2015中考数学总复习专题五： 最值问题

专题五 最值问题

试试看：与最值有关的知识与题目能想起多少？

说明： 最值问题是指最大最小、最多最少、最长最短问题，让我们翻开记忆，按最值问题在课本出现的顺序搜索一下：

（1）两点之间线段最短； （2）垂线段最短； （3）不等式的最大（小）解； （4）二次整式最值； （5）线段和最小差最大； （6）勾股对称最短路径； （7）一次函数最优方案； （8）二次函数的最值；

（9）圆中最长弦是直径； （10）圆的最近（远）距离－－－

以上所列，有的是同一问题、有的是具有包含关系（如“二次函数最值”包含了“二次整式最值”）、有的很少出现，为了简捷实用，提升能力、直面中考，通过整理，就以下几个问题展开研究：

（1）两点之间线段最短； （2）垂线段最短

（3）圆中最长弦是直径； （4）两正数和的最小值 （5）不等式一次函数最优方案； （6）二次函数最值； （7）几何最值探究 一、两点之间线段最短

（一）线段和（PA ＋PB ）最小：“两点之间线段最短”与轴对称结合.

【通法】求“直线上一点到这条直线同侧两点的距离和最小”；作其中一点关于这条直线的对称点，连结这个对称点与另一点的线段长即为该最小距离，该线段与这条直线的交点即为所求点. 例6－1－1 几何模型

（1）如图6－1－1①，点A 、B 位于直线m 异侧，在直线m 上找一点P ，使AP ＋BP 的值最小.你的根据是 .

（2）如图6－1－1②，点A 、B 位于直线m 同侧，在直线m 上找一点P ，使AP ＋BP 的值最小.你的根据是：

A ： .

B ： . 模型应用：

（3）如图6－1－1③，正方形ABCD 中，AB ＝4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一点，则PE ＋PB 的最小值为 .

（4）如图6－1－1④，已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M 、N 分别是BC 、CD

的

C

B

图6－1－1

图6－1－1

A

B

m

A

B

m 图6－1－1

图6－1－1

中点，P 是对角线BD 上一点，则PM ＋PN 的最小值＝ .

（5）如图6－1－1⑤，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，点D 是BC 边上的点，CD ＝3，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是 .

【规律】题目背景不对，但解决问题方法一样，都是作对称点、连线段、求最值.

体验与感悟6－1－1

1.（1）如图6－1－2①，在等边△ABC 中，AB ＝6，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使PB ＋PE 的值最小，最小值为 .

（2）如图6－1－2②，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC ＝60°，P 是OB 上一动点，则PA ＋PC 的最小值是 ；

（3）如图6－1－2③，点D 、E 分别是△ABC 的AC 、AB 边的中点，BC ＝6，BC 边上的高为4，P 在BC 边上，则△PDE 周长的最小值为 .

2.（1）如图6－1－3①，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（3，3），点C 的坐标为（1，0），点P 为斜边OB 上的一动点，则PA ＋PC 的最小值为 .

（2）如图6－1－3② ，菱形ABCD 中AB ＝2，∠A ＝120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK ＋QK 的最小值为 .

（3）如图6－1－3③，锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，AD 平分∠BAC ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是 .

3.（1）如图6－1－4①，∠AOB ＝45°，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，则△PQR 周长的最小值是 .

（2）如图6－1－4②，点A （a ，1）、B （－1，b ）都在双曲线y ＝3x

-

(x <0)上，点P 、Q 分别

是x 轴、y 轴上的动点，当四边形PABQ 的周长取最小值时，PQ 在直线的解析式是（ ）.

A .y ＝x

B .y ＝x ＋1

C .y ＝x ＋2

D .y ＝x ＋

3

B

图6－1－3

图6－1－

3

C

B

图6－1－2

图6－1－2图6－1－2

4. 如图6－1－5已知，直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B

到直线b的距离为3，AB＝

a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a

且AM＋MN＋NB的长度和最短，则此时AM＋NB＝（）

A.6

B.8

C.10

D.12

（二）“小虫爬行问题”

【通法】见“小虫爬行问题”作展开图构造Rt△，再用勾股定理求之.

例6－1－2（1）如图6－1－6①，已知长方体的长为AC＝2cm，宽BC＝1cm，高AA′＝4cm，一只蚂蚁沿长方体的表面从A点爬到B′点的最短路径是多少？

【规律】“小小相加凑一边时路径最短.”

（2）如图6－1－6②，圆柱形杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少cm?

【规律】“一点内一点外要用轴对称.”

体验与感悟6－1－2

1.（1）如图6－1－7①，长方体的长宽高分别为15、10、20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，最短距离是（）

A

B.25 C

5D.35

A

C

蚂蚁

蜜蜂

A

B

C

D

A′

B′

C′

D′

图6－1－

6

A

B

O

P

R

a

b 图6－1－4图6－1－5

图6－1－6