第四章 系统的运动稳定性
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机械系统的运动稳定性分析
机械系统的运动稳定性分析引言机械系统是由各种机械元件组成的，其运动稳定性是系统是否可以稳定工作的重要指标。
在工程设计中，运动稳定性分析是一个关键的环节，它能够帮助工程师们更好地设计和优化机械系统，提高其性能和可靠性。
本文将介绍机械系统的运动稳定性分析的基本原理和方法，并通过实例说明。
一、运动稳定性的定义和影响因素运动稳定性指的是机械系统在运动过程中是否能保持平衡和稳定。
一个稳定的机械系统不会发生过量振荡、失控或过载，可以正常运行并达到设计要求。
影响机械系统运动稳定性的因素很多，包括质量分布、摩擦力、弯曲刚度、惯性力等。
这些因素之间相互作用，会对机械系统的运动稳定性产生重要影响。
二、运动稳定性分析的基本原理运动稳定性分析需要考虑机械系统的动力学特性和运动方程。
最常用的方法是应用拉格朗日方程对机械系统进行建模和计算。
通过建立机械系统的拉格朗日方程，可以得到系统的运动方程并进一步求解。
在求解的过程中，需要考虑系统内各个部件之间的相互作用，例如惯性力、刚度力和摩擦力等。
三、运动稳定性分析的方法1. 线性稳定性分析线性稳定性分析是机械系统运动稳定性分析的一种常用方法。
它假设机械系统的运动方程是线性的，并通过线性化处理进行分析。
线性稳定性分析可以通过计算系统的特征根值（也称为本征值）来评估系统的稳定性。
当系统的本征值都具有负实部时，系统是稳定的；当存在本征值具有正实部时，系统是不稳定的。
2. 非线性稳定性分析非线性稳定性分析是对机械系统的非线性运动方程进行分析。
与线性稳定性分析不同，非线性稳定性分析需要考虑系统运动方程的非线性特性，并通过数值模拟等方法进行求解。
非线性稳定性分析具有更高的准确性，能够更好地描述实际系统的运动稳定性。
四、运动稳定性分析实例以摆线针轮传动为例进行运动稳定性分析。
摆线针轮传动是一种特殊的齿轮传动，它具有高传动精度和低噪音等优点。
在传动过程中，由于齿轮齿形的非线性特性，系统的运动稳定性需要进行详细分析。
第四章线性控制系统的稳定性
G ( s) f ( s) K P(s + Z i )
i 1
P ( s + Pj ) P ( s 2 + 2x k w nk s + w nk 2 )
j 1 k 1
q
r
则脉冲响应为： g (t)
A e
j j 1
q
p t j
+ B e
k k 1
r
x w t k nk
sinwnk 1 xk t + Ck e
三、SISO线性定常系统的稳定性分析方法：
求脉冲响应 求阶跃响应 求系统的闭环特征根
不易求
其它简单的判定方法?
2019/4/16
北京科技大学自动化学院自动化系
22
4.2.2 Routh稳定判据(Routh’s stability criterion)
Routh表
系统闭环特征方程
n 1 n 2 + + a0 S a1 S a2 S + + a 1 S + a 0 a0 > 0 n n n
10
4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性
2019/4/16
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11
4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性
临界稳定
2019/4/16
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12
4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性
李雅普诺夫（渐进）稳定性定义：
若线性系统在初始扰动的影响下，其动态 过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零或原 平衡工作点，则称系统渐进稳定，简称稳 定。反之，若初始扰动的影响下，系统的 动态过程随时间的推移而发散，则称系统 不稳定。
i 1
P ( s + Pj ) P ( s 2 + 2x k w nk s + w nk 2 )
j 1 k 1
q
r
则脉冲响应为： g (t)
A e
j j 1
q
p t j
+ B e
k k 1
r
x w t k nk
sinwnk 1 xk t + Ck e
三、SISO线性定常系统的稳定性分析方法：
求脉冲响应 求阶跃响应 求系统的闭环特征根
不易求
其它简单的判定方法?
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22
4.2.2 Routh稳定判据(Routh’s stability criterion)
Routh表
系统闭环特征方程
n 1 n 2 + + a0 S a1 S a2 S + + a 1 S + a 0 a0 > 0 n n n
10
4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性
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11
4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性
临界稳定
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12
4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性
李雅普诺夫（渐进）稳定性定义：
若线性系统在初始扰动的影响下，其动态 过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零或原 平衡工作点，则称系统渐进稳定，简称稳 定。反之，若初始扰动的影响下，系统的 动态过程随时间的推移而发散，则称系统 不稳定。
第四章(稳定性与李雅普诺夫方法)
1、构造Liaponov 函数没有确定的方法，要求一定的技巧，一般 用于非线性系统或时变系统； 2、必须是稳定性判据的标量函数，且有一阶连续偏导； 3、非唯一但不影响结论的正确性； 4、最简单的形式为二次型。
§4.4 Liaponov 方法在系统中的应用
一、线性定常连续系统渐近稳定判据 1、判据 的平衡状态xe =0 大范围渐进稳定充要条件是： 对于任意给定的正定实对称矩阵Q,存在正定的实对称矩阵P，满足 Liaponov方程： T
1、 Liyaponov意义下的稳定
0, ( , t 0 ) 0, s.t. if || x 0 x e || ( , t 0 ) || (t , x 0 , t 0 ) x e || then其解 (t 0 t )
称平衡状态xe为 Liyaponov意义下的稳定，简称稳定。
V (x) x T Px [ x1
x2
如果 pij =
p ji ，则称P
为实对称阵。例如
1 1 0 P 1 1 0 0 0 1
P为实对称阵，存在正交阵T，使当
V ( x) x Px x T PTx x T
T T T T 1
X T X
___
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2
2
1
2
［例４-３］
判别下列各函数的符号性质．
（１）设 x x1
x2
x3
T
标量函数为
2 V ( x) ( x1 x2 )2 x3
因为有Ｖ（0）＝０，而且对非零x，例如 x 所以Ｖ（x）为半正定（或非负定）的． （２）设
a a 0
设Ｖ（x）为由n维矢量x所定义的标量函数，x∈Ω，且x＝０处，恒有 Ｖ（x）＝０。对所有在域Ω中的任何非零矢量x，如果成立 ①Ｖ（x）＞０，则称Ｖ（x）为正定的．例如，V (x) x 2x V ( x) ( x x ) ②Ｖ（x）≥０，则称Ｖ（x）为半正定（或非负定）的．例如， ③Ｖ（x）＜０，则称Ｖ（x）为负定的．例如，V (x) (x 2x ) ④Ｖ（x）≤０，则称Ｖ（x）为半负定的．例如，V ( x) ( x x ) ⑤Ｖ（x）＞０或Ｖ（x）＜０，则称Ｖ（x）为不定的．例如， V ( x) x x
04第四章-李雅普诺夫稳定性理论
平衡状态— —又称一致李氏稳定。
几何意义：
当t t0时,系统受扰动,平衡状态受破坏,产生对应初始状态 x0,当t t0后, 运动状态x(t)会发生变化。
若无论多么小球域S( ),总存在一个球域S( ),当
x0 S( )时, x(t)轨线不会超出S( ),则平衡点xe为
Lyapunov意义下稳定。 实际上，工程中的李氏 稳定是临界不稳定
说明：
J P1AP A~J 考察eJt即可看出 e At的有界性
例：
0 0 J1 0 -1
李氏稳定
0 1 J2 0 0
不稳定
0 0 J3 0 0
李氏稳定
0 0 A J1 0 -1
e At
1
0
0
e-t
x(t)
e At x0
1 0
0 e-t
x10
x20
x10
e-t x20
f1
xn
令
x x xe ,
A
f xT
f 2
xe
x1
f2 x2
f2
xn
xe
f
n
fn
fn
x1 x2 xn
则
.
x
x
( xe常数)
判定法：
.
x Ax
(1) A的所有特征值均有负实部,则xe是渐近稳定的, 与R(x)无关. (2) A的特征值至少有一个有正实部,则xe是不稳定的, 与R(x)无关. (3) A的特征值至少有一个实部为0,则xe的稳定性 与R( x)有关, 不能由A来决定.
P为实对称矩阵 , pij p ji
第二节 李雅普诺夫间接法
李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 1, 2,, n 或者说系统极点来判断系统稳定性。
几何意义：
当t t0时,系统受扰动,平衡状态受破坏,产生对应初始状态 x0,当t t0后, 运动状态x(t)会发生变化。
若无论多么小球域S( ),总存在一个球域S( ),当
x0 S( )时, x(t)轨线不会超出S( ),则平衡点xe为
Lyapunov意义下稳定。 实际上，工程中的李氏 稳定是临界不稳定
说明：
J P1AP A~J 考察eJt即可看出 e At的有界性
例：
0 0 J1 0 -1
李氏稳定
0 1 J2 0 0
不稳定
0 0 J3 0 0
李氏稳定
0 0 A J1 0 -1
e At
1
0
0
e-t
x(t)
e At x0
1 0
0 e-t
x10
x20
x10
e-t x20
f1
xn
令
x x xe ,
A
f xT
f 2
xe
x1
f2 x2
f2
xn
xe
f
n
fn
fn
x1 x2 xn
则
.
x
x
( xe常数)
判定法：
.
x Ax
(1) A的所有特征值均有负实部,则xe是渐近稳定的, 与R(x)无关. (2) A的特征值至少有一个有正实部,则xe是不稳定的, 与R(x)无关. (3) A的特征值至少有一个实部为0,则xe的稳定性 与R( x)有关, 不能由A来决定.
P为实对称矩阵 , pij p ji
第二节 李雅普诺夫间接法
李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 1, 2,, n 或者说系统极点来判断系统稳定性。
第4章 李雅普诺夫稳定性分析
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
S ( ) x0
xe
xe
xe
x1
x1
x1
(a) 李雅普诺夫意义下的稳定性
(b) 渐近稳定性
(c) 不稳定性
4.2 李雅普诺夫第一法(间接法)
间 接 法：利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法。 适应范围：线性定常系统、线性时变系统、非线性函数可线性化的系统。
定理4-9 对于线性定常系统
f ( x, t ) x
(4 382)
式中，x为n维状态向量，且显含时间变量t；f(x，t)为线性或非线性、定常或 时变的n维函数，其展开式为
i x
f
i
( x1 , x2 ,...,xn , t ); i 1,2,...,n
(4 383)
假定方程的解为x(t；x0，t0)，式中x0和t0分别为初始状态向量和初始时刻， 则初始条件x0必满足 x(t0 ；x0，t0) = x0 。 1 平衡状态 李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。对于所有t，满足
t e
i
Hale Waihona Puke i t j i tˆ ) A , i ji i ( A i
(4 394)
2）结论2）证明
由式(4-390)可知，当且仅当‖eAt‖ 对一切 t≥0为有界，且当t→0时 ‖eAt‖ →0，零平衡状态 xe= 0 为渐近稳定。如上所证，当且仅当 A 的所有特征 值均具有负或零实部时，‖eÂt‖有界。又根据式(4-393)和式(4-394)可知 当且 t j t 0 t→0时‖eAt‖→0，这就等价于A的特征值均具 仅当t→∞时 t e ，可保证 有负实部。结论2）证毕。
现代控制第四章
试确定系统平衡状态，以及在平衡状态附近的稳定性。
x1 x2 0 x1 0 解： 1)找xe点 2 x2 a(1 x1 )x2 x1 0 x2 0 则xe 0 0
T
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
x1 x2 2) 线性化 x2 x1 ax2 0 1 则 A 1 a
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
4. 不稳定
如果对于某个实数ε 0和任一实数δ 0, 不管δ这个实数多么小，由S(δ)内出发的状态 轨线，至少有一个轨线超过S(ε)，则称这种平 衡状态xe不稳定． 几何意义：（P160,fig.4 3)
练习：
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
图（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
2. 渐近稳定
如果平衡状态xe 是稳定的，而且当t无限增长时， 轨迹不仅不超出S(ε)，而且最终收敛于xe，则称这 种平衡状态xe渐近稳定． 几何意义：（P160,fig.4 2)
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
3. 大范围渐近稳定
如果平衡状态xe 是稳定的，而且从状态空间中 所有初始状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则称 这种平衡状态xe大范围渐近稳定．
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
第四章
稳定性与李氏方法
§4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
一. 平衡状态(xe )
设所研究系统的齐次状态方程为 X(t) f(x, t) 若对所有t,状态x满足X(t) 0，则称该状态x 为平衡状态，记为xe．故有下式成立： f(xe , 0 t)
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
现代控制理论-复习第四章
对于非线性系统，方程f(xe，t) = 0的解可能有多个，
即可能有多个平衡状态.
例4.1 x1 x1 x2 x1 x2 x23
x1 0
x1
x2
x23
0
因此该系统有三个平衡状态
0 xe1 0
0
xe2
1
0 xe3 1
在n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，用 ‖x‖表示，则：
S( )
x1
x
若平衡状态xe是稳定的，即当t无限增大时，状态轨迹不超
过 ，s(且 最) 终收敛于xe，则称平衡状态xe渐近稳定。
3.大范围渐近稳定
x f (x,t)
在整个状态空间中，对所有初始状态x0出发的轨迹都 具有渐近稳定，则系统的平衡状态xe是大范围渐近稳定的 。
注： （1）由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都要收 敛于xe，因此系统只能有一个平衡状态，这也是大 范围渐近稳定的必要条件。
3、二次型标量函数v(x)的定号性判据
（1）v(x)正定的充要条件是：P阵的所有各阶主子行
列式均大于零，即
1 p11 0,
2
p11 p21
p12 0, p22
,
p11 n
pn1
p1n 0
pnn
（2）v(x)负定的充要条件是：P阵的各阶主子式满足
（2）对于线性定常系统，当A为非奇异的，系统只 有一个唯一的平衡状态xe = 0。所以若线性定常系 统是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。
（3）对于非线性系统，由于系统通常有多个平衡 点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近稳定 。
4. 不稳定
如果对于某个实数ε> 0和任一实数δ> 0，在球 域S(δ)内总存在一个初始状态x0，使得从这一初始 状态出发的轨迹最终将超出球域S(ε)，则称该平衡 状态是不稳定的。
即可能有多个平衡状态.
例4.1 x1 x1 x2 x1 x2 x23
x1 0
x1
x2
x23
0
因此该系统有三个平衡状态
0 xe1 0
0
xe2
1
0 xe3 1
在n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，用 ‖x‖表示，则：
S( )
x1
x
若平衡状态xe是稳定的，即当t无限增大时，状态轨迹不超
过 ，s(且 最) 终收敛于xe，则称平衡状态xe渐近稳定。
3.大范围渐近稳定
x f (x,t)
在整个状态空间中，对所有初始状态x0出发的轨迹都 具有渐近稳定，则系统的平衡状态xe是大范围渐近稳定的 。
注： （1）由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都要收 敛于xe，因此系统只能有一个平衡状态，这也是大 范围渐近稳定的必要条件。
3、二次型标量函数v(x)的定号性判据
（1）v(x)正定的充要条件是：P阵的所有各阶主子行
列式均大于零，即
1 p11 0,
2
p11 p21
p12 0, p22
,
p11 n
pn1
p1n 0
pnn
（2）v(x)负定的充要条件是：P阵的各阶主子式满足
（2）对于线性定常系统，当A为非奇异的，系统只 有一个唯一的平衡状态xe = 0。所以若线性定常系 统是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。
（3）对于非线性系统，由于系统通常有多个平衡 点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近稳定 。
4. 不稳定
如果对于某个实数ε> 0和任一实数δ> 0，在球 域S(δ)内总存在一个初始状态x0，使得从这一初始 状态出发的轨迹最终将超出球域S(ε)，则称该平衡 状态是不稳定的。
现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性
0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
2020/3/22
6
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
2020/3/22
9
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
第四章稳定性分析——Nyquist稳定性判据(4-3)B.
Im
Im
(－1，j0)
+
(－1，j0)
0
Re
_
0
Re
正穿越
负穿越
11
Im
G ( j ) H ( j )
＋
＋ － ( 1, j 0)
0
Re
N ＝2
N ＝ 1
12
若G(jω)H(jω)轨迹起始或终止于 (-1, j0) 以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同 样有+ 1/2 次穿越和-1/2次穿越。
Im
P 0
0
Im
P 1
0
0
R
Re
R
K
0
Re
16
四、伯德图上的奈氏判据 极坐标图 伯德图 单位圆 0db线（幅频特性图） 单位圆以内区域 0db线以下区域 单位圆以外区域 0db线以上区域 负实轴 -1800线（相频特性图） 因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0） 点左边的负实轴，相当于在伯德图中当L(ω)>0db时相频特性 曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。
特征方程
系统传递函数
a nsn a n 1sn 1 a1s a 0＝0
C(s) b ms m b m1s m1 b1s b0 R(s) a n s n a n 1s n 1 a1s a 0
R( s ) +
B(s)
系统结构为：
E ( s)
9
当 1 时， s从- j0转到+j0， G(jω)H(jω) 曲线以半径为无 穷大，顺时针转过π角（图中 虚线）。并可求得， = 1时， G(j)H(j)与实轴交 K1 。 从图可见，G(s)H(s)的奈氏曲 线顺时针绕 ( -1, j0 ) 点一圈， N = -1，又因为P =0，所以 Z = P - N=1， 说明为不稳定系统，有一个闭 环极点在s的右半平面。
线性系统理论(第四章)
dτ
≤
k
<
∞,∀t ∈[t0,∞)
0出 y ( t ) 的分量 yi (t) 满足关系式
∫ yi (t) =
t t0
gi1(t,τ
)u1 (τ
)
+
L
+
gip
(t,τ
)u
p
(τ
)dτ
∫ ∫ ≤
t
t0 gi1(t,τ )u1(τ )dτ
+L+
t
t0 gip (t,τ )u p (τ )dτ
第四章
线性系统的时间域理论
第4章 系统运动的稳定性
稳定性是系统的另一个重要特征。 系统运动稳定性的分析是控制理论的一个重要组成部分。 实际系统必须是稳定的。 外部稳定性 ：通过输入—输出关系来表征。 内部稳定性 ：零输入下状态运动的响应来表征。
满足一定的条件，内部稳定性和外部稳定性之间存在等价 关系。
lim
t→∞
φ
(t;
x0
, t0
)
=
0
∀x0 ∈ S (δ )
实数 δ 和 T 都不依赖于 t 0 ，则称平衡状态 x e 是一致渐近
稳定的。
渐近稳定是工程意义下的稳定。
李氏意义下的稳定是工程意义下的临界不稳定，渐近稳定
的最大区域 S ( δ ) 称为平衡状态 x e 的吸引区。
022
第四章
u大范围渐近稳定
∀ t ≥ t0 + T (µ ,δ ,t0 ) 运动的有界性。
x0 xe
S(ε ) S(δ ) φ (t; x0,t0 )
H (ε )
020
第四章
S(ε )
运动的渐近性
第4章 Lyapunov稳定性分析
1/ 2 1 1 1 det ( 1) 4 2 2 1/ 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 , 1 2 2 0, 2 2 2 0
自主技术与智能控制研究中心
x2 k 2 x2 g x2 半负定。 k m l sin x1 m x2
二、 Lyapunov 稳定性判别
1 x2 x 例 :已知系统 , 用李亚普诺夫函数 2 x1 x2 x 方法判断其稳定性.
2
自主技术与智能控制研究中心
二、 Lyapunov 稳定性判别
3、Lyapunov 稳定性判别定理
f ( x)，设xe 0为一平衡点. 考虑系统 x 如果存在连续可微的标量函数V ( x)满足 1）V ( x)是正定的； V ( x) 2） V ( x) f ( x)是半负定的； x x 则系统的平衡点xe 0是Lyapunov稳定的。
线性系统理论基础 第四章
Lyapunov稳定性分析
自主技术与智能控制研究中心
内容与要点
内容 要点
一．Lyapunov稳定性概念 平衡点,稳定性,渐近稳定性,
全局渐近稳定性 二．Lyapunov稳定性判据 稳定性判据,渐近稳定性判 据,全局渐近稳定性判据 三．连续时间线性系统的 间接法判据，直接法判据
1
V
V ( x(t ))
x2
x(t )
自主技术与智能控制研究中心
二、 Lyapunov 稳定性判别
例: 研究单摆在(0,0)点的稳定性
解 : (1) 选择李亚普诺夫函数
2 g x2 V ( x) (1 cos x1 ) l 2 (2) 稳定性判断
自主技术与智能控制研究中心
x2 k 2 x2 g x2 半负定。 k m l sin x1 m x2
二、 Lyapunov 稳定性判别
1 x2 x 例 :已知系统 , 用李亚普诺夫函数 2 x1 x2 x 方法判断其稳定性.
2
自主技术与智能控制研究中心
二、 Lyapunov 稳定性判别
3、Lyapunov 稳定性判别定理
f ( x)，设xe 0为一平衡点. 考虑系统 x 如果存在连续可微的标量函数V ( x)满足 1）V ( x)是正定的； V ( x) 2） V ( x) f ( x)是半负定的； x x 则系统的平衡点xe 0是Lyapunov稳定的。
线性系统理论基础 第四章
Lyapunov稳定性分析
自主技术与智能控制研究中心
内容与要点
内容 要点
一．Lyapunov稳定性概念 平衡点,稳定性,渐近稳定性,
全局渐近稳定性 二．Lyapunov稳定性判据 稳定性判据,渐近稳定性判 据,全局渐近稳定性判据 三．连续时间线性系统的 间接法判据，直接法判据
1
V
V ( x(t ))
x2
x(t )
自主技术与智能控制研究中心
二、 Lyapunov 稳定性判别
例: 研究单摆在(0,0)点的稳定性
解 : (1) 选择李亚普诺夫函数
2 g x2 V ( x) (1 cos x1 ) l 2 (2) 稳定性判断
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
26
李雅普诺夫第一法又称间接法。 它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。 对于线性定常系统，解出特征方程的根即可作出稳定性判断。
对于非线性不很严重的系统，可通过线性化处理，取其一次近 似得到线性化方程，然后根据其特征根来判断系统的稳定性。
16.06.2020
27
一、线性系统的稳定判据(特征值判据)
当A为非奇异矩阵时，满足Axe0的解xe=0是系统唯一存在的一 个平衡状态。
而当A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平衡状态。
16.06.2020
16
对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。
x 1 x1 x2 x1 x2 x23
0
0
0
xe1 0 ,xe2 1 ,xe1 1
稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
16.06.2020
1
一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于 工程实施的。
系统的稳定性，表示系统在遭受外界绕扰动偏离原来的平衡状态， 而在扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种 “顽性”。
可按两种方式来定义系统运动的稳定性：
通过输入―输出关系来表征的外部稳定性 通过零输入状态下的状态运动的响应来表征的内部稳定性
对于线性系统来说，由于满足叠加原理，如果平衡状态是渐近 稳定的，则必然是大范围渐近稳定的。
对于非线性系统，使xe为渐近稳定平衡状态的球域s()一般是不 大的，常称这种平衡状态为小范围渐近稳定。
16个实数>0和任一实数>0，不管这个实数多么小， 由s()内出发的状态轨线，至少有一个轨线越过s()，则称这种 平衡状态xe不稳定。
结论2：线性定常系统是BIBO稳定的，不能保证系统必是渐近稳 定的。
现代控制理论第四章稳定性理论及Lyapunov方法
【解】（1） 平衡状态为： xe 0 0 T
构造李雅普诺夫函数 V (x) x12 x22 V (x) (2x12 6x22 ) 0
系统在平衡状态渐近稳定，并且 x ,V (x) ,是
大范围渐近稳定。
（2） 平衡状态为： xe 0 0 T
主要知识点: 1、 BIBO (有界输入有界输出)稳定的定义、定理。
§4-3 李雅普诺夫稳定性的概念
主要知识点:
1、系统状态的运动和平衡状态
2、李雅普诺夫意义下稳定、渐近稳定、全局渐近稳 定和不稳定的定义
§4-4 李雅普诺夫间接法（第一法）/线性化局部稳定 主要知识点: 1、线性系统的稳定性判别定理 2、内部稳定和外部稳定的关系 3、非线性系统线性化方法和稳定性判别定理（李雅普诺夫间 接法/第一法）
1 2
x1 x2
x14
x12
2
x22
2
x1
x2
0
V(x) 4x13x1 2x1 x1 4x2 x2 2x1 x2 2x1 x2 2(x14 x22) 0
因此系统在坐标原点是渐近稳定的，并且 x ,V (x) ,
1 0 0
19/ 78 10/ 39 1/ 2
由方程 GT PG P I 解出 P 10 / 39 49 / 78
19
/13 26
不定号，因此系统不渐近稳定。
实际上，该系统的特征值为0.1173+2.6974i, 0.1173-2.6974i, -1.2346都在单位圆外，系统是不稳定的。
试确定其平衡状态的稳定性。
【解】 系统平衡状态为： xe 0 0 T
非线性动力学-胡海岩
第四章 运动稳定性和分叉一、自治系统平衡点的稳定性由于实际系统总有干扰或误差，稳定性的意义在于任何初始扰动导致随后的运动任意小，稳定性包括三种：稳定、渐近稳定和不稳定。
稳定性的定义具有多个，Lyapunov 意义的稳定性是其中最基本的一个，它包括线性系统的稳定性问题。
线性系统稳定性属于全局稳定性，而非线性系统的稳定性是一个局部性概念。
考察如下自治系统n n R R U f u f u→⊂=:)(， （1）式中U 为定义域，是欧氏空间中的一个子集，平衡点满足0)(=s u f 。
可将平衡点或周期解的稳定性化为零解的稳定性问题。
一般地，例如对于一般非自治系统),(u t f u= ，其周期解为)(t u s ，令s u x u +=，可得),(),()(),(s s s u t f u x t f t u u t f x-+=-= ，此时该方程的零解对应于原系统的平衡点或周期解。
1．Lyapunov 直接方法（1）Lyapunov 函数单值可微函数),,,()(21n u u u V u V =，满足0)0(=V ，其定义域为{}H u u U ≤=，0>=const H （这里⋅表示连续系统的范数，⋅表示离散系统的范数）。
[定义1] 若在U 内恒有0)(≥u V ——正常号函数；0)(≤u V ——负常号函数，统称为常号函数，否则称为变号函数。
[定义2] 当且仅当0=u 时，0)0(=V ，称正常号函数为正定函数；负常号函数为负定函数，统称为定号函数。
若00=≠=u V 时，称正常号函数为半正定函数；称负常号函数为半负定函数，统称为半定号函数。
例1．232221321),,(u u u u u u V ++=，正定函数 2221321),,(u u u u u V +=，正常号函数，除)0,0,0(外，还有),0,0(3u 使0=V232221321),,(u u u u u u V -+=，变号函数例2．2132********)()()(),,(u u u u u u u u u V -+-+-=，当321u u u ==时，0=V ，所以V 常正。
现代控制理论 4 控制系统的稳定性分析
4
对于零初始条件的定常系统，设初始时刻
响应矩阵为 ，传递函数矩阵为 W t
，单位脉冲 t0 0
的每一个元素
，则系统为 BIBO W ( s ) 稳定的
充分必要条件为，存在一个有限常数k，使 满足
wij (t ) (i 1,2,...q, j 1,2,...p)
函数
0
wij (t ) dt k
2） V ( x )是负定的。
则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着
x ，
&
有 V ( x ) ，则原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
说明：判据1是充分条件，判稳过程是寻找李氏函数V(x)，如果没
找到，不能判断系统不稳定，只是可能还没有找到而已。
23
判据2：设系统的状态方程为 x & f ( x)
临 界 稳 定
S平面 不 Re 稳 定 区
线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件为：A阵的所有特 征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的 根全部位于s平面的左半部。
14
[例4-6] 设系统方程为： x & 0
- 2 6 + - x u, 1 1 1
3
4.1 动态系统的外部稳定性
有界输入，有界输出稳定性定义： 对于零初始条件的因果系统，如果存在一个固定 a 的有限常数 及一个标量 ，使得对于任意的 ， k t t0 , ut 当系统的输入 满足 时，所产生的输出 满 u(t ) k y(t ) ak 足 ,则称该因果系统是外部稳定的，也就是有 yt 界输入-有界输出稳定的，简记为BIBO稳定。
第四章 控制系统的稳定性分析
线性系统的稳定性
（1）V (x,t),V&t (x,t)和V&x (x,t)对x,t连续，且V (0,t) = 0
（2）V (x,t)正定有界，即存在两个连续的非减标量函
数α ( x ), β ( x ),其中α (0) = 0，β (0) = 0，使对一切
t ≥ t0, x ≠ 0成立
0 < α ( x ) ≤ V (x,t) ≤ β ( x )
S(ε)
x
x0
S(δ )
x(t)
x0
S(δ )
H (ε )
t
T
(a)
(b)
图4-2 渐近稳定的平衡状态
定义 4-3: 平衡状态xc是指数渐近稳定
存在υ > 0, ∀ε > 0, ∃δ (ε ) > 0使当
x0 − xc < δ (ε ) 时，有 x(t; x0 , t0 ) − xc ε < e−υ (t−t0 )
可见，即使初始值很大地偏离了平衡状态，系统最终 将收敛。
例 4-1
x
x& = −x(1− x)
该方程的解为
1
x(t)
=
1
−
x0e−t x0 + x0e−t
o
t
两个平衡状态xc=0， xc=1。
ln x0 x0 − 1
图4-3 非线性系统的解
定义4-5: 不稳定
无论取多大的有界ε > 0, 不存在δ（ε ,t0）> 0,满足
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
x&1 x&2
= =
x2 − x1(x12 + −x1 − x2 (x12
x22 ) + x22
)
x1=x2=０是系统的唯一的平衡状态。
（2）V (x,t)正定有界，即存在两个连续的非减标量函
数α ( x ), β ( x ),其中α (0) = 0，β (0) = 0，使对一切
t ≥ t0, x ≠ 0成立
0 < α ( x ) ≤ V (x,t) ≤ β ( x )
S(ε)
x
x0
S(δ )
x(t)
x0
S(δ )
H (ε )
t
T
(a)
(b)
图4-2 渐近稳定的平衡状态
定义 4-3: 平衡状态xc是指数渐近稳定
存在υ > 0, ∀ε > 0, ∃δ (ε ) > 0使当
x0 − xc < δ (ε ) 时，有 x(t; x0 , t0 ) − xc ε < e−υ (t−t0 )
可见，即使初始值很大地偏离了平衡状态，系统最终 将收敛。
例 4-1
x
x& = −x(1− x)
该方程的解为
1
x(t)
=
1
−
x0e−t x0 + x0e−t
o
t
两个平衡状态xc=0， xc=1。
ln x0 x0 − 1
图4-3 非线性系统的解
定义4-5: 不稳定
无论取多大的有界ε > 0, 不存在δ（ε ,t0）> 0,满足
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
x&1 x&2
= =
x2 − x1(x12 + −x1 − x2 (x12
x22 ) + x22
)
x1=x2=０是系统的唯一的平衡状态。
理论力学B第四章稳定性
1 V = k(r − l0 )2 2
V =−
γMm
r
§4-7、质点系在势力场中平衡的稳定性 二、势力场的特性
WA →A =WA →A →A=WA →A +WA →A
1 2 1 0 2 1 0 0
2
=WA →A −WA →A =V1 −V2
1 0 2 0
(x, y, z) →(x + dx, y + dy, z + dz)
§4-7、质点系在势力场中平衡的稳定性 一、势力场及势能
力 场(force field):质点 系)受力完全由其所在位置决 field):质点(系 受力完全由其所在位置决 定。场力 势力场( 势力场(potential force field)或保守力场(conservative force 或保守力场( field) ：场力做功与质点经过的路径无关。 场力做功与质点经过的路径无关。 有势力(保守力) 有势力(保守力)，保守系统
θ = 00orθ = 53.80
d 2V >0 2 dq
3、讨论平衡位置的稳定性 、
2
dV mgl 2 cosθ = kl (cosθ − cos 2θ ) − 2 dθ 2
θ = 00不稳定 θ = 53.80稳定
小结
1. 力的功 δW = F • dr = F • vdt 几种常见力的功 质点系内力的功 2. 约束及其分类 3. 自由度与广义坐标 4. 虚位移与虚功 5. 理想约束 摩擦力的功 等效力系的功定理
k
l
θ mg
k
l
解：k = 1 θ θ=00系统的势能为零 1、给出系统的势能函数V 、给出系统的势能函数
θ mg
1 2 1 = k(l − l cosθ ) − mg(l − l cosθ ) 2 2 2、确定系统的平衡位置 、
控制工程基础第四章控制系统的稳定性分析
此阵列称为劳斯阵列（劳斯表）。其中，各未知元素 b1,b2,b3,b4,，
c1 , c2 , c3 , c4 , ，
e1,e2 ,
f
,
1
g 1
根据下列公式计算：
b1
a1
a2 a0 a1
a3
,b2
a1
a4 a0 a1
a5
,b3
a1
a6 a0 a1
a7
,
c1
b1
a3 a1b2 b1
,
c2
b1
X
0
(s)
s
A1 p
A2 s p
Aj s p
An s p
1
2
j
n
式中，A1，A2，…，Aj，…，An为待定系数。对其进行拉氏反变换，
得单位脉冲响应函数为
x A e A e A e A e (t)
pt 1
pt 2
pjt
pt n
0
1
2
j
n
A e n
j 1
pt j
j
根据稳定性的定义，若系统稳定，应有
a a a a 0
0
0
0
ao (s
p )(s 1
p )(s 2
p) n
0
式中，p1，p2，…，pn为系统的特征根。
由根与系数的关系可知，若使全部特征根p1，p2，…，pn均具有 负实部，系统必须满足以下条件： （1）特征方程的各项系数a0，a1，a2，…，an都不等于零。 （2）特征方程的各项系数a0，a1，a2，…，an的符号都相同。 在控制工程中，一般取a0为正值，则系统稳定的必要条件为：特征方 程的各项系数a0，a1，a2，…，an均必须为正值。若a0为负值，可在特 征方程的两边同乘以-1使其变为正值。
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线性系统理论 系统的运动稳定性 18
Hurwitz定理：给定实系数多项 式 f ( s ) s n a1 s n 1 a 2 s n 2 a n 1 s a n 其所有根均s平面左半平面的充要条 件是 a1 a3 i a5 a 2i 1 1 a2 a4 a 2i 0 a1 a3 1 a2 0 , i 1,2, , n ai
t
(4)一致渐近稳定的充要条 件是存在正常数 k１和k２, 使得： || (t , t 0 ) || k１e k２(t t0 ) , t t 0
线性系统理论 系统的运动稳定性 15
4.2.3 Lyapunov定理
定义：设Q(t )为定义在[t 0 , )上的一个分段连续的实 对 称矩阵函数，它称为是 一致有界和一致正定的 ，如果 存在正实数 2 1 0,使得下式成立 0 1 I Q(t ) 2 I , t t 0 引理：设系统是一致渐 近稳定的， (t , t 0 )为其状态转移 矩阵，Q(t )为一致有界和一致正定 的矩阵，则积分 P(t ) T ( , t ) Q( ) ( , t )d
研究运动稳定性问题时 ，常限于研究无外作用 的系统 自治系统。 f (x, t ), x x(t0 ) x 0 , t t0 若系统为定常系统，则 状态方程中不显含时间 t。 若系统为线性， f (,)为x的线性向量函数。 A(t )x, x x(t0 ) x 0 , t t0 若状态方程满足解的存 在唯一性条件，初始状 态引起的运动为： x(t ) (t , x 0 , t0 ), 若 e f (x e , t ) 0, x t t0 t t0
定理：（ 1 ）系统稳定的充要条件 是A的所有特征值均具 有非正实部，且其具有 零实部的特征值为其最 小多项式 的单根。 （2）系统渐进稳定的充要 条件是A的所有特征值均具有 负实部。 定义：设A R nn，则 （ 1 ）A称为Hurwitz稳定的，如果A的所有特征值都有负 实部。 （2）A称为临界Hurwitz稳定的，如果A的所有特征值都 有非正实部，且零实部 根为其最小多项式的单 根。
|| x||
线性系统理论 系统的运动稳定性 10
定义10： 设x R n , 是R n中包含原点的一个封闭 有限区域， V (x)是定义在上的一个标量函数，若 (1)V (x)关于x的所有分量均具有一阶 连续偏导 (2)V (0) 0 (3)对于x 0有V (x) 0, 则称V (x)为定义在上的一个 时不变正定函数。 若 lim V (x) , 则称正定函数V (x)具有无穷大性质。
4.1.3 Lyapunov第二方法的主要定理
定义9： 设x R n , 是R n中包含原点的一个封闭 有限区域， V (x, t )是定义在[t 0 , ) 上的一个标量函数，若 (1)V (x, t )关于x和t均具有一阶连续偏导 (2)V (0, t ) 0 (3)V (x, t )有限正定，即存在两个 连续的非减的标量函数
第四章 系统的运动稳定性
Lyapunov意义下的运动稳定性 线性时变系统的稳定性判定 线性定常系统的稳定性
线性系统理论
系统的运动稳定性
1
4.1 Lyapunov意义下的运动稳定性
4.2 线性时变系统的稳定性判定 4.3 线性定常系统的稳定性
线性系统理论
系统的运动稳定性
2
4.1 Lyapunov意义下的运动稳定性 4.1.1 系统的运动与平衡点
线性系统理论 系统的运动稳定性 14
4.2.2 直接判据
定理：设 (t , t 0 )为系统的状态转移矩阵 ，则系统为 (1)稳定的充要条件是 (t , t 0 )在[t 0 , )上有界，即存在 正常数k (t 0 ), 使得： || (t , t 0 ) || k (t 0 ) , t t 0 (2)一致稳定的充要条件是 (t , t 0 )在[t 0 , )上有界，即 存在正常数k , 使得： || (t , t 0 ) || k , t t 0 (3)渐近稳定的充要条件是 ： lim || (t , t 0 ) || 0
线性系统理论
系统的运动稳定性
8
定义7： [指数稳定的定义 ] 使得满足
设x e为系统的平衡状态，若
对给定的任一实数 0, 都对应地存在一个实数 ( )和 0, || x 0 x e || ( , t 0 ) 的任一初态x 0出发的受扰运动都满足 不等式 || (t , x 0 , t 0 ) x e || e (t t0 ) , t t 0 则称x e为指数稳定的。 定义8： [全局指数稳定的定义 ] 设x e为系统的平衡状态，若 对给定的任一实数 0, 都对应地存在一个实数 k ( ) 0和
称x e为系统的一个平衡点或 平衡状态 系统的常数解或静止运 动。
线性系统理论 系统的运动稳定性 3
4.1.2
Lyapunov意义下的运动稳定性含义
定义1： [ Lyapunov 意义下的稳定性 ] 设x e为系统的一个平衡状态 ，若 对给定的任一实数 0, 都对应地存在一个实数 ( , t0 ), 使得满足 || x 0 x e || ( , t0 ) 的任一初态x 0出发的受扰运动都满足 不等式 || (t , x 0 , t0 ) x e || , t t0 则称x e为Lyapunov 意义下稳定的。
t
定义6： [ Lyapunov 意义下的不稳定定义 ] 设x e为系统的平 衡状态，若对于不管多 大的有限实数 0, 都不可能找到 相应的实数 ( , t0 ), 使得由满足|| x 0 x e || ( , t0 )的任一 x 0出发的运动满足不等式 || (t；x 0 , t0 ) x e || , t t0 ， 称x e为不稳定的。
0
有唯一的实对称、一致 有界和一致正定的矩阵 解P(t )。 推论：设A(t )为[t 0 , )上的一致有界分段连续 矩阵，且
[ A(t ) AT (t )] 0
则系统一致渐近稳定。
线性系统理论
系统的运动稳定性
17
4.3 线性定常系统的稳定性 4.3.1 直接判据与Hurwitz定理
7
定义5： [ Lyapunov 意义下的大范围渐近稳 定性] 设x e为系 统的平衡状态，若以状 态空间中任一有限点 x 0为初态的 受扰运动 (t；x 0 , t0 )都是有界的，且满足 lim (t；x 0 , t0 ) x e 则称x e是大范围渐近稳定的 全局渐近稳定。
不稳定示意图
|| x||
V (x, t )沿系统的全导数 dV V V f (x, t ) dt x t
线性系统理论 系统的运动稳定性 11
定理1： 若存在包含原点的某邻 域 R n 和定义在 [t 0 , ) 上的一个有界正定函数 V (x, t ),它沿系统的 全导数在[t 0 , ) 上为有界半负定的（或 负定的）， 则系统的零平衡状态是 一致稳定的（或一致渐 近 稳定的）。 定理2： 若存在一个具有无穷大 性质的定义在 [t 0 , ) R n 上的有界正定函数 V (x, t ),它沿系统的全导 数在[t 0 , ) R n 上一致有界一致负定， 则系统的零平 衡点为全局一致渐近稳 定的。
稳定示意图
线性系统理论
系统的运动稳定性
4
定义2： [ Lyapunov 意义下的一致稳定性 ] 在上述Lyapunov 意义下的稳定性定义中 ， 若的选取只依赖于 而与初始时刻t0的 选取无关，则进一步称 平衡状态x e是 一致稳定的。
一致稳定示意图
线性系统理论
系统的运动稳定性
5
定义3： [ Lyapunov 意义下的渐近稳定性 ] 系统的一个平 衡状态x e 称为渐近稳定的，如果 (1)x e是Lyapunov 意义下稳定性的 (2)对 ( , t0 )和任意给定的实数 0, 对应地存在实数 T ( , , t0 ) 0, 使得满足 || x 0 x e || ( , t0 )的任一初 态x 0出发的受扰运动同时满 足 | (t；x 0 , t0 ) x e || , t t0 T ( , , t0 )
线性系统理论 系统的运动稳定性 12
定理3： 若原点的某邻域 内存在一个正定函数 V (x), 它沿系统的全导数在 内为半负定的（或负定 的）， 则系统的零平衡状态为 局部稳定的（或渐近稳 定的）。 定理4： 若原点的某邻域 内存在一个正定函数 V (x), (x)在 它沿系统的全导数在 内为半负定的，但在 中V 系统的非零解上非零， 则系统的零平衡状态渐 近稳定。 定理5： 若在R n 上存在一个具有无穷大 性质的正定函 数V (x),它沿系统的全导数在 R n上为负定的，则系统的 零平衡状态为全局渐近 稳定的。 定理6： 若原点的某邻域 内存在一个正定函数 V (x), 它沿系统的全导数在 内为正定，则零平衡点 不稳定的。
S(δ )
S (ε )
渐近稳定示意图
线性系统理论 系统的运动稳定性 6
定义4： [ Lyapunov 意义下的一致渐近稳定 性] 在上述 Lyapunov 意义下的渐近稳定性定 义中，若和T的选取 不依赖于初始时刻 t0，则称平衡状态 x e是一致渐近稳定的。
一致渐近稳定示意图
线性系统理论
系统的运动稳定性
(|| x ||)和 (|| x ||)满足： (0) (0) 0，并使得对任何
t t 0 和x 0有 0 (|| x || V (x, t ) (|| x ||) 则称V (x, t )为定义在[t 0 , ) 上的一个正定函数。 若 lim (|| x ||) , 则称正定函数V (x, t )具有无穷大性质。
Hurwitz定理：给定实系数多项 式 f ( s ) s n a1 s n 1 a 2 s n 2 a n 1 s a n 其所有根均s平面左半平面的充要条 件是 a1 a3 i a5 a 2i 1 1 a2 a4 a 2i 0 a1 a3 1 a2 0 , i 1,2, , n ai
t
(4)一致渐近稳定的充要条 件是存在正常数 k１和k２, 使得： || (t , t 0 ) || k１e k２(t t0 ) , t t 0
线性系统理论 系统的运动稳定性 15
4.2.3 Lyapunov定理
定义：设Q(t )为定义在[t 0 , )上的一个分段连续的实 对 称矩阵函数，它称为是 一致有界和一致正定的 ，如果 存在正实数 2 1 0,使得下式成立 0 1 I Q(t ) 2 I , t t 0 引理：设系统是一致渐 近稳定的， (t , t 0 )为其状态转移 矩阵，Q(t )为一致有界和一致正定 的矩阵，则积分 P(t ) T ( , t ) Q( ) ( , t )d
研究运动稳定性问题时 ，常限于研究无外作用 的系统 自治系统。 f (x, t ), x x(t0 ) x 0 , t t0 若系统为定常系统，则 状态方程中不显含时间 t。 若系统为线性， f (,)为x的线性向量函数。 A(t )x, x x(t0 ) x 0 , t t0 若状态方程满足解的存 在唯一性条件，初始状 态引起的运动为： x(t ) (t , x 0 , t0 ), 若 e f (x e , t ) 0, x t t0 t t0
定理：（ 1 ）系统稳定的充要条件 是A的所有特征值均具 有非正实部，且其具有 零实部的特征值为其最 小多项式 的单根。 （2）系统渐进稳定的充要 条件是A的所有特征值均具有 负实部。 定义：设A R nn，则 （ 1 ）A称为Hurwitz稳定的，如果A的所有特征值都有负 实部。 （2）A称为临界Hurwitz稳定的，如果A的所有特征值都 有非正实部，且零实部 根为其最小多项式的单 根。
|| x||
线性系统理论 系统的运动稳定性 10
定义10： 设x R n , 是R n中包含原点的一个封闭 有限区域， V (x)是定义在上的一个标量函数，若 (1)V (x)关于x的所有分量均具有一阶 连续偏导 (2)V (0) 0 (3)对于x 0有V (x) 0, 则称V (x)为定义在上的一个 时不变正定函数。 若 lim V (x) , 则称正定函数V (x)具有无穷大性质。
4.1.3 Lyapunov第二方法的主要定理
定义9： 设x R n , 是R n中包含原点的一个封闭 有限区域， V (x, t )是定义在[t 0 , ) 上的一个标量函数，若 (1)V (x, t )关于x和t均具有一阶连续偏导 (2)V (0, t ) 0 (3)V (x, t )有限正定，即存在两个 连续的非减的标量函数
第四章 系统的运动稳定性
Lyapunov意义下的运动稳定性 线性时变系统的稳定性判定 线性定常系统的稳定性
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系统的运动稳定性
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4.1 Lyapunov意义下的运动稳定性
4.2 线性时变系统的稳定性判定 4.3 线性定常系统的稳定性
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4.1 Lyapunov意义下的运动稳定性 4.1.1 系统的运动与平衡点
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4.2.2 直接判据
定理：设 (t , t 0 )为系统的状态转移矩阵 ，则系统为 (1)稳定的充要条件是 (t , t 0 )在[t 0 , )上有界，即存在 正常数k (t 0 ), 使得： || (t , t 0 ) || k (t 0 ) , t t 0 (2)一致稳定的充要条件是 (t , t 0 )在[t 0 , )上有界，即 存在正常数k , 使得： || (t , t 0 ) || k , t t 0 (3)渐近稳定的充要条件是 ： lim || (t , t 0 ) || 0
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定义7： [指数稳定的定义 ] 使得满足
设x e为系统的平衡状态，若
对给定的任一实数 0, 都对应地存在一个实数 ( )和 0, || x 0 x e || ( , t 0 ) 的任一初态x 0出发的受扰运动都满足 不等式 || (t , x 0 , t 0 ) x e || e (t t0 ) , t t 0 则称x e为指数稳定的。 定义8： [全局指数稳定的定义 ] 设x e为系统的平衡状态，若 对给定的任一实数 0, 都对应地存在一个实数 k ( ) 0和
称x e为系统的一个平衡点或 平衡状态 系统的常数解或静止运 动。
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4.1.2
Lyapunov意义下的运动稳定性含义
定义1： [ Lyapunov 意义下的稳定性 ] 设x e为系统的一个平衡状态 ，若 对给定的任一实数 0, 都对应地存在一个实数 ( , t0 ), 使得满足 || x 0 x e || ( , t0 ) 的任一初态x 0出发的受扰运动都满足 不等式 || (t , x 0 , t0 ) x e || , t t0 则称x e为Lyapunov 意义下稳定的。
t
定义6： [ Lyapunov 意义下的不稳定定义 ] 设x e为系统的平 衡状态，若对于不管多 大的有限实数 0, 都不可能找到 相应的实数 ( , t0 ), 使得由满足|| x 0 x e || ( , t0 )的任一 x 0出发的运动满足不等式 || (t；x 0 , t0 ) x e || , t t0 ， 称x e为不稳定的。
0
有唯一的实对称、一致 有界和一致正定的矩阵 解P(t )。 推论：设A(t )为[t 0 , )上的一致有界分段连续 矩阵，且
[ A(t ) AT (t )] 0
则系统一致渐近稳定。
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4.3 线性定常系统的稳定性 4.3.1 直接判据与Hurwitz定理
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定义5： [ Lyapunov 意义下的大范围渐近稳 定性] 设x e为系 统的平衡状态，若以状 态空间中任一有限点 x 0为初态的 受扰运动 (t；x 0 , t0 )都是有界的，且满足 lim (t；x 0 , t0 ) x e 则称x e是大范围渐近稳定的 全局渐近稳定。
不稳定示意图
|| x||
V (x, t )沿系统的全导数 dV V V f (x, t ) dt x t
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定理1： 若存在包含原点的某邻 域 R n 和定义在 [t 0 , ) 上的一个有界正定函数 V (x, t ),它沿系统的 全导数在[t 0 , ) 上为有界半负定的（或 负定的）， 则系统的零平衡状态是 一致稳定的（或一致渐 近 稳定的）。 定理2： 若存在一个具有无穷大 性质的定义在 [t 0 , ) R n 上的有界正定函数 V (x, t ),它沿系统的全导 数在[t 0 , ) R n 上一致有界一致负定， 则系统的零平 衡点为全局一致渐近稳 定的。
稳定示意图
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定义2： [ Lyapunov 意义下的一致稳定性 ] 在上述Lyapunov 意义下的稳定性定义中 ， 若的选取只依赖于 而与初始时刻t0的 选取无关，则进一步称 平衡状态x e是 一致稳定的。
一致稳定示意图
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定义3： [ Lyapunov 意义下的渐近稳定性 ] 系统的一个平 衡状态x e 称为渐近稳定的，如果 (1)x e是Lyapunov 意义下稳定性的 (2)对 ( , t0 )和任意给定的实数 0, 对应地存在实数 T ( , , t0 ) 0, 使得满足 || x 0 x e || ( , t0 )的任一初 态x 0出发的受扰运动同时满 足 | (t；x 0 , t0 ) x e || , t t0 T ( , , t0 )
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定理3： 若原点的某邻域 内存在一个正定函数 V (x), 它沿系统的全导数在 内为半负定的（或负定 的）， 则系统的零平衡状态为 局部稳定的（或渐近稳 定的）。 定理4： 若原点的某邻域 内存在一个正定函数 V (x), (x)在 它沿系统的全导数在 内为半负定的，但在 中V 系统的非零解上非零， 则系统的零平衡状态渐 近稳定。 定理5： 若在R n 上存在一个具有无穷大 性质的正定函 数V (x),它沿系统的全导数在 R n上为负定的，则系统的 零平衡状态为全局渐近 稳定的。 定理6： 若原点的某邻域 内存在一个正定函数 V (x), 它沿系统的全导数在 内为正定，则零平衡点 不稳定的。
S(δ )
S (ε )
渐近稳定示意图
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定义4： [ Lyapunov 意义下的一致渐近稳定 性] 在上述 Lyapunov 意义下的渐近稳定性定 义中，若和T的选取 不依赖于初始时刻 t0，则称平衡状态 x e是一致渐近稳定的。
一致渐近稳定示意图
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(|| x ||)和 (|| x ||)满足： (0) (0) 0，并使得对任何
t t 0 和x 0有 0 (|| x || V (x, t ) (|| x ||) 则称V (x, t )为定义在[t 0 , ) 上的一个正定函数。 若 lim (|| x ||) , 则称正定函数V (x, t )具有无穷大性质。