相似三角形的判定预备定理

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相似三角形的判定定理

(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．3、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．强调：①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到 “见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.ABCDEF判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．例1、△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．例2、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形。

（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。

判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．强调：①有平行线时，用预备定理；②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．例1、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．例2、如图,AB ⊥BD,CD ⊥BD,P 为BD 上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P 点在BD 上由B 点向D 点运动时,PB 的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说明理由.例3、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C =90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。

相似三角形(预备定理)

例。
步骤3
03
根据步骤1和步骤2，得出两个三角形相似的结论。
感谢您的观看
THANKS
性质
相似三角形预备定理具有传递性、反身性和对称性，即如果两个三角形相似，则它们的对应边和对应角都成比例。
预备定理的重要性
基础性
相似三角形预备定理是三角形相似判定定理的基础，对于理解三角形相似的概念和性质至关重要。
应用广泛
在几何学、三角函数、解析几何等领域中，相似三角形预备定理都有广泛的应用。
等，则这两个三角形相似。
具体来说，如果$angle A = angle A'$、$angle B = angle B'$、$angle C = angle C'$，则三角形ABC与三角形A'B'C'相似。
边边判定法
如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
相似三角形(预备定理)
目录
• 相似三角形预备定理的定义 • 相似三角形的判定方法 • 相似三角形的性质 • 相似三角形在几何中的应用 • 相似三角形的实际应用 • 相似三角形预备定理的证明
01
相似三角形预备定理的定义
定义与性质
定义
相似三角形预备定理是指，如果两个三角形有两边对应成比例，且夹角相等，则这两个三角形相似。
离与实际距离之间的关系。
地形表示
在地图上表示地形起伏时，可以使用相似三角形来表示不同高度之间的相对关系。
地理位置定位
在地图上确定地理位置时，可以使用相似三角形来确定两点之间的相对位置和距离。
在物理学中的应用（光的折射、反射等）
光学仪器设计
在设计和制造光学仪器（如望远镜和显微镜）时，需要使用相似三角形来计算透镜的形状和位置，以确保光线正确地折射和聚焦。

湘教版九年级数学上册《相似三角形判定》知识全解

《相似三角形判定》知识全解
课标要求
理解相似三角形几种判定，并能简单地应用．
知识结构
内容解析
（1）相似三角形判定预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
（2）相似三角形判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．
（3）相似三角形判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
（4）相似三角形判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
重点难点
本节的重点是：三角形相似的判定方法及其应用．
难点：探究两个三角形相似判定方法的过程．
教法导引
（1）注重将新知识与旧知识进行联系与类比．
培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法与全等三角形判定方法的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系．
复习全等三角形判定方法SSS与SAS，类比全等三角形判定方法SSS与SAS，提出两个三角形相似的两个判定．
（2）让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力．
教学活动的本质是一种合作，一种交流．学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者，本节课主要采用自主学习，合作探究，引领提升的方式展开教学．依据学生的年龄特点和已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，加强与全等三角形相关内容的联系，使学生的学习形成正迁移．
学法建议
新的教学理念要求在课堂中注重探究学习，在本课中，其实有许多内容可以进行这方面的尝试．如何进行判定三角形相似呢？可以让学生进行探究和归纳．若能在探究的基础上归纳出方法，学习的效果会提高很多，学习的能力也会不断提高．。

3.4.1相似三角形的判定定理3

例2 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△ ABC 中，
B AC 1 ∠C =∠C ′= 90°，且 A AB AC 2 求证：△ ABC∽△ABC.
还可以根据相似三角形的判定定理2，来证明这两个直角三角形相似.
练习 1.如图,O为△ABC内一点，D、E、F
分别是OA、OB、OC中点. 求证：△ABC∽△DEF.
= 4 BC 2 =(2 BC )2. 由此得出，BC = 2BC .
BC 1 AB AC . 从而 BC 2 AB AC
因此△ AB C ∽△ABC.
(三边对应成比例的两个三角形相似)
说一说
在例2的证明中，还可以根据哪个判定定理说明 △ ABC ∽ △ABC ？
AD AE DE AB AC BC AD AB A B AE DE AB AC BC A ' B ' A ' C ' BC AB AC BC ∴ AE= A'C', DE= B'C',
A
A'
D B' C' B E
C
∴△A'B'C' ≌ △ADE ∴ △A'B'C' ∽ △ABC
证明： E O
A D F
B
C
D, E , F 分别为OA,OB,OC的中点， 1 1 1 DE = AB , EF BC , DF AC . 2 2 2 DE EF DF 1 . AB BC AC 2 △ABC∽△DEF.
练习
AB AC BC 2.如图， = = , AD AE DE
AB AC 1 ∠C =∠C ′= 90°，且 AB AC 2

6、《相似三角形的判定预备定理

•不经历风雨，怎么见彩虹 •没有人能随随便便成功!
又∵∠A= ∠A ∴△ADE∽△ABC
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交, 截得的三角形与原三角形相似（注：这个定理称为相似三角形预备定理）
平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线)相交, 相似所得的三角形与原三角形________.
“A”型
A
D B
（图1）
“X”型
300
450
探究
如图,在△ABC 中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线交AC于点E,那么△ADE与△ABC有相似吗?说明理由. 相似证明:过点D作AC的平行线，交BC于点F. AD AE ∵ DE//BC ∵DF∥AC ∴ AB AC
∵DBFE是平行四边形
A
D B
F
∴DE=FC
E
C
D O E
E C
B （图2） C
1、如图,已知EF∥CD∥AB，请尽可练习：能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。 O
E
F
1. EF∥AB 2.EF∥CD 3.AB∥CD
或：
Δ OEFF∽Δ OCD Δ OAB∽Δ OCD
三角形相似具有
传递性!
Δ OEF∽Δ OAB Δ OEF∽Δ OCD
△ADE∽△ABC （2）
∴AC=AE+EC=80cm ∵BC=70cm ∴
相似三角形的定义相似比的性质相似三角形判定的预备定理
巩固练习：课本第72页练习题
作业： AB上任意一点D，作
1.如图、过△ABC的边
DE∥BC交AC于点E，求证 2.如图，DE∥BC，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．

九年级数学上册《相似三角形判定的预备定理》教案、教学设计

针对以上学情，教师在教学过程中应采取有针对性的教学方法，激发学生的学习兴趣，提高他们的几何思维能力，培养他们的人文素养。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握相似三角形的定义，能够准确识别相似三角形。
2.掌握相似三角形的判定方法，特别是预备定理的应用。
3.学会运用相似三角形的性质解决实际问题，如计算未知长度、证明线段平行等。
九年级数学上册《相似三角形判定的预备定理》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
在本章节《相似三角形判定的预备定理》的教学中，学生将掌握以下知识与技能：
1.理解并掌握相似三角形的定义，能够准确区分和识别相似三角形。
2.掌握并运用相似三角形的判定方法，如AA、SSS、SAS等，能够解决实际问题。
3.学会使用相似三角形的性质进行问题求解，如对应边成比例、对应角相等等。
2.相似三角形的判定方法：
- AA（角角相似）：如果两个三角形中有两组角对应相等，则这两个三角形相似。
- SSS（边边相似）：如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
- SAS（边角相似）：如果两个三角形中有两组对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。
3.相似三角形的性质：
-对应角相等，对应边成比例。
5.培养学生的创新意识，鼓励他们在学习过程中提出不同的观点和解决问题的方法，培养他们的创新思维。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的几何基础，他们已经掌握了三角形的基本概念、全等三角形的判定及应用等知识。在此基础上，本章节《相似三角形判定的预备定理》的学习，对学生来说既是对已有知识的巩固，也是对几何思维能力的进一步提升。学生在这个阶段，正处于形象思维向抽象思维过渡的关键时期，他们对几何图形的观察、分析、推理能力有待加强。因此，在教学过程中，教师需关注以下学情：

九年级数学上册《相似三角形判定的预备定理》优秀教学案例

1.完成课本上的练习题的应用，并说明其相似比。
3.撰写一篇学习心得，总结自己在学习相似三角形过程中的收获和体会。
五、案例亮点
1.生活化的情景创设，激发学生学习兴趣
本案例以学生熟悉的生活场景为背景，将相似三角形的知识与实际生活相结合，让学生在轻松愉快的氛围中感受几何学的魅力。这种情景创设不仅有助于激发学生的学习兴趣，还能提高他们运用几何知识解决实际问题的能力。
4.通过课堂练习、课后作业和小组讨论等多种形式，巩固所学知识，提高学生的几何解题技巧。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对几何学的兴趣，激发他们探索数学知识的热情，树立学好数学的信心。
2.通过对相似三角形判定方法的学习，让学生认识到几何知识在生活中的重要性，提高他们对数学学科的价值认同。
3.培养学生的耐心和毅力，使他们学会面对困难和挑战时，保持积极的心态，勇于克服问题。
4.反思与评价，促进学生的自我提升
在教学过程中，本案例注重学生的反思与评价，让学生在学习过程中不断总结自己的优点和不足，为后续学习制定合理的学习计划。这种教学策略有助于提高学生的自主学习能力和自我提升意识。
5.重视知识的应用与拓展，提升学生的数学素养
本案例在教授相似三角形判定方法的基础上，强调其在实际问题中的应用，引导学生将所学知识拓展到生活实际和其他几何知识中。这种教学方式有助于提高学生的数学素养，培养他们运用几何知识解决复杂问题的能力。
在小组合作过程中，学生可以相互交流思路、分享经验，共同解决问题。同时，我会引导学生在小组内进行角色分工，确保每个成员都能积极参与，发挥自己的优势，共同为完成学习任务贡献力量。
（四）反思与评价
教学反思是提高教学效果的重要手段。在本章节的教学结束后，我将组织学生进行反思与评价，总结自己在学习相似三角形判定方法过程中的收获和不足。

2721相似三角形的判定(1)(预备定理)PPT课件

A'B'C'与AB的 C 相似比 1. 为
A'
B'
k
（相似三角形的定义可以作为三角形相似的一种判定方法）
6
L1 L2
A
D
B
E
C
F
请说出其中的对应线段!
L3 L4 L5
7
三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等.
定理的符号语言 L1 L2
L3//L4//L5
A
D
L3
B
E
AB
DE
=
C
L4 F
L5
1
观察回顾：
相似多边形的判定：
对应角相等，对应边的比相等的两个多边形为相似多边形。
两个条件要同时具备
2
问题1：这两个三角形是否为相似形？
对应角……？对应边……？
3
相似三角形定义：我们把对应角相
等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
4
△ABC与△ A'B'C'相似
C
表示为：
△ABC∽△ A'B'C'
A B
C/
读作：
△ABC相似于△ A'B'C' A/'
B/
注意在写两个三角形相似时应
把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
5
相似三角形定义用符号语言表示：
∵∠A= ∠A' 、∠B= ∠B' 、∠C=C'
C
ABBCCAk A'B' B'C' C'A'
A
B ∴ △ABC∽△A'B'C'

《相似三角形的判定预备定理》

18.5.1相似三角形的判定——预备定理【教学目标】知识技能：掌握用相似三角形的定义和预备定理判断两个三角形相似过程方法：在探索相似三角形判定定理过程中，体现解决问题的方法情感态度：在探索相似图形的性质过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．【教学重点】预备定理的证明与应用【教学难点】预备定理的证明【教学过程】一.复习引入活动1回顾相似三角形的定义，定义既是判定也是性质；平行线分线段成比例出示问题：如图,DE//BC, △ADE 与△ABC 有什么关系?说明理由.学生猜想：相似。

能得到△ADE ∽△ABC 吗？教师活动:教师出示并提出问题，组织学生思考．（1）△ADE 与△ABC 满足“对应角相等”吗？为什么？（2）△ADE 与△ABC 满足对应边成比例吗？由“DE ∥BC ”的条件可得到哪些线段的比相等？（3）根据以前学习的知识如何把DE 移到BC 上去？（作辅助线DF ∥AC ）学生活动:学生小组讨论：要证△ADE ∽△ABC只需证∠A=∠A ，∠B=∠2，∠C=∠3←——由平行得=AD AE DE AB AC BC ⎫=⎬⎭由DE ∥BC 得相似定义只需证出：DE AD BC AB=或DE AE BC AC = 由于DE 、BC 不在同一直线上，故可以通过做辅助线平移DE ，将DE 、BC 放在同一直线上证明：过D 点作DF ∥AC 交BC 于F ∵DE ∥BC ，DF ∥AC ∴四边形DFCE 是□ ∴DE=CF ∵DF ∥AC ∴CF AD BC BD= ∴DE AD BC BD= ∵DE ∥BC ∴=AD AE BD AC∵DE ∥BC∴∠A=∠A ，∠1=∠B ，∠2=∠C ∴△ADE ∽△ABC BC DE AC AE AB AD ==∴B分析完后由学生口述再ppt 出示过程由此可得：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似。

拓展：思考：若条件不变，图形如图所示，结论是否仍然成立？依然成立几何画板演示教师活动:板书课题“相似三角形的判定”二、形成新知：活动2 归纳总结：判定三角形相似的（预备）定理：文字语言：平行于三角形一边的直线,截其他两边所得的三角形与原来三角形相似。

相似三角形判定-预备定理

创设情景明确目标
最简单的就是相似三角形．如果∠A ＝∠A1，∠B＝∠B1
AC AB BC ，∠C＝∠C1，＝＝AC ， A1 B1 B1C1 1 1
那么△ABC与△A1B1C1相似吗？我们还有其他方法判定两个三角形相似吗？
已知：DE//BC，且DE分别交AB、AC于D，E .猜想：△ADE与△ABC有什么关系?并证明。 A 相似。 D B 12
DE AE BC AC
AD AE DE AB AC BC
3
F
B
∴ △ADE与△ABC的对应边成比例 ∴ △ADE ∽ △ABC
三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似，
知识要点
平行于三角形一边的定理 A型平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
你还能画出其他图形吗？
4. 如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，BC=OB，CE是⊙O的切线，切点为 D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则 2 CD∶DE的值是_______ ．
达标检测反思目标 5. 如图5，已知菱形ABCD内接于△AEF， AE=5cm，AF=4cm，求菱形的边长.
20 解：求菱形的边长为 cm． 9
证明: ∵ DE // BC
E C
∴∠1 =∠B，∠2 =∠C
且 ∠A= ∠A
∴ △ADE与△ABC的对应角相等
过E作EF//AB交BC于F 又∵ DE // BC BF AE AD AE ∴ AB AC BC AC A
D 2 E C ∴ 四边形DBFE是平行四边形 ∴ DE=BF , ∴ ∴
即： E D 在△ABC中，如果DE∥BC， C B 那么 AD AE DE , AB AC BC , （上比全，全比上） AB AC BC AD AE DE

27.2.2相似三角形的判定(2)预备定理.

再见
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通过相似的定义证明这个结论. 先证明两个三角形的对应角相等.
在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,
∵DE//BC,
∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
再证明两个三角形的对应边的比相等. 过E作EF//AB,EF交BC于F点. 在平行四边形BFED中,DE=BF,DB=EF.
2、△ABC与△A´B´C´相似比为k, 则△A´B´C´与
△ABC相似比为 1 k
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对
应线段的比相等.
符号语言：∵ l3∥l4 ∥l5 ,
∴
AB BC

DE , EF
BC AB
EF , DE
l1
l2
A
D
l3
AB DE , AC DF
AC DF AB DE
27.2相似三角形的判定
预备定理
相似三角形的判定:
对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三
角形是相似三角形. 符号语言：
A
B
C B′
A′
在△ABC和△A´B´C´中，
∵A A, B B, C C
AB BC CA .
C′
AB BC CA
∴△ABC∽△A´B´C´
三角形相似具有
传递性!
或：Δ OEF∽Δ OAB Δ OEF∽Δ OCD
Δ OAB∽Δ OCD
9.已知EF∥BC,求证:
BD DC EG GF
A
E
F
G
B
D
C
F
GE
A
B
D
C
相似三角形判定方法

相似三角形预备定理

D
E
2
6
6
∴△BDF∽△BAC
B
3
F2 C
∴BBCF
DF AC
∴
3 3
2
6 AC
∴ AC=10 ∴AE=AC-CE=10-6=4
拓展提高：
D
A E
B 2份 M 3份 C
5份
2.如图：在△ABC中，点M是BC上
任一点， MD∥AC，ME∥AB，
若 BD AB
=
2 5
，
求
EC AC
的值。
练习：
2、如图：在△ABC中，点M是BC上
8．如图，在□ABCD中，EF∥AB，
DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
9.已知EF∥BC,求证: BD DC EG GF
A
E
F
G
F GE A
B
DC
B
D
C
练习：
1、若 BF=3,CF=2,AD=1.5,DF=6,你能求出线段AE的长度
吗？解：∵DE∥BC,DF∥AC
A
1.5
∴四边形DFCE为平行四边形 ∴FC=DE=2，EC=DF=6 ∵DF∥AC
A
A
D
E
D
E
F
G
B
F
CB
C
2.如图，G是ABCD的CD延长线上一点，连结 BC交对角线AC于E，交AD于F，则： (1)图中与△AEF相似的三角形有___。 (2)图中与△ABC相似的三角形有___。 (3)图中与△GFD相似的三角形____。
5、如图，在 ABCD中，E是边BC上的一点，
且 BE:EC=3:2 ，连接 AE 、 BD 交于点 F ，则

八年级数学相似三角形

要点回顾
一、相似三角形的定义
对应角相等、对应边成比例＿的两个三角形，叫三、相似三角形的性质
相似三角形的判定：
相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两
边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
相似三角形判定定理１:两角对应相等,两三角形相似。相似三角形判定定理２:两边对应成比例且夹角相等,两三角
C E
A
D
B
F
合作交流
若AB=6 cm,AC=5cm,BC=8cm,AP=2cm,点Q从A出发，沿折线ACB以1cm/s的速度移动，问经过几秒钟，PQ 截△ABC所得的新三角形与原三角形相似（点P在AB上 A A 固定不动）．
P Q
B P Q C
B
A P
C
A P
B
Q
C
B
Q
C
挑战自我
把30角的顶点放在BC边上运动（不与B、C重合），使一边经过点A，另一边与AC相交于点F。（1）BAD与CDF 相似吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由。（3）当ADF是等腰三角形时，求AF的长。
之比、对应中线之比、对应高之比都等于相似比.
相似三角形性质定理２:相似三角形周长之比等于相似比. 相似三角形性质定理３: 相似三角形面积之比等于相似比
的平方.
相似三角形判定与性质的应用
1.判一判:
（1）两个等腰三角形一定相似吗不一定（2）两个等边三角形一定相似吗一定
引申：增加什么条件能使两个等腰三角形相似
（3）两个直角三角形一定相似吗
不一定
引申：增加什么条件能使两个直角三角形相似
2.找一找:
(1) 如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, DE⊥AB,则图中有没有三角形相似? (2) 若分别延长DE、BC交于点F,这时图中还有哪些三角形相似? (3)若联结DC、AF，这时图中又有哪些三角形也相似？ B D C A

相似三角形的判定(预备定理)

相似三角形的判定(预备定理)在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果∠A=∠A′, ∠B =∠B ′, ∠C =∠C ′, 且k A C CA C B BC B A AB =''=''=''．我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC∽△A ′B ′C ′，k 就是它们的相似比．反之如果△ABC∽△A ′B ′C ′，则有∠A=∠A′, ∠B =∠B ′, ∠C =∠C ′, 且A C CA C B BC B A AB ''=''=''．问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？探索新知．1 问题：如果△ABC ∽△ADE,那么你能找出哪些角的关系？边呢？2 、思考如图27.2-3，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于点D ，E 。

问题：（1） △ADE 与△ABC 满足“对应角相等” 吗？为什么？（2） △ADE 与△ABC 满足对应边成比例吗？由“DE ∥BC ”的条件可得到哪些线段的比相等？（3）根据以前学习的知识如何把DE 移到BC 上去？（作辅助线EF ∥AB ）你能证明AE:AC=DE:BC 吗？写出△ABC ∽△ADE 的证明过程。

（4）、归纳总结：判定三角形相似的（预备）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。

如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD=EC ，DB=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ，求DE 的长．分析：由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，再由相似三角形的性质，有ACAE AB AD =，又由AD=EC 可求出AD的长，再根据ABAD BC DE 求出DE 的长．解：当堂检测1．如图，△ABC ∽△AED, 其中DE ∥BC ，写出对应边的比例式．2．如图，△ABC ∽△AED ，其中∠ADE=∠B ，写出对应边的比例式．3．如图，DE ∥BC ，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC 的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长．。

相似三角形判定的预备定理-北京版九年级数学上册教案

相似三角形判定的预备定理-北京版九年级数学上册教案一、教学目标1.了解相似三角形的定义及其性质。

2.掌握相似三角形的判定方法之一：角-角-相似。

3.能够应用所学知识解决与相似三角形相关的问题。

4.培养学生的分析问题和解决问题的能力。

二、教学重难点1.重点：相似三角形的定义及其性质，角-角-相似判定方法。

2.难点：如何运用所学知识解决与相似三角形相关的问题。

三、教学内容及学习方法1. 课前热身（5分钟）出示两个三角形的图形，让学生从直觉上判断它们是否相似，并询问学生他们的判断依据。

引入相似三角形的概念及其性质，导入本节课的主题。

2. 学习和探讨（40分钟）（1）相似三角形的定义及其性质定义：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是相似的。

性质： 1. 相似三角形的对应边成比例。

2. 相似三角形的对应角相等。

3. 相似三角形的周长和面积分别成比例。

（2）角-角-相似判定方法判定方法：如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。

应用：利用角-角-相似判定方法，判定两个三角形是否相似，同时运用相似三角形的性质来解决问题。

3. 练习和巩固（15分钟）练习：在讲解完相关知识后，教师出示几道练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固所学内容，并给出解答。

4. 课后反思（5分钟）将学生的反馈意见进行总结，索取他们的意见和建议，并在今后的教学中加以运用。

四、教学反馈与解决方案在进行本课教学中，学生的学习积极性较高，能够动手尝试计算题目，教师也根据学生的不同程度做了不同的讲解。

但在教学中也存在着一些问题，如时间安排过于紧凑，缺乏足够的练习时间等。

在今后的教学中，应该逐步完善教学计划，增加练习时间，提高教学效果。

相似三角形判定(2) 预备定理

“A”型
A D B
（图1）
“X”型
E A D
E C
B （图2） C
基础训练 1.已知：如图，AB∥EF ∥CD， 3 对相似三角形。图中共有____ AB∥EF AB∥CD EF∥CD △AOB∽ △FOE
A O E C F
B
△AOB ∽△DOC
△EOF∽△COD
D
2.如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB， DE、GF交于点Ｏ，则图中与△ABC 相似的三角形共有多少个?请你写出来. 解：与△ABC相似的三角形有3个:
F A B
AD DE AE 1 AB BC AC 2
又∵DE//BC ∴∠ADE=∠B
证法3.过点C作CG//AB交DE 的延长线于G
∠2=∠C
请用文字语言叙述上述结论.
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
A D
E
B
C
相似三角形判定的基本定理(预备定理)
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
？
思考
如图,在△ABC中,点D是边AB 的中点,DE//BC,DE交AC于点 E, 猜想△ADE与△ABC有什么关系?证明你的猜想.
猜想结论:△ADE∽△ABC, 我们通过相似的定义证明这个结论.
证法1:过点E作EF//AB交BC于点F ∵DE//BC ∴四边形DEFB是平行四边形 2 G ∴EF=DB=AD 1 ∵EF//AB ∴∠1=∠A 又DE//BC F ∴∠2=∠C 又∠A=∠A ∴△ADE≌△EFC ∴ △ADE∽△ABC 1 1 AE EC AC 相似比为 2 2 又 AD DB 1 DE BC 证法2：取BC中点F，连结DF 2