03-第3讲-湍流运动方程
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高等流体力学
第3讲 湍流运动方程
海洋科学与工程学系 Department of Ocean Science and Engineering
wanzhanhong@zju.edu.cn
DOSE, Zhejiang University
内容
N-S方程
− 湍流与N-S方程 − 连续性方程、运动方程 − 雷诺方程 − 脉动方程
雷诺应力
雷诺应力方程（1）
ui ' uj '
xj
慢
层
质
点
上
跃
u' 0
DOSE, Zhejiang University
快
层
质
点
u' 0
下
跃
11
雷诺应力方程（2）
雷诺应力 雷诺应力的量级
雷诺应力的估计 粘性应力的估计 两者之比
12
DOSE, Zhejiang University
雷诺应力方程（3）
5
DOSE, Zhejiang University
物理原理
NS方程（2）
反映普适规律
反映流体物质的特性
− 物质守恒定律
− 流体的本构方程
− 牛顿运动定律
− 流体的状态方程
− 能量守恒定律
DOSE, Zhejiang University
6
连续性方程
NS方程（3）
三维连续性方程
笛卡尔坐标下
3
DOSE, Zhejiang University
湍流流体仍属于连续介质！
较高Re数下，湍流场中存在很小的湍流运动尺度, 但 该尺度远大于分子的平均自由程。因此，流体可被 视为连续介质。
在与最小湍动尺度相当的 距离及与最小脉动周期相 近的时间内, 湍流场内的 物理量连续变化, 即空间 和时间上可微，可用常规 方法建立数学模型。
雷诺应力方程 雷诺应力方程的推导
脉动方程
雷诺应力方程
13
DOSE, Zhejiang University
雷诺应力方程（4）
雷诺应力方程
雷诺应力方程的各项
生成项
再分配项
DOSE, Zhejiang University
扩散项
耗散项
14
雷诺应力方程（5）
湍动能方程
湍动能
生成项
DOSE, Zhejiang University
扩散项
耗散项
15
湍流标量的输运方程
标量方程 温度输运方程
具有被动性！
16
DOSE, Zhejiang University
涡量输运方程（1）
涡量 涡量的定义
涡线
17
DOSE, Zhejiang University
涡量 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ涡通量
涡量输运方程（2）
涡通量守恒
DOSE, Zhejiang University
uti
uj
ui xj
fi
1
p xi
2ui xj2
ui xi
0
8
雷诺方程
NS方程（5）
NS方程的平均化处理：
DOSE, Zhejiang University
9
脉动方程
NS方程（6）
N-S方程-雷诺方程=脉动方程
N-S方程
DOSE, Zhejiang University
雷诺方程
脉动方程
10
18
涡量输运方程（3）
涡量方程 涡量的平均方程和脉动方程
涡量输运方程
涡量平均方程
涡量脉动方程
19
DOSE, Zhejiang University
涡量输运方程（4）
涡量方程 脉动量的拟涡能
拟涡能
生成项
DOSE, Zhejiang University
耗散项
扩散项
20
N-S方程自身的复杂性
− 一般情况下，N-S方程关于初、边值问题的解的存在性和唯一 性尚未完全得到证明，只有在极苛刻的条件下才存在唯一解
− 定常方程：存在解，但只有小雷诺数解才是唯一的 − 非定常二维方程：存在唯一解 − 非定常三维方程：小雷诺数时存在唯一解；大雷诺数时情况比
较复杂：只在一定时间内存在唯一解；雷诺数越大，存在唯一 解的时间区间越小
涡量的输运方程
− 涡量、涡量方程
雷诺应力方程
− 雷诺应力 − 雷诺应力输运方程 − 湍动能输运方程
湍流标量方程
DOSE, Zhejiang University
2
N-S方程（1）
湍流与N-S方程
湍流能用N-S方程描述吗？
− 脉动的产生是否是因为质点的平均运动特性无法得到满足？ − 连续性假设是否成立？
uvw ＝ 0
t x y z
DOSE, Zhejiang University
张量下标形式
ui 0
t xi
或 D ui 0
Dt xi
7
NS方程（4）
运动方程
不可压缩流动的方程简化
uti
uj
ui xj
fi
xpi x2uj2i
3xi
uxkk
D Dtuxii 0
DOSE, Zhejiang University
4
DOSE, Zhejiang University
因此，一般将流体运动的N - S方程作为湍流运动的基 本方程，即湍流场内任一空间点的速度、压强及密度 等的瞬时值都必须满足该方程。
尽管有学者对这一模型产生质疑，也曾试图另辟蹊径 ，寻找其它数学模型，但都没有令人信服的证据和结 果。而基于 N-S方程所得到的一些理论、计算结果和 实验结果吻合得很好。
第3讲 湍流运动方程
海洋科学与工程学系 Department of Ocean Science and Engineering
wanzhanhong@zju.edu.cn
DOSE, Zhejiang University
内容
N-S方程
− 湍流与N-S方程 − 连续性方程、运动方程 − 雷诺方程 − 脉动方程
雷诺应力
雷诺应力方程（1）
ui ' uj '
xj
慢
层
质
点
上
跃
u' 0
DOSE, Zhejiang University
快
层
质
点
u' 0
下
跃
11
雷诺应力方程（2）
雷诺应力 雷诺应力的量级
雷诺应力的估计 粘性应力的估计 两者之比
12
DOSE, Zhejiang University
雷诺应力方程（3）
5
DOSE, Zhejiang University
物理原理
NS方程（2）
反映普适规律
反映流体物质的特性
− 物质守恒定律
− 流体的本构方程
− 牛顿运动定律
− 流体的状态方程
− 能量守恒定律
DOSE, Zhejiang University
6
连续性方程
NS方程（3）
三维连续性方程
笛卡尔坐标下
3
DOSE, Zhejiang University
湍流流体仍属于连续介质！
较高Re数下，湍流场中存在很小的湍流运动尺度, 但 该尺度远大于分子的平均自由程。因此，流体可被 视为连续介质。
在与最小湍动尺度相当的 距离及与最小脉动周期相 近的时间内, 湍流场内的 物理量连续变化, 即空间 和时间上可微，可用常规 方法建立数学模型。
雷诺应力方程 雷诺应力方程的推导
脉动方程
雷诺应力方程
13
DOSE, Zhejiang University
雷诺应力方程（4）
雷诺应力方程
雷诺应力方程的各项
生成项
再分配项
DOSE, Zhejiang University
扩散项
耗散项
14
雷诺应力方程（5）
湍动能方程
湍动能
生成项
DOSE, Zhejiang University
扩散项
耗散项
15
湍流标量的输运方程
标量方程 温度输运方程
具有被动性！
16
DOSE, Zhejiang University
涡量输运方程（1）
涡量 涡量的定义
涡线
17
DOSE, Zhejiang University
涡量 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ涡通量
涡量输运方程（2）
涡通量守恒
DOSE, Zhejiang University
uti
uj
ui xj
fi
1
p xi
2ui xj2
ui xi
0
8
雷诺方程
NS方程（5）
NS方程的平均化处理：
DOSE, Zhejiang University
9
脉动方程
NS方程（6）
N-S方程-雷诺方程=脉动方程
N-S方程
DOSE, Zhejiang University
雷诺方程
脉动方程
10
18
涡量输运方程（3）
涡量方程 涡量的平均方程和脉动方程
涡量输运方程
涡量平均方程
涡量脉动方程
19
DOSE, Zhejiang University
涡量输运方程（4）
涡量方程 脉动量的拟涡能
拟涡能
生成项
DOSE, Zhejiang University
耗散项
扩散项
20
N-S方程自身的复杂性
− 一般情况下，N-S方程关于初、边值问题的解的存在性和唯一 性尚未完全得到证明，只有在极苛刻的条件下才存在唯一解
− 定常方程：存在解，但只有小雷诺数解才是唯一的 − 非定常二维方程：存在唯一解 − 非定常三维方程：小雷诺数时存在唯一解；大雷诺数时情况比
较复杂：只在一定时间内存在唯一解；雷诺数越大，存在唯一 解的时间区间越小
涡量的输运方程
− 涡量、涡量方程
雷诺应力方程
− 雷诺应力 − 雷诺应力输运方程 − 湍动能输运方程
湍流标量方程
DOSE, Zhejiang University
2
N-S方程（1）
湍流与N-S方程
湍流能用N-S方程描述吗？
− 脉动的产生是否是因为质点的平均运动特性无法得到满足？ − 连续性假设是否成立？
uvw ＝ 0
t x y z
DOSE, Zhejiang University
张量下标形式
ui 0
t xi
或 D ui 0
Dt xi
7
NS方程（4）
运动方程
不可压缩流动的方程简化
uti
uj
ui xj
fi
xpi x2uj2i
3xi
uxkk
D Dtuxii 0
DOSE, Zhejiang University
4
DOSE, Zhejiang University
因此，一般将流体运动的N - S方程作为湍流运动的基 本方程，即湍流场内任一空间点的速度、压强及密度 等的瞬时值都必须满足该方程。
尽管有学者对这一模型产生质疑，也曾试图另辟蹊径 ，寻找其它数学模型，但都没有令人信服的证据和结 果。而基于 N-S方程所得到的一些理论、计算结果和 实验结果吻合得很好。