单元刚度矩阵

Fx1

EA l

u1
u2

Fx 2


EA l

u1


u2


M1

4EI l
1

2EI l
2
6EI
l2
v1 v2

M2

2EI l
1

4EI l
2

6EI l2
v1

v2


6EI
Fy1 l 2
1 2

12EI l3
v1
A
B
C
①
②
D
E
③
④
A①
B ②C ⑤ F
D③
④
E
局部坐标系 下单元刚度
杆端位移向量
1 1
u1
v1 杆端力向量
1
EAI
2
e
l
2 2
u2
v2
Δe 1 2 3 4 5
eT
u1 v1 1 u2 v2 2
eT
6
1 M1
2 M2
Fx1
Fx 2
Fy1
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
u1 1 v1 1 1 1 u2 1 v2 1 2 1
(1) (2) (3)
k = (4) (5) (6)
EA l
0
0
0
12EI 6EI l3 l2
0
6EI 4EI l2 l
-EA l
0
0
0
-12EI -6EI l3 l2
以连续梁
e
为例：
1 1 e
u1 0
e
X1

Y1


M
1



X
2



EA l 0
0 EA
l


Y2


M 2

0 0
v1 0
0
12EI
l3 6EI
l2
0

12EI l3
§ 9-9 桁架及组合结构的整体分析
§ 9-10 小结
§ 9-1 概述
矩阵位移法是以结构位移为基本未知量，借助矩阵 进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变 形等计算的方法。
理论基础：位移法 分析工具：矩阵 计算手段：计算机
5
矩阵位移法的基本思路
2
矩阵位移法的两个基本步骤是
3
（1）结构的离散化；（2）单元分析；（3）整体分析， 1 1
结构力学
structural Mechanics
第9章
矩阵位移法 （12学时）
第9章 矩阵位移法
主要内容
§ 9-1 概述
§ 9-2 单元刚度矩阵(局部坐标系）
§ 9-3 单元刚度矩阵(整体坐标系）
§ 9-4 连续梁的整体刚度矩阵
§ 9-5 刚架的整体刚度矩阵
§ 9-6 § 9-7 § 9-8
等效结点荷载 计算步骤和算例 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析
6EI
l2
0
6EI l2 4EI
l
0

6EI l2
2EI
l
2 2
u2 0
v2 0
EA l 0
0 EA l 0
0
0

12EI l3

6EI l2
0
12EI
l3

6EI l2
ee
0
6EI l2 2EI l

u1
v1

1


Fy2
■弯矩、转角：绕杆端顺时针为正；
■其它：与坐标轴同向为正。
单元刚度方程
首先，由两个杆端轴向位移，可以求出杆端轴向力，
其次根据转角位移方程可以求出弯矩、剪力与杆端
位移之间的关系
Fx1

EA l

u1
u2

Fx 2


EA l

u1

u2
M1

4EI l
1

2EI l
0
6EI 2EI l2 l
EA l
0
0
0
12EI 6EI l3 l2
0
6EI 2EI l2 l
EA l
0
0
0
12EI -6EI l3 l2
0
-6EI 4EI
l2
l
只与杆件本身性质有关 而与外荷载无关
12
2 单元刚度矩阵的性质
K ij
（1）单元刚度系数的意义 第j个单位杆端位移=1时引起 的第i个杆端力
（2）单元刚度矩阵是对称矩阵
反力互等定理
（3）自由单元刚度矩阵是奇异矩阵 矩阵行列式等于零，逆阵不存在。
F e k e e
e k e 1F e
解唯一
解不唯一
★由杆端力只能求出变形，不能求杆端总的位移 （刚体位移+变形）。
三、特殊单元
若单元六个杆端位移中有某一个或几个已知为零，
则该单元称为特殊单元，其刚度方程是一般单元刚度方程的特例。

v2


Fy2


6EI l2
1 2

12EI l3
v1

v2



Fx1



Fy1




M1



Fx 2


EA l 0
0 EA
l
0
12EI l3 6EI l2
0
0
6EI l2 4EI l
6
6
3
5
4
24
任务
建立杆端力与杆端位移间 单元分析 的刚度方程，形成单元刚
度矩阵
由变形条件和平衡条件建 整体分析 立结点力与结点位移间的
刚度方程，形成整体刚度 矩阵
意义 用矩阵形式表示杆件 的转角位移方程
用矩阵形式表示位移 法基本方程
5
6
7
§9-2 单元刚度矩阵（局部坐标系）
1 一般单元
结构的离散化
2

6EI l2
v1

v2


M2

2
EI l
1

4EI l
2

6EI l2
v1 v2
6EI
Fy1 l 2
1 2

12EI l3
v1

v2


Fy2


6EI l2
1 2

12EI l3
v1

v2


将上面六个方程合并，写成矩阵形式：

l2
v2
0 M 2
6EI 2EI
l2
l
0

6EI l2
4EI l

2
11
上面的式子可以用矩阵符号记为
F k
这就是局部坐标系中的单元刚度方程。
局部座标系的单元刚度矩阵
通过这个式子由单元杆端位移 可求单元杆端力 F
0
EA l 0
0 EA l
0
12EI l3 6EI
l2 0
0
u1

6EI l2 2EI l


v1


1


0

u2

0 Fy2
12EI 6EI
l3
l2
0
12EI l3
6EI
0

6EI l2

u2
Leabharlann v2 4EI
l

2
14

M
1


M 2
1 1 e
2 2
u1 0
u2 0
e
X1

Y1