梁弯曲时的变形
梁纯弯曲变形
梁纯弯曲变形引言梁纯弯曲变形是工程力学中的一个重要概念。
在结构力学和土木工程中，梁是一种常见的结构元素，承受着各种外部荷载。
当外部荷载作用于梁上时，梁会发生变形。
本文将探讨梁在纯弯曲状态下的变形特性和相关的理论基础。
纯弯曲的概念纯弯曲是指梁所受的外部荷载仅产生弯矩作用，而不产生剪力作用。
在梁的纵轴上，上部受拉，下部受压，梁在这种状态下发生弯曲变形。
纯弯曲情况下，梁的截面仅发生弯矩引起的形状变化，并不会发生剪切变形。
纯弯曲对于大跨度的梁和悬臂梁等结构具有重要意义。
纯弯曲变形的理论基础梁纯弯曲变形的理论基础可以通过两种方法进行分析：理论分析和数值分析。
理论分析理论分析方法中，我们可以利用梁的弯矩-曲率关系来分析纯弯曲变形。
弯矩-曲率关系描述了梁截面上的弯矩和截面曲率之间的关系。
根据弯矩-曲率关系，我们可以计算出梁的曲率分布，从而得到梁的变形情况。
此外，利用材料力学中的应力-应变关系，还可以计算出梁截面上的应力分布。
数值分析数值分析方法中，我们可以使用有限元方法来模拟梁的纯弯曲变形。
有限元方法将梁划分为许多小的单元，通过求解弯矩和力的平衡方程，可以得到梁单元上的位移和应力分布。
通过将所有单元的位移组合起来，可以得到整个梁的变形情况。
纯弯曲变形的计算纯弯曲变形的计算依赖于梁的几何形状、材料特性和外部荷载。
常见的计算方法包括：基于梁理论的计算基于梁理论的计算方法适用于简单、均匀截面的梁。
在这种方法中，我们可以使用梁的截面形状和材料性质，通过弯矩-曲率关系计算出梁的曲率分布。
进一步，可以计算出梁的位移、剪力和应力等参数。
基于有限元分析的计算基于有限元分析的计算方法适用于复杂截面的梁。
在这种方法中，我们将梁划分为许多小的单元，并求解每个单元上的位移和应力分布。
通过将所有单元的位移组合起来，可以得到整个梁的变形情况。
梁纯弯曲变形的应用梁纯弯曲变形的应用广泛，特别是在土木工程和结构设计中。
通过对梁的纯弯曲变形进行分析，可以确定梁的合适截面形状和尺寸，以满足其承受的外部荷载要求。
梁的弯曲变形
第7章-梁的弯曲变形(总32页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第7章 梁的弯曲变形与刚度梁弯曲变形的基本概念7.1.1 挠度在线弹性小变形条件下，梁在横力作用时将产生平面弯曲，则梁轴线由原来的直线变为纵向对称面内的一条平面曲线，很明显，该曲线是连续的光滑的曲线，这条曲线称为梁的挠曲线（图7-2）。
梁轴线上某点在梁变形后沿竖直方向的位移（横向位移）称为该点的挠度。
在小变形情况下，梁轴线上各点在梁变形后沿轴线方向的位移（水平位移）可以证明是横向位移的高阶小量，因而可以忽略不计。
挠曲线的曲线方程：)(x w w = （7-1）称为挠曲线方程或挠度函数。
实际上就是轴线上各点的挠度，一般情况下规定：挠度沿y 轴的正向（向上）为正，沿y 轴的负向（向下）为负（图7-4）。
必须注意，梁的坐标系的选取可以是任意的，即坐标原点可以放在梁轴线的任意地方，另外，由于梁的挠度函数往往在梁中是分段函数，因此，梁的坐标系可采用整体坐标也可采用局部坐标。
7.1.2 转角梁变形后其横截面在纵向对称面内相对于原有位置转动的角度称为转角（图7-3）。
转角随梁轴线变化的函数：)(x θθ= （7-2）称为转角方程或转角函数。
图7-3 梁的转角)(x 图7-2梁的挠曲线由图7-3可以看出，转角实质上就是挠曲线的切线与梁的轴线坐标轴x 的正方向之间的夹角。
所以有：xx w d )(d tan =θ,由于梁的变形是小变形，则梁的挠度和转角都很小，所以θ和θtan 是同阶小量，即：θθtan ≈，于是有：xx w x d )(d )(=θ （7-3） 即转角函数等于挠度函数对x 的一阶导数。
一般情况下规定：转角逆时针转动时为正，而顺时针转动时为负（图7-4）。
需要注意，转角函数和挠度函数必须在相同的坐标系下描述，由式（7-3）可知，如果挠度函数在梁中是分段函数，则转角函数亦是分段数目相同的分段函数。
弯曲变形的强度条件和强度计算
弯曲变形的强度条件和强度计算当梁受到一组垂直于其轴线的力即横向力或位于轴线平面内的外力偶作用时，梁的轴线由一条直线变为曲线，称为弯曲变形。
如果梁的几何形状材料性能和外力都对称于梁的纵向对称面则称为对称弯曲。
如果梁变形后的轴为形心主惯性平面内的平面曲线则称为平面弯曲。
本课程中主要研究以对称弯曲为主的平面弯曲，如图1所示。
图1 平面弯曲一、梁弯曲时的内力——剪力和弯矩梁的横截面上有两个分量——剪力和弯矩，它们都随着截面位置的变化而变化，可表示为F S=F S(x)和M=M (x)，称为剪力方程和弯矩方程。
为了研究方便，通常对剪力和弯矩都有正负规定：使微段梁发生顺时针转动的剪力为正，反之为负，如图2所示；使微段梁上侧受拉下侧受压的弯矩为正，反之为负，如图3所示。
图2 剪力的正负图3 弯矩的正负例1：试写出下图所示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力=∑C M：0310126=⨯--⋅AyF，kN7=AyF=∑Y：010=-+ByAyFF，kN3=ByF（2）列内力方程剪力：⎩⎨⎧<<-<<=63kN33kN7)(S xxxF弯矩：⎩⎨⎧≤≤≤≤⋅-⋅-=633mkN)6(3mkN127)(xxxxxM（3）作剪力图和弯矩图二、梁弯曲时的正应力在一般情况下，梁的横截面上既有弯矩又有剪力。
若梁上只有弯矩没有剪力，称为纯弯曲。
本讲主要讨论纯弯曲时横截面上的应力——正应力。
梁横截面上的正应力大小与该点至中性轴的距离成正比，即正应力沿截面宽度均匀分布，沿高度呈线性分布，如图4所示。
图4 梁弯曲时的正应力分布图即有yIxMz)(=σ（1）中性轴把截面分成受拉区和受压区两部分，且最大拉应力和最大压应力发生在上下边缘处，其值为max max y I Mz=σ。
令max y I W z z=，即有：zW M =max σ （2）式中，W z 称为抗弯截面系数，它与横截面的几何尺寸和形状有关，量纲为[长度]3，常用单位为mm 3或m 3。
梁的弯曲(应力、变形)
梁的弯曲类型
01
02
03
自由弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端不受约束，可以自由 转动。
简支弯曲
梁在受到外力作用时，其 一端固定，另一端可以自 由转动。
固支弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端均固定，不能发生转 动。
梁的弯曲应用场景
桥梁工程
桥梁中的梁常常需要进行弯曲变形以承受车辆和 行人等载荷。
稳定性。
06 梁的弯曲研究展望
CHAPTER
新材料的应用研究
高强度材料
随着材料科学的进步，高强度、轻质的新型 材料不断涌现，如碳纤维复合材料、钛合金 等。这些新材料在梁的弯曲研究中具有广阔 的应用前景，能够显著提高梁的承载能力和 刚度。
功能材料
新型功能材料如形状记忆合金、压电陶瓷等， 具有独特的力学性能和功能特性，为梁的弯 曲研究提供了新的思路和解决方案。
反复的弯曲变形可能导致疲劳裂纹的 产生和扩展，影响结构的疲劳寿命。
对使用功能的影响
弯曲变形可能导致结构使用功能受限 或影响正常使用。
04 梁的弯曲分析方法
CHAPTER
理论分析方法
弹性力学方法
01
基于弹性力学理论，通过数学公式推导梁在弯曲状态下的应力
和变形。
能量平衡法
02
利用能量守恒原理，通过计算梁在不同弯曲状态下的能量变化，
详细描述
常见的截面形状有矩形、工字形、圆形等。应根据梁的用途和受力情况选择合适的截面形状。例如， 对于承受较大弯矩的梁，采用工字形截面可以有效地提高梁的承载能力和稳定性。
支撑结构优化
总结词
支撑结构是影响梁弯曲性能的重要因素，合理的支撑结构可以提高梁的稳定性，减小梁 的变形。
梁的弯曲变形
座处的截面上y=0，固定端的截面上θ=0，y=0；二是根据整个挠曲线
的光滑及连续性,得到各段梁交界处的变形连续条件。
梁的弯曲变形
1.3 用叠加法求梁的变形
由于简单荷载作用下的挠度和转角可以 直接在表8-1中查得,而梁的变形与荷载呈线 性关系,因此,可以用叠加法求梁的变形。即 先分别计算每种荷载单独作用下所引起的转 角和挠度,然后再将它们代数叠加,就得到梁 在几种荷载共同作用下的转角和挠度。
2. 用积分法求梁的变形
对于等截面梁,EI=常数,式(8-23)可改写为
EIy″=-Mx
积分一次，得
EIθ=EIy′=-∫Mxdx+C
(8-24)
再积分一次,即得
EIy= -∫ ∫ Mxdxdx+Cx+D
(8-25)
式(8-24)、式(8-25)中的积分常数C和D,可通过梁的边界条件来决定。
边界条件包括两种情况：一是梁上某些截面的已知位移条件，如铰链支
梁的弯曲变形
梁的弯曲变形
梁的弯曲变形
梁的弯曲变形
梁的弯曲变形
【例8-5】
图8-26
梁的弯曲变形
工程力学
为了得到挠度方程和转角方程,首先需推出一个描述弯 曲变形的基本方程——挠曲线近似微分方程。弯曲变形挠曲 线的曲率表达式为
(8-22) 式(8-22)为研究梁变形的基本公式,用来计算梁变形后中 性层(或梁轴线)的曲率半径ρ。该式表明：中性层的曲率1ρ 与弯矩M成正比,与EI成反比。EI称为梁的抗弯刚度,它反映了 梁抵抗弯曲变形的能力。
2. 转角
梁的弯曲变形
梁变形时,横截面还将绕其中性轴 转过一定的角度,即产生角位移,梁任一 横截面绕其中性轴转过的角度称为该截 面的转角,用符号θ表示,单位为rad,规定 顺时针转为正。例如,图8-24所示的C处 截面的转角为θC。
梁弯曲知识点总结
梁弯曲知识点总结一、弯曲概念在物理学和工程力学中，弯曲是指在材料受到外力作用下，产生一种曲率变化的变形形式。
在梁的情况下，当梁受到外部载荷作用时，梁将发生一种曲率变化，即梁的一部分受到压力而另一部分受到拉力，使得梁产生一种弯曲的变形形式。
梁的弯曲是梁理论研究的重要内容之一。
二、弯曲的原理梁的弯曲原理是由梁的弯矩和弯曲应力来描述的。
梁在弯曲时，横截面上的各个点受到的弯矩不同，由于弯矩的不平衡，在梁的上表面产生的张力，下表面产生的压力，产生了一种称为弯曲应力的内力形式。
弯曲应力的作用下，梁在弯曲的过程中产生了曲率变化，弯曲原理是用来描述梁在弯曲时的变形和内力情况的。
三、梁的弯曲方程梁的弯曲方程是用来描述梁在弯曲时的曲率和弯矩之间的关系的。
梁的弯曲方程可以通过力学原理和材料力学原理来推导出来。
梁的弯曲方程可以用来计算梁在受载时的弯曲变形和各个截面上的应力情况，对于工程结构的设计和分析具有非常重要的意义。
梁的弯曲方程通常包括以下几个方面：1.梁的弯曲变形方程：描述梁在弯曲时产生的曲率变化和曲线形状；2.梁的弯矩方程：描述梁在受力状况下产生的弯矩大小和分布情况；3.梁的弯曲应力方程：描述梁在弯曲状况下产生的应力大小和分布情况。
梁的弯曲方程是梁理论的核心内容，对于工程结构的设计和分析具有重要的意义。
四、梁的弯曲理论梁的弯曲理论是研究梁在受载时的弯曲变形和内力情况的理论。
梁的弯曲理论是以弹性理论和材料力学为基础的，通过对梁在弯曲时的力学原理和材料力学原理进行分析和推导，得出了梁在弯曲时的各种数学模型。
梁的弯曲理论可以应用于工程结构的设计和分析中，能够比较准确地描述梁在受载时的变形和内力情况，为工程结构的安全和稳定性提供理论依据。
梁的弯曲理论包括以下几个方面：1.梁的弯曲变形分析：描述梁在受载时产生的形状和曲率变化；2.梁的弯曲应力分析：描述梁在受载时产生的应力大小和分布情况；3.梁的弯曲挠度分析：描述梁在受载时产生的挠度大小和分布情况；4.梁的弯曲裂缝分析：描述梁在受载时产生的裂缝情况。
材料力学 第6章 梁的弯曲变形
(c)
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
在本章所取的坐标系中，
上凸的曲线w″为正值，下凸的为负值。
如图6-5所示。 按弯矩正负号的规定，正弯矩对应着负的w″， 负弯矩对应着正的w″，故（c）式
w
M (x)
(1
w2 )3 2
EI z
在小变形情况下， w dw 是一个很小的量， dx
则 w'2为高阶微量，可略去不计，故
挠曲线的近似微分方程
M x
w EI z
EIw''= −M (x)
(6-1b)
图6-5
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
6.4 积分法计算梁的变形
对于等直梁，可以直接积分，计算梁的挠度和转角。 将式(6-1b)积分一次，得到
EIw′ = EIθ = −∫ M (x) dx + C
maxFl 2 2EI来自A xyF
θmax B
x
wmax
l
图6-7 例题 6-1 图
wm a x
Fl 3 3EI
θ max为正值，表明梁变形后，截面B顺时针转动；
wmax为正值，表明点B位移向下。
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
例题6-2 一简支梁受均布荷载q作用，如图6-8所示。试求梁的转角方程和 挠度方程， 并确定最大挠度和A、B截面的转角。设梁的弯曲刚度为EI。
A x
y
F
θmax B
x
wmax
l
进行两次积分，得到
EIw EI Flx Flx2 C
(a)
2
EIw Flx2 Fx3 Cx D
工程力学(天津大学)第11章答案
第十一章 梁弯曲时的变形习 题11−1 用积分法求下列简支梁A 、B 截面的转角和跨中截面C 点的挠度。
解：（a ）取坐标系如图所示。
弯矩方程为：xlM M e=挠曲线近似微分方程为：xlM y EI e-=''积分一次和两次分别得：Cxl My EI e +-='22， （a ）DCx xlMEIy e++-=36 (b)边界条件为：x =0时，y =0，x =l 时，y =0， 代入（a ）、(b)式，得：0,6==D l M Ce梁的转角和挠度方程式分别为：)62(12l M xlMEIy e e+-='，)66(13lx M xlMEIyee+-=所以：EIlM y l EIMθEIl M θe C eB e A 16,3,62=-==（b ）取坐标系如图所示。
AC 段弯矩方程为：)20(11l x x lM M e≤≤=BC段弯矩方程为：)2(22l x l Mx lM M ee≤≤-=两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为：(a)(b)习题11−1图xAC 段：11x lM y EI e-=''12112C x l My EI e+-='， （a ） 1113116D x C x lMEIye++-= (b)BC 段：eeMx lM y EI +-=''2222222C Mx l My EI ee++-='， （c ）22223226D x C x M x lMEIye e+++-= (d)边界条件为：x 1=0时，y 1=0，x 2=l 时，y 2=0， 变形连续条件为：2121212y y y y l x x '='===，时，代入（a ）、(b)式、（c ）、(d)式,得：,8D 0,2411,2422121l M D l M C l MC eee==-==，梁的转角和挠度方程式分别为：AC 段：)242(121l M x lMEIy e e+-='，)246(11311lx Mx lMEIy ee+-=BC 段：)24112(12222l M x M x lMEIy e e e-+-='，)8241126(12222322l M lx M x M x lMEIy e eee+-+-=所以：0,24,24===C eB e A y l EIMθEIl M θ11−2 用积分法求下列悬臂梁自由端截面的转角和挠度。
梁的弯曲-变形刚度计算
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
C'
y
1'
1
Байду номын сангаас
y f ( x)
——挠曲线方程
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
1'
y
C'
1
在小变形下： 即：
dy y tan dx
——转角方程
任一横截面的转角 = 挠曲线在该截面形心处切线的斜率
2
9 ql 2 128
M max
1 2 M A ql 8
例 14 试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。
q
5.讨论 设MA为多余约束力 列变形几何方程
A Aq AM 0
A
A l
B 原结构
q MA A B 静定基
查表
Aq
ql M Al ， AM A 24 EI 3 EI
5Fl 3 Fl 2 Fl 3 l 6 EI 3 EI 2 EI
F A l C l
Me B
yBM
A F A C B
e
BM
B
e
Me
BF
yBF
3. Me和F共同作用时
2 M e l Fl 2 B BM e BF EI 2 EI 2 M e l 2 5Fl 3 y B y BM e y BF EI 6 EI
2.确定积分常数
FBy=
l
Me l
由 y x 0 0, D 0
梁的弯曲变形应用原理
梁的弯曲变形应用原理简介梁是一种常见的结构元素，用于承受和传递载荷。
在实际应用中，梁常常会发生弯曲变形，这种变形有着重要的应用原理和工程意义。
本文将介绍梁的弯曲变形的应用原理，以及它在工程领域中的具体应用。
梁的弯曲变形原理当梁受到外部载荷作用时，其会发生弯曲变形。
梁的弯曲变形主要是由内力矩引起的，内力矩是梁截面上的剪力和弯矩引起的。
弯曲变形原理可以用以下几个要点来描述：1.梁撑杆法：梁在弯曲时，可以看做由无数撑杆组成的系统。
每个撑杆受到不同大小的拉伸或压缩力，整个梁发生的弯曲变形是各撑杆弹性变形的综合效果。
2.中性轴和截面旋转：梁弯曲时，存在一个中性轴，该轴是在截面内法线应力为零的位置。
梁在弯曲时，截面内部会发生旋转，上部受拉，下部受压，截面的变形呈现出弯曲的形态。
3.弯矩与曲率关系：梁的弯曲变形与弯矩和曲率有关。
弯矩是横截面上的合力矩，而曲率则是截面内部形成的曲线的曲率半径的倒数。
根据弯矩和曲率之间的关系，可以计算出梁的变形情况。
梁的弯曲变形应用梁的弯曲变形在工程领域中有着广泛的应用。
下面列举了梁的弯曲变形应用在不同工程中的具体案例：1. 建筑结构设计在建筑结构设计中，梁的弯曲变形是必须考虑的因素之一。
通过合理的梁的尺寸和形状设计，可以满足建筑物的结构强度和刚度要求，保证建筑物的安全性和稳定性。
2. 桥梁工程在桥梁工程中，梁的弯曲变形对于桥梁的承载能力和结构安全性影响重大。
通过分析梁的弯曲变形情况，可以确定桥梁的设计参数，保证桥梁承受车辆和行人的荷载，确保桥梁的正常使用和运行。
3. 机械设计梁的弯曲变形在机械设计中也有着广泛的应用。
例如，在起重机设计中，梁的弯曲变形会导致起重机的运动效果失真，因此需要精确计算梁的弯曲变形，以确保起重机的稳定性和可靠性。
4. 航天器设计在航天器设计中，梁的弯曲变形是非常重要的考虑因素。
航天器需要承受巨大的重力和惯性力，梁的弯曲变形对于航天器的结构强度和稳定性至关重要。
梁弯曲变形的计算
第7章 梁弯曲变形的计算§7-1 挠度与转角及梁的刚度条件梁变形前后形状的变化称为变形，一般用各段梁曲率的变化表示。
梁变形前后位置的变化称为位移，位移包括线位移和角位移，如图7-1所示。
在小变形和忽略剪力影响的条件下，线位移是截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为挠度，用v 表示；角位移是横截面变形前后的夹角，称为转角，用θ表示。
而dxx dv x )()(=θ，可见确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程Y=f(x)。
梁的设计中，除了需要满足强度条件外，在很多情况下，还要将其弹性变形限制在一定范围内，即满足刚度条件][][max max θθ≤≤v v式中的和][v ][θ分别为梁的许用挠度和许用转角，可从有关设计手册中查得。
§7-2 挠度曲线的近似微分方程忽略剪力对变形的影响，梁平面弯曲的曲率公式为： 式（a）表明梁轴线上任一点的曲率)(1x ρ与该点处横截面上的弯矩成正比，而与该截面的抗弯刚度)(x M EI 成反比。
如图7-2所示。
而梁轴线上任一点的曲率与挠曲线方程v 之间存在下列关系：)(xEIx M x )()(1=ρ （a） 232221)(1⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+±dx dv dx vd x ρ （b）将上式代入式（a），得到EIx M dx dv dx v d )(12322=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+±（c） 小挠度条件下，1<<=θdxdv，式（c）可简化为： EI x M dxv d )(22=±（d）在图7-3所示的坐标系中，正弯矩对应着22dx vd 的正值（图7-3a），负弯矩对应着22dxvd 的负值（图7-3b），故式（d）左边的符号取正值EI x M dx v d )(22= （8-1）式（7-1）称为小挠度曲线微分方程，简称小挠度微分方程。
显然，小挠度微分方程仅适用于线弹性范围内的平面弯曲问题。
梁的弯曲应力和变形
正应力分布规律：
1. 中性轴上的点应力为零；
M
2. 上下边缘的点应力最大，其余各 点的应力大小与到中性轴的距离成
正比。
M
中性轴
F
二、计算公式 F
mn
1. 变形几何关系
解：（ 1 ）求支座反力
12.75
kN m
（ 2 ）作弯矩图
max
M
max
Iz
y1
M max W1
max
M
max
Iz
y2
M max W2
（8 - 8） （8 校核哪个截面？
例 2 铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩 Iz=40 3×10 － 7m4 ，铸铁抗拉强度［ σ ＋］ =5m0MPa ，抗压强度
的情况，公式仍然适用。
（ 2 ）公式是从矩形截面梁导出的，但对截面为其它对称形状（如工
字形、 T 字形、圆形等）的梁，也都适用。
M max WZ
梁弯曲时，其横截面上既有拉应力也有压应力。对于中性轴为对称 轴的横截面，例如矩形、圆形和工字形等截面，其上、下边缘点到 中性轴的距离相等，故最大拉应力和最大压应力在数值上相等，可 按左式求得。
一般情况下，梁的强度计算由正应力强度条件控制。
在选择梁的截面时，一般按正应力强度条件选择，选好 截面后，再按剪应力强度条件进行校核。
对于细长梁，按正应力强度条件选择截面或确定许用荷载 后，一般不再需要进行剪应力强度校核。
在下列几种特殊情况下，需要校核梁的剪应力：
（ 1 ）梁的跨度较短，或在支座附近有较大的荷载作用。 在此情况下，梁的弯矩较小，而剪力却很大。 （ 2 ）在组合工字形截面的钢梁中，当腹板的厚度较小 而工字形截面的高度较大时，腹板上的剪应力值将很大 ，而正应力值相对较小。 （ 3 ）木材在顺纹方向抗剪强度较差，木梁可能因剪应 力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。
第九章梁的弯曲变形-PPT精品文档
第一节
工程中的弯曲变形
梁在外载荷作用下将产生变形，梁不但要满足强 度条件，还要满足刚度条件，即要求梁在工作时的变 形不能超过一定范围，否则就会影响梁的正常工作。 一、挠曲线 挠曲线：图所示悬臂梁在纵向对称面内的外力F的 作用下，将产生平面弯 曲，变形后梁的轴线将变 为一条光滑的平面曲线， 称梁的挠曲线。 挠曲线方程
挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分：
积分一次得转角方程：
M ( x ) y x C EI d
积分二次得挠度方程：
M ( x ) y d x d x Cx D EI
第九章 梁的弯曲变形 转角方程 挠度方程
M ( x ) y x C EI d M ( x ) y d x d x Cx D EI
式中积分常数C、D由边界条件（梁中已知的截面 位移）确定：
0 , y 0 简支梁： y A B
悬臂梁： 0 , A
y 0 A
由边界条件、变形连续条件可确定积分常数，通 过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度， 这方法称积分法。
第九章 梁的弯曲变形
例9-1 如图所示简支梁，跨度为l，受均布载荷 q作用，梁的抗弯曲刚度EI已知，求跨中截面C的挠 度及截面A处的转角。 解：梁的弯矩方程为：
第九章 梁的弯曲变形 挠曲轴线 近似微分方程 结论 两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，微分 方程式应取正号，即： 挠曲轴线 近似微分方程
M(x) y EI
M ( x) y EI
梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件：梁的变 形是线弹性的小变形。
ห้องสมุดไป่ตู้
梁的弯曲变形
案例三：工业厂房的弯曲变形
总结词
工业厂房在生产过程中，由于设备、货物等重量的影响，会产生弯曲变形，影响结构的稳定性。
详细描述
工业厂房在生产过程中，需要承受设备、货物等重量的影响。这些重量会导致厂房产生弯曲变形。如果变形过大， 将会影响厂房的正常使用和安全性。因此，对于工业厂房的弯曲变形问题，需要进行定期检测和维护，确保其正 常运转和安全性。
发展高效数值模拟方法
开发更精确、高效的数值模拟方法， 用于预测和控制梁的弯曲变形，为实 际工程应用提供指导。
优化梁的结构设计
基于对弯曲变形的深入理解，优化梁 的截面形状、尺寸和连接方式，提高 其承载能力和稳定性。
弯曲变形的未来发展趋势
跨学科交叉研究
加强与材料科学、物理学、计算科学等学科的交叉合作，引 入新技术和方法，推动梁的弯曲变形研究的发展。
04
梁的弯曲变形案例分析
案例一：桥梁的弯曲变形
总结词
桥梁在车辆、人群等外部载荷作用下， 会产生弯曲变形，影响结构的稳定性。
VS
详细描述
桥梁作为大型结构物，在长期承受车辆、 人群等外部载荷的作用下，会发生弯曲变 形。这种变形不仅会影响桥梁的美观性， 更严重的是会降低结构的稳定性，甚至引 发安全事故。因此，对于桥梁的弯曲变形 问题，需要进行定期检测和维修，确保其 安全性能。
梁的弯曲变形
• 梁的弯曲变形概述 • 梁的弯曲变形分析 • 梁的弯曲变形与结构安全 • 梁的弯曲变形案例分析 • 梁的弯曲变形研究展望
01
梁的弯曲变形概述
定义与类型
定义
梁的弯曲变形是指梁在受到外力 作用时发生的弯曲现象，导致梁 的轴线由直线变为曲线。
类型
根据弯曲变形的程度和性质，可 以分为弹性弯曲、塑性弯曲和脆 性弯曲等类型。
弯曲力学梁的弯曲变形和内力计算
弯曲力学梁的弯曲变形和内力计算弯曲力学梁是结构工程中常见的构件，用于承受横向力和弯矩。
在设计和分析梁的弯曲变形和内力时，了解梁的性质和力学行为至关重要。
本文将介绍弯曲力学梁的弯曲变形和内力计算的相关知识。
1. 梁的基本概念在讨论弯曲变形和内力计算之前，我们首先需要了解梁的基本概念。
梁是一种长条形结构，由材料制成，其主要作用是承受横向力和弯矩。
梁通常用于支撑和传递载荷，使得荷载能够安全地传递到地基或其他支撑结构。
2. 弯曲变形弯曲力学梁在受到横向力作用时会发生弯曲变形。
弯曲变形可分为弯曲线的形状变化和截面各点的位移变化两个方面。
2.1 弯曲线的形状变化当横向力作用于梁上时，梁会呈现出一条弯曲线。
这条弯曲线称为弯曲曲线，弯曲曲线的形状取决于梁的几何形状、材料性质和受力情况。
常见的弯曲曲线形状包括凸曲线和悬臂曲线。
2.2 截面各点的位移变化在梁的弯曲过程中，截面上的各点将发生位移变化。
位移变化可分为纵向位移和横向位移两个方向。
纵向位移是指垂直于弯曲平面的位移，即梁的弯曲垂直方向的变形。
横向位移是指沿弯曲平面的位移，即梁的弯曲平面内的变形。
这些位移变化会导致梁的轴线发生曲率，截面上的各点相对于轴线发生旋转。
3. 内力计算在弯曲过程中，梁内部发生了一系列力的变化，包括弯矩、剪力和轴力。
这些内力是用来描述梁材料内部应力状态的。
内力计算是分析和设计梁结构的重要一步。
3.1 弯矩弯矩是梁内部发生的一对等大反向的力矩。
在弯曲力学中，弯矩是描述梁抵抗弯曲变形的重要参数。
弯矩的大小和分布取决于梁的几何形状、材料性质和受力情况。
3.2 剪力剪力是梁内部横向力的一种表现形式。
在弯曲力学梁中，剪力是垂直于梁轴线的力，用来描述梁材料负责承受横向力的能力。
3.3 轴力轴力是梁内部沿轴线方向的力。
当梁受到纵向拉力或压力时，轴力将发生变化。
轴力的大小和分布取决于梁的受力情况。
4. 弯曲梁的弯曲变形和内力计算方法在实际工程中，我们可以通过解析法或数值计算法来计算弯曲梁的弯曲变形和内力。
材料力学第五章 梁弯曲时的位移 PPT
M(x) E Iz
高等数学：
1
r (x)
=±（1＋ww2）3/2
± w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
M ＜ 0，w ＞ 0
M ＞ 0，w ＜ 0
取负号!
－ w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
w w （1＋ 2）3/2
=－
M(x) E Iz
挠曲线微分方程
小 变 形
w
=－
DB段（a≤x≤l）： M2(x)F l b xF(xa) Ew I2 Fl b xF(xa)
q E w 2 IE2I F l b x 2 2 F (x 2 a )2 C 2
E2 I w F l b x 6 3F(x 6 a )3 C 2xD 2
确定积分常数 连续条件
x = a 时：
w1 w2 w1 w2
边界条件
x = 0 时： w1 0 x = l 时： w2 0
D1D20 C1C2F 6lb(l2b2)
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
w 1 q1F(6 b lE 2b I2)l2F Eb Ix2l
w1F(6 b lE 2b I2l)x6F EbIx3 l
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
q w 2 2 F ( 6 lE 2 b b 2 I ) l2 F Ex b 2 I l 2 F E (x I a )2
对于受任意荷载的简支梁，若挠曲线上无拐点， 则可用梁中点的挠度代替最大挠度。
例3：悬臂梁如图，已知F、a，M＝0.5 Fa，
梁的弯曲刚度 EI 为常数，试画出挠曲线的大致形 状。
FM
A
B
C
D
a
a
6-3梁弯曲时的变形和刚度条件、7-1
§6-3 梁弯曲时的变形和刚度条件课时计划：讲授3学时教学目标：1．理解梁弯曲变形时挠度和转角的概念；2．掌握梁的刚度计算方法及刚度条件。
教材分析:1．重点为梁弯曲变形时挠度和转角的概念；2．难点为梁的刚度计算方法及刚度条件。
教学设计：本节课的主要内容是讲解梁弯曲变形时挠度和转角的概念以及梁的刚度计算方法。
重点为梁弯曲变形时挠度和转角的概念，在此基础上进一步掌握梁的刚度计算方法并建立梁弯曲时的刚度条件。
通过对教材例题的讲解，使学生在此过程中进一步理解弯曲变形，进而学会利用弯曲梁的刚度条件解决工程实际问题。
第1学时教学内容：一、挠度和转角本节课的主要内容是讲解梁弯曲变形时挠度和转角的概念。
因为材料力学研究强度与刚度，强度问题要计算应力，刚度问题要计算变形，本节讲梁的弯曲变形。
图示为简支梁弯曲变形时，变形前梁轴线是直线，受力F 弯曲变形后轴线是光滑平面曲线，变形前后梁轴线简化如下图所示。
横截面nn 移''n n ，形心C 到'C 点。
横截面形心在垂直于原轴线方向的位移，称为截面的挠度，用ω表示；横截面相对于原来位置转过的角度，称为该截面的转角，用θ表示。
截面形心轴线方向位移很小,高阶微量,可省略不计。
弯曲变形后梁的轴线变成一条连续而光滑的平面曲线，称为挠度曲线，简称挠曲线。
在图示的Oxw 坐标系中，表示挠曲线的方程为w ＝w(x)称为挠度方程。
由于轴线是各截面形心的连线，故该方程中的x 为变形前截面位置的横坐标，ω为变形后该截面的挠度。
由于截面转角等于挠度曲线在该截面的切线与x 轴的夹角，小变形有：()x w x w '==≈d d θθtan即任一截面转角近似等于挠度方程对x 的一阶导数。
所以挠度和转角的数值都可以由挠度方程及其一阶导数确定，只要有了挠度方程，就可以计算挠度和转角。
公式中挠度向上为正值,向下为负值；转角逆时针方向为正值,顺时针方向为负值。
由表可知，在一定外力作用下，梁的挠度、转角都和材料的弹性模量E 与截面惯性矩z I 的乘积z EI 成反比。
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wA w x0 0 wB w xl 0
D0 C 1 ql3
24
Bx
转角方程式和挠度方程式分别为：
w q 4x36lx2l3 24EIz
w q x42lx3l3x 24EIz
wmax w x l 2
5 ql 4
384 EI z
A
x0
24
ql 3 EI
z
B
q
A
x
wl
Bx
例2 用积分法求位移时，图示梁应分几段来列挠 曲线的近似微分方程？试分别列出确定积分常数时 需用的边界条件和变形连续条件。
梁的变形
1 概述(挠度和转角) 2 梁的挠曲线的近似微分方程 3 积分法计算梁的位移 4 叠加法计算梁的位移 5 梁的刚度校核 6 弯曲应变能
1 概述(挠度和转角)
应力 荷载
变形
强度要求 刚度要求
主轴变形对加工精度的影响 变形的利用：汽车的钢板弹簧
梁变形的两个位移度量
●竖向位移 挠曲线
竖向位移CC'
4Fa3 Ebh3
()
尺寸：a, b, h
C
B(固定端)
(2)将BC刚化, 即去掉BC，但保留BC对AB的 作用力，计算AB弯曲引起的C点的挠度
角A、 B。
q
A
A
B
Bx
FRA
x
FRB
w
l
解：取如图所示的坐标系，弯矩方程为：
Mx1qlx1qx2
22
挠曲线的近似微分方程为：
q
EIzw Mx1 2qx21 2qlx A
积分得：
x
E Izw E Iz1 6qx31 4qlx2C w
l
E Izw2 1 4qx41 1 2qlx3C xD
梁的边界条件为：
ql3
48EI
w
★结论（规律）：
(1)当梁的支承情况对称，荷载也对称时，则弯矩 图永为对称图形，剪力图永为反对称图形；
(2)当梁的支承情况对称，荷载反对称时，则弯矩
图永为反对称图形，剪力图永为对称图形。
q/2
q/2
A
BA
EI B
C EI l
C l q/2
FQ图
M图
q/2 A
EI B
C l q/2
表7(4)-1
wq,F,Mln
EIz
EIz称为抗弯刚度
转角(rad) 挠度(m)
q(N/m) F (N) M (N.m)
l3
l2
l1
l4
l3
l2
简支梁跨中受集中力作用，如果其它条件不变，
则当梁长增加一倍时，梁内的最大正应力变为原来
的
，最大挠度变为原来的
。
F q
A
B
F q
A
B
A
B
试用叠加法求图示悬臂梁自由端的挠度wB。
BxБайду номын сангаас
2bx0
3 b 0 lim x 0 0 .5 7 7 L
w m a x F b L 293 E I 0 .0 6 4 2 F b L 2E I w x l2 F b L 21 6 E I 0 .0 6 2 5 F b L 2E I
wmax wL2
结论：对于简支梁而言，无论集中力P作用在何 处，用w(l/2)代替wmax，最大误差为2.65%。
EI
F
表7(4)-1
Fl3 wF 3 2EI
A A
B
F′ B
M
B'
F
C C
表7(4)-1
wM
Fl l2 2 2EI
wBe w
w B l
B
F
M
3F2l 4EI
C1
F C wF
C2
w
3Fl3 4EI
wF
Fl3 3EI
wC
3Fl3 2EI
例题：已知 F，E，G，求C点铅垂位移
F
C
尺寸：l, d
B
分析：
BC FB l/2
Me x
w 1
EI
16qx3372qlx2936ql3
0xl
1ql2x8ql3 16 96
lx3l2
wE1I321124qqlx24x2 97698q6lqxl33x 93695q6lq3l4
0xl lx3l2
自由端C的截面转角和挠度 ：
c x3l 2
1 ql 3 96
wc
F
A
B
EI
C
l
a
F
F
A
B
EI
CA
B EI
C
悬臂梁
简支梁
A
F
B
CA
F
M
F C
EI
wC1
EI B
wC2
C1
C2
表7(4)-1 ⑵
表7(4)-1 ⑺
wC1
Fa3 3EI
wC2 BaF3aEIla
wC
请思考：能不能将力F向A点简化，为什么？
例6：
l
l
F
2EI EI
C
A
B
w B e wF wM
l
l
2EI
A
边
界 条w 件A
B
wA 0
E I z w M x
x
wA w x0 0
A 0
A
x0 0
B
wA 0 wB 0
P
A
C
B
铰支座
P D
C
A
铰连接 连续但不光滑
连续条件 光滑条件
wC wC
C C
wC wC C C
例1 图示为一受均布荷载作用的简支梁，梁的弯曲
刚度EIz为常数。试求此梁的最大挠度wmax和两端面的转
dx2 EIz
x
M <0 w
x
dw dx
d 2w dx2
0
d2w Mx
dx2 EIz
3 积分法计算梁的位移
w M x w w
EI z
E Iz E Izw M x d x C
积分法
E Izw M x d x 2 C x D
式中， C、D为积分常数，可由梁的某些截面的 已知变形条件来确定 ，如：
dwB
qdx x2 3l x
6EI
wB
l 0
dwB
ql4 8EI
表7(4)-1(3)
例4：简支梁受图示荷载作用，试用叠加法求C截面
的挠度和截面转角A。
q A
l/2
B C EI l
q
l/2
q
l/2
A
C EI
B wC
l
A
C EI
B
w (1 ) C
l
q
l/2
q
l/2
A
C EI
B
w (2) C
l
AC段
CB段
M 1(x)F RAxP L bx0xa M 2 ( x ) F R A x P ( x a )a x L
EIzw1M1(x)PL bx
EIzw2PL bxP(xa)
EIzw1
Pbx2 2L
C1
EIzw 2P 2 bL x2P(x2 a)2C2
EIzw1P6bLx3 C1xD1
A wC
C EI l
wC wC(2)
B w C
wCwC (1)
wC (2)
w(1) C
wC
wC
1 2
w (1) C
分析：
q
l/2
A
B
C EI l
q/2
q/2
A
BA
EI B
C EI
C
l
l q/2
5q2l4 5ql4 分析C点： F Q M
表7(4)-1
wC1 384EI
768EI
A1
q 2l3
24EI
例4 用积分法求图示外伸梁自由端C的截 面转角和挠度，其中Me=ql2/16。
y q
FAx A EI
FAy
l
Me BC
x
FB l/2
解：取图示的坐标系，求支座反力得：
FAx 0
FAy
7 ql 16
FB
9 16
ql
qx
q0 x 0l x 3l
l 2
y FAx A
q
积分
FQ
x
qxC10xl C2l x3l2
从AB，
Bx
最大挠度wmax
dw0
dx
x0
w(x0)为极值
不失一般性，a设 b
则x0
L2 b2 3
w m axw (x0)93 P E bIzL(L 2b2)3
x0 L2 b2 3
w m axw (x0)93 P E bIzL(L2b2)3 A
讨论： 1bL2 x0L2
w
a
Pb
LC
但是有一点需要说明：
适用条件：
1 小变形
2 材料处于弹性阶段且服从胡克定律
为什么线性关系可以叠加？ 线弹性，位移可以叠加
F
F1 O Δ1
F
F2 Δ
O Δ2
F
F1+F2
Δ1
Δ
Δ
O Δ2 Δ1+2
1+2 1+2
非线性弹性，位移不可以叠加
F
F1
O
Δ1
F
F2
Δ
O
Δ2
1+2
F
F1+F2
Δ O
1
Δ Δ2 Δ
A
C F=16kN B