《材料力学》i 截面的几何性质 习题解

附录I 截面的几何性质 习题解

[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。

（a ）

解：)(24000)1020()2040(3

mm y A S c x =+⨯⨯=⋅=

（b ）

解：)(422502

65

)6520(3mm y A S c x =⨯

⨯=⋅= ；

（c ）

解：)(280000)10150()20100(3

mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=

（d ）

解：)(520000)20150()40100(3

mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=

[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。

解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。

dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=sin sin )(2

半圆对x 轴的静矩为： '

3

2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300

2

r r x d dx x S r r

x =

--⋅=-⋅=⋅=⎰⎰

πθθθπ

π

因为c x y A S ⋅=，所以c y r r ⋅⋅=232132π π

34r

y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。

（a ） 解：

习题I-3(a): 求门形截面的形心位置

矩形 Li —

Bi Ai Yci AiYci Yc 离顶边

上 400 20 8000 ￥

160 1280000 左 150 20 3000 75 225000 ?

右

150 20 3000 75 225000 …

14000

1730000

Ai=Li*Bi

Yc=∑AiYci/∑Ai

>

(b)

解： 习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置

矩形 Li Bi Ai Yci (

AiYci

Yc Xci AiXci Xc 下

160

10

1600

5

…

8000

80

128000

左 90 10 900 55 。

49500

5 4500

2500

，

57500

23

132500

53

Ai=Li*Bi

Yc=∑AiYci/∑Ai

Xc=∑AiXci/∑Ai

<

解：

习题I-3(c): 求槽形与L 形组合截面的形心位置

型钢号 Ai(cm2) Yci(cm) AiYci(cm3) Yc(cm) Xci(cm) AiXci(cm3) ）

Xc(cm) 槽钢20

10 等边角钢80*10

…

]

Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai

[习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于x 轴和y 轴的惯性矩x I 、y I 和惯性积xy I 。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。

…

dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的惯性矩为： θθθθθdxd x dx xd x dx xd y dA y dI x ⋅=⋅⋅=⋅==232222sin sin )(

四分之一圆对x 轴的惯性矩为： ⎰⎰

⎰

-⋅==

2/0042

/0

2

3

2

2cos 1]4[sin ππθθ

θθd x d dx x I r r

x

)]2(2cos 21[2142/02/0

4θθθππd d r ⎰⎰-⋅= }]2[sin 2

12{82

/04πθπ-=r 16

4

r ⋅=

π

由圆的对称性可知，四分之一圆对y 轴的惯性矩为：

16

4

r I I x y ⋅=

=π

微分面积对x 轴、y 轴的惯性积为： ，

xydA dI xy =

8

)42(21]42[21)(2144404222

20

2

2r r r x x r dx x r x ydx xdx I r r

x r r

xy =-=-=-==⎰⎰

⎰

- [习题I-5] 图示直径为mm d 200=的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为

mm 20=δ的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x 的惯性矩。

解：圆的方程为：

222r y x =+

如图，作两条平行x 轴的、相距为dy 线段，截圆构成微分面积，微分面积为：

dy y r dA 222-=

切去δ2之后，剩下部分对x 轴的惯性矩为：

dy y r y I r r x 22sin sin 22-=⎰

-α

α

~