2015河北政法干警行测指导：数量关系之容斥原理
[2015公务员考试行测容斥原理解题技巧] 容斥原理行测
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[2015公务员考试行测容斥原理解题技巧] 容斥原理行测
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发布时间：2019-07-23 09:39:55 影响了：人
2015公务员考试行测容斥原理解题技巧在行测考试中，容斥原理令很多考生头痛不已，因为容斥原理题看起来复杂多变，让考生一时找不到头绪，但该题型还是有着非常明显的内在规律，只要考生能够掌握该题型的内在规律，看似复杂的问题就能迎刃而解。
下面中公教育专家对该题型分两种情况进行剖析，相信能给考生带来一定的帮助。
一、两集合类型1. 解题技巧题目中所涉及的事物属于两集合时，容斥原理适用于条件与问题都可以直接带入公式的题目，公式如下：A ∪B=A+B-A∩B快速解题技巧：总数=两集合之和+两集合之外数-两集合公共数。
2. 真题示例【例1】现有50名学生都做物理，化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对有()A 27人B 25人C 19人D 10人【中公解析】B 。
直接带入公式为：50=31+40+4-A∩B ，得A∩B=25，所以答案为B 。
二、三集合类型。
2015国家公务员考试行测：数学运算-容斥原理和抽屉原理
【导读】国家公务员考试网为您提供：2015国家公务员考试行测：数学运算-容斥原理和抽屉原理，欢迎加入国家公务员考试QQ群：242808680。
更多信息请关注安徽人事考试网【推荐阅读】2015国家公务员笔试辅导课程【面授+网校】容斥原理和抽屉原理是国家公务员考试行测科目数学运算部分的“常客”，了解此两种原理不仅可以提高做题效率，还可以提高自己的运算能力，扫平所有此类计算题。
中公教育专家在此进行详细解读。
一、容斥原理在计数时，要保证无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，在不考虑重叠的情况下，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
1.容斥原理1——两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。
如图所示：公式：A∪B=A+B-A∩B总数=两个圆内的-重合部分的【例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。
A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。
2.容斥原理2——三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。
如图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。
行测数量关系容斥问题
行测数量关系容斥问题引言：在行测考试中，数量关系容斥问题是一个常见的考点。
掌握了该问题的解题方法，能够帮助考生更好地应对这一类题型。
本文将从概念、解题思路以及实例分析等方面进行详细讲解，以帮助考生更好地理解和掌握数量关系容斥问题。
一、概念解释：数量关系容斥问题是指在求解满足多个条件的情况数量时，通过排除重复计数的方法来得到准确结果。
其基本思想是通过理清各个条件的关系，累加满足每个条件的情况数量，然后再减去同时满足不止一个条件的情况数量，以得到最终结果。
二、解题思路：1.理解问题要求：首先，要明确问题所要求的情况数量。
通常情况下，此类问题要求计算满足多个条件的情况数量。
2.列出条件：将题目中给出的条件进行列举，每个条件单独列成一行。
3.计算满足每个条件的情况数量：对于每个条件，可以单独计算满足该条件的情况数量。
这可以通过排列组合、分类讨论等方法来计算。
4.累加满足每个条件的情况数量：将每个条件满足的情况数量累加起来，得到初步的结果。
5.减去同时满足不止一个条件的情况数量：根据容斥原理，需要减去同时满足不止一个条件的情况数量，以避免重复计数。
通过分类讨论或使用其他方法计算同时满足不止一个条件的情况数量。
6.得到最终结果：将初步结果减去同时满足不止一个条件的情况数量，即可得到最终的结果。
三、实例分析：下面通过一个实例来进一步说明解题思路。
例题：某校有甲、乙、丙三位老师，每位老师选择在星期一至星期五中任意一天进行家访。
如果每位老师至少选择一天进行家访，那么共有多少种家访方式？条件：1.甲、乙、丙三位老师任选一天进行家访；2.甲、乙、丙三位老师至少选择一天进行家访。
解题思路：1.理解问题要求：题目要求计算满足两个条件的家访方式数量。
2.列出条件：条件1：甲、乙、丙三位老师任选一天进行家访；条件2：甲、乙、丙三位老师至少选择一天进行家访。
3.计算满足每个条件的情况数量：条件1满足的情况数量为3（每个老师有5种选择，共有3个老师）；条件2满足的情况数量为5^3-1（每个老师有5种选择，减去同时不选择任意一天的情况数量）。
事业单位考试数量关系：容斥问题
容斥问题是考试中比较偏向技巧性和公式性的问题, 大部分同学对容斥问题是比较熟悉的。
但是其中容斥中的极值问题, 确实考试中一个难点和出题的方向。
何为容斥极值问题, 简而言之就是将容斥问题和极值问题结合起来进行考察的题目。
主要包含以下两种:一、公式法求解容斥极值问题, 如果我们求解的是几个集合公共部分的最小值问题, 下面给出了相应的公式, 我们只需要讲数据代入即可。
其中, 公式中的A.B.C.D分别集合,I代表的是全集。
例1、某班30人, 数学22人优秀, 语文25人优秀, 英语20人优秀, 这三科全部优秀的学生至少有多少人?A.7B.6C.5D.4【答案】A。
解析: 根据题意可得全集为30;将数学、语文以及英语分别看成是A.B.C三个集合, 每个集合的数据也已知;最后题目求三科全部优秀的学生至少有多少人, 即求三个集合相交的最小值, 直接用三集合相交的最小值。
三集合相交的最小值=A+B+C-2*I=22+25+20-2*30=7二、极限思想在容斥极值问题中, 若并非求得是几个集合公共部分的最小值问题, 那就不能直接使用上面的公式解决, 要结合具体题目运用极限思想分析, 下面通过一道例题进行说明:例2参加某部门招聘考试的共有120人, 考试内容共有6道题。
1至6道题分别有86人, 88人, 92人, 76人, 72人和70人答对, 如果答对3道题或3道以上的人员能通过考试, 那么至少有多少人能通过考试?A .72B .61 C.58 D .44【答案】D。
解析: 要使通过的人最少, 那么就是对1道, 2道的人最多, 并且应该是对2道的人最多(这样消耗的总题目数最多), 假设都只对了2道, 那120人总共对了240道, 而现在对了86+88+92+76+72+70=484, 比240多了244道, 每个人还可以多4道(这样总人数最少),244/4=61。
3.一次考试共有五道试题, 做对第1.2、3、4、5题的分别占考试人数的81%、91%、85%、79%、74%, 如果做对三道或三道以上为及格, 那么这次考试的及格率至少是多少?(参考第二题的思想, 一个类型)100-81,91,85,79,74=19+9+15+21+26=90 90/3=30, 100-30=70。
行测技巧：两种方法巧解数量关系“容斥问题”
⾏测技巧：两种⽅法巧解数量关系“容斥问题” ⾏测数量的运算⼀直是⾏测考试的重点题型，下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“⾏测技巧：两种⽅法巧解数量关系“容斥问题””，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！⾏测技巧：两种⽅法巧解数量关系“容斥问题” 容斥问题其实是⼀种在考试中⽐较常见且简单的题型，它考察的是集合之间彼此的交集问题，⼀般来说解决容斥问题最常⽤的两种⽅法就是⽂⽒图法和公式法。
下⾯⼩编为⼤家讲解。
让我们先从⼀个⽣活上的⼩例⼦来理解什么是容斥：AB是两个同居室友，有⼀天A下班回家时在路上买了⾹蕉、苹果、菠萝三种⽔果，B回家路上买了菠萝、葡萄、西⽠三种⽔果，那么家⾥现在⼀共有多少种⽔果？答案很简单，因为尽管两个⼈各买了三种⽔果，但其中菠萝是重复的，所以我们在3+3之后还需要把多算了⼀遍的菠萝减下去，⽽这就是容斥问题的本质：减去多算的，补上空⽩的。
在⾏测的容斥问题⾥，较常考的是三者容斥，也就是三个集合之间的关系，我们把三个集合分别称作A、B、C，三个集合的总集称作U，就可以得到三者容斥的公式： U=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C+三者都没有的 在做题的时候只需要找到题⼲中给定的各个条件，选择直接套⽤，然后就可以求出公式中缺少的项，从⽽快速得到答案。
以⼀道题⽬为例：18名游泳运动员中，有8名参加仰泳，有10名参加蛙泳，有12名参加⾃由泳，有4名既参加仰泳⼜参加蛙泳，有6名既参加蛙泳⼜参加⾃由泳，有5名既参加仰泳⼜参加⾃由泳，有两名这三个项⽬都参加。
三个项⽬都没有参加的有多少名？ 在题⽬中，ABC即对应仰泳、蛙泳、⾃由泳，那么A、B、C、A∩B，B∩C，A∩B∩C都是已知的，求都没有参加，即求剩下的项，⾸先，我们先把题⽬中已经给的数据填⼊公式： 18=8+10+12-4-6-2+2+x 在这个⽅程中，我们解得x=1，也就是三个项⽬都没有参加的有⼀个⼈。
⽽公式法虽然简单，但有的时候可能会觉得有些眼花缭乱，这种时候⽂⽒图法就显得更为直观，我们⼀起来感受⼀下⽂⽒图法在题⽬中的应⽤： 按照从内向外依次填充的⽅式，在⽂⽒图中填写不同区域对应的数据，这样题⽬⽆论是求哪个部分，⼜或是其中⼀些部分的和、差关系（⽐如只会游⼀种泳的、只会游两种泳的、只会⾃由泳的⼈⽐只会蛙泳的多多少），我们就都不怕了。
2015国家公务员考试行测：数量关系——高频考点之容斥问题
【导读】国家公务员考试网为您提供：2015国家公务员考试行测：数量关系——高频考点之容斥问题，更多信息请关注安徽人事考试网容斥问题在历年省考、国考中的出镜频率都很高，预计2015国家公务员考试也会继续采用该题型，考生们需引起足够重视。
中公教育专家认为，对于容斥问题，考生只要认真读题就一定能够正确地解出此题。
接下来，我们一起来看一下有关容斥问题的解法。
一、两者容斥的解法对于容斥问题，解题关键是首先找到各个集合，然后理清各集合之间的关系，然后通过两大核心方法便可解决问题，两大核心方法为：1、将所有区域化为一层2、画文氏图容斥问题考察的题型包括求定值、求极值，求定值通常考察两种题型——两者容斥、三者容斥，首先来看两者容斥问题：例：大学四年级某班有50名同学，其中奥运会志愿者10人，全运会志愿者17人，30人两种志愿者都不是，则班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学是多少?A.6B.7C.8D.9中公解析：第一步：根据题意画文氏图，描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关系：第二步：在集合当中把每一个独立的封闭区间，都用一个单独的字母来表示：A表示是奥运会自愿者B表示是全运会志愿者I表示是全班人数X表示全运会且奥运会志愿者Y表示非奥运会且非全运会志愿者第三步：根据题意建立等量关系，根据把重复数的次数变为只数1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则。
I=A+B-X+Y，所以X=A+B+Y-I=7(利用尾数法)。
结论：两者容斥问题，画图之后可知，两个圆相交的地方有1层、2层两种情况，当将两个集合相加的时候，2层部分多计算一次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故两者容斥问题的公式为：全集I=A+B-X+Y(I代表全集，A、B分别代表两个集合，X代表两个集合的交集，Y代表集合之外的部分)二、三者容斥的解法接下来看三者容斥问题，三者容斥问题所给的已知条件不同，导致其公式不同。
首先来看第一种三者容斥问题：例：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影都看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是多少人?A、69B、65C、57D、46中公解析：第一步：根据题意描述出题中所涉及的几个集合之间的容斥关系第二步：在集合当中把具有相似属性的封闭区间，都用一个单独的字母来表示。
行测数量关系备考：容斥问题
行测数量关系备考：容斥问题行测数量关系备考：容斥问题容斥问题一直是行测数量关系考试当中的“常客”，而如此“文艺”的名字之下，本质研究的其实就只是集合间关系的一类问题。
那么集合间的关系都有哪些呢?一般来说，我们把容斥问题分成三大类研究，分别是二者容斥、三者容斥和容斥极值，其中以三者容斥问题最为常考，也是相对来说最难理解的一类问题。
今天就为大家解释什么是三者容斥?它又难在哪里?【例2】某研究中心就消费者对红、黄、蓝三种颜色的偏好情况进展市场调查，共抽取了40名消费者，发现其中有20人喜欢红色、20人喜欢黄色、15人喜欢蓝色，至少喜欢两种颜色的有19人，喜欢三种颜色的有3人，问三种颜色都不喜欢的有几人?A.1B.3C.5D.7通过以上两道题目，我们不难发现，容斥问题本身难度并不是很大，只要找到题目中数据描绘的特点，对应正确的公式，还是很容易解决的。
比例统一的方法如下：1.找不同比例当中都出现的不变量(某个量、总量、差量等)2.将不变量的份数统一为最小公倍数3.其他量保持比例不变同倍数变化理解完以上相关的方法，我们就详细来看题目感受一下。
【例1】A：B=2：3，B：C=2：3，C比A多10，那么A+B+C=?A.35B.36C.37D.38【解析】答案：D。
根据题干信息可知，给出了一个实际量C比A多10，那么我们就需要找到实际量10所对应的比例份数进展相关的解题，同时我们可以发现题干给出了两个比例，两个比例都出现了B这个不变量，在和A做比的时候是3份，在和C做比的时候是2份，但是B所代表的实际量是一样的，所以把B分成不同的份数每一份所代表的实际量就不一样。
那么我们将B的份数变成一样即可，所以将B统一为最小公倍数6，那么其他量保持比例不变同倍数变化。
得到A:B:C=4:6:9，可以发现C比A多了5份，这5份正是对应的10，题目求A+B+C，通过比例可以知道共有19份，所以答案为38，选D。
【例2】林先生的水果摊销售苹果、芒果、香蕉三种水果，第一天苹果、芒果、香蕉三种水果的收入之比为8:7:5，第二天的收入之比7:9:14.假设第二天苹果的销售收入减少了100元，但这三种水果的总收入不变，问第二天香蕉的收入为多少元?A.180B.200C.280D.360【解析】答案：C。
2015年市公务员考试行测冲刺：一题多解容斥问题
2015年市公务员考试行测冲刺：一题多解容斥问题通过对近年来国家公务员考试和各地市公务员考试行政职业能力测验真题的分析，不难发现，计数性质的试题经常出现在数量关系部分的数学运算中。
而此类试题在运算的过程中又因为容易遗露某个条件而漏计或重复计数出现错误。
今天结合具体的试题来和大家一起探讨解决此类试题的方法。
例题：某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。
则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？A.34B.35C.36D.37为便于解决此类计数问题，不妨先让我们引入小学奥数中经常用到的一个原理，即容斥原理：在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先容纳（计算）进去，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去（减去），使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理中经常用到的有如下两个公式：运用上述两个公式需要注意以下情况：这两个公式分别主要针对两种情况：第一个公式是针对涉及到计算两类事物的个数，第二个公式是针对涉及到三类事物的个数。
在理清了容斥原理之后，再来计算前面所提到的例题就会发现，运用容斥原理解决此类问题就会方便很多。
一、运用容斥原理公式来解题题干中所要寻找的是三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种，而这道题已经给出了这三项建筑防水卷材产品总共有52种，所以，只要求得至少有一项不达标的产品的种数，就可以计算出三项全部合格（达标）的产品种数。
而不合格的产品涉及到三种情况，所以运用三个集合的容斥关系公式成了解决此题的不二选择。
假设B是低温柔度不合格产品的集合，A是可溶物含量不达标的产品集合，C属于接缝剪切性能不合格的产品集合，则：当然，此题还有一种相对较为容易理解的算法，即用文氏图法。
容斥原理公式 行测
容斥原理公式行测容斥原理公式在行测中的应用那可是相当重要的哟！咱先来说说啥是容斥原理。
简单来讲，就是在计算多个集合的总数或者某个集合元素的数量时，要把重复计算的部分去掉，把遗漏的部分补上。
这就好比你去超市买水果，苹果、香蕉、橙子都想买，但有的水果可能被你算了两次，这时候就得用容斥原理来算清楚到底买了多少种、多少个水果。
容斥原理公式主要有两个，一个是两集合的容斥原理公式，另一个是三集合的容斥原理公式。
两集合的容斥原理公式是：A∪B = A + B - A∩B 。
比如说，一个班级里喜欢数学的有 30 人，喜欢语文的有 25 人，既喜欢数学又喜欢语文的有 10 人，那这个班级里喜欢数学或者喜欢语文的同学总数就是 30 + 25 - 10 = 45 人。
三集合的容斥原理公式就稍微复杂点，有标准型和非标准型。
标准型是：A∪B∪C = A + B + C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C 。
非标准型是：A∪B∪C = A + B + C - 只属于两个集合的元素 - 2×属于三个集合的元素。
给您举个例子吧，就说咱公司组织活动，有喜欢爬山的，有喜欢游泳的，还有喜欢骑自行车的。
喜欢爬山的有 50 人，喜欢游泳的有 40 人，喜欢骑自行车的有 30 人，既喜欢爬山又喜欢游泳的有 15 人，既喜欢游泳又喜欢骑自行车的有 10 人，既喜欢爬山又喜欢骑自行车的有8 人，三个都喜欢的有 3 人。
那用标准型公式来算，参加活动的总人数就是 50 + 40 + 30 - 15 - 10 - 8 + 3 = 90 人。
在行测考试中，容斥原理的题目经常出现，而且形式多种多样。
有的是让你直接用公式计算人数，有的是通过给出一些条件让你推导某个集合的元素数量，还有的会把容斥原理和其他知识点结合起来考，比如概率问题、最值问题等等。
我之前有个朋友考行测，就碰到了一道容斥原理的题目，他当时没搞清楚，结果在这道题上浪费了好多时间，最后也没做对。
数量关系之容斥问题解题原理及方法
数量关系之容斥问题解题原理及⽅法 ⼀、知识点 1、集合与元素：把⼀类事物的全体放在⼀起就形成⼀个集合。
每个集合总是由⼀些成员组成的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。
如：集合A={0，1，2，3，……，9}，其中0，1，2，…9为A的元素。
2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，记作A∪B，记号“∪”读作“并”。
A∪B读作“A 并B”，⽤图表⽰为图中阴影部分表⽰集合A，B的并集A∪B。
例：已知6的约数集合为A={1，2，3，6}，10的约数集合为B={1，2，5，10}，则A∪B={1，2，3，5，6，10} 3、交集：A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，⼜属于B的元素，它们组成的集合叫做A和B的交集，记作“A∩B”，读作“A交B”，如图阴影表⽰： 例：已知6的约数集合A={1，2，3，6}，10的约数集合B={1，2，5，10}，则A∩B={1，2}。
4、容斥原理（包含与排除原理）： （⽤|A|表⽰集合A中元素的个数，如A={1，2，3}，则|A|=3） 原理⼀：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进⾏： 第⼀步：先求出∣A∣+∣B∣（或者说把A，B的⼀切元素都“包含”进来，加在⼀起）； 第⼆步：减去∣A∩B∣（即“排除”加了两次的元素） 总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣ 原理⼆：给定三个集合A，B，C。
要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进⾏： 第⼀步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣； 第⼆步：减去∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣； 第三步：再加上∣A∩B∩C∣。
即有以下公式： ∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣- |C∩A|+|A∩B∩C∣ ⼆、例题分析： 例1 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。
分析：设A={20以内2的倍数}，B={20以内3的倍数}，显然，要求计算2或3的倍数个数，即求∣A∪B∣。
容斥原理数量关系
容斥原理数量关系
《容斥原理数量关系，你真的懂吗？》
嘿，朋友们！今天咱来聊聊一个特别有意思的东西——容斥原理数量关系。
也许你会问，这是啥玩意儿啊？别急，听我慢慢道来。
想象一下，你有一堆糖果，里面有各种口味。
你想知道一共有多少颗糖果，但是直接数太麻烦啦！这时候容斥原理就像一个神奇的魔法棒，能帮你轻松搞定。
比如说，咱有一个班级，里面有的同学喜欢语文，有的喜欢数学，还有些同学既喜欢语文又喜欢数学。
那怎么知道喜欢语文或者喜欢数学的同学一共有多少呢？这就用到容斥原理啦！它能让我们不重复、不遗漏地把所有情况都算清楚。
这不就跟我们整理房间一样吗？你要把不同的东西分类放好，才能清楚地知道自己都有啥。
容斥原理就是帮我们在数量的世界里进行这样的分类和整理呀！
你看，生活中很多事情不都这样吗？我们总是要面对各种各样的选择和情况，容斥原理能让我们更有条理地去处理这些。
它不是那种高深莫测、遥不可及的东西，而是实实在在能帮到我们的工具呢！
再想想，我们在做计划的时候，是不是也要考虑各种可能的情况，然后把它们合理地组合起来？容斥原理就像是我们的得力助手，让我们能更准确地把握全局。
难道你不想学会这个神奇的方法，让自己在处理数量关系的时候更加得心应手吗？
所以啊，容斥原理数量关系真的很重要！它就像一把钥匙，能打开我们对复杂数量世界的理解之门。
别再觉得它很遥远、很难懂啦，只要用心去感受，去尝试，你就会发现它的奇妙之处。
相信我，一旦你掌握了它，你会惊叹于它的强大和实用！。
数量关系：轻松识解集合容斥
数量关系：轻松识解集合容斥
在行测考试的题目当中有一种比较有趣的题型，令考生百思不得其解，那就是容斥问题，如何判断容斥问题的题型?又该如何解决这类题型，本篇带领考生梳理容斥问题的基本知识点。
容斥问题的题型特征：容斥问题即包含与排斥问题，它是一种计数问题。
这类题目题干特点显著：题目中给出多个概念，概念之间有集合关联。
解题原理：把重复数的次数变为只数1次，或者说把重叠的面积变为1层，做到不重不漏。
首先我们先了解容斥问题的核心公式有哪些
两集合标准公式：总数-两个集合都不包含=A+B-A∩B
三集合标准公式：①总数-三个集合都不包含=A+B+C-A∩B-A∩C -B∩C+A∩B∩C
②总数-三个集合都不包含=A+B+C-只包含于两个集合的元素-2×包含于三个集合的元素
下面通过例题来进行熟悉
【例1】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，那么两种实验都做对的有( )。
A.27人
B.25人
C.19人
D.10人
【中公解析】B。
解析：设A={物理实验做正确的学生｝，B={化学实验做正确的学生｝。
根据容斥原理，总数-两个集合都不包含=A+ B-A∩B，代入得50-4=40+31-A∩B，则A∩B=25。
即两种实验都做对的有25人。
行政职业能力测试答题技巧：容斥原理巧解数学运算题
来源：安徽事业单位招聘网（/anhui/）行政职业能力测试答题技巧：容斥原理巧解数学运算题【导语】在事业单位行测考试中，数学运算题作为数量关系题的重点题型颇受关注。
此类题型的解题方法和原理也各不相同。
中公事业单位考试网为考生带来行政职业能力测试答题技巧：容斥原理巧解数学运算题。
容斥原理又称包含排斥原理，它是解决组合计数问题的重要工具。
加法原理告诉我们，在集合间没有交集的情况下，求这些集合并集的简单计数公式。
容斥原理则告诉我们一般情况下的公式，此时集合间可以重叠而没有限制。
【例题】在1到30的正整数中，有多少个整数能被2整除或能被3整除?【点拨】由于从1开始每连续2个的第2个数能被2整除，所以1到30中能被2整除的整数共30÷2=15个，它们分别是2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30。
同理，由于从1开始每连续3个的第3个数能被3整除，所以1到30中能被3整除的整数共30÷3=10个，它们分别是3,6,9,12,15,18,21,24,27,30。
又，同时能被2和3整除的整数共30÷(2×3)=5个，分别是6,12,18,24,30。
所以计数时如果计算15+10=25，则重复计算了5个数。
容斥原理可以帮我们巧妙地解决这一问题。
P.S：两集合容斥原理公式①|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|②|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|其中，两集合容斥原理用简单语言叙述就是：满足条件1的个数+满足条件2的个数-都满足的个数=总数-都不满足的个数=满足至少一个条件的个数。
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公考容斥原理公式
公考容斥原理公式容斥原理是公务员考试中一个挺有意思的知识点。
咱们先来看看啥是容斥原理。
打个比方，咱就说学校组织活动，参加数学竞赛的有 A 个人，参加语文竞赛的有 B 个人，既参加数学又参加语文的有 C 个人。
那参加这两个竞赛的总人数咋算呢？这时候容斥原理就派上用场啦！两集合的容斥原理公式是：A∪B = A + B - A∩B 。
用咱上面说的例子，参加竞赛的总人数就是参加数学竞赛的人数加上参加语文竞赛的人数，再减去两项都参加的人数。
再比如说，有一个班级，喜欢语文的同学有 20 个，喜欢数学的同学有 30 个，既喜欢语文又喜欢数学的有 10 个。
那喜欢语文或者喜欢数学的同学一共有多少个呢？咱就用 20 + 30 - 10 = 40 个。
那要是有三个集合呢？比如说参加英语竞赛的有 D 个人。
这时候的容斥原理公式就变成了：A∪B∪C = A + B + C - A∩B - A∩C - B∩C + A∩B∩C 。
我之前给学生讲这个知识点的时候，有个学生特别迷糊，一直搞不清楚为啥要加上A∩B∩C 。
我就给他举了个例子，比如说咱们班组织看电影、唱歌和聚餐。
看电影的有 25 人，唱歌的有 30 人，聚餐的有20 人，既看电影又唱歌的有 10 人，既看电影又聚餐的有 8 人，既唱歌又聚餐的有 6 人，三样都参加的有 3 人。
那咱们来算算一共多少人参加了活动。
按照公式就是 25 + 30 + 20 - 10 - 8 - 6 + 3 = 54 人。
这个学生还是有点晕乎，我就给他画了个大大的图，把看电影、唱歌、聚餐的区域标出来，然后一点点给他解释，哪些地方被重复计算了，哪些地方被漏掉了。
最后这学生恍然大悟，还跟我说：“老师，我这下可算搞明白了！”其实啊，容斥原理在公考中经常出现，而且形式多样。
可能是人员参加活动，可能是商品的选购，还可能是各种不同条件的组合。
比如说有一道题，一个公司里会编程的有 50 人，会设计的有 40 人，两种都会的有 20 人，问至少会一种的有多少人。
国考笔试资料数量关系之容斥问题
行测高频考点技巧荟萃第6期：数量关系之容斥问题在公务员、政法干警、选调生等行测考试中会经常考察到容斥问题，所以考生一定要给予重视。
通常情况下容斥问题的解题思路都是比较清晰且简单的，只要经过一段时间的复习，解容斥问题的正确率一定会有所提高哦数量关系容斥问题知识点储备一、考情分析容斥问题在最近几年的国家公务员考试中出现的频率逐渐增大，尤其是最近两年国家公务员中都有出现。
难度也逐渐增大，不再拘泥于最常规的两个集合和三个集合的考查方式。
在各省市的公务员考试中，容斥问题仍然出现活跃。
因此，这一题型还是需要重点关注。
二、基本概念涉及多个相互关联的集合，要求根据集合间的相互关系计算集合中元素个数的问题称为“容斥原理”问题。
三、技巧方法(一)公式法解两个集合容斥问题两个集合的容斥问题公式：A∪B=A+B-A∩B三个集合的容斥问题公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C一、考情分析容斥问题在最近几年的国家公务员考试中出现的频率逐渐增大，尤其是最近两年都有出现。
难度也逐渐增大，不再拘泥于最常规的两个集合和三个集合的考查方式。
在各省市的公务员考试中，容斥问题仍然出现活跃。
因此，这一题型还是需要重点关注。
二、基本概念涉及多个相互关联的集合，要求根据集合间的相互关系计算集合中元素个数的问题称为“容斥原理”问题。
三、技巧方法(一)公式法解两个集合容斥问题两个集合的容斥问题公式：A∪B=A+B-A∩B三个集合的容斥问题公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C(二)文氏图法解两个集合容斥问题四、例题精讲例题1：某班有56人，每人至少参加一个兴趣小组，参加生物组的有46人，参加科技组的有28人，两组都参加的有多少人?A.10B.18C.24D.30解析：集合A={参加生物组的人｝、集合B={参加科技组的人｝，由A∪B=A+B-A∩B知两组都参加的有A∩B=46+28-56=18人。
行测容斥原理三个公式
行测容斥原理三个公式容斥原理是概率论和组合数学中一个重要的计数方法，用于解决求交集、并集等问题。
下面将介绍容斥原理的三个公式：互斥事件的加法原理、重叠事件的减法原理和容斥原理。
一、互斥事件的加法原理：在概率论中，如果A和B是两个互斥事件，那么它们的并集的概率等于它们的概率之和。
数学上可以表达为：P(A∪B)=P(A)+P(B)其中P(A∪B)表示事件A和事件B的并集的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
二、重叠事件的减法原理：在概率论中，如果A和B是两个事件，那么它们的交集的概率等于它们的和减去它们的并集。
数学上可以表达为：P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)其中P(A∩B)表示事件A和事件B的交集的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率，P(A∪B)表示事件A和事件B的并集的概率。
三、容斥原理：容斥原理是一种组合数学中的计数方法，用于求多个集合的交集和并集的元素个数。
如果有n个集合A1，A2，...，An，那么它们的交集的元素个数可以用容斥原理表示为：A1∩A2∩...∩An，=∑，Ai，-∑，Ai∩Aj，+∑，Ai∩Aj∩Ak，-...+(-1)^(n+1)，A1∩A2∩...∩An其中，X，表示集合X中元素的个数，∑表示求和，Ai表示第i个集合。
容斥原理的应用：1.求多个集合的并集的元素个数：A1∪A2∪...∪An，=∑，Ai，-∑，Ai∩Aj，+∑，Ai∩Aj∩Ak，-...+(-1)^n，A1∩A2∩...∩An2.求多个集合的交集的元素个数：A1∩A2∩...∩An，=∑(-1)^(i+1)(，Ai，-∑(-1)^(j+1)(，Ai∩Aj，-∑(-1)^(k+1)(...)))容斥原理的推广：容斥原理可以推广到更多的事件，不仅限于两个或三个事件。
总结：容斥原理是概率论和组合数学中重要的计数方法，通过互斥事件的加法原理、重叠事件的减法原理和容斥原理可以求解事件的概率和集合的元素个数。
行测容斥原理问题答题技巧
国考行测容斥原理解题技巧在行测考试中，容斥原理题令很多考生头痛不已，因为容斥原理题看起来复杂多变，让考生一时找不着头绪。
但该题型还是有着非常明显的内在规律，只要考生能够掌握该题型的内在规律，看似复杂的问题就能迎刃而解，下面就该题型分两种情况进行剖析，相信能够给考生带来一定的帮助。
一、两集合类型1、解题技巧题目中所涉及的事物属于两集合时，容斥原理适用于条件与问题都可以直接带入公式的题目，公式如下：A∪B=A+B－A∩B快速解题技巧：总数=两集合数之和+两集合之外数－两集合公共数2、真题示例【例1】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有()A、27人B、25人C、19人D、10人【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，所以答案为B。
【例2】某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。
其中25％是白色的，75％是蓝色的。
如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A、15B、25C、35D、40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。
二、三集合类型1、解题步骤涉及到三个事件的集合，解题步骤分三步：①画文氏图；②弄清图形中每一部分所代表的含义，按照中路（三集合公共部分）突破的原则，填充各部分的数字；③代入公式（A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C）进行求解。
2、解题技巧三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。
公式：总数=各集合数之和－两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数3、真题示例【例3】【国考2010-47】某高校对一些学生进行问卷调查。
河北省公务员考试辅导数量关系之容斥问题
河北省公务员考试辅导数量关系之容斥问题 数学运算中的集合问题，也称容斥原理是近⼏年经常出现的题型，考⽣应将其作为典型题⽬加以掌握。
解决容斥原理的题⽬，⽅法是关键。
此类题型主要包括两集合问题和三集合问题，并且近⼏年常出现的容斥问题基本都是涉及三集合的，公务员考试研究中⼼就针对三集合的题⽬进⾏汇总。
三集合容斥问题主要有以下三种题型： 1、三集合标准型核⼼公式 2、三集合图⽰标数型(⽂⽒图或者叫做韦恩图法) a。
特别注意“满⾜某条件”和“只满⾜某条件”的区别; b。
特别注意有没有“三个条件都不满⾜的情形”; 3、三集合整体重复型核⼼公式 三集合容斥问题中，有些条件未知时，就不能直接使⽤标准型公式，⽽是运⽤整体重复型公式同样可以解答。
特别当题⽬中说明分别满⾜⼀种、两种、三种条件的个数时，使⽤整体重复型公式。
并且，三集合整体重复型公式是现在国家公务员考试考查三集合容斥问题的重点。
另外，可利⽤尾数法进⾏快速求解。
原理：在三集合题型中，假设满⾜三个条件的元素数量分别时A、B和C，⽽⾄少满⾜三个条件之⼀的元素的总量为W。
其中，满⾜⼀个条件的元素数量为x，满⾜两个条件的元素数量为y，满⾜三个条件的元素数量为z，根据右图可以得到下满两个等式： W=x+y+z A+B+C=x×1+y×2+z×3 通过⼏个例题阐述三集合容斥的相关内容： 【例1】对某单位的100名员⼯进⾏调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58⼈喜欢看球赛，38⼈喜欢看戏剧，52⼈喜欢看电影，既喜欢看球赛⼜喜欢看戏剧的有18⼈，既喜欢看电影⼜喜欢看戏剧的有16⼈，三种都喜欢看的有12⼈，则只喜欢看电影的有( )。
A.22⼈B.28⼈C.30⼈D.36⼈ 【解析】设A=喜欢看球赛的⼈58，B=喜欢看戏剧的⼈38，C=喜欢看电影的⼈52，则有： A∩B=既喜欢看球赛的⼈⼜喜欢看戏剧的⼈18 B∩C=既喜欢看电影⼜喜欢看戏剧的⼈16 A∩B∩C=三种都喜欢看的⼈12 A∪B∪C=看球赛和电影、戏剧⾄少喜欢⼀种100 由集合运算公式可知：C∩A = A+B+C-(A∪B∪C+A∩B+B∩C-A∩B∩ C)=148-(100+18+16-12)=26 所以，只喜欢看电影的⼈=C-B∩C-C∩A+A∩B∩C=52-16-26+12=22 注：这道题运⽤公式运算⽐较复杂，运⽤⽂⽒画图法我们很快就可以看出结果。
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在政法干警考试行测题目中，对数量关系中容斥问题的考查内容也经常出现。
这类问题需要考生掌握容斥原理，否则在解答过程中就会遇到困难，甚至花费较长的时间，也很难得出正确的答案。
出现这样的情况，是政法干警行测笔试过程中的大忌。
因为答题的时间有限，保证题目的正确率也至关重要。
所以，考生一定要对容斥原理有一个非常清晰的认识。
容斥原理又称排容原理，主要的工作就是计算时，排斥掉重复计算的部分，保证最后的数据结果无遗漏和重复。
【实例分析】
例1. 某班有50人，会游泳的有27人，会体操的有18人，都不会的有15人。
问既会游泳又会体操的有多少人?
解析：因至少会游泳或体操的人数为50-15=35(人)，所以根据两个集合的容斥
原理，可以得到既会游泳又会体操的人数=27+18-35=10(人)。
例2. 某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门选修课程。
有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人。
问三门课程均未选的有多少人?
解析：根据题干叙述选修甲课程的对应为集合A=40，选修乙课程的对应为集合B=36，选修丙课程的对应集合C=30。
兼选甲、乙的对应为A∩B=28，兼选甲、丙的对应为A∩C=26,兼选乙、丙的对应为B∩C=24。
甲、乙、丙均选的对应为A∩B∩C=20。
三门课程均未选的对应为50-A∪B∪C。
根据A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C
=40+36+30-28-26-24+20=48
三门均未选的有50-A∪B∪C=50-48=2。
故三门课程均未选的有2人。
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