罗尔定理的推广及证明
罗尔定理与微分中值定理
罗尔定理与微分中值定理罗尔定理（Rolle's theorem）是微积分中的一个重要定理，它是微分中值定理的特殊情况。
罗尔定理是由法国数学家米歇尔·罗尔在17世纪提出的，它建立了函数在某个区间内满足一定条件时，必然存在一个点使得函数在该点处的导数等于零的关系。
罗尔定理的表述如下：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且满足f(a) = f(b)，则在(a, b)内至少存在一个点c，使得f'(c) = 0。
罗尔定理的证明思路是利用了连续函数在闭区间上的最大值和最小值定理。
根据最大值和最小值定理，函数f(x)在闭区间[a, b]上必然存在一个最大值和一个最小值。
如果函数在区间内的最大值和最小值都等于f(a) = f(b)，那么根据连续函数的介值定理，函数在区间内必然存在一个点c，使得f(c) = f(a) = f(b)，即满足罗尔定理的条件。
如果函数在区间内的最大值和最小值不等于f(a) = f(b)，那么根据最大值和最小值定理，函数在区间内必然存在一个点c，使得f'(c) = 0，即满足罗尔定理的条件。
罗尔定理的应用非常广泛，它为证明其他定理提供了重要的工具。
例如，利用罗尔定理可以证明柯西中值定理和拉格朗日中值定理，这两个定理是微分中值定理的推广和拓展。
微分中值定理（Mean Value Theorem）是微积分中的另一个重要定理，它是由法国数学家奥古斯丁-路易·柯西在19世纪提出的。
微分中值定理是罗尔定理的推广，它描述了函数在某个区间内的平均变化率与函数在该区间内某一点的瞬时变化率之间的关系。
微分中值定理的表述如下：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则在(a, b)内至少存在一个点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
微分中值定理的证明思路是利用了导数的几何意义。
罗尔定理推论证明过程
罗尔定理的推论及其证明过程如下:
罗尔定理推论:
若映射f: Rn → Rm满足以下条件:
(1) f在定义域Rn内可导;
(2) jacobian矩阵Jf(x)在定义域Rn内任意点满秩;
则f为定向同胚映射。
证明:
1. 因为f在定义域Rn内可导,根据隐函数定理,对任意x0∈Rn,都存在其邻域U(x0),使得f在U(x0)上可逆。
2. 又因为Jf(x)在Rn内任意点均满秩,则对任意x∈Rn,Jf(x)的秩均为min{m,n}。
3. 当m=n时,Jf(x)为满秩方阵,其行列式不为0,所以f在Rn内任意点可逆,是定向同胚映射。
4. 当m≠n时,不妨设m>n,则Jf(x)的秩为n。
这意味着Jf(x)的列向量在Rn内线性无关。
5. 由2、4可知,f在Rn内任意点处的微分df都是满秩的,因
此f是一个局部定向同胚映射。
6. 结合1,f在整个定义域Rn内是定向同胚的。
综上所述,罗尔定理推论得证。
这展示了可微映射的jacobian 矩阵满秩是一个确定定向同胚映射的充要条件。
罗尔定理的推广及证明
几何意义
若连续曲线y=f(x) 在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB，除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等，则在弧 AB 上至少有一点 C，使曲线在C点处的切线平行于 x轴。
罗尔定理的推广及证明
罗尔定理描述如下：
如果R上的函，（2）在开区间(a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
证明过程
证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：
1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f'(ξ)=0。
罗尔定理论文
浅谈罗尔定理及拉格朗日定理推广及应用摘 要：微分中值定理是导数应用的理论基础.本文在罗尔定理及拉格朗日定理原有描述的基础上，对其进行了推广，使其定理的适用范围更加广泛；同时，对罗尔定理在讨论方程根的存在性问题中的应用及拉格朗日定理在证明不等式和求极限问题中的应用进行了讨论，证实所得推广定理的有效性及实用性.关键词：罗尔定理；拉格朗日中值定理；极限；导数一、罗尔定理推广及应用 （一）罗尔定理推广 1.罗尔定理描述若函数()f x 满足下列条件：在闭区间[],a b 连续；在开区间(),a b 可导；()()f b f a =；则在(),a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ'=. 2.罗尔定理的推广2.1罗尔定理推广 1 设(),a b 为有限或无限区间，()f x 在(),a b 内可微，且()()lim lim f x f x A x x a b ==+-→→（A 可为有限也可为+∞-），则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0f ξ'=.证明：(1)设(),a b 为有限区间.若A 是有限值，令()()()()(0),,,,,0,.f a x a F x f x x a b f b x b ⎧+=⎪=∈⎨⎪-=⎩容易验证()F x 在[],a b 上满足罗尔定理的条件，故(),a b ξ∃∈，使()()0F f ξξ''==.(2)若A 为+∞， (),a b 为有限区间或无限区间，由()f x 在(),a b 内的连续性知，当0c >充分大时，直线y c =与曲线()y f x =至少有两个焦点()()11,x f x 与()()22,x f x ，即()()12f x f x c==且()1,2,x x a b ∈.不妨设12x x <，对()f x 在[]()1,2,x x a b ⊂上应用罗尔定理，使得()0f ξ'=；(3)若A 为有限值，(),a b 为无限区间.做变量替换，即选择函数()x x t =，满足如下要求：(),t αβ∈，（这里(),αβ是有限区间），(),x a b ∈，()x t '存在且不变号.然后对符合函数()()f x t 在(),αβ应用(1) 的结果.1)当,a b =-∞=+∞，即()(),,a b =-∞+∞.做变换tan x t =，令()()tan g t f t =，则()g t 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上满足(1)式的全部条件.故,22ππτ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，使()0g τ'=，而()2(tan ).sec g f τττ''=， 2sec 0τ>，于是取()tan ,ξτ=∈-∞+∞，就是()0f ξ'=；2)若当a 有限，b =+∞，即()(),,a b a =+∞，作变换()()t m a x t m t-=-，a t m <<，（其中m 为正数） 令()()()g t f x t =，则()g t 在a t m <<上满足(1)式的全部条件.故(),a m τ∃∈，使()0g τ'=，而()()()()2()m a m a m g f m τττ--''=-，于是取()(),m a a m ττξ-∈+∞-=，就有()0f ξ'=.3)当a =-∞，b 为有限，即()(),,a b b =-∞，做变换()(),t b s x t t s-=- s t b <<，其中b 为负数，同理可得，取()b s s τξτ-=-，就有()0f ξ'=.2.2 罗尔定理推广2 任意个函数的微分中值定理设()21,(),x f x f ⋯⋯,()n x f 在闭区间[],a b 连续；在开区间(),a b 可微；()()i i a b f f ≠，,1,2,n i j =⋯,，则(),a b ξ∃∈，使得()()()()(),110ni i j i j j j b a f f x f b a f f =⎡⎤-'-=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑ (1) 证明：根据题设，函数()()()()()(),11ni i ji j j j b a f f H x x fb a f f =⎡⎤-=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑,在闭区间[],a b 连续；在开区间(),a b 可微；()()()()()()()(),11ni i jj i j j j b a f f H b H a b a f f b a f f =⎡⎤-⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦∑()()()(),10ni i jj i j b a b a f f ff =⎡⎤=---=⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑,即()()H b H a =，所以由罗尔定理知道(),a b ξ∃∈，使得()()()()()(),110ni i j i j j j b a f f x H f b a f f ξ=⎡⎤-''-==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑. 2.3罗尔定理推广3设()f x ，()g x ，()h x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则(),a b ξ∃∈，使得()()()()()()()()()0f a g a h a f b g b h b f g h ξξξ='''.证明：设()()()()()()()()()()f ag ah a F x f b g b h b f x g x h x =.由行列式性质知()()0F a F b ==，则由于满足罗尔定理，则(),a b ξ∃∈，使得()0f ξ'=，则问题得证. （二） 罗尔定理的应用1.在讨论方程根的存在性问题时，可以应用罗尔定理.罗尔定理的条件很宽松，给一个定义在闭区间[],a b 上的函数，只需函数在这个区间连续，可导（并不要求区间端点可导），在要求()f x 满足条件()()f a f b =.因此，可以应用罗尔中值定理解决一些复杂的代数方程的判根问题.其步骤一般是：分析命题条件→构造辅助函数()f x →验证()f x 满足罗尔定理的条件→应用罗尔定理→命题结论.例1：若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导()0a >，证明:在(),a b 内，方程()(){}()()222x f b f a b a f x '-=-至少存在一个根.证明：令()()(){}()()222F x f b f a x b a f x =---，显然，()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，而且()()()()22F a f b a b f a F b =-=，根据罗尔定理，至少存在一个(),a b ξ∃∈，使得()0F ξ'=，则有()(){}()()222f b f a b a f ξξ'-=-，故在(),a b 内，方程()(){}()()222x f b f a b a f x '-=-.至少存在一个根.2.罗尔定理的推广也有广泛的应用.在证明不等式时，首先我们可以根据不等式俩边的代数式选取不同的()F x ；其次，验证()F x 是否满足罗尔定理推广中的某种形式的条件；最后，应用定理进行解题，下面通过举例说明其应用.例2：设()f x 在),a +∞⎡⎣内可微，且满足不等式()0f x ≤≤， ()0,x ∀∈+∞,证明存在一点()0,ξ∈+∞，使得()221f ξξ'=+ 证明:由已知不等式知 ()00f =，()0lim x f x →+∞=.令()()F x f x =-，则()00F =，()()0lim lim lim x x x F x f x →+∞→+∞→+∞=-=，则由推广的罗尔定理，()0,ξ∃∈+∞，使得()0F ξ'=，即()221f ξξ'=+二、拉格朗日中值定理推广及应用 （一）拉格朗日中值定理推广 1.拉格朗日中值定理描述若函数()f x 满足下列条件：在闭区间[],a b 连续；在开区间(),a b 可导.则在开区间(),a b 内至少存在一点ξ，使()()()f b f a f b aξ-'=-.2.拉格朗日中值定理推广2.1 推广1在上述罗尔定理推广三中若令()g x x =，()1h x =并代入上式即得拉格朗日中值定理()()()f b f a f b aξ-'=-.则就有下面推广：设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则至少(),a b ξ∃∈，使()()()11010f a a f b b f ε='， 容易得到()()()f b f a f b aξ-'=-.2.2 推广2 拉格朗日推广到更一般的形式如果函数()()()12,,,n f x f x f n ⋯在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，则对于任意给定的一组实数12,,n k k k ⋯,，且120n k k k ++⋯+=，必存在(),a b ξ∈，使得()()()11222111||||||0n n n n n b b b b b bk f f f k f f f k f f f a a a a a a ξξξ-'''⋯+⋯+⋯⋯+⋯=，其中，()()|i i i b f f b f a a =-，1,2,,.i n =⋯特别地，当12|||0n b b bf f f a a a⋯≠，上式可写()()()()()()()()()121211220n n n n f f f k k k f b f a f b f a f b f a ξξξ'''++⋯+=---.证明：令()()()()11222111||||||n n n n n b b b b b bx k f x f f k f x f f k f x f f a a a a a aφ-=⋯+⋯+⋯⋯+⋯.显示()x φ在[],a b 上均满足罗尔定理的条件，由罗尔定理即可得证结论成立. 2.3 推广3 对于拉格朗日定理，若把条件减弱的话，定理应用将更加广泛. 命题 设函数()f x 在闭区间[],a b ，在开区间(),a b 内除了有限个点外可微，则存在(),a b ξ∈使得()()()()f b f a f b a ξ'-≤-.证明：不妨设()f x 在仅在(),d a b ∈不可微，分别在[][],,,a d d b 应用拉格朗日定理中值定理，则得到()()()()1f d f a f d a ξ'-=-， ()1,d a ξ∈， ()()()()2f b f d f b d ξ'-=-， ()2,b d ξ∈.令()()(){}12max ,f f f ξξξ'''=，使得()()()()f b f a f b a ξ'-≤-.2.4 推广4 设函数()f x 在区间[],a b 上连续，若()f x 在(),a b 内除了n 个点处可微，则存在1n +个点，211n a b ξξξ+<<<⋯<<及1n +个正数1,21,,,n ααα+⋯使得111n i i α+==∑且()()11()()n i i i f b f a f b a αξ+='-=-∑.证明：不妨设()f x 在仅在(),d a b ∈不可微，则由上述推广3得()()()()1f d f a f d a ξ'-=-， ()1,d a ξ∈， ()()()()2f b f d f b d ξ'-=-， ()2,b d ξ∈，取1,2αα使()()12,b a d a b a b d αα-=--=-则12121,0,0αααα+=>>且()()()1122()()f b f a f f b a αξαξ''-=+-⎡⎤⎣⎦.这个证明方法可以推广到()f x 在n 个点上不可微得情形，可以的以上的推论. 2.5 推广5 若函数()f x 在闭区间[],a b 连续，在开区间(),a b 内存在左，右导数,f f -+''，则存在()0,x a b ∈及0,0,1p q p q ≥≥+=，使得()()()()()pf x qf x b a f b f a -+''+-=-⎡⎤⎣⎦.证明：（1）先证明若()f x 在闭区间[],a b 连续，在开区间(),a b 内存在左，右导数,f f -+''，且()()f b f a =，则存在()0,x a b ∈，使得()()000f x f x -+''≤.事实上，由()f x 在[],a b 连续，得,,M m ∃使得()m f x M ≤≤又()()f b f a =，故()f x 必在区间(),a b 内取得至少一个最值，不防设最值点为0x ，()0f x M =，()()000lim 0x x f x f x x x +→-≤-或()()00lim 0x x f x f x x x -→-≥-，()()000f x f x -+''≤.（2）作辅助函数()()()()()()f b f a F x f x f a x a b a-=----，则由()f x 在闭区间[],a b 连续，在开区间(),a b 内存在左，右导数,f f -+''知()F x 在闭区间[],a b 连续，在开区间(),a b 内存在左，右导数F -'，F +'，且有因为()()0F b F a ==，故由上面的结论()1,x a b ∃∈使得()()000F x F x -+''≤.不妨设()()000,0,F x F x -+''≥≤则()()()()110f b f a F x f x b a ---''=-≥-，()()()()010f b f a F x f x b a++-''=-≤-，即()()()()11f b f a f x f x b a+--''≤≤-，又()()()()111G x xf x x f x -+''=+-在[]0,1上连续函数.且()()10G f x +'=，()()11G f x -'=，有介值定理，()0,1p ∃∈使得()()()f b f a G p b a-=-，即()()()()()111f b f a pf x p f x b a-+-''+-=⎡⎤⎣⎦-，又1q p =-，则()()()()()pf x qf x b a f b f a -+''+-=-⎡⎤⎣⎦.(二) 拉格朗日中值定理应用 1.利用拉格朗日定理证明不等式拉格朗日中值定理中只肯定了在(),a b 内至少有一点ξ，使得等式成立，但对ξ的确切位置未作任何断定，这并不影响定理在做理论探讨和解决具体问题中所起的作业. 利用拉格朗日中值定理证明不等式，关键是选择适当的函数()f x 和对应的区间[],a b ，使它满足拉格朗日中值定理，使得()()()(),,f b f a f a b b aξξ-'=∈-，在用不等式的性质可证明数学不等式.具体步骤如下： 第一步，选择适当的函数()f x 和对应的区间[],a b ；第二步，对所取的函数()f x 和对应的区间[],a b ，写出拉格朗日中值公式，()()()(),,f b f a f a b b aξξ-'=∈-，第三步，确定导函数()f ξ'在所讨论的区间上的单调性；第四步，分别,a b ξξ==，确定()f x '在区间端点上的导数值，由()f x '的单调性得出()f ξ'的范围：()()()f a f f b ξ'''<<， （当()f x '单调增加时） ()()()f a f x f b >>， （当()f x '单调减少时）由()()()f b f a f b aε-'=- ，(),a b ξ∈这个等式就得到数学不等式；若当()f x '单调增加时则有()()()()f b f a f a f b b a-''<<-，或有()()()()()()f a b a f b f a f b b a ''-<-<-.等,以下举例说明.例3 当0x >时，则有(1xIn x +>证明：设()(1f t tIn t =+ []0,t x ∈，并满足中值定理条件，且有()(1f t In t t⎛⎫'=+(0In t =>， []0,t x ∈， 所以()f t 在[]0,x 是单调递增的.故当0x >时，()()00f x f >= 则有(1xIn x +>2.拉格朗日定理在为求极限提供一种简单而有效的方法对于有些求极限的题，如果使用罗比达法则，则求导数的计算量很大.微分中值定理为求这样一些较难的极限提供了一种简单而有效地方法.其方法是对极限题中的某些部分构造辅助函数，使用微分中值定理，然后求出极限.例4 求1121lim n n x n a a +→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中0a >.解：对()x f x a =应用拉格朗日定理，有()1122111lim lim |1xn n x x x n a a n a n n ε+=→∞→∞⎛⎫⎛⎫'-=⨯- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()2lim 1x n a Ina Ina n n ε→∞==+， 其中11,1n n ξ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭.参考文献：[1] 数学分析（上）（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社. 2001[2] 刘玉琏 傅沛仁.数学分析讲义（上）（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社. 2008 [3] 陈绍东 宋苏罗. 微分中值定理的推广[J].河南:南阳理工学院.2008 [4] 陈守信.数学分析选讲[M]. 北京：机械工业出版社. 2009[5] 邵红 陈实.拉格朗日中值定理证明数学不等式[J].牡丹江大学学报. 2008。
复变函数的罗尔定理及其推论
复变函数的罗尔定理及其推论
罗尔定理，也叫反函数定理，源于罗尔（Lloyd）在1932年第一次提出，是在数学上有关复变函数的一种重要定理，是函数的一种重要概念。
罗尔定理揭示了复变函数的对称性，主要用于解决复函数的特征和性质。
罗尔定理，一般用五个表达式定义如下：数学上x为复变函数关于直角坐标系的图像。
其中，定义域为：D={(x,y)},D是原函数的域，反函数关于X轴对称反函数为fY={(fx,y)},当fx在fX内，则fY为反函数。
那么根据罗尔定理，D=fY。
另外，罗尔定理也提出了反函数的两重性质。
一是反函数一定是复变函数，其次它在定义域的关系是反的，用文字来说就是反函数关系的映射是反的。
罗尔定理的定义为研究复变函数提供了重要的观点，给后续复变函数的理论提供了基础。
在推导复变函数关系时，要注意反函数定理中定义域和值域之间转换的关系。
如果把反函数定理的定义转变为复变函数的式子，可以解决许多复变函数的计算问题。
此外，罗尔定理还提供了复变函数的特殊性，如一个复变函数的反函数正好是另一个复变函数的反函数的情况。
罗尔定理是复变函数的重要定理，也是数学上一种有趣的概念。
对于复变函数的深入研究，它就非常重要，可以帮助我们更好地理解复变函数并给出解决问题的技巧。
罗尔定理的条件和结论精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版罗尔定理的条件和结论罗尔定理是三角形的数学定理，它可以说明三条内角的和等于180度。
它是17月由埃里克罗尔发现的，它被认为是很难被发现的，并且在三角形中被广泛使用。
罗尔定理有许多应用，如几何、工程学、统计学、计算机图形和电子计算机等，它也被用来证明更多的数学定理。
罗尔定理的基本条件是：任何三条内角和等于180度，并且三条内角都必须小于180度。
罗尔定理的第一部分是任何三角形的三条内角和（也就是角平分线）等于180度，而第二部分是任何三角形的三条内角均小于180度，这表明任何三角形的边长都必须小于等于它的周长。
这个定理在三角形学中发挥了重要作用，它为几何形状设定了基本条件，它还可以用来解决各种复杂的几何问题。
它最重要的优势或功效是可以用一种简单而有效的方法来解决很多复杂的几何问题。
此外，它还可以识别几何图形的结构，如三角形的形状，内角的大小等。
因此，罗尔定理是能够解决复杂几何问题的有效方法。
它不仅能够对三角形的构成进行描述，而且还能够解决多边形的构成。
罗尔定理在电子计算机、统计学、工程学和数学几何中也被广泛应用，它还可以被用来证明一些数学定理，如四边形的和等于360度、六边形的和等于720度等。
由于罗尔定理的广泛应用，它仍然被认为是很重要的定理，它的研究或应用也使得许多几何图案的实际应用更加容易。
罗尔定理可以说是理论几何学中最重要的定理，它可以用于解决许多复杂问题，并且也可以用来证明许多数学定理。
综上所述，罗尔定理是一个重要的定理，它可以用来解决许多复杂几何问题，它也可以用来证明许多数学定理，如四边形、六边形的和等于360度和720度等。
罗尔定理的条件是任何三条内角和等于180度，并且三条内角都必须小于180度，这个定理的研究和应用可以使许多几何图案的实际应用更加容易。
罗尔定理证明拉格朗日中值定理
罗尔定理证明拉格朗日中值定理
罗尔定理是拉格朗日中值定理的一种具体证明方式。
拉格朗日中值定理是指：在函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象所围成的封闭图形内，若存在一条直线l，使得这条直线穿过函数图像的任意一个点，则这条直线必定穿过函数图像在区间[a,b]上的某一个点。
罗尔定理的证明过程如下：
假设函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象所围成的封闭图形内存在一条直线l，使得这条直线穿过函数图像的任意一个点，但是不穿过函数图像在区间[a,b]上的任何一个点。
设点P(x1,y1)是函数y=f(x)的图象上的一个点，且点P在直线l上方。
显然，这意味着函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值M大于点P的纵坐标y1。
同理，设点Q(x2,y2)是函数y=f(x)的图象上的一个点，且点Q在直线l下方。
显然，这意味着函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值m小于点Q的纵坐标y2。
由于点P和点Q分别位于直线l的上方和下方，所以m<y2<y1<M。
但是，由于直线l不穿过函数图像在区间[a,b]上的任何一个点，所以有m≤f(x)≤M。
将这个不等式与前面得到的m<y2<y1<M结合起来，得到了矛盾：m<y2<y1<M，但是m ≤f(x)≤M。
由于假设是不成立的，所以证明了罗尔定理：在函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象所围成的封闭图形内，若存在一条直线l，使得这条直线穿过函数图像的任意一个点，则这条直线必定穿过函数图像在区间[a,b]上的某一个点。
注意：罗尔定理是拉格朗日中值定理的一种具体证明方式，但是并不是唯一的证明方式。
罗尔定理的零点定理
罗尔定理的零点定理1.罗尔定理的基本概念罗尔定理是微积分基本定理中的一条重要定理。
它阐述了一个单变量实函数在某个区间内的导数为零所对应的函数取值情况。
具体来讲，若函数f(x)在区间[a,b]上满足以下三个条件：1.f(x)在[a,b]上连续2.f(x)在(a,b)上可导3.f(a)=f(b)那么在(a,b)上至少存在一点c，使得f'(c)=0。
这个点c称为f(x)在(a,b)上的一个零点。
罗尔定理推广到多元函数的情况，仍然成立。
即若函数f(x1,x2,...,xn)在某个闭区域上连续，在其中的开区域上各偏导数都存在且为零，那么在该区域上，f(x1,x2,...,xn)恒为常数。
2.理解罗尔定理的零点定理罗尔定理的零点定理其实是更深层次的一个应用。
它可以被理解为一个函数在某区间内若干次连续可微，而且在该区间的一个端点处取一定值，那么至少存在一个内部点，该点处的导数为零。
也就是说，若函数f(x)在区间[a,b]上满足以下两个条件：1.f(x)在[a,b]上r+1次连续可微2.f(a)=f(b)且f'(a)=f'(b)=...=f^(r)(a)=f^(r)(b)=0那么在(a,b)上至少存在一个点c，使得f^(r+1)(c)=0。
这个点c 称为f(x)在区间(a,b)上的一个r+1阶零点。
3.一个具体例子为了更加具体地理解罗尔定理的零点定理，下面举一个例子：考虑函数f(x)=x^4+2x^3-4x-2在[-2,0]上的零点。
首先，我们可以通过描绘函数图像，发现在[-2,0]上有一个零点。
接下来，我们需要使用罗尔定理证明该零点存在。
由于f(x)是一个四次可微函数，我们只需要证明f(x)在[-2,0]上的一阶导数f'(x)在至少一个点为零即可。
我们有f'(x)=4x^3+6x^2-4，显然有f'(-2)=0。
因此，由罗尔定理，至少存在一个点c∈(-2,0)，使得f'(c)=0。
罗尔定理的几种类型及其应用
罗尔定理的几种类型及其应用1 引言最原始的罗尔定理是由法国数学家罗尔于 1691 年在题为 《任意次方程的一个解法的证明》 的论 文中给出的 （罗尔 1652 年 4 月 21 日生于昂贝尔特， 1719 年 11月 8 日卒于巴黎 ） ，主要内容是 : 在多项式方程 f x =0 的两个相邻的实根之间，方程 f x 0 至少有一个根．在一百多年后， 1846 年尤斯托（ Giusto Bellavitis ）将这一定理推广到可微函数，尤斯托还 把此定理命名为罗尔定理，这就是现在我们常用的罗尔定理 .2 微分中值定理2.1 罗尔定理1 （P若函数 f x 满足以下条件：（ 1）在闭区间 a,b 上连续；（ 2）在开区间 a,b 上可导；（ 3） fa fb . 则至少存在一个数 a,b ，使得 f 0.罗尔定理的几何意义是：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相同，那 么曲线至少存在一条水平切线 . 罗尔定理是大学微分学中很重要的中值定理， 它演绎了拉格朗日中值 定理与柯西中值定理，这三个定理构成了微分学中值基本理论，在高等数学中占有十分重要的地 位．下面给出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和几何意义 .2.2 拉格朗日中值定理x 满足：（ 1） 在闭区间 a,b 连续；（ 2） 在开区间 a,b 上可导；则至少存在拉格朗日中值定理的几何意义是：在每一点都可导的的连续曲线上，如果两端点也连续，那么 至少存在一个点，该点的切线平行于两端点的连线 .2.3 柯西中值定理 1若函数 f x 和 g x 满足：（ 1）在闭区间 a,b 连续；（ 2）在开区间 a,b 上可导；（ 3） f x 和 g x 不同时为 0；（ 4） g a g b 则存在 a,b ；使得fa。
若函数个数 a,b ，使得 ff a f b ab柯西中值定理的几何意义与前两个定理的几何意义类似，只是要把f x 和g x 这两个函数写成以x 为参量的参量方程u g xv f x于是两函数联系在平面uOv 上一段连续曲线上了，若曲线的两端点也连续，则在曲线上至少存在一点，该点的切线与两端点的连线平行。
罗尔定理的推广及证明
。
显然：
，而
， 故 在a点 连 续 ；同理
，
而
，
故 在b点也连续。
又由 在 内可导知：
在 内连续可导。
因此， 满足：（１）在 上 连 续；
（２）在
内 可 导；（３）
所以至少存在一点
．而 在
内
。证 毕 。
， ，使 ，故
２ 推广至无限区间
（１）若 函 数
满 足 ：① 在
上连
续 ；② 在
内 可 导；③
，
则至少存在一点
［５］ 刘 玉 琏 ，傅 沛 仁 ．数 学 分 析 讲 义 ［Ｍ］．北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，１９９６．
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２３７
，使
。
证明：构 造 函 数 ，使 得 将
转
化 为 有 限 区 间 。易 想 到 三 角 函 数 中 正 、余 切
函数的一个单调区间是将有限区间
或
映射到
运算
，因 此 考 虑 利 用 其 逆
将
映射到
。令 ：
则由 在 又
在 内可导，
内可导，所以 ，
=
，
，而 f(a)
即：
，满 足 削
弱 条 件 中 定 理 的 条 件 ，故 至 少 存 在 一 点
后所得到的结论给出无限区间上罗尔定理
的证明。
１ 削弱定理的条件
若函数 满足：（１）在 内可导；（２）
，则 至 少 存 在 一 点
，使
。
证明：构造函数 使其满足罗尔定
理 的 条 件 。即 ：F（x）∈C［a, b］，在
内 可 导 ，F
罗尔定理的重要性及应用
罗尔定理的重要性及应用在微积分学中，罗尔定理是非常基础且重要的一定理论，它与我们日常生活息息相关。
在本文中，我们将探讨罗尔定理的定义、证明、应用及其在实际生活中的应用。
1. 罗尔定理的定义罗尔定理是微积分学中的一个重要定理，其核心内容是探讨有一连续函数$f(x)$，如果在区间$[a,b]$上连续，$f(a)=f(b)$，那么在$(a,b)$上至少有一个点$c$，使得$f'(c)=0$。
其实际含义是，如果一个连续函数在区间两端取得相同的值，其导数在某个点为零。
2. 罗尔定理的证明为证明罗尔定理，我们需要用到回归法。
首先假设$f(x)$在区间$(a,b)$上处处可导。
由于$f(a)=f(b)$，因此$f(x)$必然在$(a,b)$上有一个极小值或极大值。
设$c$为这个点，可得$$\quad f'(c)=0$$如果$f(x)$在区间$(a,b)$上没有极值点，则根据连续函数的性质，它在这个区间上处处为常数，而由于$f(a)=f(b)$，此常数必然为$f(a)=f(b)$。
因此，无论$f(x)$在区间$(a,b)$上是否存在极值点，都可以得到结论：在区间$(a,b)$上，至少存在一个点$c$，使得$f'(c)=0$。
3. 罗尔定理的应用罗尔定理在实际生活中有着广泛的应用。
我们将就两个场景进行讨论。
3.1 寻找图像中的最高点和最低点在平面直角坐标系中，我们可以通过求解一条抛物线的顶点来确定其最高点和最低点。
然而，对于某些无法用一般公式表示的曲线，我们就需要用罗尔定理来确定其最高点和最低点。
具体做法是，将曲线函数表示为$f(x)$的形式，然后在定义域内寻找导数为零的点，这些点就是原曲线的最高点或最低点。
3.2 求解边值问题有一类求解边值问题，如求函数的最大值、最小值、极值点等，可以通过罗尔定理解决。
例如，有一个矩形的周长固定为$100\text{m}$，求其最大面积。
设矩形的长为$x$，宽为$y$，由于周长固定，可得$$\quad2x+2y=100$$因此，矩形的面积为$$\quad S=xy=\frac{1}{2}(100x-2x^2)$$将$S$对$x$求导可得，$$\quad S'=50-2x$$令导数为零，得到$x=25$，此时矩形的长和宽相等，即为正方形。
(完整版)推广的罗尔定理的证明
推广的罗尔定理设函数()f x 在(,)a +∞上可导，且满足 lim ()lim ()x x a f x f x A +→+∞→==(有限或为±∞)， 则必存在(,+)a ξ∈∞，使得()=0f ξ'.（1） A 为有限数情况证明1： 若()f x 恒等于A ，则()=0f x '，(,+)a ξ∞可以取中的任何值，都有()=0f ξ'. 若()f x 不恒等于A ，首先作变量代换， 令tan ,(arctan ,)2x t t a π=∈，则()(tan )(),(arctan ,)2f x f t g t t a π→=∈ ----------- 这一步把无穷区间转化为有限区间 再构造辅助函数()(arctan ,)2()arctan 2g t t a F t A t a t ππ⎧∈⎪⎪=⎨⎪==⎪⎩和, -------- 这一步把开区间转化为闭区间 显然()F t 在[arctan ,]2a π上满足罗尔定理的三个条件，所以(arctan ,)2a πη∃∈，使得()=0F η'， 由于在(arctan ,)2a π上，()=g ()F t t ''，因而()=g ()=0F ηη''.2()=[(tan )](tan )sec g t f t f t t '''=，故2()(tan )sec =0g f ηηη''=，由于在(arctan ,)2a π上， 2sec 0η≠，(221sec 0,(arctan ,)(,)cos 222a πππηηη=≠∈⊂-), 所以(tan )=0f η'， 令=tan (,)a ξη∈+∞，则有()=0f ξ'. 证毕.证明2：若()f x 恒等于A ，则()=0f x '，(,+)a ξ∞可以取中的任何值，都有()=0f ξ'. 若()f x 不恒等于A ，则存在0(,)x a ∈+∞，使得0()f x A ≠，不妨设0()f x A >(对0()f x A < 的情形同理可证)，由于lim ()lim ()x x a f x f x A +→+∞→==，且()f x 在(,)a +∞上连续，则一定存在1020(,),(,)x a x x x ∈∈+∞使得012()()()2f x A f x f x +==，任意取定实数μ，使其满足00()+()2f x A f x μ<<，显然()f x 在1002[,],[,]x x x x 上连续，在这两个区间上分别应用介值定理，得到110202(,),(,)x x x x ηη∈∈使得12()()f f ηημ==，最后在12[,]ηη上应用罗尔定理，得到12(,)(,+)a ξηη∃∈⊂∞，使得()=0f ξ'.（2） A =+∞的情况（A =-∞的情况同理可证）由于lim ()lim ()+x x a f x f x +→+∞→==∞，取定00(,)()x a f x μ∈+∞>及， 则由于()f x 在(,)a +∞上连续，故1020(,),(,)x a x x x ∃∈∈+∞，使12()()f x f x μ==， 在闭区间上12[,]x x 上对()f x 应用罗尔定理，12(,)(,+)x x a ξ∃∈⊂∞，使得()=0f ξ'.注： 若将区间(,)a +∞变为(,)-∞+∞，只需将证明1的变换改为tan ,(,)22x t t ππ=∈-， 其余不变。
罗尔定理内容及证明
罗尔定理内容及证明
罗尔定理，又称为英国科学家莱恩罗尔（John Edward Littlewood）提出的一个重要定理。
它在解决代数和几何问题上，有着非常重要的作用。
其内容是：给定任意正整数m，一个m边形的外接圆内必定存在m个等边三角形的顶点，以及m条直径。
证明：
假设有一个m边形的外接圆，假设它的m个顶点分别为A1, A2, A3,…，Am，则构造一个等边三角形的三点如下：
以A1顶点构成的等边三角形为 A1A2A3；
以A2顶点构成的等边三角形为 A2A3A4；
以A3顶点构成的等边三角形为 A3A4A5；
．．．．．．
以Am顶点构成的等边三角形为 Am-1AmAm+1；
从上述结果可以得出，每个顶点都可以构成一个m边形的外接圆的等边三角形，即证明给定任意正整数 m，一个m边形的外接圆内必定存在m个等边三角形的顶点，以及m条直径。
以上证明了罗尔定理。
在实际应用中，罗尔定理也可以用来求解m边形内必定存在m条对角线，以及m个等边三角形的顶点。
除了解决代数与几何问题之外，罗尔定理在计算机领域中也有重要应用。
例如，我们可以用罗尔定理解决字符串匹配问题，如朴素字符串匹配算法（simple string matching algorithm），水平曲线的
圆弧绘制算法（arc drawing algorithm），最近点对算法（nearest
pair algorithm）等。
总之，罗尔定理是一种重要的数学定理，不仅可以用来解决几何问题，在计算机领域也有着重要的应用，有着十分重要的意义。
4.1.1罗尔定理
第四章 中值定理及导数的应用第1节中值定理罗尔定理罗尔定理一、定理及证明罗尔（Rolle）定理 如果函数)(x f 在闭区间 ],[b a 上连续,在开区间),(b a 内可导,且在区间端点的函数值相等，即)()(b f a f =,那末在),(b a 内至少有一点)(b a <ξ<ξ,使得函数)(x f 在该点的导数等于零， 即0)('=ξf )1()2()3(例如,32)(2--=x x x f ).1)(3(+-=x x ,]3,1[上连续在-,)3,1(上可导在-,0)3()1(==-f f 且))3,1(1(,1-∈=ξ取.0)(=ξ'f ),1(2)(-='x x f几何解释:a b 1ξ2ξxy o )(x f y =,.AB C 在曲线弧上至少有一点在该点处的切线是水平的C).0)((0)(,0,0),0(0,)(lim 00<><-<><>=→x f x f x x A A A x f x x 或时使得当则存在常数或且若δδ复习 (函数极限的局部保号性)).0(0),0)((0)(,),(,0,)(lim 000≤≥≤≥∈>∃=→A A x f x f x U x A x f x x 或则或时当且若δδ推论证.)1(m M =若,],[)(连续在b a x f .m M 和最小值必有最大值.)(M x f =则.0)(='x f 由此得),,(b a ∈ξ∀.0)(=ξ'f 都有.)2(m M ≠若),()(b f a f = .取得最值不可能同时在端点∴),(a f M ≠设.)(),(M f b a =ξξ使内至少存在一点则在),()(ξ≤∆+ξf x f ,0)()(≤ξ-∆+ξ∴f x f,0>∆x 若;0)()(≤∆ξ-∆+ξxf x f 则有,0<∆x 若;0)()(≥∆ξ-∆+ξxf x f 则有;0)()(lim )(0≥∆ξ-∆+ξ=ξ'∴-→∆-xf x f f x ;0)()(lim )(0≤∆ξ-∆+ξ=ξ'+→∆+xf x f f x ,)(存在ξ'f ).()(ξ'=ξ'∴+-f f .0)(=ξ'∴f 只有注 罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个,定理的结论将不一定成立.例如,];2,2[,-∈=x x y ,,)0(]2,2[的一切条件满足罗尔定理不存在外上除在f '-.0)(2][-2='x f 使内找不到一点能，但在区间;0,0]1,0(,1⎩⎨⎧=∈-=x x x y ].1,0[,∈=x x y 又例如,罗尔定理二、罗尔定理的应用例1.10155的正实根有且仅有一个小于证明方程=+-x x 证:,15)(5+-=x x x f 设,]1,0[)(连续在则x f .3)1(,1)0(-==f f 且由介值定理.0)(),1,0(00=∈∃x f x 使即为方程的小于1的正实根.,),1,0(011x x x ≠∈设另有.0)(1=x f 使,,)(10件之间满足罗尔定理的条在x x x f 使得之间在至少存在一个),,(10x x ξ∴.0)(=ξ'f )1(5)(4-='x x f 但))1,0((,0∈<x 矛盾,.0为唯一实根x x =∴例2()(1)(2)(3)(4)()0.f x x x x x f x =----'不用求出函数的导数，说明方程＝有几个实根，并指出他们所在的区间解:[][][]()()1122(1)(2)(3)(4)0,()1223,34120;230;f f f f f x f f ξξξξ===='='=因为而在，，，，上分别满足罗尔定理条件，故在（，）存在，使得在（，）存在，使得()()()123=0=0.f x f x f x ξξξ'''又是三次多项式，至多只有三个实根，即，，为的三个不同实根()().0;04332133的三个不同实根为，，即，使得）存在，在（='='x f f ξξξξξ思考题()[]()()()()()00000.f x a a f a a f f ξξξξ'∈+设在区间，上连续，在，内可导，且＝，试证存在，，使＝思考题解答()().可证设x xf x F =例3()[]()()()()()()()()0101010111112220 1.f x f f f f f f ηηηλξηξλξξ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'⎡⎤∈--=⎣⎦设在区间，上连续，在，内可导，且＝＝，＝，试证：存在，，使＝；（）对任意实数，必存在，，使证:1(1)()()()[1]21111(1)(1)110,()()0,2222F x f x x F x F f F f =--<->令，显然在，连续，且＝＝－＝＝由连续函数的介值定理得，；＝，使，存在ηηη)()121(f ∈例3()[]()()()()()()()()0101010111112220 1.f x f f f f f f ηηηλξηξλξξ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'⎡⎤∈--=⎣⎦设在区间，上连续，在，内可导，且＝＝，＝，试证：存在，，使＝；（）对任意实数，必存在，，使证:(2)()(())(0)0,()0,xF x f x x eF F λη-=-令＝＝由罗尔定理得，()()()()00,1.F f f ξηξξλξξ'∈='⎡⎤--=⎣⎦必存在，，使即THANK YOU。
高等数学,罗尔定理的应用精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版
高等数学，罗尔定理的应用
之前推导了罗尔定理等其它中值定理，今天我们来看一下罗尔定理的一些应用。
三大中值定理推导，可以参考之前的图文。
罗尔定理的证明过程，点我
介值定理+罗尔定理
这里的已知条件f(0)+f(1)+f(2)=3f(3)可以用介值定理得出一个有用的条件，有此条件刚好满足罗尔定理所需条件，则原结论可证：
零点定理+罗尔定理
这里我们使用零点定理对已知条件进行转化，得到罗尔定理所需条件：
高等数学，拉格朗日中值定理的应用。
罗尔定理关于根的推论
罗尔定理关于根的推论
（原创实用版）
目录
1.罗尔定理的概念
2.罗尔定理关于根的推论的概念
3.罗尔定理关于根的推论的证明
4.罗尔定理关于根的推论的应用
5.总结
正文
罗尔定理是微积分学中的一个重要定理，它指出，如果一个函数在某一闭区间上连续，在开区间内可导，并且在区间端点的函数值相等，即满足 Rolle 条件，那么这个函数在开区间内至少有一点导数为零。
罗尔定理关于根的推论，是罗尔定理的一个重要应用。
它指出，如果一个函数在某一闭区间上连续，在开区间内可导，并且在区间端点的函数值相等，那么在这个函数的每一个极值点处，导数等于零。
这个推论的证明相对简单。
因为极值点是函数的局部性质，所以只需要考虑函数在极值点附近的行为。
假设函数在极值点处的导数不等于零，那么根据罗尔定理，函数在极值点附近必然存在一点导数为零。
但这与假设矛盾，所以假设不成立，即函数在极值点处的导数等于零。
罗尔定理关于根的推论在微积分学中有广泛的应用。
例如，它可以用来求解函数的极值，也可以用来证明一些重要的微积分定理，如拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
第1页共1页。
证明罗尔定理
证明罗尔定理
罗尔定理的证明过程：
证明：因为函数f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用M 和m 表示，分两种情况讨论：
1. 若M=m，则函数f(x) 在闭区间[a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
2. 若M>m，则因为f(a)=f(b) 使得最大值M 与最小值m 至少有一个在(a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件f(x) 在开区间(a,b) 内可导得，f(x) 在ξ处取得极值，由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f'(ξ)=0。
另证：若M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为0，得证。
罗尔定理描述如下：
如果R 上的函数f(x) 满足以下条件：
（1）在闭区间[a,b] 上连续。
（2）在开区间(a,b) 内可导。
（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。
用开区间套定理证明罗尔定理
用开区间套定理证明罗尔定理罗尔定理是微积分中的一个重要定理，它是由法国数学家罗尔在17世纪提出的。
罗尔定理是微积分中的一个基本定理，它是导数的介值定理的一个特殊情况。
下面，我们将使用开区间套定理来证明罗尔定理。
我们先回顾一下罗尔定理的表述：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在开区间$(a,b)$内可导，如果$f(a)=f(b)$，则在$(a,b)$内至少存在一个点$c$，使得$f'(c)=0$。
我们使用反证法来证明罗尔定理。
假设在区间$(a,b)$内没有满足$f'(c)=0$的点，也就是说$f'(x)\neq0$对于所有$x\in(a,b)$成立。
根据介值定理，$f'(x)$在区间$(a,b)$上要么恒为正，要么恒为负。
假设$f'(x)>0$对于所有$x\in(a,b)$成立，那么$f(x)$在$(a,b)$上严格单调递增。
由于$f(a)=f(b)$，则有$f(a)<f(x)<f(b)$对于所有$x\in(a,b)$成立。
这与$f(x)$在$(a,b)$上严格单调递增矛盾，因此假设不成立。
同样地，假设$f'(x)<0$对于所有$x\in(a,b)$成立，那么$f(x)$在$(a,b)$上严格单调递减。
由于$f(a)=f(b)$，则有$f(a)>f(x)>f(b)$对于所有$x\in(a,b)$成立。
这与$f(x)$在$(a,b)$上严格单调递减矛盾，因此假设不成立。
假设$f'(x)\neq0$对于所有$x\in(a,b)$成立是不成立的。
即存在某一点$c\in(a,b)$，使得$f'(c)=0$。
这就证明了罗尔定理。
通过上述证明，我们使用了开区间套定理来证明了罗尔定理。
开区间套定理是微积分中一个重要的定理，它的证明过程相对简单，但具有很强的实用性。
它为我们证明了罗尔定理提供了重要的工具，使得我们能够更好地理解和应用罗尔定理。
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２３７
Hale Waihona Puke 罗 尔 定 理 ：若 函 数 满足：（１）在
上连续；（２）在 内可导；（３）
，则
至少存在一点
，使
。此 定 理
是 在 有 限 区 间 内 给 出 的 ，下 面 我 们 研 究 一
下如何将它推广到无限区间并给出严格证
明 。为 了 更 好 地 加 以 证 明 首 先 来 看 削 弱 定
理 条 件 后 定 理 的 正 确 性 ，并 利 用 削 弱 条 件
使
。
令
，则
，
而
故
。即 至 少 存 在 一 点
使
。证 毕 。
（２）若 函 数 满 足 ：① 在
内可
导 ；②
，则 至 少 存 在
一点
，使
。
证 明 ：与 １同 令
，
，则 ：
满 足 ：１）在
内可导；２）
，
即
。满 足 削
弱 条 件 中 定 理 的 条 件 ，故 至 少 存 在 一 点
使
。
令
，则
，而
故
。即 至 少 存 在 一 点
使 （３）若 函 数
。证 毕 。 满足：
内可导，
且
，则 至 少 存 在 一 点
，使
。
证 明 ：与 １、２同 ，
令
，
，
则： 满足：①在 ②
内可导；
即
。满 足 削 弱 条
件 中 定 理 的 条 件 ，故 至 少 存 在 一 点
使
。
令
，则 ：
，
而
故（
。
即至少存在一点
使
。证 毕 。
参考文献
［１］ 陈 传 璋 ，等 ．数 学 分 析 ［Ｍ］．北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，１９７９．
学 术 论 坛
科技资讯 ２００９ ＮＯ．２１
ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
罗尔定理的推广及证明
马艳秀 （ 石家庄理工职业技术学院 河北石家庄 ０ ５ ０ ２ ２ ８ ）
摘 要：将罗尔定理条件削弱得出较一般的结论，并利用削弱条件后的结论及反三角函数给出无限区间上罗尔定理的严格证明． 关 键 词： 罗尔定理 反正切函数 映射 中图分类号：Ｏ１４１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２－３７９１（２００９）０７（ｃ）－０２３８－０１
。
显然：
，而
， 故 在a点 连 续 ；同理
，
而
，
故 在b点也连续。
又由 在 内可导知：
在 内连续可导。
因此， 满足：（１）在 上 连 续；
（２）在
内 可 导；（３）
所以至少存在一点
．而 在
内
。证 毕 。
， ，使 ，故
２ 推广至无限区间
（１）若 函 数
满 足 ：① 在
上连
续 ；② 在
内 可 导；③
，
则至少存在一点
后所得到的结论给出无限区间上罗尔定理
的证明。
１ 削弱定理的条件
若函数 满足：（１）在 内可导；（２）
，则 至 少 存 在 一 点
，使
。
证明：构造函数 使其满足罗尔定
理 的 条 件 。即 ：F（x）∈C［a, b］，在
内 可 导 ，F
（a）＝F（b）．因 此 需 要 补 充 的 定 义 域 ： →
，故 构 造 分 段 函 数 ：
［２］ 华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，１９８１．
［３］ Б ．П ．吉 米 多 维 奇 ．数 学 分 析 习 题 集 题 解 ［Ｍ］．济 南 ：山 东 科 学 技 术 出 版 社 ， １９９９．
［４］ 王景克．高等数学解题方法与技巧［Ｍ］． 北 京 ：中 国 林 业 出 版 社 ，２００１．
，使
。
证明：构 造 函 数 ，使 得 将
转
化 为 有 限 区 间 。易 想 到 三 角 函 数 中 正 、余 切
函数的一个单调区间是将有限区间
或
映射到
运算
，因 此 考 虑 利 用 其 逆
将
映射到
。令 ：
则由 在 又
在 内可导，
内可导，所以 ，
=
，
，而 f(a)
即：
，满 足 削
弱 条 件 中 定 理 的 条 件 ，故 至 少 存 在 一 点