子空间的直和
子空间的直和
§6.7 子空间的直和
再证 Pn V1 V2 .
任取 V1 V2, 即 V1且 V2 . 由 V1, 必有 Pn, 使A . 由 V2 , 有A 0. 从而 A A2 A( A ) A 0.
V1 V2 0
所以 Pn V1 V2 .
（3）Vi Vj 0,i 1,2,
ji
§6.7 子空间的直和
s
, s （4）dimW dimVi
i 1
例1 每一个n 维线性空间都可以表示成 n 个一维
子空间的直和.
证：设 1, 2 , , n 是 n 维线性空间V的一组基,
则 V L(1, 2 , , n ) L(1 ) L( 2 ) L( n )
s
是唯一的，则和 Vi 就称为直和，记作
i 1
V1 V2 Vs
§6.7 子空间的直和
2、判定
设 V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，则下面 四个条件等价:
s
（1）W Vi 是直和
i 1
（2）零向量分解式唯一，即
1 2 s 0, i Vi , 必有 i 0, i 1, 2, , s
§6.7 子空间的直和
A(k ) kA k0 0 V2 , k V2
故 V2 是 Pn的子空间.
§6.7 子空间的直和
（2）先证 P n V1 V2 .
任取 Pn, 有 A ( A ),
其中 A V1, 又 A( A ) A A2 A A 0 A V2 . 于是有 V1 V2 . Pn V1 V2 .
§6.7 子空间的直和
2、和 V1 V2是直和 V1 V2 0.
证：“ ”
若 1 2 0, 1 V1, 2 V2 .
子空间的直和的充要条件
子空间的直和的充要条件一、引言在线性代数中，子空间是向量空间的一个重要概念。
直和则是子空间的一个重要性质。
本文将介绍子空间的直和以及充要条件。
二、子空间2.1 定义向量空间V中的非空子集U称为V的子空间，如果U对于向量加法和数乘运算也构成一个向量空间。
2.2 子空间的性质•零向量属于任意子空间•对于任意u，v属于U，u+v也属于U•对于任意k，u属于U，ku也属于U三、直和3.1 定义设V是线性空间，W1和W2是V的两个子空间。
如果满足以下两个条件，则称W1与W2的直和为V：•V = W1 + W2：即任意v属于V都可以表示为v = w1 + w2，其中w1属于W1，w2属于W2。
•W1 ∩ W2 = {0}：即W1与W2只有零向量交集。
3.2 直和的几何理解直和可以理解为两个子空间在几何上没有交集，并且它们的所有组合可以覆盖整个向量空间V。
四、充要条件子空间的直和有以下充要条件：4.1 直和的充要条件一设W1和W2是向量空间V的两个子空间，则V是它们的直和当且仅当对于任意v属于V，存在唯一的v1属于W1和v2属于W2，使得v = v1 + v2。
4.2 直和的充要条件二设W1和W2是向量空间V的两个子空间，则V是它们的直和当且仅当维数公式成立：dim(V) = dim(W1) + dim(W2)。
4.3 证明充分性证明：如果存在唯一的v1属于W1和v2属于W2，使得v = v1 + v2，那么对于任意v属于V，都可以表示为v = v1 + v2。
这说明V = W1 + W2。
另外，假设存在一个非零向量w同时属于W1与W2，则w既属于W1又属于W2，那么存在唯一的w’属于W1和w’‘属于W2，使得w = w’ + w’’。
由此可知w也可以表示为其他两个不同向量之和，与唯一性矛盾。
因此，W1与W2的交集只有零向量。
必要性证明：如果V是两个子空间W1和W2的直和，那么对于任意v属于V，都可以表示为v = w1 + w2，其中w1属于W1，w2属于W2。
7.子空间的直和
反之,若 V1 V2 直和，则 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 r s
从而 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 的秩为r＋s . 所以 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关.
§6.7 子空间的直和
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间，则下面
§6.7 子空间的直和
三、多个子空间的直和
1、定义
V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，若和
sБайду номын сангаас
Vi V1 V2 Vs 中每个向量 的分解式
§6.7 子空间的直和
一、两个子空间的直和 二、余子空间 三、多个子空间的直和
§6.7 子空间的直和
引入
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，由维数公式 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
有两种情形： 1) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0, 即，V1 V2 必含非零向量.
§6.7 子空间的直和
注意：
余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 如，在R3中，设
1 (1,1,0), 2 (1,0,0), 1 (0,1,1), 2 (0,0,1) 令 U L(1,2 ), W1 L(1 ), W2 L(2 ), 则 R3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
§6.7 子空间的直和
证：由题设，V1 L(1, 2 , , r ), dimV1 r V2 L(1,2 , ,s ), dimV2 s
V1 V2 L(1, 2 , , r ,1,2 , ,s ). 若 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关，
6[1].7 子空间的直和
![6[1].7 子空间的直和](https://img.taocdn.com/s3/m/4f06861652d380eb62946d74.png)
1 - 1 = 0 , 2 - 2 = 0 , 即 1 = 1 , 2 = 2 .
这就是说，向量 的分解式是唯一的.
证毕
推论 和 V1 + V2 为直和的充分必要条件是
V1 ∩ V2 = { 0 } .
证明 先证充分性. 假设有等式
1 + 2 = 0，
那么
1 V1 , 2 V2 ,
是唯一的，这个和就称为直和. 记为 V1 V2 … Vs .
和两个子空间的直和一样，我们有
定理 4 设 V1 , V2 , … , Vs 都是线性空间 V
的子空间，则下面这些条件是等价的：
1) W Vi 是直和；
2) 零向量的表法唯一； 3) Vi
V
j i
j
{0}
(i 1,2,, s) ;
则 R 3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
例 3 设 V = P 3，U = L(1 )， 1 = (1, 1, 1)，
求 U 的补空间 W .
解 要求补空间 W，即要求 W 的一组基. 只需
把 U 的基扩充为 P 3 的基. 取
e1 = (1, 0, 0), e2 = ( 0, 1, 0),
② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如，R3的子空间
V1 L( 1 , 2 ), V2 L( 2 , 3 ), V3 L( 3 )
这里， 1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)
在和 V1 V2 中，向量的分解式不唯一，如
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
充分性.
设 V1 + V2 1 + 2 ， 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2.
51-子空间直和的判定与证明
子空间直和的判定与证明一、直和的定义：设V1，V2是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量α的分解式α=α1+α2，α1V1，α2V2，是惟一的，这个和就称为直和，记为V1⊕V2.二、判定定理：1.定理：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式α1+α2=0，αiVi （i=1,2）只有在αi全为零向量时才成立.证明：要证明零向量的分解式是唯一的即可。
必要性：显然成立；充分性：设αV1+V2，它有两个分解式α=α1+α2=β1+β2，αi,βiVi （i=1,2）于是（α1-β1）+（α2-β2）=0.其中αi-βiVi （i=1,2）.由定理的条件，应有α1-β1=0，αi=βi （i=1,2）.这就是说，向量α的分解式是唯一的。
2.定理：和V1+V2为直和的充分必要条件是V1∩V2={0}.证明：充分性：假设α1+α2=0，αiVi （i=1,2）那么α1=-α2 V1∩V2.由假设α1=α2=0.这就是证明了V1+V2是直和。
必要性：任取向量αV1∩V2，于是零向量可以表成0=α+（-α），αV1，—αV2.因为是直和，所以α=-α=0，这就证明了V1∩V2={0}.3.定理：设V1，V2是线性空间V的子空间，令W= V1+V2，则W= V1⊕V2的充分必要条件是维（W）=维（V1）+维（V2）.证明：充分性：维（W）=维（V1）+维（V2），由维数公式知，维（V1∩V2）=0，则V1∩V2={0}，由定理2得，V1+V2是直和。
必要性：因为维（W）+维（V1∩V2）=维（V1）+维（V2），由定理2得，V1+V2是直和的充分必要条件是V1∩V2={0}，这与维（V1∩V2）=0等价，则维（W）=维（V1）+维（V2）.4.定理：设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W，使V=U⊕W.证明：取U得一组基α1，……，αm，把它扩充为V的一组基α1，……，αm，αm+1，……，αn，令W=L（αm+1，……，αn）.W即满足条件。
6.7 子空间的直和
第六章 线性空间学习单元7： 子空间的直和_________________________________________________________● 导学学习目标：了解子空间的直和的概念；理解子空间的直和的判别；掌握证明线性空间V 是两个子空间的直和的证明方法。
学习建议：本学习单元的理论比较抽象，建议大家认真看书，深刻理解概念及定理的条件与结论，通过例题掌握证明方法。
重点难点：重点：深刻理解子空间的直和的概念与判别法。
难点：线性空间分解成两个子空间的直和的证明。
_________________________________________________________● 学习内容一、直和的概念观察两个子空间的和的特点例 212,{(,,0)|,},{(0,,)|,}V P V a b a b P V x y x y P ==∈=∈，则12V V V +=，但V 中向量表为1V 与2V 中向量的和时表法不唯一，如(1,7,4)(1,2,0)(0,5,4)(1,3,0)(0,4,4)=+=+ 又12{(,,0)|,},{(0,0,)|}V a b a b P V x x P =∈=∈。
则12V V V +=，而V 中向量表为1V 与2V 中向量的和时表法唯一。
定义 V 为P 上线性空间，12,V V V ≤，如果12V V +中向量表为1V 与2V 中向量的和时，表法唯一，即由1212111222,,,,V V αααββαβαβ=+=+∈∈可推出1122,αβαβ==，则称这个和为直和，记为12V V ⊕。
二、直和的判别定理 设12,V V 为数域P 上线性空间V 的两个子空间，则下列几条等价。
（1）1212V V V V +=⊕；（2）12V V +中零向量表法唯一；（3）12{0}V V =I ；（4）1212dim()dim dim V V V V +=+。
推广定理 设1,,s V V V ≤L ，则下列几条等价。
子空间的和与直和
5.5 子空间的和与直和授课题目：子空间的和与直和.教学目标：1．理解并掌握子空间的概念.2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念.授课时数：3学时教学重点：子空间的判别. 教学难点：子空间的交与和． 教学过程： 一 子空间的的和回忆:令W 是数域F 上向量空间V 的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W 是V 的一个子空间. 一个向量空间V 本身和零空间叫做V 的平凡子空间。
V 的非平凡子空间叫做V 的真子空间。
1. 定义：设12,W W V ⊆，则称V 的子集{}121122/,W W αααα+∈∈ 为1212w w W W +与的和，记为即12W W +={}121122/,W W αααα+∈∈定理5.5.1：若12,W W 均为V 的两个子空间，则12W W +仍然是子空间.证明：12,W W θθθθθ∈∈∴=+∈ 12W W +故12W W +≠φ对121212,,,,a b F W W αβαααβββ∀∈∉+=+=+有，111222,,,W W αβαβ∈∈ 12W W +均为v 子空间.∴111222,a b W a b W αβαβ+∈+∈于是()()()()1212112212a b a b a b a b W W αβααββαβαβ+=+++=+++∈+∴12W W +是V 的子空间。
推广：12,,,n W W W V n 为的个子空间，则{}12121122/,,,n n n n W W W W W W αααααα+++=+++∈∈∈仍然是V 的子空间.补充：若W =L ()ααα,,, ，(),,,W L βββ=证明：∈γ12W W +，有βαγ+=，12,W W αβ∈∈ 设r r k k k αααα+++= 2211t t l l l ββββ+++= 2211∴ =+=βαγr r k k k ααα+++ 2211+βββt l l l +++ 2211 ∴12W W +=L ()t r βββααα,,,,,,,2121定理5.5.2 维数定理。
§7子空间的直和
W1 W2 L(1 ,, m ) L( 1 ,, s )
L(1 ,, m , 1 ,, s )
故 1 , 2 ,, m , 1 , 2 ,, s 的秩
dim(W1 W2 )
dim W1 dim W2 m s
是 W1 W2 的基. W1 W2 ,令
1 2 1 2 , 1 ,1 W1 , 2 ,2 W2
设
1 k11 k2 2 km m 2 l1 1 l2 2 l s s
1 l2 2 ls s 2 km m 2 l1 1 k11 k2
4) dim(W1 W2 Wt ) dimW1 dimW2 dimWt ; 5) 各取合起来构成的基.
例3 设
P nn 的子空间
S
A A P nn , A A ,
T A A P nn , A A
证明:
S T P nn .
0 1 2 , 1 W1 , 2 W2
则 1 0, 2 0 ;
3)
W1 W2 0.
证明 1) 2)显然的
.
2) 3) W1 W2 ,则 W1 , W2 ,由
0 ( ),因而 0 ,故 W1 W2 0 3) 1) 设 W1 W2 中的向量 的分解式为
1 2 , 1 W1 , 2 W2
是唯一的.称 W1 W2 为直和(direct sum), 记为 W1 W2
下面,我们讨论子空间的和是直和的等价条件. 定理7.1 设为数域上的线性空间的两个子空间.则下 列命题等价: 1) W1 W2 是直和; 2) 零向量分解式是唯一的.即若
多个子空间的直和的等价条件
多个子空间的直和的等价条件好嘞，今天咱们聊聊数学里一个挺有意思的话题——多个子空间的直和的等价条件。
听起来复杂？别急，慢慢来，我会把它讲得轻松点。
想象一下，你在家里，厨房、客厅、卧室，这些都是你生活的不同空间。
每个空间都有自己的功能和特色，但它们又共同构成了你这个家的整体。
这个概念放到数学里也差不多。
好了，咱们进入正题。
多个子空间的直和其实就是把几个空间拼在一起，形成一个更大的空间。
这就像把几个乐器放在一起，弹出美妙的和声。
可是，问题来了，不是所有的子空间都能“合得来”。
比如说，如果你有两个子空间，一个是“喜欢安静”的小书房，另一个是“热爱派对”的客厅，怎么拼在一起才能不打架呢？这就是我们要解决的问题。
直和有个基本条件，那就是这些子空间的交集只能是零空间。
简单说，就是它们不能有重叠。
如果小书房和客厅里都放了一个沙发，那可就麻烦了。
因为一张沙发不可能同时在两个地方，对吧？这就叫做“相交为零”，也就是说，咱们得确保每个子空间里的元素都是独一无二的，这样拼起来才不会出错。
接下来还有一点，如果你能找到一些基底，能把整个空间表达出来，那就是另外一回事了。
这就好比你把每个房间的特色都写在纸上，列出每个房间最重要的家具。
只要你能把这些家具合理地摆放到新房间里，就能重新创建出一个和谐的家。
这样的话，任何一个空间都能用这些基底中的元素表示出来，就没有什么问题了。
这时候，你可能会问，咱们怎么确认这些条件呢？其实也不难。
你可以尝试把空间里的元素拿出来，做个小实验。
就像做菜一样，先把所有材料都准备好，然后看看哪些能混合，哪些不能。
你可以找一些特殊的元素，试着把它们组合在一起，如果最终形成的结果还在这个大空间里，那就说明条件成立。
别忘了，数学可不止是冷冰冰的公式，有时候也需要点创造力。
就像你在厨房里试验新菜谱，有时候成功，有时候失败，这都是正常的。
多个子空间的直和就像是一次大餐，只有每个部分都协调，最后才能上桌，给大家带来美好的享受。
高等代数§6.7子空间的直和
由 V1 , 必有 P , 使A .
n
由 V2 , 有A 0.
从而
A A A( A ) A 0.
2
V1 V2 0
所以 P n V1 V2 .
练习 1 设V1 、V2分别是齐次线性方程组① 与②的
解空间： x1 x2 xn 0 ① ②
(2,2,2) (2,3,0) (0, 1,2) (2,1,0) (0,1,2)
所以和 V1 V2不是直和.
而在和 V1 V3 中，向量 (2,2,2)的分解式是唯一的，
(2,2,2) (2,2,0) (0,0,2)
事实上，对 (a1 , a2 , a3 ) V1 V3 ,
2) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
此时 dim(V1 V2 ) 0,
V1 V2 不含非零向量，即 V1 V2 0
情形2）是子空间的和的一种特殊情况
直和
一、直和的定义
设 V1 ,V2为线性空间V的两个子空间，若和 V1 V2 中每个向量 的分解式
n
V1 V2
又 dimV dimV ( n 1) 1 n dim P n 1 2
P n V1 V2
练习： 2、和 V1 V2 Vs 是直和
Vi V j 0 ,
j 1 i 1
i 1,2,, s
证: " " 若V1 V2 Vs 是直和,
§6.7 子空间的直和
一、直和的定义
二、直和的判定 三、多个子空间的直和
引入
设 V1 ,V2为线性空间V的两个子空间，由维数公式
子空间的直和与因子空间
子空间的直和与因子空间子空间是线性代数中的重要概念，它在研究向量空间时起着关键的作用。
子空间的直和和因子空间是子空间的重要衍生概念，它们在向量空间的分割和表示上发挥着重要的作用。
一、子空间的直和子空间的直和是指由两个或多个子空间组成的全新子空间。
设V是向量空间，W1和W2是V的两个子空间。
如果V中的任意一个向量既可以表示为W1中的一个向量和W2中的一个向量之和，又可以唯一地这样表示，那么我们就称V是W1和W2的直和，记作V=W1⊕W2。
例如，若V=R3，W1是R3中所有满足x1+x2+x3=0的向量构成的子空间，W2是R3中所有满足2x1-3x2+x3=0的向量构成的子空间。
则V是W1和W2的直和。
直和的概念可以推广到多个子空间的情况。
设V是向量空间，W1、W2、...、Wn是V的n个子空间。
如果V中的任意一个向量既可以表示为W1、W2、...、Wn中的向量之和，又可以唯一地这样表示，那么我们就称V是W1、W2、...、Wn的直和，记作V=W1⊕W2⊕...⊕Wn。
子空间的直和具有以下性质：1. 若V=W1⊕W2，则V中的任意一个向量都可以唯一地表示为W1中的一个向量和W2中的一个向量之和。
2. 若V=W1⊕W2⊕...⊕Wn，则V中的任意一个向量都可以唯一地表示为W1、W2、...、Wn中的向量之和。
二、因子空间因子空间（也称为商空间）是指用一个向量空间V的子空间W对V进行分割而得到的新的向量空间。
设V是向量空间，W是V的子空间，我们记为V/W。
在V/W中，等价类[x]代表了所有形如x+w的向量的集合，其中x属于V，w属于W。
换言之，[x]是由W平移x得到的平行于W的子空间。
因子空间的概念可以理解为对子空间的一种降维运算。
通过因子空间，我们可以将原始向量空间V映射到一个低维的向量空间，而这个低维空间的维度就是原始向量空间V中子空间W的维度。
因子空间在理论研究和实际计算中都有广泛的应用和意义。
三、子空间的直和与因子空间的关系子空间的直和与因子空间之间存在着密切的关系。
子空间的直和与直和分解
子空间的直和与直和分解在线性代数中，我们学习了向量空间的概念和性质。
而向量空间可以由子空间构成，子空间是向量空间中的一个非空集合，满足加法和标量乘法封闭性的子集。
本文将探讨子空间之间的直和和直和分解。
一、子空间的直和在向量空间V中，如果存在子空间U和W，满足两个条件：1.U∩W={0}；2. V是U和W的和集，即任意向量v∈V可以表示为u+w 的形式，其中u∈U，w∈W；那么我们称子空间U和W的直和为子空间V的直和。
直和的概念可以类比于数字的加法。
例如，我们将数字3表示为1+2，其中1和2是3的因子。
同样地，如果向量v可以表示为u+w，其中u和w是v的因子，那么我们可以将向量v看作是子空间U和W 的直和。
二、子空间的直和分解在向量空间V中，如果存在子空间U和W，满足两个条件：1.U∩W={0}；2. 任意向量v∈V，都可以唯一地表示为u+w的形式，其中u∈U，w∈W；那么我们称v关于子空间U和W的直和分解。
直和分解是一种将向量分解为两个子空间的方法。
这种分解在很多算法和数学问题中都有广泛的应用。
例如，对于矩阵的特征值分解和奇异值分解等问题，都可以采用直和分解的方式来求解。
三、子空间的例子与应用1. 平面的直和分解：考虑平面上的向量空间R^2，其中存在两个子空间U和W，分别表示x轴和y轴上的向量。
显然，两个子空间的交集为零向量{0}，任意向量v可以唯一地表示为x轴和y轴上的分量之和。
因此，平面的直和分解是R^2的一种典型示例。
2. 空间的直和分解：类似地，在三维空间R^3中，我们可以将空间分为三个子空间：XY平面、YZ平面和ZX平面。
这三个平面两两相交于一条直线，即它们的交集为零向量{0}。
因此，任意向量v可以唯一地表示为这三个平面上的分量之和。
子空间的直和和直和分解在线性代数的理论和实践中具有重要作用。
它们不仅可以帮助我们理解向量空间的性质和结构，还可以应用于各种数学和工程问题中，例如线性方程组的求解、矩阵分解和数据压缩等。
子空间的和与直和的区别
直和的数学定义
直和的定义是指两个或多个向量或子空间合并成一个新的向量或子空间，其中每个原始向量或子空间都是该新向量或子空间 的一个子集。
直和可以通过向量的加法运算或子空间的直积来定义。
直和的物理意义
直和在物理中有广泛的应用 ，例如在量子力学、电磁学
和机械力学等领域中。
1
在量子力学中，直和可以用 于描述两个或多个量子态的
THANKS
感谢观看
应用上的区别
子空间和的应用
子空间和在信号处理、图像处理等领域中有 着广泛的应用。例如，可以将一个信号分解 为多个子空间的叠加，从而对信号进行更好 的分析和处理。
直和的应用
直和在数学、物理等领域中有着广泛的应用 。例如，在数学中，可以将多个向量空间中 的元素进行直和，从而得到一个新的向量空 间；在物理中，可以将多个物理量进行直和 ，从而得到一个新的物理量。
子空间和可以描述物理系统的组合，例如两个粒子的状态可以表示为两个子空间的 和。
子空间和可以描述量子叠加态，即多个量子态的组合。
02 直和的定义
直和的基本概念
直和是一种数学概念，用于描述两个或多个向量或子空间的合并方式。
直和是一种特殊的向量或子空间合并方式，其中两个或多个向量或子空间合并成一个新的向量或子空 间。
构成。
子空间和的物理应用例子
要点一
量子力学
在量子力学中，波函数是一种重要的物理量，它描述了粒 子的状态。波函数可以定义在一个无限维的函数空间中， 而这个空间的子空间可以用来描述不同的物理状态。
要点二
信号处理
在信号处理中，常常需要将信号投影到一个低维子空间中 以实现信号的压缩和降噪。例如，在主成分分析中，原始 数据可以被投影到一个由数据的主要成分构成的子空间中 。
子空间直和的判定与证明
子空间直和的判定与证明子空间的直和是指两个或多个子空间的并等于它们的直和。
在线性代数中，我们经常需要判断两个子空间的直和关系，并且需要给出证明。
下面将详细介绍子空间直和的判定和证明方法。
首先，我们先回顾子空间的定义。
设V是一个线性空间，U和W是V 的两个非空子集。
如果U和W都是V的子空间，并且U和W的和空间等于V，即U+W=V，则称U和W是V的一个直和，记作V=U⊕W。
接下来我们来讨论子空间直和的判定方法。
设V是一个线性空间，U 和W是V的两个子空间。
要判断U和W是否是V的直和，我们需要验证以下三个条件：1.U+W=V：也就是说，对于V中的任意一个向量v，都可以表示为v=u+w的形式，其中u属于U，w属于W。
2.U∩W={0}：也就是说，U和W的交集只包含零向量。
3.U和W的交集只有零向量时，任意向量u+w=0的表示方式唯一、也就是说，如果u1+w1=u2+w2，其中u1和u2属于U，w1和w2属于W，则u1=u2，w1=w2当满足上述三个条件时，我们可以得出结论，U和W是V的直和。
接下来我们来看一个具体的例子，并给出证明。
例子：设V=R^3，U和W是V的两个子空间，其中U={(x,y,z)，x+y+z=0}W={(x,y,z)，x=y=z}我们需要判断U和W是否是V的直和。
首先，我们验证条件1：对于V中的任意一个向量(x,y,z)，是否都可以表示为v=u+w的形式，其中u属于U，w属于W。
可以取一个任意向量(x,y,z)，我们需要找到u和w，使得x=u+w满足。
观察U的定义可以得到，当x+y+z=0时，向量(x,y,z)属于U。
同理，当x=y=z时，向量(x,y,z)属于W。
当我们取u=(x,y,z)和w=(0,0,0)时，显然u属于U，w属于W，并且u+w=(x,y,z)。
所以，条件1满足，即U+W=V。
其次，我们验证条件2：是否有U∩W={0}。
显然，U和W的交集就是满足x+y+z=0且x=y=z的向量。
子空间直和的判定与证明
子空间直和的判定与证明一、直和的定义：设V1，V2是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量α的分解式α=α1+α2，α1∊V1，α2∊V2，是惟一的，这个和就称为直和，记为V1⊕V2.二、判定定理：1.定理：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式α1+α2=0，αi∊Vi （i=1,2）只有在αi全为零向量时才成立.证明：要证明零向量的分解式是唯一的即可。
必要性：显然成立；充分性：设α∊V1+V2，它有两个分解式α=α1+α2=β1+β2，αi,βi∊Vi （i=1,2）于是（α1-β1）+（α2-β2）=0.其中αi-βi∊Vi （i=1,2）.由定理的条件，应有α1-β1=0，αi=βi （i=1,2）.这就是说，向量α的分解式是唯一的。
2.定理：和V1+V2为直和的充分必要条件是 V1∩V2={0}.证明：充分性：假设α1+α2=0，αi∊Vi （i=1,2）那么α1=-α2∊ V1∩V2.由假设α1=α2=0.这就是证明了V1+V2是直和。
必要性：任取向量α∊V1∩V2，于是零向量可以表成0=α+（-α），α∊V1，—α∊V2.因为是直和，所以α=-α=0，这就证明了V1∩V2={0}.3.定理：设V1，V2是线性空间V的子空间，令W= V1+V2，则W= V1⊕V2的充分必要条件是维（W）=维（V1）+维（V2）.证明：充分性：维（W）=维（V1）+维（V2），由维数公式知，维（V1∩V2）=0，则 V1∩V2={0}，由定理2得，V1+V2是直和。
必要性：因为维（W）+维（V1∩V2）=维（V1）+维（V2），由定理2得，V1+V2是直和的充分必要条件是V1∩V2={0}，这与维（V1∩V2）=0等价，则维（W）=维（V1）+维（V2）.4.定理：设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W，使V=U⊕W.证明：取U得一组基α1，……，αm，把它扩充为V的一组基α1，……，αm，αm+1，……，αn，令W=L（αm+1，……，αn）.W即满足条件。
§5子空间的交与和直和
1 = ( 0 , b2 , b 3 , … , bn ) W ,
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9
k R 为任意实数. 因为
1 + 1 = ( 0 , a2 + b2, a3 + b3, … , an + bn) W ,
k1 = ( 0 , ka2 , ka3 , … , kan ) W , 即 W 对加法和数量乘法都是封闭的，所以W 是 Rn 的子空间. 取 e2 = (0 , 1 , 0 , … , 0 ) , e3 = (0 , 0 , 1 , … , 0 ) , ………….. en = (0 , 0 , 0 , … , 1 ) .
( A B) A B A B
所以A B W1 . 又设k P , 于是
( kA) kA kA
所以kA W1 . 故W1是P nn的子空间.
设A, B W2 , 则A A, B B, 于是
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8
( A B) A B A B ( A B)
首页上页下页返回结束的解空间那么v就是齐次方程组33在一个线性空间中有首页上页下页返回结束34四维数公式如果是线性空间首页上页下页返回结束如果这个基是空集下面的讨论中不出现但讨论同样能进行35首页上页下页返回结束36首页上页下页返回结束37由第一个等式而由第二个等式因而从而有首页上页下页返回结束38由于线性无关又得线性无关因而它是的一组基首页上页下页返回结束39从维数公式可以看到和的维数往往要比维数的和来得小
是 m + 1 维的. 因为 n - ( m + 1 ) = ( n - m ) -1 = k ,
由归纳法假设， L(1 , 2 , … , m , m +1 ) 的基 1 , 2 , … , m , m +1 可以扩充为整个空间的基. 根据归纳法原理, 定理得证.
子空间的直和
1 0 0 1 0 0
1 1
知1 ,2 ,
,n1 , 线性无关, 从而构成P n的一组基.
于是 P n V1 V2 . 又因
维(V1 ) 维(V2 ) (n 1) 1 n 维( P n )
故 P n V1 V2 .
10
三、直和补
定理10 设 U 是线性空间 V 的一个子空间， 那么一定存在一个子空间 W 使 V = U W .
这说明任意一个n级矩阵都可以表成一个对 称矩阵和一个反对称矩阵的和, 且表法是唯一的.
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7
定理9 设 V1 , V2是V 的子空间,令 W = V1 + V2,
则
W = V1 V2 的充要条件为 维(W ) = 维(V1 ) + 维(V2 ) . 证 因为 维(W) + 维(V1∩V2 )= 维(V1) + 维(V2) ,
这时W 叫做 U 的直和补空间(简称直和补) ,显 然U 也是W 的直和补.
证 设1 ,2， ,m 是U的一组基, 将它扩充为
V的一组基: 1 ,2， ,m ,m1 ,m 2， ,n . 令
W L(m1 , m 2， , n ),
则W 即满足要求.
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例如 在R3中, 用V1 表示过原点的直线, V2 表示 一个过原点且与V1垂直的平面, 则V1 ,V2的和V1 V2 是直和.
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二、直和的充分必要条件
定理8 和 V1 + V2 是直和的充要条件是等式 1 + 2 = 0, 1 V1 , 2 V2 , 只有在1 , 2 全为零向量时才成立. 证 定理的条件实际上就是：零向量的分解 式是唯一的. 因而这个条件显然是必要的. 下面来 证这个条件的充分性. 设 V1 + V2 ，它有两个分解式 = 1+2 = 1+2 ，1 , 1 V1 , 2 , 2 V2. 于是
6.7 子空间的直和
一. 子空间直和的概念 二. 子空间直和的性质 三. 直和概念的推广及性质
一 子空间直和的概念
定义 9 V1，V2 是 V 的子空间，和 V1 +V2 称为直和，记成 V1 V2
V1+V2, 1 2 的分解式唯一（i Vi，i 1，2）
由该证明可得如下结论：设1, ,m,m1, ,n 是线性空间 V 的 基，则 V L(1, ,m,m1, ,n ) L(1, ,m ) L(m1, ,n )
三. 直和概念的推广及性质
定义 10 设 V1, V2 , , Vs 是 V 的子空间，若和 V1 V2 Vs 中每个
向量 的分解式 1 2 s (i Vi ,i 1, 2, ,s) 唯一，则称该和
为直和，记为 V1 V2 Vs .
定理 11
V1, V2 , , Vs 是 V 的子空间，则以下条件等价：
1) W Vi 是直和；
2) 零向量的表法唯一；
3) Vi
Vj {0}；
ji
4) dim W dimVi .
即说： V1 +V2 是直和 零向量 0 的分解式唯一.
证明： 显然. 1 2 1 2 , i , i Vi , i 1, 2
(1 1) (2 2 ) 0，i i Vi，i=1，2 题设
1 1 2 2 0 ，即i i，i 1，2 .
4. (定理 10) 设 U 是 V 的子空间 存在子空间 W，使 V UV . 证明： 取 U 的基1, ,m ，将其扩充为 V 的基1, ,m,m1, ,n ， 令 W L(m1, ,n ) → U W L(1, ,m ) L(m1, ,n ) ， a11 amm bm1 m1 bnn 因1, ,m ,m1, ,n 是 基 可推出 a1 am bm1 bn 0 ，即 0 V U V . □