第四章 系统的运动稳定性
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线性系统理论 系统的运动稳定性 12
定理3： 若原点的某邻域 内存在一个正定函数 V (x), 它沿系统的全导数在 内为半负定的（或负定 的）， 则系统的零平衡状态为 局部稳定的（或渐近稳 定的）。 定理4： 若原点的某邻域 内存在一个正定函数 V (x), (x)在 它沿系统的全导数在 内为半负定的，但在 中V 系统的非零解上非零， 则系统的零平衡状态渐 近稳定。 定理5： 若在R n 上存在一个具有无穷大 性质的正定函 数V (x),它沿系统的全导数在 R n上为负定的，则系统的 零平衡状态为全局渐近 稳定的。 定理6： 若原点的某邻域 内存在一个正定函数 V (x), 它沿系统的全导数在 内为正定，则零平衡点 不稳定的。
4.1.3 Lyapunov第二方法的主要定理
定义9： 设x R n , 是R n中包含原点的一个封闭 有限区域， V (x, t )是定义在[t 0 , ) 上的一个标量函数，若 (1)V (x, t )关于x和t均具有一阶连续偏导 (2)V (0, t ) 0 (3)V (x, t )有限正定，即存在两个 连续的非减的标量函数
线性系统理论 系统的运动稳定性 14
4.2.2 直接判据
定理：设 (t , t 0 )为系统的状态转移矩阵 ，则系统为 (1)稳定的充要条件是 (t , t 0 )在[t 0 , )上有界，即存在 正常数k (t 0 ), 使得： || (t , t 0 ) || k (t 0 ) , t t 0 (2)一致稳定的充要条件是 (t , t 0 )在[t 0 , )上有界，即 存在正常数k , 使得： || (t , t 0 ) || k , t t 0 (3)渐近稳定的充要条件是 ： lim || (t , t 0 ) || 0
|| x||
线性系统理论 系统的运动稳定性 10
定义10： 设x R n , 是R n中包含原点的一个封闭 有限区域， V (x)是定义在上的一个标量函数，若 (1)V (x)关于x的所有分量均具有一阶 连续偏导 (2)V (0) 0 (3)对于x 0有V (x) 0, 则称V (x)为定义在上的一个 时不变正定函数。 若 lim V (x) , 则称正定函数V (x)具有无穷大性质。
线性系统理论 系统的运动稳定性 13
4.2 线性时变系统的稳定性判据 4.2.1 线性系统稳定性的特殊性
A(t )x, t t 0 x 定常系统 Ax, t t 0 x 原点为系统的一个平衡 点，也可能有非零平衡 点。 A降秩时，系统有无限个 平衡点。 命题1：线性系统的零平衡点 稳定，则其非零平衡 点稳定。 命题2：线性系统的零解渐近 稳定，则必为全局渐 近稳定。 命题3：线性系统的指数稳定 性与全局指数稳定 性等价。
线性系统理论 系统的运动稳定性 18
Hurwitz定理：给定实系数多项 式 f ( s ) s n a1 s n 1 a 2 s n 2 a n 1 s a n 其所有根均s平面左半平面的充要条 件是 a1 a3 i a5 a 2i 1 1 a2 a4 a 2i 0 a1 a3 1 a2 0 , i 1,2, , n ai
|| x||
V (x, t )沿系统的全导数 dV V V f (x, t ) dt x t
线性系统理论 系统的运动稳定性 11
定理1： 若存在包含原点的某邻 域 R n 和定义在 [t 0 , ) 上的一个有界正定函数 V (x, t ),它沿系统的 全导数在[t 0 , ) 上为有界半负定的（或 负定的）， 则系统的零平衡状态是 一致稳定的（或一致渐 近 稳定的）。 定理2： 若存在一个具有无穷大 性质的定义在 [t 0 , ) R n 上的有界正定函数 V (x, t ),它沿系统的全导 数在[t 0 , ) R n 上一致有界一致负定， 则系统的零平 衡点为全局一致渐近稳 定的。
第四章 系统的运动稳定性
Lyapunov意义下的运动稳定性 线性时变系统的稳定性判定 线性定常系统的稳定性
线性系统理论
系统的运动稳定性
1
4.1 Lyapunov意义下的运动稳定性
4.2 线性时变系统的稳定性判定 4.3 线性定常系统的稳定性
线性系统理论
系统的运动稳定性
2
4.1 Lyapunov意义下的运动稳定性 4.1.1 系统的运动与平衡点
t wenku.baidu.com
(4)一致渐近稳定的充要条 件是存在正常数 k１和k２, 使得： || (t , t 0 ) || k１e k２(t t0 ) , t t 0
线性系统理论 系统的运动稳定性 15
4.2.3 Lyapunov定理
定义：设Q(t )为定义在[t 0 , )上的一个分段连续的实 对 称矩阵函数，它称为是 一致有界和一致正定的 ，如果 存在正实数 2 1 0,使得下式成立 0 1 I Q(t ) 2 I , t t 0 引理：设系统是一致渐 近稳定的， (t , t 0 )为其状态转移 矩阵，Q(t )为一致有界和一致正定 的矩阵，则积分 P(t ) T ( , t ) Q( ) ( , t )d
t
定义6： [ Lyapunov 意义下的不稳定定义 ] 设x e为系统的平 衡状态，若对于不管多 大的有限实数 0, 都不可能找到 相应的实数 ( , t0 ), 使得由满足|| x 0 x e || ( , t0 )的任一 x 0出发的运动满足不等式 || (t；x 0 , t0 ) x e || , t t0 ， 称x e为不稳定的。
稳定示意图
线性系统理论
系统的运动稳定性
4
定义2： [ Lyapunov 意义下的一致稳定性 ] 在上述Lyapunov 意义下的稳定性定义中 ， 若的选取只依赖于 而与初始时刻t0的 选取无关，则进一步称 平衡状态x e是 一致稳定的。
一致稳定示意图
线性系统理论
系统的运动稳定性
5
定义3： [ Lyapunov 意义下的渐近稳定性 ] 系统的一个平 衡状态x e 称为渐近稳定的，如果 (1)x e是Lyapunov 意义下稳定性的 (2)对 ( , t0 )和任意给定的实数 0, 对应地存在实数 T ( , , t0 ) 0, 使得满足 || x 0 x e || ( , t0 )的任一初 态x 0出发的受扰运动同时满 足 | (t；x 0 , t0 ) x e || , t t0 T ( , , t0 )
0
有唯一的实对称、一致 有界和一致正定的矩阵 解P(t )。 推论：设A(t )为[t 0 , )上的一致有界分段连续 矩阵，且
[ A(t ) AT (t )] 0
则系统一致渐近稳定。
线性系统理论
系统的运动稳定性
17
4.3 线性定常系统的稳定性 4.3.1 直接判据与Hurwitz定理
7
定义5： [ Lyapunov 意义下的大范围渐近稳 定性] 设x e为系 统的平衡状态，若以状 态空间中任一有限点 x 0为初态的 受扰运动 (t；x 0 , t0 )都是有界的，且满足 lim (t；x 0 , t0 ) x e 则称x e是大范围渐近稳定的 全局渐近稳定。
不稳定示意图
研究运动稳定性问题时 ，常限于研究无外作用 的系统 自治系统。 f (x, t ), x x(t0 ) x 0 , t t0 若系统为定常系统，则 状态方程中不显含时间 t。 若系统为线性， f (,)为x的线性向量函数。 A(t )x, x x(t0 ) x 0 , t t0 若状态方程满足解的存 在唯一性条件，初始状 态引起的运动为： x(t ) (t , x 0 , t0 ), 若 e f (x e , t ) 0, x t t0 t t0
定理：（ 1 ）系统稳定的充要条件 是A的所有特征值均具 有非正实部，且其具有 零实部的特征值为其最 小多项式 的单根。 （2）系统渐进稳定的充要 条件是A的所有特征值均具有 负实部。 定义：设A R nn，则 （ 1 ）A称为Hurwitz稳定的，如果A的所有特征值都有负 实部。 （2）A称为临界Hurwitz稳定的，如果A的所有特征值都 有非正实部，且零实部 根为其最小多项式的单 根。
t
对于t 0收敛，且为下述矩阵微 分方程的唯一解 (t ) P(t ) A(t ) AT (t ) P(t ) Q(t ) , t t P
0
线性系统理论 系统的运动稳定性 16
定理：考虑线性时变系 统，x e为其唯一的平衡状态， A(t )的 元均为分段连续的一致 有界的实函数，则原点 平衡状态为 一致渐近稳定的充要条 件是对于任意给定的一 个实对称、 一致有界和一致正定的 时变阵Q(t ), Lyapunov 矩阵微分方程 (t ) P (t ) A(t ) AT (t ) P(t ) Q(t ) , t t P
(|| x ||)和 (|| x ||)满足： (0) (0) 0，并使得对任何
t t 0 和x 0有 0 (|| x || V (x, t ) (|| x ||) 则称V (x, t )为定义在[t 0 , ) 上的一个正定函数。 若 lim (|| x ||) , 则称正定函数V (x, t )具有无穷大性质。
0, 使得满足
|| x 0 x e || ( , t 0 )
的任一初态x 0出发的受扰运动都满足 不等式 || (t , x 0 , t 0 ) x e || k ( )e (t t0 ) , t t 0 则称x e为全局指数稳定的。
线性系统理论 系统的运动稳定性 9
S(δ )
S (ε )
渐近稳定示意图
线性系统理论 系统的运动稳定性 6
定义4： [ Lyapunov 意义下的一致渐近稳定 性] 在上述 Lyapunov 意义下的渐近稳定性定 义中，若和T的选取 不依赖于初始时刻 t0，则称平衡状态 x e是一致渐近稳定的。
一致渐近稳定示意图
线性系统理论
系统的运动稳定性
称x e为系统的一个平衡点或 平衡状态 系统的常数解或静止运 动。
线性系统理论 系统的运动稳定性 3
4.1.2
Lyapunov意义下的运动稳定性含义
定义1： [ Lyapunov 意义下的稳定性 ] 设x e为系统的一个平衡状态 ，若 对给定的任一实数 0, 都对应地存在一个实数 ( , t0 ), 使得满足 || x 0 x e || ( , t0 ) 的任一初态x 0出发的受扰运动都满足 不等式 || (t , x 0 , t0 ) x e || , t t0 则称x e为Lyapunov 意义下稳定的。
线性系统理论
系统的运动稳定性
8
定义7： [指数稳定的定义 ] 使得满足
设x e为系统的平衡状态，若
对给定的任一实数 0, 都对应地存在一个实数 ( )和 0, || x 0 x e || ( , t 0 ) 的任一初态x 0出发的受扰运动都满足 不等式 || (t , x 0 , t 0 ) x e || e (t t0 ) , t t 0 则称x e为指数稳定的。 定义8： [全局指数稳定的定义 ] 设x e为系统的平衡状态，若 对给定的任一实数 0, 都对应地存在一个实数 k ( ) 0和
定理3： 若原点的某邻域 内存在一个正定函数 V (x), 它沿系统的全导数在 内为半负定的（或负定 的）， 则系统的零平衡状态为 局部稳定的（或渐近稳 定的）。 定理4： 若原点的某邻域 内存在一个正定函数 V (x), (x)在 它沿系统的全导数在 内为半负定的，但在 中V 系统的非零解上非零， 则系统的零平衡状态渐 近稳定。 定理5： 若在R n 上存在一个具有无穷大 性质的正定函 数V (x),它沿系统的全导数在 R n上为负定的，则系统的 零平衡状态为全局渐近 稳定的。 定理6： 若原点的某邻域 内存在一个正定函数 V (x), 它沿系统的全导数在 内为正定，则零平衡点 不稳定的。
4.1.3 Lyapunov第二方法的主要定理
定义9： 设x R n , 是R n中包含原点的一个封闭 有限区域， V (x, t )是定义在[t 0 , ) 上的一个标量函数，若 (1)V (x, t )关于x和t均具有一阶连续偏导 (2)V (0, t ) 0 (3)V (x, t )有限正定，即存在两个 连续的非减的标量函数
线性系统理论 系统的运动稳定性 14
4.2.2 直接判据
定理：设 (t , t 0 )为系统的状态转移矩阵 ，则系统为 (1)稳定的充要条件是 (t , t 0 )在[t 0 , )上有界，即存在 正常数k (t 0 ), 使得： || (t , t 0 ) || k (t 0 ) , t t 0 (2)一致稳定的充要条件是 (t , t 0 )在[t 0 , )上有界，即 存在正常数k , 使得： || (t , t 0 ) || k , t t 0 (3)渐近稳定的充要条件是 ： lim || (t , t 0 ) || 0
|| x||
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定义10： 设x R n , 是R n中包含原点的一个封闭 有限区域， V (x)是定义在上的一个标量函数，若 (1)V (x)关于x的所有分量均具有一阶 连续偏导 (2)V (0) 0 (3)对于x 0有V (x) 0, 则称V (x)为定义在上的一个 时不变正定函数。 若 lim V (x) , 则称正定函数V (x)具有无穷大性质。
线性系统理论 系统的运动稳定性 13
4.2 线性时变系统的稳定性判据 4.2.1 线性系统稳定性的特殊性
A(t )x, t t 0 x 定常系统 Ax, t t 0 x 原点为系统的一个平衡 点，也可能有非零平衡 点。 A降秩时，系统有无限个 平衡点。 命题1：线性系统的零平衡点 稳定，则其非零平衡 点稳定。 命题2：线性系统的零解渐近 稳定，则必为全局渐 近稳定。 命题3：线性系统的指数稳定 性与全局指数稳定 性等价。
线性系统理论 系统的运动稳定性 18
Hurwitz定理：给定实系数多项 式 f ( s ) s n a1 s n 1 a 2 s n 2 a n 1 s a n 其所有根均s平面左半平面的充要条 件是 a1 a3 i a5 a 2i 1 1 a2 a4 a 2i 0 a1 a3 1 a2 0 , i 1,2, , n ai
|| x||
V (x, t )沿系统的全导数 dV V V f (x, t ) dt x t
线性系统理论 系统的运动稳定性 11
定理1： 若存在包含原点的某邻 域 R n 和定义在 [t 0 , ) 上的一个有界正定函数 V (x, t ),它沿系统的 全导数在[t 0 , ) 上为有界半负定的（或 负定的）， 则系统的零平衡状态是 一致稳定的（或一致渐 近 稳定的）。 定理2： 若存在一个具有无穷大 性质的定义在 [t 0 , ) R n 上的有界正定函数 V (x, t ),它沿系统的全导 数在[t 0 , ) R n 上一致有界一致负定， 则系统的零平 衡点为全局一致渐近稳 定的。
第四章 系统的运动稳定性
Lyapunov意义下的运动稳定性 线性时变系统的稳定性判定 线性定常系统的稳定性
线性系统理论
系统的运动稳定性
1
4.1 Lyapunov意义下的运动稳定性
4.2 线性时变系统的稳定性判定 4.3 线性定常系统的稳定性
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系统的运动稳定性
2
4.1 Lyapunov意义下的运动稳定性 4.1.1 系统的运动与平衡点
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(4)一致渐近稳定的充要条 件是存在正常数 k１和k２, 使得： || (t , t 0 ) || k１e k２(t t0 ) , t t 0
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4.2.3 Lyapunov定理
定义：设Q(t )为定义在[t 0 , )上的一个分段连续的实 对 称矩阵函数，它称为是 一致有界和一致正定的 ，如果 存在正实数 2 1 0,使得下式成立 0 1 I Q(t ) 2 I , t t 0 引理：设系统是一致渐 近稳定的， (t , t 0 )为其状态转移 矩阵，Q(t )为一致有界和一致正定 的矩阵，则积分 P(t ) T ( , t ) Q( ) ( , t )d
t
定义6： [ Lyapunov 意义下的不稳定定义 ] 设x e为系统的平 衡状态，若对于不管多 大的有限实数 0, 都不可能找到 相应的实数 ( , t0 ), 使得由满足|| x 0 x e || ( , t0 )的任一 x 0出发的运动满足不等式 || (t；x 0 , t0 ) x e || , t t0 ， 称x e为不稳定的。
稳定示意图
线性系统理论
系统的运动稳定性
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定义2： [ Lyapunov 意义下的一致稳定性 ] 在上述Lyapunov 意义下的稳定性定义中 ， 若的选取只依赖于 而与初始时刻t0的 选取无关，则进一步称 平衡状态x e是 一致稳定的。
一致稳定示意图
线性系统理论
系统的运动稳定性
5
定义3： [ Lyapunov 意义下的渐近稳定性 ] 系统的一个平 衡状态x e 称为渐近稳定的，如果 (1)x e是Lyapunov 意义下稳定性的 (2)对 ( , t0 )和任意给定的实数 0, 对应地存在实数 T ( , , t0 ) 0, 使得满足 || x 0 x e || ( , t0 )的任一初 态x 0出发的受扰运动同时满 足 | (t；x 0 , t0 ) x e || , t t0 T ( , , t0 )
0
有唯一的实对称、一致 有界和一致正定的矩阵 解P(t )。 推论：设A(t )为[t 0 , )上的一致有界分段连续 矩阵，且
[ A(t ) AT (t )] 0
则系统一致渐近稳定。
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4.3 线性定常系统的稳定性 4.3.1 直接判据与Hurwitz定理
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定义5： [ Lyapunov 意义下的大范围渐近稳 定性] 设x e为系 统的平衡状态，若以状 态空间中任一有限点 x 0为初态的 受扰运动 (t；x 0 , t0 )都是有界的，且满足 lim (t；x 0 , t0 ) x e 则称x e是大范围渐近稳定的 全局渐近稳定。
不稳定示意图
研究运动稳定性问题时 ，常限于研究无外作用 的系统 自治系统。 f (x, t ), x x(t0 ) x 0 , t t0 若系统为定常系统，则 状态方程中不显含时间 t。 若系统为线性， f (,)为x的线性向量函数。 A(t )x, x x(t0 ) x 0 , t t0 若状态方程满足解的存 在唯一性条件，初始状 态引起的运动为： x(t ) (t , x 0 , t0 ), 若 e f (x e , t ) 0, x t t0 t t0
定理：（ 1 ）系统稳定的充要条件 是A的所有特征值均具 有非正实部，且其具有 零实部的特征值为其最 小多项式 的单根。 （2）系统渐进稳定的充要 条件是A的所有特征值均具有 负实部。 定义：设A R nn，则 （ 1 ）A称为Hurwitz稳定的，如果A的所有特征值都有负 实部。 （2）A称为临界Hurwitz稳定的，如果A的所有特征值都 有非正实部，且零实部 根为其最小多项式的单 根。
t
对于t 0收敛，且为下述矩阵微 分方程的唯一解 (t ) P(t ) A(t ) AT (t ) P(t ) Q(t ) , t t P
0
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定理：考虑线性时变系 统，x e为其唯一的平衡状态， A(t )的 元均为分段连续的一致 有界的实函数，则原点 平衡状态为 一致渐近稳定的充要条 件是对于任意给定的一 个实对称、 一致有界和一致正定的 时变阵Q(t ), Lyapunov 矩阵微分方程 (t ) P (t ) A(t ) AT (t ) P(t ) Q(t ) , t t P
(|| x ||)和 (|| x ||)满足： (0) (0) 0，并使得对任何
t t 0 和x 0有 0 (|| x || V (x, t ) (|| x ||) 则称V (x, t )为定义在[t 0 , ) 上的一个正定函数。 若 lim (|| x ||) , 则称正定函数V (x, t )具有无穷大性质。
0, 使得满足
|| x 0 x e || ( , t 0 )
的任一初态x 0出发的受扰运动都满足 不等式 || (t , x 0 , t 0 ) x e || k ( )e (t t0 ) , t t 0 则称x e为全局指数稳定的。
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S(δ )
S (ε )
渐近稳定示意图
线性系统理论 系统的运动稳定性 6
定义4： [ Lyapunov 意义下的一致渐近稳定 性] 在上述 Lyapunov 意义下的渐近稳定性定 义中，若和T的选取 不依赖于初始时刻 t0，则称平衡状态 x e是一致渐近稳定的。
一致渐近稳定示意图
线性系统理论
系统的运动稳定性
称x e为系统的一个平衡点或 平衡状态 系统的常数解或静止运 动。
线性系统理论 系统的运动稳定性 3
4.1.2
Lyapunov意义下的运动稳定性含义
定义1： [ Lyapunov 意义下的稳定性 ] 设x e为系统的一个平衡状态 ，若 对给定的任一实数 0, 都对应地存在一个实数 ( , t0 ), 使得满足 || x 0 x e || ( , t0 ) 的任一初态x 0出发的受扰运动都满足 不等式 || (t , x 0 , t0 ) x e || , t t0 则称x e为Lyapunov 意义下稳定的。
线性系统理论
系统的运动稳定性
8
定义7： [指数稳定的定义 ] 使得满足
设x e为系统的平衡状态，若
对给定的任一实数 0, 都对应地存在一个实数 ( )和 0, || x 0 x e || ( , t 0 ) 的任一初态x 0出发的受扰运动都满足 不等式 || (t , x 0 , t 0 ) x e || e (t t0 ) , t t 0 则称x e为指数稳定的。 定义8： [全局指数稳定的定义 ] 设x e为系统的平衡状态，若 对给定的任一实数 0, 都对应地存在一个实数 k ( ) 0和