03-第3讲-湍流运动方程
湍流初级教程
湍流初级教程湍流是流体中的一种不规则运动，它是由于流体受到不同速度、不同方向的扰动而产生的，这些扰动会交替出现，形成不规则的涡流，并使流体表现出随机性、非线性等特征。
在实际工程中，湍流是普遍存在的，因此对湍流的理解及控制至关重要。
下面是一个湍流初级教程：1.湍流模型及其分类。
为了研究湍流，通常需要引入数学模型来描述湍流的演化和传输。
湍流模型主要可以分为两类：基于数据和基于物理。
基于数据的模型依赖于实验或数值模拟得到的数据，而基于物理的模型则基于流体力学的基本方程和基本物理原理进行构建。
常用的基于物理的湍流模型有RANS（雷诺平均Navier-Stokes）模型、LES（大涡模拟）模型、DNS（直接数值模拟）模型等。
2.湍流特性。
湍流有许多特性，其中一些重要的特性包括：-非线性：湍流中的各向异性和非线性效应是由于流体运动中存在的不对称性和动量传输导致的。
这使得湍流的预测变得非常困难。
-随机性：由于湍流的随机性，湍流运动是无规律的，不能通过简单的规律和关系来描述。
-涡流：湍流中存在许多大小不同的涡流结构，这些涡流结构不断变化并相互作用。
彼此之间是复杂的相互作用，将能量从大的涡流向小的涡流传递，形成一个级联的涡流系统。
3.湍流模拟方法。
湍流模拟方法通常可以分为实验室实验、数值模拟两类。
实验室实验可用于观察湍流现象，同时获得一些数据供数值模拟使用；数值模拟可以通过计算机计算来模拟湍流现象，根据所选的数学模型进行湍流计算。
4.湍流控制方法。
对于某些工程问题，需要对湍流进行控制以达到优化的效果，湍流控制方法主要包括：-增加流体粘性。
-改变流体性质。
-利用机械设备控制湍流。
-利用外场控制湍流。
以上是一些湍流初级教程的介绍，希望对初学者有所帮助。
高等流体力学：03第3讲_湍流运动方程
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7
NS方程（4）
运动方程 不可压缩流动的方程简化
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8
NS方程（5）
雷诺方程 NS方程的平均化处理
9
NS方程（6）
− 连续性假设？
NS方程自身有复杂的特性吗？
− 一般情况下，N-S方程初边值问题解的存在和唯一性尚未 完全 得到证明。只有在苛刻条件下，方程解的存在和唯一才有证明。
− 定常方程：存在解；但只有小雷诺数解才是唯一的
− 非定常二维方程：解是存在的，也是唯一的
− 非定常三维方程：小雷诺数时有唯一解；大雷诺数时情况比较 复杂，如只在一定时间内存在唯一解，雷诺数越大，存在唯一 解的时间区间越小。
13
雷诺应力方程（4）
雷诺应力方程 雷诺应力方程的各项
生成项
再分配项
扩散项
耗散项
14
雷诺应力方程（5）
湍动能方程
湍动能方程的各项
生成项
湍动能Βιβλιοθήκη 扩散项耗散项15
湍流标量的输运方程
标量方程 温度标量输运方程
被动性
16
高等流体力学
第3讲 湍流运动方程
内容
NS方程
− 湍流问题 − 连续性方程、运动方程 − 雷诺方程 − 脉动运动方程
雷诺应力方程
− 雷诺应力 − 雷诺应力输运方程 − 湍动能输运方程
湍流流动
6. 湍流流动
6.2 湍流流动的雷诺方程
传 输 原 理 － － 2 物 0 0 理 6 量 湍流依然受到宏观物理规律的制约，满足连续性方程与 纳维－斯托克斯方程及相应的定解条件。 湍流运动是一种极不规则的随机运动，脉动频率很高， 从一般给定时间的条件去求解瞬时运动是不可能的。 从实际应用角度看，某种统计平均值比瞬来自值更重要。v′ = z
v z = v z + v′ z
时均化与偏微分相互独立，表现在数学上，可交换运算次序。
物
vz = 1
τ
∫
τ
0
vz dτ
∂ v z ∂v z = ∂x ∂x
∂v′ z =0 ∂x
∂ 2vz ∂ 2vz = 2 2 ∂x ∂x
∂ 2 v′ z =0 2 ∂x
′ v x v y = (v x + v′ )(v y +vvv y = v x v y + v′ v y + v x v′ + v′ v′y x xy) x y x v x v y = v x v y + v′ v′y x
vx
vx
∂v y ∂x
+ vy
∂v y ∂y
+ vz
∂v y ∂z
=
µ ∂ v y ∂ v y ∂ v y 1 ∂p − + + ρ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ρ ∂y
2 2 2
µ ∂ 2v ∂ 2 v ∂ 2 v ∂vz ∂v ∂v + v y z + v z z = 2z + 2z + 2z ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ∂y ∂z
∂ v′2 ∂ v′y v′ ∂ v′ v′ ∂ 2vx ∂ 2vx ∂ 2vx ∂v x ∂v x ∂v x x = µ 2 + 2 + 2 − ρ x + ρ vx + vy + vz + z x ∂x ∂x ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂y ∂z
湍流模型方程
湍流模型方程
湍流模型方程是用来描述湍流流动的数学方程。
其中最经典的湍流模型方程是雷诺平均纳维-斯托克斯方程，也称为RANS方程。
雷诺平均纳维-斯托克斯方程是对流体流动进行平均处理后得到的方程，可以描述湍流的运动规律。
其方程形式如下：
∂(ρu_i)/∂t + ∂(ρu_iu_j)/∂x_j = - ∂p/∂x_i + ∂(τ_ij)/∂x_j + ρg_i + F_i
其中，ρ是流体的密度，u_i是速度分量，t是时间，x_i是空间坐标，p是压力，τ_ij是应力张量，g_i是重力分量，F_i是外力分量。
这个方程描述了流体的连续性、动量守恒和能量守恒。
湍流模型方程还包括了湍流模型，用来描述湍流的统计性质。
最常用的湍流模型是k-ε模型，它基于湍流运动的能量和湍流耗散率进行描述。
k-ε模型的方程如下：
∂(ρk)/∂t + ∂(ρku_i)/∂x_i = ∂(μ+μ_t)∂x_j ∂u_i/∂x_j - ρε + ρg_i + F_i
∂(ρε)/∂t + ∂(ρεu_i)/∂x_i = C_1εk/μ (∂(μ+μ_t)∂x_i ∂u_i/∂x_j) - C_2ρε^2/k + ρg_iu_i + F_i
其中，k是湍流能量，ε是湍流耗散率，μ是动力粘度，μ_t是湍流粘度，C_1和C_2是经验常数。
这个模型方程描述了湍流能量和湍流耗散率的传输过程，可以用来计算湍流流动的各种统计量。
湍流方程及其解法
湍流方程及其解法湍流是大自然中常见的一种流动方式。
在许多工业和实际应用中，湍流的存在和发展是无法避免的。
因此，对湍流的研究一直是科学家们关注的焦点。
湍流方程是描述湍流流动的一组偏微分方程，其解法对于理解湍流现象有着重要意义。
一、湍流方程湍流方程可以分为两类：一类是基于平均场的运动方程，另一类是直接模拟湍流流动的Navier-Stokes方程。
对于前者，一般采用雷诺平均方法（RANS）来进行模拟。
RANS假设湍流流动可以用时间平均值表示，这样可以把湍流流动分解成平均流动和湍流脉动两部分。
根据这个假设，可以得到雷诺平均Navier-Stokes方程和湍流模型。
其中，湍流模型根据不同的湍流流动特性和物理机制，采用不同的假设和公式来描述湍流脉动。
对于后者，Navier-Stokes方程是描述流体运动基本规律的方程之一。
它由连续性方程和动量方程组成。
其中，连续性方程描述了连续体的质量守恒定律，动量方程描述了连续体的动量守恒定律。
由于这两个方程的非线性和耦合性，Navier-Stokes方程的解析解一直未能得到，只能采用数值方法对其进行求解。
二、湍流模拟方法对于湍流方程的求解，可以采用直接数值模拟（DNS）、大涡模拟（LES）和雷诺平均模拟（RANS）等方法。
DNS是直接模拟湍流流动的方法，它对Navier-Stokes方程进行数值求解，没有对湍流进行平均处理。
由于DNS需要对所有长度尺度的湍流涡进行精细模拟，所以计算量非常大。
目前，DNS主要用于理论研究和小规模问题的模拟。
LES是基于湍流能量分布的假设，将大尺度涡流动进行模拟，小尺度涡流动则采用湍流模型进行预测。
这样可以降低计算量，同时也能够保留一定的湍流结构。
LES主要用于工程实践问题的模拟。
RANS则是利用时间平均方法对流场进行模拟。
RANS基于湍流统计平均，采用不同的湍流模型来描述湍流脉动。
RANS计算量比DNS和LES小得多，但精度也相对较低，主要用于工程大规模问题的模拟。
湍流运动方程
湍流运动方程
湍流运动方程是描述湍流现象的基本方程之一，它在流体力学中具有重要的意义。
湍流是指流体在运动过程中产生的无规则、混乱的流动状态。
它具有高度的不可预测性和复杂性，因此对湍流的研究一直是流体力学领域的重点之一。
湍流运动方程能够描述湍流的运动规律和特性，为湍流现象的研究和应用提供了理论基础。
湍流运动方程的基本形式可以用一维不可压缩Navier-Stokes方程组来表示，即连续性方程和动量方程。
连续性方程描述了流体质点的质量守恒，它表明在流体运动过程中，单位体积内的质量保持不变。
动量方程则描述了流体质点的动量守恒，它包含了流体的惯性力、压力力和粘性力等因素的影响。
湍流运动方程的求解是一个极为复杂的问题，因为湍流本身的非线性和不可预测性使得方程的解析解难以得到。
目前，研究者主要采用数值模拟方法来求解湍流运动方程，通过计算机模拟湍流现象的发展和演化过程，从而获得湍流的统计特性和动力学行为。
湍流运动方程的研究不仅对于科学研究具有重要意义，也在工程技术领域有着广泛的应用。
例如，湍流运动方程的研究可以用于优化飞机、汽车和船舶等交通工具的设计，改善其流体力学性能；同时，湍流运动方程的研究也可以应用于气象预报、水力学和环境工程等领域，提高相关问题的解决效率和准确性。
湍流运动方程是描述湍流现象的基本方程，它具有重要的理论和应用价值。
通过研究湍流运动方程，可以深入了解湍流的运动规律和特性，为湍流现象的研究和应用提供理论支持。
湍流运动方程的研究不仅对于科学研究有着重要意义，也在工程技术领域具有广泛的应用前景。
通过进一步深入研究和探索，相信湍流运动方程的应用将会得到进一步的拓展和发展。
湍流的数学模型
湍流的数学模型第五讲流体仿真与应用◆湍流认识19世纪，一般都认为湍流是一种完全不规则的随机运动，Reynolds最初将这种流动现象称之为摇摆流（sinuous motion），其后Kelvin将其改名为湍流（turbulence），这个名字一直沿用至今。
◆湍流物理特征湍流由各种不同尺度的涡旋叠加而成，其中最大涡尺度与流动环境密切相关，最小涡尺度由粘性确定；流体在运动过程中，涡旋不断破碎、合并，流体质点轨迹不断变化；在某些情况下，流场做完全随机的运动，在另一些情况下，流场随机运动和拟序运动并存。
“随机”和“脉动”是湍流流场的重要的物理特征。
▼不可压缩时均运动控制方程组之所以出现方程组出现不封闭（需求解的未知函数较方程数多），在于方程中出现了湍流脉动值的雷诺应力项。
要使方程组封闭，必须对雷诺应力做出某些假定，即建立应力的表达式（或者引入新的湍流方程），通过这此表达式把湍流的脉动值与时均值等联系起来。
基于某些假定所得出的湍流控制方程，称为湍流模型。
湍流模型雷诺应力模型雷诺应力方程模型代数应力方程模型两一零方程模型方程模型方程模型湍动粘度类模型◆雷诺应力类模型这个模型的特点是直接构建表示雷诺应力的补充方程，然后联立求解湍流时均运动控制方程组。
▼雷诺应力方程是微分形式的，称为雷诺应力方程模型。
▼若将雷诺应力方程的微分形式简化为代数方程的形式，则称为代数应力方程模型。
▼一方程模型一方程模型考虑到湍流的对流输运和扩散输运，因此比零方程模型更为合理。
但是，一方程模型中如何定长度比尺仍是不容易决定的问题，因此在实际工程计算很少应用。
两方程模型是指补充2个微分方程使湍流时均控制方程组封闭的一类处理方法。
▼二方程模型两方程模型中标准模型及各种改进模型在工程中获得了最广泛的应用。
εκ−▼标准两方程模型εκ−○标准两方程模型常数取值εκ−▼标准模型的控制方程εκ−▼标准模型的适应性εκ−①模型中的相关系数，主要根据一些特定条件下的试验结果而确定的。
湍流ns方程
湍流ns方程湍流NS方程是描述流体运动中湍流行为的一组方程。
它是基于Navier-Stokes方程推导出来的，其中考虑了湍流的非线性和非定常性。
湍流是流体中的一种复杂而无规律的流动状态，它具有高度的不确定性和随机性，无法用简单的解析解来描述。
因此，湍流NS 方程的提出对于研究流体湍流行为具有重要意义。
湍流NS方程由连续性方程和动量方程组成。
连续性方程描述了质量守恒的原理，它表达了流体在任意时刻的质量流入和流出的平衡关系。
动量方程描述了流体运动的力学性质，它包括了流体的加速度、压力和粘性力等因素的影响。
湍流NS方程的解析解很难求得，因此研究湍流通常采用数值模拟的方法。
通过将湍流NS方程离散化，并借助计算机进行数值计算，可以得到湍流的一些统计特性。
这对于解决实际工程中与湍流相关的问题具有重要意义。
例如，在飞机设计中，湍流对飞行性能和燃料消耗等方面都有影响，因此需要研究湍流行为以优化飞机的设计。
湍流NS方程的研究还有助于理解湍流的产生和发展机制。
湍流的产生是由于流体运动中存在的各种不稳定性机制，例如惯性力、压力梯度和粘性力等。
这些机制相互作用，形成了湍流的能量级联过程，使得流体的能量逐渐由大尺度转移到小尺度。
湍流NS方程通过描述这些机制的数学模型，为研究湍流的能量级联和尺度耗散等问题提供了基础。
在湍流研究中，还有一些重要的湍流模型被广泛应用。
这些模型基于湍流NS方程，通过对流体中湍流能量传递和耗散过程的建模，来近似描述湍流行为。
其中最著名的模型之一是k-ε模型，它通过对湍流能量和湍流耗散率的方程进行求解，来估计湍流的各种统计特性。
这种模型在工程领域中得到了广泛应用。
湍流NS方程是研究流体湍流行为的重要工具。
它描述了流体在湍流状态下的运动规律，对于解决实际工程中的湍流问题具有重要意义。
湍流NS方程的研究不仅有助于优化工程设计，还有助于理解湍流的产生和发展机制。
通过数值模拟和湍流模型的应用，可以在一定程度上揭示湍流的统计特性和尺度耗散过程。
湍流运动方程
湍流运动方程
湍流运动方程是描述流体湍流运动的基本方程。
它是由纳维-斯托克斯方程经过一系列的推导和近似得到的。
湍流运动方程的求解对于理解
流体湍流运动的本质和预测流体湍流运动的发展具有重要意义。
湍流运动方程的基本形式为：
∂u/∂t + u·∇u = -1/ρ∇p + ν∇²u + f
其中，u是流体的速度场，p是压力场，ρ是流体的密度，ν是流体的粘度系数，f是外力场。
这个方程描述了流体的运动状态，包括速度、压力和密度等。
湍流运动方程的求解是一个非常困难的问题，因为它是一个非线性偏
微分方程组。
目前，对于湍流运动方程的求解主要有两种方法：直接
数值模拟和统计理论方法。
直接数值模拟是通过计算机模拟流体的运动状态来求解湍流运动方程。
这种方法需要高性能计算机的支持，计算量非常大，但是可以得到非
常精确的结果。
直接数值模拟已经成为研究湍流运动的主要手段之一。
统计理论方法是通过对湍流运动的统计特性进行研究来求解湍流运动方程。
这种方法不需要进行大规模的计算，但是需要对湍流运动的统计特性有深入的了解。
目前，统计理论方法已经成为研究湍流运动的另一种重要手段。
总之，湍流运动方程是研究流体湍流运动的基础方程，对于理解流体湍流运动的本质和预测流体湍流运动的发展具有重要意义。
湍流运动方程的求解是一个非常困难的问题，需要通过直接数值模拟和统计理论方法来进行研究。
湍流模型公式
湍流模型公式湍流模型公式是研究复杂流场的理论模型，由美国科学家亨利莱茨史密斯（Henry L. Smith）在1941年提出，它可以有效地用于模拟和研究湍流性质。
湍流模型公式也被称为史密斯-史密斯-贝尔（SSB）湍流模型，它是要全面描述湍流的最常用的模型之一。
湍流模型公式的核心是以下一维湍流方程：u_t+(uU)_x=νu_xx+ f(x,t) (1)其中u(x,t)为流体速度，U(x,t)为水流平均速度，ν为流的粘性系数，f(x,t)为外力。
另外，有必要提到的是，湍流模型公式还包括一维流体剪切应力方程和一维湍流能量方程：τ_t+(uτ)_x =ντ_xx+συw (2)E_t+(uE)_x =νE_xx+σu^2w (3) 其中τ(x,t)为流体剪切应力，E(x,t)为湍流能量，σ为流的粘性系数，u(x,t)为流体速度，U(x,t)为水流平均速度，υw为对流湍流损失（eddy viscosity）。
湍流模型公式最引人注目的特点是它准确地描述了湍流动力学的复杂性，因此它可以用来模拟流动场中的湍流运动，以提出解决实际技术问题的方案。
因此，湍流模型公式已广泛应用于工程和科学领域，如水资源开发、船舶控制、海洋工程、航空设计、气动学等。
湍流模型公式的求解用到了数值方法，即有限差分法。
它可以将湍流动力学的三维湍流问题简化为一维湍流问题，然后使用有限求差分法（FD）或有限元法（FEM）对参数进行有效求解。
其主要过程如下：1. 使用有限差分法或有限元法对定义的流动模型进行离散；2.用叙述方法或迭代方法求解湍流模型公式；3. 使用反演方法或最优控制方法优化参数；4.析和模拟湍流的空间和时间变化及其特性。
湍流模型公式的应用范围越来越广泛，它对于实际工程外面的许多流体动力学问题具有重要的理论意义和工程意义，这些问题包括流体运动的抗阻，水动力学的结构优化设计，湍流动态特性，空气动力学的优化控制，结构调节系数的估计，气动学的分析等等。
湍流运动方程
湍流运动方程湍流运动是一种复杂而普遍存在的现象，它在自然界和工程领域中都起着重要的作用。
湍流运动方程是描述湍流运动的数学模型，它可以帮助我们理解和预测湍流的特性和行为。
湍流运动方程是由一组偏微分方程组成，它描述了流体中速度、压力和密度的变化。
其中最著名的方程是Navier-Stokes方程，它是描述流体运动的基本方程之一。
Navier-Stokes方程可以分为连续性方程和动量方程两部分。
连续性方程是描述流体质量守恒的方程，它表示流体的质量在空间中的分布是连续的。
它的数学表达式是一个偏微分方程，描述了流体密度的变化与速度的关系。
连续性方程可以帮助我们理解湍流的扩散和混合现象。
动量方程是描述流体运动的方程，它表示流体的动量在空间中的变化与力的关系。
动量方程也是一个偏微分方程，它包含了流体的惯性、压力、粘性和外力等因素的影响。
动量方程可以帮助我们理解湍流的湍动能量转移和湍流的产生机制。
湍流运动方程的解析解通常是很困难甚至不可能得到的，因此我们常常使用数值方法来求解湍流运动方程。
数值模拟是一种基于计算机的方法，通过离散化方程和求解差分方程来模拟和分析湍流运动。
数值模拟可以帮助我们研究湍流的统计特性、能量谱和湍流结构等。
湍流运动方程的研究对于许多领域都具有重要的意义。
在气象学中，湍流运动方程可以帮助我们理解大气运动和气象现象，从而改善天气预报和气候模拟。
在航空航天工程中，湍流运动方程可以帮助我们优化飞机和火箭的设计，提高其性能和安全性。
在地质学和地球物理学中，湍流运动方程可以帮助我们了解地下水流和地震波传播等现象。
湍流运动方程是描述湍流运动的数学模型，它在科学研究和工程应用中具有重要的作用。
通过研究湍流运动方程，我们可以更好地理解和控制湍流运动，从而推动科学技术的进步和应用的发展。
希望通过不断的研究和探索，我们能够深入理解湍流运动的本质和机制，为人类创造更美好的未来。
流体的湍流运动
流体的湍流运动湍流运动是一种复杂而难以预测的流体运动现象，常见于自然界和工程实践中。
它的产生和发展过程涉及各种物理机制和数学模型，对于了解和控制流体的行为具有重要意义。
一、湍流运动的产生湍流运动的产生源于流体运动过程中的不稳定性。
当流速较低或流动状态较稳定时，流体呈现层流运动。
然而，当流体速度增大或流动状态变得不稳定时，就会转变为湍流运动。
这种转变通常发生在某一临界流速处，称为临界雷诺数。
二、湍流运动的特点湍流运动具有以下几个特点：1. 随机性：湍流流体运动是一种不规则的、无序的运动形式。
在湍流中，各个流动层之间呈现交织、涡旋、混沌等特征，没有规律可循。
2. 级联效应：湍流中存在着多个尺度的涡旋结构，从宏观尺度到微观尺度都存在涡旋。
这些涡旋之间通过不断的分裂和合并形成级联结构，对流体运动起着重要作用。
3. 能量耗散：湍流运动具有强烈的内聚力和能量耗散特性。
在湍流过程中，涡旋之间发生能量交换和转化，将流体的动能逐渐转化为内部能或热能，使流体分子之间发生碰撞和混合。
三、湍流运动的模拟和研究湍流运动是复杂的非线性问题，需要借助计算机模拟和实验手段来进行研究。
目前，主要的湍流研究方法包括直接数值模拟（DNS）、大涡模拟（LES）和雷诺平均模拟（RANS）等。
直接数值模拟是通过数值方法求解流体的基本方程，对湍流流场进行全面而精确地模拟。
大涡模拟采用滤波技术将湍流流场分解成大尺度和小尺度湍流结构，并对大尺度湍流结构进行模拟。
雷诺平均模拟是通过对湍流场进行平均处理，得到平均流动量和湍流平均动能方程，然后通过统计理论求解方程。
四、湍流运动的应用湍流运动广泛应用于各个领域，包括天气预报、工程流体力学、空气动力学、海洋工程等。
在工程实践中，湍流运动的研究能够为流体力学问题的解决和工程设计提供重要依据。
例如，在设计飞机、汽车和船舶时，需要考虑湍流对气动和水动力性能的影响，以提高车辆和船舶的流体力学性能。
此外，湍流运动还与能源转换、城市规划、环境保护等方面有关。
2湍流流动的数学模型
目前，对湍流问题的研究仍处于探索其结构，机理和描述 方法阶段，面对解决工程湍流问题有两种选择： 1）等待湍流理论研究的成果 2）探索研究湍流新途径 4、湍流的数值模拟方法 1）直接模拟 是三维非稳态的N-S方程对湍流进行直接数值计算的方法。 其特点是必须采用很小的时间与空间步长，才可能研究清 楚湍流的空间结构及时间特性。因此对计算机的要求比较 高。
f f ; f 0; f f ;f f f
f
f ; f 0; f
f ;f
f
f
（3）
0; 2 0
xi
xi 2
3.2 湍流对流换热的雷诺时均方程
1、连续性方程
u x
v y
w z
0
2、动量方程
u x
v y
w z
0
u u 2 u v u w 1 p [v u (u)2 ]
脉动值时均值的微分方程和三个速度脉动值乘积时均值的近似处理的方程）
3.3.2 湍流粘性系数法
1、湍流粘性系数法：把湍流应力表示成湍流粘性系数的函 数，计算的关键就在于求解湍流粘性系数。
1）湍流粘性系数
• 通过给出雷诺应力与均流速度场之间的关系式，把均流方 程的不封闭性由雷诺应力转移到湍流粘性系数上。
2）湍流扩散 湍流的扩散性是所有湍流运动另一个重要特征。湍流混掺扩 散增加了动量、热量和质量的传递率。 3） 能量耗损 湍流中小涡体的运动,通过粘性运动大量耗损能量,实验表明, 湍流中的能量的损失比同条件下层流大得多。 3、湍流的物理结构： 大尺度涡旋由边界条件决定，是引起低频脉动的原因。小尺 度涡旋主要由粘性力决定，是引起高频脉动的原因。 大涡旋 →小涡旋 →更小的涡旋 →消失
2）雷诺时均方程法 雷诺时均方程是不封闭的，必须引入雷诺应力的封闭模
湍流问题十讲 理解和研究湍流的基础
湍流问题十讲：理解和研究湍流的基础湍流是流体力学中的一个重要问题，它在自然界和工程应用中广泛存在。
湍流的复杂性使得我们需要深入了解其基础概念和研究方法。
本文将以十讲的形式，介绍湍流的基础知识和研究方法。
第一讲：湍流的基本概念湍流是流体在高速运动下出现的不规则涡旋运动。
它与层流不同，层流是指流体以平行于管道方向的层状流动。
湍流的出现使流体流动变得混乱复杂，存在着各种大小的涡旋结构。
湍流的基本特征包括湍流速度场的不规则性、涡旋的随机性和能量级联等。
第二讲：湍流的物理机制湍流的产生主要受到流体的非线性而不稳定的特性影响。
湍流的物理机制包括非线性不稳定性和能量级联。
非线性不稳定性指的是流体在高速运动下所产生的各种非线性效应，如非定常性、湍流粘度等。
能量级联则指的是湍流中能量的级联传递现象，由大尺度的涡旋向小尺度的涡旋传输。
第三讲：湍流的数学模型为了更好地理解和研究湍流，我们需要建立相应的数学模型。
湍流的数学模型包括雷诺平均模型、大涡模拟模型和直接数值模拟模型。
雷诺平均模型是最简单的湍流模型，假设湍流场的波动可以通过时间平均来描述。
大涡模拟模型则考虑湍流中的大尺度涡旋，并利用数值方法对其进行模拟。
直接数值模拟模型是最精确的湍流模型，将流动的各个时间和空间尺度都考虑在内。
第四讲：湍流的统计特性湍流的统计特性对于研究湍流现象非常重要。
湍流的统计特性包括均值场、涡旋相关性和能量谱等。
通过对这些统计量的分析，我们可以揭示湍流中的一些规律和特点。
第五讲：湍流的测量和实验方法湍流的研究需要借助于测量和实验方法。
常用的湍流测量方法包括热线、激光多普勒测速、PIV等。
这些方法可以提供湍流场的速度、梯度等信息。
此外，实验方法也是研究湍流的重要手段，通过在实验室中进行湍流的模拟研究，我们可以获得一些有关湍流性质的重要信息。
第六讲：湍流的数值模拟方法湍流的数值模拟是研究湍流的重要方法之一。
常用的湍流数值模拟方法包括RANS、LES和DNS等。
湍流流动的特点与反应流基本方程
均流组分方程的源项 — 平均化学反应速率的处理 湍流燃烧模化。
18
u u u p p p
v v v T T T c c c
w w w
（1）
1
2.欧拉法描述湍流场的三种统计平均方法 ：
(1）时间平均：
t
(
xo
)
lim
T
1 T
T 0
(x0
,
t
)（d2t）
（2）空间平均：
s
(t0
)
lim
x
1 x
x
0 ( x, t0 ) dx
（3）系综平均：
（1）连续性方程（质量守恒方程）
t
x j
(v j
)
0
在直角坐标系中，上式第二项可写成下列分量形式：
（17）
x1
(v1 )
x2
(v2 )
x3
(v3 )
（17a）
ห้องสมุดไป่ตู้11
（2）动量平衡方程
t
(vi )
x j
(v jvi )
ij
x j
Svi
（18）
式中
ij
p ij
( vi
x j
v j x i
vto2 (u'2 v'2 w'2 )to
vt12 (u'2 v'2 w'2 )t1
式中,vto 和vt1 表示同一气体微团在t0和t1瞬间的脉动速度
8
5. 湍流标尺
• 欧拉湍流标尺 :
LEux
R
0
x1,
2
d
l
LEuy
0
R
y1,
湍流的数学模型简介【精心整理版】-精选文档
1.2 湍流的统计平均法
2 体均法
湍流的随机变量不仅表现在时间上，在空间分布上也具有随机性。
() () 1 t V (, , ,) tddd i V i
所处的坐标位置无关。因此严格说来，体 体均值要求与积分体积 的大小及
均法只适用于描述对体均值而言的均匀的湍流流场。
第1章 湍流导论
1.1、湍流的认识
葛饰北斋的浮世绘作品《神奈川冲浪里》
1.1 湍流的认识
湍流物理特征
由于流体 粘性的作 用，不断 消失，从 而产生能 量耗散； 是引起高 频脉动的 原因。
小尺度的涡旋
大尺度的涡旋
主要由流 动边界条 件决定， 从主流获 得能量， 是引起低 频脉动的 原因。
“随机”和“脉动”是湍流流场的重要的物理特征。
第1章 湍流导论
1.3、湍流的基本方程 湍流瞬时控制方程(包括连续方程、动量方程和能量方程) 可用通用微分方程表示。
一般认为，无论湍流流动多么复杂，非稳态的连续性方 程和N-S方程(动量方程)仍然适用于湍流的瞬时流动。
第1章 湍流导论
1.3、湍流的基本方程（不可压） N-S方程
' u u i u i i
3 概率平均法（系综平均法）
时均法和体均法只适用于两种特殊状态的湍流，前者适用于定常湍流，后 者适用于均匀湍流。对于一般的不定常非均匀流，可以采用随机变量的一般 平均法，即概率平均法。
p t lim1 N k t N
V i Nk 1V i
在相同条件下重复N次试验，再对此N次试验值取平均。若能对某种湍流 找到相应的概率密度，则湍流问题就可认为已经解决。
u i 0 xi
•各态遍历假说的结论：对于一个满足各态遍历的系统，三种平均值相等
湍流一方程模型
Spalart-Allmaras(SA)模型与BB模型不同，不是直接利用k-e模型两 方程模型加于简化而得，而是从经验和量纲分析出发，由针对简单流动 在逐渐补充发展而适用于带有层流流动的固壁湍流流动的一方程模型
03
一方程的应用
一方程的应用
将可压缩流的湍流动能K方程 式用于一等矩形截面S形弯曲 管道中可压缩三元湍流流场的 数值计算,图中给出两种湍流 模型的计算结果与实验结果的 比较.从图中可看出,可压缩湍 流的计算结果比较符合实验结 果.
一方程模型 下面将用更一般的方法来推导有关湍流脉动流速的有关方程。当不考虑质 量力，或在重力场中，压力项代表流体动压力时，湍流瞬时的 N-S 方程 可写成
i）式中脚标 j 改为 l（因为是哑标，对方程式无影响，而对下一步 推导却带来很大方便），得：
2017
湍流一方程模型
小组成员
目录
1、湍流的现象 2、一方程模型 3、一方程模型的应用
01
湍流的现象
湍流的现象
湍流是一种非常复杂的三维非稳态、带旋转的不规则流动。 从物理结构上说，湍流由各种不同尺度的涡旋叠合而成。
湍流的现象
湍流
零方程模型
C-S模型、B-L模型。
一方程模型
Spalart-Allmaras(S-A)模型、 Baldwin-Barth(B-B)模型
S弯管沿程壁面静压分布
X▲·实验值 —可压缩流计算结果 ---不可压缩计算结果 A:第一弯段 B:第二弯段 C:中直段 D:后直段
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湍流流动的单方程模型
湍流流动的单方程模型引言湍流是流体中不规则的、紊乱的流动形式，具有非线性和复杂性，在自然界和工程中广泛存在。
为了描述和理解湍流现象，研究者提出了不同的数学模型和方法。
其中，湍流流动的单方程模型是一种简化且常用的方法，用于描述湍流的流动特性。
单方程模型的基本原理单方程模型假设湍流中的各种运动特性可以通过一个简单的方程来描述。
该方程通常基于雷诺平均的概念，即将流场变量分解为平均分量和涨落分量，通过求取平均的方式来描述湍流的流动行为。
单方程模型最常用的方程是雷诺平均动量方程，也称为湍流动能方程。
雷诺平均动量方程雷诺平均动量方程描述了湍流流动中的速度分布和压力变化，可以用以下形式表示：∂(ρu‾i)∂t +∂(ρu‾i u‾j)∂x j=−∂p‾∂x i+∂∂x j(μt∂u‾i∂x j)+ρg i其中，u‾i表示平均速度分量，p‾表示平均压力，ρ表示密度，μt表示湍流动力粘度，g i表示重力加速度。
单方程模型的应用单方程模型具有计算速度快、模拟效果较好等优点，广泛应用于工程领域的湍流流动模拟中。
以下是一些单方程模型在不同工程情景中的应用示例：工业流动在工业领域，湍流流动的单方程模型可以用于描述空气在建筑物或车辆周围的流动，以及流体在管道中的流动。
通过模拟湍流流动，可以评估气流对建筑物或车辆的载荷影响，优化流体在管道中的输送效率。
环境工程在环境工程中，湍流模型可用于研究河流、海洋等自然水体中的湍流流动，以及湍流对湖泊或海岸线沉积物输移的影响。
通过模拟湍流流动，可以预测水体中的流速变化和底部物质运移情况，为环境污染治理提供科学依据。
能源领域在能源领域，湍流模型可用于分析风力发电机组周围的湍流流动，以及天然气或石油在输送管道中的湍流特性。
通过模拟湍流流动，可以优化风力发电机组的布置方式，提高输送管道中的能源传输效率。
单方程模型的局限性尽管单方程模型具有广泛的应用前景，但其也存在一些局限性。
1.简化假设：单方程模型是基于一系列简化假设而建立的，如雷诺平均假设、Boussinesq假设等。
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t x y z
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张量下标形式
ui 0
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或 D ui 0
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7
NS方程（4）
运动方程
不可压缩流动的方程简化
uti
uj
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D Dtuxii 0
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涡量输运方程（3）
涡量方程 涡量的平均方程和脉动方程
涡量输运方程
涡量平均方程
涡量脉动方程
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涡量输运方程（4）
涡量方程 脉动量的拟涡能
拟涡能
生成项
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耗散项
扩散项
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雷诺应力
雷诺应力方程（1）
ui ' uj '
xj
慢
层
质
点
上
跃
u' 0
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快
层
质
点
u' 0
下
跃
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雷诺应力方程（2）
雷诺应力 雷诺应力的量级
雷诺应力的估计 粘性应力的估计 两者之比
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雷诺应力方程（3）
4
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因此，一般将流体运动的N - S方程作为湍流运动的基 本方程，即湍流场内任一空间点的速度、压强及密度 等的瞬时值都必须满足该方程。
尽管有学者对这一模型产生质疑，也曾试图另辟蹊径 ，寻找其它数学模型，但都没有令人信服的证据和结 果。而基于 N-S方程所得到的一些理论、计算结果和 实验结果吻合得很好。
雷诺应力方程 雷诺应力方程的推导
脉动方程
雷诺应力方程
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雷诺应力方程（4）
雷诺应力方程
雷诺应力方程的各项
生成项
再分配项
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扩散项
耗散项
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雷诺应力方程（5）
湍动能方程
湍动能
生成项
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uti
uj
ui xj
fi
1
p xi
2ui xj2
ui xi
0
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雷诺方程
NS方程（5）
NS方程的平均化处理：
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脉动方程
NS方程（6）
N-S方程-雷诺方程=脉动方程
N-S方程
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雷诺方程
脉动方程
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3
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湍流流体仍属于连续介质！
较高Re数下，湍流场中存在很小的湍流运动尺度, 但 该尺度远大于分子的平均自由程。因此，流体可被 视为连续介质。
在与最小湍动尺度相当的 距离及与最小脉动周期相 近的时间内, 湍流场内的 物理量连续变化, 即空间 和时间上可微，可用常规 方法建立数学模型。
N-S方程自身的复杂性
− 一般情况下，N-S方程关于初、边值问题的解的存在性和唯一 性尚未完全得到证明，只有在极苛刻的条件下才存在唯一解
− 定常方程：存在解，但只有小雷诺数解才是唯一的 − 非定常二维方程：存在唯一解 − 非定常三维方程：小雷诺数时存在唯一解；大雷诺数时情况比
较复杂：只在一定时间内存在唯一解；雷诺数越大，存在唯一 解的时间区间越小
扩散项
耗散项
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湍流标量的输运方程
标量方程 温度输运方程
具有被动性！
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涡量输运方程（1）
涡量 涡量的定义
涡线
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涡量 涡通量
涡量输运方程（2）
涡通量守恒
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5
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物理原理
NS方程（2）
反映普适规律
反映流体物质的特性
− 物质守恒定体的状态方程
− 能量守恒定律
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6
连续性方程
NS方程（3）
三维连续性方程
笛卡尔坐标下
高等流体力学
第3讲 湍流运动方程
海洋科学与工程学系 Department of Ocean Science and Engineering
wanzhanhong@
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内容
N-S方程
− 湍流与N-S方程 − 连续性方程、运动方程 − 雷诺方程 − 脉动方程
涡量的输运方程
− 涡量、涡量方程
雷诺应力方程
− 雷诺应力 − 雷诺应力输运方程 − 湍动能输运方程
湍流标量方程
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2
N-S方程（1）
湍流与N-S方程
湍流能用N-S方程描述吗？
− 脉动的产生是否是因为质点的平均运动特性无法得到满足？ − 连续性假设是否成立？