2018年全国高考新课标2卷文科数学试题(解析版)

2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．i(2+3i)=( )A ．3-2iB ．3+2iC ．-3-2iD ．-3+2i 解析：选D2．已知集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，则A ∩B=( )A ．{3}B ．{5}C ．{3,5}D ．{1,2,3,4,5,7} 解析：选C3．函数f(x)= e x-e-xx2的图像大致为 ( )解析：选B f(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)= e 2-e-24>1,故选B4．已知向量a ，b 满足|a|=1，a ·b=-1，则a ·(2a-b)= ( )A ．4B ．3C ．2D ．0解析：选B a ·(2a-b)=2a 2-a ·b=2+1=35．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6 B ．0.5 C ．0.4 D ．0.3解析：选D 5人选2人有10种选法，3人选2人有3中选法。

6．双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y=±2xB ．y=±3xC ．y=±22x D ．y=±32x 解析：选A e= 3 c 2=3a 2b=2a7．在ΔABC 中，cos C 2=55，BC=1，AC=5，则AB= ( )A ．4 2B ．30C ．29D ．2 5解析：选A cosC=2cos 2C 2 -1= - 35AB 2=AC 2+BC 2-2AB ·BC ·cosC=32 AB=4 28．为计算S=1- 12 + 13 - 14 +……+ 199 - 1100，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入( )开始0,0N T ==S N T =-S 输出1i =100i <1N N i =+11T T i =++结束是否A ．i=i+1B ．i=i+2C ．i=i+3D ．i=i+4 解析：选B9．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( ) A ．22B ．32C ．52D ．72解析：选C 即AE 与AB 所成角，设AB=2,则BE=5,故选C10．若f(x)=cosx-sinx 在[0,a]是减函数，则a 的最大值是( ) A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π解析：选C f(x)= 2cos(x+π4),依据f(x)=cosx 与f(x)= 2cos(x+π4)的图象关系知a 的最大值为3π4。

11．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1=600，则C 的离心率为( ) A ．1-32B ．2- 3C ．3-12D ．3-1 解析：选D 依题设| PF 1|=c,| PF 2|=3c,由| PF 1|+| PF 2|=2a 可得12．已知f(x)是定义域为(-∞,+ ∞)的奇函数，满足f(1-x)= f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+ …+f(50)= ( )A ．-50B ．0C ．2D ．50解析：选C 由f(1-x)= f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数，且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0; f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线y=2lnx 在点(1,0)处的切线方程为__________． 解析：y=2x-214．若x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x+2y-5≥0x-2y+3≥0 x-5≤0 ,则z=x+y 的最大值为__________．解析：915．已知tan(α-5π4)=15，则tan α=__________． 解析：由两角差的正切公式展开可得tan α=3216．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为300，若ΔSAB 的面积为8，则该圆锥的体积为__________．解析：设母线为2a ，则圆锥高为a ，底面半径为3a,依题12×2a ×2a=8,∴a=2 ∴V=13×π×(23)×2=8π三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23为选考题。

考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1=-7，S 3=-15． （1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并求S n 的最小值． 解：（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3 a 1+3d=-15,由a 1=-7得d=2. 所以{a n }的通项公式为a n =2n-9.（2）由（1）得S n =n 2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时, S n 取得最小值,最小值为−16. 18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,…,17）建立模型①：y ^=-30.4+13.5t ；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,…,7）建立模型②：y ^=99+17.5t ． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^=-30.4+13.5×19=226.1 (亿元).利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^=99+17.5×9=256.5 (亿元).（2）利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下：（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y ^=-30.4+13.5t 上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y ^=99+17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠. 以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19．（12分）如图，在三棱锥P-ABC 中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且MC=2MB ，求点C 到平面POM 的距离．（1）证明：因为AP=CP=AC=4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP=2 3. 连结OB.因为AB=BC=22AC ，所以ΔABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB=12AC=2. 由OP 2+OB 2=PB 2知OP ⊥OB.由OP ⊥OB,OP ⊥AC 知OP ⊥平面ABC.（2）解：作CH ⊥OM ，垂足为H ．又由（1）可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ． 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC=12AC =2，CM=23BC=423，∠ACB=45°．所以OM=253，CH=OC ·MC ·sin ∠ACB OM =455． 所以点C 到平面POM 的距离为455． ※也可用等积法求 20．（12分）设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k>0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=8． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 解：（1）由题意得F(1,0)，l 的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y=k(x-1)y 2=4x得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0.Δ=16k 2+16>0，故x 1+x 2=2k 2+4k2.所以|AB|= x 1+x 2+2=2k 2+4k2+2=8 ，解得k=-1（舍去），k=1.因此l 的方程为y=x-1.（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0=-x 0+5(x 0+1)2=(y 0-x 0+1)22+16解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=3y 0=2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0=11y 0=-6因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.21．（12分） 已知函数f(x)= 13x 3-a(x 2+x+1)．（1）若a=3，求f(x)的单调区间； （2）证明：f(x)只有一个零点． 解：（1）当a=3时，f （x ）=13x 3-3x 2-3x-3)，f ′（x ）=x 2-6x-3263x x --．令f ′（x ）=0解得x=3-23或x=3+23．当x ∈（–∞，3-23）∪（3+23，+∞）时，f ′（x ）>0； 当x ∈（3-23，3+23）时，f ′（x ）<0． 故f （x ）在（–∞，3-23），（3+23，+∞）单调递增，在（3-23，3+23）单调递减．（2）由于x 2+x+1>0，所以f(x)=0等价于x 3x 2+x+1- 3a=0．设g(x)=x 3x 2+x+1 - 3a ，则g ′（x ）=x 2(x 2+2x+3)(x 2+x+1)2 ≥0，仅当x=0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．又f （3a –1）=-6a+2a- 13=-6(a- 16)2- 16<0，f （3a+1）=13>0，故f （x ）有一个零点．综上，f （x ）只有一个零点．（二）选考题：共10分。