10质点动力学基本方程

（3）
由已知，
图 10-9
143
r = 10 000 m ，θ = 60° 时，θ& = 0.02 rad/s ，θ&& = 0.003 rad/s2
将上述数值代入式（2）得
( ) r& = 10 000 × 3 × 0.02 m/s = 346.4 m/s
（4）
式（4）代入（3），解得
式（4），（5）代入式（1），得
时圆槽对销钉 M 的作用力。
a
n M
ve
va
30°
r
vx
ar
Mvr
aMt
(a)
(b)
图 10-7
解 以水平槽为动系，速度分析如图 10-7b 所示：
ve = v ，
va
=
ve cos 30°
=
v = 0.4× 2 33
a
n M
ar
a
t M
FN
M F
mg
(c)
2
受力与加速度分析如图 10-7c 所示：
ρ = 300 m ，列车的速度为 v = 12 m/s ，内、外轨道间的距离为 b = 1.6 m 。
解 取列车为研究对象，设其质量为 m，列车受重力 mg，轨道约束力 FN 作用，其质心 受力和加速度分析如图 10-5 所示。将
ΣF = ma
分别向 x 和 y 方向投影，得
− FN sinθ = −ma
跨过 1 滑轮，滑轮半径为 r 。如在开始时，2 物体的高度差为 h，而且 m1 > m2 ，不计滑轮
质量。求由静止释放后，2 物体达到相同的高度时所需的时间。
F1
F2
a2
a1
A
B
m1 g
m2 g
(a)
(b)
图 10-2
解 分别取重物 m1 ， m2 为研究对象，受力和运动分析如图 b，分别列出两物体在铅垂
144
将其向 x 和 y 轴投影，得
− kx = m&x&
∑ F = ma
− ky = m&y&
解这 2 个微分方程，并注意到初始条件：
x t=0 = xO ,
x& t=0 = 0
y t=0 = 0,
y& t=0 = v0
得微分方程的解
⎧ ⎪⎪x = x0 cos
kt m
⎨
⎪ ⎪⎩
y
=
v0
m sin k
（1）
FN b θ
FN cosθ − mg = 0
（2）
n
且
a = v2
ρ
由几何关系知
（3）
man
mg
tanθ = h b2 − h2
代入已知数据解得
（4）
θ
h=
v2b
= 78.4 mm
(gρ )2 + v4
图 10-5
10-6 如图 10-6a 所示套管 A 的质量为 m，受绳子牵引沿铅直杆向上滑动。绳子的另 1
第 10 章 质点动力学的基本方程
10-1 1 质量为 m 的物体放在匀速转动的水平转台上，它与转轴的距离为 r ，如图 10-1a 所示。设物体与转台表面的摩擦因数为 f ，求当物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的
最大转速。
ω FN
r
a y
Fs
x mg
解 最大：
(a)
(b)
图 10-1
物体 m 为研究对象，受力和运动分析如图 10-1b 所示，当转速达最大时，摩擦力达
上式可改写成
mF
dx& = 10(1− t)dt
两边积分，得
x&
−
x&0
= 10⎜⎜⎝⎛t
−
t2 2
⎟⎟⎠⎞
m/s
O
x
图 10-10
由已知 t = 0 时，
v0 = x&0 = 0.2 m/s
得
上式积分得
x&
=
⎜⎜⎝⎛ 0.2
+ 10⎜⎜⎝⎛ t
−
t2 2
⎟⎟⎠⎞ ⎟⎟⎠⎞
m/s
（2）
x = ⎜⎛ 0.2t + 5t 2 ⎝
10-11 如图 10-11 所示质点的质量为 m，受指向原点 O 的力 F=kr 作用，力与质点到点
O 的距离成正比。如初瞬时质点的坐标为 x = x0 , y = 0 ，而速度的分量为 vx = 0,vy = v0 。
求质点的轨迹。
解 质点 m 为研究对象，建立图 10-11 所示直角坐标系 Oxy，质点受力 F=-kr 作用。据
a
n M
=
va2 r
=
v2 r⋅3
=
⎜⎜⎝⎛
0.4 2 0.2
×4 ×3
⎟⎟⎠⎞
m/s
2
= 1.07 m/s2
4
a
n M
+
a
t M
= ar
142
向铅直方向投影，得
a
n M
sin 30°
−
aMt
cos 30°
=
0,
aMt
=
aMn 3
= 0.616 m/s2
a Mx
=
a
n M
cos
30°
+
a
t M
sin 30°
端绕过离杆距离为 l 的滑车 B 而缠在鼓轮上。当鼓轮转动时，其边缘上各点的速度大小为 v0 。
求绳子拉力与距离 x 之间的关系。
141
FT
θ
FN
A
&x&
mg
x
(a)
(b)
图 10-6
解 取套管 A 为研究对象，A 受重力 mg，绳子拉力 FT 以及直杆对它的水平约束力 FN
作用，如图 10-6b 所示，套管 A 沿着直杆向上作变速直线运动，在任意瞬时 t 有
（
a
n BA
=
0）
由图 10-8c 得： 式（1）代入式（3），得
aB = aA tanθ = 3aA
maA = mg − FAB sinθ maB = FAB cosθ
（1）
（2） （3）
3maA = FAB cosθ 式（2）、（4）联立，解得 (θ = 60°)
（4）
FAB =
3 mg 2
10-9 铅垂发射的火箭由 1 雷达跟踪，如图 10-9 所示。当 r = 10 000 m ，θ = 60° ，
上式两边对时间 t 求导
AB = l 2 + x 2
d AB = x dx ,
dt
l 2 + x 2 dt
上式再对时间 t 求导，得
d AB dt
=
−vo ,
dx = − v0 dt x
l2 + x2
d2x = dt 2
v0 x2 l2 + x2
dx dt
−
v0
x2
将质点动力学基本方程向铅直方向投影，得
−
5 3
t
3
+
x0
⎟⎞ ⎠
m
设物体开始运动时位于坐标原点，在 t = 0 时， x = 0 ，故 x0 = 0 ，于是得到物体的运动方
程
x = ⎜⎛ 0.2t + 5t 2 − 5 t 3 ⎟⎞ m
⎝
3⎠
（3）
由题意，令式（2）中 x& = 0 ，解得
t = 2.02 s
代入式（3），得
x = 7.06 m
v0 = 0.2 m/s ，开始时，力的方向与速度方向相同。问经过多少时间后物体速度为零，此前
走了多少路程？
解 物体的运动方向只受 F 作用，设物体由原点出发沿轴 x 正向运动，如图 10-10 所示：
F = m&x&
(1)
将
F = 100(1− t) N, m=10 kg
代入式（1），得
&x& = 10(1− t)
（1）
其中 a 为法向加速度：
代入式（1）得
a = ω 2r = ( nπ 2) ⋅ D 30 2
n = 30 2g = 67 r/min πD
10-5 如图 10-5 所示，为了使列车对铁轨的压力垂直于路基，在铁道弯曲部分，外轨
要比内轨稍为提高。试就以下的数据求外轨高于内轨的高度 h。轨道的曲率半径为
l2
+
x2
dx dt
=
− v02l 2
x3
mg − FT cosθ = m&x& ， cosθ =
x l2 + x2
FT
=
m(g
+
v02l 2 x3
)
1+ ( l )2 x
10-7 销钉 M 的质量为 0.2 kg，水平槽杆带动，使其在半径为 r = 200 mm 的固定半圆
槽内运动。设水平槽杆以匀速 v = 400 mm/s 向上运动，不计摩擦。求在图 10-7a 所示位置
=
s2
=
s
=
1 2
at 2
当
2
物体达到相同高度时，每物体均经过 s1
=
s2
=
h 2
的路程。
t = 2s = h(m1 + m2 )
a
g(m1 − m2 )
10-3 半径为 R 的偏心轮绕轴 O 以匀角速度ω 转动，推动导板沿铅直轨道运动，如图
10-3a 所示。导板顶部放有 1 质量为 m 的物块 A ，设偏心距 OC = e ，开始时 OC 沿水平线。