罗尔定理的推广及证明
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学 术 论 坛
科技资讯 ２００９ ＮＯ．２１
ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
罗尔定理的推广及证明
马艳秀 （ 石家庄理工职业技术学院 河北石家庄 ０ ５ ０ ２ ２ ８ ）
摘 要：将罗尔定理条件削弱得出较一般的结论，并利用削弱条件后的结论及反三角函数给出无限区间上罗尔定理的严格证明． 关 键 词： 罗尔定理 反正切函数 映射 中图分类号：Ｏ１４１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２－３７９１（２００９）０７（ｃ）－０２３８－０１
［２］ 华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，１９８１．
［３］ Б ．П ．吉 米 多 维 奇 ．数 学 分 析 习 题 集 题 解 ［Ｍ］．济 南 ：山 东 科 学 技 术 出 版 社 ， １９９９．
［４］ 王景克．高等数学解题方法与技巧［Ｍ］． 北 京 ：中 国 林 业 出 版 社 ，２００１．
罗 尔 定 理 ：若 函 数 满足：（１）在
上连续；（２）在 内可导；（３）
，则
至少存在一点
，使
。此 定 理
是 在 有 限 区 间 内 给 出 的 ，下 面 我 们 研 究 一
下如何将它推广到无限区间并给出严格证
明 。为 了 更 好 地 加 以 证 明 首 先 来 看 削 弱 定
理 条 件 后 定 理 的 正 确 性 ，并 利 用 削 弱 条 件
使
。
令
，则
，
而
故
。即 至 少 存 在 一 点
使
。证 毕 。
（２）若 函 数 满 足 ：① 在
内可
导 ；②
，则 至 少 存 在
一点
，使
。
证 明 ：与 １同 令
，
Fra Baidu bibliotek
，则 ：
满 足 ：１）在
内可导；２）
，
即
。满 足 削
弱 条 件 中 定 理 的 条 件 ，故 至 少 存 在 一 点
使
。
令
，则
，而
故
。即 至 少 存 在 一 点
使 （３）若 函 数
。证 毕 。 满足：
内可导，
且
，则 至 少 存 在 一 点
，使
。
证 明 ：与 １、２同 ，
令
，
，
则： 满足：①在 ②
内可导；
即
。满 足 削 弱 条
件 中 定 理 的 条 件 ，故 至 少 存 在 一 点
使
。
令
，则 ：
，
而
故（
。
即至少存在一点
使
。证 毕 。
参考文献
［１］ 陈 传 璋 ，等 ．数 学 分 析 ［Ｍ］．北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，１９７９．
［５］ 刘 玉 琏 ，傅 沛 仁 ．数 学 分 析 讲 义 ［Ｍ］．北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，１９９６．
科技资讯 ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
２３７
，使
。
证明：构 造 函 数 ，使 得 将
转
化 为 有 限 区 间 。易 想 到 三 角 函 数 中 正 、余 切
函数的一个单调区间是将有限区间
或
映射到
运算
，因 此 考 虑 利 用 其 逆
将
映射到
。令 ：
则由 在 又
在 内可导，
内可导，所以 ，
=
，
，而 f(a)
即：
，满 足 削
弱 条 件 中 定 理 的 条 件 ，故 至 少 存 在 一 点
后所得到的结论给出无限区间上罗尔定理
的证明。
１ 削弱定理的条件
若函数 满足：（１）在 内可导；（２）
，则 至 少 存 在 一 点
，使
。
证明：构造函数 使其满足罗尔定
理 的 条 件 。即 ：F（x）∈C［a, b］，在
内 可 导 ，F
（a）＝F（b）．因 此 需 要 补 充 的 定 义 域 ： →
，故 构 造 分 段 函 数 ：
。
显然：
，而
， 故 在a点 连 续 ；同理
，
而
，
故 在b点也连续。
又由 在 内可导知：
在 内连续可导。
因此， 满足：（１）在 上 连 续；
（２）在
内 可 导；（３）
所以至少存在一点
．而 在
内
。证 毕 。
， ，使 ，故
２ 推广至无限区间
（１）若 函 数
满 足 ：① 在
上连
续 ；② 在
内 可 导；③
，
则至少存在一点
科技资讯 ２００９ ＮＯ．２１
ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
罗尔定理的推广及证明
马艳秀 （ 石家庄理工职业技术学院 河北石家庄 ０ ５ ０ ２ ２ ８ ）
摘 要：将罗尔定理条件削弱得出较一般的结论，并利用削弱条件后的结论及反三角函数给出无限区间上罗尔定理的严格证明． 关 键 词： 罗尔定理 反正切函数 映射 中图分类号：Ｏ１４１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２－３７９１（２００９）０７（ｃ）－０２３８－０１
［２］ 华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，１９８１．
［３］ Б ．П ．吉 米 多 维 奇 ．数 学 分 析 习 题 集 题 解 ［Ｍ］．济 南 ：山 东 科 学 技 术 出 版 社 ， １９９９．
［４］ 王景克．高等数学解题方法与技巧［Ｍ］． 北 京 ：中 国 林 业 出 版 社 ，２００１．
罗 尔 定 理 ：若 函 数 满足：（１）在
上连续；（２）在 内可导；（３）
，则
至少存在一点
，使
。此 定 理
是 在 有 限 区 间 内 给 出 的 ，下 面 我 们 研 究 一
下如何将它推广到无限区间并给出严格证
明 。为 了 更 好 地 加 以 证 明 首 先 来 看 削 弱 定
理 条 件 后 定 理 的 正 确 性 ，并 利 用 削 弱 条 件
使
。
令
，则
，
而
故
。即 至 少 存 在 一 点
使
。证 毕 。
（２）若 函 数 满 足 ：① 在
内可
导 ；②
，则 至 少 存 在
一点
，使
。
证 明 ：与 １同 令
，
Fra Baidu bibliotek
，则 ：
满 足 ：１）在
内可导；２）
，
即
。满 足 削
弱 条 件 中 定 理 的 条 件 ，故 至 少 存 在 一 点
使
。
令
，则
，而
故
。即 至 少 存 在 一 点
使 （３）若 函 数
。证 毕 。 满足：
内可导，
且
，则 至 少 存 在 一 点
，使
。
证 明 ：与 １、２同 ，
令
，
，
则： 满足：①在 ②
内可导；
即
。满 足 削 弱 条
件 中 定 理 的 条 件 ，故 至 少 存 在 一 点
使
。
令
，则 ：
，
而
故（
。
即至少存在一点
使
。证 毕 。
参考文献
［１］ 陈 传 璋 ，等 ．数 学 分 析 ［Ｍ］．北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，１９７９．
［５］ 刘 玉 琏 ，傅 沛 仁 ．数 学 分 析 讲 义 ［Ｍ］．北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，１９９６．
科技资讯 ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
２３７
，使
。
证明：构 造 函 数 ，使 得 将
转
化 为 有 限 区 间 。易 想 到 三 角 函 数 中 正 、余 切
函数的一个单调区间是将有限区间
或
映射到
运算
，因 此 考 虑 利 用 其 逆
将
映射到
。令 ：
则由 在 又
在 内可导，
内可导，所以 ，
=
，
，而 f(a)
即：
，满 足 削
弱 条 件 中 定 理 的 条 件 ，故 至 少 存 在 一 点
后所得到的结论给出无限区间上罗尔定理
的证明。
１ 削弱定理的条件
若函数 满足：（１）在 内可导；（２）
，则 至 少 存 在 一 点
，使
。
证明：构造函数 使其满足罗尔定
理 的 条 件 。即 ：F（x）∈C［a, b］，在
内 可 导 ，F
（a）＝F（b）．因 此 需 要 补 充 的 定 义 域 ： →
，故 构 造 分 段 函 数 ：
。
显然：
，而
， 故 在a点 连 续 ；同理
，
而
，
故 在b点也连续。
又由 在 内可导知：
在 内连续可导。
因此， 满足：（１）在 上 连 续；
（２）在
内 可 导；（３）
所以至少存在一点
．而 在
内
。证 毕 。
， ，使 ，故
２ 推广至无限区间
（１）若 函 数
满 足 ：① 在
上连
续 ；② 在
内 可 导；③
，
则至少存在一点