正弦量的有效值
正弦量的三要素和有效值
如Im 、Um。
首页
2．角频率、周期、频率 正弦量在单位时间内所经历的电角度，称为角频率，用ω 表示，单位是弧度/秒，即
t
正弦量完成一次周期变化所需要的时间，称为周期，用T 表示，单位是秒。
正弦量在1秒钟内完成周期性变化的次数，称为频率，用 f 表示，单位是赫兹。
选零点为计时起点，则初相ψ =0，如图3-7所示是不同初相时
几种正弦电流的解析式和波形图。
首页
i
Im
i Im sint
0
t
a)
i i Im sin(t π 6)
i
i Im sin(t π 2)
0
t
b)
i i Im sin(t π 6)
0
t
0
t
π/6
π/6
首页
例3-3 两个同频率正弦电流的波形如图3-6所示，试写出 它们的解析式，并计算二者之间的相位差。
解 解析式
i/A 10 i1
i1
10 s in(314t
π )A 4
8
i2
i2
8 s in(314t Nhomakorabeaπ )A 4
0
4
4
0.02s
相位差
ωt/rad
i1
i2
π 4
(
c)
d)
图3-3 初相不同的几种正弦电流的波形图 a)初相为0; b)初相为π/2; c)初相为π/6; d)初相为-π/6
首页
注意：正弦量的初相、相位以及解析式都与参考方向有 关。改变参考方向，就是将正弦量的初相加上或减去π。
正弦量的瞬时值、幅值和有效值(精)
正弦量的瞬时值、幅值和有效值
3.2 正弦量的三要素
u U m sin(t u ) i I m sin(t i )
其中u、i分别为电压和电流的瞬时值; Um、Im分别为 电压和电流的幅值（或最大值）; ω为角频率; φu, φi分别
为电压和电流的初相角, 如图所示。
注意： 交流电压、电流表测量数据为有效值 交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值
u ~
i
R
+ U _
I
R
பைடு நூலகம்
通入正弦交流电，T时 间内，电流热效应：
T
通入直流电，T时间内， 电流热效应：
Q = I2 RT
Q
2 i Rdt 0
则有： 同理：
I
Im 2
U U m 2
E
Em 2
1.瞬时值、最大值、有效值
i I m sin t
母u, i, e 表示 。 母带下标m表示, 如：Im, 有效值。以大写字母I、U、
瞬时值 : 描述正弦量在任一瞬间的值 ，以小写字 最大值 ：瞬时值中的最大数值，也称幅值 ,以大写字 Um, Em. 有效值 : 与交流热效应相等的直流定义为交流电的 E表示 。
《电工基础》练习及答案(7初识正弦交流电)
《电工技术基础与技能》复习题 7．初识正弦交流电 一、选择题：1．人们常说的交流电压220V 是指交流电压的（ ）A ．最大值B ．有效值C ．瞬时值D ．平均值 2．关于交流电的有效值，下列说法正确的是（ ） A ．最大值是有效值的3倍B ．有效值是最大值的2倍C ．最大值为311V 的正弦交流电，就其热效应而言，相当于一个220V 的直流电D ．最大值为311V 的正弦交流电，可以用220V 的直流电代替3．一个电容器的耐压为250V ，把它接入正弦交流电中使用，加在它两端的交流电压的有效值可以是（ ）。
A ．150VB ．180VC ．220VD ．都可以 4．已知V t u )6314sin(2100π-=，则它的角频率、有效值、初相分别是（ ）A ．62100/314π-、V 、s rad B ．6100/100ππ-、V 、s radC ．610050π-、V 、Hz D ．6100/314π、V 、s rad5．某正弦交流电的初相角20πϕ-=，在t =0时，其瞬时值将（ ）A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不能确定 6．A t i ωsin 51=与A t i )30sin(52︒-=ω的相位差是（ ） A ．30° B ．－30° C ．0° D ．无法确定 7．两个同频率正弦交流电21、i i 的有效值各为40A 和30A ，当21、i i 的有效值为50V时，1i 与2i 的相位差是（ ）A ．0°B ．180°C ．45°D ．90° 8．某交流电压V t u )4100sin(100ππ+=，当s t 1.0=时的值是（ ）A ．V 7.70-B ．V 7.70C ．V 100D ．V 100-9．某正弦交流电压的有效值为380V ，频率为50Hz ，在t =0时的值为380V ，则该正弦电压的表达式为（ ）A ．V t u )90314sin(380︒+=B ．V t u 314sin 380=C ．V t u )45314sin(2380︒+=D ．V t u )45314sin(2380︒-= 10．如右图所示的矢量图中，交流电压1u 与2u 的相位关系是（ ）A ．1u 比2u 超前75°B ．1u 比2u 滞后75°C ．1u 比2u 超前30°D ．无法确定11．一个电热器接在10V 的直流电源上，产生一定的热功率。
正弦量的三要素
4.1正弦交流电的基本概念正弦量：按正弦规律变化的物理量的统称。
正弦电流、正弦电压、正弦电动势：随时间按正弦规律变化的电流、电压、电动势。
正弦交流电路：电路中所有电压、电流、电动势都是正弦量的电路。
在一定的参考方向下，正弦电流可表示为sin()m i i I t ω=+ψ正弦电流的波形图正弦量的主要特征：大小、变化的快慢及变化的进程一、周期、频率与角频率周期：正弦量完成一个循环的变化所需要的时间。
用T 表示，单位为秒（s ）。
频率：正弦量在单位时间内变化所完成的循环数。
用f 表示，单位为赫兹（Hz ）。
角频率：正弦量在单位时间内变化的角度，即每秒变化的弧度数。
用ω表示，单位为弧度/秒（rad/s ）。
三者之间的关系：周期、频率和角频率都是表示正弦量变化快慢的量，周期愈大，正弦量变化愈慢；角频率愈大，频率愈高，正弦量变化愈快。
【例3－1】 已知电流，试求该电流的周期T 和频率。
1f T=22f Tπωπ==解：100100 5022110.0250Z Zrad sf H H T s s f ωπωπππ=======二、瞬时值、幅值与有效值瞬时值：随时间变化的电压或电流在某一时刻的数值。
幅值：正弦量在变化过程中出现的最大瞬时值，又称最大值。
大写字母加下标m 来表示，如Im 、Um 、Em 。
有效值：如果一个周期性电流i 通过某一电阻R ，在一个周期内产生的热量与另一个直流电流I 通过电阻R 在相等的时间内产生的热量相等，则将此直流电流的数值I 称为该周期性电流的有效值。
大写字母表示，如I 、U 、E 。
由此可得到周期电流的有效值设i = Imsin(ωt +ψi )时mI ===周期量的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内的平均值的平方根，因此有效值又称均方根值。
mI == 220I RTTi Rdt =⎰I =U m==E m ==【例3－2】 已知电压u = 311sin(100πt +6π) V ，试求电压的有效值U 及t=0.01s 时电压的瞬时值。
电压有效值和峰值的关系
电压有效值和峰值的关系
一、峰峰值是指一个周期内信号最高值和最低值之间差的值，就是最大和最小之间的范围。
它描述了信号值的变化范围的大小。
有效值(Effective value)在相同的电阻上分别通以直流电流和交流电流，经过一个交流周期的时间，如果它们在电阻上所消耗的电能相等的话，则把该直流电流（电压）的大小作为交流电流（电压）的有效值，正弦电流（电压）的有效值等于其最大值（峰值）的1/√2，约0.707倍。
峰值Vp（Peak）。
峰值是指一个周期内信号最高值或最低值到平均值之间差的值。
一般来说，峰值对上下对称的信号才有定义。
可以看到，峰值等于峰峰值的一半。
二、有效值在相同的电阻上分别通过直流电流和交流电流，经过一个交流周期的时间，如果它们在电阻上所消耗的电能相等的话，则把该直流电流(电压)的大小作为交流电流(电压)的有效值，正弦电流(电压)的有效值等于其最大值(幅值)的1/√2，约0.707倍。
在正弦交流电流电中根据热等效原理，定义电流和电压的有效值为其瞬时值在一个周期内的方均根值。
(1)有效值也称为方均根值。
(2)正弦量的有效值等于其最大值被2的平方根去除。
(3)非正弦量的有效值，等于它的直流分量、基波和各高次谐波有效值平方和的平方根值(还有一种定义方式，将直流分量、基波定义分别为零次谐波和一次谐波。
在这个前提下，非正弦量的有效值就等于它的各次谐波有效值平方和的平方根值)。
正弦量的三要素
设一交变电流i通过电阻R,在一个周期内该电阻消耗的 电能是:
W~ = ∫ i Rdt = R∫ i dt
2 2 0 0
T
T
i
R
如果有一个直流电流I通过同一电阻R,在同一时间T内 所消耗的电能为：
W = I RT
2
I
R
在一个周期时间内,W～=W—, 于是
R∫ i dt = I RT
2 2 0
T
1 T 2 I= ∫0 i dt T
最大值（幅值） 最大值（幅值）:在一个周期里 最大的瞬时值叫最大值, 最大的瞬时值叫最大值,它是交 流电的振幅,通常用大写字母并 流电的振幅, 加注下标m表示。 加注下标m表示。如Im、Um及Em。 可见， 可见，最大值实际上就是最大的 瞬时值，也是与时间有关的量。 瞬时值，也是与时间有关的量。
Im
ω
= 2πf
Um
ψu
e = Em sin( ωt +ψe )V
Em
ψe
相位差：两个同频率的正弦交流电在相位上的差值 定义位相位差,用φ表示。
ui = (ωt +ψu ) (ωt +ψi ) =ψu ψi
同频率的两个正弦交流电的相位差等于它们的 初相之差。 i, u i, u
ψi ψu
0
t
ψu 0
Im i t4 t
t3 0 t1 t2
.
每秒时间内重复变化的周期数称 T 为频率,用字母 表示,它的单位是赫 为频率 用字母 f 表示 它的单位是赫 简称赫,周期和频率互为倒数 兹(Hz),简称赫 周期和频率互为倒数 简称赫 周期和频率互为倒数, 1 2π 即有 f = ωT = 2π ω = = 2πf T T 的交流电(称为工频交流电),其角 例如频率 f =50Hz的交流电 称为工频交流电 其角 的交流电 称为工频交流电 频率和周期分别为： 频率和周期分别为 ω=2π f=314 rad/s T=0.02s
正弦量的基本概念
Q I 2 RT Q i 2 R dt
0 T
I RT i R dt
2 2 0
T
1 I T 1 U T
T
0
i dt u dt
2
2
T
0
正弦量的有效值
1 I T
T
0
I sin tdt
2 m 2
2 Im T
T
0
1 cos 2t dt 2
2 Im (T 0) 2T
6
3
(1)t=100ms时，
π π u ab (t ) 300 sin(2000 πt )mV , iab (t ) 5 sin(2000 πt )mV 6 3
π π u ab (0.1) 300 sin(2000 π 0.1 ) 300 sin 150 mV 6 6 π π iab (0.1) 5 sin(2000 π 0.1 ) 5 sin 4.33m 3 3
u/V 250 200 u2 u1
0 3
6
2
t
i 例 3-1 图3-1-4给出正弦电压u ab 和正弦电流ab 的 波形。(1)写出u ab 和i ab 的解析式并求出它们在 i t=100ms时的值。(2)写出 ba 的解析式并求出 t=100ms时的值。
由波形可知电压和电流的最大值分别为300mV和 5mA，频率都为1kHz，角频率为2000πrad/s，初 π π 相分别为 和 ，它们的解析式分别为
π 2π iba (t ) iab 5 sin(2000 πt π) 5 sin(2000 πt )mA 3 3
当t＝100ms时
正弦电路的电压电流及相量表示
解：电压u（t）与电流i1（t）的相位差为
=（-180o）-（- 45o ）= -135o＜0
所以u（t）滞后i1（t）135o 。
电压u（t）与电流i2（t）的相位差为
= -180o - 60o = -240o 由于规定||≤π，所以u（t）与i2（t）的相位 差应为 = -240o+360o = 120o＞0，因此u（t）超前 i2（t）120o 。
四、正弦量的有效值 有效值的提出： 正弦量的有效值是根据它的热效应确定的。以正 弦电压u（t）为例，它加在电阻R两端，如果在一个 周期T内产生的热量与一个直流电压U加在同一电阻上 产生的热量相同，则定义该直流电压值为正弦电压 u （t）的有效值。用大写字母“U”表示。 有效值的定义式：
1 U T
本讲作业
1、复习本讲内容；
2、预习下一讲内容——正弦电路的相量分析法； 3、书面作业：习题8-1，8-2，8-4，8-5。
8.2 正弦量的相量表示
一、相量表示法的提出 前面学过的解析式（三角函数表示法）和正弦量 的波形图（正弦曲线表示法）都不便于分析计算正弦 电路。为了解决这个问题，引入了正弦量的第三种表 示方法——相量表示法。 二、相量表示法采用的形式 相量表示法，实际上采用的是复数表示形式。
三、相量表示方法 模等于正弦量的有效值（或振幅），幅角等于 正弦量的初相的复数，称为该正弦量的相量。相量 用该正弦量的符号上加一圆点“ · ”来表示，说明它 是时间的函数，以便与一般复数相区别。 振幅相量 相量的模为正弦量的振幅，称振幅相量，以 I m 、 Um 等表示。其振幅相量表达式为
将u3（t）的解析式整理如下： u3（t）= 5cos（100πt + 60o） = 5sin（100πt + 60o + 90o） = 5sin（100πt + 150o ）V 所以得到
正弦量的瞬时值、幅值和有效值(精)
瞬时值 : 描述正弦量在任一瞬间的值 ，以小写字
母u, i, e 表示 。
最大值 ：瞬时值中的最大数值，也称幅值 ,以大写字 母带下标m表示, 如：Im, Um, Em.
有效值 : 与交流热效应相等的直流定义为交流电的 E表示 。
注意：
有效值。以大写字母I、U、
电路基础
正弦量的瞬时值、幅值和有效值
3.2 正弦量的三要素
u Um sin(t u ) i Im sin(t i )
其中u、i分别为电压和电流的瞬时值; Um、Im分别为 电压和电流的幅值（或最大值）; ω为角频率; φu, φi分别 为电有效值
交流电压、电流表测量数据为有效值 交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值
~u i R
+
U IR _
通入正弦交流电，T时
间内，电流热效应：
T
Q i2Rdt
0
则有：
I Im 2
同理：
U
Um 2
通入直流电，T时间内， 电流热效应：
Q = I2 RT
E Em 2
知识回顾 Knowledge Review
教案：正弦交流电的三要素
教案纸
电压与电流的相位差为：2
)6
(3
πππϕϕϕ=--=-=i u
相位差的存在，表示两个正弦量的变化进程不同。
两个正弦量，根据相位差的不同，可以有以下几种不同的变化进程:
（1）当ϕ= 0，即ϕu = ϕi 时，两个正弦量的变化进程相
同，称为电压u 与电流i 同相；
（2）当ϕ> 0，即
ϕ
u
>
ϕ
i
时，电压u 比电流i 先到达零值
或正的最大值，称电压u 比电流i 在相位上超前ϕ角。
反过来也可以称电流i 比电压u 滞后ϕ角，
（3）当ϕ=2
π
时，两正弦量的变化进程相差90°称它们为正交，
（4）当ϕ=π时，两正弦量的变化进程刚好相反，称它们为反相，
【例题】 已知两正弦电动势分别是:
e 1=100V t )60100sin(2︒+π，e 2V t )30100sin(265︒-=π。
求：（1）各电动势的最大值和有效值；
（2）频率、周期、相位、初相位、相位差； 解：（1）最大值 V Em 21001= V Em 2652= 有效值 V E 1002
21001==
V E 652
2652==
（2）频率
Hz
f
f 50210022
1
===
=
π
π
πω 周期 s f T T 02.050
1
121==== 相位
)60100(1︒+=t πα )30100(2
︒-=t πα
初相位︒=601
ϕ ︒-=302
ϕ
相位差︒=︒--︒=-=
90)30(602
1
ϕ
ϕϕ。
电工基础知识
2 / 30 A
常数，大写字母加点
一、基尔霍夫定律
电路定律的相量形式
正弦电流电路中的各支路电流和支路 电压都是同频正弦量，所以可以用相量法 将KCL和KVL转换为相量形式。
1、基尔霍夫电流定律
对电路中任一点，根据KCL有 Σ i = 0 其相量形式为 I 0
2、基尔霍夫电压定律
对电路任一回路，根据KVL有 Σ u = 0 其相量形式为 U 0
电压与电流间的相位差或电路的功率 因数决定于电路（负载）的参数。 只有在电阻负载的情况下，电压和电 流才同相，其功率因数为1。 对于其他负载来说，其功率因数均介 于0 与1之间。
提高功率因数的意义 功率因数不等于1时，电路中发生能 量互换，出现无功功率。这样引起下面 两个问题： 1、发电设备的容量不能充分利用 2、增加线路和发电机绕组的功率损耗
三相电路
一、对称三相电源 对称三相电源是由3 个等幅值、同 频率、初相依次相差120°的正弦电压 源连接成星形或三角形组成的电源。
N -
uA
uB
+ A + B + C +
A
uA
B +
uC
uC
+ -
N
星形接法
uB
三角形接法
C
N -
uA
uB
+ A + B + C +
A
uA
B +
uC
uC
+ -
N
星形接法
k = 1,2,…，n
U k 为第k个阻抗的电压, U 为总电压.
二、阻抗的并联 对 n 个导纳并联而成的电路，其等效导纳
推导正弦波正弦量、平均值、有效值基本公式
推导正弦波正弦量、平均值、有效值基本公式
一、基本公式
对于一个时间函数的正弦波：
即函数是u＝F(t)，注意u≠sin(t)，F≠sin。
但是它是一个正弦波，故u＝sin(￡)，￡与t存在关系
即：u＝F(t)＝sin(￡)，￡与t存在关系，￡的单位是角度，t的单位是秒。
sin只能对“角度”，不能对“秒”。
“秒”要转换成“角度”才能sin。
现在来求解￡是什么，发现：
O点，t＝0时，￡＝0
A点，t＝T时，￡＝2π
B点，t＝2T时，￡＝2×2π
即￡与t的关系是￡＝（2π/T）×t
故得：u＝F(t)＝sin(￡)＝sin(（2π/T）t) ！！！！
另，
角速度＝2π/t
角频率ω＝2π/T＝2πf，T为周期，f为频率
故最终：u＝sinωt ！！！！
即t乘以ω后，就变成角度了，ωt是角度，就可以sin了！
二、对于各种提前、延后的情况：
即sin函数里面的都是角度！
时间需要乘以ω转成角度。
角度要转成时间，就要除以ω。
π／2＝ω×T／4，即T／4相当于是π／2。
正弦波有效值计算27页PPT
+i R u _
I(0)
U(0) R
5 A
U2(0) 0V
课堂练习解答
基波分量单独作用：电路为稳态正弦电路，用相量法进
行计算，基波角频率为
I (1)
jL1
U (1 )2 8 2 2 .8 0 2 0 0 0 V
+
R
j jL2 +
I (1)
20
2000 j0.625 j5 (
j45)
U (1)
5－3 非正弦周期电流电路的功率
平均功率计算公式： P1Tpdt1Tuidt
T0
T0
若 uU 0 U kmsin(ktk)
k1
iI0 Ikm sin(ktkk)
k 1
则 P T 10 T u id t U 0 I0 k 1 U kIkc o sk
P 0 P kP 0P 1P 2 k1
行相加，可得最终结果
课堂练习解答
i ( t ) 5 9 .5 5 2 s i n (t 1 7 .3 5 ) A
u 2 ( t ) 5 5 . 1 7 2 s i n ( t 7 2 . 6 5 ) 1 0 0 2 s i n 3 t V
电压有效值
U 2 U 2 2 ( 0 ) U 2 2 ( 1 ) U 2 2 ( 3 ) 5 5 . 1 7 2 1 0 0 2 1 1 4 . 2 V
k km cosktcosqtd t k 1k 1
C q m 0 2 0 2 c c o o s s q k 0 2 t s t c ic n o o s k s q q tt c d t o d s q tt t d 0 C tq m q 0 k
_
C
电工学 第二章正弦交流电路
(1-2)
. 一、正弦量的三要素
二、同频率正弦量的相位差
三、正弦量的有效值
(1-3)
一、正弦量的三要素
i = Im sin (wt + j ) i
Im
j
wt Im：电流幅值（最大值）
三要素
w： 角频率（弧度/秒）
.
U Z = I
j = j u - ji
结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比， 而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差。
(1-46)
Z 和电路性质的关系
Z = R+ j (XL－ XC )
阻抗角
j = ju－ ji = arctg
(1-39)
以电流为 参考量时
正 误 判 断
在电阻电路中：
瞬时值
有效值
U I= R
？
U i= R
？
u ？ i = R
(1-40)
正 误 判 断
在电感电路中：
u i= XL
？
U I= ωL
u i= ωL
？
？
& U = XL & I
U = jω L I
？
？
(1-41)
第四节
RLC串、并联电路及功率因数的提高 一、RLC串联的正弦交流电路
& I U=&R
& I & U
(1-25)
相量图
总结功率关系
因为：
i= Im sinwt u =Ri=R Im sinwt p=u·=R·2=u2/R i i
小写，瞬时值功率
所以：
i
u
wt
基本电路理论试题文集(有答案)
第1章 试题库一、填空题1、正弦交流电的三要素是指正弦量的 最大值 、 角频率 和 初相 。
2、反映正弦交流电振荡幅度的量是它的 最大值 ；反映正弦量随时间变化快慢程度的量是它的 频率 ；确定正弦量计时始位置的是它的 初相 。
3、已知一正弦量A )30314sin(07.7︒-=t i ，则该正弦电流的最大值是 7.07 A ；有效值是 5 A ；角频率是 314 rad/s ；频率是 50 Hz ；周期是 0.02 s ；随时间的变化进程相位是 314t-30°电角 ；初相是 －30° ；合 －π/6 弧度。
4、正弦量的 有效 值等于它的瞬时值的平方在一个周期内的平均值的 开方 ，所以 有效 值又称为方均根值。
也可以说，交流电的 有效 值等于与其 热效应 相同的直流电的数值。
5、两个 同频率 正弦量之间的相位之差称为相位差， 不同 频率的正弦量之间不存在相位差的概念。
6、实际应用的电表交流指示值和我们实验的交流测量值，都是交流电的 有效 值。
工程上所说的交流电压、交流电流的数值，通常也都是它们的 有效 值，此值与交流电最大值的数量关系为： 最大值是有效值的1.414倍 。
7、电阻元件上的电压、电流在相位上是 同相 关系；电感元件上的电压、电流相位存在 正交 关系，且电压 超前 电流；电容元件上的电压、电流相位存在 正交 关系，且电压 滞后 电流。
8、 同相 的电压和电流构成的是有功功率，用P 表示，单位为 W ； 正交 的电压和电流构成无功功率，用Q 表示，单位为 Var 。
9、能量转换中过程不可逆的功率称 有 功功率，能量转换中过程可逆的功率称 无 功功率。
能量转换过程不可逆的功率意味着不但 有交换 ，而且还有 消耗 ；能量转换过程可逆的功率则意味着只 交换 不 消耗 。
10、正弦交流电路中，电阻元件上的阻抗z = R ，与频率 无关 ；电感元件上的阻抗z = X L ，与频率 成正比 ；电容元件上的阻抗z = X C ，与频率 成反比 。
正弦稳态电路分析3
同频率正弦量的相位差 u(t)=Umsin(t+1)
-0.5T -
1
u(t) 0.5T T
i(t)
i(t)=Imsin(t+2)
0 2
2
t t
0 180 (t+1)- (t+2)= 1-2 =
u 超前i（i 滞后u）
-180 0 u 滞后i（i 超前u） =0 u与i 同相 = 180 u与i 反相 = 90 u与i 正交
(2) 乘除运算 —— 采用指数形式或极坐标形式比较方便。
若
则
即复数的乘法运算满足模相乘，辐角相加。除法运算满足模 相除，辐角相减.
例3-1
解：
计算复数
本题说明进行复数的加减运算时应先把极坐标形式转为代数形式。
例3-2
计算复数
解：
二. 正 弦 量 的 相 量 表 示
j (t ) A ( t ) A e 设有一复数
2
) 2 I c sin(t i )
由以上分析可得如下关系 （a） 电容电压、电流有效值的关系为IC =ωCU （b） 电感电压滞后电流90°，即Ψu =Ψ -90°
i
C
电容电压与电流的瞬时波形如图。
（2）C中的电压相量与电流相量 设电容电压相量为
则电容电流相量 所以电容元件的电压、电流相量的关系式:
根据欧拉公式可将复数的三角形式转换为指数表示形式：
4)指数形式有时改写为极坐标形式：
2. 复数的运算 (1) 加减运算 —— 采用代数形式比较方便。 若 则 即复数的加、减运算满足实部和实部相加减，虚部和虚 部相加减。 复数的加、减运算也可 以在复平面上按平行四边形 法用向量的相加和相减求得， 如图3.2所示 图3.2
正弦量基本概念
i ( t ) 100 cos(10 t
3
3
)
当 10 t1 3 有最大值
t1＝
3
10
3
＝1.047ms
3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umcos(w t+ u), i(t)=Imcos(w t+ i ) 则 相位差 ： = (w t+ u)- (w t+ i)= u- 等于初相位之差
w 2 f 2 T
单位： rad/s ，弧度 / 秒 i Im O T 2
(3) 初相位(initial phase angle) 反映正弦量的计时起点， 常用角度表示。
/w
twt
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 i
一般规定：| | 。
0
t
=0
=/2
=－/2
研究正弦电路的意义： （1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重 要的地位。 优点： 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数 2）正弦信号容易产生、传送和使用。
（2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。
f ( t ) Ak cos(kwt k )
Re( 2 U 1 e
可得其相量关系为：
jwt
2U2 e
jwt
) Re( 2 (U 1 U 2 )e jwt )
A | A | e j | A |
两种表示法的关系：
Im b
直角坐标表示 极坐标表示 0
A |A|
正弦量的有效值
正弦量的有效值
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正弦量的有效值
有效值是根据电流的热效应定义的：如果某一个周期交流电流通过电阻R在一个周期T内产生的热量和另一个直流电流i通过同样大小的电阻在相等的时间内产生的热量相等，则把这一直流电流I的值定义为该交流电流的有效值。
据此可得
故交流电的有效值为
对于正弦交流电流有代入上式则有
同理，对于正弦电压和电动势，有
温馨提示
（1）最大值等于有效值的2倍的关系仅仅适用于正弦量，其它非正弦的周期信号不能照搬这个关系式；
（2）工程上所说的正弦电压和电流的大小都是指有效值；
（3）一般交流测量仪表所指示的电压、电流的数值都是指有效值；（4）各种交流电气设备铭牌上所标定的电压、电流值都是有效值。
（5）初学者应注意几种量的字母表示形式，如瞬时值用小写字母i、u、e表示；有效值用大写不带下标字母I、U、E表示；最大值用大
写字母带下标表示，如、、。