2017-18全国卷高考真题 数学 不等式选修专题

2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题

1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分）

[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│.

（1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；

（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.

【答案解析】

解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12

x =

的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >⎧⎪=++-=-⎨⎪-<-⎩，，≤x ≤，，

当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++=

，解得x =()g x 在()1+∞，

上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥

解集为1⎛ ⎝⎦

． 当[]11x ∈-，

时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-，

时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥

解集1⎡-⎢⎣⎦

． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-，

恒成立． 即220x ax --≤在[]11-，

恒成立． 则只须()()2211201120

a a ⎧-⋅-⎪⎨----⎪⎩≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-，

．

2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分）

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知0a >，222ba b +==2.证明：

（1）()22()4a b a b ++≥；

（2）2a b +≤.

【答案解析】

3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分）

[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│.

（1）求不等式f （x ）≥1的解集；

（2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围.

【答案解析】

解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--⎧⎪=--<<⎨⎪⎩

x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得： ①当1-x ≤时显然不满足题意；

②当12x -<<时，211-x ≥，解得1x ≥；

③当2x ≥时，()31=f x ≥恒成立.综上，()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥.

(2)不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2-+f x x x m ≥，

令()()2g x f x x x =-+，则()g x m ≥解集非空只需要()max ⎡⎤⎣⎦g x m ≥.

而()2223,131,123,2⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩

x x x g x x x x x x x ≤≥. ①当1-x ≤时，()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦；

②当12x -<<时，()2max 3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭

； ③当2x ≥时，()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦.

综上，()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54

m ≤.

4.(2018全国卷I,文/理.23)（10分）

[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知()11f x x ax =+--．

（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；

（2）若()01x ∈，

时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．

【答案解析】

解：（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩

故不等式()1f x >的解集为1{|}2

x x >． （2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；

若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a

≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]．

5.(2018全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分）

[选修4－5：不等式选讲]（10分）

设函数()5|||2|f x x a x =-+--．

（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；

（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．

【答案解析】

解：（1）当1a =时，

24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩

可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤．

（2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．

而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．

6.(2018全国卷Ⅲ,文/理.23)（10分）

[选修4—5：不等式选讲]（10分）

设函数()211f x x x =++-．

（1）画出()y f x =的图像；

（2）当[)0x +∞∈，， ()f x ax b +≤，求a b +的最小值．

【答案解析】

解：

（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩

()y f x =的图像如图所示．

（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，

且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且

2b ≥时，()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立，

因此a b +的最小值为5．