极坐标知识点

1．直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单

位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0.

2．圆的极坐标方程

若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2

＝0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程：

(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；

(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ； (3)当圆心位于M ⎝

⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin θ. 3．直线的极坐标方程

若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．

几个特殊位置的直线的极坐标方程：

(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；

(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；

(3)直线过M ⎝

⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 4．几种常见曲线的参数方程

(1)圆

以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩

⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．

当圆心在(0,0)时，方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数． (2)椭圆

椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φ，

y ＝b sin φ，其中φ是参数． 椭圆x 2b 2＋y 2

a 2＝1(a >

b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝b cos φ，

y ＝a sin φ，其中φ是参数． (3)直线

经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝x 0＋t cos α，

y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．