原点矩与中心矩

∵ 若ξ , η相互独立则ρ ξη = 0，而此处ρξη ≠ 0 ∴ξ , η不是相互独立的.
练习题
一、填空 1．已知P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AB）=0， P(AC)=(BC)=1/16，则事件A、B、C全不发生的概率 。 为 2．设P(A1)= P(A2)= P(A3)=1/3； A1， A2， A3相互 独立， 则A1，A2， A3最多出现一个的概率为 . 3．若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布， 则方程x2+ ξ x+1=0有实根的概率是 。 4．设随机事件A，B互不相容，且已知P(A)=p1, P(B)=p2， 0<p1+p2<1，则 P ( A B ) 。 5. 若随机变量ξ~N(5，4)，且P{ξ <a}=0.9，则a= (已知Φ（1.28）=0.8997)。
1 | x | 6. 已知随机变量X的概率密度 f ( x) = e ,∞ < x < +∞ 函数为 2 则X的概率分布函数F(x)= 。 7. P( B) = 0.2, P( A + B) = 0.3, P( B A) = 0.1, 则P( A) 。
二.选择 1. 设A，B为两随机事件，且BA，则下列式子正确的是 （A）P(A+B)=P(A) （B）P(AB)=P(A) （C）P(B|A)=P(B) （D）P(B-A)=P(B)-P(A) 2. 若二事件A和B同时出现的概率P(AB)=0，则（ ） (A)A和B不相容(相斥) (B)AB是不可能事件 (C)AB未必是不可能事件 (D)P(A)=0或P(B)=0。 3. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2, 22)，且η=aξ +b服从 标准正态分布N(0, 1)，则( )。 (A)a=2, b= -2 (B)a= -2, b= -1 (C)a=1/2, b= -1 (D)a=1/2, b=1
由定义知： 数学期望Eξ是ξ的一阶原点矩； 方差Dξ是ξ的二阶中心矩； 协方差Cov(ξ，η)是ξ，η的二阶混和中心矩。 例1 设随机变量ξ在(a，b)上服从均匀分布。试求随 机变量ξ的k阶原点矩和三阶中心矩。 解：Eξ k =
∫
b
a
1 1 bk +1 a k +1 xk dx = ba k +1 ba
计算题 1. 设100个产品中有10个次品，从中有放回地抽取4个，每次一 个。求：（1）抽到的次品数的分布列；（2）恰好抽到3个次品 的概率；（3）没有抽到次品的概率。 2. 设随机变量ξ的概率密度为 试求系数a及Eξ和Dξ 。
a(1 x), f ( x) = 0, 0 < x < 1, 其它.
又 E (ξη ) =
∫ ∫
2 0
+∞
+∞
∞ ∞
xyf ( x , y ) dxdy
x2
= ∫ dx ∫
0
3 xy 32 xy dy = 16 9
32 24 8 ∴ Cov (ξ ,η ) = E (ξη ) Eξ Eη = = 9 7 63 Cov (ξ ,η ) ρξη = = 0.5738 Dξ Dη
试求在仪器使用的最初500小时内，至少有一个电子元 件损坏的概率. 6. 某商店出售的灯泡来自甲、乙两个工厂，甲厂产品 占70%，乙厂产品占30%，甲厂、乙厂的产品合格率分 别为0.92和0.87。某顾客从该商店买了一个灯泡。 （1）求该灯泡是合格品的概率； （2）若该灯泡是次品，问它是甲厂生产的概率多大？ 7. 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5。在袋中 同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号码，写出 随机变量ξ的分布律并写出分布函数。
4.4 原点矩与中心矩 原点矩与中心矩
一、定义
二、综和举例
一、定义
定义：设ξ与η是随机变量
若E(ξk) k=1，2，…存在， 则称它为ξ的k阶原点矩 阶矩 阶原点矩或k阶矩 阶矩。 阶原点矩 若E[(ξ-Eξ)k] ，k=1，2，…存在， 则称它为ξ的k阶中心矩 k阶中心矩 阶中心矩。 若E(ξkηl) k，l= 1，2，… 存在， 则称它为ξ，η的k+l 阶混合矩 阶混合矩。 若E[(ξ-Eξ)k(η-Eη)l]， k=1，2，…存在 则称它为ξ，η的k+l 阶混合中心矩 阶混合中心矩。
2 1 2 2
1 1 = 1, 2 = 2, σ = 16 , σ = 9, ρ = 2 试求 (1) E (ξ η + 1); ( 2) D (ξ η + 1);
2 1 2 2
(3) E (ξ η ) 2
解 ∵ E (ξ ) = 1 = 1, E (η ) = 2 = 2, D(ξ ) = σ 12 = 16 D(η ) = σ = 9, ρξη
(3) ∵ E (ξ 2 ) = D(ξ ) + [E (ξ )] = 16 + 1 = 17
2
E (η 2 ) = 13, E (ξη ) = Cov (ξ ,η ) + E (ξ ) E (η ) = 4 ∴ E (ξ η ) 2 = E (ξ 2 ) 2 E (ξη ) + E (η 2 ) = 22
例二 设二维随机变量(ξ ,η )有联合密度 3xy 0≤ x≤2 , ( x, y ) ∈ G f ( x, y ) = 16 G: 0 ≤ y ≤ x2 0 , 其它 求Cov(ξ ,η )及ρξη，并判断ξ与η是否相互独立.
解 该例上节已计算出： 12 3 4 Eξ = , Dξ = , Eη = 2, Dη = 7 49 5
(已知Φ (0.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) = 0.5398, Φ (1) = 0.8413, Φ (1.5) = 0.9332, Φ (0.5) = 0.6915)
5. 某仪器装有四只独立工作的同型号电气元件，其寿 命(单位：小时)都服从同一指数分布，密度函数为：
1 1 1000 x e , 若x > 0, f(x)= 1000 0, 若x ≤ 0.
3. 设随机变量ξ的分布律为 ξ -1 0 1 2 p 0.4 0.2 0.3 0.1 试求随机变量 ζ = 2ξ + 3 及 η = (ξ 1) 2的分布律。
4. 设 ξ ~ N ( , σ 2 ), 且P(ξ > 0) = 0.6915, P(ξ > 1) = 0.5000. 求 P(1.2 < ξ ≤ 3), P(ξ ≥ 4), P(| ξ |< 2).
2 2
1 =ρ= 2
∴ (1) E (ξ η + 1) = E (ξ ) E (η ) + 1 = 4 (2) D(ξ η + 1) = D(ξ η ) = D(ξ ) + (1) 2 D (η ) + 2Cov (ξ , ) ↓ Cov (ξ ,η ) = ρξη D(ξ ) D(η ) = 6 = 6 + 9 12 = 13
8. 设连续型随机变量ξ的分布函数为：
0 1 2 F ( x) = ax + bx 2 1 x<0 0 ≤ x ≤1 x >1
且Eξ =3/5。 求（1）系数a，b；（2）随机变量ξ的密度函数； （3）Eξ 2，Dξ 。 9．设随机变量(ξ ，η)的联合概率密度为 1, y < x, 0 < x < 1, f ( x, y ) = 0 , 其它. 试求：Eξ ，Eη ，Cov(ξ，η)。
1 k k 1 k 1 k = (b + b a + + ba + a ） k +1
又因为 ,
a+b Eξ = 2
b a
故 E [ξ Eξ ] = ∫
3
a+b 3 1 (x ) dx 2 ba
令t = x a + b 2
1 ∫ ba
ba 2 ba 2
t dt = 0
3
二、综和举例
例一 设随机变量 (ξ ,η ) ~ ( 1 , 2 , σ , σ , ρ ), 其中