勾股定理的推广

勾股定理的推广

三角形按照角来分类可以分为三种：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。勾股定理可以用来判断一个三角形是否为直角三角形。但是可以将勾股定理进行推广，用它来判断一个三角形是否为锐角三角形或者钝角三角形。

两个三角形的三边长度分别是6、8、9和6、8、11，判断这两个三角形是什么三角形。

分析：因为直角三角形中斜边最大，所以如果该三角形是直角三角形，那么它的斜边应该等于9，但是2636=，2864=，2981=，36＋64﹥81，所以该三角形不是直角三角形。因为6、8、10可以构成直角三角形（如原图所示），如果最长边的长度从10缩短到9，而其他两边的长度不变，原三角形一定不是直角三角形。如果在BC 不改变位置的情况下要想继续构成三角形，边AC 就应该向右边倾斜，所以∠C 就会发生变化，由原来的90°缩小到锐角。根据大边对大角，∠C 仍然是三角形中最大的角，所以该三角形就是锐角三角形（如图1所示）；

同理，如果最长边的长度从10增加到11，而其他两边的长度不变，原三角形也一定不是直角三角形。如果在BC 不改变位置的情况下要想继续构成三角形，边AC 就应该向左边倾斜，所以∠C 就会发生变化，由原来的90°增大到钝角，所以该三角形就是钝角三角形（如图2所示）。

例1：三角形的三边长度分别是9、12、15，判断这个三角形是什么三角形。 分析：可以根据勾股定理进行判断。2981=，212144=，215225=，81＋144=225，即22291215+=，所以该三角形是直角三角形。

解：因为2981=，212144=，215225=，

81＋144=225，

即22291215+=，

8A

C B 原图

8C B 图

1 8A C B

图2

根据勾股定理，这个三角形是直角三角形。

例2：三角形的三边长度分别是9、12、14，判断这个三角形是什么三角形。

分析：因为222

+，

91214

91214

+≠，所以不能构成直角三角形。但是222

并且14是三条边中最大的一个，所以该三角形是锐角三角形。

例3：三角形的三边长度分别是6、8、11，判断这个三角形是什么三角形。

分析：因为222

91216

+，+≠，所以不能构成直角三角形。但是222 91216

并且16是三条边中最大的一个，所以该三角形是钝角三角形。