高中数学_均值不等式教学设计学情分析教材分析课后反思
《均值不等式引入》的教学与反思
《均值不等式引入》的教学与反思作者：付甫琼李青林运来来源：《中学教学参考·理科版》2011年第08期在由教育部、东芝（中国）有限公司主办，全国四十所师范大学参加的第3届“东芝杯中国师范大学师范专业理科生教学技能创新大赛”中，课题组李青以不等臂天平称重问题引入均值不等式的教学，最终获大赛优秀奖.一、教学过程1. 创设问题情境，提出猜想（问题情境）一位同学在做实验称量物体质量时拿到一架两臂长略有不同的天平.问题一：试问这架天平能否称出物体实际质量？问题二：该同学将物体放在天平左、右两端，分别称得质量为50克,30克，由此猜想物体质量是m猜=50+302克，这个猜想对吗？为什么？A学生：对.因为两次称量都有误差，把结果求平均以后减小了误差，所以我认为这个结果应该是正确的.教师：很好，同学的判断有自己的理由，到底对不对呢?如果能准确求出物体质量进行比较，那么问题也就迎刃而解了.2．探究问题本源，发现真值教师：同学们，天平的制作运用了物理学的什么原理？学生：杠杆原理.老师：很好，杠杆原理就是指作用在杠杆两端力的大小跟力臂成反比，即动力×动力臂=阻力×阻力臂.师生共同探讨，得出如下的解答：设天平左右两臂长分别为L1和L2，根据杠杆原理及两次称量结果，我们可以得出下面的两个等式：m•g•L1=50g•L2,30g•L1=m•g•L2,解得m=50×30克.教师：大家比较一下，刚才那位同学的猜测对吗？m与m猜哪一个大？学生：m大于m猜.3．归纳比较数据，合情推理教师：现在我们把这个问题一般化，如果两次称量结果分别为a克和b克，同学猜测的质量就为a+b2克，而推导得出真实质量就为ab克.那么a+b2与ab又会有怎样的大小关系呢？我们可以取特殊值代入两式进行初步的判断.请同学们完成下表：aba+b2aba+b2与ab的大小关系观察、归纳出自己的猜想（a+b2与ab有怎样的大小关系？）教师：你得到的a+b2与ab与大小关系是什么？学生1：大于.学生2：大于或者等于.学生3：大于.教师：看来大家的结果都集中在大于或者大于等于上，请问第2个同学，等于时，你取的a、b分别等于多少呢？学生2：都等于1.教师：大家通过数据比较，归纳出了a+b2≥ab，这个结论是通过用特殊值归纳得出的，它是否对取a、b所有正实数都成立呢？我们不可能举出所有正实数一一验证，因此，还需要进行严格的证明.4．演绎证明命题，返璞归真教师引导学生利用比较法证明a+b2≥ab，并指出它就是要学习的均值不等式.教师：这里大于等于有两层含义，大于或者等于，等号什么时候可以取到？请大家观察证明过程.学生：当a=b时.教师：很好，当a=b时，取到等号，那反过来，如果取等号，a、b一定相等吗？学生：相等.教师：所以，我们就说当且仅当a=b时，取到等号.其中，对于正数a、b，称a+b2为a、b 的算术平均数，ab为a、b的几何平均数.5．总结反思拓展，再探新知教师：我们运用比较法证明了均值不等式，请同学们思考下面的问题：（1）根据下图，你能给出均值不等式的几何解释吗？（2）你能否用更多的方法证明均值不等式?（3）能否将均值不等式推广到3个正数的情形？n个正数呢？（设计意图：采用分层问题，使学生了解均值不等式的几何解释，体现“数形结合”思想，并探究均值不等式的多种证明方法及推广.）二、教学设计反思对比不同版本的教科书，关于均值不等式这一内容，都越来越注重展现知识的发生过程.从现行人教版《数学》教材来看，仅仅从完全平方公式直接推导出均值不等式；而新课标人教A版教材从几何的角度引导学生发现不等式；新课标人教B版教材直接给出均值不等式及证明；苏教版教材从学生实验出发，由不等臂天平称量物体质量问题展开，让学生经历猜想、归纳、证明等过程探索均值不等式.从知识的获得来看，学生都了解了均值不等式及其证明过程，但是从培养学生思维能力方面来看，从几何角度，或者从实验情境引入均值不等式更能培养和提高学生的数学思维能力.《普通高中数学课程标准》指出，要倡导积极主动、勇于探索的学习方式.在此案例的教学中，教师通过引导学生自主探索、合作交流让学生的学习过程成为“再创造”的过程，同时，通过实验情境，让学生感受均值不等式的发现过程，激发他们的学习兴趣，发展他们的创新意识和应用意识.当然，纵观整个教学设计，也有一些不尽如人意之处.就创设的情境来看，有物理老师指出，由天平的制作决定了左物右砝的称量原则，而在推导真实质量的过程中，右物左砝的称量过程，会不会让学生产生疑问？会不会有失严谨？这就涉及关于创设情境的问题.如何创设适合教学内容的有效的问题情境是个值得思考、探索的问题.【基金项目】本文系全国教育科学“十一五”规划2010年度单位资助教育部规划课题《新课程改革下课堂有效教学研究》（FFB108036）的部分成果.(责任编辑金铃）。
均值不等式教案2（共5篇）
均值不等式教案2（共5篇）第一篇：均值不等式教案2课题：第02课时三个正数的算术-几何平均不等式(第二课时）教学目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。
教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：定理3：如果a,b,c∈R+，那么推广：a+b+c3≥abc。
当且仅当a=b=c时，等号成立。
3a1+a2+Λ+ann≥a1a2Λan。
当且仅当a1=a2=Λ=an时，等号成立。
n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,c∈R+，那么a+b+c≥3abc（当且仅当a=b=c时，等号成立）呢？试证明。
二、例题分析：例1：求函数y=2x+223333(x>0)的最小值。
x解一：y=2x+31112=2x2++≥332x2⋅⋅=334∴ymin=334 xxxxx33312223解二：y=2x+≥22x⋅=26x当2x=即x=时x2xx23 ∴ymin=26⋅12=23312=26324 21的最小值。
(a-b)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 若a,b∈R+且a>b,求a+由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。
另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习 1.函数y=3x+12(x>0)的最小值是（）2xA.6B.66C.9D.12 2．函数y=x4(2-x2)(0<x<2)的最大值是（）D.2727A.0B.1C.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。
均值不等式教学设计
基本不等式教学设计一、录制内容同学们，大家好！基本不等式是高中数学教材必修五第三章不等式内容的一个重要组成部分，本节课我要讲的内容是“基本不等式”，我将以“什么是基本不等式→如何证明基本不等式→如何利用基本不等式求最值”为探究线索进行讲解。
首先一起来了解两个概念，如果,a b 为正数，则称2a b +为,a b 的算术平均数，,a b 的几何平均数。
在有了这样两个概念之后我们可能会比较好奇这两个数之间有怎样的大小关系呢？下面我们分别从代数角度和几何角度来进行证明。
从代数角度比较大小常用的方法就是作差，所以我们不妨先用作差法来探究之间的大小关系，有一定的应用性，所以我们称其为基本不等式。
那么如何来证明不等式呢？其实刚才作差探究两者大小关系的过程就给出了基本不等式的一种代数证法。
那么基本不等式又有怎样的几何意义呢？一起来看一个图形。
这是2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标，此会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，之所以用这个作为会标，一方面是因为它看上去像一个风车，象征了中国人民的热情好客，另一方面，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，揭示了很多的数学奥秘，下面我们就利用这个图形反映出来的面积大小关系对基本不等式加以解释。
设直角三角形的一条直角边长为a ，另一条直角边长为b ，则容易得到大正方形边长为b a +，小正方形边长为a b -。
需要说明的是，当b a =时，原图中的小正方形消失，四个直角三角形刚好拼成一个完整的大正方形。
根据边长可以进一步求得每一个小三角形的面积为2ab ，大正方形面积为b a +，从图形上可以看出大正方形的面积要大于或者等于四个直角三角形面积的和，所以有b a +≥ab 2也就是2b a +≥ab ，当且仅当a b =时，四个直角三角形面积的和2a b +=。
好，这样我们就借助于图形用几何方法对基本不等式做出了证明。
通过以上的学习可以知道基本不等式是解决最大（小）值问题的有力工具，在利用基本不等式求最大（小）值时，我们有这样两个原理：呢？接下来我们看一下例2：们可以归纳出在利用基本不等式求最值时的一般流程：反思本节课的内容可以发现，对基本不等式的证明可以用代数法和几何法，这两种证法刚好将数和形高度的统一到了一起，突出数形结合的思想。
均值不等式
《均值不等式》教学设计大连开发区第十高级中学邓亚光一、教学背景（一）教学内容分析“均值不等式”是人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》必修5第三章第四节的内容．均值不等式是不等关系中的重要定理，在不等式证明及求函数最值等问题中有着广泛应用。
同时也是学习后继知识的必要准备。
（二）教学对象分析本课的教学内容是用“从等式出发衍生到不等式”的思想来得出均值不等式．然而，这一不等式的理解给学生带来的难度却不小，因为要真正理解这种方法必须这一关系有比较清晰的认识．基于以上原因，备课时认为学生学习本节课有两大难点：一是如何获得“均值不等式”的思路；二是对均值不等式几何解释的理解。
（三）教学环境分析本课的教学内容较抽象，在教学时若采用常规教学手段，则难以突破本课难点，因此选择多媒体教室的信息技术辅助教学手段，通过电脑的动态演示，让学生形象而深刻体会本课“由特殊到一般，以动带静”的思想和方法．二、教学目标（一）知识与技能：理解均值不等式，并能应用其解决一些简单问题。
（二）过程与方法目标：通过师生合作交流，培养学生探究能力以及分析问题、解决问题的能力。
（三）情感、态度与价值观通过问题情境的设置，培养学生善于思考、勇于探究的学习品质。
三、教学重点、难点重点：理解均值不等式。
难点：均值不等式的应用。
本节课通过学生讨论交流、合作探究等方式，并充分利用信息技术，直观体现了“特殊到一般”、“以动带静”的形成过程，从而有效的突出了重点，突破了难点．四、教学过程（一）教学流程图理论结论excel 表格展示动画展示图片提高拓展提高拓展尝试探索尝试探索情景导入情景导入教学环节P P T 链接试题信息技术整合点构建新知构建新知几何画板表格探讨升华探讨升华生活中的数学形象结论{小组合作动态分析动画验证{升华结论利用网络资源课堂大讨论{投影仪展示成果学有所用学有所用（二）教学环节设计1．情境导入 （1）故事引入用一个两臂长短有差异的天平称一物品，有人说只要左右各秤一次，将两次所称重量相加后除以2就得物品的重量. 你觉得这种称法得出的结果比实际重量轻了，重了还是和实重相等？【设计意图：利用图片辅助提升学生的学习兴趣,使学生认识到数学和现实生活是紧密联系在一起的;体验数学是来源于生活、应用于生活的。
高中数学_均值不等式教学设计学情分析教材分析课后反思
《§3.2均值不等式不等式》的教学设计一、教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教B 版）第三章第2节第一课时，2a b +≤的推导与简单应用．它以前面已学习的有关不等式的基本知识为依据，2a b +证明不等式和求最值这两个侧面来体现2a b +≤的应用，2a b +≤的推导过程中渗透了代换的解题方法，为学生后续学习推理与论证的内容埋下伏笔，同时在公式推导过程中渗透数形结合等思想方法，此内容都是学生今后学习中必备的数学素养．二、教学目标1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解均值不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。
3．通过例题让学生学会用均值不等式证明不等式和求最值。
三、教学重点、难点（一）、教学重点：本节课的重点内容是应用数形结合的数学思想2a b +≤的证明过程．（二）、教学难点：（1）2a b +≤等号成立条件 （2）理解均值不等式和灵活应用均值不等式四、教学策略我在这节课的设计上采用了由学生身边的校园农场修篱笆这一问题引入，从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、代换，化归的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路．同时，借助多媒体的直观演示，实物投影展示帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点．教法: 问题引导、启发探究，小组讨论和归纳总结相结合五、学情分析对于高一的学生，前面有了不等式的基本知识作为铺垫，对不等式的学习已具备基本的认识，能够进行简单的数与式的比较，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，学生也能够较容易理解基本不等式的推导，且达到渗透数学思想、关注数学文化的目的．六、教学过程（一）、情景问题设置我们学校打算在校园农场用篱笆围一个面积为100 平米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？要解决这个问题，就要用到今天要学习的均值不等式。
高中数学_不等式及其性质教学设计学情分析教材分析课后反思
2.2.1不等式及其性质(2)教案一、教学目标：1、知识与技能：掌握不等式的基本性质。
并能用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式。
2、过程与方法：通过对问题的探究思考、体验认识、广泛参与等培养学生严谨的思维习惯、主动积极地学习品质，提高学生的学习能力。
3、情感、态度与价值观：通过参与活动，参与学习，感受数学的应用性，体会数学推理的严谨美。
二、教学重点：不等式的性质三、教学难点：不等式性质的证明。
四：教学方法：本节通过类比、启发、探究相结合的方法组织教学，按照由易到难，通过问题引导学生明确不等式各个性质的应用范围及会用不等式的性质证明简单的不等式。
五、教学过程：首先由教师讲故事引入课题，故事内容如下：两个小男孩，一个5岁，一个7岁，在一起玩游戏，突然小弟弟对哥哥说：“哥哥，三年后我就比你大了，我就是哥哥了。
”哥哥想了想说：“不是的，我永远是你的哥哥。
”然后教师提出问题，同学们，你们知道故事中隐含着什么数学问题吗？好我们带着这个问题进入本节课的学习。
（一）温故知新：⑴⇔>b a ⇔<b a ⇔=b a ⑵比较两个实数大小的方法是什么？步骤是什么？（3）若p ⇒q ，则p 是q 的 条件，q 是p 的 条件 活动：学生口答，教师板书。
设计意图：复习巩固上节知识，为不等式性质的证明做好铺垫。
学生口答，师生共同完成。
以旧引新，自然过渡。
（二）、自主探究：自学课本p64页回答以下问题，总结性质1、2、3及推论：（1）a>b 与b<a 是否等价？（2）若a>b ，b>c 则a>c 是否成立？（3）若a>b ，那么a+c>b+c 是否成立？若a+c>b+c ，那么a>b 呢？（4）若a>b ，c>d ，那么a+c>b+d 一定成立吗？反之呢？若不成立，请举一反例。
（5）若a>b ，c>d ，那么a -c>b -d 成立吗？试举例说明。
高中数学_均值不等式教学设计学情分析教材分析课后反思
高中数学_均值不等式教学设计学情分析教材分析课后反思3.2.1《均值不等式》教案一、教学目标确立依据1.课程标准要求及解读（1）课程标准要求基本不等式：ab b a ≥+2)(0,>b a ①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。
（2）课程标准解读课程标准对均值不等式要求探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。
这个要求可以分为两个层次：一是探索并了解基本不等式的证明过程；二是会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。
从第一个层次来看，要达到“探索并了解”，需要三个步骤：首先要给学生创造相关的问题情景，启发学生的思维，获取感性认识。
其次通过问题探究让学生步步深入，剖析特点；最后利用不等式的性质将得出的结论，进行完整的证明，并明确使用均值不等式的三个条件。
第二个层次是应用层面，因此要通过适当的例题、习题和变式训练，引导学生明白对式子如何变形才可满足运用均值不等式的条件。
2.教材分析本节是高中人教B 版《数学》必修5第三章不等式第二节的内容。
本节内容的教学需要两个课时，这是第一课时。
高中数学不等式是初中不等式知识的完善和提升，更是高等数学的基础，起着承前启后的作用．高中不等式与其他知识联系紧密，具有工具性功能．高中数学课程标准加强了不等式知识与实际生活的联系，力求体现数学来源于现实的真谛，教学中也更为突出不等式在解决实际问题中的工具作用．均值不等式的的三个条件是学生掌握的重点也是用均值不等式解决实际问题的易错点。
教学重点：理解均值定理并运用其解题。
教学难点：均值不等式成立的三个条件，也是学生用均值不等式解决实际问题的易错点。
难点突破方法：①多观察、勤类比、善归纳、重建构②题组引路、逐层深化、归纳总结、明确要点3.学情分析从知识方面看：通过对必修五模块第一节不等关系与不等式的学习，以及学生在初中对一些不等式知识有一定的掌握，相关技能和能力有了一定的提高，均值不等式的推出即证明过程学生可顺利的出，但均值不等式的运用，以及式子的变形是对学生的一个新的要求。
高中数学_不等式复习(基础篇)教学设计学情分析教材分析课后反思
高考专题复习之六――不等式(基础篇)学情分析一、整体情况1、所教学生为文科实验班，共34人，是高三新成立的班，这些学生在高一、高二时都分布在平行班中，高一、高二时学生在班内相对较好。
2、数学数学基础相对较好，但数学学习习惯不够规范，具体表现在：书写不规范、思维不够清晰，缺乏思维的深度、数学运算能力不强、在数学问题中对数学知识和方法的提取与转化能力弱、缺少做题的灵活性个性品质需要再进一步提高二、本部分知识掌握情况对于本部分知识，学生在新授课和一轮复习时对一些基础题型已经能够较熟练地处理，再加之新授课中对基本题型如不等式性质的运用、解一元二次不等式等相关的单一的基本题型已经掌握较好，本节课的重点是通过对典型问题的解读分析，在思维上让学生再进一步提高，使学生能够站在更高的高度看待与不等式有关的问题，对知识点的辨认、提取、讨论、解决方面能够再上一个台阶。
三、教学目标知识1、进一步掌握不等式的性质2、掌握基本不等式的特征及运用条件3、掌握一元二次不等式与对应一元二次方程和一元二次函数的关系方法1、能较清晰地识别、辨认并能有针对性地处理与不等式有关的常见题型.2、能够较熟练地解一元二次不等式3、能够较熟练地运用基本不等式求最大（小）值4、初步掌握分类讨论的分类标准思想1、进一步提高分类整合、数形结合的能力2、通过观察、归纳、抽象等方式，培养学生求真求实的科学精神，体会数学的应用价值，提高学生的逻辑推理能力和学数学用数学的意识.四、教学策略与教学手段根据复习课的特点以及数学知识的特点，在课堂上主要采用以题促学、以题促思、学生在老师指导下进行互助合作的模式；在复习基本题型的同时突出复习重点、攻克思维难点，同时辅以多媒体演示，最大限度地提高教学效率。
高考专题复习之六:不等式(基础篇)效果分析对于本节课，我认为自己做到了以下几点：1、对所教学生的学习情况做了细致、全面的了解和分析；2、对所复习知识点在高考中的地位和作用做了全面的分析；3、对所选题目进行了精心的筛选，力争做到具有代表性，能反应高考考查的方向；4、对重点难点的突破做到了循序渐进；5、在课堂控制方面坚持以学生为主体充分挖掘学生的潜力；学生方面：1、对不等式部分有了更深刻的认识；2、对于不等式部分在高考中的地位和作用认识更到位；3、从思维层面上对不等式相关的综合题目有了一定的理性认识.专题复习之六――不等式（基础篇）教材分析一、考试大纲及考试说明的要求：1、不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.2、一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3、基本不等式：2a b +≥ (0,0)a b ≥≥ （1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.二、教材分析1、本部分教材是高中数学必修五中的内容，由于本部分知识即具有知识性、工具性的特点，但在整个数学知识体系中本部分有着举足轻重的作用。
高中数学均值不等式教案
高中数学均值不等式教案
一、教学目标：
1. 了解均值不等式的定义及性质；
2. 掌握均值不等式的应用方法；
3. 进一步提高解题能力。
二、教学重点：
1. 均值不等式的应用；
2. 锻炼解题的能力。
三、教学难点：
1. 熟练掌握均值不等式的条件；
2. 熟练掌握均值不等式的应用方法。
四、教学过程：
1. 导入：通过一道简单的数学题目引入均值不等式的概念，引发学生的兴趣。
2. 学习：讲解均值不等式的定义及性质，并通过例题讲解均值不等式的应用方法。
3. 操练：让学生练习一些相关的习题，巩固所学知识。
4. 拓展：引导学生拓展思维，尝试更加复杂的问题，提高解题能力。
5. 总结：对学生掌握的知识进行总结，强调均值不等式在解题中的重要性。
五、课后作业：
1. 完成相关习题；
2. 拓展练习，提高解题能力。
六、教学反思：
本节课教学内容较为简单，但要求学生掌握均值不等式在解题中的应用方法，需要不断练习和巩固。
在今后的教学中，应该加强对学生解题能力的培养，使他们能够灵活运用所学知识解决问题。
《均值不等式引入》的教学与反思
疑． 教学 的本 质在 于使学 生受 益 ， 教得 好是 为 了促 进 学 得好 ， 生学 好学会 才是 教学 的根本 目的． 学 在课 堂上讲
间 的距离 ， 促进交流 ， 促进学生学 习热情 的提高． 总之 ， 知识应用素质 的教 育是全 面素质教 育 中一个 必不 可少 的部分 ， 应用 型 问题 有着 丰富 的社会信 息 ， 多 视角 的横 向联 系 ， 多层 次 的能力要求 ， 其多 功能 的教育 价值早 已是众所公认 的事实 ， 已成为 学生观察 了解社 它 会、 认识 评 价社会 的一个 窗 口． 教师应 该把 培养学 生 的 能力放在实处 ， 使每个学生 的数 学应用 意识和 能力在各 自的基础上有长足进步 ， 这是教 育工作 者的职责 和长期 任务． 因此教 师要 做好数 学应 用教育 的研究 ， 提高数 学 教育水平和效率 ， 开创数学教育新局面．
习 相 关 功 课 了．
第三 ， 科学安排作业 ， 与其 他学科 的教师 协商 ， 理 合
安排数 学学 科 的学 习时间． 天安 排适 当的 时间 ， 据 每 根 学生学习 的进 度 ， 引导学 生做 作业 ， 习． 适 当 即可 ， 复 量 少搞题海战术 ， 否则会引起学生 的反心理状态．
解得 一 与 猜哪一个 大？
克．
教师 ： 大家 比较一下 ， 刚才那位同学的猜测对 吗？
误 区跟学 生讲讲 ， 勉励 他们不 是每 一个人都 能解好数 学 题的， 就算 老 师也不 能做 到 ， 让学 生在解 题过 程 中尽 量 避免类似误 区． 且这 样也 让学 生感 受到 真实 的老 师 ， 而 消 除老师 给学生 的居 高临下的感觉 ， 一步拉 近师生 之 进
均值不等式教案
均值不等式教案一、教学目标1. 知识目标：(1) 了解均值不等式的概念和性质；(2) 掌握均值不等式的推导过程；(3) 能够应用均值不等式解决实际问题。
2. 能力目标：(1) 培养学生综合运用不等式、代数运算和图形分析等数学方法解决问题的能力；(2) 培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。
3. 情感目标：(1) 培养学生的发现问题、探究问题和解决问题的兴趣；(2) 提高学生的数学思维能力和抽象思维能力。
二、教学重点1. 掌握均值不等式的概念和性质；2. 理解均值不等式的推导过程；3. 能够灵活运用均值不等式解决实际问题。
三、教学难点1. 掌握均值不等式的推导过程；2. 能够灵活运用均值不等式解决实际问题。
四、教学过程1. 导入新课教师通过提问和引入问题，激发学生的学习兴趣：(1) 算术平均数和几何平均数之间有什么关系？(2) 两个正数的算术平均数是否一定大于等于它们的几何平均数？2. 学习新知(1) 学习均值不等式的定义和性质。
(2) 学习根据均值不等式的性质进行推导和运用。
3. 巩固练习(1) 练习通过均值不等式证明一些不等式关系。
4. 拓展应用(1) 通过应用实际问题，将均值不等式与实际问题相结合，培养学生的实际问题解决能力。
五、教学总结1. 对本节课的学习内容进行总结，强调均值不等式在解决实际问题中的重要作用。
2. 对同学们的学习态度和学习效果进行评价，鼓励学生参与课堂活动，积极思考，提高数学应用能力。
六、课后作业1. 完成课堂上的练习题；2. 自主寻找一些实际问题，并用均值不等式解决问题；3. 预习下节课内容。
《均值不等式》复习课反思
《均值不等式》复习课反思麦秀銮均值不等式在高中数学课程中有着举足轻重的地位，不但是高中数学教学的一个重点，也是近几年高考的一个热点,而均值不等式的求最值问题又是均值不等式的应用中的重点。
应用均值不等式求最值问题其必须满足的“三个条件”——“一正”（各项均为正数），“二定”（各项的和与积为定值），“三等”（等号可以成立）。
对学生来说，解题中很容易就能注意到“一正、二定”的问题，却经常忽略“三等”。
所以让学生掌握这个内容一直都是教学的重点和难点。
下面是关于均值不等式复习的一些片断：（在进行了一节均值不等式的复习课后，作业中我布置了这样一个题目：“若0,0a b >>，求证：a b++≥，在评讲完这个题目后，为了让学生对“三等”这个难点进一步理解，我特意在这个题目后面加了一个问题：若题目改为求a b++）S ：等号成立。
T ：要等号成立，必须要怎样呢？S1:a b =;S2:=T ：怎么会有两个答案的？S ：……T ：若a b =可以确定哪个等号成立？=S ：……T ：我们知道用均值不等式求最值时，哪两项用了均值不等式，那两项就要相等才可以取得等号成立。
你们看看，要最后使其等于次？S3： a b +≥≥T ：那么你们再想想，要=成立，必须要=但如果a b+不等于=这个等号有机会成立吗？S：我知道了，要a b ++a b =且=.……这个题目设计得很巧妙，简单地用了两次均值不等式就可以解决问题，可以很好地让学生熟悉均值不等式的应用。
而教师后面加上的问题，在备课中并准备在这节课中讨论的，但在评讲作业的过程中，发现学生对“三等”这个知识的掌握程度并不是很理想，所以希望再通过一些题目加强对这些方面的训练。
后面加的求最值的问题虽然有一定的难度，但对提高学生对“三等”的认识有很好的帮助。
在同一节课中，又出现了另一个片断，很值得我去深思如何进行对均值不等式这个知识的复习以及其他内容的复习。
在教学中，我给了学生这样一个例题：若0,0x y >>，491x y +=，求11x y+的最小值。
高中数学_3.2 均值不等式教学设计学情分析教材分析课后反思
人教版高中数学必修五3.2《均值不等式》教学设计本节课主要采用启发引导式的教学策略，通过设计问题引出课题，通过启发引导解决问题，总结问题，论证问题，延拓问题等环节让学生领悟科学的探究方法，增强学生的探究能力，在教学中指导学生展开联想，大胆探索，以训练和培养学生的思维能力。
1.创设情境，引入新课通过问题情境的设计，激发学生学习的积极性，并为给出均值不等式做铺垫，并培养学生自主探究能力。
2.合作探究，形成结论，推理论证，形成定理通过引导，让学生主动去证明猜想的结果，进一步巩固比较两数大小的方法，并形成猜想证明的严密思维，让学生明白猜想，归纳，证明是我们发现规律，认知世界的重要思维方法。
通过展示均值不等式的几何直观解释，培养学生数形结合的意识，使抽象问题更加直观。
通过提问，进一步加深对均值不等式的理解，明确不等式成立的条件。
3.典例剖析，应用定理使学生能力灵活应用公式，让学生注意定理的使用条件，培养严谨的数学思维。
掌握均值定理的正用及拓展应用，通过变式使学生对试题进行深层次的探索，激发兴趣，培养能力。
4.自主整理，归纳总结通过总结让学生理解均值不等式的引出及证明过程，均值不等式的使用条件，会识别并应用均值不等式，培养一题多解，一题多变的能力。
人教版高中数学必修五3.2《均值不等式》学情分析1.从学生知识层面看：学生已有的知识技能：三角函数知识，作差法证明不等式，不等式性质以及平面几何知识。
但从图形角度来认知不等式，以及对均值不等式使用条件的理解还有些许困难。
2.从学生素质层面看：所任班级的学生基础稍差，但也已经具有一定的逻辑思维能力，因此他们希望能够自己探索，发现问题，解决问题，增强数学应用意识。
提高分析问题，解决问题的能力，他们更需要充满活力与创造发现的课堂。
人教版高中数学必修五3.2《均值不等式》效果分析依据新课程标准和学生的知识结构与认知水平，本节课预计达到以下几方面的效果1.知识与技能通过从生活中发现问题，实验中分析问题，设计中解决问题、总结问题，论证后延拓问题，五个环节使学生深刻理解均值不等式。
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必修5 第三章 不等式 3.2 均值不等式（新授课）一、教学目标确立依据 1.课程标准要求(,0)2a ba b +≤≥ ①探索并了解基本不等式的证明过程； ②会用基本不等式解决简单的最大（小）问题. 2.课程标准解读对上述①的解读：首先给学生创设探索的平台得到基本不等式，同时给学生机会让学生用所学方法证明基本不等式；对上述②的解读：首先教师用问题的方式搭建平台让学生发现基本不等式的限制条件，同时教师由浅入深给学生探究最值的平台，由理论到实践操作将最值问题与实际问题挂钩，让学生在探究和实践过程中学会用基本不等式解决简单的最大（小）问题.3.学情分析与教材分析学生已经学习“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究．知晓不等式证明以及函数求最值的某些方法.“均值不等式” 是必修5的重点内容，在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。
求最值又是高考的热点。
同时本节知识又渗透了分类讨论、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.为了帮助学生构建知识体系，教科书分三个层面来展现：第一层面，从简单的不等式证明入手，在降低难度的基础上让学生体会基本不等式在证明不等式总中的作用；第二层面，通过应用题，体现基本不等式在实际问题的应用，以及让学生体会简单的基本不等式的应用；第三层面，通过分母是一次函数，分子是二次函数的分式形式，循序渐进的增加难度，让学生学会判断条件学会拼凑或者添项转化为公式所需要的条件.本课正处于第一、第二个层面以及第三层面的初级阶段.本节内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了转化与化归、数形结合、分类讨论思想等数学思想.教学重点：均值不等式的推导以及应用；教学难点：均值不等式在实际问题中的应用.二、学习目标分析1.通过学生动手操作及证明，学生得到均值不等式并能够熟记公式；2.通过教师问题引导师生共同探究，学生学会判断应用均值不等式条件；3.通过师生探究以及变式巩固，学生学会应用均值不等式求函数的最值.三、评价设计目标1评价：通过教师问题引领，学生动手操作得到均值不等式，并通过问题及设定的题目的形式来检查学生对均值不等式条件的初步理解目标2评价：教师通过简单的证明问题的引入，以及教师以问题串的形式引发学生思考得到不等式成立的条件，同时在学生探究之后，请学生展示探究结果并口头总结限制条件，教师适当补充评价．目标3评价：通过教师提供探究2以及实际应用题，学生上讲台讲解展示探究的结果方式达到目标3.四、教学方法1.教学方法：采用启发式教学法创设问题情景，激发学生开始尝试活动．运用生活中的实际例子,让学生享受解决实际问题的乐趣. 课堂上主要采取对比分析；让学生边议、边评；组织学生学、思、练.通过师生和谐对话,使情感共鸣，让学生的潜能、创造性最大限度发挥，使认知效益最大.让学生爱学、乐学、会学、学会.2.教学手段：本节课使用学生自己的教具（纸片）、使用多媒体辅助进行直观演示.3.2均值不等式教学 目标1.通过引入，学生在感受到中国古代数学成就的同时得到均值不等式并能够熟记公式；2.通过教师问题引导师生共同探究，学生学会判断应用均值不等式条件；3.通过师生探究以及变式巩固，学生变形应用均值不等式求函数的最值；重点 应用数形结合的思想理解基本不等式并从不同角度探索不等式的证明过程.难点基本不等式成立的条件及应用.教 学 过 程设计意图一、新课引入右图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
现将图中的“风车”抽象成下图，师生共同完成折纸实验，借此引入均值不等式.ab ba ≥+2师问：1.该不等式中,a b 的范围是什么？2.你会证明该不等式吗？ 教师请学生复述教师写在黑板上.教师展示证明过程.指出同学们自己探究并证明出了一个非常重要的定理——均值定理. 教师展示均值定理的内容.【设计意图】 让学生自己动手发现均值不等式，并自己动手证明不等式，有助于让学生在活动中体会发现的乐趣，培养学生的乐趣发挥学生的主观能动性.【设计意图】 让学生直接回答，黑板板演，或借助多媒体投影，提高学生的数学表达和交流能力.解析：能否用均值不等式解决该问题呢？满足哪些条件能用均值不等式求最值呢？问题1：若上述条件中0>x 改为3>x 结论仍成立吗？ （集体回答）问题2：若上述条件中0>x 改为0<x 结论仍成立吗？ （单独提问，独立整理步骤，教师展台展示，规范步骤）问题 3.若题目改为1(1)1y x x x =+>-+求最小值？想想你该如何去做呢？（单独提问，学生同桌合作，小老师上台讲解）小结：1.一正，二定，三等.2.当均值不等式的正、定或者等条件不满足时，要巧用添项、 拼凑等技巧.师：同学们，至此我们又完成了目标2的学习.牛刀小试：1.已知：0,0,4,x y xy >>=求min ()x y +2.已知：0,0,4,x y x y >>+=求max ()xy师生共同小结：1. 公式可以正用2a b ab +≥也可以逆用2()2a b a b +⋅≤；2.积定和最小，和定积最大.动手操作、实践应用 探究2：现有一段8米长的篱笆，要围成一个一边靠墙的矩形菜地，如何设计能够使菜地的面积最大？最大面积是多少？ 【设计意图】 1.课堂中要让学生动起来，教师就要搭建合适的平台让学生展示自我.教师设计的几个问题目的是要让学生自己通过实例总结出一正、二定、三等的条件，而不是教师告知.2.此时的小结仍交给学生总结教师适当的补充评价.目的在于让学生自己缕清做题的方法及思路同时有助于培养学生的总结归纳能力.3.针对问题2，教师请同学回答，分析思路并请学生动手做题规范步骤.4.针对问题3，有了前面的基础，学生同桌合作能够解决，所以让学生讲解在学生的能力范围内，同时通过这种形式锻炼学生的口头表达能力，有助于培养学生思维的严谨性.【设计意图】 教师请小组讲台展示成果.其他小组适当补充完善做题方法.六、拓展资源中科院院士田刚——离菲尔茨奖最近的中国人在第24界国际数学家大会上，田刚成为中国内地第一个进行一个小时大会报告的学者。
12年前，32岁时他就出现在京都国际数学家大会上。
在上一届菲尔茨奖评选中，田刚进入了最后一轮的角逐。
虽然没能获奖，但他是所有中国数学家中曾经最接近这一号称“数学诺贝尔奖”桂冠的人。
在许多人看来，他是天才。
可他却说：“我的独特之处在于我不是天才。
数学家不需要天才，关键在于努力，在于有兴趣。
”44岁的田刚，是国际公认的最杰出的微分几何学家。
1998年受聘为北京大学第一批“长江学者”，2001年当选为中国科学院院士，现任北京大学教授及美国麻省理工学院讲座教授。
可1978年报考大学时，这位日后的著名数学家的第一志愿不是数学，而是物理。
“当年想法很简单，我的母亲搞数学研究，我不想再搞数学。
”田刚说。
南京大学数学系一位负责人认为他不是天才，田刚在大学4年间居然做了上万道题，这种踏实的习惯一直伴随着他。
读书期间，田刚始终没有放弃自己的爱好：爬山。
他说：“爬山的特点就是不喜欢走回头路，不达目的决不罢休。
” 登高的另一个好处是可以开拓人的视野。
田刚追随张恭庆院士读北大，又追随菲尔茨奖获得者丘成桐到了美国。
两人都是在数学界最培养兴趣，提升素养。
备注：国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为国际数学界的“奥林匹克”。
大会颁发的菲尔茨奖，被誉为“数学领域的诺贝尔奖”。
均值不等式作差法证明几何解释探究1小结检测探究2Ａ ＢＣＥＤ Ｇ Ｆ a Ｈ b22a +b 学习目标： 1. 2.知识点： 均值不等式： 公式条件： 公式变形：均值不等式学情分析学生已经学习“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究．知晓不等式证明以及函数求最值的某些方法.效果分析一：师生共同完成折纸实验，借此引入均值不等式环节，通过教师引导学生动手试验，学生完成了均值不等式的生成；二：在教师引导学生理解均值不等式环节，我通过巡视及提问评价，发现学生对均值不等式成立的条件掌握的很好，但是一位同学在背完公式后再回答公式变形时还是有所失误，但是通过提示，相信这位同学应该能够掌握到位.三：在应用环节，从同学们小组合作的表现来看，学生能够积极的参与到课堂活动中来.同时在展示阶段，我拿了一位在易错点上出错的同学的试卷展示，请同学提出做题中的不足之处，从学生的表现来看从中我们不难发现学生乐于参与到课堂活动中来，乐于当大家的小老师。
从学生板书和巡视学生做题情况来看百分之九十的学生对基本题型掌握的还算熟练.三：总结环节放手让学生对本节课做一个小结，学生总结的很到位.虽说学生只能从知识层面上总结，但是能达到这样的效果相信学生对本节课的学习内容基本上是领会了.通过效果分析我们不难发现将本节课大胆的还给学生，我们的处理方法是对的。
我相信对给学生一些这样的机会，学生会成长的很好。
均值不等式教材分析“均值不等式”是必修5的重点内容，在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用.求最值又是高考的热点。
同时本节知识又渗透了分类讨论、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.为了帮助学生构建知识体系，教科书分三个层面来展现：第一层面，从简单的不等式证明入手，在降低难度的基础上让学生体会基本不等式在证明不等式总中的作用；第二层面，通过应用题，体现基本不等式在实际问题的应用，以及让学生体会简单的基本不等式的应用；第三层面，通过分母是一次函数，分子是二次函数的分式形式，循序渐进的增加难度，让学生学会判断条件学会拼凑或者添项转化为公式所需要的条件.本课正处于第一、第二个层面以及第三层面的初级阶段.本节内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了转化与化归、数形结合、分类讨论思想等数学思想.均值不等式测评练习一、单选题1．如果，那么的最小值是（）A．B．4 C．9D．182．函数其中的最大值是A．B．C．1D．23．已知，则的最小值为A．B．1C．D．4．在各项均为正数的等比数列中，，则（）A．有最小值6B．有最大值6C．有最大值9D．有最小值3 5．已知，则取最大值时的值是（ （A．B．C．D．二、填空题6．已知，且，则的最小值为___________．7．若，则函数的最小值为______．8．当且仅当______时，函数取得最小值．9．已知，，且，则的最大值为______．10．已知，，且，则的最大值等于__________．11．用绳子围成一块矩形场地，若绳长为20米，则围成最大矩形的面积是__________平方米.三、解答题12．求函数的值域．13．已知，求的最小值，并求取到最小值时x的值；已知，，，求xy的最大值，并求取到最大值时x、y的值．14．求函数y（x(a（2x)(x>0（a为大于2x的常数)的最大值（15．利用基本不等式求最值：（1）若，求函数的最小值，并求此时x的值.（2）设，求函数的最大值参考答案1．D 2．D 3．D 4．A 5．C 6．47．8．9．2【点睛】本题主要考查对数的运算法则，均值不等式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．8【点睛】本题主要考查的是基本不等式的合理运用及其变形。