2017西城区高一下期末考试数学试卷及答案
北京市西城区2017-2018学年下学期高一年级期末考试数学试卷(解析版)
北京市西城区2017-2018学年下学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.，两点之间的距离为A. B. 4 C. D. 5【答案】C【解析】解：，两点之间的距离为．故选：C．根据两点间的距离公式计算即可．本题考查了求两点间的距离公式应用问题，是基础题．2.直线的倾斜角为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，即．故选：A．由直线方程求直线的斜率，再由直线的斜率等于倾斜角的正切值求解．本题考查由直线方程求直线的斜率，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．3.直线与直线l关于y轴对称，则直线l的方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由点关于y轴的对称点为，可得直线关于y轴对称的直线l的方程为：，故选：B．运用点关于y轴的对称点为，只要将已知直线方程中的x换为，y不变，可得所求直线方程．本题考查直线关于y轴对称的直线方程求法，注意运用点关于y轴的对称点为，同时还要熟记点关于原点对称的特点、以及点关于x轴对称的特点和关于直线，的特点，考查变换能力，属于基础题．4.已知圆M：与圆N：，则两圆的位置关系是A. 相交B. 相离C. 内切D. 外切【答案】C【解析】解：圆M：的圆心为，半径为；圆N：的圆心为，半径为；，两圆的位置关系是内切．故选：C．根据两圆的圆心距与半径的关系，判断两圆的位置关系本题考查了两圆位置关系的判断问题，是基础题5.设m，n为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，m，n既不在内，也不在内则下列结论正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】解：由m，n为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，m，n既不在内，也不在内，知：在A中，若，，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若，，则由线面平行的判定定理得，故B正确；在C中，若，，则由线面垂直的性质定理得m与n平行，故C错误；在D中，若，，则由面面平行的判定定理得，故D错误．故选：B．在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，由线面平行的判定定理得；在C中，由线面垂直的性质定理得m与n平行；在D中，由面面平行的判定定理得．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6.若方程表示圆，则实数k的取值范围是A. B. C. D. R【答案】A【解析】解：由方程可得，此方程表示圆，则，解得．故实数k的取值范围是．故选：A．由方程配方可得，此方程表示圆，则，解得即可．思路掌握配方法、圆的标准方程是解题的关键．7.圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：如图所示，圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则圆柱的高为，底面圆的周长为，解得，圆柱的体积是．故选：A．由题意求出圆柱的高和底面圆半径，再求圆柱的体积．本题考查了圆柱的侧面展开图和体积的计算问题，是基础题．8.方程表示的图形是A. 两个半圆B. 两个圆C. 圆D. 半圆【答案】D【解析】解：由，两边平方得．方程故选：D．把已知方程两边平方，结合x的范围得答案．本题考查曲线方程，是基础题．9.如图，四棱锥的底面ABCD是梯形，，若平面平面，则A.B.C. l与直线AB相交D. l与直线DA相交【答案】D。
北京市西城区2017-2018学年高一下学期期末考试数学---精校Word版含答案
北京市西城区2017 — 2018学年度第二学期期末试卷高一数学试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[立体几何初步与解析几何初步] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.关于y轴对称，则直线的方程为（）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11.已知点(,2)A m -，(3,0)B ，若直线AB 的斜率为12，则m =_____. 12.若直线1:280l ax y +-=与直线2:0l x y -=平行，则a =______.13.已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱最大侧面的面积为______.14.已知直线y kx k =+过定点，则定点的坐标为______.15.在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AA 中点，点P 在侧面11BCC B 上运动，当点P 满足 条件_______________时，1//A P 平面BCD . （答案不唯一，填一个满足题意的条件即可）16. 如图，矩形ABCD 中AB 边与x 轴重合，(2,2)C ，(1,2)D -. 从原点O 射出的光线OP 经BC 反射到CD 上，再经CD 反射到AD 上点Q 处.正（主）视图A DA ′①若OP 的斜率为12，则点Q 的纵坐标为______； ②若点Q 恰为线段AD 中点，则OP 的斜率为______.三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2P A A D ==，点E 为线段PD 的中点. （Ⅰ）求证：//PB 平面AEC ； （Ⅱ）求证：AE ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求三棱锥A PCE -的体积.18．（本小题满分12分）已知直线:8l y x =-+与x 轴相交于点A ，点B 坐标为(0,4)-，过点B 作直线l 的垂线，交直线l 于点C .记过A 、B 、C 三点的圆为圆M . （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）求过点C 与圆M 相交所得弦长为8的直线方程.19．（本小题满分12分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱AB 上的动点，F 是棱1CC 上一点，1:1:2CF FC =.（Ⅰ）求证：111B D A F ⊥；（Ⅱ）若直线1A F ⊥平面11B D E ，试确定点E 的位置，并证明你的结论；（Ⅲ）设点P 在正方体的上底面1111A B C D 上运动，求总能使BP 与1A F 垂直的点P 所形成的轨A BCDPE迹的长度．（直接写出答案）B 卷 [学期综合]本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1．在区间[2,4]-内随机选取一个实数x ，则[1,3]x ∈的概率为_____．2．如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人1天加工的零件数，且甲、乙两组工人平均每人加工零件的个数相同，则m =_____；甲、乙两组工人加工零件数方差较大的一组的方差为______.3．从1,2,3,4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和不小于5的概率为_____． 4．一艘货船以15km /h 的速度向东航行，货船在A 处看到一个灯塔P 在北偏东60方向上，行驶4小时后，货船到达B 处，此时看到灯塔P 在北偏东15方向上，这时船与灯塔的距离为_____km ．5．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知△ABC 面积S 满足12S ≤≤，且1sin sin sin 8A B C =. 给出下列结论： ①16abc ≥； ②228a b ab +>； ③32ab <；D BCA 1B 1C 1D 1 AEF甲乙9 8 1 92 1 2 0 0 m其中正确结论的序号是_____．（写出所有正确结论的序号）二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分8分）在某地区高二年级的一次英语口语测试中，随机抽取M 名同学的成绩，数据的分组统计表如下：（Ⅰ）求出表中,,,m n M N 的值；（Ⅱ）根据上表，请在答题纸中给出的坐标系中完整画出频率分布直方图；（Ⅲ）若该地区高二年级学生有5000人，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计这次测试中该地区高二年级学生的平均分数及分数在区间(60,90]内的学生人数．7．（本小题满分10分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c.b =4B π=. （Ⅰ）若3a =，求sin A 及sin C 的值； （Ⅱ）若△ABC 的面积等于1，求a 的值．8．（本小题满分12分）已知圆22:(3)25C x y +-=与x 轴的负半轴相交于点M . （Ⅰ）求点M 的坐标及过点M 与圆C 相切的直线方程；（Ⅱ）一般把各边都和圆相切的三角形叫做圆的外切三角形.记圆C 的外切三角形为△DEF ，且(5,2)D --，(,2)(5)E t t ->.试用t 表示△DEF 的面积；（Ⅲ）过点M 作,MA MB 分别与圆相交于点,A B ，且直线,MA MB 关于x 轴对称，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.北京市西城区2017— 2018学年度第二学期期末试卷 高一数学参考答案及评分标准2018.7A 卷[立体几何初步与解析几何初步] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.C ′B ′ A′P二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11.1-12.2-14. (1,0)-15.P 是1CC 中点，等16.33,25注：第16题每空两分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结BD ，交AC 于点O ，连结OE .因为O 是正方形ABCD 对角线交点，所以O 为BD 中点， 由已知E 为线段PD 的中点， 所以//PB OE .…………………2分 又OE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ，所以//PB 平面ACE .…………………5分 （Ⅱ）证明：因为PA AD =，E 为线段PD 的中点，所以AE PD ⊥，…………………6分 因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA CD ⊥，…………………7分 在正方形ABCD 中，CD AD ⊥， 又PA AD A =I ，所以CD ⊥平面PAD ，…………………8分又AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥，…………………9分 又PD CD D =I ，所以AE ⊥平面PCD ，…………………10分（Ⅲ）因为AE ⊥平面PCD ，所以三棱锥A PCE -的体积.13PCE V S AE =⋅V 11112232323PE CD AE =⨯⋅⋅=⨯. …………………12分18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知(8,0)A ，依题意，圆M 的圆周角90ACB ∠=，所以过A 、B 、C 三点的圆M 即为以AB 为直径的圆.…………………3分ABCDPEO所以，圆M 的圆心为AB 的中点(4,2)-.因为AB ==M的半径为5分所以圆M 的方程为22(4)(2)20x y -++=. …………………6分 （Ⅱ）因为所求直线与圆M 相交所得弦长为8，由垂径定理，圆M2=.…………………7分 易知，直线6x =满足题意.…………………8分 由已知，直线:4AC y x =-，解4,8y x y x =-⎧⎨=-+⎩得点C 的坐标为(6,2)C . …………………9分设斜率存在且满足题意的直线方程为2(6)y k x -=-，即620kx y k --+=. 则圆心(4,2)-到直线620kx y k --+==，……10分令2=，解得34k =. …………………11分 所以，所求直线方程为6x =和34100x y --=. …………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结11AC .1111A B C D 是正方形，所以1111B D A C ⊥. …………………1分在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面1111A B C D ， 所以111CC B D ⊥， …………………2分 又1111CC A C C =I ，所以11B D ⊥平面11AC C ， …………………3分 因为1A F ⊂平面11AC C ，所以11B D ⊥1A F . …………………4分 （Ⅱ）当:1:2AE EB =时，直线1A F ⊥平面11D B E .…5分证明如下：过点F 在平面11BCC B 作//FG BC 交1BB 于点G ， 连结1A G ，交1B E 于点H ，因为1:1:2CF FC =，所以1:1:2BG GB =，DBC A 1B 1C 1D 1AF G H在11Rt A B G △与1Rt B BE △中，1B G BE =，111A B B B =， 所以111A B G B BE ≅△△，111B A G BB E ∠=∠.又111190B AG AGB ∠+∠=，所以11190BB E AGB ∠+∠=. 所以190B HG ∠=o ，11A G B E ⊥.…………………7分 在正方体1111ABCD A B C D -中，CB ⊥面11ABB A ， 所以FG ⊥面11ABB A ， 所以1FG B E ⊥， 又1AG FG G =I ，所以1B E ⊥面1A FG ，…………………8分 所以1B E ⊥1A F .又11B D ⊥1A F ，1111B D B E B =I ，所以直线1A F ⊥平面11B D E .…………………9分. …………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 1.13 2.1，2.5 3.234.②③. 注：第5题少选得2分，多选、错选不得分.第2题每空2分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分8分） 解：（Ⅰ）1N =. 因为20.02M=，所以100M =． 从而100(23123815)30m =-++++=， 0.30mn M==．…………………4分 （Ⅱ）直方图如下：分数…………………6分（Ⅲ）平均分约为450.02550.04650.12750.38850.30950.1578.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．该地区高二年级同学分数在区间(60,90]内的人数约为5000(0.120.380.30)4000⨯++=（人）．…………………8分7.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）在△ABC 中，3a =，b =4B π=，sin sin a bA B=.所以sin sin4a A B b π===. …………………2分当A 为锐角时，cos A =sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+…………………3分=+=…………………4分当A 为钝角时，cos A =，sin C =…………………5分（Ⅱ）△ABC 的面积1sin 24ABC S ac ∆π==，1=. …………① …………………7分 在ABC ∆中，2222cos 4b ac ac π=+-， …………………9分所以225a c =+. …………②由①得c =22854a a=+-， 所以42980a a -+=.解得1a =或a =. …………………10分8.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）点M 的坐标为(4,0)-. …………………1分直线CM 的斜率3030(4)4CM k -==--，…………………2分所以过点M 圆C 的切线斜率43k =-，所以，过点M的切线方程为40[(4)]3y x-=---，即43160x y++=. …………3分（Ⅱ）已知(5,2)D--，所以直线DF方程为5x=-.设直线EF的斜率为k，则直线EF方程为()2y k x t=--，即20kx y kt---=.5=，所以22(25)100t k tk-+=，解得0k=（舍）或21025tkt-=-，…………………5分所以直线EF方程为210()225ty x tt-=---.当5x=-时，210810(5)2525t ty ttt-+=---=--.…………………6分所以810(5,)5tFt+--，所以△DEF的面积18105(5)(5)(2)255DEFt t tS tt t∆++=⋅+⋅+=--，（5t>）.…………7分（Ⅲ）解法一（解析法）：设点(,),(,)A AB BA x yB x y，设直线MA的方程为：4x my=-.由224,(3)25x myx y=-⎧⎪⎨+-=⎪⎩得22(1)(86)0m y m y+-+=.所以2861Amym++=+，2861Amym+=+. …………8分所以2861Bmym-+=+，…………………9分所以2161A Bmy ym-=+.又直线MB的方程为4x my=--，所以4A Ax my=-，4B Bx my=--，212()1A B A B A Bmx x my my m y ym-=+=+=+.…………………11分所以直线AB的斜率2216411231A BABA Bmy y mkmx xm-+===-+.即直线AB的斜率为定值，其值为43. …………………12分注：其他解法相应给分.解法二（几何法）：如图，设圆与x 轴的正半轴相交于点M '.由,MA MB 关于x 轴对称可知，AM M BM M ''∠=∠，所以M '为»AB 的中点，连结CM '，则CM AB '⊥， 因为直线CM '的斜率303044CM k '-==--， 所以43AB k =. 即直线AB 的斜率为定值，其值为43. 附：B 卷5. 略解：因为1sin sin sin 8A B C =， 所以111sin sin sin 888ab bc ca A B C ab bc ca ⋅⋅=⨯⋅⋅； 所以222364a b c S =.因为12S ≤≤，所以2221864a b c ≤≤，8abc ≤≤所以①不正确.因为22()8a b ab ab a b abc +=+>≥. 所以②正确. 因为1sin sin sin 8A B C =，所以1sin 8C >，所以111sin 282ab C ab >⨯， 所以16ab S <，所以32ab <.所以③正确.。
2017-2018学年北京市西城区高一(下)期末数学试卷-含详细解析.
2017-2018学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.M（-1，2），N（3，0）两点之间的距离为（）A. 2√2B. 4C. 2√5D. 52.直线x-y-√3=0的倾斜角为（）A. 45∘B. 60∘C. 12∘D. 135∘3.直线y=2x-2与直线l关于y轴对称，则直线l的方程为（）A. y=−2x+2B. y=−2x−2C. y=2x+2D. y=12x−14.已知圆M：x2+y2=1与圆N：（x-2）2+y2=9，则两圆的位置关系是（）A. 相交B. 相离C. 内切D. 外切5.设m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，m，n既不在α内，也不在β内．则下列结论正确的是（）A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m//n，n//α，则m//αC. 若m⊥α，n⊥α，则m⊥nD. 若m⊥α，m⊥β，则α⊥β6.若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是（）A. (−∞,1)B. (−∞,1]C. [1,+∞)D. R7.圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是（）A. 2πB. 1πC. 2π2D. 1π28.方程x=√1−y2表示的图形是（）A. 两个半圆B. 两个圆C. 圆D. 半圆9.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD，若平面PAD∩平面PBC=l，则（）A. l//CDB. l//BCC. l与直线AB相交D. l与直线DA相交10.已知a，b是异面直线，给出下列结论：①一定存在平面α，使直线b⊥平面α，直线a∥平面α，②一定存在平面α，使直线b∥平面α，直线a∥平面α；③一定存在无数个平面α，使直线b与平面α交于一个定点，且直线a∥平面α．则所有正确结论的序号为（）A. ①②B. ②C. ②③D. ③二、填空题（本大题共11小题，共44.0分）11.已知点A（m，-2），B（3，0），若直线AB的斜率为12，则m=______．12.若直线l1：ax+2y-8=0与直线l2：x-y=0平行，则a=______．13.已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱最大侧面的面积为______．14.已知直线y=kx+k过定点，则定点的坐标为______．15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件______时，A1P∥平面BCD（答案不唯一，填一个满足题意的条件即可）16.如图，矩形ABCD中AB边与x轴重合，C（2，2），D（-1，2）．从原点O射出的光线OP经BC反射到CD上，再经CD反射到AD上点Q处．①若OP的斜率为1，则点Q的纵坐标为______；2②若点Q恰为线段AD中点，则OP的斜率为______．17.在区间[-2，4]内随机选取一个实数x，则x∈[1，3]的概率为______．18.如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人1天加工的零件数，且甲、乙两组工人平均每人加工零件的个数相同，则m=______；甲、乙两组人加工零件数方差较大的一组的方差为______．19.从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和不小于5的概率为______．20.一艘货船以15km/h的速度向东航行，货船在A处看到一个灯塔P在北偏东60°方向上，行驶4小时后，货船到达B处，此时看到灯塔P在北偏东15°方向上，这时船与灯塔的距离为______km．21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC面积S满足1≤S≤2，且sin A sin B sin C=1．给出下列结论：8①abc≥16；②a2b+ab2＞8；③ab＜32；其中正确结论的序号是______（写出所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共6小题，共66.0分）22.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD＝2，点E为线段PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）求三棱锥A-PCE的体积．23.已知直线l：y=-x+8与x轴相交于点A，点B坐标为（0，-4），过点B作直线l的垂线，交直线l于点C．记过A、B、C三点的圆为圆M．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）求过点C与圆M相交所得弦长为8的直线方程．24.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱AB上的动点，F是棱CC1上一点，CF：FC1=1：2．（Ⅰ）求证：B1D1⊥A1F；（Ⅱ）若直线A1F⊥平面B1D1E，试确定点E的位置，并证明你的结论；（Ⅲ）设点P在正方体的上底面A1B1C1D1上运动，求总能使BP与A1F垂直的点P所形成的轨迹的长度．（直接写出答案）25.在某地区高二年级的一次英语口语测试中，随机抽取M名同学的成绩，数据的分组统计表如下：分组频数频率(40,50] 2 0.02(50,60] 3 0.03(60,70]12 0.12(70,80]38 0.38(80,90]m n(90,100]15 0.15合计M N(Ⅰ)求出表中m，n，M，N的值；(Ⅱ)根据上表，请在答题纸中给出的坐标系中完整画出频率分布直方图；(Ⅲ)若该地区高二学生有500人，假设同组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计这次测试中该地区高二学生的平均分数及分数在区间(60,90]内的学生人数．26.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．b=√5，B=π．4（I）若a=3，求sin A及sin C的值；（Ⅱ）若△ABC的面积等于1，求a的值．27.已知圆C：x2+（y-3）2=25与x轴的负半轴相交于点M．（I）求点M的坐标及过点M与圆C相切的直线方程；（II）一般把各边都和圆相切的三角形叫做圆的外切三角形．记圆C的外切三角形为△DEF，且D（-5，-2），E（t，-2）（t＞5）试用t表示△DEF的面积；（Ⅲ）过点M作MA，MB分别与圆相交于点A，B，且直线MA，MB关于x轴对称，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：M（-1，2），N（3，0）两点之间的距离为d==2．故选：C．根据两点间的距离公式计算即可．本题考查了求两点间的距离公式应用问题，是基础题．2.【答案】A【解析】解：直线x-y-=0的斜率k=1，设直线x-y-=0的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tanα=1，即α=45°．故选：A．由直线方程求直线的斜率，再由直线的斜率等于倾斜角的正切值求解．本题考查由直线方程求直线的斜率，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．3.【答案】B【解析】解：由点（x，y）关于y轴的对称点为（-x，y），可得直线y=2x-2关于y轴对称的直线l的方程为：y=-2x-2，故选：B．运用点（x，y）关于y轴的对称点为（-x，y），只要将已知直线方程中的x换为-x，y不变，可得所求直线方程．本题考查直线关于y轴对称的直线方程求法，注意运用点（x，y）关于y轴的对称点为（-x，y），同时还要熟记点关于原点对称的特点、以及点关于x轴对称的特点和关于直线y=x，y=-x的特点，考查变换能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：圆M：x2+y2=1的圆心为M（0，0），半径为r1=1；圆N：（x-2）2+y2=9的圆心为N（2，0），半径为r2=3；|MN|=2=r2-r1，∴两圆的位置关系是内切．故选：C．根据两圆的圆心距与半径的关系，判断两圆的位置关系本题考查了两圆位置关系的判断问题，是基础题5.【答案】B【解析】解：由m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，m，n既不在α内，也不在β内，知：在A中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m∥n，n∥α，则由线面平行的判定定理得m∥α，故B正确；在C中，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理得m与n平行，故C错误；在D中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D错误．故选：B．在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，由线面平行的判定定理得m∥α；在C中，由线面垂直的性质定理得m与n平行；在D中，由面面平行的判定定理得α∥β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6.【答案】A【解析】解：由方程x2+y2-4x+2y+5k=0可得（x-2）2+（y+1）2=5-5k，此方程表示圆，则5-5k＞0，解得k＜1．故实数k的取值范围是（-∞，1）．故选：A．由方程x2+y2-4x+2y+5k=0配方可得（x-2）2+（y+1）2=5-5k，此方程表示圆，则5-5k＞0，解得即可．思路掌握配方法、圆的标准方程是解题的关键．7.【答案】A【解析】解：如图所示，圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则圆柱的高为h=2，底面圆的周长为2πr=2，解得r=，∴圆柱的体积是V=πr2h=π••2=．故选：A．由题意求出圆柱的高和底面圆半径，再求圆柱的体积．本题考查了圆柱的侧面展开图和体积的计算问题，是基础题．8.【答案】D【解析】解：由x=，两边平方得x2+y2=1（x≥0）．∴方程x=表示的图形是半圆．故选：D．把已知方程两边平方，结合x的范围得答案．本题考查曲线方程，是基础题．9.【答案】D【解析】解：∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD．∴AD与CB必相交于点M，则P是面平面PAD和平面PBC的公共点，又平面PAD∩平面PBC=l．∴P∈l．l与直线DA相交．故选：D．可得AD与CB必相交于点M，则P是面平面PAD和平面PBC的公共点，又平面PAD∩平面PBC=l．本题考查了空间几何体中的直线与平面的位置关系，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：对于①，a、b是异面直线，不一定存在平面α，使直线b⊥平面α，直线a∥平面α，如正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与B1C是异面直线，且不存在平面α，使直线A1A⊥平面α，直线B1C∥平面α，①错误；对于②，一定存在平面α，使直线b∥平面α，直线a∥平面α，在直线a、b外取点P，过点P作a′∥a，b′∥b，由a′、b′确定平面α，则a∥α，b∥α，②正确；对于③，存在无数个平面α，使直线b与平面α交于一个定点，且直线a∥平面α；如正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与B1C是异面直线，且A1A∥C1C，B1C∩C1C=C，过C1C且与A1A平行的平面有无数个，③正确．综上，所有正确结论的序号是②③．故选：C．①举例说明命题错误即可；②在直线a、b外取点P，过点P作a′∥a，b′∥b，由a′、b′确定平面α满足条件；③举例说明命题正确即可．本题考查了空间中的线面平行与垂直关系的应用问题，是基础题．11.【答案】-1【解析】解：点A（m，-2），B（3，0），若直线AB的斜率为，则=，解得m=-1，故答案为：-1．直接根据斜率公式计算即可．本题考查了斜率公式，属于基础题．12.【答案】-2【解析】解：∵直线l1：ax+2y-8=0与直线l2：x-y=0平行，∴-=1，解得a=-2．故答案为：-2．利用两直线平行的性质直接求解本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线平行的性质的合理运用．13.【答案】√5【解析】解：由正视图、侧视图为长方形，俯视图为三角形的几何体为三棱柱，由图形可知面DA′的面积最大为．故答案为：．画出直观图，利用几何体的图形，判断求解三棱柱最大侧面的面积．本题考查三视图求解几何体的侧面积，考查数形结合以及计算能力．14.【答案】（-1，0）【解析】解：直线y=kx+k，即k（x+1）-y=0，令，解得x=-1，y=0．∴无论k取任何实数，直线y=kx+k都经过一个定点（-1，0），故答案为：（-1，0）．直线y=kx-k，即k（x+1）-y=0，得到关于x，y的方程组，解出即可得出．本题考查了直线系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】P是CC1中点【解析】解：取CC1中点P，连结A1P，∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥CD，∵A1P⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥平面BCD故答案为：P是CC1中点．当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥CD，由此能求出当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥平面BCD．本题考查满足线面平行的条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】323 5【解析】解：①根据OP的斜率为，可得P（2，1）在BC中点上，那么反射必经过DC 与Y轴的交点，即坐标为（0，2），设点Q的纵坐（-1，t）那么解得：t=即点Q的纵坐标为；②由题意，设P（2，n），反射线与DC交点E为（m，2）；入射角和反射角相等，可得……①OP的斜率等于QE斜率；即……②由①②解得：n=则OP的斜率为；故答案为：；．①根据OP的斜率为，可得P（2，1）在BC中点上，那么反射比经过DC与Y 轴的交点，即可求解点Q的纵坐标；②由题意，设P（2，m），反射线与DC交点E为（n，2）；入射角和反射角相等，OP的斜率等于QE斜率；建立关系即可求解；本题考查了关于直线的对称的求法，考查了到入射角和反射角相等的运用，是基础题．17.【答案】13【解析】解：在区间[-2，4]内随机选取一个实数x，则x∈[1，3]的概率为．故答案为：．根据几何概型的概率公式计算即可．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．18.【答案】1 2.5【解析】解：根据茎叶图中数据，计算甲、乙两组数据的平均数为：=×（18+19+21+22）=20，=×（19+20+20+20+m），由=，求得m=1；计算甲的方差为=×[（18-20）2+（19-20）2+（21-20）2+（22-20）2]=2.5；乙的方差为=×[（19-20）2+（20-20）2+（20-20）2+（21-20）2]=0.5；∴加工零件数方差较大的一组的方差为2.5．故答案为：1，2.5．根据茎叶图中数据，计算甲、乙两组数据的平均数和方差即可．本题考查了利用茎叶图求平均数与方差的应用问题，是基础题．19.【答案】23【解析】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，基本事件总数n==6，所取两个数之和不小于5包含的基本事件有4个，分别为：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），∴所取两个数之和不小于5的概率为p==．故答案为：．基本事件总数n==6，利用列举法求出所取两个数之和不小于5包含的基本事件有4个，由此能求出所取两个数之和不小于5的概率．本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20.【答案】30√2【解析】解：如图，依题意有AB=15×4=60，∠MAB=30°，∠AMB=45°，在△AMB中，由正弦定理得=，解得BM=30（km），故答案为30．先根据船的速度和时间求得AB的长，进而在△AMB中根据正弦定理利用∠MAB=30°，∠AMB=45°，和AB的长度，求得BM．本题主要考查了解三角形的实际应用．常需利用正弦定理或余弦定理，根据已知的边或角求得问题的答案．21.【答案】②③【解析】解：sinAsinBsinC=，设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：===2R，由S=absinC，及正弦定理得sinAsinBsinC==，即R2=4S，∵面积S满足1≤S≤2，∴4≤R2≤8，即2≤R≤2，由sinAsinBsinC=，可得8≤abc≤16，故①错误；ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，故②正确；由S≤2可得absinC≤2，可得ab≤，而sinAsinBsinC=，即有sinC=＞， 则ab≤＜32，故③正确． 故答案为：②③．根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质和正弦函数的值域，即可得到结论．本题考查三角形的正弦定理和面积公式、以及不等式的性质和正弦函数的值域，考查运算能力和推理能力，属于中档题．22.【答案】（1）证明：连结BD ，交AC 于点O ，连结OE ，如图示：∵O 是正方形ABCD 对角线交点，∴O 为BD 的中点，由已知E 为线段PD 的中点，∵PB ∥OE ，又OE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ，∴PB ∥平面ACE ；（2）证明：∵PA =AD ，E 为线段PD 的中点，∴AE ⊥PD ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ，在正方形ABCD 中，CD ⊥AD ，又PA ∩AD =A ，PA,AD ⊂面PAD∴CD ⊥平面PAD ，又AE ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AE ，又PD ∩CD =D ，PD,CD ⊂面PCD∴AE ⊥平面PCD ；（3）∵AE ⊥平面PCD ，故三棱锥A -PCE 的体积V =13S △PCE •AE =13×12PE •CD •AE =13×12×√2×2×√2=23． 【解析】（1）连结BD ，交AC 于点O ，连结OE ．可得PB ∥OE ，再由线面平行的判定可得PB ∥平面ACE ；（2）由PA=AD ，E 为线段PD 的中点，得AE ⊥PD ，再由PA ⊥平面ABCD ，得PA ⊥CD ，由线面垂直的判定可得AE ⊥平面PCD ；（3）根据AE ⊥平面PCD ，结合三棱锥的体积公式求出其体积即可．本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，直线l ：y =-x +8与x 轴相交于点A ，则A （8，0），又由BC ⊥AC ，则∠ACB =90°，则圆M 是以AB 为直径的圆，其圆心M （4，-2），半径r =|AB|2=2√5，则圆M 的方程为（x -4）2+（y +2）2=20；（Ⅱ）设要求直线为CD ，且与圆M 的交点为C 、D ，圆心到直线CD 的距离d =√20−16=2，分2种情况讨论：①，CD 的斜率不存在，则CD 的方程为x =6，易得圆心到x =6的距离为2，符合题意；②，CD 的斜率不存在，设CD 的方程为y -2=k （x -6），即kx -y -6k +2=0， 若圆心M 到直线CD 的距离为2，则有|4k+2−6k+2|√1+k 2=|2k−4|√1+k 2=2，解可得：k =34，则此时直线CD 的方程为3x -4y -10=0；故要求直线的方程为x =6或3x -4y -10=0．【解析】（Ⅰ）根据题意，由直线l 的方程求出A 的坐标，分析可得圆M 是以AB 为直径的圆，求出圆心与半径，结合圆的标准方程分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，设要求直线为CD ，且与圆M 的交点为C 、D ，由直线与圆的位置关系可得圆心到直线CD 的距离d=2，分2种情况讨论：①，CD 的斜率不存在，则CD 的方程为x=6，②，CD 的斜率不存在，设CD 的方程为y-2=k （x-6），即kx-y-6k+2=0，求出k 的值，综合即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的应用，关键是求出圆M 的方程．24.【答案】证明：（Ⅰ）连结A 1C 1，∵正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1C 1D 1是正方形，∴B 1D 1⊥A 1C 1，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴CC 1⊥B 1D 1，又CC 1∩A 1C 1=C 1，∴B 1D 1⊥平面A 1C 1C ，∵A 1F ⊂面A 1C 1C ，∴B 1D 1⊥A 1F ．解：（Ⅱ）当AE：EB=1：2时，直线A1F⊥平面D1B1E．证明如下：过点F在平面BCC1B1作FG∥BC，交BB1于点G，连结A1G，交B1E于点H，∵CF：FC1=1：2，∴BG：GB1=1：2，在Rt△A1B1G与Rt△B1BE中，B1G=BE，A1B1=B1B，∴△A1B1G≌△B1BE，∠B1A1G=∠BB1E，又∠B1A1G+∠A1GB1=90°，∴∠BB1E+∠A1GB1=90°，∴∠B1HG=90°，∴A1G⊥B1E，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CB⊥面ABB1A1，∴FG⊥B1E，又A1G∩FG=G，∴B1E⊥面A1FG，∴B1E⊥A1F，又B1D1⊥A1F，B1D1∩B1E=B，∴直线A1F⊥平面B1D1E．（Ⅲ）设点P在正方体的上底面A1B1C1D1上运动，．总能使BP与A1F垂直的点P所形成的轨迹的长度为√23【解析】（Ⅰ）连结A1C1，推导出B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，从而B1D1⊥平面A1C1C，由此能证明B1D1⊥A1F．（Ⅱ）当AE：EB=1：2时，过点F在平面BCC1B1作FG∥BC，交BB1于点G，连结A1G，交B1E于点H，推导出A1G⊥B1E，FG⊥B1E，从而B1E⊥面A1FG，B1E⊥A1F，再由B1D1⊥A1F，能证明A1F⊥平面B1D1E．（Ⅲ）设点P在正方体的上底面A1B1C1D1上运动，总能使BP与A1F垂直的点P所形成的轨迹的长度为．本题考查线线垂直、线面垂直的证明，考查轨迹长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．25.【答案】解：（Ⅰ）由频率分布表的性质得N=1，=0.02，解得M=100，∵2M∴m=100-（2+3+12+38+15）=30．=0.30．∴n=mM（Ⅱ）由频率分布表作出频率分布直方图如下：（Ⅲ）平均分约为：45×0.02+55×0.03+65×0.12+75×0.38+85×0.30+95×0.15=78.6，该地区高二年级同学分数在区间（60，90]内的人数为：5000×（0.12+0.38+0.30）=4000（人）．【解析】（Ⅰ）由频率分布表的性质得N=1，，由此能求出结果．（Ⅱ）由频率分布表能作出频率分布直方图．（Ⅲ）由频率分布表能估计这次测试中该地区高二学生的平均分数及分数在区间（60，90]内的学生人数．本题考查频率分布表、频率分布直方图的应用，考查平均数、频数的求法，考查频率分布表、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．26.【答案】解：（Ⅰ）△ABC 中，a =3，b =√5，B =π4，由正弦定理得a sinA =b sinB ，∴sin A =a b sin B =√5sin π4=310√10；当A 为锐角时，cos A =√1−sin 2A =√1010， sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +cos A sin B =3√1010×√22+√1010×√22=2√55； 当A 为钝角时，cos A =-√1−sin 2A =-√1010， sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +cos A sin B =3√1010×√22-√1010×√22=√55； （Ⅱ）△ABC 的面积为S △ABC =12ac sin B =12ac sin π4=√24ac =1，…① 由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos π4=a 2+c 2-√2ac =5，…②；由①得c =2√2a ，代入②得a 2+8a 2-4=5， 化简得a 4-9a 2+8=0，解得a =1或a =2√2． 【解析】 （Ⅰ）利用正弦定理求得sinA 的值，再根据三角形的内角和与两角和的正弦值求得sinC 的值； （Ⅱ）根据三角形的面积公式和余弦定理，列方程组求出a 的值．本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．27.【答案】解：（Ⅰ）∵圆C ：x 2+（y -3）2=25与x轴的负半轴相交于点M ．∴点M 的坐标为M （-4，0），直线CM 的斜率k CM =3−00−(−4)=34，∴过点M 与圆C 相切的切线的斜率k =-43，∴过点M 的圆C 的切线方程为y -0=-43[x -（-4）]，即4x +3y +16=0．（Ⅱ）已知D （-5，-2），∴直线DF 方程为x =-5，设直线EF 的斜率为k ，则直线EF 的方程为y =k （x -t ）-2，即kx -y -kt -2=0， 依题意|−3−kt−2|√k 2+1=5，∴（2-25）k 2+100tk =0，解得k =0，（舍），或k =−10t t 2−25，∴直线EF 的方程为y =−10t t 2−25（-5-t ）-2=8t+10t−5， ∴F （-5，8t+10t−5），∴△DEF 的面积S △DEF =12⋅（t +5）•（8t+10t−5+2）=5t(t+5)t−5，（t ＞5）． （Ⅲ）设点A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），设直线MA 的方程为：x =my -4， 由{x 2+(y −3)2=25x=my−4，得（m 2+1）y 2-（8m +6）y =0，∴y A +0=8m+6m 2+1，∴y A =8m+6m 2+1，∴y B =−8m+6m 2+1，∴y A -y B =16m m 2+1，又直线MB 的方程为x =-my -4，∴x A =my A -4，x B =-my B -4，x A -x B =my A +my B =m （y A +y B ）=12m m 2+1，∴直线AB 的斜率k AB =y A −y B x A −x B =16m m 2+112mm 2+1=43，∴直线AB的斜率为定值，其值为4．3【解析】（Ⅰ）求出点M的坐标为M（-4，0），从而过点M与圆C相切的切线的斜率k=-，由此能求出过点M的圆C的切线方程．（Ⅱ）求出直线DF方程为x=-5，设直线EF的方程为kx-y-kt-2=0，依题意=5，解得k=，由此能用用t表示△DEF的面积．（Ⅲ）设点A（x A，y A），B（x B，y B），设直线MA的方程为：x=my-4，由，得（m2+1）y2-（8m+6）y=0，由此利用韦害定理能求出直线AB的斜率为定值．本题考查点的坐标、切线方程的求法，考查三角形面积的求法，考查直线的斜率是否为定值的判断与求法，考查直线方程、圆等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．。
北京市西城区2016 - 2017学年度第二学期期末考试高一
北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. A2. B3. B4. B5. D6. A7. C8. D9. C10. C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. [2,2]-； 12.52； 13. 172，45； 14. 73； 15. 59； 16. 4，29.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ,则3512616a a a d +=+=, ………………………3分 又因为12a =，解得2d =. ………………………5分 所以1(1)2n a a n d n =+-=. ………………………7分 （Ⅱ）解：因为2a ，m a ，2m a 成等比数列，所以222m m a a a =⋅， ………………………10分即2(2)44m m =⨯，m *∈N ，解得4m =. ………………………13分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为各组的频率之和为1，所以月均用水量在区间[10,12)的频率为 1(0.02520.0750.1000.225)20.1-⨯+++⨯=，所以，图中实数0.120.050a =÷=. ………………………3分 （Ⅱ）解：由图可知, 样本数据中月均用水量低于8吨的频率为(0.0250.0750.225)20.65++⨯=， ………………………5分所以小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有0.6520001300⨯=(户). ………………………7分（Ⅲ）解：设“这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组”为事件A ， 由图可知, 样本数据中月均用水量在[10,12)的户数为0.0502404⨯⨯=.记这四名同学家庭分别为,,,a b c d ,月均用水量在[12,14]的户数为0.0252402⨯⨯=.记这两名同学家庭分别为,e f , 则选取的同学家庭的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种， ………………………9分事件A 的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),(,),(,),c e c f d e d f 共8种， ………………………11分 所以8()15P A =. ………………………13分19.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， ………………………3分 得2149223()164c =+-⨯⨯⨯-=，解得4c =. ………………………5分（Ⅱ）解：（方法一）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C ==.……7分由正弦定理sin sin a c A C =，得sin sin a C A c ==. ……………………10分所以cos A ==. 因为πA B C ++=，所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+ ………………………12分1()4-+=. ………………………13分（方法二）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C …………7分 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， 得2124422()4b b =+-⨯⨯⨯-，解得4b =，或5b =-（舍）. ………………………10分 由正弦定理sin sin b c B C =，得sin sin b C B c ==………………………13分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1n =时，113a S ==-； ………………………1分 当2n ≥时，125n n n a S S n -=-=-， ………………………3分 因为13a =-符合上式，所以25n a n =-*()n ∈N . ………………………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得2521n n b -=+. ………………………5分 所以12n n T b b b =+++3125(21)(21)(21)n ---=++++++3125(222)n n ---=++++ ………………………6分32(14)14n n --=+-1(41)24n n =-+. ………………………9分（Ⅲ）解：122311111111131335(25)(23)n n a a a a a a n n +=-++++⨯⨯--+++2111111[(1)()()]323352523n n =-+-+-++---11646n =---， ………………………11分 当1n =时，12113a a =，（注：此时1046n <-） 由题意，得13λ≥； ………………………12分当2n ≥时， 因为1046n >-， 所以1223111116n n a a a a a a +<-+++. 因为对于任意正整数n ，都有12231111n n a a a a a a λ++++≤， 所以λ的最小值为13. ………………………13分21.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由2()340f x x x =+-=，解得4x =-，或1x =.所以函数()f x 有零点4-和1. ………………………3分 （Ⅱ）解：（方法1）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方，所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分所以当0x =时上式也成立，代入得2b >. ………………………8分 （方法2）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方， 所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分 当0a =时，显然2b >. 当0a ≠时，由题意，得0a >，且2(2)4(2)0a a b ∆=--<， ………………………6分 则24(2)40a b a ->>， 所以4(2)0a b ->，即2b >.综上，2b >. ………………………8分（Ⅲ）解：由题意，得不等式2(21)20ax a x +++<，即(1)(2)0ax x ++<. …………9分当0a =时，不等式化简为20x +<，解得2x <-； ………………………10分当0a ≠时，解方程(1)(2)0ax x ++=，得根12x =-，21x a=-. 所以，当0a <时，不等式的解为：2x <-，或1x a>-； ………………………11分 当102a <<时，不等式的解为：12x a-<<-； ………………………12分 当12a =时，不等式的解集为∅； ………………………13分 当12a >时，不等式的解为：12x a-<<-. ………………………14分综上，当0a <时，不等式的解集为{|2x x <-，或1}x a >-；当0a =时，不等式的解集为{|2}x x <-；当102a <<时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-；当12a =时，不等式的解集为∅；当12a >时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-.22.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：36p =，或13. ………………………3分 （Ⅱ）解：由题意，17a =，代入，得212a =，36a =，43a =，58a =，64a =，72a =，81a =，96a =，所以数列{}n a 中的项，从第三项起每隔6项重复一次（注：39a a =）， ………5分 故15012348345624()S a a a a a a a a a =+++++++++71224(638421)6384=+++++++++++ 616=.………………………8分（Ⅲ）解：由数列{}n a 的定义，知*n a ∈N .设t 为数列{}n a 中最小的数，即min{}i t a i =∈N *， 又因为当n a 为偶数时，12nn a a +=， 所以t 必为奇数. ………………………9分 设k a t =，则15k a t +=+，252k t a ++=， 所以52t t +≤，解得5t ≤. 所以{1,3,5}t ∈. ………………………10分如果3k a t ==，那么由数列{}n a 的定义，得18k a +=，24k a +=，32k a +=，41k a +=， 这显然与3t =为{}n a 中最小的数矛盾，所以3t ≠. ………………………12分 如果5k a t ==， 当1k =时，5p =；当2k ≥时，由数列{}n a 的定义，得1k a -能被5整除，…，得1a p =被5整除； 所以当且仅当*15()a p r r ==∈N 时，5t =. ………………………13分 这与题意不符.所以当*15()a r r ≠∈N 时，数列{}n a 中最小的数1t =，即符合条件的p 值的集合是*{|r r ∈N ，且r 不能被5整除}. …………………14分。
北京西城八中2016-2017学年高一下学期期末考试数学试卷 (word版含答案)
2016—2017学年度第二学期期末练习题年级：高一科目：数学（理科） 考试时间120分钟，满分150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在括号里）1．已知:1231p x -<-<，:(3)0q x x -<，则p 是q 的（）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 【答案】A【解析】解：∵1230x -<-<，可得12x <<，设集合A 为{}|12x x <<， 又∵(3)0x x -<，可得03x <<，设集合B 为{}|03x x <<， 则A B Ü，可得p 是q 的充分不必要条件．2．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（）．A ．ln(2)y x =+B ．y =C ．12xy =D ．1y x x=+【答案】A【解析】解：A 项、ln(2)y x =+在(2,)-+∞上为增函数，符合题目要求． 故选A ．3．将函数sin(2)y x ϕ=+的图像沿x 轴向左平移π8个单位，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为（）．A ．3π4B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C【解析】解：∵sin(2)y x ϕ=+左移π8个单位，函数变为ππsin 2sin 284y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∵πsin 24y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是偶函数，取x 为x -，则ππsin 2sin 244x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ππ22π()44x x k k ϕϕ++-++=∈Z ， ∴π2π2k ϕ=-，取1k =，得π4ϕ=，即ϕ一个可能取值为π4． 故选C ．4．在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（）．A ．10-B ．5-C ．10D ．5【答案】C【解析】解：521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开项215535155C ()()(1)C k k k k k k k T x x x ----+=-=-，令354k -=，可得3k =，∴553355(1)C (1)C 10k k---=-=．故选C ．5．将4名学生分到两个班级，每班至少1人，不同的方法有（）种．A ．25B ．16C ．14D ．12【答案】C【解析】解：4名学生中有2名学生分在一个班的种数为24C 6=，有3名学生分在一个班有3242C A 8⋅=种结果，∴6814+=种，共有14种结果． 故选C ．6．右图是求样本1x ，2x ，，10x 平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容的（）．A ．n S S x =+B ．10nx S S =+ C ．S S n =+D ．xS S n=+【答案】A【解析】解：该程序的作用是求样本1x ，210x x ，平均数x ，∵“输出x ”的前一步是“Sx n=”， ∴循环体的功能是累加个样本的值，应为n S S x =+． 故选A ．7．将正整数1，2，3，4，5，6，7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（）．A ．221B ．463C ．121D ．263【答案】B【解析】解：将正整数1，2，3，4，5，6，7随机分成两组，使得每组至少有一个数，共有分法：123777C C C 63++=种，其中满足两组中各数之和相等的分法如下4种，①1，2，4，7；3，5，6． ②1，3，4，6；2，5，7． ③1，6，7；2，3，4，5． ④1，2，5,6；3，4，7． ∴两组中各数之和相等的概率463P =． 故选B ．8．已知集合{}230123|222A x x a a a a =+⨯+⨯+⨯，其中{}0,1(0,1,2,3)k a k ∈=，且30a ≠，则A中所有元素之和是（）．A ．120B ．112C ．92D ．84【答案】C【解析】解：根据集合A 的形式，可以把0a ，1a ，2a ，3a 看做四位二进制数，四位二进制共可以表示0至15， ∵30a ≠，∴可表示8至15的数字，由等差数列求和可得891592++=．故选C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上） 9．在ABC △中，若2a =，cos A ，1cos 4B =-，b =__________．【解析】解：∵cos A =，sin A = 1cos 4B =-，sin B =由正弦定理sin sin a bA B=，∴sin 2sin a B b A ==．10．在等比数列{}n a 中，若2420a a +=，4660a a +=，则b =__________．【答案】【解析】解：设等比数列{}n a 中公比为q ， ∵242462420(=60a a a a q a a +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩）， ∴23q =，∴q =11．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么||a b +=__________．【解析】解：∵222||()||||2cos ,a b a b a b a b a b +=+=++⋅⋅<> =12．设函数2,(),x x af x x x a <⎧=⎨⎩≥，对任意实数b ，关于x 的方程()0f x b -=总有实数根，则a 的取值范围是__________． 【答案】[0,1]【解析】解：∵对任意实数b ，关于x 的方程()0f x b -=总有实数根， 即对任意实数b 函数()f x 的图像与直线y b =总有交点， 奇函数()f x 的值域为R ，在同一坐标系中画出y x =与2y x =的图像，由图可得，当[0,1]a ∈时，函数()f x 的值域为R ， ∴[0,1]a ∈．13．若422345123345(1)x mx a x a x a x a x a x a x -=+++++，其中26a =-，则实数m =__________． 12345a a a a a ++++=__________．【答案】32；116【解析】解：由题意4(1)mx -的展开式的通项为14()C r r rr T m x +=-，令1r =得24a m =-， ∵26a =-，∴64m -=-，解得32m =， 在展开式中令1x =得412345312a a a a a ⎛⎫-=++++ ⎪⎝⎭，即12345116a a a a a =++++．14．设M 为不等式组40400x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≥所表示的平面区域，N 为不等式组04t x t y t -⎧⎨-⎩≤≤≤≤所表示的平面区域，其中[0,4]t ∈，在M 内随机取一点A ，记点A 在N 内的概率为P ． （1）若1t =，则P =__________． （2）P 的最大值是__________． 【答案】38；12【解析】解：由题意可得，当1t =时，如图，233448P =⨯=，如图，当2(4)t t -取得最大值时，P 最大，最大值为12．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且4cos 5B =，2b =． （1）若53a =，求角A 的度数．（2）求ABC △面积的最大值．【答案】（1）30︒． （2）3．【解析】（1）∵4cos 5B =，3sin 5B ，由正弦定理sin sin a bA B=， ∴5131sin sin 3252a A Bb ==⨯⨯=，∴30A =︒．（2）∵2224cos 25a cb B ac +-==， ∴22845a c ac +-=，∵222a c ac +≥， ∴8245ac ac -≤，∴10ac ≤，当且仅当a c = 1sin 32S ABC ac B =△≤，∴ABC △的面积的最大值为3．16．（本小题满分13分）已知函数2()(1)cos f x x x =．（1）求函数()f x 的定义域及其单调减区间． （2）求函数()f x 的值域．【答案】（1）定义域为π|π,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，单调递减区间为π2π,ππ63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【解析】解：（1）∵2()(1)cos f x x x =21cos x ⎛=+ ⎝2cos cos x x x =11cos 2222x x =+ππ1sin cos2cos sin2662x x =++π1sin 262x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵ππ32π2π2π262k x k +++≤≤ π42π2π+2k π33k x +≤≤ π2πππ63k x k ++≤≤，即()f x 单调递减区间为π2π,ππ63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，∵tan x 中ππ2x k ≠+，k ∈Z ， ()f x 定义域为π|π,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ．（2）∵πsin 2[1,1]6x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴13(),22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．17．（本小题满分14分）一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13．求：（1）这名学生在途中遇到2次红灯次数的概率． （2）这名学生在首次停车前经过了3个路口的概率． （3）这名学生至少遇到一次红灯的概率． 【答案】（1）80243．（2）827．（3）211243． 【解析】解：（1）设事件A 为在途中遇到2次红灯，251122280()=C 33333243P A ⨯⨯⨯⨯⨯=．（2）设首次停车前经过3个路口，为事件B ， 说明前3个交通岗都是绿灯， 328()327P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭．（3）设至少遇到一次红灯为事件C ，则其互斥事件为全遇到绿灯，设互斥事件为D ， ∴()1()P C P D =-5221113243⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．18．（本小题满分13分）一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6． （1）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次,求取出的两个球编号之和为6的概率． （2）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率． （3）若一次从袋中随机抽取3个球，求球的最大编号为4的概率． 【答案】（1）536．（2）29．（3）12． 【解析】解：（1）设先后两次从袋中取出球的编号为m ，n ， 则两次取球的编号的一切可能结果(m,)n 有6636⨯=种，其中和为6的结果有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种， 则所求概率为536P =． （2）每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率12C 1C 3bb P ==，∴3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为2223122C (1)3339P P ⎛⎫⎛⎫-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）若3个球中最大编号为4，说明一定抽到4，剩下两个在1，2，3中任选2个，所求概率2336C 1C 2P ==，19．（本小题满分14分）设m ∈R ，不等式2(31)2(1)0mx m x m -+++>的解集记为集合P ． （1）若{}|12P x x =-<<，求m 的值． （2）当0m >时，求集合P ．（3）若{}|32x x P -<<⊆，求m 的取值范围． 【答案】见解析．【解析】解：（3）依题意，当(3,2)x ∈-时，不等式2(31)2(1)0mx m x m -+++>恒成立， 当0m =时，原不等式化为20x -+>，即{}|2P x x =<，符合题意， 当0m >时，由（2）知01m <<时，符合题意， 当0m <时，∵1112m m m+=+<， ∴12m P xx m ⎧+⎫=<<⎨⎬⎩⎭， 此时一定有13m m +-≤成立，解得104m -<≤， 综上，若{}|32x x P -<<⊆，1,14m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．20．（本小题满分13分）已知每项均为正整数的数列1:A a ，2a ，3a ，4a ，，n a ，其中等于i 的项有k 个(1,2,3)i =，设12(1,2,3)j j b k k k j =+++=，12()(1,2,3)m g m b b b nm m =+++-=．（1）设数列:1A ，2，1，4，求(1)g ，(2)g ，(3)g ，(4)g ，(5)g ． （2）若数列A 满足12100n a a a n +++-=，求函数()g m 的最小值．【答案】（1）(1)2g =-；(2)3g =-；(3)4g =-；(4)4g =-；(5)4g =-． （2）100-．【解析】解：（1）根据题目中定义，12k =，21k =，30k =，41k =，0(5,6,7)j k j ==，12b =，2213b =+=，32103b =++=，44b =，4(5,6,7)m b m ==， 1(1)412g b =-⨯=-，12(2)423g b b =+-⨯=-， 123(3)b 434g b b =++-⨯=-， 1234(4)444g b b b b =+++-⨯=-， 12345(5)454g b b b b b =++++-⨯=-．（2）∵1(1)()m g m g m b n ++-=-，由“数列A 含有n 项”及bj 的含义知1m b n +≤， ∴(1)()0g m g m +-≤， 即()(1)g m g m +≥， 又∵设整数{}12max ,n M a a a =，当m M ≥时，必有m b n =， ∴(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M -==+≥≥≥，∴()g m 最小值为(1)g M -， ∵1231(1)(1)M g M b b b b n M --=++++--1231()()()()M b n b n b n b n -=-+-+-++-2334()()()M M M k k k k k k k =----+----++- 23[2(1)]M k k M k =-+++- 12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++ 12()n M a a a b =-++++，∵123100n a a a a n ++++-=．(1)100g M -=-， ∴()g m 最小值为100-．。
北京市西城区高一数学下学期期末考试试题(扫描(2021年整理)
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最新版北京市西城区度第二学期期末考试高一数学试卷
北京市西城区2016 - 2017学年度第二学期期末试卷高一数学2017.7试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1[,)+∞2执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 11. 函数()f x =_______.12. 在等差数列{}n a 中,245a a +=，则3a =_______.13. 随机抽取某班6名学生，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据依次为：162，168，170，171，179，182，那么此班学生平均身高大约为 cm ；样本数据的方差为 .14. 设x ，y 满足约束条件2,1,10,y x x y y ++⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则3z x y =+的最大值是_______.15. 有4张卡片，上面分别写有0，1，2，3. 若从这4张卡片中随机取出2张组成一个两位数，则此数为偶数的概率是_______.16. 在数列{}n a 中，312a =，115a =-，且任意连续三项的和均为11，则2017a =_______；设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得100n S ≤成立的最大整数n =_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中,12a =,3516a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）如果2a ，m a ，2m a 成等比数列，求正整数m 的值.18．（本小题满分13分）北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学校的2000名同学中，随机调查了40名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月均用水量分为6组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）给出图中实数a 的值；（Ⅱ）根据样本数据，估计小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有多少户；（Ⅲ）在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组的概率.19．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2a =,1cos 4C =-. （Ⅰ）如果3b =,求c 的值；（Ⅱ）如果c =sin B 的值.20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，其中*n ∈N .吨a（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21n a n b =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （Ⅲ）若对于任意正整数n ，都有12231111n n a a a a a a λ++++≤，求实数λ的最小值.21．（本小题满分14分）已知函数2()(21)f x ax a x b =+++，其中a ，b ∈R .（Ⅰ）当1a =，4b =-时，求函数()f x 的零点；（Ⅱ）如果函数()f x 的图象在直线2y x =+的上方，证明：2b >； （Ⅲ）当2b =时，解关于x 的不等式()0f x <．22．（本小题满分14分）在无穷数列{}n a 中，1a p =是正整数，且满足1, ,25, .nn n nn a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数当为奇数 （Ⅰ）当39a =时，给出p 的值；（结论不要求证明） （Ⅱ）设7p =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求150S ；（Ⅲ）如果存在*m ∈N ，使得1m a =，求出符合条件的p 的所有值.北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. A2. B3. B4. B5. D6. A7. C8. D9. C 10. C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. [2,2]-； 12.52； 13. 172，45； 14. 73； 15. 59； 16. 4，29.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ,则3512616a a a d +=+=, ………………………3分 又因为12a =，解得2d =. ………………………5分 所以1(1)2n a a n d n =+-=. ………………………7分 （Ⅱ）解：因为2a ，m a ，2m a 成等比数列，所以222m m a a a =⋅， ………………………10分即2(2)44m m =⨯，m *∈N ，解得4m =. ………………………13分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为各组的频率之和为1，所以月均用水量在区间[10,12)的频率为 1(0.02520.0750.1000.225)20.1-⨯+++⨯=，所以，图中实数0.120.050a =÷=. ………………………3分 （Ⅱ）解：由图可知, 样本数据中月均用水量低于8吨的频率为(0.0250.0750.225)20.65++⨯=， ………………………5分所以小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有0.6520001300⨯=(户). ………………………7分（Ⅲ）解：设“这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组”为事件A ， 由图可知, 样本数据中月均用水量在[10,12)的户数为0.0502404⨯⨯=.记这四名同学家庭分别为,,,a b c d ,月均用水量在[12,14]的户数为0.0252402⨯⨯=.记这两名同学家庭分别为,e f , 则选取的同学家庭的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种， ………………………9分事件A 的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),(,),(,),c e c f d e d f 共8种， ………………………11分 所以8()15P A =. ………………………13分19.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， ………………………3分 得2149223()164c =+-⨯⨯⨯-=，解得4c =. ………………………5分（Ⅱ）解：（方法一）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C ==.……7分由正弦定理sin sin a c A C =，得sin sin a C A c ==. ……………………10分所以cos A ==. 因为πA B C ++=，所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+ ………………………12分1()4-+=. ………………………13分（方法二）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C …………7分 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， 得2124422()4b b =+-⨯⨯⨯-，解得4b =，或5b =-（舍）. ………………………10分由正弦定理sin sin b c B C =，得sin sin b C B c ==………………………13分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1n =时，113a S ==-； ………………………1分 当2n ≥时，125n n n a S S n -=-=-， ………………………3分 因为13a =-符合上式，所以25n a n =-*()n ∈N . ………………………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得2521n n b -=+. ………………………5分 所以12n n T b b b =+++3125(21)(21)(21)n ---=++++++3125(222)n n ---=++++ ………………………6分32(14)14n n --=+-1(41)24n n =-+. ………………………9分（Ⅲ）解：122311111111131335(25)(23)n n a a a a a a n n +=-++++⨯⨯--+++2111111[(1)()()]323352523n n =-+-+-++---11646n =---， ………………………11分 当1n =时，12113a a =，（注：此时1046n <-） 由题意，得13λ≥； ………………………12分 当2n ≥时， 因为1046n >-， 所以1223111116n n a a a a a a +<-+++. 因为对于任意正整数n ，都有12231111n n a a a a a a λ++++≤，所以λ的最小值为13. ………………………13分21.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由2()340f x x x =+-=，解得4x =-，或1x =.所以函数()f x 有零点4-和1. ………………………3分 （Ⅱ）解：（方法1）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方，所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分所以当0x =时上式也成立，代入得2b >. ………………………8分 （方法2）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方， 所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分 当0a =时，显然2b >. 当0a ≠时，由题意，得0a >，且2(2)4(2)0a a b ∆=--<， ………………………6分 则24(2)40a b a ->>， 所以4(2)0a b ->，即2b >.综上，2b >. ………………………8分（Ⅲ）解：由题意，得不等式2(21)20ax a x +++<，即(1)(2)0ax x ++<. …………9分当0a =时，不等式化简为20x +<，解得2x <-； ………………………10分 当0a ≠时，解方程(1)(2)0ax x ++=，得根12x =-，21x a=-. 所以，当0a <时，不等式的解为：2x <-，或1x a>-； ………………………11分 当102a <<时，不等式的解为：12x a-<<-； ………………………12分 当12a =时，不等式的解集为∅； ………………………13分当12a >时，不等式的解为：12x a-<<-. ………………………14分 综上，当0a <时，不等式的解集为{|2x x <-，或1}x a >-；当0a =时，不等式的解集为{|2}x x <-；当102a <<时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-；当12a =时，不等式的解集为∅；当12a >时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-.22.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：36p =，或13. ………………………3分 （Ⅱ）解：由题意，17a =，代入，得212a =，36a =，43a =，58a =，64a =，72a =，81a =，96a =，所以数列{}n a 中的项，从第三项起每隔6项重复一次（注：39a a =）， ………5分 故15012348345624()S a a a a a a a a a =+++++++++71224(638421)6384=+++++++++++ 616=.………………………8分（Ⅲ）解：由数列{}n a 的定义，知*n a ∈N .设t 为数列{}n a 中最小的数，即min{}i t a i =∈N *， 又因为当n a 为偶数时，12nn a a +=， 所以t 必为奇数. ………………………9分 设k a t =，则15k a t +=+，252k t a ++=， 所以52t t +≤，解得5t ≤. 所以{1,3,5}t ∈. ………………………10分 如果3k a t ==，那么由数列{}n a 的定义，得18k a +=，24k a +=，32k a +=，41k a +=， 这显然与3t =为{}n a 中最小的数矛盾，所以3t ≠. ………………………12分精品如果5k a t ==，当1k =时，5p =； 当2k ≥时，由数列{}n a 的定义，得1k a -能被5整除，…，得1a p =被5整除； 所以当且仅当*15()a p r r ==∈N 时，5t =. ………………………13分 这与题意不符.所以当*15()a r r ≠∈N 时，数列{}n a 中最小的数1t =， 即符合条件的p 值的集合是*{|r r ∈N ，且r 不能被5整除}. …………………14分。
北京市西城区2017 2018度第二学期期末考试高一数学试卷
1 / 9北京市西城区2017 — 2018学年度第二学期期末试卷高一数学2018.7试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[立体几何初步与解析几何初步] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1,2(3,0两点之间的距离为（2.直的倾斜角为（4612133.直与直关轴对称，则直的方程为（4已知与2，则两圆的位置关系是（）相）相）内）外5为两条不重合的直线为两个不重合的平面既不内，也不.则下列结论正确的是（）//，/）//，/），），6.若方表示圆，则实的取值范围是（,1,1[?7.圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是（）（A）2?（B）1?（C）22?（D）21?8.方程21xy??表示的图形是（）（A）两个半圆（B）两个圆（C）圆（D）半圆2 / 99.如图，四棱锥PABCD?的底面ABCD是梯形，//ABCD，若平面PAD I平面PBCl?，则（）（A）//lCD（B）//lBC（C）l与直线AB相交（D）l与直线AD相交10.已知,ab是异面直线. 给出下列结论：①一定存在平面?，使直线b?平面?，直线//a平面?；一定存在平，使直/平，直/平一定存在无数个平，使直与平交于一个定点，且直/平则所有正确结论的序号为（）①））②）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11.已知点(,2)Am?，(3,0)B，若直线AB的斜率为12，则m?_____. 12.若直线1:280laxy???与直线2:0lxy??平行，则a?______.13.已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱最大侧面的面积为______.14.已知直线ykxk??过定点，则定点的坐标为______.15.在直三棱柱111ABCABC?中，D为1AA中点，点P在侧面11BCCB上运动，当点P满足条件_______________时，1//AP平面BCD. （答案不唯一，填一个满足题意的条件即可）16. 如图，矩形ABCD中AB边与x轴重合，(2,2)C，(1,2)D?. 从原点O射出的光线OP经BC反射到CD上，再经CD反射到AD上点Q处. ①若OP的斜率为12，则点Q的纵坐标为______；②若点Q恰为线段AD中点，则OP的斜率为______.三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD?中，底面ABCD是正方形，PA?平面ABCD，且2PAAD??，点E 为线段PD的中点.（Ⅰ）求证：//PB平面AEC；（Ⅱ）求证：AE?平面PCD；（Ⅲ）求三棱锥APCE?的体积.18．（本小题满分12分）ABCDPEOxyDABCPQ正（主）视图2121俯视图侧（左）视图C′B′A′D′C1′A1′B1′D′B′A′PC′3 / 9已知直线:8lyx???与x轴相交于点A，点B坐标为(0,4)?，过点B作直线l的垂线，交直线l于点C.记过A、B、C三点的圆为圆M. （Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）求过点C与圆M相交所得弦长为8的直线方程. 19．（本小题满分12分）如图，已知正方体1111ABCDABCD?的棱长为1，点E是棱AB上的动点，F是棱1CC上一点，1:1:2CFFC?. （Ⅰ）求证：111BDAF?；（Ⅱ）若直线1AF?平面11BDE，试确定点E的位置，并证明你的结论；（Ⅲ）设点P在正方体的上底面1111ABCD上运动，求总能使BP与1AF垂直的点P所形成的轨迹的长度．（直接写出答案）B卷 [学期综合]本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1．在区间[2,4]?内随机选取一个实数x，则[1,3]x?的概率为_____．．2．如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人1天加工的零件数，且甲、乙两组工人平均每人加工零件的个数相同，则m?_____；甲、乙两组工人加工零件数方差较大的一组的方差为______.3．从1,2,3,4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和不小于5的概率为_____．．4．一艘货船以15km/h的速度向东航行，货船在A处看到一个灯塔P在北偏东60方向上，行驶4小时后，货船到达B处，此时看到灯塔P在北偏东15方向上，这时船与灯塔的距离为_____km．．5．在△ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc.已知△ABC面积S满足12S??，且1sinsinsin8ABC?. 给出下列结论：①16abc?；②228abab??；③32ab?；其中正确结论的序号是_____．．（写出所有正确结论的序号）二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分8分）题号一二本卷总分67 8 分数 D BCA1B1C1 D1A EF甲乙9 8 1 92 1 2 0 0 m4 / 9在某地区高二年级的一次英语口语测试中，随机抽取M名同学的成绩，数据的分组统计表如下：（Ⅰ）求出表中,,,mnMN的值；（Ⅱ）根据上表，请在答题纸中给出的坐标系中完整画出频率分布直方图；（Ⅲ）若该地区高二年级学生有5000人，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计这次测试中该地区高二年级学生的平均分数及分数在区间(60,90]内的学生人数．7．（本小题满分10分）在△ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc.5b?，4B??.（Ⅰ）若3a?，求sinA及sinC的值；（Ⅱ）若△ABC的面积等于1，求a的值．8．（本小题满分12分）已知圆22:(3)25Cxy???与x轴的负半轴相交于点M. （Ⅰ）求点M的坐标及过点M与圆C相切的直线方程；（Ⅱ）一般把各边都和圆相切的三角形叫做圆的外切三角形.记圆C的外切三角形为△DEF，且(5,2)D??，(,2)(5)Ett??.试用t表示△DEF的面积；（Ⅲ）过点M作,MAMB分别与圆相交于点,AB，且直线,MAMB关于x轴对称，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.北京市西城区2017— 2018学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2018.7A卷[立体几何初步与解析几何初步] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.C2.A3. B4.C5.B6. A7. A8.D9.D 10.C.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.1?12.2?13.514. (1,0)?15.P是1CC中点，等16.33,25注：第16题每空两分.三、解答题：本大题共3小题，共36分.分组频数频率(40,50]20.02(50,60]30.03(60,70]120.12(70,80]380.38(80,90(90,100150.1合xyO M· C5 / 917.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结BD，交AC于点O，连结OE.因为O是正方形ABCD对角线交点，所以O为BD中点，由已知E为线段PD的中点，所以//PBOE.…………………2分又OE?平面ACE，PB?平面ACE，所以//PB平面ACE (5)分（Ⅱ）证明：因为PAAD?，E为线段P的中点，所以AEPD?，…………………6分因为PA?平面ABCD，所以PACD?，…………………7分在正方形ABCD中，CDAD?，又PAADA?I，所以CD?平面PAD，…………………8分又AE?平面PAD，所以CDAE?，…………………9分又PDCDD?I，所以AE?平面PCD，…………………10分（Ⅲ）因为AE?平面PCD，所以三棱锥APCE?的体积.13PCE VSAE??V1111222232323PECDAE??????????. …………………12分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知(8,0)A，依题意，圆M的圆周角90ACB??，所以过A、B、C三点的圆M即为以AB为直径的圆.…………………3分所以，圆M的圆心为AB的中点(4,2)?.因为228445AB???，所以圆M的半径为25，…………………5分所以圆M的方程为22(4)(2)20xy????. …………………6分（Ⅱ）因为所求直线与圆M相交所得弦长为8，由垂径定理，圆M的圆心到所求直线的距离为20162??.…………………7分易知，直线6x?满足题意.…………………8分由已知，直线:4ACyx??，解4,8yxyx????????得点C的坐标为(6,2)C. …………………9分设斜率存在且满足题意的直线方程为2(6)ykx???，即620kxyk????. 则圆心(4,2)?到直线620kxyk????的距离为2242622411kkkkk???????，……10分ABCDPEO6 / 9令22421kk???，解得34k?. …………………11分所以，所求直线方程为6x?和34100xy???. …………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结11AC.1111ABCD是正方形，所以1111BDAC?. (1)分在正方体1111ABCDABCD?中，1CC?平面1111ABCD，所以111CCBD?，…………………2分又1111CCACC?I，所以11BD?平面11ACC，…………………3分因为1AF?平面11ACC，所以11BD?1AF. …………………4分（Ⅱ）当:1:2AEEB?时，直线1AF?平面11DBE.…5分证明如下：过点F在平面11BCCB作//FGBC交1BB于点G，连结1AG，交1BE于点H，因为1:1:2CFFC?，所以1:1:2BGGB?，在11RtABG△与1RtBBE△中，1BGBE?，111ABBB?，所以111ABGBBE?△△，111BAGBBE???.又111190BAGAGB????，所以11190BBEAGB????. 所以190BHG??o，11AGBE?.…………………7分在正方体1111ABCDABCD?中，CB?面11ABBA，所以FG?面11ABBA，所以1FGBE?，又1AGFGG?I，所以1BE?面1AFG，…………………8分所以1BE?1AF.又11BD?1AF，1111BDBEB?I，所以直线1AF?平面11BDE.…………………9分（Ⅲ）23. …………………1B卷[学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1.132.1，2.53.234.3025.②③.注：第5题少选得2分，多选、错选不得分.第2题每空2分.D BC AB1C11 AEF GH7 / 9二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分8分）解：（Ⅰ）1N?. 因为20.02M?，所以100M?．从而100(23123815)30m???????，0.30mnM??．…………………4分（Ⅱ）直方图如下：…………………6分（Ⅲ）平均分约为450.0250.060.170.380.30950.1578.6????．该地区高二年级同学分数在区间(60,90]内的人数约为5000(0.120.380.30)4000????（人）．…………………8分7.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）在△ABC中，3a?，5b?，4B??，sinsinabAB?.所以33sinsinsin104105aABb????. …………………2分当A为锐角时，10cos10A?，sinsin()sincoscossinCABABAB????…………………3分3102102251021025?????. …………………4分当A为钝角时，10cos10A??，sinC?55. …………………5分（Ⅱ）△ABC的面积12sin244ABC Sacac????，所以214ac?. …………①…………………7分在ABC?中，2222cos4bacac????，…………………9分所以2252acac???. …………②由①得22ca?，代入②得22854aa???，所以42980aa???.解得1a?或22a?. …………………10分8.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）点M的坐标为(4,0)?. …………………1分直线CM的斜率3030(4)4CM k?????，…………………2分50 70 60 80 100频组分0.0120.0.0020.003 40 0 900.0300.0158 / 9所以过点M圆C的切线斜率43k??，所以，过点M的切线方程为40[(4)]3yx?????，即43160xy???. …………3分（Ⅱ）已知(5,2)D??，所以直线DF方程为5x??.设直线EF的斜率为k，则直线EF方程为()2ykxt???，即20kxykt????.依题意2|32|1kk????，所以22(25)100tktk???，解得0k?（舍）或21025tkt???，…………………5分所以直线EF方程为210()225tyxtt?????.当5x??时，210810(5)2525ttyttt?????????.…………………6分所以810(5,)5tFt???，所以△DEF的面积18105(5)(5)(2)255DEF tttSttt???????????，（5t?）.…………7分（Ⅲ）解法一（解析法）：设点(,),(,)AABB AxyBxy，设直线MA的方程为：4xmy??. 由224,(3)25xmyxy??????????得22(1)(86)0mymy????. 所以28601A mym????，2861A mym???. …………8分所以2861B mym????，…………………9分所以2161AB myym???.又直线MB的方程为4xmy???，所以4AA xmy??，4BB xmy???，212()1ABABAB mxxmymymyym???????.…………………11分所以直线AB的斜率2216411231ABABAB myymkmxxm???????.即直线AB的斜率为定值，其值为43. (12)分注：其他解法相应给分. 解法二（几何法）：如图，设圆与x轴的正半轴相交于9 / 9点M?.由,MAMB关于x轴对称可知，AMMBMM?????，所以M?为?AB的中点，连结CM?，则CMAB??，因为直线CM?的斜率303044CM k??????，所以43AB k?.即直线AB的斜率为定值，其值为43. 附：B卷5. 略解：因为1sinsinsin8ABC?，所以111sinsinsin888abbccaABCabbcca??????；所以222364abcS?.因为12S??，所以2221864abc??，8162abc??.所以①不正确.因为22()8abababababc?????. 所以②正确. 因为1sinsinsin8ABC?，所以1sin8C?，所以111sin282abCab??，所以16abS?，所以32ab?.所以③正确.。
北京市西城八中2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
北京市西城八中2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）考试时间120分钟，满分150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在括号里）1．已知:1231p x -<-<，:(3)0q x x -<，则p 是q 的（）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 【答案】A【解析】解：∵1230x -<-<，可得12x <<，设集合A 为{}|12x x <<， 又∵(3)0x x -<，可得03x <<，设集合B 为{}|03x x <<， 则A B Ü，可得p 是q 的充分不必要条件．2．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（）．A ．ln(2)y x =+B ．1y x =-+C ．12xy =D ．1y x x=+【答案】A【解析】解：A 项、ln(2)y x =+在(2,)-+∞上为增函数，符合题目要求． 故选A ．3．将函数sin(2)y x ϕ=+的图像沿x 轴向左平移π8个单位，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为（）．A ．3π4B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C【解析】解：∵sin(2)y x ϕ=+左移π8个单位，函数变为ππsin 2sin 284y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∵πsin 24y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是偶函数，取x 为x -，则ππsin 2sin 244x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ππ22π()44x x k k ϕϕ++-++=∈Z ， ∴π2π2k ϕ=-，取1k =，得π4ϕ=，即ϕ一个可能取值为π4． 故选C ．4．在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（）．A ．10-B ．5-C ．10D ．5【答案】C【解析】解：521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开项215535155C ()()(1)C k k k k k k k T x x x ----+=-=-，令354k -=，可得3k =，∴553355(1)C (1)C 10k k---=-=．故选C ．5．将4名学生分到两个班级，每班至少1人，不同的方法有（）种．A ．25B ．16C ．14D ．12【答案】C【解析】解：4名学生中有2名学生分在一个班的种数为24C 6=，有3名学生分在一个班有3242C A 8⋅=种结果，∴6814+=种，共有14种结果． 故选C ．6．右图是求样本1x ，2x ，，10x 平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容的（）．A ．n S S x =+B ．10nx S S =+ C ．S S n =+D ．xS S n=+【答案】A【解析】解：该程序的作用是求样本1x ，210x x ，平均数x ，∵“输出x ”的前一步是“Sx n=”， ∴循环体的功能是累加个样本的值，应为n S S x =+． 故选A ．7．将正整数1，2，3，4，5，6，7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（）．A ．221B ．463C ．121D ．263【答案】B【解析】解：将正整数1，2，3，4，5，6，7随机分成两组，使得每组至少有一个数，共有分法：123777C C C 63++=种，其中满足两组中各数之和相等的分法如下4种，①1，2，4，7；3，5，6． ②1，3，4，6；2，5，7． ③1，6，7；2，3，4，5． ④1，2，5,6；3，4，7． ∴两组中各数之和相等的概率463P =． 故选B ．8．已知集合{}230123|222A x x a a a a =+⨯+⨯+⨯，其中{}0,1(0,1,2,3)k a k ∈=，且30a ≠，则A中所有元素之和是（）．A ．120B ．112C ．92D ．84【答案】C【解析】解：根据集合A 的形式，可以把0a ，1a ，2a ，3a 看做四位二进制数，四位二进制共可以表示0至15， ∵30a ≠，∴可表示8至15的数字，由等差数列求和可得891592++=． 故选C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上） 9．在ABC △中，若2a =，cos A =，1cos 4B =-，b =__________．【解析】解：∵cos A =，sin A = 1cos 4B =-，215sin 1cos B B -由正弦定理sin sin a bA B=，∴sin 2sin a B b A ===．10．在等比数列{}n a 中，若2420a a +=，4660a a +=，则b =__________．【答案】【解析】解：设等比数列{}n a 中公比为q ， ∵242462420(=60a a a a q a a +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩）， ∴23q =，∴q =11．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么||a b +=__________．【解析】解：∵222||()||||2cos ,a b a b a b a b a b +=+=++⋅⋅<>12．设函数2,(),x x af x x x a <⎧=⎨⎩≥，对任意实数b ，关于x 的方程()0f x b -=总有实数根，则a 的取值范围是__________． 【答案】[0,1]【解析】解：∵对任意实数b ，关于x 的方程()0f x b -=总有实数根， 即对任意实数b 函数()f x 的图像与直线y b =总有交点， 奇函数()f x 的值域为R ，在同一坐标系中画出y x =与2y x =的图像，由图可得，当[0,1]a ∈时，函数()f x 的值域为R ， ∴[0,1]a ∈．13．若422345123345(1)x mx a x a x a x a x a x a x -=+++++，其中26a =-，则实数m =__________． 12345a a a a a ++++=__________．【答案】32；116【解析】解：由题意4(1)mx -的展开式的通项为14()C r r rr T m x +=-，令1r =得24a m =-， ∵26a =-，∴64m -=-，解得32m =， 在展开式中令1x =得412345312a a a a a ⎛⎫-=++++ ⎪⎝⎭，即12345116a a a a a =++++．14．设M 为不等式组40400x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≥所表示的平面区域，N 为不等式组04t x t y t -⎧⎨-⎩≤≤≤≤所表示的平面区域，其中[0,4]t ∈，在M 内随机取一点A ，记点A 在N 内的概率为P ． （1）若1t =，则P =__________． （2）P 的最大值是__________． 【答案】38；12【解析】解：由题意可得，当1t =时，如图，233448P =⨯=，如图，当2(4)t t -取得最大值时，P 最大，最大值为12．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且4cos 5B =，2b =． （1）若53a =，求角A 的度数．（2）求ABC △面积的最大值．【答案】（1）30︒． （2）3．【解析】（1）∵4cos 5B =，3sin 5B ，由正弦定理sin sin a bA B=， ∴5131sin sin 3252a A Bb ==⨯⨯=，∴30A =︒．（2）∵2224cos 25a c b B ac +-==， ∴22845a c ac +-=，∵222a c ac +≥， ∴8245ac ac -≤，∴10ac ≤，当且仅当a c == 1sin 32S ABC ac B =△≤，∴ABC △的面积的最大值为3．16．（本小题满分13分）已知函数2()(1)cos f x x x =+．（1）求函数()f x 的定义域及其单调减区间． （2）求函数()f x 的值域．【答案】（1）定义域为π|π,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，单调递减区间为π2π,ππ63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【解析】解：（1）∵2()(1)cos f x x x =21cos x ⎛= ⎝2cos cos x x x =11cos2222x x =+ππ1sin cos2cos sin2662x x =++π1sin 262x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵ππ32π2π2π262k x k +++≤≤ π42π2π+2k π33k x +≤≤ π2πππ63k x k ++≤≤，即()f x 单调递减区间为π2π,ππ63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，∵tan x 中ππ2x k ≠+，k ∈Z ， ()f x 定义域为π|π,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ．（2）∵πsin 2[1,1]6x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴13(),22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．17．（本小题满分14分）一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13．求：（1）这名学生在途中遇到2次红灯次数的概率． （2）这名学生在首次停车前经过了3个路口的概率． （3）这名学生至少遇到一次红灯的概率． 【答案】（1）80243．（2）827．（3）211243． 【解析】解：（1）设事件A 为在途中遇到2次红灯，251122280()=C 33333243P A ⨯⨯⨯⨯⨯=．（2）设首次停车前经过3个路口，为事件B ， 说明前3个交通岗都是绿灯， 328()327P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭．（3）设至少遇到一次红灯为事件C ，则其互斥事件为全遇到绿灯，设互斥事件为D ， ∴()1()P C P D =-5221113243⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．18．（本小题满分13分）一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6． （1）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次,求取出的两个球编号之和为6的概率． （2）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率． （3）若一次从袋中随机抽取3个球，求球的最大编号为4的概率． 【答案】（1）536．（2）29．（3）12． 【解析】解：（1）设先后两次从袋中取出球的编号为m ，n ， 则两次取球的编号的一切可能结果(m,)n 有6636⨯=种，其中和为6的结果有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种， 则所求概率为536P =． （2）每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率12C 1C 3b b P ==， ∴3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为2223122C (1)3339P P ⎛⎫⎛⎫-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）若3个球中最大编号为4，说明一定抽到4，剩下两个在1，2，3中任选2个，所求概率2336C 1C 2P ==，19．（本小题满分14分）设m ∈R ，不等式2(31)2(1)0mx m x m -+++>的解集记为集合P ． （1）若{}|12P x x =-<<，求m 的值． （2）当0m >时，求集合P ．（3）若{}|32x x P -<<⊆，求m 的取值范围． 【答案】见解析．【解析】解：（3）依题意，当(3,2)x ∈-时，不等式2(31)2(1)0mx m x m -+++>恒成立， 当0m =时，原不等式化为20x -+>，即{}|2P x x =<，符合题意， 当0m >时，由（2）知01m <<时，符合题意， 当0m <时，∵1112m m m+=+<， ∴12m P xx m ⎧+⎫=<<⎨⎬⎩⎭， 此时一定有13m m +-≤成立，解得104m -<≤， 综上，若{}|32x x P -<<⊆，1,14m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．20．（本小题满分13分）已知每项均为正整数的数列1:A a ，2a ，3a ，4a ，，n a ，其中等于i 的项有k 个(1,2,3)i =，设12(1,2,3)j j b k k k j =+++=，12()(1,2,3)m g m b b b nm m =+++-=．（1）设数列:1A ，2，1，4，求(1)g ，(2)g ，(3)g ，(4)g ，(5)g ． （2）若数列A 满足12100n a a a n +++-=，求函数()g m 的最小值．【答案】（1）(1)2g =-；(2)3g =-；(3)4g =-；(4)4g =-；(5)4g =-． （2）100-．【解析】解：（1）根据题目中定义，12k =，21k =，30k =，41k =，0(5,6,7)j k j ==，12b =，2213b =+=，32103b =++=，44b =，4(5,6,7)m b m ==， 1(1)412g b =-⨯=-，12(2)423g b b =+-⨯=-， 123(3)b 434g b b =++-⨯=-， 1234(4)444g b b b b =+++-⨯=-， 12345(5)454g b b b b b =++++-⨯=-．（2）∵1(1)()m g m g m b n ++-=-，由“数列A 含有n 项”及bj 的含义知1m b n +≤， ∴(1)()0g m g m +-≤， 即()(1)g m g m +≥， 又∵设整数{}12max ,n M a a a =，当m M ≥时，必有m b n =，∴(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M -==+≥≥≥， ∴()g m 最小值为(1)g M -， ∵1231(1)(1)M g M b b b b n M --=++++--1231()()()()M b n b n b n b n -=-+-+-++-- 11 - 2334()()()M M M k k k k k k k =----+----++- 23[2(1)]M k k M k =-+++- 12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++ 12()n M a a a b =-++++，∵123100n a a a a n ++++-=．(1)100g M -=-， ∴()g m 最小值为100-．。
(优辅资源)版北京市西城区度第二学期期末考试高一数学试卷
北京市西城区2016 - 2017学年度第二学期期末试卷高一数学2017.7试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1[,)+∞2执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 11. 函数()f x _______.12. 在等差数列{}n a 中,245a a +=，则3a =_______.13. 随机抽取某班6名学生，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据依次为：162，168，170，171，179，182，那么此班学生平均身高大约为 cm ；样本数据的方差为 .14. 设x ，y 满足约束条件2,1,10,y x x y y ++⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则3z x y =+的最大值是_______.15. 有4张卡片，上面分别写有0，1，2，3. 若从这4张卡片中随机取出2张组成一个两位数，则此数为偶数的概率是_______.16. 在数列{}n a 中，312a =，115a =-，且任意连续三项的和均为11，则2017a =_______；设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得100n S ≤成立的最大整数n =_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中,12a =,3516a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）如果2a ，m a ，2m a 成等比数列，求正整数m 的值.18．（本小题满分13分）北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学校的2000名同学中，随机调查了40名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月均用水量分为6组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）给出图中实数a 的值；（Ⅱ）根据样本数据，估计小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有多少户；（Ⅲ）在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组的概率.19．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2a =,1cos 4C =-. （Ⅰ）如果3b =,求c 的值；（Ⅱ）如果c =sin B 的值.20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，其中*n ∈N .吨a（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21na nb =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）若对于任意正整数n ，都有12231111n n a a a a a a λ++++≤，求实数λ的最小值.21．（本小题满分14分）已知函数2()(21)f x ax a x b =+++，其中a ，b ∈R .（Ⅰ）当1a =，4b =-时，求函数()f x 的零点；（Ⅱ）如果函数()f x 的图象在直线2y x =+的上方，证明：2b >； （Ⅲ）当2b =时，解关于x 的不等式()0f x <．22．（本小题满分14分）在无穷数列{}n a 中，1a p =是正整数，且满足1, ,25, .nn n nn a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数当为奇数 （Ⅰ）当39a =时，给出p 的值；（结论不要求证明） （Ⅱ）设7p =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求150S ；（Ⅲ）如果存在*m ∈N ，使得1m a =，求出符合条件的p 的所有值.北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. A2. B3. B4. B5. D6. A7. C8. D9. C 10. C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. [2,2]-； 12.52； 13. 172，45； 14. 73； 15. 59； 16. 4，29.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ,则3512616a a a d +=+=, ………………………3分 又因为12a =，解得2d =. ………………………5分 所以1(1)2n a a n d n =+-=. ………………………7分 （Ⅱ）解：因为2a ，m a ，2m a 成等比数列，所以222m m a a a =⋅， ………………………10分即2(2)44m m =⨯，m *∈N ，解得4m =. ………………………13分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为各组的频率之和为1，所以月均用水量在区间[10,12)的频率为 1(0.02520.0750.1000.225)20.1-⨯+++⨯=，所以，图中实数0.120.050a =÷=. ………………………3分 （Ⅱ）解：由图可知, 样本数据中月均用水量低于8吨的频率为(0.0250.0750.225)20.65++⨯=， ………………………5分所以小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有0.6520001300⨯=(户). ………………………7分（Ⅲ）解：设“这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组”为事件A ， 由图可知, 样本数据中月均用水量在[10,12)的户数为0.0502404⨯⨯=.记这四名同学家庭分别为,,,a b c d ,月均用水量在[12,14]的户数为0.0252402⨯⨯=.记这两名同学家庭分别为,e f , 则选取的同学家庭的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种， ………………………9分事件A 的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),(,),(,),c e c f d e d f 共8种， ………………………11分 所以8()15P A =. ………………………13分19.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， ………………………3分 得2149223()164c =+-⨯⨯⨯-=，解得4c =. ………………………5分（Ⅱ）解：（方法一）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C ==.……7分由正弦定理sin sin a c A C =，得sin sin 8a C A c ==. ……………………10分所以cos 8A ==. 因为πABC ++=，所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+ ………………………12分1()4-+=. ………………………13分（方法二）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C …………7分 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， 得2124422()4b b =+-⨯⨯⨯-，解得4b =，或5b =-（舍）. ………………………10分由正弦定理sin sin b c B C =，得sin sin 4b C Bc ==. ………………………13分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1n =时，113a S ==-； ………………………1分 当2n ≥时，125n n n a S S n -=-=-， ………………………3分 因为13a =-符合上式，所以25n a n =-*()n ∈N . ………………………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得2521n n b -=+. ………………………5分 所以12n n T b b b =+++3125(21)(21)(21)n ---=++++++3125(222)n n ---=++++ ………………………6分32(14)14n n --=+-1(41)24n n =-+. ………………………9分（Ⅲ）解：122311111111131335(25)(23)n n a a a a a a n n +=-++++⨯⨯--+++2111111[(1)()()]323352523n n =-+-+-++---11646n =---， ………………………11分 当1n =时，12113a a =，（注：此时1046n <-） 由题意，得13λ≥； ………………………12分 当2n ≥时， 因为1046n >-， 所以1223111116n n a a a a a a +<-+++. 因为对于任意正整数n ，都有12231111n n a a a a a a λ++++≤，所以λ的最小值为13. ………………………13分21.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由2()340f x x x =+-=，解得4x =-，或1x =.所以函数()f x 有零点4-和1. ………………………3分 （Ⅱ）解：（方法1）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方，所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分所以当0x =时上式也成立，代入得2b >. ………………………8分 （方法2）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方， 所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分 当0a =时，显然2b >. 当0a ≠时，由题意，得0a >，且2(2)4(2)0a a b ∆=--<， ………………………6分 则24(2)40a b a ->>， 所以4(2)0a b ->，即2b >.综上，2b >. ………………………8分（Ⅲ）解：由题意，得不等式2(21)20ax a x +++<，即(1)(2)0ax x ++<. …………9分当0a =时，不等式化简为20x +<，解得2x <-； ………………………10分 当0a ≠时，解方程(1)(2)0ax x ++=，得根12x =-，21x a=-. 所以，当0a <时，不等式的解为：2x <-，或1x a>-； ………………………11分 当102a <<时，不等式的解为：12x a -<<-； ………………………12分当12a =时，不等式的解集为∅； ………………………13分当12a >时，不等式的解为：12x a-<<-. ………………………14分 综上，当0a <时，不等式的解集为{|2x x <-，或1}x a >-；当0a =时，不等式的解集为{|2}x x <-；当102a <<时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-；当12a =时，不等式的解集为∅；当12a >时，不等式的解集为1{|2}x x a-<<-.22.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：36p =，或13. ………………………3分 （Ⅱ）解：由题意，17a =，代入，得212a =，36a =，43a =，58a =，64a =，72a =，81a =，96a =，所以数列{}n a 中的项，从第三项起每隔6项重复一次（注：39a a =）， ………5分 故15012348345624()S a a a a a a a a a =+++++++++71224(638421)6384=+++++++++++ 616=.………………………8分（Ⅲ）解：由数列{}n a 的定义，知*n a ∈N .设t 为数列{}n a 中最小的数，即min{}i t a i =∈N *， 又因为当n a 为偶数时，12nn a a +=， 所以t 必为奇数. ………………………9分 设k a t =，则15k a t +=+，252k t a ++=， 所以52t t +≤，解得5t ≤. 所以{1,3,5}t ∈. ………………………10分 如果3k a t ==，那么由数列{}n a 的定义，得18k a +=，24k a +=，32k a +=，41k a +=， 这显然与3t =为{}n a 中最小的数矛盾，所以3t ≠. ………………………12分精品文档试卷如果5ka t==，当1k=时，5p=；当2k≥时，由数列{}na的定义，得1ka-能被5整除，…，得1a p=被5整除；所以当且仅当*15()a p r r==∈N时，5t=. ………………………13分这与题意不符.所以当*15()a r r≠∈N时，数列{}na中最小的数1t=，即符合条件的p值的集合是*{|r r∈N，且r不能被5整除}. …………………14分。
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i=i+1
S S 2i
输出 i 结束
4. 设直线 l 经过两点 A(2,1), B ( 1,3) ，则直线 l 下方的半平面（含直线 l ）可以用不等式表示 为（ ） （B） 2 x 3 y 7≤0 （D） 2 x 3 y 1≤0
（A） 2 x 3 y 7≥0 （C） 2 x 3 y 1≥0
y≤2 x, 14. 设 x ， y 满足约束条件 x y≤1, 则 z x 3 y 的最大值是_______. y 1≥0,
15. 有 4 张卡片，上面分别写有 0，1，2，3. 若从这 4 张卡片中随机取出 2 张组成一个两位 数，则此数为偶数的概率是_______. 16. 在数列 {an } 中， a3 12 ， a11 5 ，且任意连续三项的和均为 11，则 a2017 _______； 设 S n 是数列 {an } 的前 n项和，则使得 Sn ≤100 成立的最大整数 n _______.
2
………………………3 分
………………………5 分 ………………………7 分
………………………10 分
18.（本小题满分 13 分） （Ⅰ）解：因为各组的频率之和为 1，所以月均用水量在区间 [10,12) 的频率为
1 (0.025 2 0.075 0.100 0.225) 2 0.1 ，
北京市西城区 2016 - 2017 学年度第二学期期末试卷
高一数学
试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟
2017.7
三 题号 分数 一 二 17 18 19 20 21 22 本卷总分
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的. 1. 已知数列 {a n } 满足 a1 3 , an 1 2 an ，那么 a4 （ （A） 24 （B） 18 ） （C） ( , ] ）
7 ； 3
5 ； 2 5 ； 15. 9
12.
13. 172，45； 16. 4，29.
注：一题两空的题目，第一空 2 分，第二空 3 分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 17.（本小题满分 13 分） （Ⅰ）解：设等差数列 {a n } 的公差为 d , 则 a3 a5 2 a1 6 d 16 , 又因为 a1 2 ， 解得 d 2 . 所以 an a1 ( n 1) d 2 n . （Ⅱ）解：因为 a2 ， am ， a2 m 成等比数列， 所以 am a2 a2m ， 即 (2 m ) 2 4 4 m ， m N ， 解得 m 4 . ………………………13 分
频率 组距
0.225
0.100 0.075 a 0.025 2 4 6 8 10 12 14 月均用水量 / 吨
19． （本小题满分 13 分） 在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a , b , c ，且 a 2 , cos C （Ⅰ）如果 b 3 ,求 c 的值； （Ⅱ）如果 c 2 6 ，求 sin B 的值.
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Hale Waihona Puke 18． （本小题满分 13 分） 北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学 校的 2000 名同学中，随机调查了 40 名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月 均用水量分为 6 组： [2, 4) ， [4,6) ， [6,8) ， [8,10) ，[10,12) ， [12,14] 加以统计，得到如图所 示的频率分布直方图. （Ⅰ）给出图中实数 a 的值； （Ⅱ） 根据样本数据， 估计小明所在学校 2000 名同学家庭中,月均用水量低于 8 吨的约 有多少户； （Ⅲ）在月均用水量大于或等于 10 吨的样本数据中，小明决定随机抽取 2 名同学家庭 进行访谈，求这 2 名同学中恰有 1 人所在家庭的月均用水量属于 [10,12) 组的概率.
5
）
甲队 8 3 2 7 8
乙队 0 3 m
（B） 4
5
（C） 7 10
（D） 9 10
9. 若关于 x 的不等式 2 x （ ）
2 ≥a 对于一切 x (1, ) 恒成立，则实数 a 的取值范围是 x 1
（A） ( , 4]
（B） [4, )
（C） ( ,6]
（D） [6, )
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北京市西城区 2016-2017 学年度第二学期期末试卷
高一数学参考答案及评分标准
2017.7 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 1. A 6. A 2. B 7. C 3. B 8. D 4. B 9. C 5. D 10. C
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 11. [ 2, 2] ； 14.
所以，图中实数 a 0.1 2 0.050 . （Ⅱ）解：由图可知, 样本数据中月均用水量低于 8 吨的频率为
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………………………3 分
(0.025 0.075 0.225) 2 0.65 ，
………………………5 分
所 以 小 明 所 在 学 校 2000 名 同 学 家 庭 中 , 月 均 用 水 量 低 于 8 吨 的 约 有
ab bc ca , , 为边长的三角形一定存在. 2 2 2
） （ C） 2
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那么，正确结论的个数为（ （A）0 （B）1
（D）3
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上. 11. 函数 f ( x ) 4 x 2 的定义域是_______. 12. 在等差数列 {a n } 中, a2 a4 5 ，则 a3 _______. 13. 随机抽取某班 6 名学生， 测量他们的身高 （单位： cm） ， 获得身高数据依次为： 162， 168， 170 ， 171 ， 179 ， 182 ，那么此班学生平均身高大约为 为 . cm ；样本数据的方差
1 . 4
20． （本小题满分 13 分） 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n n 2 4 n ，其中 n N* . （Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式； （Ⅱ）设 bn 2 a n 1 ，求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ； （Ⅲ）若对于任意正整数 n ，都有
2
22． （本小题满分 14 分）
an 当 an 为偶数, , 在无穷数列 {an } 中， a1 p 是正整数，且满足 an 1 2 a 5, 当 a 为奇数. n n
（Ⅰ）当 a3 9 时，给出 p 的值； （结论不要求证明） （Ⅱ）设 p 7 ，数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，求 S150 ； （Ⅲ）如果存在 m N * ，使得 am 1 ，求出符合条件的 p 的所有值.
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5. 在区间 [ 1,3] 上随机取一个实数 x，则 x 使不等式 | x | ≤2 成立的概率为（ （ A）
）
1 4
（B）
1 3
（ C）
1 2
（D）
3 4
6. 下表是某校 120 名学生假期阅读时间(单位: 小时)的频率分布表，现用分层抽样的方法 从 [10,15) ， [15, 20) ， [20, 25) ， [25,30) 四组中抽取 20 名学生了解其阅读内容，那么从 这四组中依次抽取的人数是（ （A）2，5，8，5 （B）2，5，9，4 （C）4，10，4，2 （D）4，10，3，3 ） 分组 频数 12 30 频率 0.10
开始
） （D） 12
（C） 16
1 2. 不等式 ≤2 的解集为（ x
（A） [ , )
1 2
1 （B）(,0) [ , ) 2
1 2
（D） [2, )
3. 执行如图所示的程序框图，则输出的 i 值为（ （ A） 4 （ B） 5 （ C） 6 （ D） 7
S= 0，i =0 S >20
[10,15) [15, 20) [20, 25) [25,30)
合计
a
0.40 0.25 1.00
m
n 120 ）
7. 在 ABC 中，若 a 3 ， c 2 ， cos B ，则 ABC 的面积为（ （ A）
1 3
3 3
（B）
2 3 3
（ C）
2 6 3
（D）
4 6 3
8. 以下茎叶图记录了甲、乙两个篮球队在 3 次不同比赛中的得分情况．乙队记录中有一个 数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以 m 表示．那么在 3 次比赛 中，乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是（ （A） 3
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． （本小题满分 13 分） 在等差数列 {a n } 中, a1 2 , a3 a5 16 . （Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式； （Ⅱ）如果 a2 ， am ， a2 m 成等比数列，求正整数 m 的值.
8 . 15
………………………13 分
19.（本小题满分 13 分） （Ⅰ）解：由余弦定理 c 2 a 2 b 2 2 ab cos C ， 得 c 2 4 9 2 2 3 ( ) 16 ， 解得 c 4 . ………………………5 分 ………………………3 分
0.65 2000 1300 (户).
………………7 分
………
（Ⅲ）解：设“这 2 名同学中恰有 1 人所在家庭的月均用水量属于 [10,12) 组”为事件 A， 由图可知, 样本数据中月均用水量在 [10,12) 的户数为 0.050 2 40 4 .记这四名同学家 庭分别为 a, b, c, d , 月均用水量在 [12,14] 的户数为 0.025 2 40 2 .记这两名同学家庭分别为 e, f , 则选取的同学家庭的所有可能结果为： ( a, b),( a, c),( a, d ),( a, e),( a, f ),(b, c),(b, d ),