数t 的取值范围．21．（本小题满分14分）设曲线C ：()ln ( 2.71828),()()f x x ex e f x f x '=-= 表示导函数．（I ）求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）数列{a n }满足111,2(3)n na e a f e a +'==+．求证：数列{a n }中不存在成等差数列的三项；（Ⅲ）对于曲线C 上的不同两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1<x 2，求证：存在唯一的012(,)x x x ∈，使直线AB 的斜率等于0().f x '参考答案一、选择题： 1．【考点分析】本题主要考查平面向量的运算和向量平行充要条件的基本运用．【参考答案】 C【解题思路】AB →＝（3，y －1），∵AB →∥a ，∴31＝y －12，∴y ＝7．2． 【考点分析】本题主要考查等比数列的基本运算性质．【参考答案】 B ．【解题思路】3321654)(q a a a a a a ++=++，∴213=q ，3654987)(q a a a a a a ++=++=10，即9s =70．3．【考点分析】本题考查三角函数的性质和同角三角函数的基本关系式的运用，考查基本运算能力． 【参考答案】D【解题思路】2(sin cos )12sin cos sin 2y x x x x x =+-==，所以函数2(sin cos )1y x x =+-是最小正周期为π的奇函数。
高一数学三角函数测试题(附答案)(7.29)
三角函数综合训练题（二）（2013-7-28）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1. 化简15tan 115tan 1-+等于 （ ）A. 3B. 23 C. 3 D. 12. 使函数f(x)=sin(2x+θ)+)2cos(3θ+x 是奇函数，且在[0，]4π上是减函数的θ的一个值（ ）A ．3π B ．32π C ．34π D ．35π3. 在ABC ∆中，①sin(A+B)+sinC ；②cos(B+C)+cosA ；③2tan 2tan C B A +； ④cossec 22B C A+，其中恒为定值的是（ ） A 、① ② B 、② ③ C 、② ④ D 、③ ④4. 已知函数f(x)=sin(x+2π)，g(x)=cos(x －2π)，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数y=f(x)·g(x)的最小正周期为2π B ．函数y=f(x)·g(x)的最大值为1C ．将函数y=f(x)的图象向左平移2π单位后得g(x)的图象D ．将函数y=f(x)的图象向右平移2π单位后得g(x)的图象5. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是（ ）A ．)32sin(π-=x y B ．)62sin(π-=x y C ．)62sin(π+=x y D ．)62sin(π+=x y 6. 函数x x y sin cos 2-=的值域是 （ ）A 、[]1,1-B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,1 C 、[]2,0 D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-45,17. 设0002012tan13cos66,,21tan 13a b c ===+则有（ ） A ．a b c >> B.a b c << C . b c a << D. a c b <<8. 已知sin 53=α,α是第二象限的角，且tan(βα+)=1,则tan β的值为（ ） A ．－7 B ．7 C ．－43 D ．439. 定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为（ ） A. 21- B 23 C 23-D 2110. 函数1cos sin xy x-=的周期是（ ） A ．2π B ．π C ．2π D ．4π 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11、函数sin 1y a x =+的最大值是3，则它的最小值_________________；12、2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是θθ22cos sin ,251-则的值等于_____； 13、若函数 f(χ) 是偶函数， 且当χ＜0时， 有f(χ)=cos3χ+sin2χ， 则当χ＞0时，f(χ)的表达式为 ；14、给出下列命题：(1)存在实数x ，使sinx+cosx ＝3π; (2)若αβ，是锐角△ABC 的内角，则sin α>cos β; (3)函数y ＝sin(32x-27π)是偶函数；(4)函数y ＝sin2x 的图象向右平移4π个单位，得到y ＝sin(2x+4π)的图象.其中正确的命题的序号是 . 三、解答题（本大题6小题，共80分） 15、(13分) 求值: 000010cos 1)10tan 31(80sin 50sin 2+++16、(13分) 已知π2 <α<π,0<β<π2 ,tan α=－ 34 ,cos(β－α)= 513, 求sin β的值.17、（14分）求232424212x x x x f sin sin)(sin sin )(+-π-+=的最大值及取最大值时相应的x 的集合.28、(14分) 已知定义在R 上的函数f(x)=)0(cos sin >+ωωωx b x a 的周期为π，且对一切x ∈R ，都有f(x)4)12(=≤πf ；（1）求函数f(x)的表达式； （2）若g(x)=f(6x π-),求函数g(x)的单调增区间；19、(13分) .求函数y x x =-+162sin 的定义域.20.（13分）已知41)125sin(=+πx ,求)12(sin )127sin(2x x -+-ππ的值.三角函数综合训练题答案（二）（2013-7-28）一．选择题：本大题共二．填空题：本大题共11. ()min 2111y =⨯-+=-12、725-13、()()()()cos3sin2cos3sin2f x f x x x x x=-=-+-=- 14、（1）、（2）、（3）三．解答题15、原式0000= 0050452+==== 16、解：∵2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3tan 4α=- ∴54cos ,53sin -==αα；∵2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，02πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2παπ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，，()βαπ-∈-，0 又∵5cos()13βα-= ()1245363sin sin sin()cos cos()sin 13513565ββααβααβαα⎛⎫=-+=-+-=-⨯-+⨯=⎡⎤⎪⎣⎦⎝⎭17、sin cos 2()sin cos 2sin 422()2224sin 4sin 4sin 222x x x x x x x x f x x x x ππ⎡⎤⎛⎫+-+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭=== 4sin cos22cos 2224sin2x xx x x == )sin(622π+=x ∴由max sin()126x π+=得2262π+π=π+k x 即)(Z k k x ∈π+π=324时，2=max )(x f . 故()f x 取得最大值时x 的集合为：{)}(Z k kx x ∈π+π=324 18、解：(1)∵()sin cos)f x a x b x x ωωωϕ=+=+，又周期2T ππω== ∴2ω= ∵对一切x ∈R ，都有f(x)4)12(=≤πf ∴4sin cos 266a b ππ⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴()f x 的解析式为()2sin f x x x ωω=+（2）∵()22()4sin 2()4sin(2)4sin(2)66333g x f x x x x πππππ⎡⎤=-=-+=-+=--⎢⎥⎣⎦∴g(x)的增区间是函数y=sin )322(π-x 的减区间 ∴由23232222πππππ+≤-≤+k x k 得g(x)的增区间为]1213,127[ππππ++k k )(Z k ∈ （等价于].12,125[ππππ+-k k 19. 解：由题意有 ⎩⎨⎧≤≤-+≤≤4422x k x k πππ 当k =-1时，-≤≤-2ππx ； 当k =0时，0≤≤x π； 当k =1时，23ππ≤≤x ∴函数的定义域是[][]--40，，ππ20. 解)]125(2[sin )]125(sin[)12(sin )127sin(22ππππππ+-++-=-+-x x x x 1619)125(cos )125sin(2=+++=ππx x。
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高一第二学期三角函数与数列综合试卷（含答案）高一数学2016．4．1一、填空题（本大题共14题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷．．．相应位置上）. 1. 已知3cos()25πα+=，且3(,)22ππα∈，则tan α的值为_____________ . 2. 已知点(tan ,cos )M 在第二象限，则角的终边在第_____________象限.3. =-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-απαπα222sin 6sin 6sin _____________ . 4. 已知1tan()42πθ-=，则sin cos θθ=_____________ . 5. 设在各项为正数的等比数列{}n a 中，若6542a a a =+，则公比q =_____________ .6. 已知a n =nn n 10)1(9+（n ∈N *），则数列{a n }的最大项是第_____________项. 7. 函数cos y x =的图象向左平移3π个单位，横坐标缩小到原来的12，纵坐标扩大到原来的3倍，所得的函数图象解析式为_____________ .8. 已知数列{}n a 的前n 项和131n n S +=-，则n a =_____________ .9. 若}{n a 是等差数列，首项01>a ，020152014>+a a ，020152014<⋅a a ，则使前n 项和0<n S 成立的最小正整数n 是_____________ .10. 在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，若222b c a +=，且ba=C ∠=_____________ . 11. 某同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前2011个圈中的●的个数是_____________ .12. 已知,αβ均为锐角,且3sin 5α=,1tan()3αβ-=-.则cos β的值为_____________ . 13.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，c a =且满足0cos )sin 3(cos cos =-+B A A C ，若点O 是ABC ∆外一点，42==OB OA ，则四边形OACB 的面积的最大值为 _____________ .14. 我们知道，如果定义在某区间上的函数()f x 满足对该区间上的任意两个数1x 、2x ，总有不等式1212()()()22f x f x x xf ++≤成立，则称函数()f x 为该区间上的向上凸函数（简称上凸）. 类比上述定义，对于数列{}n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：212n n n a a a +++≤成立，则称数列{}n a 为向上凸数列（简称上凸数列）. 现有数列{}n a 满足如下两个条件： （1）数列{}n a 为上凸数列，且1101,28a a ==；（2）对正整数n （*,101N n n ∈<≤），都有20n n a b -≤，其中2610n b n n =-+.则数列{}n a 中的第五项5a 的取值范围为_____________ .二、解答题（本大题共6题，共90分，请在答题卷．．．指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题14分)如图，在四边形ABCD 中，AD =8，CD =6，AB =13，∠ADC =90°，且50AB AC ⋅=． （1）求sin∠BAD 的值；（2）设△ABD 的面积为S △ABD ，△BCD 的面积为S △BCD ，求ABD BCDS S ∆∆的值．16. (本小题14分)ACDB已知向量(4,5cos ),(3,4tan )a b αα==- （1）若//a b ，试求sin α； （2）若a b ⊥，且(0,)2πα∈，求cos(2)4πα-的值.17. (本小题14分) 已知函数()221sin cos 42f x x x π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，x R ∈ (1)求函数()f x 最值与最小正周期； (2)求使不等式()32f x ≥[]()0,x π∈成立的x 的取值范围.18. (本小题16分)已知数列{n a }的首项111,21n n a a a +==+． (1)求证:{}1n a +是等比数列； (2)求数列{}n na 的前n 项和n S ．19. (本小题16分)已知数列}{n a 满足11=a ，21=-+n n a a ，等比数列}{n b 满足11a b =，144+=a b ． （Ⅰ）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n S ．20. (本小题16分)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，． （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式； （2）设数列{}n b 的通项公式为nn n a b a t=+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，， (3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由.一、填空题1. 34 2. 四 3. 21 4.310 5. 2 6. 8或9 7. 3cos(2)3y x π=+. 8. 81223n nn a n =⎧=⎨≥⋅⎩ 9. 4029 10. 0010515或 11. 61 12. ∵π,(0,)2αβ∈,从而ππ22αβ-<-<.又∵1tan()03αβ-=-<,∴π02αβ-<-<∴10sin()10αβ-=-(2)由(1)可得,310cos()10αβ-=. ∵α为锐角,3sin 5α=,∴4cos 5α=∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-4310310()510510⨯+⨯-91013. 【命题立意】三角恒等变换，余弦定理，考查分析能力，转化能力，较难题． 【解析】因为0cos )sin 3(cos cos =-+B A A C ， 所以0cos sin 3cos cos )cos(=-++-B A B A B A ， 所以3tan =B ，因为π<<B 0，所以3π=B ，因为c a =，所以ABC ∆为等边三角形，设θ=∠AOB ，所以23||21sin ||||212⨯+⋅=+=∆∆AB OB OA S S S ABC AOB OACB θ )cos ||||2|||(|43sin 242122θθOB OA OB OA ⋅-++⨯⨯⨯= )cos 24224(43sin 422θθ⨯⨯-++= )cos 45(3sin 4θθ-+=35)3sin(8++=πθ，因为πθ<<0，所以3433ππθπ<+<，所以1)34sin(23≤+<-πθ， 所以四边形OACB 的面积的最大值为358+．14. []13,25二、解答题15. 解（1）在Rt △ADC 中，AD =8，CD =6，则AC =10，43cos ,sin 55CAD CAD ∠=∠=．又∵50AB AC ⋅=，AB =13，∴5cos 13||||AB AC BAC AB AC ⋅∠==．∵0180BAC <∠<，∴12sin 13BAC ∠=． ∴63sin sin()65BAD BAC CAD ∠=∠+∠=． （2）1252sin 25BAD S AB AD BAD ∆=⋅⋅∠=，1sin 602BAC S AB AC BAC ∆=⋅⋅∠=，24ACD S ∆=， 则1685BCD ABC ACD BAD S S S S ∆∆∆∆=+-=，∴32ABD BCD S S ∆∆=．16. 已知向量(4,5cos ),(3,4tan )a b αα==- （Ⅰ）若//a b ，试求sin α （Ⅱ）若a b ⊥，且(0,)2πα∈，求cos(2)4πα-的值解：（1）由//得，0tan 16cos 15=+αα，35sin =α（舍）或53sin -=α （2）由b a ⊥得，0tan cos 2012=⋅-αα，53sin =α，又)2,0(πα∈，54cos =α2572cos ,25242sin ==αα， 25031)42cos(=-πα17. （1）()1cos 21cos 212222x x f x π⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭=++=113sin 2cos 2222x x ++=3222x x ⎫++⎪⎪⎝⎭=3242x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ∴ ()max 32f x +=， ()min 32f x -=， T π= （2）由()32f x ≥得：2024x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，∴sin 204x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，∴2224k x k ππππ≤+≤+，()388k x k k Z ππππ-≤≤+∈又[]0,x π∈，∴x 的取值范围为370,,88πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦18. 【命题立意】本题重点考查了等比数列的定义、等比数列的求和公式、错位相减求和等知识，属于中档题．【解析】（1）∵121+=+n n a a ， ∴)1(211+=++n n a a ， 则2111=+++n n a a 为常数，∴{}1n a +是等比数列（2）∵11=a ,可得n n a 21=+，∴12-=n n a ， 则n -n na n n 2⋅=，2231231112112222212222222222(12)212(1)22(1)22122n n n n n n n n n n n n T n T n T n n n n n S n +++++=⨯+⨯++⋅=⨯+⨯++⋅=-----+⋅-=-+⋅-=-++∴=--+---------------设，则分19.【答案】（Ⅰ）21n a n =-，12n n b -=；（Ⅱ）)23(23n S n n --=．【命题立意】考查等差数列、等比数列的通项公式，错位相减求和，考查转化能力，计算能力，中等题．【解析】（Ⅰ）21n a n =-，141,8b b ==,∴2q =,∴12n n b -=．（Ⅱ） 1(21)2n n c n -=-，21113252(21)2n n S n -=⋅+⋅+⋅++-2312123252(23)2(21)2n nn S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-上述两式作差得231122222222(21)2n nn S n --=+⋅+⋅+⋅++⋅--12(12)12(21)212n n n S n -⎛⎫--=+-- ⎪-⎝⎭32(32)nn S n =--.20. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d . 由已知得51323439a a a +=⎧⎨=⎩，，即118173a d a d +=⎧⎨+=⎩，，解得112.a d =⎧⎨=⎩，故221n n a n S n =-=，. （2）由（1）知2121n n b n t-=-+.要使12m b b b ，，成等差数列，必须212m b b b =+，即312123121m t t m t-⨯=+++-+，整理得431m t =+-， 因为m ，t 为正整数，所以1t -只能取1,2,4，t =2，3或5. 当2t =时，7m =；当3t =时，5m =； 当5t =时，4m =.故存在正整数t ，使得12m b b b ，，成等差数列.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。