场论基础
第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1）T xy =，2）T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得⑴ C xy =，xCy =；⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1）u ax by cz=++1，2） =- u z x y 22+， 3）u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22，()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂M M xz x xu ，620-=-=∂∂M M z yu ，42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义，可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1）T xy =，2）T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得⑴ C xy =，xCy =；⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1）u ax by cz=++1，2） =- u z x y 22+， 3）u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22，()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂M M xz x xu ，620-=-=∂∂M M z yu ，42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义，可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
量子场论基础
量子场论基础量子场论是物理学中一种描述微观粒子行为的理论框架，已经成功地解释和预测了多个粒子物理现象。
本文将介绍量子场论的基础概念、原理和应用。
一、量子力学回顾在介绍量子场论之前，我们需要回顾一下量子力学的基本原理。
量子力学是描述微观世界的物理理论，通过波函数描述粒子的状态，并通过算符描述物理量的测量。
二、经典场与量子场在量子场论中，我们将经典场与量子力学相结合，用场的算符来描述粒子的产生和湮灭。
经典场是宏观的连续实体，可以用实数描述；而量子场是微观粒子的概率振幅，需要用算符描述。
三、二次量子化二次量子化是将经典场转化为量子场的过程。
通过将经典场量子化，我们可以得到一组满足玻色子统计或费米子统计的场的算符，用于描述粒子的产生和湮灭。
四、自由场理论自由场理论是量子场论的基础，用于描述不受外力作用的粒子系统。
通过对自由场的二次量子化，我们可以得到场的哈密顿量，并通过求解场的运动方程得到场的本征解。
五、相互作用场论相互作用场论是在自由场理论的基础上引入相互作用项，用于描述粒子之间的相互作用。
相互作用场论可以采用微扰论的方法进行计算，通过级数展开来计算物理量的期望值。
六、重正化重正化是量子场论中的一种技巧，用于处理计算过程中出现的无穷大值。
通过引入参数重正化和场重正化，并通过适当的计算，我们可以得到有限的物理结果。
七、应用量子场论在粒子物理学中有着广泛的应用。
它成功地解释了电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用，并预测了很多新粒子的存在。
同时，量子场论也在宇宙学和凝聚态物理等领域有着重要的应用。
八、总结量子场论是描述微观粒子行为的重要理论框架，它将经典场与量子力学相结合，用场的算符描述粒子的产生和湮灭。
通过对自由场和相互作用场的描述，我们可以计算出物理量的期望值，并解释和预测粒子物理现象。
九、展望量子场论仍然是一个活跃的研究领域，仍然存在许多未解决的问题和待发现的物理现象。
随着技术的发展和理论的深入，相信量子场论将会继续为我们揭示微观世界的奥秘。
场论的基本概念
场论：物理空间与时间的理论
场论是物理学中的一个基本概念，它描述了物理现象中空间和时间的性质，以及物质和能量在空间和时间中的分布和运动。
场论提供了一种数学语言，用于描述物理现象中的变化和演化，以及物质和能量之间的相互作用。
场是一种物理量，它在空间和时间上具有变化。
例如，温度场、电场、磁场等都是场的一种表现。
场论中，场是一个广义的物理量，它可以表示任何类型的物理现象。
场论的基本概念包括场、场量、场值、场的变化、场的梯度、散度、旋度等。
场是一种广义的物理量，场量是场在不同点上的值，场的变化是场在不同点之间的大小和方向的差异。
场的梯度是场在不同点之间的变化率，散度是场在不同点上的向外扩散程度，旋度是场在不同点上的旋转程度。
在场论中，物理现象可以用场的方程来描述。
例如，牛顿第二定律和运动方程可以用场来描述物体的运动状态和受力情况。
麦克斯韦方程组可以用场来描述电磁现象中的电场和磁场的变化和相互作用。
场论在物理学中有着广泛的应用，它可以描述物理现象中的变化和演化，提供了一种数学语言来描述物理现象中的相互作用。
场论也为物理学中的其他领域提供了一种基础理论和工具，例如量子场论、相对论、凝聚态物理等。
总之，场论是物理学中的一个基本概念，它描述了物理现象中空间和时间的性质，以及物质和能量在空间和时间中的分布和运动。
场论提供了一种数学语言，用于描述物理现象中的变化和演化，以及物质和能量之间的相互作用。
量子场论的数学基础
量子场论的数学基础量子场论是理论物理学的一支重要学科，研究微观粒子之间的相互作用以及它们在空间中的传播规律。
要理解量子场论，首先需要了解它的数学基础，这是建立于量子力学和场论的数学框架上的。
量子力学作为描述微观世界的理论，使用波函数来描述粒子的状态。
而场论将物质和力场统一在一起，认为物质和力场都是由场来描述的。
量子场论则将这两个理论结合起来，使用场算符来描述量子体系。
在量子场论中，对场算符的操作与波函数的算符操作非常相似。
量子场论的数学框架主要基于量子力学中的算符和对易关系。
算符是一种数学对象，它可以对波函数进行操作。
在量子力学中，波函数描述了系统的状态，而算符则描述了关于这个系统的可测量量。
这些算符满足一些特定的代数关系，即对易关系。
对易关系是量子力学中的基本原理之一，它描述了两个算符的乘积与它们的交换顺序之间的关系。
例如，位置和动量算符之间的对易关系就是著名的海森堡不确定性原理的数学表达式。
在量子场论中，对易关系也起着重要的作用。
量子场论的核心是场算符，它可以用来创建和湮灭粒子。
例如，对于一个实标量场，我们可以定义一个场算符，它的作用是在某个位置创建一个粒子，并且可以用湮灭算符来消灭已经存在的粒子。
这些场算符满足对易关系，从而给出了场的动力学。
量子场论还涉及到费曼图的计算方法。
费曼图是一种用来描述粒子和相互作用的图形表示方法，它是通过连接场算符的线来表示粒子的传播和相互作用过程。
通过对费曼图的计算，我们可以获得粒子的散射振幅和概率等物理量。
除了对易关系和费曼图，量子场论中还涉及到其他数学工具，比如路径积分和重整化等。
路径积分是一种积分方式，它在量子场论中被广泛应用。
重整化则是一种用来处理场论中发散问题的方法，它使得理论的计算结果更加稳定和可靠。
总的来说，量子场论的数学基础包括对易关系、场算符、费曼图、路径积分和重整化等多个方面。
这些数学工具的运用使得量子场论能够给出关于粒子之间相互作用和传播的准确结果，为理论物理学的研究提供了坚实的基础。
矢量分析场论基础
x y z
Fx Fy Fz
2020年3月8日星期日
工程电磁场
16
标量场的梯度
l
嘉
兴 学 院
z
Q(x, y, z)
机 电 工
程
P(x, y, z)
学
院
o
y
x
2020年3月8日星期日
工程电磁场
17
若标量函数(x, y, z) 在P(x, y, z)点可微，则其全增量：
y
y 0
y
x, y, z lim x, y, z z x, y, z
z
z 0
z
工
程 标量函数的全微分
学
院
d x, y, z dx x, y, z dy x, y, z dz
x
y
z
2020年3月8日星期日
工程电磁场
程 学 院
dFx
Fx x, y, z dx
x
Fx x, y, z dy
y
Fx x, y, z dz
z
dFy
Fy x, y, z dx
x
Fy x, y, z dy
y
Fy x, y, z dz
z
dFz
Fz x, y, z dx
x
Fz x, y, z dy
工
程
学
院
2020年3月8日星期日
工程电磁场
12
标量函数的偏导数和全微分
在直角坐标系中，标量函数 x, y, z 的偏导数
x, y, z lim x x, y, z x, y, z
嘉
工程电磁场-第1章-矢量分析和场论基础
04
电磁2
03
静电场
由静止电荷产生的电场， 其电场线不随时间变化。
恒定磁场
由恒定电流产生的磁场， 其磁场线是闭合的，且不 随时间变化。
时变电磁场
由变化的电流或变化的电 荷产生的电场和磁场，其 电场线和磁场线都随时间 变化。
电磁场的分类
按存在形式分类
有源场和无源场。有源场是指其散度非零的场，如静电场和恒定 磁场；无源场是指其散度为零的场，如时变电磁场。
根据场的来源，可以将场分为自然场 和人工场。
场量和场强
场量是描述场中物理量分布的量，如电场强度、磁场强度等 。
场强是描述场作用的强度和方向的物理量，如电场线、磁场 线等。
03
矢量场和标量场
矢量场的性质
02
01
03
矢量场由矢量线组成，具有方向和大小。
矢量场具有旋度或散度，分别表示场中的旋涡或电荷 分布。 矢量场的变化遵循斯托克斯定理和格林定理。
80%
斯托克斯定理
斯托克斯定理是矢量积分的重要 定理之一，它描述了矢量场中某 点处的散度与该点处单位球体体 积内的积分之间的关系。
矢量函数和场
矢量函数
矢量函数是描述空间中矢量场 变化的数学工具，其定义域和 值域都是矢量。
矢量场
矢量场是由空间中一系列点构 成的集合，每个点都有一个与 之相关的矢量。
梯度、散度和旋度
在磁场的边界上，磁场线切线方向的 分量连续，即磁场强度不突变。
05
电磁场的能量和动量
电磁场的能量
电磁场能量的定义
01
电磁场能量是指存在于电磁场中的能量，它与电场和磁场的变
化率有关。
电磁场能量的计算
02
通过计算电场和磁场的能量密度，可以得出整个电磁场的总能
场论基础试题及答案
场论基础试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 场论中，场的强度定义为：A. 场源的密度B. 场源的分布C. 场对单位测试电荷的作用力D. 场源的总电荷量答案：C2. 电场强度的方向是：A. 从正电荷指向负电荷B. 从负电荷指向正电荷C. 垂直于等势面D. 与电场线平行答案：B3. 根据麦克斯韦方程组，变化的磁场可以产生：A. 恒定电场B. 变化的电场C. 恒定磁场D. 变化的磁场答案：B4. 电磁波在真空中的传播速度是：A. 光速B. 声速C. 光速的一半D. 声速的两倍答案：A5. 洛伦兹力的方向与电荷运动方向的关系是：A. 垂直B. 平行C. 相反D. 相同答案：A二、填空题（每题2分，共10分）1. 电场强度的单位是________。
答案：牛顿/库仑2. 磁场强度的单位是________。
答案：特斯拉3. 电磁波的频率与波长的关系是________。
答案：频率与波长成反比4. 根据法拉第电磁感应定律，变化的磁场可以产生________。
答案：电场5. 电磁波的传播不需要________。
答案：介质三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述电场和磁场的关系。
答案：电场和磁场是电磁场的两个方面，它们相互关联，可以相互转换。
变化的磁场可以产生电场，而变化的电场也可以产生磁场。
2. 什么是电磁波？请简述其特性。
答案：电磁波是由电场和磁场交替变化产生的波动现象。
电磁波的传播不需要介质，可以在真空中传播，具有波长和频率，且波速在真空中是一个常数。
3. 麦克斯韦方程组包含哪四个方程？请简述它们的意义。
答案：麦克斯韦方程组包括高斯定律、高斯磁定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
高斯定律描述了电荷分布与电场的关系；高斯磁定律表明磁场是由电流产生的；法拉第电磁感应定律描述了变化的磁场产生电场的现象；安培环路定律则描述了电流和磁场之间的关系。
4. 洛伦兹力是如何定义的？请简述其作用。
答案：洛伦兹力是运动电荷在电磁场中受到的力，其大小和方向由电荷量、电荷速度、电场强度和磁场强度共同决定。
数学物理中的场论
数学物理中的场论场论可以说是数学物理学中非常重要的一个分支，其主要研究的是具有空间分布性质的物理场，如电磁场、引力场、量子场等。
场论是数学和物理学高深复杂的交叉学科，其应用广泛，贯穿于整个物理学和工程学的各个领域。
首先，让我们来看一下什么是物理场。
物理场是由在空间中存在的物理量所构成的。
物理量指的是描述物理世界状态和性质的数或向量。
比如我们所熟悉的温度、速度、电场、电势等物理量，这些物理量都是可以在空间中建立起来的，它们随着位置的变化而变化，从而形成了物理场。
场论的基础概念是场和场量。
场是空间中各个点的物理量在某种范围内的集合，场存在于物理空间中。
物理学家常说的物质场是指物质状态在空间和时间上分布的物理量，比如说电磁场、流体力学场和引力场等等。
而更为基础的是标量场，即不随空间方向而变化的物理变量。
比如说温度场，电势场等等。
场量是指场在某一点的值或场的变化量，是一种与场相关的数值，比如说电荷、质量、能量等等。
场论主要分为经典场论和量子场论两个方面。
经典场论是研究电磁场、引力场和流体场等经典物理场的性质和相互作用的物理学理论。
它是在经典物理学范畴内发展起来的，在宏观世界中非常有效。
量子场论跟经典场论类似，试图描述宇宙中各种基本粒子的行为，它着重于描述物质粒子的行为，特别是声子、玻色子等量子粒子的行为。
量子场论与经典场论有很大的差别，其中最基本的差别是对物理量的测量不可能完全精确，因此基本粒子的性质在量子场论中是随机和模糊的。
场论的研究涉及到数学、物理学、天文学、化学、工程学等众多学科。
在数学中，场论使得微分方程、椭圆方程和双曲方程可以更加容易被处理。
在物理学中，场论首先被用来研究电磁波的性质。
后来，它被用来研究引力场以及基本粒子之间的相互作用，成为了研究宇宙学的重要工具。
总之，场论是数学物理学中至关重要的一个分支，它为了解自然世界的本质起到了至关重要的作用，目前仍在不断被推陈出新，拓展着我们对宇宙的认识。
预篇：矢量分析和场论基础
Fx ( x, y , z ) F ( x, y, z ) F ( x, y , z ) dx + x dy + x dz x y z Fy ( x, y, z ) Fy ( x, y , z ) Fy ( x, y, z ) dFy = dx + dy + dz x y z Fz ( x, y , z ) Fz ( x, y , z ) Fz ( x, y , z ) dFz = dx + dy + dz x y z
11
四,标量场与矢量场
场是一个标量或一个矢量的位置函数, 场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任 一个点都有一个确定的标量值或矢量. 一个点都有一个确定的标量值或矢量. 例如,在直角坐标下, 例如,在直角坐标下, 标量场 如温度场,电位场,高度场等; 如温度场,电位场,高度场等; 矢量场 如流速场,电场,涡流场等. 如流速场,电场,涡流场等.
A × B = -B × A
(1 )若
A B = A C ,是否意味着 B 总等于 C ?
(2)已知 A = ex + be y + cez , B = ex + 3e y + 8ez ) 各为多少? 若使 A ⊥ B 或者 A // B ,则b,c各为多少? , 各为多少
9
4.矢量的三重标积 矢量的三重标积
C B A 0 0 B C A
C = A+ B
C = A B = A + ( B )
6
2.矢量的标积 矢量的标积 矢量的标乘又称点乘
A B = A B cos α = AB cos α
在直角坐标系中, 在直角坐标系中,其解析式为
A B = Ax Bx + Ay B y + Az Bz
量子场论的基础知识
量子场论的基础知识量子场论是近代物理学的重要分支之一，是量子力学的一个特例。
其为研究物质粒子间相互作用和能量传递的方式提供了一种最为自然的框架。
本文将从量子场论的定义、基本理论、实验应用等方面进行介绍，旨在为读者提供有关量子场论方面的一些基础知识。
一、量子场论的定义量子场论是由经典场论发展而来的，其基本思想是将粒子描述为波动，将波动描述为场。
量子场论认为所有物理量的描述都可以归结为各种场的描述，而这些场是由波动方程描述的。
每一个场都对应着一种或多种粒子。
二、量子场论的基本理论1.场的表示在量子场论中，一个场的状态可以通过一个算符表示。
场的本质是以一种独立于空间坐标和时间的形式作为处变量。
这么做的原因是因为在量子力学的框架中，物理量的测量结果是数字而非具体物理实体。
因此，算符表示场的物理实体代表其状态。
2.场的粒子化在量子场论中，每一个场都对应着一种或多种粒子。
在相对论性场论中，粒子有质量和自旋。
场在相互作用时可以将它们依次相互传递，经过长时间的相互作用之后，就会出现稳定的粒子，粒子从其情境中涌现出来。
3.费曼图费曼图是建立在量子场论基础上的，用来表示发生在基本粒子之间的过程。
该图形中的每条线段都代表着一个粒子，端口有一个入口和一个出口，分别代表粒子的初始和最终状态。
费曼图的线段形状以及它们的交叉方式解释了相互作用过程，从而例证了它们的本质机制。
三、实验应用量子场论在许多物理学领域中都有着广泛的应用和实验验证：1.强作用强作用描述了质子原子核中的相互作用力。
量子场论的强相互作用，主要包括由八种缔合子构成的强子。
通过量子场论可以更好地理解及描述强子的性质。
2.电磁作用电场与磁场的相互作用可以通过太阳板及摄影机集中到一起，从而通过如放射性对比等方法定量测量电磁离子的电荷量。
电磁作用的概念及其应用在今天的实验中依然具有非常重要的意义。
3.量子场论及宇宙学量子场论提供了对宇宙学的理解，在宇宙起源及结构形成的问题上也有广泛的应用。
量子场论的数学基础
量子场论的数学基础量子场论是现代物理学中的一种理论框架，用于描述微观粒子的行为和相互作用。
它是量子力学和场论的结合，提供了一种统一的描述物质和相互作用的数学工具。
量子场论的数学基础可以追溯到狄拉克方程的提出。
狄拉克方程是描述自旋1/2的粒子行为的方程，它也是量子场论的基础方程之一。
通过对狄拉克方程的推导和解析，人们开始意识到，粒子的行为不仅可以用粒子的波函数来描述，还可以用场的概念来描述。
在量子场论中，粒子被视为场的激发态。
这些场可以是标量场、矢量场或张量场等。
每种场都有相应的场方程，描述了场的演化和相互作用。
这些场方程一般采用拉格朗日量的变分原理推导得到。
拉格朗日量是描述物理系统的一个函数，通过对拉格朗日量的变分，可以得到场方程的运动方程。
量子场论中的场被量子化，即被量子力学所描述。
量子化的过程中，场被看作是算符，满足特定的对易关系或反对易关系。
这些对易关系或反对易关系被称为量子场的基本对易关系。
基于这些对易关系，可以推导出场的正则量子化表述，即将场和其共轭动量表示为算符。
在量子场论的数学框架中，场算符的作用是产生和湮灭粒子。
产生算符可以将真空态变为一个粒子态，而湮灭算符则可以将一个粒子态变为真空态。
这些产生和湮灭算符满足玻色或费米统计，具体取决于场的自旋性质。
量子场论的数学基础还包括对称性和守恒量的考虑。
对称性是物理学中非常重要的概念，量子场论中的对称性可以帮助我们推断物理规律和相互作用。
守恒量是由对称性导致的，它们可以用来描述系统的守恒规律，如能量守恒、动量守恒和角动量守恒等。
总结起来，量子场论的数学基础包括狄拉克方程、场方程、拉格朗日量、对易关系、产生湮灭算符和对称性等。
这些数学工具为我们提供了一种统一的描述微观粒子行为和相互作用的方法。
通过对这些数学基础的研究和应用，我们可以更好地理解微观世界的奥秘，并推动科学的发展。
四元数,矢量运算规则,场论基础,并矢,算符,场量的Taylor展开,正交曲线坐标系,Delta函数
四元数quaternions复数对四则运算,代数运算,极限自封.四元数是复数的扩展.四元数有四个单元:k ,j ,i ,1.四元数定义dk cj bi a +++=α,其中R d ,c ,b ,a ∈ 另一四元数R 'd ,'c ,'b ,'a ,k 'd j 'c i 'b 'a ∈+++=β,则四元数加减法定义对应分量相加减;四元数乘法定义为)k 'd j 'c i 'b 'a )(dk cj bi a (++++++=αβk )'cb 'bc 'da 'ad (j )'bd 'db 'ca 'ac (i )'dc 'cd 'ba 'ab ()'dd 'cc 'bb 'aa (-+++-+++-+++---=四元数的单元间的运算规则: j ik ki ,i kj jk ,k ji ij ,1k j i 222=-==-==-=-===四元数加法适合结合律,交换律;,即)()(βγαγαβ=而一般βααβ≠.(βααβα=⇒∈R ) 对实数有效的运算规则对复数总有效,但对复数有效的运算规则对四元数不总有效,(如上述的乘法的交换律)！！！ 四元数的共轭: dk cj bi a :---=α,若dk cj bi a +++=α 性质:αβαβ=四元数的迹: R a 2:)(S ∈=+=ααα性质: )(S )(S )(S βαβα+=+四元数的模:R d c b a :)(N 2222∈+++==ααα性质: )(N )(N )(N βααβ⋅=,0)(N 0=⇔=αα证明: 0,oder ,00==⇒=βααβ00)(N 00)(N 00,und ,0=⇒⎭⎬⎫≠⇒≠=⇒=⇒≠=βααβαααβαααβ,即00,und ,0=⇒≠=βααβ,同理00,,0=⇒≠=αβαβund证明:若α是方程0)(N )(S x 2=+-αα的根,则α也是其根.因为,α是方程0)(N )(S x 2=+-αα的根0)()(2=++-⇒ααααα⇒=++-⇒0)()(2αααααα也是其根)四元数域内二次方程一般不止两个根,如最简单的方程1x 2-=就最少存在k ,j ,i ±±±6个根,实际上1x 2-=有无穷多个根,因为使1r q p 222=++成立的实数r ,q ,p 有无穷多个,而1)r q p ()rk qj pi (2222-=++-=++Halmiton 四元素体;第一个非交换体,1843 年 W.R.Hamilton 为建立三维复数空间,把复数x+iy 作为有序偶的实数,并定义规则,使i 在有明确意义: 4阶实方阵集H内方阵型如⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------a b c d b a d c c d a b d c b a ,令⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110011010011001011001101111K ;J ,E ,I ,则集H 内任意方阵可唯一表为dK cJ bE aI +++,即}R d ,c ,b ,a |dK cJ bE aI {H ∈+++=,H 对矩阵减法封闭;且I K J E -===222,;J KE ,E JK ,K EJ ===J EK ,E KJ ,K JE -=-=-=,矩阵乘法在H 内封闭,故H 对矩阵加,乘法构成环;H 的元素个数>1;I 是H 的单位元,又因I )d c b a ()dK cJ bE aI )(dK cJ bE aI (2222+++=---+++,且当0≠+++dK cJ bE aI 时,d ,c ,b ,a 不全为零,故02222>+++d c b a ,所以H 中非零元在H 内存在逆元,综上所述H 是非交换体,常称H 为四元数环,称H 内的元为四元数Quaterion : t+xi+yj+zk,其中t为数量部分/纯量部分,xi+yj+zk 为向量部分.四元数系构成了以实数域为系数域的有限维可除代数,是向量代数和向量分析基础. 矢量运算规则两矢的内积:)b ,a cos(|b ||a |b a ∧=⋅ R V ,V →两矢的外积: )b ,a sin(|b ||a ||b a |∧=⨯, b ,a )b a ( ⊥⨯ V )V ,V (→ 物理意义: b ,a 两矢内积是功; b ,a 两矢外积的模是以b ,a两矢的为边平行四边形的面积. 故内积可交换,外积可反交换外积和内积的关系:)b ,a (sin |b ||a |))b ,a (cos 1(|b ||a |)b a (|b ||a ||b a |2222222222∧∧=-=⋅-=⨯ 即)b ,a sin(|b ||a ||b a |∧=⨯推论 22b a b b a a )b a ()b a (;b a )b a ()b a (-=⋅-⋅=+⋅-⨯=+⨯-四元数和两重积间的联系:两四元数k a j a i a 321++=α,k b j b i b 321++=β;两矢量)a ,a ,a (a 321=,)b ,b ,b (b 321= 间关系βα↔↔b ,a 两矢内积和四元数间的关系:两量积)Re()Re()(21)(21b a αββαβαβααββα-==+=+=⋅ ,即两矢内积b ,a 对应于四元数βα的实部.两矢外积和四元数间的关系:矢量内积)Im()Re()(21b a αβαβαβαβαβ=-=-=⨯ ,即两矢外积b a ⨯对应于四元数αβ的非实部.两矢内积,外积和四元数间的关系:αβ=⋅-⨯b a b a三矢内积)c b (a c )b a (:]c ,b ,a [ ⨯⋅≡⋅⨯=,R V ,V ,V → 物理意义: c ,b ,a 三矢的内积是以c ,b ,a三矢为边的平行六面体的体积性质:b )c a (a )b c (c )a b (b )a c (a )c b (c )b a (⋅⨯-=⋅⨯-=⋅⨯-=⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯推论:0]q c ,p b ,r a []p c ,r b ,q a []r c ,q b ,p a [=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯2]c ,b ,a []a c ,c b ,b a [ =⨯⨯⨯ 三矢外积c )b a ()c a (b )c b (a⋅-⋅=⨯⨯V )V ,V ,V (→c)b a (b )c a (c c c )b a b a b a (b b b )c a c a c a (c )b a b a b a (b )c a c a c a (c )b a b a b a (b )c a c a c a (c )b a b a b a (b )c a c a c a ()c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a c b c b c b c b c b c b a a a )c b (a 321332211321332211333221133322112332211233221113322111332211233223113112211233233113312212122131132332321⋅-⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-++++-++++-++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯推论0)b a (c )a c (b )c b (a=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯四矢内积:)c b )(d a ()d b )(c a (db cb d a ca )d c ()b a (⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⨯⋅⨯R )V ,V ,V ,V (→)c b )(d a ()d b )(c a (a )d )c b (c )d b ((a ))d c (b ()d c ()b a (三矢外积三矢内积 ⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅=⋅⨯⨯=⨯⋅⨯四矢外积:a ]b ,d ,c [b ]a ,d ,c [d ]c ,b ,a [c ]d ,b ,a [)d c ()b a (-=-=⨯⨯⨯ V )V ,V ,V ,V (→ a ]b ,d ,c [b ]a ,d ,c [a )b )d c ((b )a )d c (()d c ()b a (;d ]c ,b ,a [c ]d ,b ,a [d )c )b a ((c )d )b a (()d c ()b a (三矢外积三矢外积 -=⋅⨯-⋅⨯=⨯⨯⨯-=⋅⨯-⋅⨯=⨯⨯⨯推论c ]c ,b ,a []d ,b ,a [b ]c ,b ,a []c ,d ,a [a ]c ,b ,a []c ,b ,d [d 0]c ,b ,a [ ++=→≠ )d a )(c b ()c a )(d b ()}d c (b {a ⨯⋅-⨯⋅=⨯⨯⨯流线 等X 面/线 通量 环流量 散度 旋度 方向导数 梯度为形象描述矢量场)z ,y ,x (f 定义)z ,y ,x (f 的流线f.为形象描述标量场)z ,y ,x (ϕ定义)z ,y ,x (ϕ的等X 面/线.S d 为开/闭有向曲面S 上一面元,矢量f 在面元S d 上的元通量S d f d f⋅=Φ,面积分得矢量场)z ,y ,x (f 在曲面S 上的通量(标)⎰⋅=ΦSf S d fl d 为开/闭有向曲线l 上一面元,矢量f 在线元l d 上的元环量l d f d f⋅=Θ,线积分得矢量场)z ,y ,x (f 在曲线l 上的环量(标)⎰⋅=Θlfl d f 矢量场)z ,y ,x (f的散度(标):描述有源场源/汇强度. 正/负/零散度对应于源/汇/无源无汇闭合曲面S 包围体积V ∆,0V →∆时f 在S上的通量与V ∆比的极限称为矢量场)z ,y ,x (f 的散度V /S d f lim f div S 0V ∆⋅=⎰→∆矢量场)z ,y ,x (f的旋度(矢):描述有旋场旋涡强度和旋涡法矢方向. 旋度的法向分量的模的大小顺比于涡旋场旋涡程度.闭合曲线l 包围有向曲面S ∆,0S |S |→∆=∆ 时f 在l 上的环量与S ∆的比的极限称为矢量场)z ,y ,x (f 的旋度f rot 沿S∆法向的分量S /l d f lim )f rot (l 0S n ∆⋅=⎰→∆ 等效于0S →∆时S )f rot (l d f ∆⋅=⋅⎰标量场)z ,y ,x (ϕ的梯度(矢):描述标量场各点空间变化率及方向.某场点的梯度的方向是标量场变化最快的方向,其模是标量场单位长度的变化率.场)z ,y ,x (ϕ沿l d 向改变ϕd ,称dl d ϕ为ϕ沿l d 向的方向导数,dl d ϕ等于ϕ的梯度的l d 向分量l d )grad (d dld )grad (l ⋅=⇔=ϕϕϕϕ积分变换公式Gauss 定律: ⎰⎰∂⋅=⋅∇VV dS f n dV f(f 的散度对体积V 体积分 ←转换→ f 对V 的包面的闭面积分)Stokes 定律: ⎰⎰∂⋅=⋅⨯∇SS l d f dS n )f ((f 对有向曲线S ∂的闭线积分 ←转换→ f 的旋度对以S∂为边的有向曲面S 的面积分)Green 恒等式:⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂∂=⋅∇=⋅∇=∇⋅∇=∇+∇⋅∇V V V V V 2dS ndS n )(S d )(dV )(dV )(ψφψφψφψφψφψφ (n ∂∂:外法线方向导数)Green 定理:⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂∂-∂∂=⋅∇-∇=⋅∇-∇=∇-∇⋅∇=∇-∇VV V V V 22dS )n n (dS n )ˆˆ(S d )ˆˆ(dV )ˆˆ(ˆdV )ˆˆ(φψψφφψψφφψψφφψψφφψψφ ⎰⎰⨯∇=⨯∂V V dV A A S d (⎰⎰⎰⎰⎰⎰⨯∇⋅=⨯⋅⇔⨯∇⋅=⨯⋅∇=⨯⋅=⨯⋅∂∂∂VV V V V V dV )A (C )A S d (C dV )A (C dV )C A ()C A (S d )A S d (C) ⎰⎰∇=∂VVdV S d ψψ (⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅=⋅⇔∇⋅=⋅∇=⋅=⋅∂∂∂VVVVVVdV C )S d (C dV C dV )C (S d C )S d (C ψψψψψψ)⎰⎰∂=∇⨯SSl d S d ψψ(⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂⋅=⋅∇⨯⇔⋅=⋅⨯∇=⋅⨯∇=⋅∇⨯SSSSSSl d C C )S d (l d C S d )C (S d )C (C )S d (ψψψψψψ)并矢 及其运算标量是零阶张量,矢量是一阶张量,二阶三维张量借助于直角坐标转动矩阵定义:矢量i T 在坐标架转动满足变换关系i mi m T R T =,坐标转动矩阵miR 即二阶张量.二阶张量ij T 满足变换关系ij nj mi mn T R R T =.由两矢B A ,并列放置且之间无运算则构成并矢B A,含9个分量,记为j i B A ,由于i A 和j B 分别满足:i mi m A R A =,j nj m B R B =,故并矢B A满足j i nj mi B A R R B A = ,故并矢是二阶张量的一种形式,显然三个矢量的并矢具有三阶张量的变换关系. ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≡><≡⊗≡z z z z z z y y y y y y x x x x x x z y x z y x v v g f g f g f g f g f g f g f g f g f g g g f f f g f g f g f g f || , 单位并矢(单位二阶张量)ij ij kk jj ii r δ=I =++=∇=I,性质:X X X =⋅I =I ⋅;(X 为矢量或算符); 2:∇=∇∇ I ; ϕϕ∇=⋅∇)(I ; )(:T Spur T T I ii ==; g f g f I ⋅=:;并矢-矢量点乘区分左右:右点乘p g f p g f )(⋅=⋅;左点乘)(f p g f p g⋅=⋅,这样,三矢外积可用并矢表示)()(p g g p f p g f -⋅=⨯⨯两二阶张量B A ,间的双点乘:ji ij B A B A = :(或))(()(:)(q f p g q p g f⋅⋅=)双点乘得到的标量是两矩阵积的迹.并矢的微分运算要注意是对那个张量进行的,一般需加括号.g f f g g f)()()(∇⋅+⋅∇=⋅∇g f g f g f)()()(∇⨯-⨯∇=⨯∇f r f r r f ⋅+⋅∇=⋅∇2)(22f r f r f +⋅∇=⋅∇)()(f r r f r r f r r f++⋅∇=⋅∇)()( ⎰⎰⎰∂∂⋅I =I ⋅=I ⋅∇VV V S d dS n dV⎰⎰∂I ⨯=I ⨯∇VV dS n dV⎰⎰∂=∇V V dS f n dV f⎰⎰∂⋅=⋅∇VVS d g f dV g f)()(根据以上矢量运算定理,可把Gauss 定理⎰⎰∂=∇VV n S d dV 和Stokes 定理⎰⎰∂=∇⨯SS l d n dS 的运算推广到对标量,矢量,张量的各种运算∇算符具有:矢量性和算符性.∇对矢量左/右/点/叉乘不可交换,矢量运算规则也适于∇,但需调整∇在结果中的位置,使等式左右量同型. f )g (g )f ()g f ( ⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇ (第一式点和叉换位,取正;第二式交换第一式中的两矢量次序,取负)f )f ()f (2 ∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇ (按c )b a ()c a (b )c b (a⋅-⋅=⨯⨯写结果,再调整次序,使右端得矢量)ψϕϕψϕψ∇+∇=∇ )( f f )()f ( ⋅∇+⋅∇=⋅∇ϕϕϕf f )()f (⨯∇+⨯∇=⨯∇ϕϕϕ 2f 21f )f ()f f (f )f (f )f ( ∇-⋅∇=⋅∇-⋅∇=⨯⨯∇]g )f ()f (g []f )g ()g (f [)g f (∇⋅+⋅∇-∇⋅+⋅∇=⨯⨯∇ )f (g )g (f f )g (g )f ()g f (⨯∇⨯+⨯∇⨯+∇⋅+∇⋅=⋅∇3r =⋅∇ ; I r r =⊗∇≡∇; r e r r r ==∇;0e r r =⨯∇=⨯∇; r 2e r =⋅∇ 2r 3re r r r 1 -=-=∇ r e dr df r ˆdr df )r (f ˆ =∇=∇ ⎩⎨⎧=∞≠=-=-∇=-∇=∇)0(,)0(,0)(4ˆˆ1ˆ232r r r r e r r r r πδ Coulomb 定理的微分式:Green 函数|'r r |141)'r ,r (G ),r (4r e ˆ02r -==∇πεπδ标量场的梯度场无旋0)(≡∇⨯∇ϕ无旋场必可表为一标量场的梯度ϕ∇=⇒=⨯∇f 0f矢量场的旋度场无源0)f (≡⨯∇⋅∇ 涡旋场必可表为一矢量场的旋度A f 0f⨯∇=⇒=⋅∇a,0E ,k 为常矢a r )a ()r a ( =∇⋅=⋅∇ r r a r a ⋅=∇⋅ r a]e )e a (a [r 1e )a (r r r ⊥=⋅-=∇⋅ 533r r )r a (3r a r r )a ( ⋅-=∇⋅ 0a )r (r )a ()r a (=⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇a 2r )a ()r (a )a (r a )r ()r a ()r a ()r a (r a =∇⋅-⋅∇+⋅∇-∇⋅=⨯⨯∇+⨯⨯∇=⨯⨯∇ 5333333r r )r a (3r a a )r r ()a (r r r r )a ()r r (a )r r a ( ⋅-=∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇ 0a )rr (r r )a ()r r a (333=⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇ 35333333r a r )r a (3r r )a (a )r r ()a (r r r r )a ()r r (a )r r a ( -⋅=∇⋅-=∇⋅+⋅∇-∇⋅-⋅∇=⨯⨯∇33rr a )r r (a r 1a ⋅-=-⋅=∇⋅ r k i 0e E E ⋅=:E k i E ⋅=⋅∇;E k i )k i (e E )]r k i (e [E e E )e E (E r k i 0r k i 0r k i 0r k i 0⨯=⨯-=⋅∇⨯-=⨯∇-=⨯∇=⨯∇⋅⋅⋅⋅其中1:=⋅=r r r r e e I e e 故r r e e I r r I r r :'':''22==.Taylor 展开:...)(...'...''!)(...)(''!)('|'|,...,,+∂∂∂∂-++∂∂∂+∂∂-=-∑∑∑kj i k j i nk j i ji j i j i ii i rx x x x x x n r x x x x r x x r r r 111211112 其中k j i ,...,,取1,2,3; i x 代表直角坐标系的三个分量,注意:1 上式是对'r 展开; 2 对'r 的展开和对'r的展开相差一个负号. 曲线正交坐标系(Krummlinigen Koordinaten)三维空间里确定一点P 的位置需3个坐标321u ,u ,u .若P 点坐标在直角坐标系中表为)u ,u ,u (z ),u ,u ,u (y y ),u ,u ,u (x x 321321321===,则)z ,y ,x (u u ),z ,y ,x (u u ),z ,y ,x (u u 332211===,两坐标系等价.=i u 常数)3,2,1i (=的曲面是坐标面,他们的单位法向矢量为)3,2,1i (,e i =,其指向为iu 增加的方向.当过P 点的三坐标曲面两两垂直时,三坐标面的三交线也两两垂直,称此类坐标系为正交曲线坐标系.正交条件)j i (,0)u z )(u z ()u y)(u y ()u x )(u x (h ji j i j i 2ij≠=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=.由i 31i i i 31i i i 31i i du u z dz ,du u ydy ,du u x dx ∑∑∑===∂∂=∂∂=∂∂=得2222)dz ()dy ()dx ()ds (++=232322222121j,i j i 2ij )du (h )du (h )du (h du du h ++==∑,其中2i 2i 2i 2ii 2i )u z ()u y()u x (h h ∂∂+∂∂+∂∂==,称)3,2,1i (,h i =为Lame 系数或度量因子.Delta 函数定义)a (f )x (f )a x (=-δ⎰性质1 偶函数)x ()x (δ=-δ2 采样性)a (f )x (f )a x (=-δ⎰3 函数下的面积⎩⎨⎧∉∈=-δ⎰])b ,c [a (,])b ,c [a (,dx )a x (bc 01; ⎩⎨⎧=∞≠=-δ)a x (,)a x (,)a x (04 缩放 )x (|a |)ax (δ=δ1证明)x (|a |)ax ()a (,|a |dz )z (|a |dz )z ()a (,a dz)z (dx )ax (|a ||a |a a a a δ=δ⇒⎪⎩⎪⎨⎧<δ=-δ>δ=δ⎰⎰⎰⎰∆∆-∆∆-∆∆-∆∆-100 5 若)(x f 为连续函数,且∆为包含a 电的任意长度区间,则a )x (g |)]x ('g /)x (f [dx ]a )x (g [)x (f =∆=-δ⎰证明dy a y g g dx dy x g dx dx x g dy a x g y a y g x a x g y )](['1)('1)(')()()(11+=→⎪⎭⎪⎬⎫=→=→-=+=→-=-- 若)x (f 为单值连续函数,且有N 个过零点N ,...,,i ,x i 321=,则a x g x g x f a g g a g f dy a y g g y a y g f dx a x g x f =--∆--∆==++=-⎰⎰)(1111|)('1)()](['1)]([)](['1)()]([])([)(δδ 6 复合函数∑-δ=δii i )x x (|x /)x (df |)]x (f [1 证明: )x (f y =单值连续,则)x (f 在每个过零点的邻域内可逆;且)x (g 为任意品优(gutartig)函数,则dy )]y (f ['f 'x dy )x ('f 'x dy )]'y (f ['x )y (f x )x (f y 11111---=→=→=→=→=⎰∑∑∑∑⎰⎰+∞∞---∆+∆---+∞∞--δ===δ=δii i ii i iix x dx )x x (|)x ('f |)x (g |)x ('f |)x (g )](f ['f )](f [g dy )]y (f ['f ]y [)]y (f [g dx )]x (f [)x (g i i1101011111 被积函数须相等,再由)x (g 的任意性,得∑-δ=δii i )x x (|x /)x (df |)]x (f [1 6 导数x)a x (:)a x ('∂-δ∂=-δ则)a ('f dx )a x (')x (f -=-δ⎰∆证明)a ('f dx )x ('f )a x ()x (df )a x (|)]a x ()x (f [)a x (d )x (f dx )a x (')x (f =-δ-=-δ--δ=-δ=-δ⎰⎰⎰⎰∆∆=+∆-∆∆∆ 07)a (f )(dx )a x ()x (f )n (n )n (1-=-δ⎰∆证明)a (f )(dx )x (f )a x ()(dx )x (f )a x ()(...dx )x (''f )a x ()x ('df )a x (|)]a x ()x ('f [)a x (d )x ('f dx )x ('f )a x ()x (df )a x (|)]a x ()x (f [)a x (d )x (f dx )a x ()x (f )n (n )n (n)m ()m n (m)n ()n ()n ()n ()n ()n ()n ()n ()n (1112202211011-=-δ-=-δ-==-δ=-δ+-δ-=-δ-=-δ-=-δ--δ=-δ=-δ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∆∆-∆-∆-=+∆-∆-∆-∆-∆-=+∆-∆-∆-∆⎰∆=-=-δa)x (g |]})x ('g )x (f [dx d )x ('g {dx ]a )x (g [')x (f 1 三维δ函数⎩⎨⎧=≠=-δ-δ-δ=-δ)r r (,)r r (,)z z ()y y ()x x ()r r (00000010曲线系下的三维δ函数3213020103020100h h h )u u ()u u ()u u (|)u ,x (J |)u u ()u u ()u u ()r r (i i -δ-δ-δ=-δ-δ-δ=-δ ,(其中)u ,x (J i i 为Jacobi 行列式)柱坐标系下)z z ()()()r r (00001-δϕ-ϕδρ-ρδρ=-δ球坐标系下)()()r r (sin r )r r (000201ϕ-ϕδθ-θδ-δθ=-δ注意:n 维δ函数的量纲为n m -,即n -米δ函数的逼近钟形曲线: 2201xa a lim )x (a +π=δ→ Gauss 曲线;)x n exp(n lim )x (n 220π-=δ→sinc 函数: )kx (c sin k lim x kx sin lim )x (k k π=π=δ∞→∞→1sinc 函数平方: )kx (c sin k lim kx kx sin lim )x (k k 2221π=π=δ∞→∞→ 复指函数:⎰⎰+∞∞-+∞∞-π=±π=δdk )kx cos(dk )ikx exp()x (121盒子函数:∑+∞-∞==δn )L /inx exp(L )x (21*********************.cn。
电磁场与电磁波-1、2、3章矢量分析与场论基础
位置矢量的微分元是
dR
它在
d 、
(
和e ) dBiblioteka (zez ) e d e d ezdz
z 增加方向的微分元分别为d 、d和dz，如
图1.6所示。与单位坐标矢量相垂直的三个面积元分别为
dS ddz
dS d dz
体积元可表示为
dSz d d
dV dddz
r 3.球坐标系
A aA A ,其中是与同方向的单位矢量，为矢量的模值。
其中 aA 是 与 A同方向的单位矢量，A为矢量A模值。 一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知，则
这个矢量就确定了。如在直角坐标系中，若矢量A的坐标
分量为( Ax,Ay, Az)，则可表示为则 A可表示为
A ex Αx ey Αy ez Αz
矢量A和B矢量的平面，方向满足右手螺旋法则，即
当右手四指从矢量A到B旋转 角时大拇指所指的方 向，其大小为 ABsin ,即
A B en AB sin
是叉积方向的单位矢量。 在直角坐标系中，各单位坐标矢量的叉积满足如下关系
ex ey ez ,ey ez ex ,ez ex ey
ex ex ey ey ez ez 0
y
x
图1.4 直角坐标系 在直角坐标系中，以坐标原点为起点,指向M (x, y, z点) 的矢 量R称为M点的位置矢量，可表示为
R xex yey zez 位置矢量的微分元是
dR exdx e ydy ezdz
它在x、y和z增加方向的微分元分别为 dx、dy和 dz ，
而与单位坐标矢量相垂直的三个面积元分别为
【提示】A B的模就是A与B所形成的平行四边形的面 积，因此C ( A B)是平行六面体的体积。
第1章 场论基础
1.1 场的概念及其表示法 1.1.1 场的分类 场是表征空间区域中各点物理量的时空分布函数
标量场——空间各点仅有确定大小的物理量 （如温度场、密度场、气压场和电位场）
矢量场——空间各点同时有大小和方向的物理量 （如速度场、加速度场、重力场、电场和磁场）
静态场——仅由空间位置确定，不随时间变化的场 （如静电场和静磁场）
a x a y a z AxAyAz 5
Bx By Bz
点P的位置矢量及其微分
r ax x ay y az z(1.16) d r ax d x ay d y az d z(1.17)
2、圆柱坐标系 图1.7表示圆柱坐标系，其单位矢量 a 、a 和az 指 向 、 和z增加的方向，且满足右旋关系
(1.4)
图1.3 矢量减法
2．矢量乘法
图1.4表示矢量A和B的点积（或标积）为两个矢量相互
投影之值
A B = ABcos
(1.5)
图1.4 矢量点积
取值范围为 0 。
矢量点积服从交换律和分配律
A B= B A
(1.6)
A (B + C) = A B A C
(1.7)
图1.5表示矢量A和B的叉积（或矢积）为一个按右旋法
则确定的矢量
A B = an ABsin
(1.8)
矢量叉积只服从分配律
A B = B A A (B + C) = A B AC
(1.9) (1.10)
1.1.3 常用正交坐标系 引入坐标系可以将矢量运算中的矢量按坐标投影形式分 解为标量，可简化分析与计算。 1．直角坐标系 图1.6表示直角坐标系， 其单位矢量 ax 、a y 和 az 指向x、y和z增加的方向，且 满足右旋关系
第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线 1）Txy=，2）Txy=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得 ⑴ Cxy =，xC y=；⑵ Cyx =+221-2 求下列标量场的等值面 1）ua xb y cz=++1，2） =-uz xy 22+， 3）uxyz =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ kcz by ax =++ ⑵ cyxz=+-22，()222c z yx -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zz y y x x 2d d d ==解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy z yx y xy x 222d d d ==解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂MMxzx xu ，620-=-=∂∂MMzyu ，42220=+-=∂∂MMxy z zu据方向导数的定义，可得1714172436212cos cos cos 0=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαMMMMzu yu xu lu1-6 求标量场uxy yz zx=++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
物理学中的量子场论及其应用
物理学中的量子场论及其应用引言量子场论有着广泛的应用，是当今理论物理学中的重要分支。
本文旨在介绍量子场论的基本概念以及其在实际应用中的作用。
第一部分：量子场论基础1.1 量子力学中的态在量子力学中，我们通常把一个系统的量子态描述为一个矢量。
这个矢量可以用复数表示，它的长度是1，也就是说这个矢量的模长平方代表了这个系统在某一时刻内被观测得到的概率。
1.2 光子与波粒二象性在量子场论中，光子被看作是一个具有波粒二象性的粒子。
在某些情况下，光子可以表现出传统电磁波的性质；在另一些情况下，光子表现出更加“粒子化”的特性。
1.3 量子场论的基本假设量子场论的基本假设是，任何的物质都是由场构成的，场本身也是量子的。
在量子场论中，这些场被看作是在时空中定义的量子场。
第二部分：量子场论的应用2.1 粒子产生和湮灭在量子场论中，粒子的产生和湮灭被看作是一个基本的过程。
例如，在场中加入一个波动，我们可以得到一个光子。
同样地，我们可以在光子场中加入一个波动，然后得到一个新的光子。
这种粒子产生和湮灭的过程也可以被应用于其他领域，例如，在量子电动力学中，电子和正电子的湮灭过程可以被视为一个基本的过程。
2.2 简并模型在量子场论中，简并模型被用来描述处于相对较高能量状态的粒子。
这种简并模型也可以被应用于其他领域，例如，研究超导电性的过程中。
2.3 量子场论在理论物理学中的应用量子场论在理论物理学中的应用非常广泛。
例如，在弦理论等研究中，量子场论被用来描述在高能量状态下的量子场的行为。
在近年来的一些研究中，量子场论还被用来解释黑洞等天体现象。
结论量子场论作为理论物理学中的重要分支，不仅仅包含了基本的理论概念，还有着广泛的应用。
在未来，随着理论和实验的不断发展，量子场论的应用将会越来越广泛。
基于场论基础上的脉象研究
ｈ＝ （３， ／０１）
ｄ＝ １） ｔ ｌＯ（ ， Ｅ＝ ４ｍ ｏ
０ ５ ｒｔ ０ ）ｏＥ （ 电 场和 引力 场 都是 保 守场 都 可 以 引入 势 的概 念 ， Ｕ（） ５ ） 且 。 ： Ｎ
ｒ
一
其影 响 。 明这 些 联 系是 人体 生命 活动 、 理 变 化 与诊 断 、 说 病 治 疗疾病 的重要 依据 。 中医四诊 中脉诊 是现 代科学 难 以理解 的 。
一
推论 ｌ 运 动物体 产生 Ｔ场 ． 类似 于 电荷运 动 产生 磁 场 ： 就 样 ． 与磁场 具有 相 同的形 式 ． 象 电场和 引力 场相 似一 Ｔ场 就 推论 ２ 运 动物 质产 生 的 Ｔ场方 向 ， ： 同负 电荷 运动 时 产生 的磁 场方 向相 一致 ， 其方 向可 由左 手螺 旋法 则确 定 。 定 理 １Ｔ场 感应 强 度 由 Ｂｏ— ａａｔ 律［ 得 ： ： ｉｔＳ ｖｒ 定 ４ １ 可
世界 上 的一切 物质都 与别 的物质 发生 作用 ，两个 绝 对不 作 用 的物体 是不存 在 的 ，只是 在 我们 能够 观察 到 的客观 事物 中， 有些 作 用强 ， 有些 作用 弱 ， 些 作用 我 们暂 且 无 法 观察 出 有
来 罢 了ｒ 对 于人体 而 言 ， １ １ 。 除天人 合一共 同作 用之 外 ， 体 内部 人 是否 还存 在着 某种 内部屏 蔽 的 、作用 相对 量非 常灵 敏 的某 种 场 的作用 呢？ 中医经 络 阐述 的是 人体 内部 之 间 的相 互联 系 及
形式 。如 图 １ 示 ： 所
强 度 会 引起 血 液循 环 系统 相 应 脏腑 器 官 血液 浓 度 和 血 管 变 化 ， 而 引起 整 条经络 线 Ｔ场强 度变 化 ． 从 实现 经 络 、 穴位 的 中 医 功能 ， 改变人 体 脉 象 。
量子场论与粒子物理学
量子场论与粒子物理学量子场论是理论物理学中的重要分支，它基于量子力学的原理，研究描述自然界中基本粒子的交互作用的数学模型。
粒子物理学则是研究基本粒子及其相互作用的学科，涉及了粒子的结构、性质、相互作用等多个方面。
本文将简要介绍量子场论及其与粒子物理学的关联。
一、量子场论的基本原理量子场论基于真空态和场的概念，通过对场的量子化处理，描述了各种基本粒子的产生和湮灭过程。
其基本原理可以概括为以下几个方面：1. 真空态：真空态是量子场论的基础，它是没有粒子存在的状态。
在真空态下，各种场的激发会导致粒子的产生和湮灭。
2. 场算符：场算符是量子场论的核心概念，它描述了不同场的量子化过程。
通过场算符的作用，我们可以得到场的能量、动量、自旋等性质。
3. 量子化：将经典场变为量子场的过程一般通过对场算符进行量子化操作实现。
这个过程可以将场的经典激发量子化为粒子的产生和湮灭。
二、粒子物理学中的应用量子场论为粒子物理学提供了重要的数学工具和理论框架，它对粒子结构、相互作用等进行了深入的研究。
以下是粒子物理学中量子场论的一些具体应用：1. 标准模型：标准模型是粒子物理学的核心理论，它包括了电弱理论和量子色动力学。
量子场论为标准模型提供了坚实的数学基础，通过描述场的量子化过程，解释了基本粒子的性质和相互作用。
2. 跃迁振幅：量子场论可以用于计算不同粒子之间的跃迁振幅，即计算粒子从一个能级跃迁到另一个能级的几率。
这些计算结果可以与实验进行比较，验证理论的准确性。
3. 粒子散射：量子场论可以描述粒子之间的散射过程，即粒子之间的相互作用。
通过计算粒子散射过程的振幅，我们可以了解粒子之间的相互作用类型和强度。
4. 粒子衰变：在量子场论的框架下，粒子的衰变过程可以被描述为一种粒子到另一种粒子的转变。
通过对衰变过程的计算，可以研究粒子的寿命、稳定性等性质。
三、量子场论的挑战与发展尽管量子场论在解释基本粒子的性质和相互作用方面取得了巨大成功，但仍存在一些挑战和问题需要解决：1. 量子引力理论：量子场论与广义相对论的结合是一个重要的问题，也是理论物理学中的一个难题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
场论基础附1 Hamilton 算子∇在直角坐标系中定义Hamilton 算子∇为x y z∂∂∂=++∂∂∂ijk∇ （附1.1）这里，∇既可以看成是一个微分算子，作用到一个标量函数或者是一个矢量函数上；也可以看成是一个向量，和其他的向量进行普通的点乘( )运算和叉乘(⨯)运算。
附1.1 梯度运算grad u u =∇对于一个标量场(,,)u x y z ，我们定义相关的梯度运算为grad u u u u u x y z∂∂∂==++∂∂∂ijk∇ （附1.2）那么标量函数(,,)u x y z 的梯度运算结果grad u 为一向量。
下面我们来看梯度运算的数学意义。
对于函数(,,)u x y z 的方向导数u n∂∂，我们有cos(,)cos(,)cos(,)()()grad x y z u u x u y u z nx n y nz n u u u n x n y n z xyzu u u n n n uxyy∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂=++++=∂∂∂ijki j k n （附1.3）因此有grad cos(,)u u u n∂=∂n ∇ （附1.4）从中可以看到，当单位向量n 的方向和梯度grad u 的方向一致时，u n∂∂取到极大值，而极大值就为grad u 。
这就是说，梯度grad u 为函数(,,)u x y z 变化最快的方向，也是等值函数(,,)u x y z C =的外法线方向，梯度的大小为函数方向导数的最大值。
从上面的分析我们可以看到，梯度grad u 的定义和坐标系是无关。
梯度grad u 在数值计算方法中有很重要意义。
附1.2 散度运算div =A A ∇对于一个向量场(,,)x y z A ，沿某一个曲面S 的通量定义为d SS Φ=⎰⎰A n (附1.5)更进一步，如果S 是个封闭曲面，其所包围的区域Ω，体积为V ，那么当d div limlimd SV MSVVΦ→Ω→Ω==⎰⎰⎰⎰⎰A n A (附1.6)存在时，我们称相应的值为该向量的散度(此时区域Ω退化成一点M )。
下面我们来看散度和Hamilton 算子∇之间的关系。
在直角坐标中，如果向量场(,,)x y z A 为(,,)(,,)(,,)(,,)x y z P x y z Q x y z R x y z =++A i j k那么由高斯公式d d d d d d d d SSS P y z Q x z R x yP Q R Vx y z ΦΩ==++⎛⎫∂∂∂=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰A n根据中值定理*M P Q R V xyz Φ⎛⎫∂∂∂=++⎪∂∂∂⎝⎭ 其中*M 为区域Ω中某一点，当0V →时，*M M →，所以00lim lim V V P Q R V xy z V VP Q R xyzΦ→→⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭=∂∂∂=++∂∂∂ 从而有div =A A ∇ （附1.7）而高斯公式也可以表示为d div d SS VΩ=⎰⎰⎰⎰⎰A n A （附1.8）特别地，当在区域Ω内恒成立div 0==A A ∇时，则0Φ=。
这样的场我们称之为无源场。
在平面坐标系中，我们记通量为d n lA s Φ=⎰其中n A 为向量A 在曲线l 外法线n 的方向上的分量。
曲线l 的外法线方向为d d cos(,)cos(,)d d y x l x l y s s=+=-n i j i j容易得到 d d ,,0d d x y z y x n n n ss ==-=在三维问题中若记Ω为单位高的柱体，0R =，则(,)(,)(,)x y P x y Q x y =+A i j而式(附1.5) 、(附1.6) 和(附1.8) 变为d d d lls P y Q x Φ===-⎰⎰A n (附1.9)d d i v l i m l i m d d l S M S MSsSx yΦ→→==⎰⎰⎰A n A (附1.10) d d ()d d lP P P x Q x x y xx∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰ (附1.11)因此，平面上的格林公式也可以视为高斯公式在平面情形中的退化。
附1.3 旋度运算 rot =⨯A A ∇对于一个向量场(,,)x y z A ，沿某一个封闭曲线l 的环量定义为d lW =⎰A s (附1.12)在直角坐标中，如果向量场(,,)x y z A 为(,,)(,,)(,,)(,,)x y z P x y z Q x y z R x y z =++A i j k那么环量为d d d lW P x Q y R z =++⎰如果M 为向量场中某一点，在M 点上有一个固定的方向n ，以n 为外法线取一个小曲面S ，曲面S 的面积为Γ，曲面S 的封闭边界为l ，l 的正向与n 一起构成右手坐标系。
我们定义环量面密度为d limlμΓΓ→=⎰A l(附1.13)根据斯托克斯(G . G . Stokes)公式，d ()d d ()d d ()d d ()cos(,)()cos(,)()cos(,)d llyz z x x y S yz z x x y SW Pdx Q dy RdzRQ y z P R z x Q P x yR Q n x P R n y Q P n z S==++=-+-+-⎡⎤=-+-+-⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰A l根据中值定理*()cos(,)()cos(,)()cos(,)y z z x x y M W R Q n x P R n y Q P n z Γ⎡⎤=-+-+-⎣⎦从而有()cos(,)()cos(,)()cos(,)y z z x x y R Q n x P R n y Q P n z μ=-+-+-=R n(附1.14)其中()()()y z z x x y R Q P R Q P =-+-+-R i j k我们称该向量为向量场(,,)x y z A 的旋度，记为rot A 。
和标量场的方向导数类似，当外法线方向n 和旋度方向一致的时候，环量面密度的值最大，大小为旋度rot A 的模。
沿某一方向n 的环量面密度为旋度rot A 在该方向上的投影。
斯托克斯(G . G . Stokes)公式可以表示成旋度的形式d rot d lSS =⎰⎰⎰A s A n (附1.15)把旋度记成行列式形式有rot x y z PQR ⎛⎫⎪∂∂∂⎪= ⎪∂∂∂ ⎪⎝⎭i j k A 也就是说rot =⨯A A ∇ (附1.16)特别地当在某一区域内恒有ro t 0=A ，我们称该向量场为无旋场。
附1.4 几种比较重要的场 附1.4.1 有势场对于一向量场()A x ，存在一个单值函数()u x 使得()grad u u =-=-A x ∇ (附1.17)我们称该向量场是一有势场，或者是一个梯度场。
性质1 向量场为有势场的充要条件为其旋度在该区域内处处为零。
附1.4.2 管形场(无源场)对于一向量场()A x ，如果其散度处处为零，div 0==A A ∇，我们称该向量场是一管形场。
性质1 管形场中任意一个矢量管上两个截面的通量保持不变。
性质2 矢量场为管形场的充要条件为它是另外一个矢量场的旋度场。
附1.4.3 调和场对于一向量场()A x ，如果恒有div 0==A A ∇及rot 0=⨯=A A ∇，我们称该向量场是一调和场。
也就是说，调和场既无源又无旋。
根据有势场性质，向量场为有势场的充要条件为其旋度在该区域内处处为零，所以对于调和场，一定存在势函数u ，使得grad u =A ，又根据定义有div 0=A ，因此有div(grad )0u = 写成Hamilton 算子形式为 ()0u = ∇∇或者记为0u ∆= (附1.18)其中∆= ∇∇为拉普拉斯(Laplace)算子, 上述方程称为拉普拉斯方程，满足拉普拉斯方程的函数u 称为调和函数。
在直角坐标中，拉普拉斯算子为222222xyz∂∂∂∆=++∂∂∂在平面问题中，对于调和场， 我们可以找到一对调和函数u 和v ，它们满足0u ∆= 0v ∆=,u v u vxy y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ (附1.19) 我们称它们为共轭调和场。
附1.5 Hamilton 算子性质先引入两个关于向量的恒等式:向量的混合积和二重矢量积等式 (1)()(()⨯⨯⨯a b c =b c a)=c a b (附1.20)证明: 设某一平行六面体三条棱分别为,,a b c , 从平行六面体的体积出发可以证明上式。
(2)()()()⨯⨯-a b c =a c b a b c (附1.21)证明:很明显()=⨯⨯m a b c 必定在b 与c 所在的平面, 假设k h =+m b c那么()()()0k h =+=⨯⨯=m a b a c a a b c a从中可以得到()k h=-c a b a所以[]()()h =-+m a c b a b c上式对所有的,,a b c 都应成立。
为了求出h 的值, 我们假设,===a b i c j , 那么[]()()()()[()()]h h h =⨯⨯=⨯⨯=⨯=-=-+=-+=m a b c i i j i k jm a c b a b c i j i i i j j比较可得1h =-，从而，式(附1.21) 成立。
以下是哈密尔顿算子∇的常用公式∶1) ()=+A B A B B A ∇∇∇2) ()()()()()C ⨯=⨯+⨯=⨯-⨯C A B A B A B B A A B ∇∇∇∇∇ 3) ()()()C ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯C A B A B A B ∇∇∇ ()()()()=--+A B A B B A B A∇∇∇∇ 4) ()()()()⨯⨯=-=-∆A A A A A ∇∇∇∇∇∇∇∇ 5) 高斯公式 d d SS VΩΦ==⎰⎰⎰⎰⎰A n A ∇6) 格林公式d d n lSA s S =⎰⎰⎰A ∇7) 斯托克斯(G . G . Stokes)公式d d lSS =⨯⎰⎰⎰A s A n ∇附2 正交曲线坐标系正交曲线坐标系和直角坐标系的关系为123(,,),1,2,3i i q q x x x i ==或者123(,,),1,2,3i i x x q q q i ==沿曲线坐标线i q 的微元长度(平分)为()2233211d d d j j i i i j j i i x x s q q q q ==∂∂⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∑∑ 如果记i H =(附2.1) 那么d d i i i s H q =我们把i H 称为Lame 系数。
同样我们可以得到在曲线坐标系中面元和体元分别为 d d d d d ,,1,2i j i j i j ij S s s H H q q i j === (附2.2)12312312d d d d d d d V s s s H H H q q q == (附2.3) 在直角坐标系统中一般弧线的长度为322221231d d d d d d ii i s x x x x x ==++=∑在曲线坐标系中的长度表示为222222112233d d d d s H q H q H q =++ (附2.4)空间中任意一点在直角坐标系中的表示为11223x x x =++r i i i (附2.5)其中j i 为直角坐标系中沿坐标轴的单位矢量。