立体几何中的存在性问题

立体几何中的存在性问题

1、如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC . (1)求证：D 1C ⊥AC 1；

(2)问在棱CD 上是否存在点E ，使D 1E ∥平面A 1BD .若存在，确定点E 位置；若不存在，说明理由．

2．如图所示，平面ABDE ⊥平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，BD ＝1

2AE ＝2，O ，M 分别为CE ，AB 的中点．

(1)求证：OD ∥平面ABC ；

(2)求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值；

(3)能否在EM 上找一点N ，使得ON ⊥平面ABDE ？若能，请指出点N 的位置，并加以证明；若不能，请说明理由．

3、在如图所示的几何体中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，AA 1∥DD 1∥CC 1∥BE ，且AA 1＝AB ，D 1E ⊥平面D 1AC ，AA 1⊥底面ABCD . (1)求二面角D 1－AC －E 的大小；

(2)在D 1E 上是否存在点P ，使得A 1P ∥平面EAC ，若存在，求D 1P PE 的值，若不存在，说明理由．

立体几何中的存在性问题

1、如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC . (1)求证：D 1C ⊥AC 1；

(2)问在棱CD 上是否存在点E ，使D 1E ∥平面A 1BD .若存在，确定点E 位置；若不存在，说明理由．

2．如图所示，平面ABDE ⊥平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，BD ＝1

2AE ＝2，O ，M 分别为CE ，AB 的中点．

(1)求证：OD ∥平面ABC ；

(2)求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值；

(3)能否在EM 上找一点N ，使得ON ⊥平面ABDE ？若能，请指出点N 的位置，并加以证明；若不能，请说明理由．

3、在如图所示的几何体中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，AA 1∥DD 1∥CC 1∥BE ，且AA 1＝AB ，D 1E ⊥平面D 1AC ，AA 1⊥底面ABCD . (1)求二面角D 1－AC －E 的大小；

(2)在D 1E 上是否存在点P ，使得A 1P ∥平面EAC ，若存在，求D 1P PE

的值，若不存在，说明理由．

立体几何中的存在性问题

1、如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC . (1)求证：D 1C ⊥AC 1；

(2)问在棱CD 上是否存在点E ，使D 1E ∥平面A 1BD .若存在，确定点E 位置；若不存在，说明理由．

(1)证明 在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接C 1D ， ∵DC ＝DD 1，∴四边形DCC 1D 1是正方形， ∴DC 1⊥D 1C .

又AD ⊥DC ，AD ⊥DD 1，DC ∩DD 1＝D ， ∴AD ⊥平面DCC 1D 1， 又D 1C ⊂平面DCC 1D 1， ∴AD ⊥D 1C .

∵AD ⊂平面ADC 1，DC 1⊂平面ADC 1，且AD ∩DC 1＝D ， ∴D 1C ⊥平面ADC 1，

又AC 1⊂平面ADC 1，∴D 1C ⊥AC 1. (2)解 假设存在点E ，使D 1E ∥平面A 1BD . 连接AD 1，AE ，D 1E ， 设AD 1∩A 1D ＝M ， BD ∩AE ＝N ，连接MN ， ∵平面AD 1E ∩平面A 1BD ＝MN ， 要使D 1E ∥平面A 1BD ， 可使MN ∥D 1E ， 又M 是AD 1的中点， 则N 是AE 的中点． 又易知△ABN ≌△EDN ， ∴AB ＝DE .

即E 是DC 的中点．

综上所述，当E 是DC 的中点时， 可使D 1E ∥平面A 1BD .

2．如图所示，平面ABDE ⊥平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，BD ＝1

2

AE ＝2，O ，M 分别为CE ，AB 的中

点．

(1)求证：OD ∥平面ABC ；

(2)求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值；

(3)能否在EM 上找一点N ，使得ON ⊥平面ABDE ？若能，请指出点N 的位置，并加以证明；若不能，请说明理由． (1)证明 取AC 中点F ，连接OF ，FB . ∵F 是AC 中点，O 为CE 中点， ∴OF ∥EA 且OF ＝1

2EA .

又BD ∥AE 且BD ＝1

2AE ，

∴OF ∥DB ，OF ＝DB ，

∴四边形BDOF 是平行四边形，∴OD ∥FB . 又∵FB ⊂平面ABC ，OD ⊄平面ABC ， ∴OD ∥平面ABC .

(2)解 ∵平面ABDE ⊥平面ABC ，平面ABDE ∩平面ABC ＝AB ，DB ⊂平面ABDE ，且BD ⊥BA ， ∴DB ⊥平面ABC .

∵BD ∥AE ，∴EA ⊥平面ABC .

2、如图所示，以C 为原点，分别以CA ，CB 所在直线为x ，y 轴，以过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．

∵AC ＝BC ＝4，∴C (0,0,0)，A (4,0,0)，B (0,4,0)，D (0,4,2)，E (4,0,4)，O (2,0,2)，M (2,2,0)，

∴CD →＝(0,4,2)，OD →＝(－2,4,0)，MD →

＝(－2,2,2)． 设平面ODM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，

则由n ⊥MD →，n ⊥OD →

，可得⎩

⎨⎧

－2x ＋4y ＝0，－2x ＋2y ＋2z ＝0.

令x ＝2，得y ＝1，z ＝1.∴n ＝(2,1,1)． 设直线CD 和平面ODM 所成角为θ，

则sin θ＝|n ·CD →||n ||CD →|

＝|(2，1，1)·(0，4，2)|22＋12＋12·02＋42＋22＝66·25＝30

10.