第六章 F检验和多重比较

回顾上次课方差分析基本思想和平方和与自由度的分解知识，F 检验和多重比较概念。

四、统计假设的显著性检验
方差分析的目的:
确定各种原因（处理效应、试验误差）在总变异中所占的重要程度。

处理间的方差（st2 ）可以作为处理效应方差的估计量
处理内的方差（se2 ）可以作为试验误差差异的估计量
二者相比，如果相差不大，说明不同处理的变异在总变异中所占的位置不重要，也就是不同试验处理对结果影响不大。

如果相差较大，也就是处理效应比试验误差大得多，说明试验处理的变异在总变异中占有重要的位置，不同处理对结果的影响很大，不可忽视。

从第三章我们已经知道，从一正态总体（μ ,σ2 ）中随机抽取两个样本，其样本方差s12 与s22 的比值为F ：
试验误差 F ＝ s
12
s 22
其F 分布曲线随着df1 和df2 的变化而变化。

由于F 值表是一尾的（ F 值的区间〔0，+∞) ），一般将大方差作分子，小方差作分母，使F 值大于1，因此，表上df1 的代表大方差自由度， df2 代表小方差自由度。

用处理效应的方差（st2 ）和实验误差的方差（se2 ）比较时，我们所做的无效假设是假设处理效应的变量和实验误差的变量是来自同一正态总体的两个样本，因此处理效应的方差（st2 ）和实验误差的方差（se2 ）的比值就是F 值，即
在进行不同处理差异显著性的F 检验时，一般是把处理间方差作为分子，称为大方差，误差方差作为分母，称为小方差。

无效假设是把各个处理的变量假设来自同一总体，即处理间方差不存在处理效应，只有误差的影响，因而处理间的样本方差σt2 与误差的样本方差σe2 相等：
Ho ：σt2 ＝ σe2 HA ：σt2 ≠ σe2
无论无效假设是否为真，se2 均为总体方差σ2的估计。

只有无效假设为真时，st2 (=se2 )才是总体方差σ2 的估计；当无效假设不真时，将st2 (＞se2 )是一个比σ2 更大的估计值。

= 处理效应
试验误差
无效假设是否成立，要看计算的F 值在F 分布中出现的概率。

与t 检验相类似，F 检验是把计算所得的F 值与临界F α值比较，判断由误差造成的概率大小，最后作出统计推断。

我们确定显著标准水平α后，从F 值表中查出在dft 和dfe 下的F α值
五、多重比较
多重比较（multiple comparisons ）：要明确不同处理平均数两两间差异的显著性，每个处理的平均数都要与其他的处理进行比较，0.05 0.05 处理间差异不显著 0.05 0.05 处理间差异显著
0.01 0.01
综上所述，可归纳成方差分析表(analysis of variance table)
s e 2 k(n-1) SS e 误差或处理内
nk-1 SS T 总和
s t 2 k-1 SS t 处理间
F 均方 自由度 平方和 变异来源
F ＝ s t 2 s e 2 处理间差异极显著
这种差异显著性的检验就叫多重比较。

统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较。

最小显著差数法：least significant difference LSD法
最小显著极差法：least significant ranges LSR法
LSD法的实质是两个平均数相比较的t检验法。

LSR法克服了LSD法的局限性，采用不同平均数间用不同的显著差数标准进行比较，它可用于平均数间的所有相互比较。

(一)最小显著差数法（LSD法）
1.检验的方法
(1)先计算出达到差异显著的最小差数，记为LSDα
(2)用两个处理平均数的差值绝对值与LSDα比较：
2.结果表示方法
标记字母法：首先将全部平均数从大到小依次排列。

然后在最大的平均数上标字母a，将该平均数与以下各平均数相比，凡相差不显著的（＜ LSDα）都标上字母a，直至某个与之相差显著的则标字母b。

再以该标有b的平均数为标准，与各个比它大的平均数比较，凡差数差异不显著的在字母a的右边加标字母b。

然后再以标b的最大平均数为标准与以下未曾标有字母的平均数比较，凡差数差异不显著的继续标以字母b，直至差异显著的平均数标字母c，再与上面的平均数比较。

如此重复进行，直至最小的平均数有了标记字母，并与上面的平均数比较后为止。

在各平均数间，凡有一个相同标记字母的即为差异不显著，凡具
不同标记字母的即为差异显著。

差异极显著标记方法相同，但用大写字母标记。

梯形法： 又叫三角形法，是将各处理的平均数差数按梯形列于表中，并将这些差数和LSD α值比较：
LSD 法应用的说明
1. 进行LSD 检验时，这一对平均数的比较是检验之前已经指定的，且经F 检验证实平均数间的差异已达到显著之后，才可以进行LSD 检验。

2. LSD 法实质上是t 检验，但LSD 法是利用F 检验中的误差自由度dfe 查t 临界值，利用误差方差se2 计算平均数差异标准误，从一定程度上缓解了t 检验过程中的三个弊病，但是LSD 法仍然存在提高犯α错误的概率，所以进行LSD 检验必须限制其应用范围。

3. LSD 法适用于各处理组与对照组的比较，不适用于处理组间的比较。

(二)最小显著极差法（LSR 法）：是指不同平均数间用不同的显著差数标准进行比较，可用于平均数间的所有相互比较。

新复极差法：（New multiple rang method ）SSR 法：SSR 法又称Duncan 法。

无效假设H0为：
μA –μB = 0
（1)按相比较的样本容量计算平均数标准误:
(2)根据误差方差se2所具有自由度dfe 和比较所含平均数个数M ，查SSR 值（附表8），然后算出最小显著极差值（LSR 值）。

(3)将各平均数按大小顺序排列，用各个M 值的LSR α值，检验各平均数间极差的显著性。

q 检验：（q-test ）：也称Newman-keuls 检验，方法与新复极差法相似，其区别仅在于计算最小显著极差LSR α时不是查SSR α，而是查q α值（附表9）
q0.05 ＝ 3. 08， q0.01＝4.32。

同理可查M ＝3，M=4时的 当n 1 ＝n 2＝n 时 √ x S = s e 2 n LSR α ＝ SSR α · x 1 S LSR α ＝ q α · x 1 S 还对上例作q 检验： x 1 S ＝1.5094,查q 值表，df e ＝12,M=2时
qα值，算出最小显著极差LSR。

在实际计算中：
对于精度要求高的试验——q检验法
一般试验——SSR检验法
试验中各个处理均数皆与对照相比的试验——LSD检验法
方差分析的基本步骤
（1）将样本数据的总平方和与总自由度分解为各变异因素的平方和与自由度；
（2）列方差分析表进行F检验，以弄清各变异因素在总变异中的重要程度；
（3）对各处理平均数进行多重比较。