离散时间随机过程(第二讲2)

均值
X (n) X E{X (n)}
2 X 2 X 2
方差 (n) E{ X (n) X } 均方
D (n) D E{ X (n) }
2 X 2 X 2
自相关函数
*
rX (n1, n2 ) rX (m) E{ X (n) X (n m)} m n1 n2
N 1 * * rX (m) E{ X (n) X (n m)} lim x(n, i ) x (n m, i ) N N i 1
是对样本（随机变量）求和，不是对时间（随机信号）
13 各态遍历性含义

对一平稳随机信号 X(n) ，如果它的所有样本函数在某一固定
时刻的一阶、二阶统计特性和单一样本函数在长时间内的统
2 X 2

自协方差函数
cov X [n1 , n2 ] E[( X (n1 ) X (n1 ))( X (n2 ) X (n2 ))* ] 1 N lim [ x( n1, i) X ( n1)][ x( n2 , i) X ( n2 )]* N N i 1
过程的统计特性与起始时间无关，只取决于时间
差 t2 t1 。

离散平稳随机信号：一个离散时间信号X(n)，如果其
均值与时间n无关，其自相关函数 rX (n1, n2 ) 和 n1 、n2
的选取点无关，而仅和 n1 、n2 之差有关，那么，称
X(n)为宽平稳的随机信号，或广义平稳随机信号。
10 平稳随机信号的特征描述
, 构成一
个随机变量。若 x(n0 , i)随i的变化仍取连续值，那么 x(n0 , i) 是
7 随机信号的特征描述

均值 方差
1 N x (n) E{ X (n)} lim x(n, i) N N i 1
1 N 2 (n) E{ X (n) x (n) } lim x(n, i) x (n) N N i 1
14 各态遍历性随机信号数字特征

设x(n)是各态遍历信号X(n)的一个样本函数，对X(n)的数字特 征可以重新定义如下：
M 1 X E{ X (n)} lim x ( n) x M 2 M 1 n M
M 1 * rX (m) E{ X (n) X (n m)} lim x ( n ) x (n m) rx (m) M 2 M 1 n M *

互相关函数
N 1 rXY (n1 , n2 ) E{ X (n1 )Y * (n2 )} lim x(n1 , i ) y * (n2 , i ) N N i 1

互协方差函数
* E{ X (n1 )Y * (n2 )} X (n1 ) Y (n2 )
cov XY [n1, n2 ] E[( X (n1 ) X (n1 ))(Y (n2 ) Y (n2 ))* ]
2 X 2
1 N 2 均方值 D (n) E{ X (n) } lim x( n, i ) N N i 1 1 N * * r ( n , n ) E { X ( n ) X ( n )} lim x ( n , i ) x (n2 , i) 自相关函数 X 1 2 1 2 1 N N i 1
计特性一致，我们称X(n)为各态遍历信号。

其意义就是，单一样本函数随时间变化的过程可以包括该信 号所有样本函数的取值经历。也可理解为，用一个样本作出
的时间统计特性和用全体样本作出的集总统计特性是相同的；
或者说，只要测一次样本就可以代表无限次样本的随机特征
了。

为了简化问题，很多实际问题中的随机过程都可以近似看成 这一类。
随机信号X(t)是依赖于时间t的随机变量。这样，就可以用描述 随机变量的方法来描述随机信号。

对下图中的随机信号X(t)离散化，得到离散随机信号 X (nTs ) ，
简记为X (n)。对X(n)的每次实现记为 x(n, i), i 1,2, , N , N ， 显然，对某一固定时刻，如 n n0 时， x(n0 , i), i 1,2, 连续型随机变量，否则，为离散型随机变量。
p( x) dP( x)/ dx
E{X } xp( x)dx

x


均方值（二阶原点矩）D E{ X } x p( x)dx
2 2

2
方差（二阶中心矩） E{ X } x p( x)dx
2 2

2
协方差
cov[ X ,Y ] E[( X x )(Y y )* ] E{ XY *} E{ X }E{Y }*
- -


xy* p( x, y )dxdy x y*
3 随机变量举例－均匀分布

均匀分布的随机变量是一个随机试验结果“可能性 相等”情况下的理想模型，其概率密度p(x)和概率 分布函数P(x)为：
1/(b a) p ( x) 0
a xb 其他
0 xa x ( x a) P( x) p(v)dv a xb (b a) xb 1
*
cov XY (n1, n2 ) cov XY (m) E{[ X (n) X ][Y (n m) Y ]*}
12 平稳随机信号的各态遍历性 （各态历经的平稳随机过程）

一个随机信号X(n)，其均值、方差、均方 及自相关函数等，均是建立在集总平均的 意义上，如自相关函数
11 平稳随机信号的特征描述

自协方差ห้องสมุดไป่ตู้
cov X (n1, n2 ) cov X (m) E{[ X (n) X ][ X (n m) X ]*}

两个平稳随机信号X(n)、Y(n)的互相关函 数及互协方差函数可分别变为
rXY (n1, n2 ) rXY (m) E{X (n)Y (n m)} m n1 n2
6 随机信号与随机变量

x1 (t1 ), x2 (t1 ), , xN (t1 )是一个随机 对于一个特定的时刻，例如 t t1，
变量，相当于在某一时刻同时测量无限多个相同放大器的输出。

当 t ti 时， x1 (ti ), x2 (ti ), , xN (ti ) 也是一个随机变量。因此，一个

上面所述各式右边的求均值运算 E{*}体现了随机信 号的“集总平均”，该集总平均是由X(n)的无穷多 样本 x(n, i), i 1,2, 加来实现的。
, 在相应时刻对应相加或乘
9 平稳随机信号

平稳随机过程：指一个随机过程的统计特性不随时间 的推移而变化，即在 t1 到 t 2 时间段内的噪声统计特性 与 t1 到 t2 时间段内的噪声统计特性相同；随机
的放大器各作一次观察。这样，我们每一次观察都可以得到一个记录

如果把对放大器输出电压的观察看作一个随机试验，那么，
每一次记录就是该随机试验的一次实现，相应的结果 xi (t ) 就 是一个样本函数。所有样本函数的集合 xi (t ), i 1,2, , N , N 就构成了输出电压可能经历的整个过程，该集合就是一个随 机过程，也即随机信号，记为X(t)。
离散时间随机过程
第二讲
1 随机变量

由概率论可知，我们可以用一个随机变量X来描述 自然界中的随机事件，若X的取值是连续的，则X
为连续型随机变量，若X的取值是离散的，则X为
离散型随机变量。
2 随机变量的特征描述

概率分布函数 P( x) Pr obability( X x) p( x)dx 概率密度 均值
用中通常用下式获得对真值的估计。
1 () N () 2 N 1 n N
N

显然，高斯分布的随机变量概率密度函数完全由它
2 的平均值和方差来描述，它可用 N ( x , x ) 表示。
5 随机信号（随机过程）

在相同条件下独立地进行多次观察时，各次观测到的结果并不相同。为
了全面了解输出电压的噪声特征，从概念上讲，应该在相同的条件下， 独立地作尽可能多次的观察，这就如同在同一时刻，对尽可能多的同样

上面两式右边的计算都是使用单一样本函数x(n)来求出 x
和 rx (m)，因此称为“时间平均”。各态遍历信号，其一阶、二
阶的集总平均等于相应的时间平均，即 X x 、 rX (m) rx (m)
14 各态遍历性随机信号数字特征

在实际工作中不可能引用以上介绍的时间平均形式， 因为只有有限的样本数据可以获得。因此，在实际应

其均值和方差为 (a b) / 2 2 (b a)2 /12 。
4 随机变量举例－高斯分布

正态分布的随机变量也称高斯随机变量，是一个在 实际中应用非常广泛和方便的模型。其概率密度为：
1 x x 2 p ( x) exp[ ( ) ] 2 2 x 2 x 1