随机信号分析第四章

S X ( )d
2 R ( 0 ) E [ X (t )]是平稳随机过程X(t)的平均功率。 可知， X
维纳－辛钦定理
若我们借助于δ-函数， 维纳-辛钦公式就可推广应用 到这种含有直流或周期性成分的平稳过程中来。 (1)如果所遇的问题中，平稳过程有非零均值，这时正 常意义下的付氏变换不存在，但非零均值可用频域原 点处的δ-函数表示。该δ-函数的权重即为直流分量的 功率。 (2) 当平稳过程含有对应于离散频率的周期分量时， 该成分就在频域的相应频率上产生δ -函数。
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R X (t , t )dt
即：
G X ( ) RX ( ) e j d

维纳－辛钦定理
G X ( ) RX ( ) e j d

即时间平均自相关函数与功率谱密度为付里叶变换对。
若 X （ t ）为平稳过程，则时间平均自相关函数等于 集合平均自相关函数： RX ( ) RX ( )
2
rect(
)
cos 0
a
1 , 1 0, 其他



例题
例 若随机过程X（t）的自相关函数为
1 1 2 R X ( ) (1 e ) 4 4
求功率谱密度
解：
1 1 2 j G X ( ) (1 e )e d 4 4 1 4 ( ) 2 16 (2 ) 2 2 1 ( ) 2 2 4 4 2
S ( ) s(t )e jt dt

又称为频谱密度，也简称为频谱。
1 信号s(t)可以用频谱表示为 s (t ) 2



S ( )e jt d
能谱密度
信号s(t)的总能量为
E s 2 (t )dt


根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号 的能量等于频域内信号的能量。即
x(t ), xT (t ) 0,

t T t T
xT(t）的付里叶变换是存在的，有
X T ( ) xT (t )e

jt
dt xT (t )e
T
T
jt
dt
1 xT (t ) 2



X T ( )e
jt
d
注意到xT(t)和XT(ω )实际都是实验结果 ξ 的随机函数， 因此它们最好分别写成XT(t,ξ )和XT(ω ,ξ ). 样本函数的平均功率为： 功率信号的帕塞 2 瓦尔定理 1 T
Y (t ) aX (t ) cos 0t
式中a为常数，求功率谱密度GY(ω)。 解：
RY (t , t ) R[Y (t )Y (t )] E[a X (t ) X (t ) cos 0t cos 0 (t )]
2
a2 RX ( )[cos 0 cos(2 0t 0 )] 2

例题
例 若随机过程X（t）的自相关函数为
1 R X ( ) (1 cos 0 ) 2

求功率谱密度
1 解：G X ( ) (1 cos 0 )e j d 2 1 1 2 ( ) [ ( 0 ) ( 0 )] 2 2 ( )
2 1 E s (t )dt S ( ) d 2 2 其中， S ( ) 称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。 2
能谱密度存在的条件是总能量有限，所以s(t)也称 为有限能量信号。



s (t )dt
2
随机过程的功率谱密度
随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有 限的。因此可推广频谱分析法，引入功率谱的概念。 首先我们把随机过程X(t)的样本函数x(t)，任意 截取一段，长度为2T，并记为xT(t)
§ 4.1
功率谱密度
先简单复习一下确定时间函数的频谱、能谱密度及 能量的概念 设信号 s(t)为时间t的非周期实函数，满足如下条件： 1） s(t ) dt ，即s(t)绝对可积；

2）s(t)在 ( , ) 内只有有限个第一类间断点和有限个极 值点，那么，s(t)的傅立叶变换存在，为
1 W R X (0) 2



G X ( )d

1

0
1 2G X ( )d 2


0
FX ( )d
非平稳随机过程的功率谱
本书定义非平稳过程自相关函数的时间平均值的 付氏变换为其功率谱，也就是时间平均功率谱密度。 例4.4 若平稳过程X(t)的功率谱密度为Gx(ω )，又有
2



G X ( )d
若 X(t) 为各态历经过程，功率谱可由一个样本函数 得到： 1 2 G X ( ) lim X T ( , )
T
2T
功率谱密度是从频域角度描述随机过程 X(t) 的统计 特性的重要数字特征。但它仅表示 X(t) 的平均功率在 频域上的分布，不包含任何相位信息。 应用：
典型函数的付氏变换关系
表4.1时域
(t )
1 cos 0t
频域
1 2 ( )
sin(t / 2) 2 t / 2 e e
a
( 0 ) ( 0 )
2a a2 2 a a a 2 ( 0 ) 2 a 2 ( 0 ) 2 sin ( ) 2 ( )2 2
2 1 T lim E[ X (t ) ]dt T 2T T 1 G X ( )d 2
由此可见，随机过程的平均功率可以由它的均方值 的时间平均得到，也可以由它的功率谱密度在整个 频率域上积分得到。 若X(t)为平稳过程时，此时均方值为常数，
1 W E[ X (t )] R X (0) 2
W lim
T
2T
T
x(t , ) dt
1 T 1 jt lim x ( t , ) X ( , ) e d dt T T T T 2T 2 T 1 T 1 jt d lim X ( , ) x ( t , ) e dt T T T 2T T 2 T 1 1 2 lim X T ( , ) d T 2T 2 1 1 2 lim X T ( , ) d (4.1.8) 2 T 2T
GX ( ) RX ( ) e


j
d
可见，平稳过程的功率谱密度就是其自相关函数的付 里叶变换。若进行付氏反变换，则有
1 R X ( ) 2



G ( )e j d
维纳－辛钦定理
S X ( )



RX ( )e j d
它成立的条件是 S X ( )和RX ( ) 绝对可积，即
1 G X ( ) {lim T 2T


T
T t
T t

R X (t , t )dte j d

T
R X (t , t )dt }e j d
大括号下的量可以看是非平稳过程自相关函数的时间平均
1 R X ( ) 2T


T
T

2
[ ( 0 ) ( 0 )]
物理谱密度 由于平稳随机过程的自相关函数RX(τ )是τ 的偶函数， 则Gx(ω ) 为： G X ( ) 2 R X ( ) cos d 0 所以功率谱是实、偶函数，且非负 Gx(ω ) 应分布在 -∞到∞的频率范围内，而实际 上负频率 ( 即ω <o) 并不存在。我们有时也采用另一种 功率谱密度，即“单边”谱密度，也称作“物理”功 率谱密度，记作Fx(ω )。 2G X ( ), 0 FX ( ) 0 0, 随机过程消耗在1Ω电阻上的平均功率可写成
例44
1 RX (t , t ) lim T 2T
2
a2 T RX (t, t )dt 2 RX ( ) cos0
T
GY ( ) R X (t , t ) e j d
T 1 T jt1 lim E[ xT (t1 , )e dt xT (t 2 , )e jt2 dt2 ] T T 2T T 1 T T j ( t 2 t1 ) lim E [ X ( t ) X ( t )] e dt1dt2 T 1 T 2 T T 2T T 1 T T j ( t 2 t1 ) lim RX (t1 , t 2 )e dt1dt2 T T 2T T
随机过程的功率谱密度
2 1 T W lim x(t , ) dt T 2T T 1 1 2 lim X T ( , ) d 2 T 2T
1 2 lim X T ( , ) 被积函数 T 2T
代表了随机过程的某一个样 本函数 x(t,ξ ) 在单位频带内、消耗在 1Ω 电阻上的 平均功率，称为样本函数的功率谱密度函数，记作 Gx(ω ，ξ )。


(4.1.10)
Gx(ω)被称为随机过程X(t)的功率谱密度函数，简称 功率谱密度。它的物理意义非常明显：表示随机过 程X(t)在单位频带内在1Ω电阻上消耗的平均功率。 功率谱密度是从频率角度描述随机过程 X(t) 的统计 特性的最主要的数字特征。
随机过程X(t) 的平均功率为：
W E[W ]
1 RX ( ) 2



S X ( )e j d



RX ( ) d S X ( ) d

即随机过程平均功率有限，应不能含有直流成分 或周期性成分 当 0 时，可得
R X (0) E [ X 2 (t )] 1 2


1、不解体的故障判断：如汽车发动机震动信 号功率谱判断排气阀门间隙大小 2、医学信号特征提取：脑电波
§4·2功率谱密度与自相关函数之间的关系
平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度构成傅立叶 变换对，即维纳－辛钦定理：
S X ( )



RX ( )e j d
1 j RX ( ) S ( ) e d X 2 它成立的条件是 S X ( )和RX ( ) 绝对可积，即
1 G X ( ) lim T 2T

T
T
T
T
RX (t1 , t 2 )e j (t2 t1 ) dt1dt 2
：
在上式中作积分变量替换
t t1 , dt dt1 ,
t2 t1 t2 t ,
d dt2
T T
则上式变为：G X ( ) lim 1 T 2T 将极限符号写入，则得：
1 2 G X ( , ) lim X T ( , ) T 2T
如果我们对所有的ξ (实验结果)取统计平均，得
功率谱密度
如果我们对所有的ξ (实验结果)取统计平均，得
G X ( ) E[G X ( , )] 1 2 E lim X T ( , ) T 2T 1 2 lim E X T ( , ) T 2T



RX ( ) d S X ( ) d

维纳－辛钦定理 根据功率谱密度的定义： 1 2 G X ( ) E[G X ( , )] E lim X T ( , ) T 2T 1 * E lim X T ( , ) X T ( , ) T 2T