2017西城区高一下期末考试数学试卷及答案

北京市西城区 2016 - 2017 学年度第二学期期末试卷
高一数学
试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟
2017.7
三 题号 分数 一 二 17 18 19 20 21 22 本卷总分
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的. 1. 已知数列 {a n } 满足 a1 3 , an 1 2 an ，那么 a4 （ （A） 24 （B） 18 ） （C） ( , ] ）
所以，图中实数 a 0.1 2 0.050 . （Ⅱ）解：由图可知, 样本数据中月均用水量低于 8 吨的频率为
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………………………3 分
(0.025 0.075 0.225) 2 0.65 ，
………………………5 分
所 以 小 明 所 在 学 校 2000 名 同 学 家 庭 中 , 月 均 用 水 量 低 于 8 吨 的 约 有
ab bc ca , , 为边长的三角形一定存在. 2 2 2
） （ C） 2
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那么，正确结论的个数为（ （A）0 （B）1
（D）3
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上. 11. 函数 f ( x ) 4 x 2 的定义域是_______. 12. 在等差数列 {a n } 中, a2 a4 5 ，则 a3 _______. 13. 随机抽取某班 6 名学生， 测量他们的身高 （单位： cm） ， 获得身高数据依次为： 162， 168， 170 ， 171 ， 179 ， 182 ，那么此班学生平均身高大约为 为 . cm ；样本数据的方差
7 ； 3
5 ； 2 5 ； 15. 9
12.
13. 172，45； 16. 4，29.
注：一题两空的题目，第一空 2 分，第二空 3 分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 17.（本小题满分 13 分） （Ⅰ）解：设等差数列 {a n } 的公差为 d , 则 a3 a5 2 a1 6 d 16 , 又因为 a1 2 ， 解得 d 2 . 所以 an a1 ( n 1) d 2 n . （Ⅱ）解：因为 a2 ， am ， a2 m 成等比数列， 所以 am a2 a2m ， 即 (2 m ) 2 4 4 m ， m N ， 解得 m 4 . ………………………13 分
5
）
甲队 8 3 2 7 8
乙队 0 3 m
（B） 4
5
（C） 7 10
（D） 9 10
9. 若关于 x 的不等式 2 x （ ）
2 ≥a 对于一切 x (1, ) 恒成立，则实数 a 的取值范围是 x 1
（A） ( , 4]
（B） [4, )
（C） ( ,6]
（D） [6, )
0.65 2000 1300 (户).
………………7 分
………
（Ⅲ）解：设“这 2 名同学中恰有 1 人所在家庭的月均用水量属于 [10,12) 组”为事件 A， 由图可知, 样本数据中月均用水量在 [10,12) 的户数为 0.050 2 40 4 .记这四名同学家 庭分别为 a, b, c, d , 月均用水量在 [12,14] 的户数为 0.025 2 40 2 .记这两名同学家庭分别为 e, f , 则选取的同学家庭的所有可能结果为： ( a, b),( a, c),( a, d ),( a, e),( a, f ),(b, c),(b, d ),
8 . 15
………………………13 分
19.（本小题满分 13 分） （Ⅰ）解：由余弦定理 c 2 a 2 b 2 2 ab cos C ， 得 c 2 4 9 2 2 3 ( ) 16 ， 解得 c 4 . ………………………5 分 ………………………3 分
1 1 1 + + + ≤ ，求实数 的最小值. a1 a 2 a 2 a 3 a n a n 1
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21． （本小题满分 14 分） 已知函数 f ( x) ax (2a 1) x b ，其中 a ， b R . （Ⅰ）当 a 1 ， b 4 时，求函数 f ( x ) 的零点； （Ⅱ）如果函数 f ( x) 的图象在直线 y x 2 的上方，证明： b 2 ； （Ⅲ）当 b 2 时，解关于 x 的不等式 f ( x ) 0 ．
1 4
（Ⅱ）解： （方法一）由 cos C ， C (0, π) ，得 sin C 1 cos2 C
1 4
15 . 4
……7 分
由正弦定理
a c a sin C 10 ，得 sin A . sin A sin C c 8
……………………10 分
[10,15) [15, 20) [20, 25) [25,30)
合计
a
0.40 0.25 1.00
m
n 120 ）
7. 在 ABC 中，若 a 3 ， c 2 ， cos B ，则 ABC 的面积为（ （ A）
1 3
3 3
（B）
2 3 3
（ C）
2 6 3
（D）
4 6 3
8. 以下茎叶图记录了甲、乙两个篮球队在 3 次不同比赛中的得分情况．乙队记录中有一个 数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以 m 表示．那么在 3 次比赛 中，乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是（ （A） 3
频率 组距
0.225
0.100 0.075 a 0.025 2 4 6 8 10 12 14 月均用水量 / 吨
19． （本小题满分 13 分） 在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a , b , c ，且 a 2 , cos C （Ⅰ）如果 b 3 ,求 c 的值； （Ⅱ）如果 c 2 6 ，求 sin B 的值.
否 是
i=i+1
S S 2i
输出 i 结束
4. 设直线 l 经过两点 A(2,1), B ( 1,3) ，则直线 l 下方的半平面（含直线 l ）可以用不等式表示 为（ ） （B） 2 x 3 y 7≤0 （D） 2 x 3 y 1≤0
（A） 2 x 3 y 7≥0 （C） 2 x 3 y 1≥0
y≤2 x, 14. 设 x ， y 满足约束条件 x y≤1, 则 z x 3 y 的最大值是_______. y 1≥0,
15. 有 4 张卡片，上面分别写有 0，1，2，3. 若从这 4 张卡片中随机取出 2 张组成一个两位 数，则此数为偶数的概率是_______. 16. 在数列 {an } 中， a3 12 ， a11 5 ，且任意连续三项的和均为 11，则 a2017 _______； 设 S n 是数列 {an } 的前 n项和，则使得 Sn ≤100 成立的最大整数 n _______.
(b, e),(b, f ),(c, d ),(c, e),(c, f ),( d , e),( d , f ),(e, f ), 共 15 种，
………………………9 分
事件 A 的可能结果为： ( a , e ), ( a , f ), (b, e ), (b, f ), (c , e ), (c , f ), ( d , e ), ( d , f ), 共 8 种， ………………………11 分 所以 P ( A)
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北京市西城区 2016-2017 学年度第二学期期末试卷
高一数学参考答案及评分标准
2017.7 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 1. A 6. A 2. B 7. C 3. B 8. D 4. B 9. C 5. D 10. C
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 11. [ 2, 2] ； 14.
开始
） （D） 12
（C） 16
1 2. 不等式 ≤2 的解集为（ x
（A） [ , )
1 2
1 （B）(,0) [ , ) 2
1 2
（D） [2, )
3. 执行如图所示的程序框图，则输出的 i 值为（ （ A） 4 （ B） 5 （ C） 6 （ D） 7
S= 0，i =0 S >20
1 . 4
20． （本小题满分 13 分） 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n n 2 4 n ，其中 n N* . （Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式； （Ⅱ）设 bn 2 a n 1 ，求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ； （Ⅲ）若对于任意正整数 n ，都有
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． （本小题满分 13 分） 在等差数列 {a n } 中, a1 2 , a3 a5 16 . （Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式； （Ⅱ）如果 a2 ， am ， a2 m 成等比数列，求正整数 m 的值.
2
………………………3 分
………………………5 分 ………………………7 分
………………………10 分
18.（本小题满分 13 分） （Ⅰ）解：因为各组的频率之和为 1，所以月均用水量在区间 [10,12) 的频率为
1 (0.025 2 0.075 0.100 0.225) 2 0.1 ，
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5. 在区间 [ 1,3] 上随机取一个实数 x，则 x 使不等式 | x | ≤2 成立的概率为（ （ A）
）
1 4
（B）
1 3
（ C）
1 2
（பைடு நூலகம்）
3 4
6. 下表是某校 120 名学生假期阅读时间(单位: 小时)的频率分布表，现用分层抽样的方法 从 [10,15) ， [15, 20) ， [20, 25) ， [25,30) 四组中抽取 20 名学生了解其阅读内容，那么从 这四组中依次抽取的人数是（ （A）2，5，8，5 （B）2，5，9，4 （C）4，10，4，2 （D）4，10，3，3 ） 分组 频数 12 30 频率 0.10
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18． （本小题满分 13 分） 北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学 校的 2000 名同学中，随机调查了 40 名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月 均用水量分为 6 组： [2, 4) ， [4,6) ， [6,8) ， [8,10) ，[10,12) ， [12,14] 加以统计，得到如图所 示的频率分布直方图. （Ⅰ）给出图中实数 a 的值； （Ⅱ） 根据样本数据， 估计小明所在学校 2000 名同学家庭中,月均用水量低于 8 吨的约 有多少户； （Ⅲ）在月均用水量大于或等于 10 吨的样本数据中，小明决定随机抽取 2 名同学家庭 进行访谈，求这 2 名同学中恰有 1 人所在家庭的月均用水量属于 [10,12) 组的概率.
10. 在 ABC 中，角 A, B, C 对边的边长分别为 a , b , c ，给出下列四个结论： 1 ○ 2 ○ 3 ○ 4 ○ 以 , ,
1 1 1 为边长的三角形一定存在； a b c
以 a , b , c 为边长的三角形一定存在； 以 a , b , c 为边长的三角形一定存在； 以
2 2 2
2
22． （本小题满分 14 分）
an 当 an 为偶数, , 在无穷数列 {an } 中， a1 p 是正整数，且满足 an 1 2 a 5, 当 a 为奇数. n n
（Ⅰ）当 a3 9 时，给出 p 的值； （结论不要求证明） （Ⅱ）设 p 7 ，数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，求 S150 ； （Ⅲ）如果存在 m N * ，使得 am 1 ，求出符合条件的 p 的所有值.