场论基础

场论基础

附1 Hamilton 算子∇

在直角坐标系中定义Hamilton 算子∇为

x y z

∂∂∂=++∂∂∂i

j

k

∇ （附1.1）

这里，∇既可以看成是一个微分算子，作用到一个标量函数或者是一个矢量函数上；也可以看成是一个向量，和其他的向量进行普通的点乘( )运算和叉乘(⨯)运算。

附1.1 梯度运算grad u u =∇

对于一个标量场(,,)u x y z ，我们定义相关的梯度运算为

grad u u u u u x y z

∂∂∂==++∂∂∂i

j

k

∇ （附1.2）

那么标量函数(,,)u x y z 的梯度运算结果grad u 为一向量。下面我们来看梯度运算的数学意义。对于函数(,,)u x y z 的方向导数

u n

∂∂，我们有

cos(,)cos(,)cos(,)

()()grad x y z u u x u y u z n

x n y n

z n u u u n x n y n z x

y

z

u u u n n n u

x

y

y

∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++

∂∂∂∂∂∂=++++=∂∂∂i

j

k

i j k n （附1.3）

因此有

grad cos(,)u u u n

∂=∂n ∇ （附1.4）

从中可以看到，当单位向量n 的方向和梯度grad u 的方向一致时，u n

∂∂取到极大值，

而极大值就为grad u 。这就是说，梯度grad u 为函数(,,)u x y z 变化最快的方向，也是等值函数(,,)u x y z C =的外法线方向，梯度的大小为函数方向导数的最大值。从上面的分析我们可以看到，梯度grad u 的定义和坐标系是无关。梯度grad u 在数值计算方法中有很重要意义。

附1.2 散度运算div =A A ∇

对于一个向量场(,,)x y z A ，沿某一个曲面S 的通量定义为

d S

S Φ=

⎰⎰A n (附1.5)

更进一步，如果S 是个封闭曲面，其所包围的区域Ω，体积为V ，那么当

d div lim

lim

d S

V M

S

V

V

Φ

→Ω→Ω

==⎰⎰

⎰⎰⎰A n A (附1.6)

存在时，我们称相应的值为该向量的散度(此时区域Ω退化成一点M )。下面我们来看散度和Hamilton 算子∇之间的关系。在直角坐标中，如果向量场(,,)x y z A 为

(,,)(,,)(,,)(,,)x y z P x y z Q x y z R x y z =++A i j k

那么由高斯公式

d d d d d d d d S

S

S P y z Q x z R x y

P Q R V

x y z ΦΩ=

=

++⎛⎫

∂∂∂=++ ⎪∂∂∂⎝

⎭⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰A n

根据中值定理

*

M P Q R V x

y

z Φ⎛⎫

∂∂∂=+

+

⎪∂∂∂⎝⎭ 其中*M 为区域Ω中某一点，当0V →时，*M M →，所以

00lim lim V V P Q R V x

y z V V

P Q R x

y

z

Φ→→⎛⎫

∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭=∂∂∂=++∂∂∂ 从而有

div =A A ∇ （附1.7）

而高斯公式也可以表示为

d div d S

S V

Ω

=

⎰⎰

⎰⎰⎰A n A （附1.8）

特别地，当在区域Ω内恒成立div 0==A A ∇时，则0Φ=。这样的场我们称之为无源场。

在平面坐标系中，我们记通量为

d n l

A s Φ=

⎰

其中n A 为向量A 在曲线l 外法线n 的方向上的分量。曲线l 的外法线方向为

d d cos(,)cos(,)d d y x l x l y s s

=+=

-

n i j i j

容易得到 d d ,,

0d d x y z y x n n n s

s =

=-

=

在三维问题中若记Ω为单位高的柱体，0R =，则

(,)(,)(,)x y P x y Q x y =+A i j

而式(附1.5) 、(附1.6) 和(附1.8) 变为

d d d l

l

s P y Q x Φ=

==-⎰⎰A n (附1.9)

d d i v l i m l i m d d l S M S M

S

s

S

x y

Φ

→→=

=

⎰⎰⎰A n A (附1.10) d d (

)d d l

P P P x Q x x y x

x

∂∂-=

+

∂∂⎰⎰⎰ (附1.11)

因此，平面上的格林公式也可以视为高斯公式在平面情形中的退化。

附1.3 旋度运算 rot =⨯A A ∇

对于一个向量场(,,)x y z A ，沿某一个封闭曲线l 的环量定义为

d l

W =

⎰A s (附1.12)

在直角坐标中，如果向量场(,,)x y z A 为

(,,)(,,)(,,)(,,)x y z P x y z Q x y z R x y z =++A i j k

那么环量为

d d d l

W P x Q y R z =

++⎰

如果M 为向量场中某一点，在M 点上有一个固定的方向n ，以n 为外法线取一个小曲面S ，曲面S 的面积为Γ，曲面S 的封闭边界为l ，l 的正向与n 一起构成右手坐标系。我们定义环量面密度为

d lim

l

μΓ

Γ→=⎰A l

(附1.13)

根据斯托克斯(G . G . Stokes)公式，

d ()d d ()d d ()d d ()cos(,)()cos(,)()cos(,)d l

l

y

z z x x y S y

z z x x y S

W Pdx Q dy Rdz

R

Q y z P R z x Q P x y

R Q n x P R n y Q P n z S

==++=-+-+-⎡⎤=

-+-+-⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰A l

根据中值定理

*()cos(,)()cos(,)()cos(,)y z z x x y M W R Q n x P R n y Q P n z Γ⎡⎤=-+-+-⎣⎦

从而有

()cos(,)()cos(,)()cos(,)

y z z x x y R Q n x P R n y Q P n z μ=-+-+-=R n

(附1.14)

其中

()()()y z z x x y R Q P R Q P =-+-+-R i j k

我们称该向量为向量场(,,)x y z A 的旋度，记为rot A 。和标量场的方向导数类似，当外法