高等数学课件：12-4 傅立叶级数的复数形式

复数形式的傅里叶级数 .
y
解: 在一个周期
h
内矩形波的函数表达式为
T 2
2
o
2
T 2
x
它的复数形式的傅里叶系数为
c0
1 T
T
2
T 2
u(t) d t
h
T
1
T
T 2
i 2n t
u(t) e T
dt
1
T 2
T
i 2n t
2 he T dt
2
h T
T
2n
i
i
e
2n
T
t
2
2
h
n
1 2i
e
i
n
T
a0 2
n1
an i bn 2
ei
n l
x
an
i bn 2
ei
n x l
cn cn
注意到 c0
a0 2
1 l
2l l
f (x) dx
cn
an
i bn 2
1
2
1 l
l l
f
(x) cos n
l
xdx
i l
l
l
f
( x) sin
n
l
xd
x
1 2l
l
l
f
(x)
cos n
l
x
i
sin
i n
e T
h sin n n T
( n 1, 2 , )
u(t)
h
T
h
1 n n
sin
n
T
i 2n t
eT
n0
内容小结
设 f (x)以 2 l 为, 则有傅立叶级数的复数形式
i n x
f ( x) cne l
n
cn
1 2l
l
i n x
f (x) e l d x,
l
(n 0 , 1, 2 ,)
n
l
x
d x
1
l
i n x
f (x) e l dx
(n 1, 2,)
2l l
同理
cn
an
ibn 2
1 2l
l
i n x
f (x) e l dx
l
(n 1, 2, )
傅里叶级数的复数形式:
f ( x) c0
[c e c e ] i
n l
x
n
i
n l
x
n
n1
其中
1 cn 2 l
§12.4 傅立叶级数的复数形式
欧拉公式 eix cos x i sin x
以及 sin x e ix e ix , 2i
cos x e ix e ix 2
设 f (x)是周期为 2 l 的周期函数 , 满足收敛定理的条件
则
f (x)
a0 2
n
an cos
n1
l
x
bn
sin
n
l
x
由于
Joseph Fourier (1768 —— 1830）
备用题
期的傅立叶级数, 并由此求级数
解:
为偶函数,
2
n2
2
(1)n
1
因f(x)偶延拓后在
展开成以2为周 的和. (91 考研)
y 2
1 o 1 x 故得
x [1,1]
得
故
1
k 1(2k 1)2
2
8
1 n1 n2
2
6
cos n
x
1
ei
n l
x
ei
n l
x
l2
sin n
x
i
ei
n l
x
e
i
n l
x
l2
f
(x)
a0 2
an
n1
cos n
l
x
bn
sin n
l
x
cos n
x
1
ei
n l
x
e
i
n l
x
利用欧拉公式
l2
sin n
x
i
ei
n l
x
e
i
n l
x
l2
f
(x)
a0 2
n 1
an 2
i bn
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c0
l
i n x
l f ( x) e l dx
(n 1, 2,)
1 l
i n x
cn 2 l
f (x)e
l
l dx
(n 1, 2, )
i n x
f (x) cne l
n
cn
1 2l
l
i n x
f (x)e l d x
l
(n 0, 1, 2,)
例. 把宽为 ,高为 h ,周期为 T 的矩形波展成