高数A(上)总复习(同济六版)-cxz

《高等数学》上册期末总复习

1、 极限求法：

1、 四则运算法则：极限存在才可拆开求【约分、通分、有

理化】

2、 复合运算法则（变量替换法）；一般是尽可能将变化过

程变换为：

3、 初等函数的连续性（代入法）： ；

4、 两个重要极限：构造法

1），【构造式：】

2）（或）；【构造式：】

5、 无穷小的性质：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小；

6、 存在准则：1）夹逼准则、2）单调有界准则；

7、 等价无穷小：只适用于积商式，不适用于和差式【待等

价的函数应与剩余部分之间是积商关系】

当时，,(为常数))

8、 洛必达法则：未定式或：直接利用法则；：取倒数；：

通分；：取对数.

9、 泰勒公式(麦克劳林公式)：只能用于解决型；其它情况

必须通过换元变为型.

10、

导数或定积分定义*:

未定式：等价无穷小洛必达法则泰勒公式

1）【导数定义】设在点处可导，则

.

2）【定积分定义】设在上可积，则；

2、 函数的连续性

1、 函数在点处连续；

2、 间断点：1）第一类间断点：可去，跳跃；2）第二类间

断点：无穷，振荡.

3、 连续函数的运算性质：连续函数的加减乘除仍为连续函

数；连续函数的复合仍为连续函数

4、 初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内处处

连续

5、 闭区间上连续函数的性质：1）有界性；2）最大值最小

值定理；3）零点定理【闭上连续两端异号零点在开内】；

4）介值定理及其推论.

3、 导数与微分

分段点处连续性判断或求导必须用定义。开区间内才可以用导数公式。

1、 定义：

1）；

2）；

特别注意此处记号的书写

3）；

4）

2、 求导法则：【必须牢记14个基本导数公式】

1） 显函数：

①、四则运算法则： ；

②、复合函数的求导法则：设都可导，则的导数为

，或

③、对数求导法则（特别适用于幂指函数）：，（化简），

2） 参数方程：，，，以此类推.

3） 隐函数：（方程两边同时对自变量求导）

3、 高阶导数：等；莱布尼兹公式

4、 微分：

5、 关系：可微与可导等价；可导必连续，反之未必.

6、 抽象函数的求导：注意、之别

4、 导数的应用

1、 曲线的切线与法线方程：，，；

2、 微分中值定理：首先必须验证定理的条件是否满足，然后

根据定理下结论！

1）罗尔定理：；【依结论构造辅助函数】

2）拉格朗日中值定理：；【同一函数在两点上相减都可能用到

此定理】

3）柯西中值定理：；

4）泰勒中值定理：

3、 泰勒公式：熟悉5个常见带Peano型余项的麦克劳林公式

4、 函数的单调性【一阶导符号判定】、极值、最值及其函数图

形的凹凸性【二阶导符号判定】、拐点和渐近线

拐点的判断类似于极值点的判断，只是前者利用二阶导数的符号，后者利用一阶导数符号

5、 不等式的证明：1）单调性；2）最值；3）凹凸性；

6、 方程根的存在性及唯一性(结合以下3点讨论)：1）零点定

理；2）罗尔定理；3）单调性；

7、 恒等式的证明：若在区间I上，则在区间I上

五、积分：不定积分，定积分，反常积分【必须牢记13个基本

积分公式】

1、 常用性质：线性性质，区间可加性，定积分中值定理【】，

定积分的奇偶对称性、周期性【与起点无关】；【定积分是与积分变量无关的常数】

2、 常用公式：【此类公式或题目常用换元或】

3、 设，即为的原函数，则有与牛顿-莱布尼兹公式：

4、 换元法：1）第一类（凑微分法）；2）第二类：三角代换，倒

代换，根式代换等

5、 分部积分法:反对幂指三【先将后者凑微分】 ；或先将较易积

分者凑微分

6、 变上限积分的导数：， 【视为复合函数】，

其中连续，可导，为常数，积分中的表达式必须与无关，若有关须先换元

7、 有理函数的积分【假分式用除法化为多项式加真分式，真分式因式分解加待

定系数法化为部分分式】

附：可化为有理函数的积分①有理三角函数：万能代换

；②简单根式：线性函数或分式函数的根式直接代换，开方不同则取最小公倍数开方

8、 反常积分：无穷限的反常积分或瑕积分，广义牛顿-莱布尼兹

公式，特别注意瑕点在积分区间内部的瑕积分

瑕点的判定：，则即为瑕点。【常用换元法或先求不定积分再用广义牛顿-莱布尼兹公式】

六、定积分的应用【有公式就代公式，否则用元素法】

1、平面图形的面积：

1） 直角坐标：

a、 曲边梯形：；

b、 上、下型：

；

c、 左、右型：

；

2） 极坐标（极坐标变换）：

设曲边扇形，则

2、 体积：

CaseA、旋转体的体积：

i. 上下型：

I、绕x轴 ；II、绕y轴

ii. 左右型：

I、绕y轴 ；II、绕x轴

CaseB、平行截面面积为已知的立体，其中为平行截面面积

注：该平行截面只能固定或，取垂直于轴或轴的截面.

3、 弧长：不同方程，代不同公式【弧微分或弧长元

素：】

1) ， ；下限必小于上限

2），；

3），

七、微分方程

一阶微分方程：形如，或

或初值问题：

1、可分离变量方程：，两边同时积分可得通解

2、齐次方程：，令，，，

必可将原方程化为关于的可分离变量方程