正余弦定理的综合运用

1、学会利用正弦、余弦定理解决两类题型： （1） 判断三角形的形状； （2） 三角形中的求面积问题。 2、两种题型思路的共同点就是从“统一”着眼， 或统一转化为三角函数，作三角变换；
或统一转化为边，作代数变换。 3、解三角形中的求值题时还要注意综合运用 三角形的有关性质和三角公式进行变形。 4、本节课渗透的主要数学思想：
转换的思想和方程的思想
小题巧练
在ABC 中，解决下列问题
3 3 4 =＿＿＿
3 s (1) b 2, A 600 , C 750， 则a =＿＿＿， ABC
4 3 6 =＿＿＿， sABC =＿＿＿ (2) a 5, b 4, cos C ，则ｃ 5
(3) a 1, b 2, c
正弦定理、余弦定理
综合运用
1．在△ABC 中，边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、C，则有 A＋B π－C (1)A＋B＋C＝ π ， ＝ 2 2. 2 (2)sin(A＋B)＝ sin C ，cos(A＋B)＝－cos C ， tan(A＋B)＝－tan C . C A＋B A＋B sin C cos 2 (3)sin ＝ ，cos ＝ 2 2 2
(4) a
3 120 sABC =＿＿＿ 7，则Ｃ=＿＿＿， 2

0
3或5 sABC =＿＿＿ 8, b 7, B 60 ，则ｃ =＿＿＿，
6 3或 10 3
题型一:判断三角形形状
例、在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
且 sin A＝2sin Bcos C，试确定△ABC 的形状．
我来试试
根据下列条件,分别判断 ABC 的形状．
(1)
sin 2 A sin 2 B sin 2 C
a cos B b cos A
(2)
(3) a cos A b cos B
题型二、面积问题
例
一
3 变式1、△ABC的面积为 , 且b 2, c 3 求A。 2
3 3 → → (2)由BA· BC＝ 得ca· cos B＝ ， 2 2
3 由 cos B＝ ，可得 ca＝2，即 b2＝2. 4 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac· cos B，
得a2＋c2＝b2＋2ac· cos B＝5， ∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴a＋c＝3.
小结：
பைடு நூலகம்
.
2．正弦定理及其变形 a b c (1) ＝ ＝ ＝ . sin A sin B sin C 2R
2Rsin C . (2)a＝ 2Rsin A ，b＝2Rsin B ，c＝
b c a (3)sin A＝ 2R ，sin B＝ 2R ，sin C＝ 2R . (4)sin A∶sin B∶sin C＝ a∶b∶c .
我来试试
在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 3 2 b ＝ac 且 cos B＝ . 4 1 1 (1)求 ＋ 的值； tan A tan C 3 → → (2)设BA· BC＝ ，求 a＋c 的值． 2 3 3 7 2 解 (1)由cos B＝ ，得sin B＝ 1－ 4 ＝ . 4 4
2 2
2
求C角的大小。
解：由已知得
1 2ab cos C ab sin C 2 4
sin C cosC,即 tan C 1
C 45

题型三、关于三角形的综合问题
例、在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，
3 →· → ＝－21. cos B＝ ，且AB BC 5 (1)求△ABC 的面积； (2)若 a＝7，求角 C.
3．余弦定理及其推论
2 2 b ＋ c －2bccos A. (1)a ＝
2
b2＋c2－a2 (2)cos A＝ 2bc . 直角 ；c2>a2＋b2⇔C 为 (3)在△ABC 中， c2＝a2＋b2⇔C 为
钝角；c2<a2＋b2⇔C 为锐角 ． _____
4．三角形常用面积公式
1 (1)S＝ 2aha (ha 表示 a 边上的高)； 1 1 1 ac sin B ab sin C (2)S＝ 2 ＝ 2 ＝ 2bcsin A ；
3 sin A A 60 或120 2
1 变式2、在△ABC中，a 2, b 3,cos C , 3 求△ABC的面积。
S ABC 2 2
a b c 变式3、已知△ABC的面积 S 4
2 2
2
求C角的大小。
a b c 变式3、已知△ABC的面积 S 4
由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sin Asin C.
1 1 cos A cos C sin Ccos A＋cos Csin A 于是tan A＋tan C＝ sin A ＋ sin C ＝ sin Asin C
sinA＋C sin B 1 4 7 ＝ sin2B ＝sin2B＝sin B＝ 7 .