判别式韦达定理经典题型讲解修订稿
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项-精选.
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项一、一元二次方程跟的判别式的常见题型 题型1：不解方程，判断一元二次方程根的情况.6232)3(;0123)2(;0345)1(222x x x x x x =+=++=--题型2：证明一元二次方程根的情况求证：无论k 取何实数，关于x 的一元二次方程：2(1)40x k x k -++-=总有两个不等实根。
题型3：已知一元二次方程根的情况．．，求方程中未知系数的取值范围 1．（ 2011·重庆）已知关于x 的一元二次方程．．．．．．(a －1)x 2－2x +1=0有两个不相等的．．．．．．实数根,则a 的取值范围是( )A.a <2 B,a >2 C.a <2且a ≠1 D.a <－2· 变式1：（2010·安徽芜湖）关于x 的方程．．(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根．．．．，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5注意：要特别注意二次项系数是否为0，即原方程是否“一定为一元二次方程”。
变式2：（2010 ·成都）若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数．．．．值.变式3：已知关于x 的一元二次方程(12)10k x k x --=有两个实数根，求k 的取值范围二、一元二次方程根与系数的关系------韦达定理的常见题型 题型1：已知一元二次方程的一根，求另一根及未知系数k 的值 已知23-是方程210x kx ++=的一根，则方程的另一根是 ，k = 。
题型2：求与一元二次方程根有关的代数式的值； 1. 已知12,x x 是方程22430xx --=的两根，计算： （1）2212x x +； ⑵ 1211x x +；⑶212()x x -变式：已知,a b是方程2201230x x -+=的两实根，求22(20103)(20103)a a b b -+-+的值题型3：已知一元二次方程两根的关系．．．．．，求方程中未知系数的取值 1． 关于x 的一元二次方程22(21)10xk x k +-+-=的两个实根的平方和等于9，求k 的值变式1： （2011·荆州）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是（ ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ． 2注意：要特别注意应用韦达定理的前提条件是原方程有实根，即原方程：△≥0。
第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理(精讲)(解析版)
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（解析版）【知识点透析】1、一元二次根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac∆=-(1) 当Δ=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当Δ=240b ac -=时，因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-(3) 当Δ=240b ac -<时，因此，方程没有实数根．【知识点精讲】【例1】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【解析】：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-(1) 141203k k ->⇒<；(2) 141203k k -=⇒=；(3) 141203k k -≥⇒≥；(4) 141203k k -<⇒<．【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x 的不等式组6x ―a ≥―10―1+12x <―18x +32有且只有4个整数解，且关于x 的一元二次方程(a ―5)x 2+4x +1=0有实数根的所有整数a 的值之和为（ ）A ．35B ．30C ．26D ．21【答案】B【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a 的取值范围，再通过根的判别式确定a 的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．【详解】解：整理不等式组得：6x ―a ≥―10①―8+4x <―x +12②由①得：x ≥a ―106，由②得：x<4∵不等式组有且只有4个整数解，∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，∴―1<a―106≤0，解得：4<a≤10，∵(a―5)x2+4x+1=0有实数根，∴Δ=b2―4ac=16―4×(a―5)×1=36―4a≥0,解得：a≤9，∵方程(a―5)x2+4x+1=0是一元二次方程，∴a≠5∴4<a≤9，且a≠5，满足条件的整数有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，故选：B．【变式2】．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k―12）＝0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长．【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k―12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：∵x=2k+1±(2k―3)2，∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，当a 、b 为腰，则a ＝b ＝4，即2k ﹣1＝4，解得k =52，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；当b 、c 为腰时，b ＝c ＝2，此时b +c ＝a ，故此种情况不存在．综上所述，△ABC 的周长为10．【例2】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．【解析】：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+=由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-=【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）已知a ，b ，c 满足a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，则a ―b +c 的值为（ ）A ．―1B ．5C ．6D ．―7【答案】B【分析】首先把a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，两边相加整理成a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0，分解因式，利用非负数的性质得出a 、b 、c 的数值，代入求得答案即可．【详解】解：∵a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a =―，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0∴(a ―1)2+(b +3)2+(c ―1)2=0，∴a =1，b =―3，c =1，∴a ―b +c =1+3+1=5．故选：B ．【变式2】（（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）新定义，若关于x 的一元二次方程：m (x ―a )2+b =0与n (x ―a )2+b =0，称为“同类方程”．如2(x ―1)2+3=0与6(x ―1)2+3=0是“同类方程”．现有关于x 的一元二次方程：2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”．那么代数式ax 2+bx +2022能取的最大值是_________．【答案】2023【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a ，b 的值，从而解得代数式的最大值．【详解】∵2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)(x ―1)2+1，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)x 2―2(a +6)x +a +7，∴b +8=2(a +6)6=a +7 ，解得：a =―1b =2，∴a x 2+bx +2022=―x 2+2x +2022=―(x ―1)2+2023∴当x =1时，a x 2+bx +2022取得最大值为2023．故答案为：2023．2、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12b x x a+==-，12244ac c x x a a⋅====韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a+=-=【知识点精讲】【例3】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2) 1211x x +；(3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2) 121212112220072007x x x x x x +-+===-(3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【例4】．已知关于x 的方程220x mx m -+=.（1）若2m =-，方程两根分别为1x ，2x ，求12x x -和3312x x +的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m 的取值范围.【答案】．（14- （2）m <0【解析】（1）由22121212=()4x x x x x x -+-，33212121212()[()3]x x x x x x x x +=++-，借助韦达定理求解.（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.【详解】（1）当2m =-时，2222x x +-=即：210x x +-=1212140,1,1x x x x ∆=+>+=-=-因此：2212121212=()45x x x x x x x x -+-=∴-=3322212121212121212()[]()[()3]4x x x x x x x x x x x x x x +=++-=++-=-（2）220x mx m -+=212128,,22m m m m x x x x ∆=-+==21280002m m m m x x ⎧∆=->⎪∴<⎨=<⎪⎩【变式1】已知两不等实数a ，b 满足222a a =-，222b b =-，求22b a a b +的值.【解析】：b a ,是一元二次方程0222=-+x x 的不等实根则有2,2-=-=+ab b a原式=5)(]3))[(()())(()(22222233-=-++=+-+=+ab ab b a b a ab b ab a b a ab b a 【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m 是不小于﹣1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2（m ﹣2）x ＋m 2﹣3m ＋3＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)若x 21+x 22=2，求m 的值；(2)令T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，求T 的取值范围．【答案】(1)1 (2)0<T ≤4且T ≠2【分析】首先根据方程有两个实数根及m 是不小于-1的实数，确定m 的取值范围，根据根与系数的关系，用含m 的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x 12+x 22为（x 1+x 2）2-2x 1x 2，代入用含m 表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m 的取值范围得到m 的值；（2）化简T ，用含m 的式子表示出T ，根据m 的取值范围，得到T 的取值范围．(1)∵关于x 的方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0有两个实数根，∴Δ=4（m -2）2-4（m 2-3m +3）≥0，解得m ≤1，∵m 是不小于-1的实数，∴-1≤m ≤1，∵方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0x 1，x 2，∴x 1+x 2=-2（m -2）=4-2m ，x 1•x 2=m 2-3m +3．∵x 12+x 22=2，∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=2，∴4（m -2）2-2（m 2-3m +3）=2，整理得m 2-5m +4=0，解得m 1=1，m 2=4（舍去），∴m 的值为1；(2)T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，=mx 1(1―x 2)+mx 2(1―x 1)(1―x 1)(1―x 2)=m [(x 1+x 2)―2x 1x 2]1―(x 1+x 2)+x 1x 2=m (4―2m ―2m 2+6m ―6)1―4+2m +m 2―3m +3=―2m(m ―1)2m 2―m=―2m(m ―1)2m (m ―1)=2-2m ．∵当x =1时，方程为1＋2（m ﹣2）＋m 2﹣3m ＋3＝0，解得m =1或m =0．∴当m =1或m =0时，T 没有意义．∴―1≤m <1且m ≠0∴0<2-2m ≤4且T ≠2．即0<T ≤4且T ≠2．【变式3】．已知12x x ，是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；（2）若k 是整数，求使12212x x x x +-的值为整数的所有k 的值．【答案】（1）不存在k ；理由见解析；（2）235k =---，，．【详解】（1）假设存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．∵一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴()()24004441160k k k k k k ≠⎧⎪⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎪⎩，又1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩∴()()()()222121212121212222529x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k < ．∴不存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．（2）∵()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴要使其值是整数，只需1k +能整除4，∴11k +=±，2±，4±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为－2，－3，－5．所以k 的值为235k =---，，【变式4】（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）设一元二次方程x 2―2022x +1=0的两根分别为a ，b ，根据一元二次方程根与系数的关系可知：ab =1，记S 1=11+a +11+b ,S 2=11+a2+11+b2,S3=11+a3+11+b3,⋯,S100=11+a100+11+b100，那么S1+S2+S3+⋯+S100=______．【答案】100【分析】根据ab=1得到b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程x2―2022x+1=0的两根分别为a，b，∴ab=1，∴b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，∴S1=11+a+11+1a=11+a+a1+a=1+a1+a=1，S2=11+a2+11+1a2=11+a2+a21+a2=1+a21+a2=1，S100=11+a100+11+1a100=11+a100+a1001+a100=1+a1001+a100=1，∴S1+S2+S3+⋯+S100=1+1+1+…+1100=100，故答案为：100．。
判别式与韦达定理
判别式与韦达定理一、基本知识：1、一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， 当△＜0时，方程没有实数根． 2、一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么a b x x -=+21，ac x x =21(2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-P ，x 1x 2=qx 1x 2=q(3)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．二、例题讲解：例1 已知关于x 的一元二次方程0221222=-+-k kx x ， （1）求证：不论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设21、x x 是方程的两根，且52221121=+-x x kx x ，求k 之值。
例 2 已知关于x 的方程07442=++b bx x 有两个相等的实数根，21、yy 是关于y 的方程04)2(2=+-+y b y 的两个根，求以21y 、y 为根的一元二次方程。
例3 已知△ABC 的两边长a=3，c=5，且第三边长b 为关于x 的一元二次方程042=+-m x x 的两个正整数根之一，求证△ABC 为直角三角形。
例4 已知关于x 的一元二次方程01222=--+p px x 的两个实数根为1x 和2x 。
（1）若此方程的两根之和不大于两根之积，求p 之值；（2）若p=-1，求2223122x x x ++之值。
例5 若关于x 的方程012=++kx x 的一个根是32+，则方程的另一根是多少？k 值是多少？例6 已知方程012=--x x 的两个实数根为21,x x ，求：(1)2221x x +2111)2(x x + (3)21x x -)1)(1)(4(21--x x三、典型练习：（一）、选择题：1．方程022=+-m x x 的一个根是31+，则另一根和m 的值依次是（ ） A ． 13-和2B. 31-和2C. 31-和-2D. 13-和-22．设21、x x 是方程01322=--x x 的两根，则2111x x +的值是（ ） A ． 3B. -3C. 23D. 23-3．以数52+和52-为两根的一元二次方程是（ ） A ． 0142=-+x x B. 0142=--x x C. 0142=++x xD. 0142=+-x x4．已知方程05107,05207,05107,052072222=-+=-+=++=++x x x x x x x x 中，两根均为负数的方程的个数为（ ）A ． 1 B. 2 C. 3 D. 45、设二次方程02=++q px x 的两个实数根恰为p 、q ，则pq 的值是（ ）A. 0B. -2C. 0或-2D. 非上述答案（二）、填空题：1．若方程0522=+-k x x 的两根之比是2：3，则k= 。
关于韦达定理经典例题及解题过程的文章
关于韦达定理经典例题及解题过程的文章韦达定理（Vieta's formulas）是代数学中的一个重要定理，它描述了多项式的根与系数之间的关系。
这个定理由法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）在16世纪提出，被广泛应用于代数方程的研究和解题过程中。
韦达定理的经典例题之一是求解二次方程的根。
我们先来看一个具体的例子：已知二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，求解该方程的根。
解题过程如下：首先，我们可以通过观察系数得到一些信息。
根据韦达定理，二次方程的两个根之和等于系数b（即-5），两个根之积等于常数项c（即6）。
因此，我们可以得到以下两个等式：根1 + 根2 = -5\n根1 × 根2 = 6接下来，我们需要找到满足这两个等式的两个数。
通过试探法，我们可以发现满足条件的两个数是2和3。
因此，方程的两个根分别为2和3。
这里需要注意的是，在实际解题过程中，并不需要通过试探法来找到满足条件的两个数。
我们可以直接使用韦达定理的公式来求解。
对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0，根据韦达定理，我们可以得到以下两个等式：根1 + 根2 = -b/a\n根1 × 根2 = c/a通过这两个等式，我们可以直接求解出方程的两个根。
回到我们的例子中，二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的系数分别为a=1，b=-5，c=6。
代入韦达定理的公式中，我们可以得到以下结果：根1 + 根2 = -(-5)/1 = 5\n根1 × 根2 = 6/1 = 6因此，方程的两个根分别为2和3，与我们通过试探法得到的结果一致。
通过这个例题，我们可以看到韦达定理在解决二次方程问题中的重要性。
它不仅能够帮助我们找到方程的根，还能够提供关于根与系数之间的关系。
在实际应用中，韦达定理也被广泛用于高阶多项式方程以及其他代数方程的求解过程中。
总结起来，韦达定理是代数学中一个重要且实用的工具。
判别式和韦达定理
第三讲：判别式和韦达定理知识要点：设一元二次方程),,;0(02为实数c b a a c bx ax ≠=++的判别式为⊿ac b 42-=，二根为21,x x ，则（1）当⊿>0时，方程有二不等实数根，反之，亦成立；当⊿<0时，方程无实数根，反之亦成立；当⊿=0时，方程有二相等实数根，反之，亦成立。
（2）a b x x -=+21，a c x x =21。
反之，若二数21,x x 满足a b x x -=+21，a c x x =21，则次二数是方程02=++c bx ax 的二根，这就是韦达定理，即根与系数的关系。
应用举例：一、判别根的性质例1， 已知方程02=++c bx x 的两根为1,4，是判断方程022=++bx cx 的根的情况。
例 2 已知方程022=--m x x 无实数根（m 为实数），试判断方程0)1(22=+++m m mx x 有么有实数根。
二、求某些值21x x + 21x x 21x x -2221x x + 2221x x -2111x x +例3设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，试求2112x x x x +，21x x -的值。
例4 已知方程0)12(22=+++k x k x 的两实数根的平方和等于7，求k 的值。
三、求方程的解提示：已知方程和它的一个根，最好用韦达定理求解例5已知2=x 是方程032=+-b x x 的一根，求此方程的另一根及b 的值。
例6 解方程组：21,311=-=+xy y x 。
1、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x 有两个实数根，则下列关于判别式c b 42-的判断正确的是（ ）A ．042≥-c b ；B ．042≥-c b ；C ．042≥-c b ；D ．042≥-c b ．2、已知一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)中,下列命题是真命题的有（ ）个.①若a +b +c =0，则b 2－4ac ≥0；②若方程ax 2+bx +c =0两根为－1和2，则2a +c =0；③若方程ax 2+c =0有两个不相等的实根，则方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根。
韦达定理经典例题及解题过程
韦达定理经典例题及解题过程韦达定理经典例题及解题过程一、概述韦达定理是初中数学中的一个重要定理，它是数学中的基本原理之一，广泛应用于初中数学和高中数学的相关知识点中。
韦达定理通过等比的概念，可以解决一些复杂的代数方程问题，具有很强的普适性和实用性。
本文将重点介绍韦达定理的相关概念、经典例题及解题过程，希望能让读者对韦达定理有更深入的理解。
二、韦达定理的相关概念1. 韦达定理的基本概念韦达定理是数学上一个重要的定理，它通过等比的概念，解决了关于代数方程的一些问题。
韦达定理的基本说法是：对于一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0，如果它有三个不等实根，那么这三个根分别是p、q、r，那么有以下等式成立：p+q+r=-b/apq+qr+rp=c/apqr=-d/a2. 韦达定理的证明韦达定理的证明可以通过多种方式来完成，其中一种比较常见的方法是使用代数方程的解法和数学归纳法。
我们可以通过对一元三次方程的通解进行分析，最终得到韦达定理的结论。
这个过程需要一定的代数方程知识和数学推理能力。
三、经典例题及解题过程为了更好地理解韦达定理，我们将通过几个经典例题来演示解题过程。
例题一：已知一元三次方程x³-6x²+11x-6=0的根为p、q、r，求p+q+2r的值。
解题过程：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：p+q+r=6pq+qr+rp=11pqr=6根据题目中的要求，我们需要求p+q+2r的值，所以我们可以先求出p+q+r的值，然后再将r的值替换为2r即可。
通过代数方程的解法，我们可以求得p+q+r=6，再将r替换为2r，得到p+q+2r=6+2r的值。
例题二：已知一元三次方程2x³-7x²+7x-3=0的根为p、q、r，求p²+q²+r²的值。
解题过程：同样地，根据韦达定理我们可以得到以下等式：p+q+r=7/2pq+qr+rp=7/2pqr=3/2题目中要求的是p²+q²+r²的值，我们可以通过(p+q+r)²-2(pq+qr+rp)的公式来求得。
判别式与韦达定理(竞赛辅导)
判别式与韦达定理根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论.1．判别式的应用例1已知实数a、b、c、R、P满足条件PR＞1，Pc+2b+Ra=0.求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实根.证明: △=（2b）2-4ac.①若一元二次方程有实根，必须证△≥0.由已知条件有2b=-（Pc+Ra），代入①，得△=（Pc+Ra）2-4ac=（Pc）2+2PcRa+（Ra）2-4ac=（Pc-Ra）2+4ac（PR-1）.∵（Pc-Ra）2≥0，又PR＞1，a≠0，（1）当ac≥0时，有△≥0；（2）当ac＜0时，有△=（2b）2-4ac＞0.（1）、（2）证明了△≥0，故方程ax2+2bx+c=0必有实数根.例2k是实数，O是数轴的原点，A是数轴上的点，它的坐标是正数a.P是数轴上另一点,坐标是x,x＜a，且OP2=k·PA·OA.（1）k为何值时，x有两个解x1，x2（设x1＜x2）；（2）若k＞1，把x1，x2，0，a按从小到大的顺序排列，并用不等号“＜”连接.解（1）由已知可得x2=k·（a-x）·a，即x2+kax-ka2=0，当判别式△＞0时有两解，这时△=k2a2+4ka2=a2k（k+4）＞0.∵a＞0，∴k（k+4）＞0，故k＜-4或k＞0.（2）x1＜0＜x2＜a.例3证明不可能分解为两个一次因式之积.分析若视原式为关于x的二次三项式，则可利用判别式求解.证明:将此式看作关于x的二次三项式，则判别式△=显然△不是一个完全平方式，故原式不能分解为两个一次因式之积. 例3 已知x，y，z是实数，且x+y+z=a……①x2+y2+z2=12a……②求证：0≤x≤23a, 0≤y≤23a, 0≤z≤23a.分析: 将①代入②可消去一个字母，如消去z，然后整理成关于y的二次方程讨论. 证明: 由①得z=a-x-y，代入②整理得此式可看作关于y的实系数一元二次方程，据已知此方程有实根，故有△ =16（x-a）2-16（4x2-4ax+a2）≥0≥0≤x≤23a同理可证：0≤y≤23a ，0≤z≤23a .例5 设a 1，a 2，a 3，b 是满足不等式（a 1+a 2+a 3）2≥2（）+4b 的实数.求证：a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1≥3b. 证明: 由已知可得≤0.设则∵a 3是实数， 故△≥0，即有 （a 1+a 2）2≥（）-2a 1a 2+4b+r≥2（）-（a 1+a 2）2+4b.于是（a 1+a 2）2≥（）+2b ，∴a 1a 2≥b.同理有a 2a 3≥b，a 3a 1≥b.三式相加即得 a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1≥3b.例6 设a 、b 、c 为实数，方程组2y xy ax bx c=⎧⎨=++⎩与2y xy ax bx c=-⎧⎨=++⎩均无实数根.求证:对于一切实数x都有21 4ax bx ca++>.证明:由已知条件可以推出a≠0，因为若a=0，则方程组y xy bx c=⎧⎨=+⎩,y xy bx c=-⎧⎨=+⎩至少有一个有实数解.进一步可知，方程ax2+bx+c=±x无实根，因此判别式△=(b1)2-4ac＜0，于是（b-1）2+（b+1）-8ac＜0.即 4ac-b2＞1.∴2222424b ac bax bx c a xa a⎡⎤-⎛⎫++=-+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＞21144aaa•=.2．韦达定理的应用例7 假设x1、x2是方程x2-（a+d）x+ad-bc=0的根.证明这时x13、x23是方程的根.证明：由已知条件得∴=a3+d3+3abc+3bcd，由韦达定理逆定理可知，、是方程的根.例8 已知两个系数都是正数的方程a1x2+b1x+c1=0…… ①a2x2+b2x+c2=0……②都有两个实数根，求证：（1）这两个实数根都是负值；（2）方程a1a2x2+b1b2x+c1c2=0…… ③也有两个负根.证明：∵方程①有两个实数根，∴＞0. ④同理＞0. ⑤又a1、b1、c1都是正数，∴＞0，＜0.由此可知方程①的两根是负值.同样可证方程②的两根也是负值. 显然a1c1＜4a1c1代入④，得＞0，⑥由＞0，得＞⑦∴△=≥=＞0，∴方程③也有两个实数根.又a1a2＞0，b1b2＞0，c1c2＞0，∴＞0，＜0.由此可知方程③的两个根也是负值.例9对自然数n，作x的二次方程x2+（2n+1）x+n2=0，使它的根为αn和βn.求下式的值：+解：由韦达定理得=而 =（n≥3），∴原式=+=例10首项不相等的两个二次方程（a-1）x2-（a2+2）x+（a2+2a）=0 ①及（b-1）x2-（b2+2）x+（b2+2b）=0 ②（其中a，b为正整数）有一公共根，求的值.解：由题得知，a，b为大于1的整数，且a≠b.设x0是方程①②的公共根，则x0≠1，否则将x=1代入①得a=1，矛盾.得x0代入原方程，并经变形得③及④所以a，b是关于t的方程相异的两根，因此于是 ab-（a+b）=2，即（a-1）（b-1）=3.由a-1=1b-1=3⎧⎨⎩或a-1=3b-1=1⎧⎨⎩，解得a=2b=4⎧⎨⎩或a=4b=2⎧⎨⎩∴例11设实数a，b，c满足求证:1≤a≤9.证明：由（1）得bc=a2-8a+7.（1）-（2）得 b+c=所以实数b，c可看成一元二次方程的两根，则有△≥0，即≥0，即（a-1）（a-9）≤0，∴1≤a≤9.例12 求证：对任一矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形A 和矩形B 的周长和面积比都等于常数k （k≥1）. 分析 设矩形A 及B 的长度分别是a ，b 及x ，y ，为证明满足条件的矩形B 存在，只须证明方程组(x y k a b xy kab ⎧⎨⎩+=+= （k ，a ，b 为已知数）有正整数解即可. 再由韦达定理，其解x ，y 可以看作是二次方程 z 2-k （a+b ）z+kab=0的两根. ∵k≥1，故判别式△ =k 2（a+b ）2-4kab≥k 2（a+b ）2-4k 2ab=k 2（a-b ）2≥0， ∴上述二次方程有两实根z 1，z 2. 又z 1+z 2=k （a+b ）＞0，z 1z 2=kab ＞0，从而，z 1＞0，z 2＞0，即方程组恒有x ＞0，y ＞0的解，所以矩形B 总是存在的. 练习 1．填空题（1） 设方程x-1x =1987的两根为m ，n （m ＞n ），则代数式311n m n ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭--的值是_______; （2）若r 和s 是方程x 2-px+q=0的两非零根,则以r 2+21s 和s 2+21r 为根的方程是______________________;（3）已知方程x 2-8x+15=0的两根可以写成a 2+b 2与a-b,其中a 与b 是方程x 2+px+q=0的两根,那么|p|-q=__________. 2.选择题(1)若p,q 都是自然数,方程px 2-qx+1985=0的两根都是质数,则12p 2+q 的值等于( ).(A)404 (B)1998 (C)414 (D)1996(2)方程(1984x)2-1983·1985x -1=0的较大根为r,x 2+1983x-1984=0的较小根为s,则r-s 等于( ). (A)11985 (B)1985 (C)19841985 (D)-19831984(3)x 2+px+q 2=0(p≠0)的两个根为相等的实数，则x 2-qx+p 2=0的两个根必为（ ）. (A) 非实数 (B)相等两实数 (C)非实数或相等两实数 (D)实数（4）如果关于方程mx 2-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，那么关于x 的方程（m-5）x 2-2（m+2）x+m=0的实根个数为 (A)2 (B)1 (C)0 (D)不确定3． 设a 1≠0，方程a 1x 2+b 2x+c 1=0的两个根是1-a 1和1+a 1；a 1x 2+b 1x+c 2=0的两个根是12a -1和1-11a ；a 1x 2+b 1x+c 1=0的两根相等，求a 1，b 1，c 1，b 2，c 2的值. 4.常数a 是满足1≤a≤50的自然数.若关于x 的二次方程(x-2)2+(x-a)2=x 2的两根都是自然数,试求a 的值. 5.设x 2、x 2为正系数方程ax 2+bx+c=0的两根，x 1+x 2=m ，x 1·x 2=n 2，且m ，n.求证: (1) 如果m ＜n ，那么方程有不等的实数根； (2) 如果m ＞n ，那么方程没有实数根.6．求作一个以两正数α，β为根的二次方程，并设α，β满足 7． 当a ，b 为何值时，方程x 2+（1+a ）x+（3a 2+4ab+4b 2+2）=0有实根？ 8． 试证：1986不能等于任何一个整系数二次方程ax 2+bx+c=0的判别式的值. 9． 方程x 2+ax+1=b 的根是自然数，证明a 2+b 2是合数. 10． 不用辅助工具解答：（1）证满足的根在和197.…间；（2）同（1）证＜1..练习答案:1.(1)(2)(3)3.2. C B A.3.4.x=a+2±由于x为自然数，可知a为完全平方数即a=1，4，9，16，25，36，49.5. 略6. 3x2-7x+2=0.7. 因为方程有实根,所以判别式8. 设1986=4k+2(其中k是自然数).令△=b2-4ac=4k+2,这时b2能被2整除,因而b也能被2整除.取b＝2t,这时b2=4t2,且4t2-4ac=4k+2.这时等式左边的数能被4整除,而右边的数不能被4整除,得出矛盾,故命题得证.文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
韦达定理与根的判别式(解析版)
x 2 - 2 |x |-15 = ( )A. 0B. - 2C. 2D. 8 【解答】解：①当 x > 0 时，方程化为： x 2 - 2x - 15 = 0， 即 (x + 3) (x - 5) = 0， ∴ x + 3 = 0，x - 5 = 0， 解得 x 1 = -3( 舍去 )，x 2 = 5，②当 x < 0 时，方程化为： x 2 + 2x - 15 = 0， 即 (x - 3) (x + 5) = 0， ∴ x - 3 = 0，x + 5 = 0， 解得 x 3 = 3( 舍去 )，x 4 = -5，③当 x = 0 时，方程不成立．∴ 此方程的所有实数根的和为： 5 + (-5) = 0．或原方程可化为： (|x |-5) (|x |+3) = 0， 即 |x |-5 = 0，|x |+3 = 0， ∴ |x | = 5，|x | = -3( 舍去 )， 解得 x = 5 或 -5，∴ 此方程的所有实数根的和为： 5 + (-5) = 0．故选：A ．x x 2 + (2m + 1)x + m 2 - 1 =(1(2【解答】解： (1) ∵ 关于 x 的一元二次方程 x 2 + (2m + 1)x + m 2 - 1 = 0 有两个不相等的实数根， ∴ b 2 - 4ac = (2m + 1)2 - 4(m 2 - 1) = 4m + 5 > 0，解得：m > - ，即 m 的取值范围是 m > - ；(2) 由 (1) 知：当 m > - 时，方程有两个不相等的实数根，∵ m 为不大于 1 的整数， ∴ m = 0，-1，1，又m = 0 时，方程北2+ 北 - 1 = 0 的根不是整数，当m = -1 时，则方程为北2- 北 = 0，解得：北1=1，北2=0，即当m = -1 时，方程的解是北1= 1，北2= 0．当m = 1 时，则方程为北2+ 3北 = 0，解得：北1= -3，北2= 0，即当m = 1 时，方程的解是北1= -3，北2= 0．(北 - 3)2 + (y - 3)2 =(北yy北【解答】解：设y= k北，则直线y= k北与圆 (北 - 3)2 + (y - 3)2 = 6 相切时k有最大值和最小值，把y = k北代入 (北 - 3)2 + (y - 3)2 = 6，得 (1 + k2)北2 - 6(k + 1)北 + 12 = 0，∴ Δ= 36(k + 1)2 - 4 × 12 × (1 + k2) = 0，即k2 - 6k + 1 = 0，解此方程得，k = 3 + 2 2 或3 - 2 2．所以y北= k 的最大值是3+ 2 2．北2北(北≥ 0)解：北2北28 = 2北 4 = 2(北 2 +北 2 ，因为北≥ 0，所以北 + 2 的最小值是2，所以北 2 的最大值是2，所以2 + 北 2 的最大值是4，即北2北 (北≥ 0) 的最大值是4．2北北【解答】解：2北北22210= 2北北2 6 = 2(北北2= 2 + 北2 2，∵ 北2≥ 0，∴北2 + 2 的最小值为2，∴北2 2的最大值为3，∴2 + 北2 2的最大值为5，∴分式2北北的最大值是5，故答案为：5．x(m - 4)x 2 + (2m - 1)x +1 = 0 s s【解答】解：根据题意得 m - 4 ≠ 0 且 Δ = (2m - 1)2 - 4(m - 4) ≥ 0，解得 m ≠ 4， x 1 + x 2 = - ，x 1x 2 =，s =+== -2m + 1，由于 m ≠ 4， 所以 s ≠ -7． 故答案为 s ≠ -7．x2x 2 - 4mx + 2m 2 + 3m - 2 = 0(1)m(2) x 1x 2mx 12+ x 22【解答】解： (1) ∵ 一元二次方程 2x 2 - 4mx + 2m 2 + 3m - 2 = 0 有两个实数根， ∴ b 2 - 4ac = (-4m )2 - 4 × 2(2m 2 + 3m - 2) ≥ 0， ∴ -24m + 16 ≥ 0， ∴ m ≤ ，∴ 实数 m 的取值范围为≤ ；(2) ∵ x 1 + x 2 = 2m ，x 1 •x 2 = (2m 2 + 3m - 2)，∴ x 12+ x 22= (x 1 + x 2)2 - 2x 1x 2 = (2m )2 - 2 × (2m 2 + 3m - 2) = 2m 2 - 3m + 2 = 2(m - 2+， ∵ m ≤ ， < ，∴ 当 m = 时，x + x 12 22= 2(- 2+ = ，∴ 当 m = 时，x 12+ x 22有最小值，最小值是 ．1.(x - 1) (x 2 - 2x + m ) =0m()A. 0 ≤ m ≤ 1B. ≤ mC. ≤ m ≤ 1D. < m ≤ 1【解答】解：∵ 方程(x- 1) (x2 - 2x+m) =0 有三根，∴ x1 = 1，x2 - 2x+m= 0 有根，方程x2 - 2x+m= 0 的Δ = 4 - 4m≥0，得m≤ 1．又∵ 原方程有三根，且为三角形的三边和长．∴ 有x2 + x3 > x1 = 1，|x2 - x3 | < x1 = 1，而x2 + x3 = 2 > 1 已成立；当|x2 - x3 | < 1 时，两边平方得：(x2 + x3)2 - 4x2x3 < 1．即：4 - 4m<1．解得m>．∴ <m≤ 1．故选：D．x(k- 1)2x2 + (2k+ 1)x+1 =k( )A. k> k ≠ 1B. k≥ k≠ 1C. k >D. k ≥【解答】解：当k - 1 ≠ 0，即k≠ 1 时，此方程为一元二次方程．∵ 关于x的方程(k- 1)2x2 + (2k+ 1)x+1 = 0 有实数根，∴Δ = (2k+ 1)2- 4 × (k- 1)2× 1 = 12k- 3 ≥ 0，解得k≥；当k- 1 = 0，即k= 1 时，方程为3x+1 = 0，显然有解；综上，k的取值范围是k≥，故选：D．3. m n x2 - 5x+ 1 = 0 S1= + S2= + ⋯St = + (t)S1 + S2 +⋯ S t= t2 - 56t( )A. 7B. 8C. 9D. 10【解答】解：∵ m，n是方程x2 - 5x+ 1 = 0 的两个根，∴m+n= 5，mn= 1，∴S1 = +1 + m+ 1 + n=(1 +m) (1 +n)2 + (m+ n)1+m+n+mn2 + 51 + 1 + 5= 1==，解得 - 3 < a < 1 2 2 ．1 + m2 1 + n 2 S 2 = +1 + m2 + 1 + n 2 =(1 + m 2) (1 + n 2) 2 + (m + n )2 - 2mn =1 + (m + n )2 - 2mn + (mn )22 + 5 - 21 + 5 -2 + 1= 1 …， ∴ S t =+= 1，∴ S 1 + S 2 +… S t = t 2 - 56， 1 + 1 +… +1 = t 2 - 56， t = t 2 - 56， t 2 - t - 56 = 0， (t - 8) (t + 7) = 0，解得： t = 8 或 t = -7( 舍去 )． 故选：B ．4.xx 2 - 2mx - 4m +1 = 0 (m - 2)2 - 2m (m - 1)【解答】解：由题意可知： Δ = 4m 2 - 2(1 - 4m ) = 4m 2 + 8m - 2 = 0， ∴ m 2 + 2m = ，∴ (m - 2)2 - 2m (m - 1) = -m 2 - 2m + 4 = - + 4= 7 2 ，故答案为： x 2 + 4ax - 4a + 3 = 0x 2 + (a - 1)x + 1 + a 2 = 0x 2 + 2ax - 2a + 3 = 0a(16a 2 + 16a - 12 < 0【解答】解：不妨假设三个方程都没有实数根，则有〈(a - 1)2 - 4(a 2 + 1) < 0 ，(4a 2 - 4(3 - 2a ) < 01 1=，故答案为：a≤ - 或a≥．6. x (1 - 2k )x2 - 2x - 1 = 0 k【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程 (1 - 2k)x2 - 2x- 1 = 0 有两个不相等的实数根，(1 - 2k≠ 0∴〈k+ 3 ≥ 0 ，( △ = (-2)2 - 4(1 - 2k) × (-1) > 0解得： -3 ≤ k<4 且k≠ 1x x2 + ax- 1 = (x+ 1)2 + a(x+ 1) - 1 =【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程x2 + ax- 1 = 0 的两个根分别为m、n，∴ m2 + am- 1 = 0，n2 + an- 1 = 0，设x+ 1 =m或n，则 (x+ 1)2 + a(x+ 1) - 1 = 0，∴ (x+ 1)2 + a(x+ 1) - 1 = 0 的根为x= m- 1 或n- 1，故答案为：x= m- 1 或n- 1．8. x y(2x+ 1)2 + y2 + (y- 2x)2 = x+ y【解答】解：由 (2x+ 1)2 + y2 + (y- 2x)2 = ，得(3x+ 1)2 + 3(x- y)2 = 0，则〈( x= -解得〈，故x+ y= - - = - ．x(a+ b)x2 + 2cx+ (b- a) =a b c△ABC(1x= -△ABC(2△ABC(3△ABC【解答】解： (1)△ABC是等腰三角形，理由：当x= -1 时，(a+ b) - 2c+ (b- a) = 0，2．故答案为： -3 ≤ k<4 且k≠．( y= - 312 ∴ b = c ，∴ △ABC 是等腰三角形，(2)△ABC 是直角三角形，理由： ∵ 方程有两个相等的实数根， ∴ Δ = (2c )2 - 4(a + b ) (b - a ) = 0， ∴ a 2 + c 2 = b 2，∴ △ABC 是直角三角形；(3) ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ a = b = c ，∴ 原方程可化为： 2ax 2 + 2ax = 0， 即：x 2 + x = 0， ∴ x (x + 1) = 0， ∴ x 1 = 0，x 2 = -1，即：这个一元二次方程的根为 x 1 = 0，x 2 = -1．10.xax 2 + bx + c = 02t2tax 2 + bx + c = a (x - t ) (x - 2t ) = ax 2 - 3atx + 2t 2a b 2 - ac = 0K =b 2 - acK = 0 ax 2 + bx + c = 0 (1x 2 - x - 2 = x 2 - 6x +8 = )(2(x - 2) (mx + n ) =4m 2 + 5mn + n(3) xx 2 -x + n = 0(m ≥ 0)A (m n )y =3x - 8【解答】解： (1) 在方程①x 2 - x - 2 = 0 中，K = (-1)2 - × 1 × (-2) = 10 ≠ 0；在方程② x 2 - 6x + 8 = 0 中，K = (-6)2 - × 1 × 8 = 0． ∴ 是倍根方程的是②x 2 - 6x + 8 = 0．故答案为：②．(2) 整理 (x - 2) (mx + n ) =0 得：mx 2 + (n - 2m )x - 2n = 0， ∵ (x - 2) (mx + n ) =0 是倍根方程， ∴ K = (n - 2m )2 - 9 m • (-2n ) = 0，∴ 4m2 + 5mn+n2 = 0．(3) ∵ x2 - x+ n= 0 是倍根方程，∴ K= (-)2 - × n= 0，整理得：m= 3n．∵ A(m，n) 在一次函数y= 3x- 8 的图象上，∴n= 3m- 8，∴n= 1，m= 3，∴ 此方程的表达式为x2 - 3x+ = 0．11. m-1 x x2 + 2(m - 2)x+ m2 - 3m+3 = 0x1x2(1) x2+ x22= 6m1(2) +【解答】解：∵ 方程有两个不相等的实数根，∴ Δ = b2 - 4ac= 4(m- 2)2 - 4(m2 - 3m+ 3) = -4m+ 4 > 0，∴m< 1，结合题意知： -1 ≤ m< 1．(1) ∵ x2+ x22= (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m- 2)2 - 2(m2 - 3m+ 3) = 2m2 - 10m+ 10 = 61∴ m= ，∵ -1 ≤ m< 1，∴ m= ；(2) + = == = 2(m2 - 3m+ 1) = 2(m- 2 - (-1 ≤ m< 1)．∵对称轴m= ，2 > 0，∴当m= -1 时，式子取最大值为10．12. x2 + px+ q= 0 x1x2x1 + x2 = -p x1 •x2 = q(1) p= -4q= 3x2 + px+ q= 0则 x 1 + x 2 = x 1x 2 = - n ，x 1 • x 2 = x 1x 2 = n ，(2) a b a 2 - 15a - 5 = 0b 2 - 15b - 5 = 0 +(3x x 2 + mx + n = 0(n ≠ 0【解答】解： (1) 当 p = -4，q = 3，则方程为 x 2 - 4x + 3 = 0，解得： x 1 = 3，x 2 = 1．(2) ∵ a 、b 满足 a 2 - 15a - 5 = 0，b 2 - 15b - 5 = 0， ∴ a 、b 是x 2 - 15x - 5 = 0 的解， 当 a ≠ b 时，a + b = 15，ab = -5， + ==== -47；当 a = b 时，原式 = 2．(3) 设方程 x 2 + mx + n = 0，(n ≠ 0)，的两个根分别是 x 1，x 2， 1 1 x 1 + x 2 m 1 1 1 1 则方程 x 2 + x + = 0 的两个根分别是已知方程两根的倒数．以上就是韦达定理与根的判别式的全部内容~。
二次函数与根的判别式韦达定理
二次函数与根的判别式、韦达定理讲点1：公共点问题【例1】如图，抛物线y＝－x2＋4x－3的顶点为M，直线y＝－2x－9与y轴交于点C，与直线MO交于点D，现将抛物线的顶点在直线OD上平移，平移后的抛物线与射线CD（含顶点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．【练】如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋8与x轴交于点A,B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度向下最多可平移多少个单位长度讲点2：距离问题【例2】如图，抛物线y＝a(x－1)2＋4与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，已知CD，在抛物线上共有三个点到直线BC的距离为m，求m的值．【练】如图，抛物线y＝ax2－6ax＋5a与x轴交于A,B两点（A左，B右），若抛物线与直线y＝2x的最近，求a的值．讲点3：隐藏判别式【例3】如图，点P是直线l：y＝－2x－2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y＝x2与A,B两点，试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA＝AB成立．【练】如图，已知二次函数y＝a(x2－6x＋8)（a＞0）的图象与x轴分别交于点A,B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA,PB,PC,PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）请说明理由．讲点4：交点间的距离【例4】已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m的图象与函数y＝kx＋1的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．（1）如图1，当k＝1，m取不同值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想；（2）如图2，当m＝0，k取不同值时，猜想△AOB的形状，并证明你的猜想．【例5】如图，抛物线y＝x2－4x＋5与y轴交于点C，过点N（1，2）作直线l，交抛物线于点P，交y轴于点E，连接PC，若PE＝PC，求直线l的解析式．【练】如图，抛物线C1：y＝x2＋4x＋3交x轴于A,B两点，交y轴于点C，将抛物线C1沿y轴翻折得新抛物线C2，过点C作直线l交抛物线C1于点M，交抛物线C2于点N，若MN＝，求直线l的解析式．三、对称问题【例6】如图，已知抛物线y＝x2－2x－3，直线y＝kx－1与抛物线交于P,Q两点，且y轴平分线段PQ，求k的值．【练】如图，已知抛物线y＝x2－4x＋3，过点D（0，－52）的直线与抛物线交于点M,N，与x轴交于点E，且点M,N关于点E对称，求直线MN的解析式．四、与面积结合【例7】如图，抛物线y＝x2－4x＋5顶点为M，平移直线y＝x交抛物线于点H,K，若S△MHK＝3，求平移后直线的解析式．【课后反馈】1．如图，已知抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C ，将抛物线沿对称轴向上平移k 个单位长度后与线段BC 交于D,E 两个不同的点，求k 的取值范围．2．如图，抛物线y ＝ax 2－6ax ＋5a 与x 轴交于A,B 两点（A 左，B 右），若抛物线不通过直线y ＝2x 上方的点，求抛物线顶点纵坐标的取值范围． 3．如图，抛物线y ＝14x 2＋32x ＋2与x 轴交于A,B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，将抛物线沿直线BC 平移，与射线AC （含点A ）仅有一个公共点，求抛物线顶点横坐标的值或取值范围．4．如图，已知抛物线C ：y ＝x 2－2x ＋4和直线l ：y ＝－2x ＋8，直线y ＝kx （k ＞0）与抛物线C 交于A,B 两点，与直线l 交于点P ，分别过A,B,P 作x 轴的垂线，垂足依次为A 1、B 1、P 1，若11OA ＋11OB ＝1u OP ，求u 的值．5．如图1，抛物线C 1：y ＝x 2＋4x ＋3顶点为M ，抛物线C 2与抛物线C 1开口方向相反，形状相同，顶点为N ，且M,N 关于点P （0，2）对称．（1）求抛物线C 2的解析式；（2）直线y ＝m 交抛物线C 1于点A,B ，交抛物线C 2于点C,D ，若AB ＝2CD ，求m 的值；。
判别式与韦达定理
姐妹情深----判别式与韦达定理【知识要点】一、一元二次方程判别式1．一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的判别式ac b 42-=∆， 利用它可以判断一元二次方程的根的情况，即： ①⇔>∆0方程有两个不相等的实数根； ②⇔=∆0方程有两个相等的实数根； ③⇔<∆0方程没有实数根．二、一元二次方程根与系数的关系 （韦达定理）1．如果21,x •x 是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，则acx x a b x x =-=+2121..特别的，当一元二次方程的二次项系数为1时，如21,x •x 是方程02=++c bx x 的两个根时，则b x x -=+21，c x x =21.三、一元二次方程根与系数的关系的应用1．利用根与系数的关系求有关根的代数表达式的值，如求21221212221,)(,11,x x x x x x x x --++及相关变形式。
2．已知两根或它们之间的关系构造一元二次方程以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是()02121=++-x x x x x x ．一般地，如果有两个数21,x x 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+a c x x ab x x 2121那么21,x x 必定是一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 的两个实数根．（韦达定理的逆定理）3．一元二次方程判别式与韦达定理的综合应用【经典例题】例1．设t 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的1个实数根，则判别式ac b 42-=∆与平方式2)2(b at +=M 的大小关系是（ ）（A ）>∆>M （B ）M =∆ （C ）∆<M （D ）不能确定例2．已知：如图，矩形ABCD 中，AD ＝a ，DC ＝b ，在 AB 上找一点E ，使E 点与C 、D 的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE ＝x ，问：这样的点E 是否存在?若存在，这样的点E 有几个?请说明理由．例3．设一元二次方程22710x x ++=两根12,x x 不解方程求下列各式的值：（1）2112;x x x x + （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212121x x （3例4．已知方程0232=--x x 不解这个方程，利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程使它的根分别是：（1）已知方程各根的倒数；（2）已知方程各根的平方；（3）比已知方程的一根大1，一个小1．例5．设实数s 、t 分别满足0199192=++s s ，019992=++t t 并且.1≠st 求ts st 14++的值。
根的判别式与韦达定理讲义
7、分别以方程 =0两根的平方为根的方程是（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、已知方程 的两根为 、 ，且 > ,求下列各式的值:
（1） =；（2） =；
（3） =；（4） =.
三、选择题：
1、关于 的方程 ＝０有一个正根，一个负根，则 的值是（ ）
（A）0（B）正数（C）－8（D）－4
2、已知方程 =0的两根是 ， ，那么 （）
(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D)－3
7．若方程 有实数根，则[ ]．
8．若方程 有实数根，则[ ]．
（三）综合练习
10．一元二次方程 有两个不相等的实数根，求 的最大整数值．
11. 为何值时，方程 ：
（1）有两个相等的实数根；（2）没有实数根；（3）有两个不相等的实数根．
考点五、根与系数的关系（韦达定理）
⑴前提：对于 而言，当满足① 、② 时，才能用韦达定理。
课题
一元二次方程根的判别式、韦达定理
教学目的
熟练掌握根的判别式的作用，并能够活学活用；
掌握韦达定理的内容，并能够应用定理来解相关题目
教学内容
考点四、根的判别式
根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。
典型例题：
例1、若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。
例2、关于x的方程 有实数根，则m的取值范围是( )
3、方程 的两根为 ， ，那么 + =， =.
4、如果一元二次方程 的两根互为相反数，那么 =；如果两根互为倒数，那么 =.
5方程 的两个根是2和－4，那么 =， =.
6、已知方程 的两根为 ， ，那么 =.
第14讲根的判别式与韦达定理(word版)
第14讲根的判别式与韦达定理模块一一元二次方程根的判别式知识导航式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示，即△＝b2－4ac．当△＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根；当△＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；当△＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．计算判别式的值，可以判断一元二次方程根的情况；反之，若一元二次方程有两个不等实数根，则△＞0；若一元二次方程有两个相等实数根，则△＝0；若一元二次方程无实数根，则△＜0.注意：①当△＝0时，方程有两个相等的实根，不能说方程只有一个根②当△≥0时，方程有两个实根（一元二次方程有实根）．例1(1)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有解，求m的范围．-1x－m＝0有两个不相等实数根，求m的取值范围．(2)己知关于x的一元二次方程x2－m(3)求证：关于x的一元二次方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0（a≠0）总有实数根(4)已知关于x的方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围(5) （2016武汉元月调考第9题）关于x的方程（m－2）x2＋2x＋1＝0有实数根，求m的取值范围．拓展己知关于x的方程(n－1)x2＋mx＋1＝0有两个相等的实数根，试说明关于y的方程m2y2—2my－m2—2n2＋3＝0的根的情况【总结】1、在处理【例1】和【练1】这类问题时，一定要注意先判断方程类型，若方程类型不确定，则需要分类讨论2、关于方程类型，题目在设问方面会有下列说法：(1)“关于x的一元二次方程有解”则方程一定为一元二次方程．(2)“关于x的方程有两实根”则方程一定为一元二次方程．(3)“关于x的方程有解”则方程类型不确定，需要分类讨论例2(1) 己知a、b、c是三角形三边，求证：关于x的方程(a＋b)x2＋2cx＋（a＋b）＝0无实根．(2) 己知：a、b、c分别是△ABC的三边长，求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2一a2)x＋c2＝0没有实数根．练习己知△ABC三边a，b，c，关于x的方程(a＋c)x2 ＋2bx－a＋c＝0，x2＋2ax＋b2＝0均有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．模块二 一元二次方程根与系数关系知识导航：由因式分解法可知，方程（x －x 1）(x －x 2)＝0（x 1，x 2为已知数）的两根为x 1和x 2，将方程化为x 2＋px ＋q ＝0的形式，即x 2一(x 1＋x 2)x ＋ x 1x 2＝0，则二次项系数为1，一次项系数为p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝ x 1x 2． 于是，上述方程两个根的和、积与系数的关系分别有如下关系：x 1＋x 2＝－p ， x 1x 2＝q对于一般地一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，二次项系数a 未必是1．根据求根公式，x 1＝a ac b b 24-2-+， x 2＝aac b b 24-2-- 由此可知，x 1＋x 2＝－a b ， x 1x 2＝ac 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比．例3(1)若x 1，x 2是一元二次方程x 2—5x ＋6＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是____(2)一元二次方程x 2—4x －c ＝0的一个根是3，则另一个根是____，c ＝___________(3)若方程x 2－3x 一1＝0的两根为x 1、x 2，则11x ＋21x 的值为____ (4)关于x 的一元二次方程x 2一mx ＋2m －1＝0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12＋x 22＝7， 则(x 1－x 2)2的值是_____________练习(1)方程x 2—2x －1＝0的两个实数根分别为x 1、x 2，(x 1－l )( x 2－1)＝______________cz ，设x 1、x 2是方程2x 2—6x +l ＝o 的两个实数根，则(x 1－21x )( x 2－11x )的值为__________ 【总结】1、用韦达定理，常见的恒等变形有：11x ＋21x ＝2121x x x x +,x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2,(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 21x x -＝212214)(x x x x -+x 13 ＋x 23＝(x 1 ＋x 2)(x 12＋x 22－x 1x 2)＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)2、韦达定理只有在两根存在的情况下才成立，故使用韦达定理的前提条件是b 2—4ac ≥0例4已知x 1，x 2是方程x 2—3x ＋l ＝0的两个实数根，则x 12＋x 22＝________________(x 1－2)(x 2－2)＝______________；x 12＋x 1·x 2＋x 22＝_____________,12x x ＋21x x ＝_________ x 1－x 2＝__________, x 12－x 22＝________;11x －21x ＝__________;12x x －21x x ＝___________练习已知x 1，x 2是方程2x 2—3x －5 ＝0的两个根，求下列代数式的值：x 12＋x 22＝__________,12x x ＋21x x ＝_________; 21x x -＝___________ x 12－x 22＝________;12x x －21x x ＝___________,x 12＋3x 22－3x 2＝_________________例5已知关于x 的方程x 2—2(k －l )x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)求k 的取值范围．(2) 若x l ＋x 2 ＝1－x 1x 2，求k 的值．练习关于x 的方程x 2＋2(a －l )x ＋a 2 －7a －4＝0的两根为x 1. x 2，且x 1x 2 －3x l －3x 2 ＋2＝0，求a 的值例6关于一元二次方程x 2 ＋2x ＋k ＋l ＝0的实数解是x l 和x 2．(1)求k 的取值范围；(2)如果x 1＋x 2－x 1x 2＜－1且k 为整数，求k 的值．练习己知关于x 的方程x 2 ＋2(m ＋2)x ＋m 2 －5＝0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．例7己知△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程x 2 －(2k ＋3)x ＋k 2 ＋3k ＋2＝0的两个实数根，第三边BC 的长是5．(1)k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；(2)k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，并求△ABC 的周长．练习在等腰△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＝3，b 和c 是关于x 的方程x 2＋mx ＋2－21m ＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 课后作业A 基础巩固1．已知x ＝l 是方程x 2＋bx －2＝0的一个根，则方程的另一个根是( )A .1B ．2C ．－2D ．－12． 已知一元二次方程x 2—4x ＋3＝0两根为x 1,x 2，则x 1·x 2＝( )A .4B ．3C ．－4D .－3 3． 己知关于x 的一元二次方程(1－2k )x 2—21+k x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是____．4． 关于x 的方程kx 2 ＋(l －k )x －l ＝0有两个不等实根，则k 的取值范围是____________．5． 关于x 的方程kx 2＋(l －k )x －l ＝0有实根，则k 的取值范围是_______________6． 求证：不论m 为何值时，关于x 的方程x 2一2mx －2m －4＝0总有两个不相等的实根．7． 如果一直角三角形的三边长分别为a ，b ，c ，b 为斜边，求证：关于x 的方程a (x 2 －1)一2cx ＋b (x 2 ＋1)＝0有两个相等的实数根8． 己知x 1，x 2是方程x 2－5x ＋2＝0的两个实数根，则x 12＋x 22＝________________(x 1－2)(x 2－2)＝______________；x 12＋x 1·x 2＋x 22＝_____________,12x x ＋21x x ＝_________ x 1－x 2＝__________, x 12－x 22＝________;11x －21x ＝__________;12x x －21x x ＝___________B 综合训练 9． （2015年汉阳区九上期中）己知关于x 的方程x 2—2(k －l )x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)求k 的取值范围；(2) 若x 1＋x 2＝1－ x 1x 2，求k 的值．10.已知关于x 的一元二次方程mx 2—2x ＋l ＝0．(1)若方程有两个实数根，求m 的范围；(2)若方程的两个实数根为x 1,x 2，且x 1x 2一x 1一x 2＝21，求m 的值 111.己知，关于x 的方程x 2一kx ＋k －1＝0(1)求证：无论k 取何值，方程总有两实数根(2)若等腰△ABC 的一边长为2，另两边为这个方程的两个根，求△ABC 的周长数学故事“石头剪刀布”或能揭示演化策略“石头剪刀布”是游戏中解决争端的常用方式，每人各出剪刀、石头、布中的一种，通过石头砸剪刀、剪刀剪布、布包住石头的规则，可以在两人甚至多人中决出胜负．不过，科学家发现，大自然也用自己的方式玩着类似“石头剪刀布”这样的游戏，数学家和生物学家利用这种方式研究了从人类社会到培养皿中的细菌的各种现象．如今，研究者又发现，当玩家不断改变策略时，三种武器的使用频率会轮流上升与下降，呈现出一种固定的模式．这一发现或许可以帮助我们理解生物在生存之争中是如何维持竞争策略的．一旦应用到生物中来，石头剪刀布就不仅仅是两个小孩子的游戏，而变成多玩家之间的复杂关系了．比方说，某些蜥蜴用来赢得伴侣的策略就有三种：侵略、合作与欺骗，这三种策略就和石头剪刀布一样，有着环状的胜负关系（侵略战胜合作，欺骗战胜侵略，合作战胜欺骗），而对于蜥蜴来说，成功繁衍后代就意味着赢得游戏，在生物的“石头剪刀布”游戏中，通常是大的种群中随机产生一对玩家开始比拼，每个玩家通常都保持一种固定的策略一一即对每一个对手都出同样的姿势（石头、剪刀或者布）．每次对决之后，赢家就增加一个（对应着繁衍后代），使用同样的策略，而输家则消失．对这种模型进行仔细的数学研究以后发现，出石头、剪刀和布的玩家会随着时间波动．随着初始情况中每种策略所占比例不同，整个群体的情况会分别演变成不同的长期行为，比如用石头、剪刀、布的个体各占三分之一，或者一种策略大幅减少另两种上升，过一段时间又反过来，呈现剧烈的周期波动．受到计算机模拟的启发，康奈尔大学的两位数学家Steven Strogatz 和Danielle Toupo 决定研究一下如果玩家中途改变策略会发生什么．“我觉得这个想法很吸引人，就想找到一种最简洁的数学模型来描述它，”Strogatz 说．他们试图回到最基础的原理，寻找纯粹的公式，而非复杂的计算机模拟．Strogatz 和Toupo 修正了“石头剪刀布”方程，允许一些“突变子女”存在，它们所采用的策略和亲代不同．此前的研究者也研究了突变，但一直假设突变是对称的，即每种策略变成其他策略的几率相同，但Strogatz 和To upo 考虑到了其他的模式，比如出石头的玩家可能会生下出布的子女，但反过来则不尽然．每种突变最终都会导致一种循环，即出石头、剪刀和布的玩家数都各自不停地上下波动，循环不息．而更令人惊讶的是，他们还证明哪怕突变率极低甚至接近于0，整个游戏还是会进入这种循环模式，论文发表于本月的《物理评论E 》（Physical ReviewE ）中，只是增加了一点点突变的因素，游戏结果就不再是三种各占三分之一的稳定态或是剧烈波动态了， “我认为该研究最吸引入的一点是，这种‘游戏’在自然界中真的存在，”加州大学圣克鲁兹分校的生态学家BarrySinervo 说，他没有参与这项工作，“哪怕你不是数学家，也会欣赏这一研究．”Sinervo-直在研究加州一种侧斑鬣蜥，该蜥蜴的种群行为也会进入像“石头剪刀布”一样的振荡状态．Sinervo和同事通过野外的长期观察发现，采取侵略、合作和欺骗三种策略的蜥蜴数目有一个6年的变化周期，每一代新的蜥蜴诞生时，主导策略都会变化．Strogatz和Toupo的新研究为Sinervo的工作提供了数学模型，来解释了这种变化周期，“对我来说，这篇论文的有趣之处就在这里．”Sinervo说，由于数学方面的限制，康奈尔大学的研究者还不能证明他们的发现适用于所有的突变模式，但Strogatz说他们预测会如此．研究更广泛的突变模式也可以更进一步地提供数学基础，帮助我们解释自然界这个大剧场里物种策略的兴衰变迁．。
第六课 根的判别式与韦达定理
第六课 根的判别式与韦达定理一、知识点1.一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕根的判别式：2.韦达定理：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕的两个根是12,x x ，那么有： 12x x +=_________ 12x x =_________ 二、例题例1 解关于x 的方程：〔1〕x 2－3x ＋3＝0 〔2〕x 2－2x ＋a ＝0 〔3〕2210mx x ++=例2 方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例3 关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．例4 12,x x 是方程2520x x --=两个实数根，求以下式子的值：①1211x x +；②2212x x +；③3312x x +；④()()1211x x --；⑤12x x -例5 两个数的和为4，积为－12，求这两个数．例6 求作一个方程，使它的根是方程2780x x -+=的两根的平方的负倒数.例7 假设关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．三、练习： 1．填空题：〔1〕假设关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，那么实数m 的取值范围是 ．〔2〕方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，那么k ＝ ．〔3〕关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，那么它的另一个根是 ．〔4〕如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ． 〔5〕一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，那么这个直角三角形的斜边长等于 ．2．关于x 的方程x 2－kx －2＝0．〔1〕求证：方程有两个不相等的实数根；〔2〕设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围．3．一元二次方程22450x x --=的两个根分别是12,x x ，求以下式子的值：〔1〕12(2)(2)x x ++ 〔2〕3312x x + 〔3〕12x x -4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．5．假设关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个根大于1，另一根小于1，求实数a 的取值范围．。
韦达定理公式介绍及典型例题
韦达定理公式介绍及典型例题集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-韦达定理公式介绍及典型例题韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
这里讲一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程aX+bX+C=0﹙a0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1X2=c/a【定理内容】一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a0 且△=b^2-4ac0)中，设两个根为x1，x2 则X1+X2= -b/aX1X2=c/a1/X1+1/X2=X1+X2/X1X2用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax+bx+c=0 (a0)中，若b-4ac0 则方程没有实数根若b-4ac=0 则方程有两个相等的实数根若b-4ac0 则方程有两个不相等的实数根【定理拓展】(1)若两根互为相反数，则b=0(2)若两根互为倒数，则a=c(3)若一根为0，则c=0(4)若一根为1，则a+b+c=0(5)若一根为-1，则a-b+c=0(6)若a、c异号，方程一定有两个实数根【例题】已知p+q=198，求方程x^2+px+q=0的整数根. (94祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1x2.由韦达定理，得x1+x2=-p，x1x2=q.于是x1x2-(x1+x2)=p+q=198，即x1x2-x1-x2+1=199.运用提取公因式法(x1-1)(x2-1)=199.注意到(x1-1)、(x2-1)均为整数，解得x1=2，x2=200;x1=-198，x2=0.。
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项.doc
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项一、一元二次方程跟的判别式的常见题型题型1不解方程，判断一元二次方程根的情况（1）5x2 4x 3 0; （2）3x2 2x 1 0; （3）2x232、. 6x.题型2:证明一元二次方程根的情况求证：无论k取何实数，关于x的一元二次方程：x2（k 1）x k 4 0总有两个不等实根。
题型3：已知一元二次方程根的情况，求方程中未知系数的取值范围21. （2011 •重庆）已知关于x的一元二次方程（a—1）x - 2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A. a<2 B, a>2 C. a<2 且a 丰 1 D. a< —2 •变式1: （2010 •安徽芜湖）关于x的方程（a —5）x2—4x— 1 = 0有实数根，则a满足（）A . a> 1B . a> 1 且a丰5 C. a> 1 且a* 5 D. a*5变式2: （2010 •成都）若关于x的一元二次方程x2 4x 2k 0有两个实数根，求k的取值范围及k的非负整数值.变式3：已知关于x的一元二次方程（1 2k）x .kx 1 0有两个实数根，求k的取值范围二、一元二次方程根与系数的关系------韦达定理的常见题型题型1：已知一元二次方程的一根，求另一根及未知系数k的值已知2 ,3是方程X 2 kx 1 0的一根，则方程的另一根是 ________________ , k= ______ 。
题型2：求与一元二次方程根有关的代数式的值；2 2 21 11.已知X i , X 2是方程2 x 4 x 3 0的两根，计算： (1) x i x2 ;⑵ ：⑶& X 2 (X 1 X 2)22 21.关于x 的一元二次方程 x (2k 1)x k 1 变式1: (2011併9州)关于x 的方程ax 2 (3a 1)x 2(a 1) 0有两个不相等的实根 x 1、x 2，且有x 1 x 1x 2 x 2 1 a ，则a 的值是( )变式2： (2010 •中山)已知一元二次方程 . (1)若方程有两个实数根，求m 的范围；(2)若方程的两个实数根为 X 1, X 2，且^+3X 2=3，求m 的值。
判别式-韦达定理经典题型讲解
1、（海淀中考）已知：关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的两个实数根之差的平方为m．
（1）试分别判断当a=1，c=-3与a=2，c= 时，m≥4是否成立，并说明理由；
（2）若对于任意一个非零的实数a，m≥4总成立，求实数c及m的值．
2、已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2-1=0，②x2+x-2=0，③x2+2x-3=0，…（n）x2+（n-1）x-n=0．
家长签字：
【典例3】.已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根，求k的值。
【典例4】已知方程
（1）若方程两根之差为5，求k。
（2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。
【典例5】已知方程两根之比为1：3，判别式值为16，求a、b的值。
【典例6】（06黑龙江）已知关于x的方程kx2-2（k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．
（6）方程x+8x-1=0的两个根为α，β，则3α+2αβ+8α-9=_______
5、已知a-3a=1,b-3b=1,求 + 的值。
6、三角形ABC 的三边长分别为 a,b,c，满足b=8-c, a-12a-bc+52=0,试判断三角形ABC的形状。
7、s,t满足19s+99s+1=0,t+99t+19=0 ，并且st≠1,求 的值。
学生姓名
赵琦
年级
九年级
上课时间
07月15日16:30~18:30
教学目标
教学重难点
1、求根公式：
2、根的判别式：
3、韦达定理：
根的判别式
【典例1】.关于 的方程 的一个根是－2，则方程的另一根是_____； ＝______。
判别式及韦达定理教学及作业
2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a -+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b aca-±-；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b aca-±-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0．2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根2142b b ac x a -+-=，2242b b ac x a---=，则有2212442222b b ac b b ac b bx x a a a a-+-----+=+==-；2222122244(4)42244b b ac b b ac b b ac ac cx x a a a a a-+------=⋅===． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有 以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为x ，y ，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值； （2）求221211x x +的值； （3）x 13＋x 23．例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．练 习 1．选择题：（1）方程222330x kx k -+=的根的情况是 （ ） （A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） （A ）m ＜14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠02．填空:（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝ ． （2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 ． （3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．3．已知2816|1|0a a b +++-=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．习题A 组1．选择题:（1）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2 （2）下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-； ④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（3）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－12．填空:（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ．（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．B 组1．选择题:若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（ ）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0 2．填空:（1）若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等于 ．（2）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ．3．已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围． 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求： （1）| x 1－x 2|和122x x +； （2）x 13＋x 23．5．关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．C 组1．选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （ ）（A ）3 （B ）3 （C ）6 （D ）9（2）若x 1，x 2是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则1221x x x x +的值为 （ ） （A ）6 （B ）4 （C ）3 （D ）32（3）如果关于x 的方程x 2－2(1－m )x ＋m 2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为（ ） （A ）α＋β≥12 （B ）α＋β≤12（C ）α＋β≥1 （D ）α＋β≤1 （4）已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c＝0的根的情况是（ ）（A ）没有实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个异号实数根 2．填空：若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝ ． 3． 已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（2）求使1221x x x x +－2的值为整数的实数k 的整数值； （3）若k ＝－2，12xx λ=，试求λ的值．4．已知关于x 的方程22(2)04m x m x ---=． （1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x 1，x 2满足|x 2|＝|x 1|＋2，求m 的值及相应的x 1，x 2． 5．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a 的取值范围．。
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判别式韦达定理经典题
型讲解
集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
根的判别式
【典例1】.关于x 的方程10422
=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是
_____；k ＝______。
【典例2】.1x 、2x 是方程
05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1）2221x x + （2）21x x - （3）22221
33x x x -+ 【典例3】. 已知关于x 的一元二次方程与有一个相
同的根，求k 的值。
【典例4】已知方程032=++k x x （1）若方程两根之差为5，求k 。
（2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。
【典例5】已知方程两根之比为1：3，判别式值为16，求a 、b 的
值。
韦达定理
[典例1]因式分解6x y+7xy-3=___________
[典例2]解方程组
[典例3]如果直角三角形三条边a,b,c,都满足方程x-mx+ =0,求三角形的面积。
[典例4]已知方程2x-8x-1=0的两个根为α,β,不解方程，求解以
+ ,( α-1)( β-1)为根的一元二次方程。
[典例5]已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p,q，且满足关系式 ,试求这个一元二次方程。
[典例6]已知α, β是一元二次方程4kx-4kx+k+1=0的两个实根
（1）是否存在实数根k，使（2α-β)( α-2β)= - 成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
（2）求使 + -2的值为整数的实数k的整数值。
训练题
1、（海淀中考）已知：关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的两个实数根之差的平方为m．
（1）试分别判断当a=1，c=-3与a=2，c= 时，m≥4是否成立，并说明理由；（2）若对于任意一个非零的实数a，m≥4总成立，求实数c及m的值．
2、已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2-1=0，②x2+x-2=0，
③x2+2x-3=0，…（n）x2+（n-1）x-n=0．
（1）请解上述一元二次方程①、②、③、（n）；（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．
3、（02海淀）（1）求证：若关于x的方程（n-1）x2十mx十1=0①有两个相等的实数根．则关于y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0②必有两个不相等的实数根；（2）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m2n十12n的值．
4、填空：（1）设α，β是方程3x-5x+1=0的两根，则αβ+αβ=_______（2）若 +1是方程x-kx+1=0的一个根，则k=________
（3）分解因式2x+3x-1=__________
（4）若方程3x-x+m-4=0有一正一负两个根，则m的取值范围是_____________（5）已知a,b是方程x+(m-1)x+1=0的两个根，则（a+ma+1)(b+mb+1)的值为_______
（6）方程x+8x-1=0的两个根为α，β，则3α+2αβ+8α-9=_______
5、已知a-3a=1,b-3b=1,求 + 的值。
6、三角形ABC 的三边长分别为 a,b,c，满足b=8-c, a-12a-bc+52=0,试判断三角形ABC的形状。
7、s,t满足19s+99s+1=0,t+99t+19=0 ，并且st≠1,求的值。
家长签字：。