泊松方程

泊松方程
泊松方程只得是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。

在数学以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（Laplace operator 或Laplacian）是一个微分算子，通常写成Δ或；这是为了纪念皮埃尔-西蒙·拉普拉斯而命名的。

拉普拉斯算子有许多用途，此外也是椭圆型算子中的一个重要例子。

在物理中，常用于波方程的数学模型、热传导方程以及亥姆霍兹方程。

在静电学中，拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处可见。

在量子力学中，其代表薛定谔方程式中的动能项。

在数学中，经拉普拉斯算子运算为零的函数称为调和函数；拉普拉斯算子是霍奇理论的核心，并且是德拉姆上同调的结果。

泊松方程成立的条件
泊松首先在无引力源的情况下得到泊松方程,△Φ=0（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时,有▽Φ=f（f为引力场的质量分布）.后推广至电场磁场,以及热场分布.该方程通常用格林函数法求解,也可以分离变量法,特征线法求解.
泊松方程的物理内涵
泊松方程可以看做是不可压缩的流体运动方程。

方程的意义相当于穿过任意封闭曲面的液体的流量等于曲面内所包含的流体源产生液体的总量。

对于电动力学中静电场，电场强度相当于流密度，净电荷相当于流体源电动力学中电场对空间坐标的二次导数与空间内电荷量成正比。

半导体中的泊松方程
泊松方程表明电荷产生电场：电位的二阶导数与电荷密度成正比。

近似条件：PIN结中无载流子即全部耗尽，施主和受主完全电离。

PIN结的泊松方程：
(0<x<Xn)d^2V(x)/dx^2=-Nd/ε，(-Xp<x<0)d^2V(x)/dx^2=-Na/ε边界条件E(0)=E(Xn)=-dV(x)/dx(x=-Xp,Xn)=0，V(x=-Xp)=0,V(x=Xn)=0 将上面的式子一次积分（注意符号）带入边界条件就能得出电场的分布，再次积分就能得出电势的分布。