任意拉格朗日欧拉(ALE)理论基础
基于多物质ALE算法的TNT炸药爆炸数值模拟分析
基于多物质ALE算法的TNT炸药爆炸数值模拟分析作者：蔡晓虹来源：《建筑科技与经济》2017年第04期摘要：基于ANSYS/LS-DYNA动力非线性有限元程序，利用任意拉格朗日-欧拉（ALE）方法，以及多物质流固耦合方法对土壤爆炸荷载作用下进行了数值模拟研究，最终得出以下结论：TNT炸药爆炸后，形成球形冲击波阵面，并向外扩散，冲击波压强逐渐降低。
由下至上土壤各点的速度是逐渐增加的。
关键词：多物质ALE算法；ANSYS/LS-DYNA程序；TNT炸药；数值模拟；Based on the ALE algorithm TNT explosive substance，Numerical simulation analysisCai Xiao-hong（ Xi'an Shenzhou Aerospace Architectural Design Institute， 710025 ）Abstract： Based on the ANSYS/LS-DYNA dynamic nonlinear finite element program， using arbitrary Lagrange Euler （ ALE ） method，As well as the substance of fluid-solid coupling method on soil under explosive loading are studied by numerical simulation， reached the following conclusions： TNT after the explosion， the formation of spherical shock front， and spread outwards， shock wave pressure is reduced gradually. From the bottom of the soil at various points in the speed is gradually increased.Key words： multiple substance ALE algorithm； ANSYS/LS-DYNA； TNT explosive；numerical simulation；1.引言爆炸是能量短期内急剧释放的过程，具有短时高速高压的特点，在矿山爆破、金属爆炸成型、水下爆破排淤等军事与民用领域有着极为广泛的应用，研究结构在爆炸荷载作用下的动力响应，对于我国防护工程、爆破工程的发展具有十分重要的意义[1]。
任意拉格朗日-欧拉描述的薄平板大幅扭转振动气动特性研究
任意拉格朗日-欧拉描述的薄平板大幅扭转振动气动特性研究【摘要】本研究利用拉格朗日-欧拉描述，探究了薄平板大幅扭转振动的气动特性。
通过气动特性分析和实验方法与数据处理，揭示了振动特性的规律。
在数值模拟结果中发现，薄平板在气流中振动会产生复杂的气动力，进而影响其振动行为。
研究结果表明，振动幅度和频率受到气动力的显著影响。
结论部分总结了本研究的主要发现，并展望了未来进一步研究的方向。
本研究对于深入理解薄平板在气流中的振动特性具有一定的理论和实用价值。
【关键词】薄平板、大幅扭转振动、拉格朗日-欧拉描述、气动特性、实验方法、数据处理、振动特性、数值模拟、研究结论、研究展望1. 引言1.1 研究背景薄平板大幅扭转振动是一种在空气动力学和结构动力学领域中具有重要应用价值的现象。
在空气动力学研究中，薄平板大幅扭转振动现象对于飞机、桥梁等结构的稳定性和气动特性有着重要的影响。
而在结构动力学研究中，薄平板大幅扭转振动也被广泛应用于振动传感器和振动控制系统中。
随着科学技术的不断发展，人们对薄平板大幅扭转振动的研究越来越深入。
目前对于薄平板大幅扭转振动的拉格朗日-欧拉描述和气动特性分析还存在许多问题有待解决。
进一步深入研究薄平板大幅扭转振动的拉格朗日-欧拉描述和气动特性分析，对于提高飞机和其他结构系统的性能具有重要意义。
本研究旨在通过实验方法和数值模拟相结合的方式，深入探讨薄平板大幅扭转振动的气动特性，为相关领域的研究提供新的理论和实验基础。
1.2 研究目的研究目的是为了探究薄平板大幅扭转振动对气动特性的影响，以及寻求优化振动控制方案。
通过拉格朗日-欧拉描述，我们可以更准确地描述平板的振动情况，并深入分析振动与气动之间的相互作用。
这项研究旨在揭示薄平板大幅扭转振动对气动力的动态影响机制，为改进薄平板结构设计和振动控制提供科学依据。
通过实验方法和数据处理的深入探讨，我们将全面了解薄平板振动的特性及其对气动性能的影响规律，为未来的数值模拟和优化设计提供可靠的基础。
欧拉拉格朗日定理
欧拉拉格朗日定理欧拉拉格朗日定理，又称欧拉素性定理，是 18级德国数学家莱布尼兹于1736年提出的定理，它给出了任何满足欧拉素性的恒定正整数n的分解成素数乘积的具体方法。
欧拉拉格朗日定理的历史和解释，以及它的重要性，都被广泛认为是数学计算的一个重要基础。
欧拉（Leonhard Euler, 1707-1783）是一位著名的数学家和物理学家，也是现代数学的开创者之一。
欧拉拉格朗日定理的发现是欧拉在1736年提出的，当时他正在研究一种称为“欧拉素性”的数学属性。
欧拉素性是指一个正整数，被其本身和1以外所有质数整除，但不能被任何非质数整除。
也就是说，如果一个正整数满足欧拉素性，那么它可以分解成质数的乘积。
欧拉拉格朗日定理的一般形式是这样的：若n是一个正整数，且n满足欧拉素性，则n可以分解成一系列形如p1^k1*p2^k2*……*pn^kn (其中pi是素数，而ki是正整数)的乘积。
这个定理也可以表示为n=p1^k1*p2^k2*……*pn^kn，这表明任何满足欧拉素性的数都可以分解为可能的素数乘积。
由于欧拉拉格朗日定理完全描述了正整数的分解，因此它是解决数学问题和求解数学模型的基础。
比如，如果要解决欧拉函数的值，需要首先利用欧拉拉格朗日定理将欧拉函数的值分解成质数的乘积，然后再计算乘积的值，从而计算出欧拉函数的值。
此外，欧拉拉格朗日定理还可以用来解决一般多元函数求值问题，如多项式求值问题。
由于多项式求值是多元函数求值的特殊情况，可以利用欧拉拉格朗日定理将多项式展开成质因数乘积，然后利用质因数乘积的素数乘积定理来计算多项式结果。
欧拉拉格朗日定理也被应用于计算机科学，如加密技术和求解大数的算法，它也是计算机算法的基础。
当用欧拉拉格朗日定理计算欧拉函数时，需要使用数论算法。
欧拉拉格朗日定理需要用到多项式算法，最常用的是因式分解算法，它能够将欧拉函数分解为素数的乘积。
利用这种算法，可以得出欧拉函数的准确值。
总的来说，欧拉拉格朗日定理是一个非常重要的数学定理，它给出了一种分解满足欧拉素性的数字的有效方法，它也在许多不同的领域中发挥着重要的作。
任意拉格朗日欧拉算法 -回复
任意拉格朗日欧拉算法-回复拉格朗日欧拉算法（Lagrange-Euler algorithm）是一种经典的数学方法，常用于解决变分计算和极值问题。
它以18世纪的两位数学家约瑟夫·路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）和伦纳德·欧拉（Leonhard Euler）的名字命名。
本文将逐步介绍拉格朗日欧拉算法的概念、应用及其算法步骤。
拉格朗日欧拉算法最早应用于力学领域，用于确定质点在给定时间下的最优轨迹。
它基于变分理论，研究函数的变化及其可能的极值。
为了理解拉格朗日欧拉算法，首先需要了解变分计算的基本概念。
在数学中，变分计算涉及找到能使某一泛函取得极值的函数。
我们首先考虑一个简单的例子。
假设我们要求一个函数使得其在给定区间上的积分反映了最大值。
我们可以定义这个问题的泛函为：\[ J(y) = \int_{a}^{b}F(x,y,y')dx \]其中，y(x)是我们要找的函数，y'是y(x)的导数。
F(x,y,y')是一个与y和y'有关的函数。
首先，我们需要定义一个测试函数v(x) ，使得在求解问题时将差异项加入到泛函中。
因此我们可以写出如下的变分问题：\[ J(y + \epsilon v) = \int_{a}^{b} F(x,y + \epsilon v, (y + \epsilon v)')dx \]其中，\epsilon 是一个无穷小的增量。
接下来，我们需要将这个泛函进行展开。
应用泰勒展开，我们有：\[ J(y + \epsilon v) = J(y) + \epsilon \frac{dJ}{d\epsilon} v +O(\epsilon^2) \]展开泛函后，我们可以将其作为一个函数来处理。
下一步是计算\frac{dJ}{d\epsilon}。
考虑到在\epsilon=0的点处，J(y + \epsilon v)是一个极值，那么\frac{dJ}{d\epsilon}必然为零。
任意拉格朗日—欧拉方法及其在二维数值计算中的初步应用
应用ＨＥＰＡＬＥ程序对平面碰撞、铜棒碰撞刚性壁（Ｔａｙｌｏｒ杆问题）、爆轰波的 传播、炸药驱动金属平板和柱壳进行了数值模拟，并与有关理论解析结果或者实 验结果以及ＬＳ．ＤＹＮＡ程序、Ｌａｇｒａｎｇｅ程序的计算结果进行了比较，符合程度较 好。表明本文的计算方法和程序能够用于爆炸力学诸多有关问题的数值计算。与 纯Ｌａｇｒａｎｇｅ程序计算的结果相比较，ＡＬＥ方法在处理大变形问题时有较明显的 优势。
ｍａｉｎｔａｉｎｅｄ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃｅｌｌｓ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｍａｔｅｒｉａｌ．），ｔｈｅ ｌｉｎｅ ｌｏｏｐ ｉｎｔｅｇｒａｌ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅ ｉＳ ｄｅｒｉｖｅｄ ｗｈｉｃｈ ｃａｒｌ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｅｌａｓｔｉｃ—ｐｌａｓｔｉｃ ｆｌｏｗ．Ｔｈｅ ｇｒｉｄ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｂｏｔｈ ｏｆ ＳＯ－ｃａｌｌｅｄ Ｌａｐｌａｃｅ ａｎｄ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ，ａｎｄ ｒｅｚｏｎｅ ｉｓ ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ ｄｏｎｅ．Ｔｈｅ ｒｅｍａｐ ｏｆ ｓｔａｔｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｉｓ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｂｏｔｈ ｏｆ ｄｏｎｏｒ ｃｅｌｌ ａｎｄ ｌｉｎｅａｒ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ．
ａｄｖａｎｔａｇｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｐｕｒｅ Ｌａｇｒａｎｇｅ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｓｉｍｕｌａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ．
任意拉格朗日欧拉法 有限元法
任意拉格朗日欧拉法有限元法
拉格朗日欧拉法有限元法是数学中非常重要的两个方法，这种
方法在很多科学领域都有重要应用，比如正求解物理方程的有限元分
析中、分析根据拉格朗日原理和欧拉原理中相对部分的真空和介质光
速变化方案的光学方法中。
下面将进一步介绍它们的详细内容。
拉格朗日原理利用的是广义坐标和动力学方程来描述一个系统在
它运动过程中的方式。
当一个系统的作用力和位移满足拉格朗日原理时，我们可以用欧拉-拉格朗日方程求出系统运动规律。
它的一个重要
应用是在机械系统中，例如机械臂、摆杆等。
在这些系统中，我们可
以通过这个方法识别它们的运动方式，这个方法被广泛的应用于机械
工程中，可以在设计机械的过程中起到重要的作用。
欧拉原理描述的是在任意元素中的弹性材料应变变化的规律性。
通过欧拉原理和方程我们可以得出一个完整的材料应力和变化的方式。
欧拉原理的一个典型应用在于材料学和力学中，可以描述在极其高压
条件下的金属和塑料材料产生的应变和弹簧常数等。
另一方面，有限元法在物理学和工程技术中非常常用，主要用于
分析复杂问题中的边界问题，比如房间的隔音，桥梁的设计。
这种技
术以小组件为单位，实际模拟整个结构系统，通过计算每个小组件与
其他小组件的相互作用，最终得到整个结构的性能。
总的来说，拉格朗日欧拉法和有限元法是数学和物理领域两个非
常重要的方法，他们在不同科学领域都有非常广泛的应用，为设计和
研究提供了重要的方法和手段，他们都是建立在强大的数学原理之上的。
拉格朗日,欧拉,ALE网格解释
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7 o1 N9 e, b0 RALE、Lagrange、Euler是数值模拟中处理连续体的广泛应用的三种方法。
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* z% ^7 N, r$ GLagrange方法多用于固体结构的应力应变分析，这种方法以物质坐标为基础，其所描述的网格单元将以类似“雕刻”的方式划分在用于分析的结构上，即是说采用Lagrange方法描述的网格和分析的结构是一体的，有限元节点即为物质点。采用这种方法时，分析结构的形状的变化和有限单元网格的变化完全是一致的（因为有限元节点就为物质点），物质不会在单元与单元之间发生流动。这种方法主要的优点是能够非常精确的描述结构边界的运动，但当处理大变形问题时，由于算法本身特点的限制，将会出现严重的网格畸变现象，因此不利于计算的进行。
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Euler方法以空间坐标为基础，使用这种方法划分的网格和所分析的物质结构是相互独立的，网格在整个分析过程中始终程始终是不变的。很显然由于算法自身的特点，网格的大小形状和空间位置不变，因此在整个数值模拟过程中，各个迭代过程中计算数值的精度是不变的。但这种方法在物质边界的捕捉上是困难的。多用于流体的分析中。使用这种方法时网格与网格之间物质是可以流动的。
/ q# @ }) Y0 {) s/ M6 kALE方法最初出现于数值模拟流体动力学问题的有限差分方法中。这种方法兼具Lagrange方法和Euler方法二者的特长，即首先在结构边界运动的处理上它引进了Larange方法的特点，因此能够有效的跟踪物质结构边界的运动；其次在内部网格的划分上，它吸收了Euler的长处，即是使内部网格单元独立于物质实体而存在，但它又不完全和Euler网格相同，网格可以根据定义的参数在求解过程中适当调整位置，使得网格不致出现严重的畸变。这种方法在分析大变形问题时是非常有利的。使用这种方法时网格与网格之间物质也是可以流动的。
abaqus的ALE使用方法
abaqus的ALE使用方法ALE是指ArbitraryLagrangian-Eulerian（任意拉格朗日-欧拉）方法，是一种用于模拟流体-结构相互作用（FSI）问题的数值方法。
ABAQUS是一种常用的有限元分析软件，它提供了ALE方法的实现。
以下是ABAQUS的ALE使用方法：1.选择适当的元素类型在ABAQUS中，有限元的元素类型与所研究的问题有关。
在使用ALE方法时，需要选择适当的元素类型。
通常，ABAQUS中的C3D10M元素和C3D8M元素是最常用的元素类型。
2.定义ALE区域定义一个ALE区域，使得在这个区域内的物体可以随着时间移动。
在ABAQUS中，可以使用“ALE mesh”来定义一个ALE区域。
ALE网格是一种特殊的有限元网格，它可以随着时间变化而变形。
3.定义初始和边界条件在使用ALE方法时，需要定义物体的初始和边界条件。
这些条件可以包括物体的初速度、初位置以及受力情况等。
在ABAQUS中，可以使用“Initial conditions”和“Boundary conditions”来定义这些条件。
4.选择适当的求解器在ABAQUS中，有许多求解器可供选择。
对于ALE问题，一般使用“implicit”或“explicit”求解器。
在选择求解器时，需要考虑到模拟的时间尺度、模拟的物理过程以及计算机性能等因素。
5.运行模拟在定义好ALE区域、初始和边界条件，并选择好求解器后，就可以运行模拟了。
在模拟过程中，需要监控物体的变形和运动情况，并根据需要调整模拟参数，以获得合适的模拟结果。
综上所述，以上是ABAQUS的ALE使用方法。
对于复杂的流体-结构相互作用问题，ALE方法具有一定的优势，可提供更加准确的模拟结果。
欧拉拉格朗日方程小时百科
欧拉-拉格朗日方程什么是欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange equation）是经典力学中的一个重要定律，用于描述质点或系统在势能场中的运动。
它由瑞士数学家欧拉和法国数学家拉格朗日在18世纪中叶独立提出，并成为经典力学的基础之一。
欧拉-拉格朗日方程可以从变分原理（principle of least action）推导而来，该原理认为自然界中的运动路径是使作用量（action）取极小值的路径。
作用量定义为质点或系统在一段时间内所受到的所有力所做的功之和。
欧拉-拉格朗日方程的表达式对于一个质点或系统，在广义坐标q i和广义速度q̇i下，其动能T和势能V可以表示为：T=T(q1,q2,…,q n,q̇1,q̇2,…,q̇n)V=V(q1,q2,…,q n)其中n表示系统自由度的数量。
根据变分原理，作用量可以表示为：S=∫Lt2t1(q1,q2,…,q n,q̇1,q̇2,…,q̇n)dt其中L=T−V称为拉格朗日函数（Lagrangian），它是动能和势能的差。
欧拉-拉格朗日方程可以通过对作用量进行变分，使其取极值，得到：∂L ∂q i −ddt(∂L∂q̇i)=0对于每一个广义坐标q i，都有一个对应的欧拉-拉格朗日方程。
这些方程描述了系统在广义坐标和时间上的运动规律。
欧拉-拉格朗日方程的意义与应用欧拉-拉格朗日方程是经典力学的重要工具，它具有以下几个重要意义和应用：1. 简化运动方程相比于牛顿力学中的运动方程，欧拉-拉格朗日方程更加简洁、优雅，并且适用于复杂系统。
通过引入广义坐标和广义速度，可以将系统的自由度从直角坐标系中解放出来，从而简化了运动方程的表达。
2. 描述约束系统在经典力学中，约束系统是指由于各种限制条件而使得系统自由度减少的情况。
欧拉-拉格朗日方程可以很好地描述约束系统的运动，通过引入拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）来处理约束条件。
任意拉格朗日欧拉方法
任意拉格朗日欧拉方法拉格朗日欧拉方法（Lagrange-Euler method）是数学中的一种重要的微积分方法。
它被广泛应用于物理学、工程学、控制论、经济学等学科中，用于求解一类特殊的微分方程。
任意拉格朗日欧拉方法（Arbitrary Lagrange-Euler method）是拉格朗日欧拉方法的一种扩展，它可以用于求解更为复杂的微分方程，也可以处理更为复杂的分析问题。
在本文中，我们将介绍这种方法的基本原理，并通过一个实例来展示它的应用。
第一步：构建能量函数任意拉格朗日欧拉方法的第一步是构建能量函数（Energy function）。
能量函数是一个与系统状态变量相关的函数，通常用于描述系统中的物理特性。
根据能量守恒定律，能量函数在系统运动中保持不变，因此我们可以将它作为分析系统的基础。
以一个自由落体为例，我们可以用如下的公式来表示它的能量函数：$E = mgz + \frac{1}{2}mv^2$其中，m代表物体的质量，g代表重力加速度，z表示物体的高度，v表示物体的速度。
这个式子的意义是，物体在不受任何力作用的情况下，它的能量等于动能加势能。
在这个例子中，势能是由物体在高度z 处所受的重力引起的，动能则是由物体的速度所贡献的。
第二步：构建拉格朗日方程任意拉格朗日欧拉方法的第二步是构建拉格朗日方程（Lagrange equation）。
拉格朗日方程是用于描述系统运动的方程，它可以从能量函数中推导出来。
在我们的例子中，拉格朗日方程可以表示为：$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{z}} -\frac{\partial L}{\partial z} = 0$其中，L表示拉格朗日函数（Lagrangian function），它可以从能量函数中通过如下方式推导得到：$L = \frac{1}{2}mv^2 - mgz$这个式子的意义是，拉格朗日函数代表着系统的运动状态，它是由动能与势能之间的差值所确定的。
ALE耦合方式及数值计算方法
ALE耦合方式及数值计算方法1 ALE简介在流体计算中，通常的数值计算方法为有限差分法和有限体积法。
按采用的坐标系，可以分为拉格朗日方法（Lagrangian方法）和欧拉方法（Eulerian方法）两大类。
拉格朗日方法是把坐标系固定在物质上或随物质一起运动和变形，处理自由表面和物质界面是直观而简单的，同时，由于一个网格或单元始终对应于一块物质团，因此能较准确的描述不同材料的不同应力方程，允许对不同部分的材料采用不同的本构方程，这是拉格朗日方法的优点。
拉格朗日坐标系中的流体力学方程的形式比较简单，不出现输运项，因而容易建立精确度较高而又稳定的格式。
但对于大变形的物质，网格会发生扭曲、畸变，这样会导致计算的不稳定。
欧拉方法坐标是固定的空间坐标系，Eulerian网格是不变形的，自然不会出现网格相交的问题，物质通过网格边界流进流出，物质的变形不直接影响时间步长的计算，适合计算变形严重的问题。
但是当系统中包含多种介质从而有多个界面的时候，Eulerian方法就碰到了困难。
这时一定会出现所谓的混合网格，即一个网格中同时含有两种或几种物质。
如何描述界面，计算混合网格中的各物理量和它们与周围网格的输运量，是Eulerian方法发展的主要方向之一。
Lagrangian方法和Eulerian方法都有很多缺点，为了弥补它们的不足，1974年，Hirt，Amsden，提出了任意拉格朗日－欧拉（ArbitraryLagrangian-Eulerian，以下简称ALE方法）。
就是我们下面所要谈到的方法。
2 ALE方法研究现状因为Lagrangian方法和Eulerian方法各有其优缺点，所以逐步发展了一些Lagrangian方法和Eulerian方法相结合的方法。
如在Lagrangian方法中引入Eulerian方法，如前面提到的重新划分网格技术；在Eulerian方法中引进Lagrangian方法，如质点网格法(PIC)、体平均多流管法等。
拉格朗日原理
拉格朗日原理可以总结为：在所有可能的轨迹中，物体运动的真实轨迹使得作用量 S 取得最小值。
拉格朗日原理的基本原理包括以下几个方面：
1. 广义坐标与拉格朗日函数
在拉格朗日力学中，为了简化问题和描述系统的微观行为，通常采用广义坐标来描述系统的运动状态。广义坐标是一组与系统的自由度相对应的坐标，它们可以完整地描述系统的位置和运动状态。
拉格朗日方程的应用非常广泛，包括刚体运动、振动系统、流体力学、电磁学等方面。它为研究和解决各种力学问题提供了一种统一而强大的数学工具。
拉格朗日力学具有较高的自然和数学美，它克服了牛顿力学的一些固有缺陷，提供了一种更加简洁、统一的描述物体运动的方法。拉格朗日原理的应用已经深入到物理学的各个领域，并对现代科学的发展产生了重大影响。
约束是指系统在运动过程中所受到的限制，例如硬约束（如杆的长度不变），软约束（如弹簧的拉伸长度受限制）等。约束对虚位移的大小和方向有一定的限制。
3. 动力学方程
拉格朗日力学中的动力学方程是描述系统运动的基本方程，通过该方程可以求解系统的运动轨迹。
根据拉格朗日原理，系统的真实轨迹使得作用量 S 最小。作用量由广义坐标和广义速度的积分路径 L 决定。通过对作用量求取极值的条件可以推导出系统的动力学方程，即欧拉-拉格朗日方程。对于具有 n 个自由度的系统，其动力学方程为：
d/dt (∂L/∂q̇i) - ∂L/∂qi = 0, i = 1, 2, ..., n
其中 L 是拉格朗日函数，q 是广义坐标，q̇ 是广义速度。这组方程描述了系统运动的特征和规律。
4. 拉格朗日方程的应用
拉格朗日方程是解决多个自由度力学问题的一种有效方法。通过将问题转化为寻找使作用量最小的轨迹所满足的动力学方程，可以在最小的计算量下得到系统的运动规律。
1.2欧拉和拉格朗日描述
§1.2 描述流体运动的方法
二、欧拉方法和随体导数
1、欧拉方法
•着眼于流场——流动空间。
描述任意时刻流动空间中各物理量的分布。
•将物理量表示为空间位置和时间的函数。
场点位置坐标称为欧拉变数。
e.g.，速度场：直角坐标系下：•定常流动&非定常流动
•其他物理量场：•两种方法比较：前者便于追踪，后者便于数学处理（场论）
(,)
V V r t =
(,,,)V V x y z t =
(,)(,)(,)a a r t r t p p r t ρρ===
，，等
例1.2 圆桶内流体绕轴线以等角速旋转，
(1)以欧拉方法表述流体运动的速度和加速度；(2)以拉格朗日方法表述流体质点的运动方程、速度和加速度；
解：选取柱坐标系。
1）V r r e θωω=⨯= ，2a r ω=-
2）运动方程：000
, , r r t z z θθω==+=其中()000, , r z θ为质点初始坐标。
非定长流动轨迹
4、其它相关概念
1）脉线（条纹线）：不同时刻经过同一给定场点的流体质点的
连线。
2）流面和流管：在流场中取一段曲线（或一条闭合曲线）, 经过其上各点的流线组成流面（或
流管）。
* 瞬时性
* 流线不能与流面相交或穿出、
穿入流管
例如：水管
3）时间线。
任意拉格朗日欧拉算法
任意拉格朗日欧拉算法是一种数值分析方法，用于求解常微分方程初值问题。
该算法由拉格朗日和欧拉两种方法组合而成，兼具两者的优点。
拉格朗日方法从问题的初始状态出发，逐步逼近问题的解。
它通过构造一个能量函数来描述系统的物理特性，并利用能量守恒定律来分析系统的运动过程。
在拉格朗日方法中，我们需要构建拉格朗日方程，该方程描述了系统状态变量的变化规律。
欧拉方法则从问题的已知解出发，逐步逼近问题的解。
它通过构造一个加速度函数来描述系统的物理特性，并利用牛顿第二定律来分析系统的运动过程。
在欧拉方法中，我们需要构建欧拉方程，该方程描述了系统状态变量的变化规律。
任意拉格朗日欧拉算法则是将这两种方法结合起来，先利用拉格朗日方法求解出初始状态，再利用欧拉方法逐步逼近问题的解。
通过这种组合方式，任意拉格朗日欧拉算法可以更加高效地求解常微分方程初值问题。
在任意拉格朗日欧拉算法中，需要构建一个能量函数和一个加速度函数。
这两个函数通常需要依据具体的物理问题进行设计。
在实际应用中，可以根据具体问题的特点和要求，选择不同的
函数形式和参数设置，以达到最佳的求解效果。
拉格朗日法与欧拉法
描述流体运动（连续介质变形）的两种方法
拉格朗日法是以研究单个流体质点运动过程作为基础，综合所有质点的运动，构成整个流体的运动。
以某一起始时刻每个质点的坐标位置（a、b、c），作为该质点的标志。
任何时刻任意质点在空间的位置(x、y、z)都可以看成是（a、b、c）和t
的函数
拉格朗日法基本特点: 追踪流体质点的运动
优点: 可直接运用固体力学中质点动力学进行分析
在涉及几何非线性问题的有限单元法中，通常都采用增量分析方法，它基本上可以采用两种不同的表达格式。
第一种格式中所有静力学和运动学变量总是参考于初始位形，即在整个分析过程中参考位形保持不变，这种格式称为完全的Lagrange格式。
另一种格式中所有静力学和运动学的变量参考于每一载荷或时间步长开始时的位形即在分析过程中参考位形是不断被更新的，这种格式称为更新的Lagrange格式。
欧拉法是以流体质点流经流场中各空间点的运动即以流场作为描述对象研究流动的方法。
——流场法
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动液体质点的空间——流场为对象。
研究各时刻质点在流场中的变化规律。
将个别流体质点运动过程置之不理，而固守于流场各空间点。
通过观察在流动空间中的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
》》》》》》》》》》》》》》》》》》》
几何非线性问题塑性变形——拉格朗日法。
任意拉格朗日欧拉(ALE)理论基础
暨两岸船舶与海洋工程水动力学研讨会文集拉格朗日、欧拉和任意拉格朗日-欧拉描述的有限元分析孙江龙1杨文玉2 杨侠3（1 华中科技大学船舶与海洋工程学院，武汉 430074；2 华中科技大学机械科学与工程学院，武汉 430074；3 武汉工程大学机电工程学院，武汉 430073）摘要：对拉格朗日、欧拉和任意拉格朗日–欧拉三种描述方法进行了分析，为了便于理解给出了三种描述的参考构形和参考坐标系，在参考坐标系下根据物质导数的定义分别得到相应的速度和加速度，并进行比较，将三种描述方法的区别列于表中，清晰地阐述了三种描述之间的相互关系，并进行了有限元分析。
关键词：拉格朗日;欧拉;任意拉格朗日–欧拉;有限元法1 引言自由液面大晃动引起的强非线性往往给问题的求解造成很大困难，对大晃动问题进行数值模拟，要先解决描述方法的选择问题。
过去通常采用欧拉法[1-3]和拉格朗日法[4-5]来描述非定常自由面流体流动，它们有着各自的优势和局限性。
采用固定网格的欧拉描述，整个计算过程中计算网格始终保持初始状态，从而可以描述流体质点运动的急剧变化，如碎波等现象。
欧拉描述虽然可以有效地分析整个流场内部的运动，但很难精确跟踪流体的自由液面，即很难给出准确的自由面形状和位置。
在拉格朗日描述中，网格结点与流体质点在整个运动过程中始终保持重合，流体质点与网格结点之间不存在相对运动，因此很容易跟踪自由液面，适用于线性小晃动问题。
这不仅大大地简化了控制方程地求解，而且还能有效地跟踪流体质点的运动轨迹，准确地描述波动的自由液面。
但是，在涉及求解带自由面流体大幅运动时，此时的晃动已经具有很强的非线性特征，如果还采用拉格朗日描述，由于流体质点运动的急剧变化，将导致计算网格的扭曲，会面临网格奇异问题，从而使计算无法继续进行。
拉格朗日描述和欧拉描述虽有各自的优点，但也存在较大的缺陷，如果将它们有机地结合在一起，充分利用各自的优点并克服其缺点，则可以解决各自都难于解决的问题，任意拉格朗日–欧拉描述[6－7]（ALE）方法就是基于该思路提出的。
拉格朗日运动学法和欧拉法
拉格朗日运动学法和欧拉法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：拉格朗日运动学法和欧拉法是在物理学中常用的两种解决运动学问题的方法。
它们分别以法国数学家拉格朗日和瑞士数学家欧拉的名字命名，是经典力学中的两种重要技术方法。
首先来介绍一下拉格朗日运动学法。
拉格朗日运动学法是以拉格朗日力学为基础的一种运动学方法，它是一种基于能量的方法，用于描述系统的运动。
在拉格朗日力学中，系统的运动由广义坐标q和广义速度\dot{q}描述，其中q是系统的广义坐标，\dot{q}是广义坐标对时间的导数。
在使用拉格朗日运动学法求解物体的运动时，我们需要先写出系统的拉格朗日函数，通常用L表示。
拉格朗日函数是系统的动能T和势能V的差值，即L=T-V。
然后，我们可以得到系统的拉格朗日方程，即拉格朗日方程为\frac{d}{dt}(\frac{\partialL}{\partial\dot{q}})-\frac{\partial L}{\partial q}=0，其中\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}表示拉格朗日函数对广义速度的偏导数。
通过求解拉格朗日方程，我们可以得到系统中每个物体的运动方程，并得到物体的轨迹。
拉格朗日运动学法不仅能够描述质点的运动，还可以描述刚体的运动，对于复杂系统的分析具有重要意义。
而欧拉法是一种基于牛顿第二定律的运动学方法。
在欧拉法中，我们将系统的运动描述为物体的加速度与外力之间的关系。
根据牛顿第二定律F=ma，我们可以得到物体的加速度a与外力F之间的关系。
在使用欧拉法解决物体的运动问题时，我们需要确定系统中每个物体的受力情况，并建立物体的受力平衡方程。
然后，我们可以根据牛顿第二定律得到物体的加速度a，并利用积分求解得到物体的速度和位移。
与拉格朗日运动学法相比，欧拉法更加直观和易于理解，适用于描述一些力学问题。
对于复杂系统的分析，欧拉法可能并不适用，因为系统中的受力很难确定。
ALE方法的理论基础
ALE方法理论基础2008-12-24 14:25一、基本控制方程ALE算法的控制方程可以由下列守恒方程给定：1、质量守恒方程。
2、动量守恒方程。
控制固定域上的牛顿流体流动问题的增强形式由控制方程和对应的初始边界条件组成，控制流体问题的方程是Navier-Stokes方程的ALE描述，其中Wi是物质速度v与网格速度u之差，称为相对速度。
3、能量守恒方程。
推导欧拉方程是基于这样的假设：参照构形的速度为零以及物质和参照构形两者的相对速度为物质速度。
动量守恒方程中相对速度项通常称为对流项，用于计算物质通过网格的输运量，正是由于方程中的附加项才导致用数值方法求解ALE方程要比拉格朗日方程求解困难的多，这是因为拉格朗日方法中相对速度为零。
求解ALE方程有两种途径，他们相当于流体力学中实现欧拉观点的两种方法。
第一种方法为计算流体力学求解全耦合方程，该方法只能控制单个单元中的单一物质。
另一种方法称为算子分离算法，每一个时间步上的计算被划分为两个阶段。
首先执行拉格朗日过程，此时网格随物质运动。
该过程中，计算速度及由内外力引起的内能变化量，平衡方程为计算的拉格朗日过程，由于没有物质流经单元边界，所以质量自动保持守恒。
计算的第二阶段，即对流项，对穿过单元边界的质量输运、内能和动量进行计算，这可以认为是将拉格朗日过程的位移网格重映射回其初始位置或任意位置。
根据Benson对上述平衡方程的离散话观点，采用单点积分就够了。
沙漏粘度用于控制网格的零能模式，带线性和二次项的冲击粘度则用于求解冲击波，在能量方程（平衡方程中的第二个防程）中增加了压力项。
采用中心差分法按时间递增进行求解，此中心差分法采用时间显式法，提供二阶时间精度。
二、时间积分LS-DYNA中的数值处理器采用中心差分法及时更新网格位置，欧拉算法要求有稳定的时间步长dt<dx/(c+u)，其中dx是单元特征长度、c为材料声速、u是质点速度。
对于固体物质而言，材料声速可表达为式中ρ为材料密度，G为剪切模量，P(ρ,e)为状态方程压力。
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暨两岸船舶与海洋工程水动力学研讨会文集拉格朗日、欧拉和任意拉格朗日-欧拉描述的有限元分析孙江龙1杨文玉2 杨侠3（1 华中科技大学船舶与海洋工程学院，武汉 430074；2 华中科技大学机械科学与工程学院，武汉 430074；3 武汉工程大学机电工程学院，武汉 430073）摘要：对拉格朗日、欧拉和任意拉格朗日–欧拉三种描述方法进行了分析，为了便于理解给出了三种描述的参考构形和参考坐标系，在参考坐标系下根据物质导数的定义分别得到相应的速度和加速度，并进行比较，将三种描述方法的区别列于表中，清晰地阐述了三种描述之间的相互关系，并进行了有限元分析。
关键词：拉格朗日;欧拉;任意拉格朗日–欧拉;有限元法1 引言自由液面大晃动引起的强非线性往往给问题的求解造成很大困难，对大晃动问题进行数值模拟，要先解决描述方法的选择问题。
过去通常采用欧拉法[1-3]和拉格朗日法[4-5]来描述非定常自由面流体流动，它们有着各自的优势和局限性。
采用固定网格的欧拉描述，整个计算过程中计算网格始终保持初始状态，从而可以描述流体质点运动的急剧变化，如碎波等现象。
欧拉描述虽然可以有效地分析整个流场内部的运动，但很难精确跟踪流体的自由液面，即很难给出准确的自由面形状和位置。
在拉格朗日描述中，网格结点与流体质点在整个运动过程中始终保持重合，流体质点与网格结点之间不存在相对运动，因此很容易跟踪自由液面，适用于线性小晃动问题。
这不仅大大地简化了控制方程地求解，而且还能有效地跟踪流体质点的运动轨迹，准确地描述波动的自由液面。
但是，在涉及求解带自由面流体大幅运动时，此时的晃动已经具有很强的非线性特征，如果还采用拉格朗日描述，由于流体质点运动的急剧变化，将导致计算网格的扭曲，会面临网格奇异问题，从而使计算无法继续进行。
拉格朗日描述和欧拉描述虽有各自的优点，但也存在较大的缺陷，如果将它们有机地结合在一起，充分利用各自的优点并克服其缺点，则可以解决各自都难于解决的问题，任意拉格朗日–欧拉描述[6－7]（ALE）方法就是基于该思路提出的。
在任意拉格朗日–欧拉描述中，网格结点的运动方式比较灵活，网格结点可以跟随流体质点一起运动，也可以固定不变，甚至可以采用网格结点在一个方向上固定而在其他方向上随流体质点一起运动等方式。
为了更加清晰地理解这三种描述方法，本研究从以下几个方面进行阐述和比较。
- 164 -暨两岸船舶与海洋工程水动力学研讨会文集- 165 -2 坐标系如图1所示，将连续介质在初始t 0时刻的形状称为初始构形，记为XΩv ，并引入拉格朗日坐标系（运动坐标系）123OX X X ，则在该参考系下物质点P 的位置矢量可表示为123(),,X X X X =v，坐标(123),,i X i =称为物质坐标，表示物质点P 在物质坐标系中的初始位置。
将连续介质在现时t 时刻的形状称为现时构形，记为x Ωv ，并引入欧拉坐标系（空间坐标系）ox x x 123，则在该参考系下，物质点P 位于p 处，其位置矢量可表示为),,(321x x x x =ϖ，坐标)3,2,1(=i x i 称为空间坐标，表示物质点P 在空间坐标系中的现时位置。
最后任意选择一个独立于初始构形和现时构形的任意构形，记为χΩv ，并引入任意拉格朗日-欧拉坐标系（任意坐标系）o χχχ123，则在该参考系下，物质点P 位于q 处，其位置矢量可表示为),,(321χχχχ=ϖ，坐标123(),,i i χ=称为任意坐标，表示物质点P 在任意坐标系中的现时位置。
图1 参考坐标系拉格朗日描述（简称为L 描述）是在初始构形XΩv 的基础上来研究物质点X v在空间坐标系中的运动规律，其数学表达为(),X t x x =v v v ，描述了同一物质点X v 在空间坐标系中的位置矢量随时间的变化情况。
欧拉描述（简称为E 描述）是在现时构形x Ωv 的基础上来研究空间点x ϖ处物质点的运动规律，其数学表达为(),X X x t =v v v ，描述了同一空间点x ϖ处物质点的各物理量随时间的变化情况。
任意拉格朗日-欧拉描述（简称为ALE 描述）则是在任意构形χΩv 的基础上来研究任意点χϖ在暨两岸船舶与海洋工程水动力学研讨会文集- 166 -空间坐标系中的运动规律，其数学表达为()t x x ,χϖϖϖ=，描述了同一任意点χϖ在空间坐标系中的位置矢量随时间的变化情况。
而另一数学表达式为(),X t χχ=v v v ，描述了同一物质点X v 在任意坐标系中的位置矢量随时间的变化情况。
3 物质导数：速度和加速度某一物质点X ϖ在空间坐标系中的运动速度u ϖ等于该物质点在空间坐标系中的位置矢量),(t X x x ϖϖϖ=对时间t 的导数X t t X x u ϖϖϖϖ∂∂=/),(，式中的X ϖ表示物质点坐标X ϖ固定时的值。
某一物质点X ϖ在任意坐标系中的运动速度v ϖ等于该物质点在任意坐标系中的位置矢量),(t X ϖϖϖχχ=对时间t 的导数X t t X v ϖϖϖϖ∂∂=/),(χ，式中的Xϖ表示物质点坐标X ϖ固定时的值。
某一任意点χϖ在空间坐标系中的运动速度w ϖ等于该任意点在空间坐标系中的位置矢量),(t x x χϖϖϖ=对时间t 的导数χχϖϖϖϖt t x w ∂∂=/),(，式中的χϖ表示任意点坐标χϖ固定时的值。
在物质点描述（L 描述）方法中，有限单元剖分是对整个运动流域进行剖分的，其网格点是随同流体质点一起运动的，网格点就是物质点。
在空间点描述（E 描述）方法中，有限单元剖分是对整个固定流域进行剖分的，其网格点是固定在空间中不动的，网格点就是空间点。
在任意点描述（ALE 描述）方法中，有限单元剖分是对整个任意流域进行剖分的，其网格点是独立于流体质点和空间点任意运动的，可以根据需要自由选择运动方式，网格点就是任意点。
在ALE 描述中，由于网格点的运动规律可以是任意给定的，那么指定网格点特殊的运动规律就可以将ALE 描述退化为L 描述和E 描述。
u w ϖϖ=，即网格点是随同物质点一起运动，此时退化为L 描述。
0=w ϖ，即网格点是固定在空间中不动，此时退化为E 描述。
0≠≠u w ϖϖ，即网格点是独立于流体质点和空间点随同任意点一起运动，此时对应于一般的ALE 描述。
各物理量的实质导数等于物理量的网格导数与物理量的迁移导数之和，实质导数为某一固定物质点X ϖ的物理量对时间的变化率；网格导数为某一固定物质点X ϖ在网格点处的物理量对时间的变化率；迁移导数为某一固定物质点X ϖ相对于网格点的速度（对流速度）和物理量对空间的变化率（迁移加速度）的乘积。
在ALE 描述中任意构形是已知的，所以各物理量用物质点在任意坐标系中的位置矢量),(t X ϖϖϖχχ=来表示会比较方便，即用)),,((t t X f f ϖϖχ=表示各物理量。
则f 对t 的全导数（物暨两岸船舶与海洋工程水动力学研讨会文集- 167 -质导数）为/////X Df Dt f tf t f t χ∂∂∂∂∂∂χ∂χ∂==+v v v vg ，X ϖ表示物质点坐标X ϖ固定时的值，χϖ表示任意点坐标χϖ固定时的值。
为了研究方便，下面引入求和法则，各物理量可用)),,((t t X f f j ϖχ=来表示，则可得/////j j j X Df Dt f t f t f t χ∂∂∂∂∂∂χ∂χ∂==+v g 。
那么对空间坐标系中的位置矢量)),,((t t X x j i ϖχ求全导数后(即为物质点X ϖ在空间坐标系中的运动速度i u )可得()(,),////ji i j i i j j X u x X t t t x t x t χχχχ=∂∂=∂∂+∂∂∂∂v v g ，整理后得//i i i j j u w x t χχ−=∂∂∂∂g 。
令i i ic w u =−，则/i i j j c x v χ=∂∂g ，i c 为物质点相对于网格点的运动速度，称为对流速度。
由式/i i j j c x v χ=∂∂g 可得//j i j i t c x χχ∂∂=∂∂g ，通过整理后可得物质点Xϖ的任意物理量的物质导数///j i i X f t f t c f x χ∂∂=∂∂+∂∂v g 。
那么物质点X ϖ在空间坐标系中运动速度)),,((t t X u j i ϖχ的全导数（即为物质点X ϖ在空间坐标系中的加速度）为//j i i k i k a u t c u x χ=∂∂+∂∂g ，其中j t u i χ∂∂/为网格导数，等于空间坐标系下物质点的运动速度i u 在网格点坐标j χ固定时对时间的偏导数；k c 为对流速度，等于空间坐标系下物质点的运动速度k u 与网格点的运动速度k w 之差。
在L 描述下（以运动坐标系为参考的，网格点就是物质点），网格导数j t u i χ∂∂/就变为X i t u ϖ∂∂/，等于空间坐标系下物质点的运动速度i u 对时间的全导数；对流速度kc 就为0，网格点的运动速度k k u w =，有Xi i t u a ϖ∂∂=/。
在E 描述下（以空间坐标系为参考的，网格点就是空间点），网格导数j t u i χ∂∂/就变为j x i tu ∂∂/，等于空间坐标系下物质点的运动速度i u 对时间的偏导数；对流速度k c 就为k u ，网格点的运动速度0=k w ，有//j i i k i k x a u t u u x =∂∂+∂∂g 。
4 有限元分析在进行流体的有限元分析时，如何对流体的不可压条件进行处理是非常关键的问题。
处理的方法有很多种，目前主要有泊松方程法[8]和分步法[9-10] 。
前者的缺点是只能采用速度和压力的不等阶插值，大大增加了计算量。
而后者则利用不可压条件对NS 方程采用分步求解，将压力和速度变量分开后再进行方程的有限元离散，对速度和压力采用等阶插值，这样不仅实现方便，而且计算精度高。
采用有限元法来建立粘性流体运动问题的有限元方程组的步骤如下：1）选择描述方法，导出在该描述下的流体运动控制方程，包括连续性方程和运动方程。
2）采用直接法（直接从运动方程获得压力-泊松方程）或中间速度法[11]（其中中间速度法又暨两岸船舶与海洋工程水动力学研讨会文集可分为两种：在NS方程中改变压力项来获得压力-泊松方程或在NS方程中略去压力项来获得压力-泊松方程）对运动方程进行时域上的差分离散和空间域上的有限元离散，建立不可压黏性流体运动问题的有限元方程组。
3）针对建立的有限元方程组，对边界条件（包括本质边界条件和自然边界条件）进行适当处理。
用ALE有限元法求解带自由面流动问题时，无需直接求解自由面运动方程，只要通过自由面上网格结点的运动来描述自由面变化。