相交弦定理、切割线定理、割线定理综合训练
相交弦.切割线练习题汇编
相交弦、切割线定理练习题一、填空：1.圆内两弦相交，一弦长8cm 且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（ ）3.如图:已知同心圆⊙O,AB 是大圆的直径,交小圆于C,D,EC⊥AB 交大圆于E,连接ED 交小圆4.自圆外一点所作过圆心的割线长是12cm ，圆的半径为4cm ， 则过此点所引的切线长为（ ）5.如图1，⊙O 的半径为6，PQ ＝6，AR ＝8则QR 的长为（ ）6.如图2，CD 为⊙O 直径，弦AB 垂直CD 于P,AP ＝4， PD ＝2，则PO ＝___.7.⊙O 中直径CD ⊥弦AB 于E ，AB ＝6，DE ∶CE ＝1∶3， 则DE 的长为（ ）8.由圆外一点作圆的切线长为6，过这点作过圆心的割线长为12， 则此圆半径长为（ ）9．如图，PAB 为⊙O 的割线，PO 交⊙O 于C ，OP ＝13，PA ＝9， AB ＝7，求⊙O 直径的长.10．如图2，△ABC 中∠A ＝90°，AC ＝3，AB ＝4，半圆圆心在BC 上， 与AB,AC 切于D,E ，则⊙O 半径为（ ）11．⊙O 中直径CD 垂直弦AB 于E ，AB ＝8，DE ∶CE ＝3∶1，则DE 的长为（ ） 11、（2002•南京）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ， 垂足是G ，F 是CG 的中点，延长AF 交⊙O 于E ，CF=2，AF=3， 则EF 的长是 _________ ．1、如图：⊙O 1和⊙O2相交于A 、B 两点， P 是AB 上任一点过P 点分别作直线C D 和E F ，分别交⊙O1于C 、D ，交⊙O2于E 、F ，求证：PC·PD=PE·PFRQA OP 1ABO CDP2r ABCOPͼ22.如图，圆o1和圆o2相交于A 和 B 两点，点P 在BA 的延长线上。
过点P 作圆O1的割线PMN 交圆O1于M .N ，作圆O2的切线PC 切圆O2于C 。
高中数学第一章直线多边形圆2.4切割线定理2.5相交弦定理学案北师大版选修46
4．如图， CA，CD 分别切圆 O1 于 A，D 两点， CB，CE 分别切圆 O 2 于 B，E 两点．若
∠1＝ 60°，∠ 2＝ 65°，判断 AB ，CD ，CE 的长度，下列关系正确的是 ( )
A．AB > CE> CD
B． AB ＝CE> CD
C． AB> CD> CE
D ． AB＝ CD＝ CE
∴∠ P＝∠ EDF.
(2)证明：∵∠ P＝∠ EDF ，∠ DEF＝∠ PEA，
∴△ DEF∽△ PEA. ∴ DE∶ PE＝ EF∶ EA，
即 EF· EP＝ DE · EA. ∵弦 AD ， BC 相交于点 E，
∴ DE· EA＝ CE· EB. ∴ CE· EB＝ EF· EP. (3)∵DE 2＝ EF ·EC，DE ＝ 6， EF＝ 4，
[对应学生用书 P25]
一、选择题
1.如图， 已知⊙ O 的两条弦 AB，CD 相交于 AB 的中点 E，且 AB＝ 4，
DE ＝ CE＋ 3，则 CD 的长为 ( )
A． 4
B． 5
C． 8
D ． 10
解析：选 B 设 CE＝ x，则 DE ＝ 3＋ x.根据相交弦定理，得 x(x＋3)＝ 2×2，x＝ 1 或 x＝
因为∠ PDA＝∠ DAC＋∠ DCA ， ∠ PAD＝∠ BAD ＋∠ PAB，∠ DCA ＝∠ PAB， 所以∠ DAC＝∠ BAD，从而 ?BE ＝ ?EC . 因此 BE＝EC. (2)由切割线定理得 PA2＝ PB· PC. 因为 PA＝ PD＝ DC，所以 DC＝ 2PB， BD＝ PB. 由相交弦定理得 AD · DE＝ BD · DC， 所以 ADCB＝ AD · DB
2021年九年级数学中考复习专题之圆：切割线定理综合运用(一)
2021年九年级数学中考复习专题之圆：切割线定理综合运用（一）一．选择题1．P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PB＝BC＝3，则PA的长是（）A．9 B．3 C．D．182．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的一条割线，且PA＝2，BC＝2PB，那么PB 的长为（）A．2 B．C．4 D．3．如图，⊙O的两条割线PAB，PCD分别交⊙O于点A，B和点C，D．已知PA＝6，AB＝4，PC＝5，则CD＝（）A．B．C．7 D．244．如图，已知P为⊙O外一点，PO交⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，且PB ＝BC，若OA＝7，PA＝4，则PB的长等于（）A．B．C．6 D．5．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，如果PB＝2，PC＝8，那么PA的长为（）A．2 B．4 C．6 D．6．如图，在▱ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB＝4，BE ＝5，则DE的长为（）A．3 B．4 C．D．7．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A为大圆上任意一点，过A作小圆的割线AXY，若AX•AY＝4，则图中圆环的面积为（）A．16πB．8πC．4πD．2π8．如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA＝2，PC＝CD＝3，则PB＝（）A．6 B．7 C．8 D．99．以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB＝10，则CB的长为（）A．B．C．D．410．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB ＝60°，PA＝8，那么点P与O间的距离是（）A．16 B．C．D．二．填空题11．如图，⊙O的半径为，A、B两点在⊙O上，切线AQ和BQ相交于Q，P是AB 延长线上任一点，QS⊥OP于S，则OP•OS＝．12．如图，过点P引圆的两条割线PAB和PCD，分别交圆于点A，B和C，D，连接AC，BD，则在下列各比例式中，①；②；③，成立的有（把你认为成立的比例式的序号都填上）．13．如图，割线PAB与⊙O交于点A、B，割线PCD与⊙O交于点C、D，PA＝PC，PB＝3cm，则PD＝cm．14．如图，过⊙O外一点P作两条割线，分别交⊙O于A，B和C，D．已知PA＝2，PB ＝5，PD＝8，则PC的长是．15．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC 的平分线交BC于D点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．三．解答题16．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点E．若AB＝CD＝2，求CE的长．17．如图所示，⊙O的内接△ABC的AB边过圆心O，CD切⊙O于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，CE⊥AB于点E，FE交⊙O于G．解答下列问题：（1）若BC＝10，BE＝8，求CD的值；（2）求证：DF•DB＝EG•EF．18．如图1，已知Rt△ABC的直角边AC的长为2，以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D，过D点作⊙O的切线（1）求证：BE＝DE；（2）延长DE与AC的延长线交于点F，若DF＝，求△ABC的面积；（3）从图1中，显然可知BC＜AC．试分别讨论在其它条件不变，当BC＝AC（图2）和BC＞AC（图3）时，直线DE与直线AC还会相交吗？若不能相交，请简要说明理由；若能相交，设交点为F'且DF'＝，请再求出△ABC的面积．19．已知：如图，PF是⊙O的切线，PE＝PF，A是⊙O上一点，直线AE、AP分别交⊙O 于B、D，直线DE交⊙O于C，连接BC，（1）求证：PE∥BC；（2）将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆内，并在⊙O上另选一点A，如图2．其他条件不变，在图2中画出完整的图形．此时PE与BC是否仍然平行？证明你的结论．20．如图PAB、PCD是⊙O的两条割线，AB是⊙O的直径．（1）如图甲，若PA＝8，PC＝10，CD＝6．①求sin∠APC的值；②sin∠BOD＝；（2）如图乙，若AC∥OD．①求证：CD＝BD；②若，试求cos∠BAD的值．参考答案一．选择题1．解：∵PB＝BC＝3，∴PC＝6，∵PA2＝PB•PC＝18，∴PA＝3，故选：C．2．解：设PB＝x，则PC＝3x，∵PA2＝PB•PC，PA＝2，BC＝2PB，∴x•3x＝12，∴x＝2．故选：A．3．解：由于PAB、PCD都是⊙O的割线，根据切割线定理可得：PA•PB＝PC•PD，即PA•（PA+PB）＝PC•PD，∵PA＝6，AB＝4，PC＝5，∴PD＝12，即CD＝PD﹣PC＝7；故选：C．4．解：延长PO交圆于D；设PB＝BC＝x，∵PB•PC＝PA•PD，PB＝BC，OA＝7，PA＝4，∴x•2x＝72，∴x＝6．故选：C．5．解：∵PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，∴PA2＝PB•PC＝16，即PA＝4；故选：B．6．解：连接CE；∵，∴∠BAE＝∠EBC+∠BEC；∵∠DCB＝∠DCE+∠BCE，由弦切角定理知：∠DCE＝∠EBC，由平行四边形的性质知：∠DCB＝∠BAE，∴∠BEC＝∠BCE，即BC＝BE＝5，∴AD＝5；由切割线定理知：DE＝DC2÷DA＝，故选：D．7．解：过点A作圆的切线AD，切点是D，∵AD2＝AX•AY，AX•AY＝4，∴AD＝2，∴圆环的面积＝πAD2＝4π．故选：C．8．解：∵PB，PD是⊙O的割线，∴PA•PB＝PC•PD，∵PA＝2，PC＝CD＝3，∴2PB＝3×6解得：PB＝9．故选：D．9．解：如图，若，且AB＝10，∴AD＝4，BD＝6，作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，可得A、C、A′三点共线，∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称，∴AB＝A′B，∴AC＝A′C，AD＝A′D′＝4，A′B＝AB＝10．而A′C•A′A＝A′D′•A′B，即A′C•2A′C＝4×10＝40．则A′C2＝20，又∵A′C2＝A′B2﹣CB2，∴20＝100﹣CB2，∴CB＝4．故选：A．10．解：连接OA，OP∵PA，PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，∴∠OPA＝∠APB＝30°，OA⊥OP，∴OP＝＝＝，∴点P与O间的距离是．故选：B．二．填空题（共5小题）11．解：连接OQ交AB于M，则OQ⊥AB，连接OA，则OA⊥AQ．∵∠QMP＝∠QSP＝90°，∴S，P，Q，M四点共圆，故OS•OP＝OM•OQ．又∵OM•OQ＝OA2＝2，∴OS•OP＝2．故答案为：2．12．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠PAD＝∠C，∠PAD＝∠B∴△PAD∽△PCB根据相似三角形的对应边的比相等，得到②③是正确的．13．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝PC，PB＝3cm∴PB＝PD＝3cm．14．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝2，PB＝5，PD＝8∴PC＝＝．15．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．三．解答题（共5小题）16．解：如图，由切割线定理，得CD2＝CB•CA，（2分）CD2＝CB（AB+CB），CB2+2CB﹣4＝0，解得CB＝（负数舍去）连接OD，则OD⊥CD，又EB与⊙O相切，∴EB⊥OC，∴Rt△ODC∽Rt△EBC，（6分）于是，即∴CE＝．17．（1）解：∵AB为直径，BD⊥CD∴∠ABC+∠A＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°∵CD为⊙O切线∴∠BCD＝∠A∴∠ABC＝∠BCD∵CD⊥BD，CE⊥BE∴CE＝CD∴CE＝＝6∴CD＝6（2）证明：∵CD为切线，BD为割线∴CD2＝DF•DB①∵∠ACB＝90°，CE⊥AB∴RT△ACE∽RT△CBE∴CE2＝EA•EB②∵EG•EF＝EA•EB③由①②③及CD＝CE得DF•DB＝EG•EF．18．（1）证明：连接OD，∴OD⊥DE，∴∠ADO+∠BDE＝90°，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE；（2）解：在直角三角形ODF中，OD＝1，DF＝，∴∠OFD＝30°，∴OF＝2，AF＝3．∴tan∠A＝，∴BC＝AC•tan∠A＝2×tan30°＝．S△ABC＝AC•BC＝×2×＝；（3）解：如图，当BC＝AC时，直线DE与直线AC平行；当BC＞AC时，在直角三角形ODF′中，OD＝1，DF′＝，∴∠OF′D＝30°，∴OF′＝2，AF＝1，∴CF′＝3，∠BAC＝60°，∴tan∠BAC＝，∴BC＝AC•tan∠BAC＝2×tan60°＝2．S△ABC＝AC•BC＝×2×2＝2．19．（1）证明：∵PF与⊙O相切，∴PF2＝PD•PA．∵PE＝PF，∴PE2＝PD•PA．∴PE：PD＝PA：PE．∵∠APE＝∠APE，∴△EPD∽△APE．∴∠PED＝∠A．∵∠ECB＝∠A，∴∠PED＝∠ECB．∴PE∥BC．（2）解：PE与BC仍然平行．证明：画图如图，∵△EPD∽△APE，∴∠PEA＝∠D．∵∠B＝∠D，∴∠PEA＝∠B．∴PE∥BC．20．解：（1）作OE⊥CD于E，连接OC，作DF⊥PB于F．①根据垂径定理，得CE＝3．设圆的半径是r．根据勾股定理，得OP2﹣PE2＝OC2﹣CE2，（8+r）2﹣169＝r2﹣9，解得r＝6．则OE＝3．则sin∠APC＝＝；②设OF＝x．根据勾股定理，得PD2﹣PF2＝OD2﹣OF2，256﹣（14+x）2＝36﹣x2，解得x＝．所以DF＝．所以sin∠BOD＝＝＝．（2）①∵AC∥OD，∴∠1＝∠2．又OA＝OD，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．所以弧CD＝弧BD，所以CD＝BD；②∵AC∥OD，∴＝．又CD＝BD，AB＝2OA，∴＝．∴cos∠BAD＝＝．。
2021年九年级数学中考复习专题之圆：切割线定理综合运用(一)
2021年九年级数学中考复习专题之圆：切割线定理综合运用（一）一．选择题1．P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PB＝BC＝3，则PA的长是（）A．9 B．3 C．D．182．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的一条割线，且PA＝2，BC＝2PB，那么PB 的长为（）A．2 B．C．4 D．3．如图，⊙O的两条割线PAB，PCD分别交⊙O于点A，B和点C，D．已知PA＝6，AB＝4，PC＝5，则CD＝（）A．B．C．7 D．244．如图，已知P为⊙O外一点，PO交⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，且PB ＝BC，若OA＝7，PA＝4，则PB的长等于（）A．B．C．6 D．5．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，如果PB＝2，PC＝8，那么PA的长为（）A．2 B．4 C．6 D．6．如图，在▱ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB＝4，BE ＝5，则DE的长为（）A．3 B．4 C．D．7．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A为大圆上任意一点，过A作小圆的割线AXY，若AX•AY＝4，则图中圆环的面积为（）A．16πB．8πC．4πD．2π8．如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA＝2，PC＝CD＝3，则PB＝（）A．6 B．7 C．8 D．99．以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB＝10，则CB的长为（）A．B．C．D．410．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB ＝60°，PA＝8，那么点P与O间的距离是（）A．16 B．C．D．二．填空题11．如图，⊙O的半径为，A、B两点在⊙O上，切线AQ和BQ相交于Q，P是AB 延长线上任一点，QS⊥OP于S，则OP•OS＝．12．如图，过点P引圆的两条割线PAB和PCD，分别交圆于点A，B和C，D，连接AC，BD，则在下列各比例式中，①；②；③，成立的有（把你认为成立的比例式的序号都填上）．13．如图，割线PAB与⊙O交于点A、B，割线PCD与⊙O交于点C、D，PA＝PC，PB＝3cm，则PD＝cm．14．如图，过⊙O外一点P作两条割线，分别交⊙O于A，B和C，D．已知PA＝2，PB ＝5，PD＝8，则PC的长是．15．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC 的平分线交BC于D点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．三．解答题16．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点E．若AB＝CD＝2，求CE的长．17．如图所示，⊙O的内接△ABC的AB边过圆心O，CD切⊙O于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，CE⊥AB于点E，FE交⊙O于G．解答下列问题：（1）若BC＝10，BE＝8，求CD的值；（2）求证：DF•DB＝EG•EF．18．如图1，已知Rt△ABC的直角边AC的长为2，以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D，过D点作⊙O的切线（1）求证：BE＝DE；（2）延长DE与AC的延长线交于点F，若DF＝，求△ABC的面积；（3）从图1中，显然可知BC＜AC．试分别讨论在其它条件不变，当BC＝AC（图2）和BC＞AC（图3）时，直线DE与直线AC还会相交吗？若不能相交，请简要说明理由；若能相交，设交点为F'且DF'＝，请再求出△ABC的面积．19．已知：如图，PF是⊙O的切线，PE＝PF，A是⊙O上一点，直线AE、AP分别交⊙O 于B、D，直线DE交⊙O于C，连接BC，（1）求证：PE∥BC；（2）将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆内，并在⊙O上另选一点A，如图2．其他条件不变，在图2中画出完整的图形．此时PE与BC是否仍然平行？证明你的结论．20．如图PAB、PCD是⊙O的两条割线，AB是⊙O的直径．（1）如图甲，若PA＝8，PC＝10，CD＝6．①求sin∠APC的值；②sin∠BOD＝；（2）如图乙，若AC∥OD．①求证：CD＝BD；②若，试求cos∠BAD的值．参考答案一．选择题1．解：∵PB＝BC＝3，∴PC＝6，∵PA2＝PB•PC＝18，∴PA＝3，故选：C．2．解：设PB＝x，则PC＝3x，∵PA2＝PB•PC，PA＝2，BC＝2PB，∴x•3x＝12，∴x＝2．故选：A．3．解：由于PAB、PCD都是⊙O的割线，根据切割线定理可得：PA•PB＝PC•PD，即PA•（PA+PB）＝PC•PD，∵PA＝6，AB＝4，PC＝5，∴PD＝12，即CD＝PD﹣PC＝7；故选：C．4．解：延长PO交圆于D；设PB＝BC＝x，∵PB•PC＝PA•PD，PB＝BC，OA＝7，PA＝4，∴x•2x＝72，∴x＝6．故选：C．5．解：∵PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，∴PA2＝PB•PC＝16，即PA＝4；故选：B．6．解：连接CE；∵，∴∠BAE＝∠EBC+∠BEC；∵∠DCB＝∠DCE+∠BCE，由弦切角定理知：∠DCE＝∠EBC，由平行四边形的性质知：∠DCB＝∠BAE，∴∠BEC＝∠BCE，即BC＝BE＝5，∴AD＝5；由切割线定理知：DE＝DC2÷DA＝，故选：D．7．解：过点A作圆的切线AD，切点是D，∵AD2＝AX•AY，AX•AY＝4，∴AD＝2，∴圆环的面积＝πAD2＝4π．故选：C．8．解：∵PB，PD是⊙O的割线，∴PA•PB＝PC•PD，∵PA＝2，PC＝CD＝3，∴2PB＝3×6解得：PB＝9．故选：D．9．解：如图，若，且AB＝10，∴AD＝4，BD＝6，作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，可得A、C、A′三点共线，∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称，∴AB＝A′B，∴AC＝A′C，AD＝A′D′＝4，A′B＝AB＝10．而A′C•A′A＝A′D′•A′B，即A′C•2A′C＝4×10＝40．则A′C2＝20，又∵A′C2＝A′B2﹣CB2，∴20＝100﹣CB2，∴CB＝4．故选：A．10．解：连接OA，OP∵PA，PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，∴∠OPA＝∠APB＝30°，OA⊥OP，∴OP＝＝＝，∴点P与O间的距离是．故选：B．二．填空题（共5小题）11．解：连接OQ交AB于M，则OQ⊥AB，连接OA，则OA⊥AQ．∵∠QMP＝∠QSP＝90°，∴S，P，Q，M四点共圆，故OS•OP＝OM•OQ．又∵OM•OQ＝OA2＝2，∴OS•OP＝2．故答案为：2．12．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠PAD＝∠C，∠PAD＝∠B∴△PAD∽△PCB根据相似三角形的对应边的比相等，得到②③是正确的．13．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝PC，PB＝3cm∴PB＝PD＝3cm．14．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝2，PB＝5，PD＝8∴PC＝＝．15．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．三．解答题（共5小题）16．解：如图，由切割线定理，得CD2＝CB•CA，（2分）CD2＝CB（AB+CB），CB2+2CB﹣4＝0，解得CB＝（负数舍去）连接OD，则OD⊥CD，又EB与⊙O相切，∴EB⊥OC，∴Rt△ODC∽Rt△EBC，（6分）于是，即∴CE＝．17．（1）解：∵AB为直径，BD⊥CD∴∠ABC+∠A＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°∵CD为⊙O切线∴∠BCD＝∠A∴∠ABC＝∠BCD∵CD⊥BD，CE⊥BE∴CE＝CD∴CE＝＝6∴CD＝6（2）证明：∵CD为切线，BD为割线∴CD2＝DF•DB①∵∠ACB＝90°，CE⊥AB∴RT△ACE∽RT△CBE∴CE2＝EA•EB②∵EG•EF＝EA•EB③由①②③及CD＝CE得DF•DB＝EG•EF．18．（1）证明：连接OD，∴OD⊥DE，∴∠ADO+∠BDE＝90°，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE；（2）解：在直角三角形ODF中，OD＝1，DF＝，∴∠OFD＝30°，∴OF＝2，AF＝3．∴tan∠A＝，∴BC＝AC•tan∠A＝2×tan30°＝．S△ABC＝AC•BC＝×2×＝；（3）解：如图，当BC＝AC时，直线DE与直线AC平行；当BC＞AC时，在直角三角形ODF′中，OD＝1，DF′＝，∴∠OF′D＝30°，∴OF′＝2，AF＝1，∴CF′＝3，∠BAC＝60°，∴tan∠BAC＝，∴BC＝AC•tan∠BAC＝2×tan60°＝2．S △ABC＝AC•BC＝×2×2＝2．19．（1）证明：∵PF与⊙O相切，∴PF2＝PD•PA．∵PE＝PF，∴PE2＝PD•PA．∴PE：PD＝PA：PE．∵∠APE＝∠APE，∴△EPD∽△APE．∴∠PED＝∠A．∵∠ECB＝∠A，∴∠PED＝∠ECB．∴PE∥BC．（2）解：PE与BC仍然平行．证明：画图如图，∵△EPD∽△APE，∴∠PEA＝∠D．∵∠B＝∠D，∴∠PEA＝∠B．∴PE∥BC．20．解：（1）作OE⊥CD于E，连接OC，作DF⊥PB于F．①根据垂径定理，得CE＝3．设圆的半径是r．根据勾股定理，得OP2﹣PE2＝OC2﹣CE2，（8+r）2﹣169＝r2﹣9，解得r＝6．则OE＝3．则sin∠APC＝＝；②设OF＝x．根据勾股定理，得PD2﹣PF2＝OD2﹣OF2，256﹣（14+x）2＝36﹣x2，解得x＝．所以DF＝．所以sin∠BOD＝＝＝．（2）①∵AC∥OD，∴∠1＝∠2．又OA＝OD，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．所以弧CD＝弧BD，所以CD＝BD；②∵AC∥OD，∴＝．又CD＝BD，AB＝2OA，∴＝．∴cos∠BAD＝＝．。
相交弦定理、切割线定理、割线定理综合训练(最新整理)
7．如图，PA切 ⊙ O于A，PBC是 ⊙ O的割线，如果PB = 2，PC = 4，则PA的长为________．
试卷第 1 页，总 3 页
8．如图，PAB、PCD是 ⊙ O的割线，PA = 3，PB = 6，PC = 2，则PD = ________． 9．如图，PT是 ⊙ O的切线，T为切点，PAB是 ⊙ O的割线，PA = 5cm，AB = 4cm，则 PT = ________cm．
三、解答题 10．如图，在半径为5cm的 ⊙ O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB = 50 ∘ ，∠APD = 80 ∘ ． (1)求∠ABD的大小； (2)求弦BD的长．
11．如图，⊙O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=4，EB=8，∠DEB=30°，求弦 CD 长．
12．如图，弦 AB 和弦 CD 相交于⊙O 内一点 E，AD=CB，求证：AB=CD．
相交弦定理、切割线定理、割线定理
一、单选题 1．如图，PA与 ⊙ O切于点A，PBC是 ⊙ O的割线，如果PB = BC = 2，那么PA 的长为（ ）
A．2 B．2 2 C．4 D．8
2．P是 ⊙ O外一点，PA切 ⊙ O于A，割线PBC交 ⊙ O于点B、C，若PB = BC = 3，则PA的长
是（
）
A．9 B．3 C．3 2 D．18
二、填空题
3．如图，半圆
O
的直径
AB=7，两弦
AC、BD
相交于点
E，弦
CD=7，且
2
BD=5，
则 DE=_____．
(word完整版)3.4+相交弦定理、切割线定理、弦切角定理(1课时)
(word完整版)3.4+相交弦定理、切割线定理、弦切角定理(1课时) 九年级数学导学稿第3章对圆的进一步认识课题:3.4+相交弦定理、切割线定理、弦切角定理(1课时）郭家屯初中初三编写学习目标1．掌握相交弦定理及推论、切割线定理及推论、弦切角定理，并会灵活应用.2．会用相交弦定理及推论、切割线定理及推论、弦切角定理进行证明和计算。
难点：定理及推论的应用【温故知新】1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长"是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线"是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理对于切线长定理，应明确(1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等;（2)若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；(3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4)经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3。
弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角.直线AB切⊙O于P,PC、PD为弦，图中几个弦切角呢?（四个）4。
弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角.5.弄清和圆有关的角:圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6。
遇到圆的切线，可联想“角"弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7。
与圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
相交弦定理推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦长的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项。
切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，这一点到割线与圆的交点的两条线段长的乘积等于切线长的平方.切割线定理推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等。
【探索定理新知】图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD。
相交弦定理应用题
相交弦定理应用题
相交弦定理是一个在几何学中非常重要的定理，它描述了两个弦在圆上相交时，两个弦的长度和它们所对应的弓形的面积之间的关系。
以下是几个应用相交弦定理的题目：
1. 圆中的四边形问题：
在一个圆中，有四个点A、B、C、D，其中AB与CD相交于点E。
已知AE=6cm，BE=3cm，ED=4cm，求BC的长度。
2. 圆中的三角形问题：
在圆O中，弦AB与弦CD相交于点P，且AP=3cm，BP=5cm，
CP=4cm，DP=6cm。
求弦AC的长度。
3. 求角度问题：
在圆中，两条弦AB与CD相交于点F，已知∠AFC=60°，∠BFD=40°，且AF=3，CF=5。
求∠BDC的大小。
4. 求面积问题：
在圆O中，两条弦AB与CD相交于点E，已知OA=OB=3cm，CE=2cm，DE=5cm。
求圆O的面积。
5. 综合应用问题：
在圆O中，AB是直径，弦CD与AB相交于点E。
已知AE=2cm，
BE=6cm，DE=5cm。
求圆O的半径以及弓形ACDB的面积。
解答上述题目需要使用相交弦定理以及相关的几何知识。
通过这些题目，你可以更好地理解和应用相交弦定理。
相交弦定理、切割线定理、割线定理综合训练
相交弦定理、切割线定理、割线定理一、单选题1．如图，PA与⊙O切于点A，PBC是⊙O的割线，如果PB=BC=2，那么PA的长为（）A．2B．2√2C．4D．82．P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PB=BC=3，则PA的长是（）A．9B．3C．3√2D．18二、填空题3．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=7，且BD=5，2则DE=_____．4．如图⊙O的半径为1cm，弦AB，CD的长度分别为√2cm，1cm，则弦AC，BD相交所夹的锐角α=__________．5．已知弦AB和弦CD相交于⊙O内一点P，AP=8，BP=3，PD=PC，则CD=________．，则CD=________．6．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=7，BE=1，cos∠AED=237．如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB=2，PC=4，则PA的长为________．8．如图，PAB、PCD是⊙O的割线，PA=3，PB=6，PC=2，则PD=________．9．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PAB是⊙O的割线，PA=5cm，AB=4cm，则PT=________cm．三、解答题10．如图，在半径为5cm的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=50∘，∠APD=80∘．(1)求∠ABD的大小；(2)求弦BD的长．11．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=4，EB=8，∠DEB=30°，求弦CD长．12．如图，弦AB和弦CD相交于⊙O内一点E，AD=CB，求证：AB=CD．13．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．14．如图，⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，且AB=CD．求证：AC^=BD^．15．如图，⊙O与割线AC交于点B，C，割线AD过圆心O，且∠DAC=30°．若⊙O的半径OB=5，AD=13，求弦BC的长．.. 参考答案1．B2．C3．2√2．4．75°．5．4√66．2√117．2√28．99．5310．(1)∠ABD=30∘；(2)BD=5√3cm.11．CD 12．详见解析.13．14．详见解析. 15．6．。
切割线定理割线定理相交弦定理等及几何题解汇编
公共切线：两圆相切，过两圆切点的公切线为公共切线——共切线。
几何原理
几何原理
共弦线垂直于连心线
共切线垂直于连心线
共割线平分公切线 4 切线长度相等—— 4 切点共圆，圆心在 两线交点
共切线平分公切线 3 切线长度相等—— 3 切点共圆，圆心在 两线交点
共割线上任意一点到 圆的 4 个切线的长度 相等，4 切点共圆
C E
mP
A
On R
D
性质
1
点 P 对圆 O 的幂的值，和点 P 与圆 O 的位置关系有下述关系： 点 P 在圆 O 内→P 对圆 O 的幂为负数； 点 P 在圆 O 外→P 对圆 O 的幂为正数； 点 P 在圆 O 上→P 对圆 O 的幂为 0。
切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中
R
题目 6 解题 6，连线圆心与左竖线下交点， 以右竖线上交点为圆心，过交点画圆
60
28
R
交点
题目 7 解题 6，连线圆心与左竖线下交点， 以右竖线上交点为圆心，过交点画圆
交点
题目 8 解题 6，连线圆心与左竖线下交点， 以右竖线上交点为圆心，过交点画圆
7
28
90°
60
题目 6 题解
60 题目 7 题解
1.35000000
7．直角所对的弦为圆的直径
1.35000000
90°
90°
8．圆直径相互平分，所以四边形上下两 点到竖向直径的距离相等
9．垂直于弦的直径平分弦线，所以四边 形外接圆垂直于连心线的直径线，过连心线 的中点
题目 6 分析
题目 7 分析
1.35000000
《弦切角定理》《圆幂定理》练习题及答案
《弦切角定理》定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧的圆周角度数。
那怎么证明呢？《圆幂定理》（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ，∴PA PB PC PD ⋅=⋅（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线∴ 2PA PC PB =⋅（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅【精典例题】1、如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的直径，∠P=50°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．50°B ．25°C ．40°D ．60°2、如图，BD 为圆O 的直径，直线ED 为圆O 的切线，A ．C 两点在圆上，AC 平分∠BAD 且交BD 于F 点．若∠ADE ＝19°，则∠AFB 的度数为何？（ ） A ．97°B ．104°C ．116°D ．142°解答：解：∵PA 、PB 是⊙O 的切线， ∴∠OAP =∠OBP =90°， 而∠P =50°，∴∠AOB =360°﹣90°﹣90°﹣50°= 130°， 又∵AC 是⊙O 的直径，∴∠BOC =180°﹣130°=50°． 故选A ．BADB3、如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、67.5°4、已知⊙O 的半径为1，圆心O 到直线l 的距离为2，过l 上任一点A 作⊙O 的切线，切点为B ，则 线段AB 长度的最小值为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、2解答：如右图所示，OA ⊥l ，AB 是切线，连接OB ， ∵OA ⊥l ，∴OA=2， 又∵AB 是切线， ∴OB ⊥AB ，在Rt △AOB 中，AB =22OB OA -=2212-=3．故选C ．5、如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形， 两直角边分别为6m 和8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管 道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点） 是（ ）A.2mB.3mC.6mD.9m解答：在Rt △ABC 中，BC =8m,AC =6m,AB =22BC AC +=2286+=10． ∵中心O 到三条支路的距离相等，设距离是r ．△ABC 的面积=△AOB 的面积+△BOC 的面积+△AOC 的面积 即：12AC •BC =12AB •r+12BC •r+12AC •r 即：6×8=10r+8r+6r ∴r=4824=2． 故O 到三条支路的管道总长是2×3=6m ．故选C ．解答：解：∵BD 是圆O 的直径， ∴∠BAD ＝90°， 又∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF ＝45°， ∵直线ED 为圆O 的切线， ∴∠ADE ＝∠ABD ＝19°，∴∠AFB ＝180°－∠BAF －∠ABD ＝180°－45°－19°＝116°． 故选C ．解答：解：如图：∵PD 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥PD ， 又∵OC=CD ， ∴∠COD=45°， 连接AC ，∵AO=CO ， ∴∠ACO=22.5°，∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°． 故选D ．O（第5题图）6、如图，AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC 于点E ，要使DE 是⊙O 的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确．．．的是（ ） A. DE ＝DO B. AB ＝AC C. CD ＝DB D. AC ∥OD7、已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，∠APC 的平分线交AC 于点D ，则∠CDP 等于（ ）A 、30°B 、60°C 、45°D 、50°解答：连接OC ，∵OC=OA ，，PD 平分∠APC ，∴∠CPD=∠DPA ，∠A=∠ACO ， ∵PC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥PC ，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°． 故选C ．8、如图，CB 切⊙O 于点B ，CA 交⊙O 于点D 且AB 为⊙O 的直径，点E 是ABD 上异于点A 、D 的一点．若∠C =40°，则∠E 的度数为 ．9、已知：如图，三个半圆以此相外切，它们的圆心都在x 轴的正半轴上并与直线y ＝x 相切，设半圆C 1、半圆C 2、半圆C 3的半径分别是r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝解答：由三个半圆依次与直线y ＝x 相切并且圆心都在x 轴上，∴y ＝x 倾斜角是30°，∴得，OO 1=2r 1，OO 1=2r 2，001=2r 3，r 1＝1，∴r3=9．故答案为9．333333解答：当AB=AC 时，连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，∴CD=BD ， ∵AO=BO ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ，∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ，∴DE 是⊙O 的切线．所以B 正确． 当CD=BD 时，AO=BO ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ∵DE ⊥AC ∴DE ⊥OD ∴DE 是⊙O 的切线．所以C 正确．当AC ∥OD 时，∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ．∴DE 是⊙O 的切线．所以D 正确． 故选A ．ABCD P· OE解答：如图：连接BD ，∵AB 是直径，∴∠ADB =90°，∵BC 切⊙O 于点B ，∴∠ABC =90°， ∵∠C =40°，∴∠BAC =50°，∴∠ABD =40°，∴∠E =∠ABD =40°． 故答案为：40°．10、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC 是直角，AB=3，BC=4，P 是BC 边上的动点，设BP=x ，若能在AC 边上找到一点Q ，使∠BQP=90°，则x 的取值范围是 ．解答：解：过BP 中点以BP 为直径作圆，连接QO ，当QO ⊥AC 时，QO 最短，即BP 最短， ∵∠OQC=∠ABC=90°，∠C=∠C ，∴△ABC ∽△OQC ，∴=，∵AB=3，BC=4，∴AC=5， ∵BP=x ，∴QO=x ，CO=4﹣x ，∴=，解得：x=3，当P 与C 重合时，BP=4，∴BP=x 的取值范围是：3≤x ≤4， 故答案为：3≤x ≤4．11、如图，AD 是⊙O 的弦，AB 经过圆心O ，交⊙O 于点C ，∠DAB=∠B=30°. (1)直线BD 是否与⊙O 相切？为什么？ (2)连接CD ，若CD=5，求AB 的长.解答：（1）直线BD 与⊙O 相切．如图连接OD ，CD ， ∵∠DAB=∠B=30°，∴∠ADB=120°， ∵OA=OD ，∴∠ODA=∠OAD=30°，∴∠ODB=∠ADB ﹣∠ODA=120°﹣30°=90°． 所以直线BD 与⊙O 相切．（2）连接CD ，∠COD=∠OAD+∠ODA=30°+30°=60°， 又OC=OD ，∴△OCD 是等边三角形，即：OC=OD=CD=5=OA ，∵∠ODB=90°，∠B=30°，∴OB=10，∴AB=AO+OB=5+10=15．12、已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC 于点E ． （1）求证：DE 为⊙O 的切线；（2）若DE =2，tan C =12，求⊙O 的直径．【解析】（1）证明：联结OD ． ∵ D 为AC 中点， O 为AB 中点，∴ OD 为△ABC 的中位线． ∴OD ∥BC ． ∵ DE ⊥BC ， ∴∠DEC=90°.∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD ⊥DE 于点D. ∴ DE 为⊙O 的切线．（2）解：联结DB ． ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°． ∴DB ⊥AC ． ∴∠CDB=90°. ∵ D 为AC 中点， ∴AB=AC ．在Rt △DEC 中，∵DE=2 ，tanC=12， ∴EC=4tan DEC=. 由勾股定理得：DC=在Rt △DCB 中， BD=tan DC C ⋅ BC=5. ∴AB=BC=5. ∴⊙O 的直径为5.【巩固练习】1．已知⊙O 的半径为10cm ，如果一条直线和圆心O 的距离为10cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系为（ ）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相交或相离2．如右图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线，∠B=70°，则∠BAC 等于（ ）A. 70°B. 35°C. 20°D. 10°（第2题） （第3题） （第4题） （第5题）3．如图，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于C ，下列结论中，错误的是（ ）A. ∠1=∠2B. PA=PBC. AB ⊥OPD. 2PA PC ·PO4．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ，PC=5，则⊙O 的半径为（ ）A.335 B. 635 C. 10 D. 55．如图已知AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，那么AB ︰CD 等于∠BPD 的（ ）A. 正弦B. 余弦C. 正切D. 余切6．如图A 、B 、C 是⊙O 上三点，AB ⌒的度数是50°，∠OBC=40°，则∠OAC 等于（ ）A. 15°B. 25°C. 30°D. 40°（第6题） （第7题） （第8题） （第9题）7．如图AB 为⊙O 的一条固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C ，作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当C 点在半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点P （ ）A. 到CD 的距离不变B. 位置不变C. 等分DB ⌒D. 随C 点的移动而移动8．如图AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD=20，则△ABC 的周长为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 21359．如图在⊙O 中，直径AB 、CD 互相垂直，BE 切⊙O 于B ，且BE=BC ，CE 交AB 于F ，交⊙O 于M ，连结MO 并延长，交⊙O 于N ，则下列结论中，正确的是（ ）A. CF=FMB. OF=FBC. BM⌒的度数是22.5° D. BC ∥MN 10．如图⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于点P ，已知AP=2cm ，BP=6cm ，CP ︰PD =1︰3，则DP=_________．（第10题） （第11题） （第12题） （第13题）11．如图AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，P 是BA 的延长线上的点，连结PC ，交⊙O 于F ，如果PF=7，FC=13，且PA ︰AE ︰EB = 2︰4︰1，则CD =_________．12．从圆外一点P 引圆的切线PA ，点A 为切点，割线PDB 交⊙O 于点D 、B ，已知PA=12，PD=8，则=∆∆DAP ABP S S :__________．13．⊙O 的直径AB=10cm ，C 是⊙O 上的一点，点D 平分BC ⌒，DE=2cm ，则AC=_____． 14．如图，AB 是⊙O 的直径，∠E=25°，∠DBC=50°，则∠CBE=________．（第14题） （第15题） （第17题） （第18题）15．点A 、B 、C 、D 在同一圆上，AD 、BC 延长线相交于点Q ，AB 、DC 延长线相交于点P ，若∠A=50°，∠P=35°，则∠Q=________．16.在Rt △ABC 中,∠C=90°，AC=12cm ，BC=5cm ，以点C 为圆心，6cm 的长为半径的圆与直线AB 的位置关系是________.17.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A 与BC 相切于点D,与AB 相交于点E,则∠ADE 等于___度. 18.如图,PA 、PB 是⊙O 的两条切线,A 、B 为切点,直线OP 交⊙A 于点D 、E,交AB 于C.图中互相垂直的线段有_________(只要写出一对线段即可).19.已知⊙O 的半径为4cm,直线L 与⊙O 相交,则圆心O 到直线L 的距离d 的取值范围是____.E A PO EC D BA20.如图,PA 、PB 是⊙O 的切线,切点分别为A 、B,且∠APB=50°,点C 是优弧AB 上的一点,则∠ACB 的度数为________.（第20题） （第21题） （第22题） （第23题）21.如图,⊙O 为△ABC 的内切圆,D 、E 、F 为切点,∠DOB=73°,∠DOE=120°, 则∠DOF=_______度,∠C=______度,∠A=_______度.22.如图,AB 、AC 为⊙O 的切线,B 、C 是切点,延长OB 到D,使BD=OB,连接AD,如果∠DAC=78°,那么∠ ADO 等于_______23.如图AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，，A 为切点，连结BC 交圆0于点D,连结AD,若∠ABC ＝45°,则下列结论正确的是（ ）A.AD ＝BCB.AD ＝ACC.AC ＞ABD.AD ＞DC24.如图，在平面直角坐标系中，⊙P 与x 轴相切于原点O ，平行于y 轴的直线交⊙P 于M,N 两点．若点M 的坐标是(2,-1)，则点N 的坐标是（ ）A ．(2,-4) B. (2,-4.5) C.(2,-5) D.(2,-5.5)（第24题） （第25题） （第26题） （第27题）25、如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，点C 在⊙O 上，BC ∥OD ，AB ＝2,OD ＝3,则BC 的长为（ ）A ．B ． CD26、已知圆O 的半径为R ，AB是圆O 的直径，D 是AB 延长线上一点，DC是圆O 的切线，C 是切点，连结AC ，若∠CAB ＝30°，则BD 的长为（ ）A ．BC ．D 27、如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线交⊙A 于M 、M 两点，若点M 的坐标是（-4,-2），则点N 的坐标为（ ）A ．（-1,-2）B ．（1,2）C ．（-1.5,-2）D ．（1.5,-2）PO C BA212123322R R R28、如图，AB 是圆O 的直径，AC 是圆O 的切线，A 为切点，连结BC 交圆于点D ，连结AD ，若∠ABC ＝45°，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．（第28题） （第29题） （第30题） （第31题）29、如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D,DE ⊥AC 于E,连接AD,则下列结论正确的个数是( ）①AD ⊥BC ②∠EDA ＝∠B ③OA ＝AC ④DE 是⊙O 的切线A ．1 个B ．2个C ．3 个D ．4个30、一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN ＝60︒，则OP ＝( )A ．50 cmB ．25cm C ．cm D ．50cm 31、如图，DB 为半圆的直径，A 为BD 延长线上一点，AC 切半圆于点E ，BC ⊥AC 于点C ，交半圆于点 F ．已知BD ＝2，设AD ＝x ，CF ＝y ，则y 关于x 的函数解析式是 ．32、如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB ＝60°，BC ＝4cm ，则切线AB ＝ cm.（第32题） （第33题） （第34题） （第35题）33、如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC ＝30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF ＝2，则HE 的长为_________．34、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，切线CD 与OB 的延长线交于点D ，若∠A ＝30°，CD ＝，则⊙O 的半径长为 ．35、如图，在中，，与相切于点，且交于两点，则图中阴影部分的面积是 （保留）．O 12AD BC =12AD AC =AC AB >AD DC >12333503第19题图ABC DO32ABC △120AB AC A BC =∠==，°，A ⊙BC D AB AC 、M N 、π36、如图，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D ，E ，F .∠B ＝50°，∠C ＝60°，连结OE ，OF ，DE ，DF ，则∠EDF 等于( )A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°（第36题） （第73题） （第38题）37、如图，一个边长为4 cm 的等边三角形ABC 的高与⊙O 的直径相等．⊙O 与BC 相切于点C ，与AC 相交于点E ，则CE 的长为________cm.38、如图，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点(不与点A 重合)，过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，连结PA .设PA ＝x ，PB ＝y ，则x －y 的最大值是________．39、如图，AB 是半圆O 的直径，C 为半圆上一点，过C 作半圆的切线，连接AC, 作直线AD ，使∠DAC=∠CAB ，AD 交半圆于E,交过C 点的切线于点D. (1)试判断AD 与CD 有何位置关系,并说明理由; (2)若AB=10,AD=8,求AC 的长.40、如图，点A ，B ，C 在半径为8的⊙O 上，过点B 作BD ∥AC ，交OA 延长线于点D ，连结BC ，且∠BCA ＝∠OAC ＝30°.(1)求证：BD 是⊙O 的切线； (2)求图中阴影部分的面积．答案：8、据切线长定理有AD=AE，BE=BF，CD=CF；则△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BF+CF+AC=AB+BE+AC+CD=AD+AE=2AD=40．故选C．9、解：A错，F显然不是弦的平分点；B错，F不是半径的中点；C错，M点平分应为45°；D对，∵BE为圆O的切线，∴BE⊥AB，∵CD⊥AB，∴BE∥CD，∴∠BEF=∠DCF，∵BC=BE，∴∠BCE=∠BEF，∴∠BCE=∠DCF，∵OC=OM，∴∠DCF=∠CMN，∴∠BCE=∠CMN，∴BC∥MN．故选D．10、解：如图利用相交弦定理可知：11、根据割线定理，PF*PC=PA*PB，设EB=X则PA=2X，AE=4X，PB=7X7*（7+13）=2X*7X，X2=10在三角形PCE中，CE2=PC2-PE2=400-360=40，CD=2CE=10412、由切割线定理可得PA2=PD×PB，∵PA=12，PD=8 ∴PB=18．由弦切角和公共角易知△PAD∽△PBA．∴S△PAD：S△PBA=PA2：PB2=4：9．⌒，∴OD平分BC，∴OE为△ABC的中位线，13、∵点D平分BC又∵⊙O的直径AB=10cm，∴OD=5cm，DE=2cm，∴0E=3cm，则弦AC=6cm．故答案为6cm．14、连接AC，∵∠DBA和∠DCA都为AD所对的圆周角，∴∠DBA=∠DCA，∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA=90°，∴∠CBA+∠CAB=90°，∵∠CAB=∠E+∠DCA，∴∠CBD+∠DBA+∠E+∠DBA=90°，∵∠E=25°，∠DBC=50°，∴∠DBA=7.5°，∴∠CBE=∠DBA+∠DBC=57.5°15、∠A=50°,故∠BCD=130°（因为是圆,同弧的角互补)，由P=35°计得∠CDQ=85°,故可以计出∠Q=45°.16.相交 17.60 18.如OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥OP等. 19.0≤d<4. 20.65°21. 146°,60°,86° 22.64°23、【答案】Ａ 24、【答案】A 25、【答案】A 26、【答案】C27、【答案】C 28、【答案】A 29、【答案】D 30、【答案】A31、 32、【答案】433、【答案】34、【答案】2．3536、B 由∠B ＝50°，∠C ＝60°可求出∠A ＝70°，则易求得∠EOF ＝110°，∴∠EDF ＝12∠EOF ＝55°.37、过O 作OF ⊥AC 于F ，连结OC ，如图．则CE ＝2CF .根据△ABC 为等边三角形，且边长为4 cm ，易求得它的高为2 3 cm ，即OC ＝ 3 cm.∵BC 与⊙O 相切，∴∠OCB ＝90°.又∠ACB ＝60°，∴∠OCF ＝30°.3π3在Rt△OFC中，可得CF＝OC·cos 30°＝3×32＝32(cm)，故CE＝2CF＝3 cm.38、如图，连结OA，过点O作OC⊥AP于点C，所以∠ACO＝90°，AC＝12AP.易证△OAC∽△APB，所以OA AP ＝ACPB，即4x＝x2y，所以y＝x28.所以x－y＝x－x28＝－18(x－4)2＋2，所以x－y的最大值是2.39.(1)AD⊥CD.理由:连接OC,则OC⊥CD.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,又∠OAC= ∠DAC,∴∠DAC=∠OCA,∴AD∥OC,∴AD⊥CD.(2)连接BC,则∠ACB=90°由(1)得∠ADC=∠ACB,又∠DAC=∠CAB.∴△ACD∽△ABC,∴AC ADAB AC=,即AC2=AD·AB=80,故40、22．(1)证明：如图，连结OB，交CA于点E.∵∠C＝30°，∠C＝12∠BOA，∴∠BOA＝60°.∵∠OAC＝30°，∴∠AEO＝90°.∵BD∥AC，∴∠DBE＝∠AEO＝90°.∴OB⊥BD.∴BD是⊙O的切线．(2)解：∵AC∥BD，∴∠D＝∠OAC＝30°.∵∠OBD＝90°，OB＝8，∴BD＝3OB＝8 3.∴S阴影＝S△BDO－S扇形AOB＝12×8×83－60·π×82360＝323－32π3.。
22.第二十二讲 园幂定理(含答案)-
第二十二讲 园幂定理相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理．圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关．相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在：1．用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况；2．从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】 如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= ．思路点拨 综合运用圆幂定理、勾股定理求PB 长． 注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段： (1)平行线分线段对应成比例； (2)相似三角形对应边成比例；(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来； (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来．【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD于点E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，则DE 的长为( ) A ．3 B ．4 C ．415 D ．516思路点拨 连AC ，CE ，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件．注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键．【例3】如图，△ABC内接于⊙O，AB是∠O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B．(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的长和∠ECB的正切值．思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x、k处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x与k的关系，建立x或k的方程．【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE思路点拨由切割线定理得EG2=EF·EP，要证明EG=DE，只需证明DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明．注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁．需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中．【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF＝4．求：(1)cos∠F的值；(2)BE的长．思路点拨解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE，AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法．对于(1)，先求出EF，FO值；对于(2)，从△BE F∽△EAF，Rt△AEB入手．注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手：(1)多视点观察图形．如本例从D点看可用切线长定理，从F点看可用切割线定理．(2)多元素分析图形．图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形．(3)将以上分析组合，寻找联系．学历训练A组1．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，交弦CD 于点M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT的长为．2．如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ．3．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点F，若AB=CD=2，则CE= ．4．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为( )A ．6．4B ．3．2C ．3．6D ．8(5．如图，⊙O 的弦AB 平分半径OC ，交OC 于P 点，已知PA 、PB 的长分别为方程024122=+-x x 的两根，则此圆的直径为()A ．28B ．26C ．24D ．226．如图，⊙O 的直径Ab 垂直于弦CD ，垂足为H ，点P 是AC上一点(点P 不与A 、C 两点重合)，连结PC 、PD 、PA 、AD ，点E 在AP 的延长线上，PD 与AB 交于点F ，给出下列四个结论：①CH 2=AH ·BH ；②AD ＝AC ：③AD 2=DF ·DP ；④∠EPC=∠APD ，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，BC 是半圆的直径，O 为圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AD ⊥BC 于点D ．(1)若∠B=30°，问AB 与AP 是否相等?请说明理由； (2)求证：PD ·PO=PC ·PB ；(3)若BD ：DC=4：l ，且BC ＝10，求PC 的长．⌒ ⌒ ⌒8．如图，已知PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B 、C ，PD ⊥AB 于点D ，PD 、AO 的延长线相交于点E ，连CE 并延长交⊙O 于点F ，连AF ． (1)求证：△PBD ∽△PEC ； (2)若AB=12，tan ∠EAF=32，求⊙O 的半径的长．9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰哈好是关于x 的方程0)134(622=+++-m m x x (其中m 为实数)的两根．(1)求证：BE=BD ；(2)若GE ·EF=36，求∠A 的度数．B 组10．如图，△ABC 中，∠C=90°，O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 相交于点E ，与AC 相切于点D ，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．11．如图，已知A 、B 、C 、D 在同一个圆上，BC=CD ，AC 与BD 交于E ，若AC=8，CD=4，且线段BE 、ED 为正整数，则BD= ．12．如图，P 是半圆O 的直径BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AH ⊥BC 于H ，若PA=1，PB+PC=a (a >2)，则PH=( )A ．a2 B ．a1 C ．2a D ．3a13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长为( ) A ．21 B ．215 C ．23 D ．114．如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，延长BC 至D ，使CD=BC ，CE ⊥AD 于E ，BE 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P ，求证：PE=PC ．15．已知：如图，ABCD 为正方形，以D 点为圆心，AD 为半径的圆弧与以BC 为直径的⊙O 相交于P 、C 两点，连结AC 、AP 、CP ，并延长CP 、AP 分别交AB 、BC 、⊙O 于E 、H 、F 三点，连结OF ．(1)求证：△AEP ∽△CEA ；(2)判断线段AB 与OF 的位置关系，并证明你的结论； (3)求BH:HC16．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，PEC 是一条割线，D 是AB 与PC 的交点，若PE=2，CD=1，求DE 的长．17．如图，⊙O 的直径的长是关于x 的二次方程0)2(22=+-+k x k x (k 是整数)的最大整数根，P 是⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 和割线PBC ，其中A 为切点，点B 、C 是直线PBC 与⊙O 的交点，若PA 、PB 、PC 的长都是正整数，且PB 的长不是合数，求PA+PB+PC 的值．参考答案。
初中数学竞赛第二十二讲园幂定理(含答案)
第二十二讲 园幂定理相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理．圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关．相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在：1．用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况；2．从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】 如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= ．思路点拨 综合运用圆幂定理、勾股定理求PB 长．注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段： (1)平行线分线段对应成比例； (2)相似三角形对应边成比例；(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来； (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来．【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD于点E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，则DE 的长为( ) A ．3 B ．4 C ．415 D ．516 思路点拨 连AC ，CE ，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件．注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键．【例3】如图，△ABC内接于⊙O，AB是∠O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B．(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的长和∠ECB的正切值．思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x、k处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x与k的关系，建立x或k的方程．【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE思路点拨由切割线定理得EG2=EF·EP，要证明EG=DE，只需证明DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明．注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁．需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中．【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF＝4．求：(1)cos∠F的值；(2)BE的长．思路点拨解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE，AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法．对于(1)，先求出EF，FO值；对于(2)，从△BE F∽△EAF，Rt△AEB入手．注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手：(1)多视点观察图形．如本例从D点看可用切线长定理，从F点看可用切割线定理．(2)多元素分析图形．图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形．(3)将以上分析组合，寻找联系．学历训练A组1．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，交弦CD 于点M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT的长为．2．如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ．3．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点F，若AB=CD=2，则CE= ．4．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为( )A ．6．4B ．3．2C ．3．6D ．8(5．如图，⊙O 的弦AB 平分半径OC ，交OC 于P 点，已知PA 、PB 的长分别为方程024122=+-x x 的两根，则此圆的直径为( )A ．28B ．26C ．24D ．226．如图，⊙O 的直径Ab 垂直于弦CD ，垂足为H ，点P 是AC 上一点(点P 不与A 、C 两点重合)，连结PC 、PD 、PA 、AD ，点E 在AP 的延长线上，PD 与AB 交于点F ，给出下列四个结论：①CH 2=AH ·BH ；②AD ＝AC ：③AD 2=DF ·DP ；④∠EPC=∠APD ，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，BC 是半圆的直径，O 为圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AD ⊥BC 于点D ．(1)若∠B=30°，问AB 与AP 是否相等?请说明理由； (2)求证：PD ·PO=PC ·PB ；(3)若BD ：DC=4：l ，且BC ＝10，求PC 的长．⌒⌒⌒8．如图，已知PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B 、C ，PD ⊥AB 于点D ，PD 、AO 的延长线相交于点E ，连CE 并延长交⊙O 于点F ，连AF ． (1)求证：△PBD ∽△PEC ； (2)若AB=12，tan ∠EAF=32，求⊙O 的半径的长．9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰哈好是关于x 的方程0)134(622=+++-m m x x (其中m 为实数)的两根．(1)求证：BE=BD ；(2)若GE ·EF=36，求∠A 的度数．B 组10．如图，△ABC 中，∠C=90°，O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 相交于点E ，与AC 相切于点D ，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．11．如图，已知A 、B 、C 、D 在同一个圆上，BC=CD ，AC 与BD 交于E ，若AC=8，CD=4，且线段BE 、ED 为正整数，则BD= ． 12．如图，P 是半圆O 的直径BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AH ⊥BC 于H ，若PA=1，PB+PC=a (a >2)，则PH=( )A ．a 2 B ．a 1 C ．2a D ．3a 13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长为( )A ．21 B ．215 C ．23 D ．1 14．如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，延长BC 至D ，使CD=BC ，CE ⊥AD于E ，BE 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P ，求证：PE=PC ．15．已知：如图，ABCD 为正方形，以D 点为圆心，AD 为半径的圆弧与以BC 为直径的⊙O 相交于P 、C 两点，连结AC 、AP 、CP ，并延长CP 、AP 分别交AB 、BC 、⊙O 于E 、H 、F 三点，连结OF ．(1)求证：△AEP ∽△CEA ；(2)判断线段AB 与OF 的位置关系，并证明你的结论； (3)求BH:HC16．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，PEC 是一条割线，D 是AB 与PC 的交点，若PE=2，CD=1，求DE 的长．17．如图，⊙O 的直径的长是关于x 的二次方程0)2(22=+-+k x k x (k 是整数)的最大整数根，P 是⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 和割线PBC ，其中A 为切点，点B 、C 是直线PBC 与⊙O 的交点，若PA 、PB 、PC 的长都是正整数，且PB 的长不是合数，求PA+PB+PC 的值．参考答案。
切割线定理证明及例题
切割线定理定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
是圆幂定理的一种。
几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）由上可知:PT的平方=PA·PB=PC·PD编辑本段证明切割线定理证明:设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT²=PA·PB证明：连接AT, BT∵∠PTB=∠P AT(弦切角定理)∠P=∠P(公共角)∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT²=PB·PA编辑本段比较切割线定理与割线定理，相交弦定理统称为圆幂定理一. 教学内容：相交弦定理和切割线定理二. 重点、难点：1. 相交弦定理的使用特征。
2. 切割线定理的使用特征。
【典型例题】[例1] 已知P为⊙O内一点，，⊙O半径为，过P任作一弦AB，设，，则关于的函数关系式为。
解：由相交弦定理得，即，其中[例2] 如图，AC=BD，CE、DF切⊙O于E、F两点，连EF，求证：CM=MD。
证明：作DN∥EC，交MF于N，则∠1=∠2，∠C=∠4由弦切角定理得：∠3=∠1 ∴∠2=∠3 ∴DN=DF由切割线定理，∵AC=DB ∴CB=DA ∴ CE=DF∴CE=DN 又∵∠5=∠6 ∴（AAS）∴CM=MD[例3] 已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。
解：设TD=，BP=，由相交弦定理得：即，（舍）由切割线定理，由勾股定理，∴∴∴[例4] 两圆交于A、B，AC、AD切两圆于A，交两圆于C、D，连CB，延长交AD于E，圆于F，若BC=9，AE=6，DE=2，求AC长。
相交弦定理、切割线定理、割线定理综合训练
12．如图，弦 AB 和弦 CD 相交于⊙O 内一点 E，AD=CB，求证：AB=CD．
13．如图，⊙O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦 CD 长．
14．如图， 中，弦 与弦 相交于点 ，且
．求证：
．
15．如图，⊙O 与割线 AC 交于点 B，C，割线 AD 过圆心 O，且∠DAC=30°．若⊙O 的半径 OB=5，AD=13，求弦 BC 的长．
8．如图， 、 是 的割线，
，ห้องสมุดไป่ตู้
，
，则 ________．
9．如图， 是 的切线， 为切点， 是 的割线，
，
，
则 ________ ．
三、解答题
10．如图，在半径为 的 中，直径 与弦 相交于点 ，
，
．
求 的大小；
求弦 的长．
11．如图，⊙O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=4，EB=8，∠DEB=30°，求弦 CD 长．
1．B 2．C 3． ． 4．75°． 5． 6． 7． 8．9
9． 3 5
10．(1)
；(2)
11． CD 2 35
12．详见解析.
13． 2 15
14．详见解析. 15．6．
参考答案 .
相交弦定理、切割线定理、割线定理
一、单选题
1．如图， 与 的长为（ ）
切于点 ， 是
的割线，如果
，那么
A． B．
C． D．
2． 是 长是（
外一点， 切 ）
于 ，割线 交
于点 、 ，若
，则 的
A． B． C．
D．
二、填空题
3．如图，半圆 O 的直径 AB=7，两弦 AC、BD 相交于点 E，弦 CD= ，且 BD=5，则 DE=_____．
切割线定理习题
切割线定理习题切割线定理回顾旧知：相交弦定理：对于一个圆，两条相交的弦，它们各自的线段长度的乘积相等。
探索发现：A。
当点P从圆内向圆外移动时，PA·PB=PC·PD不成立。
证明：考虑当P在圆上时，PA·PB=PC·PD成立，但当P向圆外移动时，___增大而PB减小，PC减小而PD增大，因此PA·PB和PC·PD不再相等。
练：1.PC=4解析：根据相交弦定理，PA·PB=PC·PD，代入已知量得5×3=4×PD，解得PD=15/4，因此PC=PD+DC=15/4+3=27/4.2.圆O的面积=48π解析：根据切线长度公式，PT^2=PA·PB，代入已知量得PT=2√15，因此圆O的半径r=PA+PT=4+2√15，面积S=πr^2=48π。
3.证明PC·PD=PE·PF解析：根据相交弦定理，PA·PB=PC·PD，PE·PF=PA·PB，因此PC·PD=PE·PF。
巩固加深：1.C解析：根据相交弦定理，PA·PB=PC·PD，代入已知量得AB=15/4.2.A解析：根据相交弦定理，PA·PB=PC·PD，代入已知量得⊙O的半径r=8.3.C解析：根据相交弦定理，PA·PB=PC·PD，代入已知量得AE=5，因此PE=PA+AE=9.4.C解析：根据相交弦定理，AN·NB=QN·NM，代入已知量得AN=1/4，NP=1-AN=3/4.5.A解析：根据相交弦定理，PA·PB=PC·PD，代入已知量得CD=6.6.B解析：根据切线长度公式，PA^2=PO·PB，代入已知量得⊙O的半径r=10.7.A解析：根据相交弦定理，PC·PD=PE^2，代入已知量得PE=6.8.B解析：根据相交弦定理，CE·AE=BE·DE。
切割线定理习题
切割线定理一、回顾旧知：请结合以上的两图写出相交弦定理及推论的内容：相交弦定理：。
二、探索发现：AP点从圆内向圆外移动时结论：PA ·PB=PC·PD是否成立？你能给出合理的证明吗？三、练习：（1）已知PAB 、PCD 是圆O 的割线，PA=5 ， AB=3 ，CD=3，则PC ＝ （2）已知PT 是圆O 的切线，PA=4， PT=6 ， 则圆O 的面积＝（3）已知 ：圆1O 、2O 圆相交于A 、B ， P 是BA 延长线上的一点，PCD 是圆1O 的割线，PEF 是圆2O 的割线， 求证：PC •PD=PE• PF巩固加深一、选择题（共15小题）1．如图，PAB为割线且PA=AB，PO交⊙O于C，若OC=3，OP=5，则AB的长为（）A. B. C. D.第1题第2题第3题2．如图，⊙O的割线PAB交⊙O于点A，B，PA=14cm，AB=10cm，PO=20cm，则⊙O的半径是（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 14cm3．如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA=4cm，PB=3cm，PC=6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE=cm，则PE的长为（）A. 4cmB. 3cmC. 5cmD.cm4．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PQ切⊙O1于点P，交⊙O2于点Q、M，交AB 的延长线于点N．若MN=1，MQ=3，则NP等于（）A. 1B.C. 2D.3第4题第5题第7题5．如图，PAB、PCD是⊙O的两条割线，PA=3，AB=5，PC=4，则CD等于（）A.6B. 3C.D.6．已知PA是⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10cm，PB=5cm，则⊙O 的半径长为（）A. 15cmB. 10cmC. 7.5cmD. 5cm 7．（2004•锦州）如图，⊙O和⊙O′都经过点A和点B，点P在BA的延长线上，过P作⊙O 的割线PCD交⊙O于C、D，作⊙O′的切线PE切⊙O′于E，若PC=4，CD=5，则PE等于（）A. 6B. 2C. 20D.368．如图⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，AC与DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（）A. CE•CD=BE•BAB. CE•AE=BE•DEC. PC•CA=PB•BDD. PC•PA=PB•PD第8题第10题第11题9．已知AB为⊙O的直径，C为AB的延长线上一点，过C的直线与相切于点D，若BC=2，CD=4，则⊙O的半径长是（）A.3B.6C.8D. 无法计算10．如图，已知⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，且点O1在⊙O2上，过A作⊙O1的切线AC交BO1的延长线于点P，交⊙O2于点C，BP交⊙O1于点D，若PD=1，PA=，则AC 的长为（）A. B. C. D.11．如图，PT是外切两圆的公切线，T为切点，PAB，PCD分别为这两圆的割线．若PA=3，PB=6，PC=2，则PD等于（）A.12B.9C. 8D.412．如图，在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则⊙O的半径是（）A. B. C. D.第12题第13题第14题13．如图，已知PAC为⊙O的割线，连接PO交⊙O于B，PB=2，OP=7，PA=AC，则PA 的长为（）A. B. 2 C. D. 314．如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，∠APB=60°，点P到圆心O的距离OP=2，则⊙O的半径为（）A. B.1 C. D.215．（2007•双柏县）如图，已知PA是⊙O的切线，A为切点，PC与⊙O相交于B、C两点，PB=2cm，BC=8cm，则PA的长等于（）A. 4cmB. 16cmC. 20cmD. 2cm二、填空题（共15小题）（除非特别说明，请填准确值）16．（2003•泸州）如图，⊙O1与⊙O2相交于C、D两点，⊙O1的割线PAB与DC的延长线交于点P，PN与⊙O2相切于点N，若PB=10，AB=6，则PN=_________．第16题第17题第18题17．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PA=6，PB=4，弧AB的度数为60°，则BC=_________，∠PCA=_________度，∠PAB=_________度．18．如图，ABCD是边长为2 a的正方形，AB为半圆O的直径，CE切⊙O于E，与BA的延长线交于F，EF的长_________．19．如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6cm，AB=8cm，PO交⊙O于点C，且PO=10cm，则⊙O的半径为_________cm．第19题第20题第21题20．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB=60°，AC=2，那么CD的长为_________．21．如图，在△ABC中，∠C=90度．以BC为直径作⊙O与斜边AB交于点D，且AD=3.2cm，BD=1.8cm，则AC=_________cm．22．如图，PT是半径为4的⊙O的一条切线，切点为T，PBA是经过圆心的一条割线，若B是OP的中点，则PT的长是_________．第22题第23题第24题23．如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA=4，PB=3，PC=6，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，AE=2，那么PE的长_________．24．如图，⊙O的割线PAB交⊙O于点A、B，PA=7cm，AB=5cm，PO=10cm，则⊙O的半径为_________．25．如图，已知两圆相交于CD两点，AB为两圆的外公切线，A、B为切点，CD的延长线交AB于M，若MD=3，CD=9，则AB的长等于_________．第25题第26题第27题26．如图，PT是⊙O的切线，切点是T，M是⊙O内一点，PM及PM的延长线交⊙O于B，C，BM=BP=2，PT=，OM=3，那么⊙O的半径为_________．27．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC，若OA=2，且AD+OC=6，则CD=_________．28．如图，已知PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，PA=，PB=BC，⊙O的半径OC=5，那么弦BC的弦心距OM=_________．第28题第29题第30题29．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3，4，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，则AD=_________．30．如图，PT切⊙O于点T，直径BA的延长线交PT于点P，若PT=4，PA=2，则⊙O的半径长是_________．31．如图，AB是⊙O的直径，CB、CE分别切⊙O于点B、D，CE与BA的延长线交于点E，连接OC、OD．（1）△OBC与△ODC是否全等？_________（填“是”或“否”）；（2）已知DE=a，AE=b，BC=c，请你思考后，选用以上适当的数，设计出计算⊙O半径r 的一种方案：①你选用的已知数是_________；②写出求解过程．（结果用字母表示）【单点训练】切割线定理参考答案与试题解析一、选择题（共15小题）1．（2004•呼和浩特）如图，PAB为割线且PA=AB，PO交⊙O于C，若OC=3，OP=5，则AB的长为（）A．B．C．D．考点：切割线定理．专题：计算题．分析：延长PO到E，延长线与圆O交于点E，连接EB，AC，由半径OC的长，得到半径OE的长，再由OE+OP得出EP的长，OP﹣OC得出CP的长，由PA=AB，设出PA=AB=x，则BP=2x，根据四边形ACEB为圆O的内接四边形，利用圆内接四边形的外角等于它的内对角得到一对角相等，再由公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形ACP与三角形EBP相似，由相似得比例，将各自的长代入列出关于x 的方程，求出方程的解得到x的值，即为AB的长．解答：解：延长PO到E，延长线与圆O交于点E，连接EB，AC，∵OC=3，OP=5，∴OE=OC=3，∴EP=OE+OP=3+5=8，CP=OP﹣OC=5﹣3=2，设PA=AB=x，则BP=2x，∵四边形ACEB为圆O的内接四边形，∴∠ACP=∠E，又∠P=∠P，∴△ACP∽△EBP，∴=，即=，解得：x=2或x=﹣2（舍去），则AB=2．故选B点评：此题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用了转化及方程的思想，其中作出如图所示的辅助线是解本题的关键．2．（2006•泰安）如图，⊙O的割线PAB交⊙O于点A，B，PA=14cm，AB=10cm，PO=20cm，则⊙O的半径是（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm考点：切割线定理．分析：根据切割线定理代入公式即可求解．解答：解：设圆O的半径是x，则PA•PB=（PO﹣r）（PO+r），∴14×（14+10）=（20﹣x）（20+x），解得x=8．故选A．点评：本题的关键是利用割线定理求线段的长．3．（2004•镇江）如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA=4cm，PB=3cm，PC=6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE=cm，则PE的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．cm考点：切割线定理；相交弦定理．分析：首先根据相交弦定理得PA•PB=PC•PD，得PD=2．设DE=x，再根据切割线定理得AE2=ED•EC，即x（x+8）=20，x=2或x=﹣10（负值舍去），则PE=2+2=4．解答：解：∵PA•PB=PC•PD，PA=4cm，PB=3cm，PC=6cm，∴PD=2；设DE=x，∵AE2=ED•EC，∴x（x+8）=20，∴x=2或x=﹣10（负值舍去），∴PE=2+2=4．故选A．点评：此题综合运用了相交弦定理和切割线定理．4．（2004•淮安）如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PQ切⊙O1于点P，交⊙O2于点Q、M，交AB的延长线于点N．若MN=1，MQ=3，则NP等于（）A．1B．C．2D．3考点：切割线定理；切线长定理．分析：根据切线长定理得PN2=NB•NA，根据割线定理得NB•NA=NM•NQ，所以PN2=NM•NQ即可求得PN的长．解答：解：∵PN2=NB•NA，NB•NA=NM•NQ，∴PN2=NM•NQ=4，∴PN=2．故选C．点评：此题能够有机地把切割线定理和割线定理相结合，把要求的线段和已知的线段联系到一起．5．（2004•三明）如图，PAB、PCD是⊙O的两条割线，PA=3，AB=5，PC=4，则CD等于（）A．6B．2C．D．考点：切割线定理．分析：首先求得PB的长，再根据割线定理得PC•PD=PA•PB即可求得PD及CD的长．解答：解：∵PA=3，AB=5，PC=4，∴PB=8，∵PC•PD=PA•PB，∴PD=6，∴CD=6﹣4=2．故选B．点评：此题主要是运用了割线定理．6．（2005•荆门）已知PA是⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10cm，PB=5cm，则⊙O的半径长为（）A．15cm B．10cm C．7.5cm D．5cm考点：切割线定理．分析：根据切割线定理分析解答．解答：解：根据切割线定理的PA2=PO•PC，所以100=5×PC，PC=20cm，BC=20﹣5=15cm．因为PBC是过点O的割线，所以⊙O的半径长为15×=7.5cm．故选C．点评：利用切割线解题时要注意BC是直径，而求得是半径，不要误选A．7．（2004•锦州）如图，⊙O和⊙O′都经过点A和点B，点P在BA的延长线上，过P作⊙O 的割线PCD交⊙O于C、D，作⊙O′的切线PE切⊙O′于E，若PC=4，CD=5，则PE等于（）A．6B．2C．20 D．36考点：切割线定理．分析：根据割线定理得PA•PB=PC•PD，根据切割线定理得PE2=PA•PB，所以PE2=PC•PD，从而可求得PE的长．解答：解：∵PA•PB=PC•PD，PE2=PA•PB，PC=4，CD=5，∴PE2=PC•PD=36，∴PE=6．故选A．点评：注意：割线定理和切割线定理的运用必须在同一个圆中．这里借助割线PAB，把要求的线段和已知线段建立了关系．8．（2004•天津）如图⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，AC与DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（）A．C E•CD=BE•BA B．C E•AE=BE•DE C．P C•CA=PB•BD D．P C•PA=PB•PD考点：切割线定理；相交弦定理．分析：根据相交弦定理的割线定理即可求解．解答：解：由相交弦定理知，CE•ED=BE•AE，由割线定理知，PC•PA=PB•PD，只有D正确．故选D．点评：本题利用了相交弦定理和割线定理．9．（2003•资阳）已知AB为⊙O的直径，C为AB的延长线上一点，过C的直线与相切于点D，若BC=2，CD=4，则⊙O的半径长是（）A．3B．6C．8D．无法计算考点：切割线定理．分析：设圆的半径是x，根据切割线定理得CD2=CB•AC，可求得CA与AB的长，从而可得到圆的半径．解答：解：设圆的半径是x；∵CD2=CB•AC，BC=2，CD=4，∴CA=8，∴AB=6，∴圆的半径是3．故选A．点评：此题主要是运用了切割线定理．10．（2003•武汉）如图，已知⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，且点O1在⊙O2上，过A作⊙O1的切线AC交BO1的延长线于点P，交⊙O2于点C，BP交⊙O1于点D，若PD=1，PA=，则AC的长为（）A．B．C．D．考点：切线的性质；勾股定理；切割线定理．专题：综合题．分析：根据PA2=PD•PB，作为相等关系可求得PB=5，BD=4，O1D=O1B=2，再根据割线定理PA•PC=PO1•PB，可求得PC=3，从而求得AC=2．解答：解：∵PA2=PD•PB，即（）2=1×PB，解得PB=5，∴BD=BP﹣PD=5﹣1=4，O1D=O1B=4÷2=2，∵PA•PC=PO1•PB，∴×PC=3×5，即PC=3，∴AC=PC﹣AP=3﹣=2．故选B．点评：根据切割线定理和割线定理解答．此题要关注两个关键点：A为两圆交点，PB过点O1．11．（2004•温州）如图，PT是外切两圆的公切线，T为切点，PAB，PCD分别为这两圆的割线．若PA=3，PB=6，PC=2，则PD等于（）A．12 B．9C．8D．4考点：切割线定理．分析：根据切割线定理得PT2=PA•PB，PT2=PC•PD，所以PA•PB=PC•PD，从而可求得PD 的长．解答：解：∵PT2=PA•PB，PT2=PC•PD，∴PA•PB=PC•PD，∵PA=3，PB=6，PC=2，∴PD=9．故选B．点评：注意：切割线定理和割线定理都是在同一个圆中运用的．此题借助切线把要求的线段和已知线段联系到了一起．12．（2006•临沂）如图，在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则⊙O的半径是（）A．B．C．D．考点：切割线定理；切线长定理．分析：根据切线长定理得AE=AC，根据勾股定理得AB的长，从而得到BE的长，再利用切割线定理得BE2=BD•BC，从而可求得BD的长，也就得到了半径的长．解答：解：∵AE=AC=5，AC=5，BC=12，∴AB=13，∴BE=8；∵BE2=BD•BC，∴BD=，∴CD=，∴圆的半径是，故选A．点评：此题综合运用了切线长定理、勾股定理和切割线定理．13．（2004•沈阳）如图，已知PAC为⊙O的割线，连接PO交⊙O于B，PB=2，OP=7，PA=AC，则PA的长为（）A．B．2C．D．3考点：切割线定理．分析：设PA=x，延长PO交圆于D，根据割线定理得PA•PC=PB•PD即可求得PA的长，也就求得了AC的长．解答：解：设PA=x，延长PO交圆于D，∵PA•PC=PB•PD，PB=2，OP=7，PA=AC，∴x•2x=24，∴x=2．故选B．点评：此题通过作辅助线构造割线定理列方程求解．14．（2006•永州）如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，∠APB=60°，点P到圆心O的距离OP=2，则⊙O的半径为（）A．B．1C．D．2考点：切割线定理；等边三角形的性质；勾股定理．分析：根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，可知∠APO的度数，连接OA，可知OA⊥AP，故在Rt△AOP中，根据三角函数公式，可将半径求出．解答：解：连接OA∵PA为⊙O的切线∴PA⊥OA∵∠APO=∠APB=30°∴OA=OP×sin∠APO=2×=1∴⊙O的半径为1故选B．点评：本题主要考查圆的切线长定理．15．（2007•双柏县）如图，已知PA是⊙O的切线，A为切点，PC与⊙O相交于B、C两点，PB=2cm，BC=8cm，则PA的长等于（）A．4cm B．16cm C．20cm D．2cm考点：切割线定理．分析：根据已知得到PC的长，再根据切割线定理即可求得PA的长．解答：解：∵PB=2cm，BC=8cm，∴PC=10cm，∵PA2=PB•PC=20，∴PA=2，故选D．点评：此题主要是运用了切割线定理．注意：切线长的平方应是PB和PC的乘积．二、填空题（共15小题）（除非特别说明，请填准确值）16．（2003•泸州）如图，⊙O1与⊙O2相交于C、D两点，⊙O1的割线PAB与DC的延长线交于点P，PN与⊙O2相切于点N，若PB=10，AB=6，则PN=2．考点：切割线定理．分析：根据割线定理和切割线定理，可以证明PA•PB=PC•PD=PN2，从而求得PN的值．解答：解：根据割线定理，得PA•PB=PC•PD=（10﹣6）×10=40，根据切割线定理，得PN2=PC•PD=40，则PN=2．故答案为：2．点评：此题综合运用了割线定理和切割线定理进行计算．17．（2003•常州）如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PA=6，PB=4，弧AB的度数为60°，则BC=5，∠PCA=30度，∠PAB=30度．考点：切割线定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．分析：根据切割线定理得PA2=PB•PC可求得PC与BC的长，根据圆周角定理知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，即∠PCA=30°，最后根据弦切角定理得∠PAB=30°．解答：解：∵PA2=PB•PC，PA=6，PB=4；∴PC=9，∴BC=5；∵弧AB的度数为60°，∴∠PCA=30°，∴∠PAB=30°．点评：此题综合运用了切割线定理和圆周角、弦切角与弧的度数的关系．18．（2001•内江）如图，ABCD是边长为2 a的正方形，AB为半圆O的直径，CE切⊙O 于E，与BA的延长线交于F，求EF的长．答：EF=a．考点：切割线定理；圆周角定理．分析：本题利用切线的性质，割线定理，及圆周角定理，结合相似三角形的性质解答．解答：解：连接OE；∵CE切⊙O于E，∴OE⊥CF，∴△EFO∽△BFC，∴=；又∵OE=AB=BC，∴EF=FB；设EF=x，则FB=2x，FA=2x﹣2a；∵FE切⊙O于E，∴FE2=FA•FB，∴x2=（2x﹣2a）•2x，解得x=a，∴EF=a．点评：本题考查切线的性质、切割线定理、相似三角形性质、以及正方形有关性质．解答此题的关键是连接OE，构造出相似三角形，再解答．19．（1999•贵阳）如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6cm，AB=8cm，PO 交⊙O于点C，且PO=10cm，则⊙O的半径为4cm．考点：切割线定理．分析：延长PO交⊙O于D，设⊙O的半径是xcm．根据割线定理列方程求解．解答：解：延长PO交⊙O于D，设⊙O的半径是xcm．根据割线定理，得PA•PB=PC•PD．即（10﹣x）（10+x）=6×（6+8），100﹣x2=84，x2=16，x=±4（负值舍去）．即圆的半径是4cm．点评：此题主要是通过作辅助线，构造割线，熟练运用割线定理列方程求解．20．（2002•四川）如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB=60°，AC=2，那么CD的长为．考点：切割线定理；切线的性质．分析：连接AD，OB，OP，根据已知可求得AP，PC的长，再根据切割线定理得，PA2=PD•PC，从而可求得PD与CD的长．解答：解：连接AD，OB，OP；∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，∴∠OAP=∠OBP=90°，∠AOB=180°﹣∠P=120°，∴∠AOP=60°，AP=AOtan60°=，∴PC=；∵PA2=PD•PC，∴PD=，∴CD=．点评：本题考查切线的性质，勾股定理，四边形的内角和为360°，切割线定理等的综合运用．21．（2004•泸州）如图，在△ABC中，∠C=90度．以BC为直径作⊙O与斜边AB交于点D，且AD=3.2cm，BD=1.8cm，则AC=4cm．考点：切割线定理；切线的判定．分析：先根据已知条件，证得AC是⊙O的切线；然后运用切割线定理求出AC的长．解答：解：∵BC是⊙O的直径，AC⊥BC，∴AC是⊙O的切线，且切点为C；由切割线定理，得：AC2=AD•AB，∵AD=3.2cm，BD=1.8cm，AB=5cm，∴AC2=3.2×5=16，即AC=4cm．故答案为：4．点评：解决此题的关键是能够发现AC是圆的切线，再熟练运用切割线定理求解．22．（2002•丽水）如图，PT是半径为4的⊙O的一条切线，切点为T，PBA是经过圆心的一条割线，若B是OP的中点，则PT的长是4．考点：切割线定理．分析：根据题意，得PB=4，PA=12；再根据切割线定理得PT2=PB•PA，即可求得PT的值．解答：解：∵半径为4，B是OP的中点，∴PB=4，PA=12，∵PT2=PB•PA，∴PT=4．点评：此题主要是考查了切割线定理的运用．23．（1999•成都）如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA=4，PB=3，PC=6，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，AE=2，那么PE的长4．考点：切割线定理；相交弦定理．分析：首先根据相交弦定理求得PD的长，再根据切割线定理求得DE的长，进而可求出PE 的长．解答：解：∵PA=4，PB=3，PC=6，∴PD==2．设DE=x．∵EA切⊙O于点A，∴EA2=ED•EC，即x（x+8）=20，x2+8x﹣20=0，x=2，x=﹣10（负值舍去）．则PE=DE+PD=4．点评：此题综合运用了相交弦定理和切割线定理．24．（2006•余姚市）如图，⊙O的割线PAB交⊙O于点A、B，PA=7cm，AB=5cm，PO=10cm，则⊙O的半径为4．考点：切割线定理．分析：根据割线定理求解．解答：解：延长PO交圆于点D，由割线定理知，PA•PB=PC•PD=（PO﹣CO）（PO+CD），代入数据解得，CO=4．点评：本题利用了割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D，则有PA•PB=PC•PD．25．（2001•湖州）如图，已知两圆相交于CD两点，AB为两圆的外公切线，A、B为切点，CD的延长线交AB于M，若MD=3，CD=9，则AB的长等于12．考点：切割线定理．分析：根据切割线定理得AM2=MD•MC=36，BM2=MD•MC，从而可求得AM=BM=6，即得到了AB的长．解答：解：∵AM2=MD•MC=36，BM2=MD•MC，MD=3，CD=9；∴AM=BM=6，∴AB=12．点评：此题主要是运用切割线定理进行计算．26．（2000•金华）如图，PT是⊙O的切线，切点是T，M是⊙O内一点，PM及PM的延长线交⊙O于B，C，BM=BP=2，PT=，OM=3，那么⊙O的半径为．考点：切割线定理；勾股定理；垂径定理．分析：已知了PT、BP的长，根据切割线定理易求得BC的长；在线段OM的基础上作⊙O 的直径，根据相交弦定理即可求出⊙O的半径．解答：解：∵PT是⊙O的切线，由切割线定理，得：PT2=PB•PC；∵PT=2，BP=2；∴PC=PT2÷PC=10；∴BC=8，CM=6；过O、M作⊙O的直径，交⊙O于E、F；设⊙O的半径为R，则EM=R+3，MF=R﹣3；由相交弦定理，得：（R+3）（R﹣3）=BM•MC；R2﹣9=2×6，即R=．故⊙O的半径为．点评：此题综合考查了切割线定理和相交弦定理．27．（2000•台州）如图，已知AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC，若OA=2，且AD+OC=6，则CD=．考点：切割线定理；平行线的性质；圆周角定理．专题：计算题．分析：连接BD，根据AD∥OC，易证得OC⊥BD，根据垂径定理知：OC垂直平分BD，可得CD=CB，因此只需求出CB的长即可；延长AD，交BC的延长线于E，则OC是△ABC的中位线；设未知数，表示出OC、AD、AE的长，然后在Rt△ABE中，表示出BE的长；最后根据切割线定理即可求出未知数的值，进而可在Rt△CBO中求出CB的长，即CD的长．解答：解：连接BD，则∠ADB=90°；∵AD∥OC，∴OC⊥BD；根据垂径定理，得OC是BD的垂直平分线，即CD=BC；延长AD交BC的延长线于E；∵O是AB的中点，且AD∥OC；∴OC是△ABE的中位线；设OC=x，则AD=6﹣x，AE=2x，DE=3x﹣6；Rt△ABE中，根据勾股定理，得：BE2=4x2﹣16；由切割线定理，得BE2=ED•AE=2x（3x﹣6）；∴4x2﹣16=2x（3x﹣6），解得x=2，x=4；当x=2时，OC=OB=2，由于OC是Rt△OBC的斜边，显然x=2不合题意，舍去；当x=4时，OC=4，OB=2；在Rt△OBC中，CB==2．∴CD=CB=2．点评：本题主要考查了圆周角定理、平行线的性质、切割线定理、中位线定理等知识，综合性强，难度较大．28．（2005•河南）如图，已知PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，PA=，PB=BC，⊙O的半径OC=5，那么弦BC的弦心距OM=4．考点：切割线定理．分析：根据切割线定理得到PA2=PB•PC，设BC=x，则PB=x，PC=2x，因而得到2x2=72，解得x=6；OM⊥BC，则满足垂径定理，在直角△OMC中，根据勾股定理可得到OM=4．解答：解：∵PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，∴PA2=PB•PC；设BC=x，则PB=x，PC=2x，∴2x2=72，解得x=6；∵OM⊥BC，在直角△OMC中，∵OC=5，CM=3，∴OM=4．点评：本题解决的关键是正确理解记忆切割线定理，以及垂径定理．29．（2007•包头）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3，4，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，则AD=．考点：切割线定理；勾股定理．分析：根据勾股定理求得AB的长，再根据切割线定理解答．解答：解：∵AC=3，BC=4，∴AB===5；∵BC2=BD•BA，∴42=BD•5，∴BD=，∴AD=AB﹣BD=5﹣=．点评：此题主要考查切割线定理的运用．30．（2003•江西）如图，PT切⊙O于点T，直径BA的延长线交PT于点P，若PT=4，PA=2，则⊙O的半径长是3．考点：切割线定理．专题：计算题．分析：根据切割线定理得PT2=PA•PB从而可求得PB的长，也可得到AB的长，即不难求得圆的半径．解答：解：∵PT2=PA•PB，PT=4，PA=2，∴PB=8，∴AB=6，∴圆的半径是3．点评：考查了圆的性质，切线的性质及切割线定理及其的运用．三、解答题（共1小题）（选答题，不自动判卷）31．（2006•双柏县）如图，AB是⊙O的直径，CB、CE分别切⊙O于点B、D，CE与BA 的延长线交于点E，连接OC、OD．（1）△OBC与△ODC是否全等？是（填“是”或“否”）；（2）已知DE=a，AE=b，BC=c，请你思考后，选用以上适当的数，设计出计算⊙O半径r 的一种方案：①你选用的已知数是a、b、c，或其中2个；②写出求解过程．（结果用字母表示）考点：切割线定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理；切线的性质．专题：方案型．分析：（1）由切线和切线长定理可知，∠ODC=∠OBC=90°，OD=OB，OC=OC从而得到△OBC≌△ODC（HL）；（2）可选择a，b，c或其中的两个．求由勾股定理求解或切割线定理求解．解答：解：（1）△OBC与△ODC全等．证明：∵CD、CB是⊙O的切线∴∠ODC=∠OBC=90°∵OD=OB，OC=OC∴△OBC≌△ODC（HL）；（2）①选择a、b、c，或其中2个；②若选择a、b：由切割线定理：a2=b（b+2r），得r=若选择a、b、c：方法一：在Rt△EBC中，由勾股定理：（b+2r）2+c2=（a+c）2，得r=方法二：Rt△ODE∽Rt△CBE，，得r=方法三：连接AD，可证：AD∥OC，，得r=若选择a、c：需综合运用以上的多种方法，得r=若选择b、c，则有关系式2r3+br2﹣bc2=0．点评：本题考查了切线的概念，切线长定理，勾股定理及全等三角形的判定等知识点的综合运用．。
九年级数学弦切角、相交弦定理、割线定理、切割线定理首知识精讲 试题
九年级数学弦切角、相交弦定理、割线定理、切割线定理首师大版制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。
【同步教育信息】一. 本周教学内容：弦切角、相交弦定理、割线定理、切割线定理〔一〕弦切角：1. 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
满足三个条件：〔1〕顶点在圆上；〔2〕一边和圆相交；〔3〕一边和圆相切。
判断以下图形中的∠BAC是不是弦切角：图A中，缺少“顶点在圆上〞的条件；图B中，缺少“一边和圆相交〞的条件；圆C中，缺少“一边和圆相切〞的条件；圆D中，缺少“顶点在圆上〞和“一边和圆相切〞两个条件。
所以，图中的∠BAC都不是弦切角。
2. 分类〔以圆心的位置分〕：〔1〕圆心在角的外部；〔2〕圆心在角的一边上；〔3〕圆心在角的内部。
3. 弦切角的度理定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
推论1：弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
推论2：在同圆或者等圆中，假如两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
〔二〕相交弦定理圆的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。
如图1〔1〕，在⊙O中，AB、CD相交于点P，那么PA·PB＝PC·PD。
〔三〕割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
如图1〔3〕，有PA·PB＝PC·PD。
〔四〕切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
如图1〔4〕，有PA2＝PC·PD。
当点P从圆内运动到圆上、圆外时〔从图1〔1〕到图1〔3〕〕，总有PA·PB＝PC·PD，图1〔2〕中，点B、D与点P重合，PB＝PD＝0，PA·PB＝PC·PD同样成立。
当割线PBA绕着点P旋转到切线PA的位置时，点B与A重合，结论不变，仍有PA·PB＝PC·PD，此时PA ＝PB ，所以PA 2＝PC ·PD 。
2024年中考数字复习 圆中的重要模型-圆幂定理模型(原卷+答案解析)
圆中的重要模型--圆幂定理模型圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。
可能是在19世纪由德国数学家施泰纳(Steiner)或者法国数学家普朗克雷(Poncelet)提出的。
圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。
模型1.相交弦模型条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。
结论：△CAE∼△BDE⇒ECEB=EAED⇒EC⋅ED=EB⋅EA。
1(2023·广东广州·九年级校考期中)如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，PD=4，两圆组成的圆环的面积是．2(2023·江西景德镇·九年级校考期末)如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD=2，AD=3，BD=4，那PB=．3(2023·江苏·九年级专题练习)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦AB，CD交于点P，求证：．(2)如图②，已知AB是⊙O的直径，AB与弦CD交于点P，且AB⊥CD于点P，过D作⊙O的切线，交BA的延长线于E，D为切点，若AP=2，⊙O的半径为5，求AE的长．模型2.双割线模型条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。
结论：△CEG∼△CHF⇒ECCH=CGCF⇒EC⋅FC=GC⋅HC4(2023·浙江·九年级假期作业)如图：PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA∙PB=30，PC=3，则CD的长为()A.10B.7C.510D.35(2023·四川成都·九年级校考阶段练习)如图，PAB为⊙O的割线，且PA=AB=3，PO交⊙O于点C，若PC=2，则⊙O的半径的长为．6(2022·河南洛阳·统考一模)我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点(即直线与圆相交)时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整．已知：如图①，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条割线，一条交⊙O 于A 、B 点，另一条交⊙O 于C 、D 点．求证：PA ⋅PB =PC ⋅PD ．证明一：连接AD 、BC ，∵∠A 和∠C 为BD 所对的圆周角，∴．又∵∠P =∠P ，∴，∴．即PA ⋅PB =PC ⋅PD ．研究后发现，如图②，如果连接AC 、BD ，即可得到学习过的圆内接四边形ABDC ．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二．证明二：连接AC 、BD ，模型3.切割线模型条件：如图，CB 是圆O 的切线，CA 是圆O 的割线。
相交弦定理习题
BA相交弦定理相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 已知：求证： 证明：例1已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm 和16cm 两段，第二条弦的长为32cm ， 求第二条弦被交点分成的两段的长．练习：1．如图：⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，P A =8，PB =9 （1）若PC =4，则PD = ，CD = ． （2）若PC =PD ，则CD =．（3）若PC :PD =2:3，则PC =，PD =． （4）若CD =18(PC<PD )，则PC = ，PD = ．2．已知：如图AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，AB =11，P A =3，OP =5，则⊙O 的半径是． 3．已知：如图点C 为弧AB 的中点，点D 为弦AB 的中点，CD =1，AB =6，则⊙O 的直径是． 4．已知：如图AB 是直径，CD ⊥AB 于点P ，PB =4，CD =12， 则PC =，P A =，OP =AC ．第2题 第3题 第4题例2如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，直线CF交弦AB于P，分别交⊙O1于C、D，交⊙O2于E、F，求证：PC·PD=PE·PF．例3如图：已知△ABC中，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于F、E，AD⊥BC，垂足为D，AD交⊙O于G，交BE于H．求证：DG2=DH·DA．练习：已知：P为CD的中点，AB为⊙O的直径，F为AB延长线上一点，AB与CD相交于P，PE⊥DF，求证：AP·PB=DE·DFOBP A【课后盘点】1．如图A 、B 、C 、D 为⊙O 上的四个点，AC 、BD 相交于点E ，延长BA 、CD 交于点P ． 图中相似三角形有A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对（）2．如图AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足是P ，弦EF 经过点P ，则下列各式错误的是（ ） A ．PE ·PF =P A · PB B ．PE ·PF =PC 2 C ． P A ·PB =14CD 2 D ． BP ·BA =EP ·EF 3．如图⊙O 的弦BA 、CD 交于点P ，CP =2，DP =6，AB =10，则以AP 、BP 的长为根的一元二 次方程（）A ．x 2+8x +12=0B ．x 2+10x +12=0C ．x 2－10x +12=0D ．x 2－10x +16=0第1题 第2题 第3题 第7题4．在⊙O 中，弦BC 垂直平分线OA ，垂足为E ，且OA =4，则BC 的长为 （） A ．8 B ．43 C ． 23 D ．165．已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足E ，且AE =4cm ，BE =9cm ，则tan ∠ACE =（ ） A ．94B ．49C ．32D ．236．已知P 是⊙O 内一点，OP =5， ⊙O 的半径为13，AB 是经过点P 的弦，则AB 的最小值是A ．12 B ． 16 C ． 24 D ．32（ ）7．如图，AB 是⊙O 的弦，P 是BA 上一点，PO =5，PB =6，P A =4，则⊙O 的半径为． 8．⊙O 的两弦AB 、CD 交于点E ． (1)若AE =3，BE =14，CE =6，则CD =； (2)若AB =9，CD =6，EA =8，则EC =； (3)若AE =18，AB =30，CE :DE =3:8，则CD =； (4)若AE =EB ，CE :ED =1:4，则AE :CE =； (5)若CE =3cm ，BE =5cm ，则AC :BD =．9．如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足是P ， 若PB =CD ，AP =2，则CD =，⊙O 的半径是．10．如图，⊙O 的半径OA 与BC 相交于点D ，若OD =AD =3，BD :DC =2:3，则BC =．第9题第10题11．如图P 为⊙O 的弦AB 上的一点，PC ⊥OP 交⊙O 于点C ，若PC =6，AP =4，求AB 的长．12． 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥OB 于P ，弦EF 经过点P ，CD =46，AB =11，EP :PF =2:3， 求PB 和EF 的长．13．如图，两弦AB 、CD 交于点M ，且AC =CM =MD ，MB =21AM =1，求圆的直径．14．如图，⊙O 过点C 且与⊙C 相交于A 、B ，⊙O 的弦CD 交AB 于点E ． 求证：CA 2=CE 2+AE ·BE ．D加深巩固1.如图，已知O为⊙O′上一点，⊙O和⊙O′相交于A，B，CD是⊙O的直径，交AB于F，DC的延长线交⊙O′于E，且CF=4，OF=2，则CE的长为（）A.12B..8C.6D.4第1题第2题第3题第4题2.已知：如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC的中点D，且EF∥AB，若AB=2，则DE的长是（）A. C.B. D.13.如图，⊙O的直径AB=10，E是OB上一点，弦CD过点E，且BE=2，DE=2，则弦心距OF 为（）A.1B.C.D.4.如图，在平面直角坐标系中，⊙O′与两坐标分别交于A，B，C，D四点，已知：A（6，0），B（0，﹣3），C（﹣2，0），则点D的坐标为（）A．（0，2）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，5）5.如图，在直径为6的半圆上有两动点M、N，弦AM、BN相交于点P，则AP•AM+BP•BN的值为_________．第5题第6题第7题6.已知如图，等腰△ABC内接于⊙O，∠B=∠ACB=30°，弦AD交BC于E，AE=2，ED=4，则⊙O的半径为_________．7.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是8mm．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相交弦定理、切割线定理、割线定理
一、单选题
1．如图，PA与⊙O切于点A，PBC是⊙O的割线，如果PB=BC=2，那么PA
的长为（）
A．2B．2√2C．4D．8
2．P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PB=BC=3，则PA的
长是（）
A．9B．3C．3√2D．18
二、填空题
3．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=7
，且BD=5，
2
则DE=_____．
4．如图⊙O的半径为1cm，弦AB，CD的长度分别为√2cm，1cm，则弦AC，BD相交所
夹的锐角α=__________．
5．已知弦AB和弦CD相交于⊙O内一点P，AP=8，BP=3，PD=PC，则
CD=________．
，则CD=________．6．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=7，BE=1，cos∠AED=2
3
7．如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB=2，PC=4，则PA的长为________．
8．如图，PAB、PCD是⊙O的割线，PA=3，PB=6，PC=2，则PD=________．
9．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PAB是⊙O的割线，PA=5cm，AB=4cm，
则PT=________cm．
三、解答题
10．如图，在半径为5cm的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=50∘，∠APD=80∘．
(1)求∠ABD的大小；
(2)求弦BD的长．
11．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=4，EB=8，∠DEB=30°，求弦CD长．
12．如图，弦AB和弦CD相交于⊙O内一点E，AD=CB，求证：AB=CD．
13．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．
14．如图，⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，且AB=CD．求证：AC^=BD^．
15．如图，⊙O与割线AC交于点B，C，割线AD过圆心O，且∠DAC=30°．若⊙O的半径OB=5，AD=13，求弦BC的长．
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
答案第1页，总1页 参考答案
1．B
2．C
3．2√2．
4．75°．
5．4√6
6．2√11
7．2√2
8．9
9．53
10．(1)∠ABD =30∘；(2)BD =5√3cm .
11
．CD 12．详见解析.
13
．
14．详见解析.
15．6．。