浙江高考数列经典例题汇总

其中前 n 项和为 Sn ，且对任意 n N ，都有 a n 1
an an 2 2
（1 ） 若 a1 1 ， a505 2017，求 a6 的最大值
（2 ） 对任意 n N ，都有 Sn 1 ，求证 0 an a n 1
2 n(n 1)
1 设数列 an 满足 an 1 an2 an 1 n N* ， Sn 为 an 的前 n 项和 .证明：对任意 n N* ，
( 1) f ( n 1) a2 n 1a2n
1 求证： 6
Tn
5 (n 24
N*)
5. 【 2005 年 .浙江卷 .理 20 】 设点 An ( xn ， 0) ， Pn ( xn ,2 n 1) 和抛物线 Cn ： y＝x2 ＋ an x ＋
1 bn(n ∈ N*)，其中 an＝－ 2－ 4n － 2n 1 ， xn 由以下方法得到：
an 1
an
1 2
an2
，
n
N
（1 ）若 a1
a (a 0) ，求 1
1 2a
2 a1
1 2 a2
1
的值；
2 a10
（2 ）当 a 0时，定义数列 bn ， b1 ak (k 12) ， bn 1 1 1 2bn ，是否存在正整
数 i, j (i j ) ，使得 bi bj
不存在，说明理由。
12 aa
an
1 n2 ；
an 1
n
1
（3 ）证明： an
.
4
13 ． 对任意正整数 n ，设 an 是关于 x 的方程 x3 nx 1 的最大实数根
（1 ）求证： n an an 1 n 2
（2 ）当 n 4 时，对任意的正整数 m， n m
n an m an 2( n m
n)
2
1
（3 ）设数列 { an2 } 的前 n 项和为 Sn ，求证： ln(1
（Ⅲ）记数列 an 的前 n 项和为 Sn ，证明：对任意的 n N ， 2
1 n 1 Sn 3 ．
2
例 3．（浙江省温州市十校联合体 2017 届高三上学期期末） 已知数列 { an } 满足 a1 1,an 1 1 an2 m ，
8 (1) 若数列 { an} 是常数列，求 m 的值； （2 ）当 m 1时，求证： an an 1 ；
1
（2 ）设数列
{ } 的前 Sn
n 项和为
Tn ，是否存在正整数
，对任意
m, n N * , 不等式 Tm - Sn 0恒成立？若存在，求出 的最小值，若不存在，请说明理由
9． 已知数列 an 满足： a1 1,an 1 a n
a
2 n
2
n
N
.
n1
（Ⅰ）证明： an 1 1 an
1
2；
n1
2n 1
数列 an 满足 a1
1
，
2
例 9．（ 2017 年 4 月浙江金华十校联考） 数列 an 满足 a1
1 ， an 1 an
2
1 （n N ） n
(1) 求证： an 2 n
an ； n1
11
1
(2) 求证： 2( n 1 1
....
n
2a3 3a4
(n 1)an 2
例 10 ．（ 2017 年 4 月杭州高三年级教学质量检测） 已知数列数列 an 的各项均为非负数，
（i ）求 Sn ；
（ii）求正整数 k ，使得对任意 n N ，均有 Sk Sn ．
2. 【 2011 年 .浙江卷 .理 19 】（本题满分 14 分）已知公差不为 0的等差数列 { an} 的首项 a1 a
111 ( a R ),设数列的前 n 项和为 Sn ，且 a1 ， a2 ， a4 成等比数列
a
2 n
1
an 1
1
a
2 n
(
n
N ) ． Sn
a1 a2
an
1
1
Tn
1 a1 (1 a1 )(1 a 2 )
1 (1 a1)(1 a2 )
(1 an ) ．
求证：当 n N 时， （Ⅰ） an an 1 ； （Ⅱ） Sn n 2； （Ⅲ） Tn 3。
4. 【2007 年.浙江卷 .理 21 】（本题 15 分） 已知数列 { an} 中的相邻两项 a2k a 1, 2k 是关于 x 的
（1 ）若数列 { an} 是常数列，求 m 的值；
（2 ）当 m 1时，求证： an an 1 ；
（3 ）求最大的正数 m ，使得 an 4 对一切整数 n 恒成立，并证明你的结论 .
8． 已知数列 { an} 的前 n 项和为 Sn , 且 Sn
2an
3 2n , n
N* .
1 （1 ）求证 { an 2n } 为等比数列，并求出数列 { an} 的通项公式；
方程的两个根，且 a2k 1 a2k (k 1,2,3, )
（Ⅰ）求 a1,a3 , a5 , a7 ；
（Ⅱ）求数列 { an} 的前 2n 项的和 S2n ；
f ( n)
（ Ⅲ）记
1 | sin n |
(
3)
Tn
2 sin n
，
( 1)f (2) a1a2
( 1) f (3) a3a4
( 1) f (4) a5 a6
。
例 5．（浙江省台州市 2017 届高三上学期期末质量评估）已知
1
数列 an 满足 a1
，，
2
an 1
an2
ana ， n N
2016
(1) 求证 an 1 an
(2) 求证 a2017 1
(3) 若证 ak 1 ，求证整数 k 的最小值。
例 6（. 浙江省杭州高级中学 2017 届高三 2 月高考模拟考试） 数列 an 定义为 a1 0 ，a11 a ，
7. 【 2016 高考浙江理数】 设数列 an 满足 an
an 1 2
1 ，n
．
（I ）证明： an 2 n 1 a1 2（II ）若
2 ，n
，证明： an 2 ， n
．
例 1．（浙江省新高考研究联盟 2017 届高三下学期期初联考） 已知数列 an 满足 a1=3 ，
an+1 =a n2+2a n ， n ∈ N* ， 设 bn =log 2(a n +1). （I ）求 {a n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：
n3
an 1 n 1.
2
10 ． 已知数列 a n 满足： a1
1， an 1
an
an (n 1)2
．(
n
N* )，
证明：当 n N * 时，
(Ⅰ ) an 1 an
1
1； (n 1)2
2(n 1)
(Ⅱ)
an 1 n 1
n3
.
11 ． 已知数列 { an} 满足 a1
2 ， an 1
5
2an ， n 3 an
a2n c a2n 1 对所有的 n N 都成立？证明你的结论．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设数列
1 an 的前 n 项的和为 Sn ，证明： 4
Sn n
1．
例 8．（ 2017 年 4 月湖州、衢州、丽水三地教学质量检测）
an 1
an 2
a
2 n
an
（n 1
N）
（1 ）证明： an 1 an ；
（2 ）设 { an} 的前 n 项的和为 Sn ，证明： Sn 1 .
（Ⅰ）求数列 { an} 的通项公式及 Sn
An
（Ⅱ） 记
1 S1
1 S2
1 ... 1 Bn
S3
Sn ，
11 a1 a2
1 a22
... 1 a2n ，当 n 2 时，试比较
An 与 Bn 的大 小 .
3. 【 2008 年 .浙江卷 .理 22 】（本题 14 分）已知数列 an ， an 0 ， a1 0 ，
上点的最短距离． ( Ⅰ求）x2 及 C1 的方程．
( Ⅱ证）明 { xn }是等差数列．
1
6. 【 2015 高考浙江，理 20】 已知数列
an
满足
a1 =
2
且
an
1 = an
2
- an （
n
N* ）
an 2
（1 ）证明： 1 an 1
（ n N * ）；
1
Sn
1
（2 ）设数列 an2 的前 n 项和为 Sn ，证明 2( n 2) n 2( n 1) （ n N * ）
x1 ＝ 1，点 P2(x2 ， 2) 在抛物
线 C1 ： y＝ x2＋ a1x ＋b1 上，点 A1(x1 ， 0) 到 P2 的距离是 A1 到 C1 上点的最短距离， … ，
点 Pn 1 (xn 1,2 n ) 在抛物线 Cn ：y ＝x2 ＋ an x ＋ bn 上，点 An ( xn ，0) 到 Pn 1的距离是 An 到 Cn
（Ⅰ）当 0 ≤ a1 ≤1 时， 0≤ an ≤1 ；
（Ⅱ）当 a1 1 时， an a1 1 a1n 1 ；
（Ⅲ）当 a1
1 时， n
2
2n Sn n .
2． 已知数列 an 满足 a1
1 2 且an 1
an
ban2( n N )
(1) b
1, 求证 :1 a n 2 an 1
(2) b
2, 数列
n )
3
Sn
1
2n 3
N.
1
（1 ）求 a2 ，并求数列
{ } 的通项公式； an
（2 ）设 { an} 的前 n 项的和为 Sn ，求证：