微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用
提示：对出现若干阶导数的界，估计另外某个导数 的界的问题，往往用Taylor公式。
证明：由Taylor公式有：
f (x0 )
f (x)
f
' (x)( x0
x)
1 2
f
" ( )( x0
x)2
取x0 b, 有
f (b)
f (x)
f
' (x)(b x)
同理，f (x)在[c,b]上连续，(c,b)内二阶可导，
由Lagrange中值定理知，存在点2 (c,b),使得
f ' (2 )
f (b) f (c) bc
而点A(a, f (a))、B(b, f (b))、C(c, f (c))共线，
所以：f (c) f (a) f (b) f (c)，
ca
bc
即f ' (1 ) f ' (2 )。
又f ' (x)在[1,2 ]上连续，在(1,2 )内可导， 由Rolle定理知， (1,2 ) (a,b),使得f‘' ( ) 0。
此题可以推广为： 设f (x)在[a,b]上连续，(a,b)内n 1阶可导，连接点 A(a, f (a))和B(b, f (b))的直线交曲线y f (x)于n个 点Ci (ci , f (ci ))(a c1 c2 cn b)。
1 2
f
" (1 )(b x)2
(1)
取x0 a, 有
f (a)
f (x)
f
' (x)(a x)
1 2
f
微分中值定理及其应用
微分中值定理的应用4 微分中值定理的应用 4.1 证明有关等式在证明一些出现导数的等式时,进行适当的变形后,考虑应用微分中值定理加以证明.还有,就是我们在证明一些与中值定理有关的题目时,构造辅助函数是解决问题的关键.在证明题中巧妙选用和构造辅助函数,进行系统分析和阐述,从而证明相关结论.例 4.1.1[5]()f x 是定义在实数集R 上的函数,若对任意,x y R ∈,有2()()()f x f y M x y -≤-,其中M 是常数,则()f x 是常值函数.证明 对任意x R ∈,x 的改变量为x ∆,由条件有2()()()f x x f x M x +∆-≤∆,即()()f x x f x M x x+∆-≤∆∆,两边关于0x ∆→取极限得()()0limlim 0x x f x x f x M x x∆→∆→+∆-≤≤∆=∆所以()0f x '=.由中值定理()(0)()0f x f f x ξ'-==,即()(0)f x f =, 故在R 上()f x 是常值函数.思路总结 要想证明一个函数()f x 在某区间上恒为常数一般只需证明该函数的导函数()f x '在同一区间上恒为零即可.例4.1.2[2] 设()f x =112112321343x x x x x x ------,证明：存在(0,1)ξ∈,使得()0f ξ'=.证明 由于()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,111(0)1220133f --=--=--,11(1)111121f =--0= .符合罗尔中值定理的条件,故存在ξ(0,1)∈,使()0f ξ'=例4.1.3 若()f x 在[0,1]上有三阶导数,且(0)(1)f f =0=,设3()()F x x f x =,试证在(0,1)内至少存在一个ξ,使()0F ξ'''=.证明 由题设可知()F x ,()F x ',()F x '',()F x '''在[0,1]上存在,又(0)(1)F F =,由罗尔中值定理,∃1ξ(0,1)∈使1()0F ξ'=,又23(0)[3()()]|0x F x f x x f x =''=+=可知()F x '在上1[0,]ξ满足罗尔中值定理,于是21(0,)ξξ∃∈,使得2()0F ξ''=,又23(0)[6()6()()]|0x F xf x x f x x f x ='''''=++=对()F x ''存在21(0,)(0,)(0,1)ξξξ∈⊂⊂,使 ()0F ξ'''=.例4.1.4[4]（达布定理的推论） 若函数()f x 在[,]a b 内有有限导数,且()()0f a f b +-''< ,则至少存在(,)c a b ∈,使得()0f c '=.证明 ()()0f a f b +-''<,不妨设()0f a +'<,()0f b -'>,因为()lim [()()]/()0x af a f x f a x a ++→'=--<由极限的局部保号性可知,∃1δ0>,当1(,)x a a δ∈+时,()()0f x f a -<,即()()f x f a <.同样∃20δ>,当2(,)x b b δ∈-时,()()0f x f b -<,即()()f x f b <.取12m in{,,}2b a δδδ-=,于是在(,)a a δ+,(,)b b δ-中,分别有()()f x f a <和()()f x f b <.故()f a ,()f b 均不是()f x 在[,]a b 中的最小值,最小值一定是在内部的一点处取得,设为c 由费马定理可知,()0f c '=.小结 证明导函数方程()()0n f x =的根的存在性的证明方法有如下几种：①验证函数()f x 在[,]a b 上满足罗尔中值定理的三个条件,由此可直接证明()0f ξ'=.②在大多数情况下,要构造辅助函数()F x ,验证在[,]a b 上满足罗尔中值定理的三个条件,证明()0F ξ'=,进而达到证明问题的目的.③验证x ξ=为函数的极值点,应用费马定理达到证明问题的目的. 例 4.1.5 设()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,0a b <<,试证：,(,)a b ξη∃∈使()()2a b f f ξηη+''=.证明 由于0a b <<,2(),()f x g x x =,()20g x x '=≠,(,)x a b ∈由于(),()f x g x 在[,]a b 上满足柯西中值定理 ,所以(,)a b η∃∈使22()()()2f f b f a b aηη'-=-()()()()()2f f b f a b a f b aηξη'-'⇒+==-,(,)a b ξ∈由上面二式可得,(,)a b ξη∃∈使得：()()2a b f f ξηη+''=.例4.1.6 设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==.试证：对任意给定的正数,a b 在(0,1)内不同的ξ,η使()()a b a bf f ξη+=+''.证明 由于,0a b >所以01a a b<<+.又由于()f x 在[0,1]上连续且(0)0,(1)1f f ==.由介值性定理,(0,1)τ∃∈使得()a f a bτ=+,()f x 在[0,],[,1]ττ上分别用拉格朗日中值定理有()(0)(),(0,)f f f ττξξτ'-=∈即()(),(0,)f f ττξξτ'=∈ (1)()(1)(),(,1)f f f ττηητ'-=-∈即1()(1)(),(,1)f f ττηητ'-=-∈于是由上面两式有1()1()()()f b f a b f ττηη--==''+()()()()f a f a b f ττξξ==''+将两式相加得1()()()()a b a b f a b f ξη=+''++即()()a b a bf f ξη+=+''.小结 大体上说,证明在某区间内存在,ξη满足某种等式的方法是：①用两次拉格朗日中值定理.②用一次拉格朗日中值定理,一次罗尔中值定理. ③两次柯西中值定理.④用一次拉格朗日中值定理,一次柯西中值定理. 4.2 证明不等式在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例4.2.1[3] 设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续；⑵()f x ''在(,)a b 内存在； ⑶()()0;f a f b ==⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c >求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<.证明 由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以1()0f x '=.由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2!f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈.所以()0f ξ''<.例4.2.2 设0b a <≤,证明lna b a a b abb--≤≤.证明 显然等式当且仅当0a b =>时成立. 下证 当0b a <<时,有lna b a a b ab b--<< ①作辅助函数()ln f x x =,则()f x 在[,]b a 上满足拉格朗日中值定理,则(,)b a ξ∃∈使ln ln 1a b a bξ-=- ②由于0b aξ<<<,所以111a bξ<<③由②③有1ln ln 1a b aa bb-<<-,即lna b a a b ab b--<<.小结 一般证明方法有两种①利用泰勒定理把函数()f x 在特殊点展开,结论即可得证. ②利用拉格朗日中值定理证明不等式,其步骤为：第一步 根据待证不等式构造一个合适的函数()f x ,使不等式的一边是这个函数在区间[,]a b 上的增量()()f b f a -；第二步 验证()f x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,并运用定理,使得等式的另一边转化为()()f b a ξ'-； 第三步 把()f ξ'适当放大或缩小.4.3 利用微分中值定理求极限及证明相关问题例4.3.1 设函数在0x x =点的某一邻域内可导,且其导数()f x '在0x 连续,而0nn x αβ<<当n →∞时00,n n x x αβ→→,求 ()()limn n n n nf f βαβα→∞--.解 设00{},{}()nn u x αβ⊂,则由拉格朗日中值定理有()()(),()n n n n n n n nf f f βαξαξββα-'=<<-. 已知0()nx n ξ→→∞,又()f x '在0x 连续,即00()lim ()x x f x f x →''=,所以0()()limlim ()lim ()()n n n n n x x n nf f f f x f x βαξβα→∞→∞→--'''===.例4.3.2 若()f x 在(,)a +∞内可导,且lim[()()]0x f x f x →∞'+=,求lim ()x f x →∞.分析 由式[()()][()]xxf x f x e f x e ''+=,引进辅助函数()(),()xxF x f x e g x e==,显然()0g x '≠.解 由lim[()()]0x f x f x →∞'+=,知0ε∀>,0X ∃>当x X >时()()f x f x ε'+<,令()()xF x f x e=,()xg x e =对x X>,在[,]X x 上利用柯西中值定理有()()()()()()F x F X F g x g X g ξξ'-='-,(,)X x ξ∈即()()[()()]xXxXf x e f X ef f ee eeξξξξ'-+=-,亦有[()()]()()1X xX xf x f X ef f eξξ---'=+-,或|()||()||()()|(1)X xX xf x f X ef f e ξξ--'≤+++由于lim0X xx e-→+∞=,所以1,x X ∃>当1x x >时有X xeε-<和1X xe-<,于是1x x ∀>,使|()||()|2f x f X εε≤+即lim ()x f x →∞=.小结方法1 选择适当的函数和区间利用拉格朗日中值定理并结合导函数的特点及极限的迫敛性求的最终结果.方法2 选择适当的函数和区间利用柯西中值定理结合具体题意求的最终结果.4.4 证明零点存在性在证明方程根的存在性时,出现满足中值定理的相关条件时,可以考虑运用微分中值定理加以解决.从某种意义来说,微分中值定理为证明方程根的存在性提供了一种方法.例4.4.1 设iaR ∈且满足120 (02)31n a a a a n ++++=+,证明方程12012...0nn a a x a x a x ++++=在(0,1)内至少有一个实根.证明 引进辅助函数23112() (2)31n nxxxF x ax a a a n +=+++++,显然(0)(1)0F F ==,()F x 又是多项式函数在[0,1]上连续,在(0,1)可导,()F x 满足罗尔中值定理的条件,故存在(0,1)ξ∈使()0F ξ'=而1212()...nnF x a a x a x a x '=++++故方程1212...0nna a x a x a x ++++=在(0,1)内至少有一个实根ξ.注 本题构造()F x 的依据是使()F x 得导数恰好是所证方程的左边. 例4.4.2 证明：方程510x x +-=有唯一正根. 证明 （存在性）令5()1f x x x =+-,显然()f x 是连续函数,取区间[0,]N 则()f x 在[0,]N 上连续,在(0,)N 内可导,且4()510f x x '=+>,由连续函数的零点定理,知存在0x (0,)N ∈使0()0f x =即方程有正根(0)N >.（唯一性）下面用反证法证明正根的唯一性,设处0x 外还有一个10x >不妨设01x x <使1()0f x =则()f x 在01[,]x x 上满足罗尔中值定理条件,于是存在01(,)x x ξ∈使()0f ξ'=这与上面的4()510f x x '=+>矛盾.所以,方程有唯一的正根.例 4.4.3 设(),(),()f x g x h x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,证明(,)a b ξ∃∈使()()()()()()0()()()f ag ah a f b g b h b f g h ξξξ='''并由此说明拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是它的特例.证明 作辅助函数()()()()()()()()()()f ag ah a F x f b g b h b f x g x h x =由于()()0F a F b ==,由罗尔中值定理知(,)a b ξ∃∈使()()()0()()()()()()()f ag ah a F f b g b h b f g h ξξξξ'==''',①若令()1h x =,则由①式有()()10()()()1()()f ag a F f b g b f g ξξξ'=='',②由②式可得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-此即柯西中值定理.若令()1h x =,()g x x =由①式有()10()()1()1f a aF f b bf ξξ'==',③由③可得()()()f b f a f b aξ-'=-此即为拉格朗日中值定理.此类型题的一般解题方法小结 证明根的存在性有以下两种方法（1）构造恰当的函数()F x ,使()()F x f x '=；对()F x 使用洛尔定理即可证得结论存在ξ,使得()0f ξ=；（2）对连续函数()f x 使用介值定理；证明根的唯一性一般用反证法,结合题意得出矛盾,进而结论得证.4.5 函数的单调性例4.5.1[6] 证明：若函数()f x 在[0,)a 可导,()f x '单调增加,且(0)0f =,则函数()f x x在(0,)a 也单调增加.证明 对任意12,(0,)x x a ∈,且12x x <,则()f x 在1[0,]x 与12[,]x x 均满足拉格朗日中值定理条件,于是分别存在11212(0,),(,)c x c x x ∈∈,使111()(0)()0f x f f c x -'=-, 21221()()()f x f x f c x x -'=-,由于()f x '单调增加,且(0)0f =,所以121121()()()f x f x f x x x x -≤-,从而1212()()f x f x x x ≤,即函数()f x x在(0,)a 也单调增加.4.6 导数的中值估计例4.6.1[7] 设()f x 在[,]a b 上二次可微, ()()0f a f b ''==,则至少存在一点(,)a b ξ∈,使得22()()()()f f b f a b a ξ''≥--.证明 因为函数()f x 在[,]2a b a +与[,]2a b b +上可导,所以由中值定理有11()()2(),(,),22a bf f a a b f c c a a b a +-+'=∈+- （1）22()()2(),(,),22a bf b f a b f c c b a b b +-+'=∈+-（2）(1)(2)+,并整理得212()()[()()]f c f c f b f a b a''+=--,（3）又()()0f a f b ''==,且()f x 在[,]a b 上二次可微,则分别在1(,)a c 与2(,)c b 内至少存在1ξ与2ξ,使11111()(),(,),f c f a c c aξξ'''=∈-（4）22222()(),(,),f c f c b c bξξ'''=∈-（5） (4)(5)+,并整理得211122()()()()()(),f c f c f c a fc b ξξ''''''+=-+-（6） 将（6）式代入（3）式得11222()()()()()()f b f a f c a f c b b aξξ''''-=-+--令12()max{(),()}f f f ξξξ''''''=,则11222()()()()f b f a f c a f c b b aξξ''''-≤-+--()f b aξ''≤-即22()()()()f f b f a b a ξ''≥--,(,)a b ξ∈.解题方法小结选择适当的区间分别利用拉格朗日中值定理并进行适当处理,再结合具体题目采用适当的手段最终证得所求结论. 4.7 证明函数在区间上的一致连续例4.7.1 设函数()f x 在(0,1]内连续且可导,有0lim ()0x x f x +→'=,证明：()f x 在(0,1]内一致连续.证明 由函数极限的局部有界性知,存在0M >和(0,1)c ∈,使(),(0,]x f x M x c '≤∈于是12,(0,]x xc ∀∈,且12x x ≠不妨设12xx <由柯西中值定理,12(,)x x ξ∃∈,有2121()()()2()1/(2)f x f x f f x x ξξξξ'-'==-即221212212x x x x x x x -=+-≤-故0,ε∀>2m in{(),}2c Mεδ∃=,当12,(0,]x x c ∈,且21x x δ-<时,由上面两式得到212121()()22f x f x M x x M x x ε-≤-≤-<于是知()f x 在(0,]c 上一致连续,由于()f x 在(0,1]上连续,所以()f x 在[,1]c 上一致连续, 由定理知()f x 在(0,1]内一致连续.证明函数在区间上的一致连续解题小结：利用一致连续的定义并结合有关一致连续的定理即可证得结论成立. 4.8 用来判定级数的敛散性例 4.8.1 设函数()f x 在点0x =的某邻域内有二阶连续导数,且()limx f x x→=,证11()n f n ∞=∑绝对收敛. 证明 由0()limx f x x→=且()f x 在0x =可导,知(0)0,(0)0f f '==故()f x 在点x =处的一阶泰勒公式为：2211()(0)(0)()()2!2!f x f f x f x f x ξξ'''''=++=,(0,)x ξ∈因()f x M''≤,故221()()2!2M f x f x xξ''=≤.取1x n=有211()()2M f n n≤ 由于211()2n Mn∞=∑收敛,由比较判别知11()n f n∞=∑绝对收敛. 定理[8] 已知()f x 为定义在[1,)+∞上的减函数,()F x 为定义在[1,)+∞上的连续函数,且()()0F x f x '=>,(1,)x ∈+∞. ⑴当极限l i m ()n F n →∞存在时,正项级数1()n f n ∞=∑收敛,设其和为a,则lim ()(1)lim ()(1)(1)n n F n F a F n F f →∞→∞-≤≤-+；⑵当极限lim ()n F n →∞=∞时,正项级数1()n f n ∞=∑发散.证明 下面只证定理的前半部分.因为函数()F x 在区间[,1]k k +上满足中值定理的条件（其中1k ≥）,所以在(,1)k k +内至少存在ξ使得(1)()()F k F k f ξ+-=成立,又()f x 为减函数,故有(1)(1)()(),1,2,,f k F k F k f k k n +<+-<=⋅⋅⋅.将上述n 个不等式相加得(2)(3)...(1)(1)(1)(1)(2)...()f f f n F n F f f f n ++++<+-<+++. 令(1)(2)...()nS f f f n =+++, 则(1)(1)(1)(1)nnS f f n F n F S -++<+-<,（1）第10页 因极限lim ()n F n →∞存在,()f x 为减函数,从而数列{()}F n 有界,(1)(1)f n f +<,所以数列{}nS 单调递增且有上界,故极限lim nn S →∞存在,即级数1()n f n ∞=∑收敛.从而lim()0n f n →∞=,由（1）可得1lim ()(1)()lim ()(1)(1)n n n F n F f n F n F f ∞→∞→∞=-≤≤-+∑.例4.8.2 判定级数21nn n e∞=∑是否收敛？若收敛,请估计其和.解 令2()xf x x e -=,2()(22)xF x x x e -=-++,则()()F x f x '=,()(2)xf x x x e -'=-,故当2x ≥时,()0f x '≤,此时()f x 为减函数,又lim ()n F n →∞0=,由定理知级数21nn n e∞=∑收敛,且22lim ()(2)lim ()(2)(2)nn n n n F n F F n F f e∞→∞→∞=-≤≤-+∑,所以210(2)(1)0(2)(2)(1)nn n F f F f f e∞=-+≤≤-++∑即2212111014nn n eeeee∞----=+≤≤+∑.判定级数的敛散性的一般解题方法方法一 一般先运用泰勒定理并结合题意,再运用比较判别法即可得到所要证明的结论；方法二 先验证级数满足相关定理的条件,即可得到相应结论；。
第六章 微分中值定理及其应用
由此可得
.
例2 设轴为镜面,光线由点处入射至上点R,经反射后过点Q(图6-2).试用光线沿最省时间的路径传播原理,验证光线反射规律:入射角等反射角.
图6-2
解 设光线由点P出发在平面镜上点R处反射后通过点Q,上述三点分别有坐标为,于是
,
,
光线走过总的路径为
.
因为光线是沿最省时间的路线传播,而光速是常数,所以通过求的极小值,便可确定点R的位置.为此令
由图6-2可见是入射角的余弦,而是反射角的余弦,于是有
即入射角等于反射角.
说明 由于本例是要证明,而不要求具体算出点R的坐标和的最小值,因此当由极值的必要条件推出了结果后,解题过程便告结束.这与通常求极值或最大(小)值的问题稍有不同.
于是解得唯一的极值点为
.
易见时,时,即为极小值点.由于唯一的极值点为最值点,因此当力F与水平方向夹角,力F最小.
注 力学中称为摩擦角.
例4 设函数
(n为正整数).
其中函数当时连续,且.试问点是否为的极值点?当它是极值点时,讨论它是何种极值点?
解 ,
不妨设,由连续函数的局部保号性,在某领域中.
证 因为为方程的n重根，于是该方程有2n个实根，现要证明有n个相异的实根。
=
方程以x=0为单根，重根，因为，由罗尔定理，使得于是有两个单根；又因
其中为二次多项式，故方程还有两个n-2重根。
由此可推测当导数增高一次，相异单根增加一个，但重根各下降一次，现用归纳法证明相应结论。
. பைடு நூலகம்
不妨设,于是有
.
在上对应用达布定理,使得
,
这样就证得
微分中值定理及其应用
f (x) < f (x0) f (x) > f (x0)
习惯上，把极大值与 极小值统称为“极值”， 极大值点与极小值点， O 统称为“极值点”。
x1
x2
x3 x4
图5.2-1
x5 x6
x7
X
第五章 微分中值定理及其应用
§ 5. 2
注：按照定义，“极值”是一个局部概念，“最值”是一个 全局概念。极值是在一个小邻域内最大或最小；而最值则是指 函数在某个区间上的最大或最小。正因为极值是个局部概念， 所以有些极大值可能比极小值还小。如图5.2-1中，极大值f (x1) 比极小值 f (x6) 还小。 另外，“极值点”一定不是定 义区间的边界点，因为函数必须 在极值点的一个邻域内有定义； 但是，“最值点”却可以是定义 区间的端点，如图5.2-2中，最大 值点与最小值点都是区间的端点。
第五章 微分中值定理及其应用
§ 5. 2
5.2.1 极值的概念 若存在x0的某邻域N(x0)，s.t. ∀x∈ N °(x0)，都有 称f (x0)为f 的一个极大值，x0为一个极大值点。 若存在x0的某邻域N(x0),s.t. ∀x∈ N °(x0),有 称f (x0)为f 的一个极小值，x0为一个极小值点。 在图5.2-1中，x1, x3, x5, x7为极大值点，x2, x4, x6为极小值点。
f ( x) − f ( x0 ) ≥ 0, x − x0
(1)
f ( x) − f ( x0 ) ≤ 0, x − x0
对x0右侧的x，f (x) - f (x0) <0，x-x0 >0，从而 于是
f ( x ) − f ( x0 ) f ' ( x0 ) = lim+ ≤0 x → x0 x − x0
《数学分析》第六章微分中值定理及其应用
第六章 微分中值定理及其应用（计划课时： 8时 ）§ 1中值定理 （ 3时 ）一 思路: 在建立了导数的概念并讨论了其计算后，应考虑导数在研究函数方面的一些作用。
基于这一目的，需要建立导数与函数之间的某种联系。
还是从导数的定义出发：00)()(limx x x f x f x x --→=)(0x f '.若能去掉导数定义中的极限符号,即00)()(x x x f x f --=?)(0x f ',则目的就可达到.这样从几何上说就是要考虑曲线的割线与切线之间的平行关系. 一方面要考虑给定割线, 找平行于该割线的切线; 另一方面要考虑给定切线, 找平行于该切线的割线. (1)若给定的割线是水平的、斜的或曲线的方程以参数方程的形式给出，则分别可找出相应的切线平行于该割线，再分析所需要的条件，就可建立起Rolle 定理、Lagrange 定理、Cauchy 定理. 这三个微分中值定理用一句话概括：对于处处连续、处处有切线曲线的每一条割线都可以找到平行于该割线的切线. (2)若给定切线, 找平行于该切线的割线, 则不一定能实现.二 微分中值定理:1. Rolle 中值定理: 叙述为Th1. ( 证 ) 定理条件的充分但不必要性.2. Lagrange 中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.Lagrange 中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 系1 函数)(x f 在区间I 上可导且)( ,0)(x f x f ⇒≡'为I 上的常值函数. (证) 系2 函数)(x f 和)(x g 在区间I 上可导且,)()( ),()(c x g x f x g x f +=⇒'≡'.I ∈x 系 3 设函数)(x f 在点0x 的某右邻域)(0x + 上连续,在)(0x +内可导.若)0()(lim 00+'='+→x f x f x x 存在 , 则右导数)(0x f +'也存在, 且有).0()(00+'='+x f x f (证)但是, )0(0+'x f 不存在时, 却未必有)(0x f +'不存在. 例如对函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0 ,1sin )(2x x xx x f 虽然)00(+'f 不存在,但)(x f 却在点0=x 可导(可用定义求得0)0(='f ).Th3 (导数极限定理) 设函数)(x f 在点0x 的某邻域 )(0x 内连续, 在)(0x内可导. 若极限)(lim 0x f x x '→存在, 则)(0x f '也存在, 且).(lim )(00x f x f x x '='→ ( 证 )由该定理可见, 若函数)(x f 在区间I 上可导,则区间I 上的每一点,要么是导函数)(x f '的连续点,要么是)(x f '的第二类间断点.这就是说,当函数)(x f 在区间I 上点点可导时, 导函数)(x f '在区间I 上不可能有第二类间断点.3. Cauchy 中值定理:Th 4 设函数f 和g 在闭区间],[b a 上连续, 在开区间),(b a 内可导, f '和g '在),(b a 内不同时为零, 又).()(b g a g =/ 则在),(b a 内至少存在一点,ξ 使得)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ. 证 分析引出辅助函数 -=)()(x f x F )()()()(a g b g a f b f --)(x g . 验证)(x F 在],[b a 上满足Rolle 定理的条件, ∍∈∃⇒ ),,( b a ξ-'=')()(ξξf F )()()()(a g b g a f b f --.0)(='ξg必有0)(=/'ξg , 因为否则就有0)(='ξf .这与条件“f '和g '在),(b a 内不同时为零” 矛盾. ⇒Cauchy 中值定理的几何意义.Ex [1]P 163 1—4；三 中值定理的简单应用: ( 讲1时 ) 1. 证明中值点的存在性:例1 设函数f 在区间],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 则),(b a ∈∃ξ, 使得)()(a f b f -)(lnξξf ab'⋅=. 证 在Cauchy 中值定理中取x x g ln )(=.例2 设函数f 在区间],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 且有0)()(==b f a f .试证明: 0)()( ),,(='-∍∈∃ξξξf f b a .2. 证明恒等式: 原理.例3 证明: 对R ∈∀x , 有 2π=+arcctgx arctgx .例 4 设函数f 和g 可导且 ,0)(≠x f 又 .0=''g f gf 则 )()(x cf xg =.(证明0) (='fg. ) 例 5 设对R ∈∀ , h x ,有 2|)()(|Mh x f h x f ≤-+,其中M 是正常数.则函数)(x f 是常值函数. (证明 0='f ).3. 证明不等式: 原理.例6 证明不等式: 0>h 时,h arctgh h h<<+21. 例7 证明不等式: 对n ∀，有nn n 1) 11 ln(11<+<+.4. 证明方程根的存在性:例8 证明方程 0cos sin =+x x x 在),0(π内有实根.例9 证明方程 c b a cx bx ax ++=++23423在) 1 , 0 (内有实根.四 单调函数 （结合几何直观建立）1 可导函数单调的充要条件Th 5设函数)(x f 在区间),(b a 内可导. 则在),(b a 内)(x f ↗(或↘) ⇔在),(b a 内 0)(≥'x f ( 或0≤ ).例10 设13)(3+-=x x x f .试讨论函数)(x f 的单调区间. 解:⑴确定定义域. 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞. ⑵求导数并分解因式.)1)(1(333)(2+-=-='x x x x f⑶确定导数为0的点和不存在的点.令0)(='x f ,得1,1=-=x x⑷将导数为0的点和不存在的点作为分点插入函数的定义域,列表讨论各个区间上的单Th6设函数)(x f 在区间),(b a 内可导. 则在),(b a 内)(x f ↗↗( 或↘↘) ⇔ⅰ> 对),,(b a x ∈∀ 有0)(≥'x f ( 或)0≤; ⅱ> 在),(b a 内任子区间上.0)(≡/'x f3 可导函数严格单调的充分条件 推论 见P124例11 证明不等式 .0,1≠+>x x e xEx [1]P 124—125 1—7.§2 不定式的极限 ( 2时 )一.型: Th 1 (L 'Hospital 法则 ) ( 证 ) 应用技巧. 例1 .cos cos 1lim2xxtg xx +→π例2 )1l n ()21(l i m2210x x e xx ++-→. 例3 xx ex-+→1l i m 0. ( 作代换x t = 或利用等价无穷小代换直接计算. )例4 xx x x s i n 1s i nlim20→. ( L 'Hospital 法则失效的例 )二∞∞型: Th 2 (L 'Hospital 法则 ) ( 证略 )例5 ) 0 ( ,ln lim >+∞→ααxxx .例6 3lim x e xx +∞→.注: 关于x x e x ln ,,α当+∞→x 时的阶.例7 xxx x sin lim +∞→. ( L 'Hospital 法则失效的例 )三. 其他待定型: ∞-∞∞∞⋅∞ , ,0 ,1 ,000.前四个是幂指型的. 例8.ln lim 0x x x +→例9)(sec lim 2tgx x x -→π.例10xx x =→0lim .例11xx x ⎪⎭⎫⎝⎛++→11lim 0.例12()21cos lim x x x →.例13nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→211lim .例14设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0 ,0,0 ,)()(x x x x g x f 且 .3)0( ,0)0()0(=''='=g g g 求).0(f '解 200)(lim 0)(lim )0()(lim )0(x x g xx x g x f x f f x x x →→→=-=-=' 23)0(21)0()(lim 212)(lim 0000=''='-'='=→→g x g x g x x g x x .Ex [1]P 132—133 1—5.§3 Taylor 公式 ( 3时 )一. 问题和任务:用多项式逼近函数的可能性; 对已知的函数, 希望找一个多项式逼近到要求的精度.二. Taylor ( 1685—1731 )多项式:分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式定义 (Taylor 多项式 )(x P n 及Maclaurin 多项式)例1 求函数24)(23+-=x x x f 在点20=x 的Taylor 多项式.三. Taylor 公式和误差估计:称 )()()(x P x f x R n n -=为余项. 称给出)(x R n 的定量或定性描述的式 )()()(x R x P x f n n +=为函数)(x f 的Taylor 公式.1. 误差的定量刻画( 整体性质 ) —— Taylor 中值定理: Th 1 设函数f 满足条件:ⅰ> 在闭区间],[b a 上f 有直到n 阶连续导数; ⅱ> 在开区间),(b a 内f 有1+n 阶导数. 则对),,( ),,(b a b a x ∈∃∈∀ξ 使+-++-''+-'+=n n a x n a f a x a f a x a f a f x f )(!)()(!2)())(()()()(21)1()()!1()(++-++n n a x n f ξ∑=+-=nk kk a x k a f 0)()(!)(1)1()()!1()(++-+n n a x n f ξ. 证 [1]P 138—139.称这种形式的余项)(x R n 为Lagrange 型余项. 并称带有这种形式余项的Taylor 公式为具Lagrange 型余项的Taylor 公式. Lagrange 型余项还可写为 ,)()!1())(()(1)1(++-+-+=n n n a x n a x a fx R θ ) 1 , 0(∈θ.0=a 时, 称上述Taylor 公式为Maclaurin 公式, 此时余项常写为,)()!1(1)(1)1(+++=n n n x x f n x R θ 10<<θ. 2. 误差的定性描述( 局部性质 ) —— Peano 型余项: Th 2 若函数f 在点a 的某邻域 )(a 内具有1-n 阶导数, 且)()(a fn 存在, 则+-++-''+-'+=n n a x n a f a x a f a x a f a f x f )(!)()(!2)())(()()()(2()n a x )(- , )(a x ∈.证 设)()()(x P x f x R n n -=, na x x G )()(-=. 应用L 'Hospital 法则1-n 次,并注意到)()(a fn 存在, 就有=====--→→)()(lim )()(lim )1()1(00x G x R x G x R n n n a x n a x )(2)1())(()()(lim)()1()1(a x n n a x a f a f x f n n n a x -------→ = 0)()()(lim !1)()1()1(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--→a f a x a f x f n n n n a x . 称()nn a x x R )()(-= 为Taylor 公式的Peano 型余项, 相应的Maclaurin 公式的Peano型余项为)()(nn x x R =. 并称带有这种形式余项的Taylor 公式为具Peano 型余项的Taylor 公式( 或Maclaurin 公式 ).四. 函数的Taylor 公式( 或Maclaurin 公式 )展开:1. 直接展开:例2 求 xe xf =)(的Maclaurin 公式.解 ) 10 ( ,)!1(!!2!1112<<++++++=+θθn xn xx n e n x x x e . 例3 求 x x f sin )(=的Maclaurin 公式.解 )()!12() 1 (!5!3sin 212153x R m x x x x x m m m +--+-+-=-- , 10 ,)21(sin )!12()(122<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+θπθm x m x x R m m . 例4 求函数)1ln()(x x f +=的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 .解 )!1() 1()0( ,)1()!1() 1()(1)(1)(--=+--=--n f x n x f n n nn n . )() 1(32)1l n (132n nn x nx x x x x +-+-+-=+-. 例5 把函数tgx x f =)(展开成含5x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式.2. 间接展开: 利用已知的展开式, 施行代数运算或变量代换, 求新的展开式.例6 把函数2sin )(x x f =展开成含14x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 .解 ) (!7!5!3sin 7753x x x x x x +-+-=, ) (!7!5!3sin 141410622x x x x x x +-+-=.例7 把函数x x f 2cos )(=展开成含6x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 . 解 ) (!6!4!21c o s6642x x x x x +-+-=, ), (!62!34212cos 66642x x x x x +-+-= (注意, 0),()(≠=k x kx )∴ ) (!62!321)2c o s1(21c o s 665422x x x x x x +-+-=+=.例8 先把函数xx f +=11)(展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式.利用得到的展开式, 把函数x x g 531)(+=在点20=x 展开成具Peano 型余项的Taylor 公式. 解 ,)1(!)1(1)(++-=n n n x n f !)1()0()(n f n n -=. ); ()1(1)(32nn n x x x x x x f +-++-+-=13)2(511131)2(5131531)(-+=-+=+=x x x x g=⎪⎭⎫⎝⎛--+--+--n n n x x x )2() 135 () 1()2() 135 ()2(135113122 +().)2(n x - 例9 把函数shx 展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式 ，并与x sin 的相应展开式进行比较.解 ), (!!2!112n nxx n x x x e +++++= )(!)1(!2!112n n n xx n x x x e +-+-+-= ; ∴ ) ( )!12(!5!32121253---+-++++=-=m m x x x m x x x x e e shx . 而 ) ()!12()1(!5!3sin 1212153---+--+-+-=m m m x m x x x x x . 五. Taylor 公式应用举例:1. 证明e 是无理数: 例10 证明e 是无理数.证 把xe 展开成具Lagrange 型余项的Maclaurin 公式, 有10 ,)!1(!1!31!2111<<+++++++=ξξn e n e . 反设e 是有理数, 即p q p e ( =和q 为整数), 就有 =e n !整数 + 1+n e ξ.对qpn e n q n ⋅=>∀!! ,也是整数. 于是,-⋅=+q p n n e !1ξ整数 = 整数―整数 = 整数.但由,30 ,10<<<⇒<<e e ξξ 因而当 3>n 时，1+n e ξ不可能是整数. 矛盾.2. 计算函数的近似值:例11 求e 精确到000001.0的近似值.解 10 ,)!1(!1!31!2111<<+++++++=ξξn e n e . 注意到,30 ,10<<<⇒<<e e ξξ 有 )!1(3) 1 (+≤n R n . 为使000001.0)!1(3<+n , 只要取9≥n . 现取9=n , 即得数e 的精确到000001.0的近似值为 718281.2!91!31!2111≈+++++≈ e . 3. 利用Taylor 公式求极限: 原理:例12 求极限 ) 0 ( ,2lim20>-+-→a x a a x x x . 解 ) (ln 2ln 1222ln x a x a x ea ax x+++==,) (ln 2ln 1222x a x a x ax++-=-;). (ln 2222x a x aa xx+=-+-∴ a xx a x x a a x x x x 22222020ln )(ln lim 2lim =+=-+→-→ . 4． 证明不等式： 原理.例13 证明: 0≠x 时, 有不等式 x e x+>1. Ex[1]P141 1—3.§4 函数的极值与最大（小）值（ 4时 ）一 可微函数极值点判别法:极值问题:极值点,极大值还是极小值, 极值是多少.1. 可微极值点的必要条件: Th1 Fermat 定理(取极值的必要条件).函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点, 可疑点的求法.2. 极值点的充分条件: 对每个可疑点, 用以下充分条件进一步鉴别是否为极（结合几何直观建立极值点的判别法）Th 2 (充分条件Ⅰ) 设函数)(x f 在点0x 连续, 在邻域) , (00x x δ-和) , (00δ+x x 内可导. 则ⅰ> 在) , (00x x δ-内,0)(<'x f 在) , (00δ+x x 内0)(>'x f 时,⇒ 0x 为)(x f 的一个极小值点;ⅱ> 在) , (00x x δ-内,0)(>'x f 在) , (00δ+x x 内0)(<'x f 时,⇒ 0x 为)(x f 的一个极大值点;ⅲ> 若)(x f '在上述两个区间内同号, 则0x 不是极值点.Th 3 (充分条件Ⅱ——“雨水法则”)设点0x 为函数)(x f 的驻点且)(0x f ''存在.则 ⅰ> 当0)(0<''x f 时, 0x 为)(x f 的一个极大值点;ⅱ> 当0)(0>''x f 时, 0x 为)(x f 的一个极小值点.证法一 .)(lim )()(lim)(000000x x x f x x x f x f x f x x x x -'=-'-'=''→→当0)(0<''x f 时, 在点0x 的某空心邻域内0)(x x x f -')( ,0x f '⇒<与0x x -异号,…… 证法二 用Taylor 公式展开到二阶, 带P eano 型余项. Th 4 (充分条件Ⅲ ) 设0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n ,而0)(0)(≠x fn .则ⅰ> n 为奇数时, 0x 不是极值点; ⅱ> n 为偶数时, 0x 是极值点. 且0)(0)(>x fn 对应极小; 0)(0)(<x f n 对应极大.例1 求函数32)52()(x x x f -=的极值.例2 求函数x x x f 432)(2+=的极值. 例3 求函数34)1()(-=x x x f 的极值.注 Th 2、 Th 3、 Th 4只是极值点判别的充分条件.如函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-.0,0,0,)(21x x e x f x 它在0=x 处取极小值,但因 ,2,1,0)0()(==k f k .所以无法用Th 4对它作出判别.二 函数的最大值与最小值:⑴设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且仅有有限个可疑点n x x x ,,,21 . 则 )(m a x ],[x f b a x ∈=max } )(,),(),(),(),( {21n x f x f x f b f a f ;m i n )(m i n ],[=∈x f b a x } )(,),(),(),(),( {21n x f x f x f b f a f .⑵函数最值的几个特例: ⅰ> 单调函数的最值:ⅱ> 如果函数)(x f 在区间],[b a 上可导且仅有一个驻点, 则当0x 为极大值点时,0x 亦为最大值点; 当0x 为极小值点时, 0x 亦为最小值点.ⅲ> 若函数)(x f 在R 内可导且仅有一个极大(或小)值点, 则该点亦为最大(或小)值点.ⅳ> 对具有实际意义的函数, 常用实际判断原则确定最大(或小)值点. 例4 求函数x x x x f 1292)(23+-=在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25,41上的最大值与最小值.⑶最值应用问题:例5 A 、B 两村距输电线(直线)分别为km 1 和km 5.1（如图）， CD 长.3km . 现两村合用一台 变压器供电. 问变压器设在何处,输电线总长BE AE +最小.解 设x 如图，并设输电线总长为(x L.30 ,5.1)3(1)(222≤≤+-++=+=x x x EB AE x L015.1)3(1)3(5.1)3()(222222令===+⋅+-+--+-='x x x x x x x L ,⇒1)3(5.1)3(222+-=+-x x x x , .09625.1 2=-+⇒x x解得 2.1=x 和 6-=x ( 舍去 ). 答： …… 三 利用导数证明不等式:我们曾在前面简介过用中值定理或Taylor 公式证明不等式的一些方法. 其实, 利用 导数证明不等式的方法至少可以提出七种 ( 参阅[3]P 112—142 ). 本段仅介绍利用单调性 或极值证明不等式的简单原理.1. 利用单调性证明不等式:原理: 若f ↗, 则对βα<∀, 有不等式)()(βαf f ≤. 例5证明: 对任意实数a 和b , 成立不等式. 1 ||1||||1b b a a b a b a +++≤+++证 取⇒>+='≥+= ,0)1(1)( ).0( ,1)(2x x f x x x x f 在) , 0 [∞+内)(x f ↗↗. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++.2. 不等式原理: 设函数)(x f 在区间) , [∞+a 上连续,在区间) , (∞+a 内可导, 且0)(>'x f ; 又 .0)(≥a f 则 a x >时, .0)(>x f (不等式原理的其他形式.)例6 证明: 21>x 时, 1)1ln(2->+arctgx x .例7 证明: 0>x 时, !3sin 3x x x ->.3. 利用极值证明不等式: 例8 证明: 0≠x 时, x e x+>1. Ex [1]P 146—147 1—9.§5 函数的凸性与拐点（ 2时 ）一． 凸性的定义及判定：1． 凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别. 定义 见书P146凸性的几何意义: 曲线的弯曲方向;曲线与弦的位置关系;曲线与切线的位置关系. 引理(弦与弦斜率之间的关系)2． 利用一阶导数判断曲线的凸向 Th1 (凸的等价描述) 见书P146例1 (开区间内凸函数的左、右可导性,从而开区间内凸函数是连续的)3． 利用二阶导数判断曲线的凸向:Th2 设函数)(x f 在区间),(b a 内存在二阶导数, 则在),(b a 内 ⑴ )( ,0)(x f x f ⇒<''在),(b a 内严格上凸; ⑵ )( ,0)(x f x f ⇒>''在),(b a 内严格下凸. 证法一 ( 用Taylor 公式 ) 对),,(,21b a x x ∈∀ 设2210x x x +=, 把)(x f 在点 0x 展开成具Lagrange 型余项的Taylor 公式, 有,)(2)())(()()(201101001x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ 202202002)(2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ.其中1ξ和2ξ在1x 与2x 之间. 注意到 )(0201x x x x --=-, 就有[]20222011021))(())((21)(2)()(x x f x x f x f x f x f -''+-''+=+ξξ, 于是若有⇒<'' ,0)(x f 上式中[])(2)()( ,0021x f x f x f <+⇒< , 即)(x f 严格上凸. 若有⇒>'' ,0)(x f 上式中[])(2)()( ,0021x f x f x f >+⇒> , 即)(x f 严格下凸.证法二 ( 利用Lagrange 中值定理. ) 若,0)(>''x f 则有)(x f '↗↗, 不妨设21x x <,并设2210x x x +=,分别在区间],[01x x 和],[20x x 上应用Lagrange 中值定理, 有 ))(()()( ),,(10110011x x f x f x f x x -'=-∍∈∃ξξ, ))(()()( ),,(02202202x x f x f x f x x -'=-∍∈∃ξξ.有),()( ,2122011ξξξξf f x x x '<'⇒<<<< 又由 00210>-=-x x x x ，⇒ ))((101x x f -'ξ<))((022x x f -'ξ, ⇒)()()()(0210x f x f x f x f -<-， 即 ⎪⎭⎫⎝⎛+=>+22)(2)()(21021x x f x f x f x f ， )(x f 严格下凸.可类证0)(<''x f 的情况.例2 讨论函数x x f arctan )(=的凸性区间.例3 若函数)(x f 为定义在开区间),(b a 内的可导函数,则),(0b a x ∈为)(x f 的极值点的 充要条件是0x 为)(x f 的稳定点，即.0)(0='x f4． 凸区间的分离: )(x f ''的正、负值区间分别对应函数)(x f 的下凸和上凸区间.二.曲线的拐点: 拐点的定义.Th3 (拐点的必要条件) Th4注:. 例4 讨论曲线x x f arctan )(=的拐点.Jensen 不等式: 设在区间],[b a 上恒有0)(>''x f ( 或) 0<, 则对],[b a 上的任意n 个点 )1(n k x k ≤≤, 有Jensen 不等式:∑=≥n k k x f n 1)(1( 或⎪⎭⎫⎝⎛≤∑=n k k x n f 11) ,且等号当且仅当n x x x === 21时成立.证 令∑==nk k x n x 101, 把)(k x f 表为点0x 处具二阶Lagrange 型余项的Taylor 公式，仿前述定理的证明，注意∑==-nk kx x10,0)( 即得所证.对具体的函数套用Jensen 不等式的结果,可以证明一些较复杂的不等式.这种证明不等式的方法称为Jensen 不等式法或凸函数法.具体应用时,往往还用到所选函数的严格单调性.例2 证明: 对,,R ∈∀y x 有不等式 )(212y xy x e e e+≤+. 例3 证明均值不等式: 对+∈∀R n a a a ,,,21 , 有均值不等式na a a n11121+++ n a a a a a a nn n +++≤≤ 2121 . 证 先证不等式na a a a a a nn n +++≤ 2121.取x x f ln )(=. )(x f 在) , 0 (∞+内严格上凸, 由Jensen 不等式, 有∑∑∑∑∏=====⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤==n k n k k n k k k n k k n nk k x n x n f x f n x n x 111111ln 1)(1ln 1ln .由)(x f ↗↗ ⇒ na a a a a a n n n +++≤ 2121 .对+∈R na a a 1,,1,121 用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端. 例4 证明: 对R ∈∀n x x x ,,,21 , 有不等式nx x x n x x x nn 2222121+++≤+++ . ( 平方根平均值 ) 例5设6=++z y x ，证明 12222≥++z y x . 解 取2)(x x f =, 应用Jensen 不等式.例6 在⊿ABC 中, 求证 233sin sin sin ≤++C B A . 解 考虑函数x x x f x x x f sin . 0 , 0 sin .0 ,sin )(⇒<<-=''≤≤=ππ在 区间) , 0 (π内凹, 由Jensen 不等式, 有233sin 33)()()(3sinC sinB sinA ==⎪⎭⎫⎝⎛++≤++=++∴πC B A f C f B f A f . 233sinC sinB sinA ≤++⇒.例7 已知1 ,,,=++∈+c b a c b a R . 求证6737373333≤+++++c b a .解 考虑函数3)(x x f =, )(x f 在) , 0 (∞+内严格上凸. 由Jensen 不等式, 有≤+++++=+++++3)73()73()73(3737373333c f b f a f c b a 28)8()7(37373733===+++=⎪⎭⎫⎝⎛+++++≤f c b a f c b a f . ⇒6737373333≤+++++c b a .例8 已知 .2 , 0 , 033≤+>>βαβα 求证 2≤+βα. ( 留为作业 )(解 函数3)(x x f =在) , 0 (∞+内严格下凸. 由Jensen 不等式, 有=+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2)()(228)(33βαβαβαβαf f f ⇒=≤+ ,122233βα 2 , 8)(3≤+⇒≤+βαβα. )Ex [1]P 153 1—5.§6 函数图象的描绘（ 2时 ）微分作图的步骤: ⑴确定定义域.⑵确定奇偶性、周期性.⑶求一阶导数并分解因式,同时确定一阶导数为0的点和不存在的点. ⑷求二阶导数并分解因式,同时确定二阶导数为0的点和不存在的点.⑸将一阶、二阶导数为0的点和不存在的点作为分点插入函数的定义域，列表讨论各个区间上的单调性、凹凸性及各分点的极值、拐点. ⑹确定渐近线.⑺适当补充一些点,如与坐标轴的交点. ⑻综合以上讨论作图. 例1 描绘函数3231)(+--=x x x x f 的图象. 例2 描绘函数222)(21)(σμσπ--=x ex f (其中0,>σμ为常数)的图象.Ex [1]P 155 (1)—(8).。
微分中值定理及其应用
第2章 微分和微分法·导数的简单应用90 §2-4 微分中值定理及其应用读者知道，常数(作为区间上的常值函数)的导数恒等于零，那么相反的结论也是正确的吗？又当函数)(x f 在区间),(b a 内单调增大时，由于0(0)()()0(0)x f x x f x x ≥∆>⎧+∆-⎨≤∆<⎩， 从而0)()(≥∆-∆+x x f x x f , 所以它的导数(若存在的话)()()()lim0∆→+∆-'=≥∆x f x x f x f x x那么反过来，若)(0)(b x a x f <<≥'时，函数)(x f 在区间),(b a 内一定是单调增大的吗？要回答这样的问题，就要用到微分学中最重要的一个定理，即微分中值定理(或称拉格朗日中值定理).1.微分中值定理 为了证明微分中值定理，通常都是先证明罗尔定理作为引理. 罗尔定理 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内有导数，且0)()(==b f a f ，则至少有一点),(b a c ∈，使()0f c '=(图2-14)（*）.证 因为函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，所以它在区间],[b a 上有最大值M 和最小值m .若=m M ，则()0()≡≤≤f x a x b ，结论显然成立；若<m M ，则)(x f 在区间),(b a 内某点c 取到最大值或最小值（即不可能同时在两个端点上取到最大值和最小值）.根据定理2-1，有()0f c '=.【注】下面的结论有时也称为罗尔定理： 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续且()()f a f b =.若()f x 在开区间(,)a b 内有导数，则至少有一点(,)c a b ∈，使()0f c '=.(图2-15)只要作辅助函数()()()F x f x f a =-，则()()0F a F b ==.根据已证的罗尔定理，就会有点),(b a c ∈，使()()0F c f c ''==.微分中值定理 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且在开区间),(b a 内有导数，则至少有一点),(b a c ∈使)()()()(b c a ab a f b fc f <<--=' （2-6）（*）罗尔一生从未接受微积分.他是一个代数学家.他可能是在研究代数方程的根时得出类似的结论.后来人们习惯上称它为罗尔定理（他的结论不可能是这种形式）.)图2-14)§2-4 微分中值定理及其应用 91特别，当)()(b f a f =时，它就是罗尔定理（见罗尔定理后的注）.因此，微分中值定理是罗尔定理的推广.[分析] 如图2-16，曲线)(x f y =上必有一点(,())C c f c ，它在该点处切线的斜率等于弦AB 的斜率(切线与弦平行)，即式(2-6).证 考虑函数(曲线与弦的差))]()()()([)()(a x ab a f b f a f x f x ---+-=δ（图2-17）显然，函数)(x δ在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内有导数，且0)()(==b a δδ(在区间两端等于零).根据罗尔定理，必有点),(b a c ∈，使0)(='c δ，即)()()()(b c a ab a f b fc f <<--='【注】微分中值定理的上述证明方法的优点是直观, 而下面的证明方法容易推广（用于证明§2-9中的泰勒公式）.设待定常数C 满足条件()()()f b f a C b a =+- （※）再作辅助函数()()[()()]()F t f t f a C t a a t b =-+-≤≤, 则函数()F t 在区间[,]a b 上满足罗尔定理的条件，因此有中值(,)c a b ∈, 使()0F c '=, 即()()0()F c f c C C f c '''=-=⇔=.把它代入上面的等式（※）, 则得()()()()()f b f a f c b a a c b '=+-<< 或 ()()()()f b f a f c a c b b a-'=<<-等式(2-6)又称为拉格朗日中值公式或微分中值公式.它有很多变形，例如，若令)10(<<--=θθab a c则拉格朗日中值公式为()()[()]()(01)f b f a f a b a b a θθ'-=+--<< (2-7)它对b a >也成立.又如，若函数)(x f 在开区间),(b a 内有导数，则对任意),(b a x ∈和()(,)x x a b +∆∈，都有)10()()()(<<∆∆+'=-∆+θθx x x f x f x x f (2-8) 通常称它为有限增量公式(其中x ∆为有限增量．．．．)，以便区别于无穷小量形式(或极限形式)的公式图2-17图2-16第2章 微分和微分法·导数的简单应用92 ()()()()f x x f x f x x o x '+∆-=∆+∆其中x x d =∆为无穷小量.请读者注意两者的区别．．．．．．．．．．. 微分中值定理和罗尔定理，只断定那个中值)(b c a c <<的存在性，而没有指出它在区间),(b a 内的具体位置.尽管如此，仍不失它在微积分中的重要性，因为在几乎所有的应用中，并不需要知道它在区间),(b a 内的具体位置.微分中值定理使我们能够根据函数的导数．．．．．．．．．．．．．．．．．．)(x f '所提供的信息，反过来去推断函数本身所具有的某些特性或变化状态．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 推论 若函数)(x f 在区间),(b a 内处处有导数，且0)(≡'x f )(b x a <<，则()≡f x 常数()<<a x b证 设),(0b a x ∈为任意固定一点.根据拉格朗日中值公式，对于任意),(b a x ∈，都有)10(0))](([)()(0000<<=--+'=-θθx x x x x f x f x f即))(()(0b x a x f x f <<≡.对于定义在区间,a b 上的函数)(x f ，若另有定义在区间,a b 上的可微函数()F x 使d ()()d F x f x x = 或 ()()F x f x '=则称函数()F x 为)(x f 的一个原函数.函数)(x f 在区间,a b 上的原函数不是唯一的，若函数()G x 也是它在区间,a b 上的原函数，因为[]()()()()()()0F x G x F x G x f x f x '''-=-=-=根据上述推论，所以()()F x G x c -≡(常数)或()()F x G x c ≡+.因此，若函数()f x 在区间,a b 上有原函数，则它在该区间上就会有无穷多个原函数，而且每两个原函数之间只能相差一个常数.2.函数单调性的判别法 下面的结论实际上也是微分中值定理的推论.它指出了用导数判别函数单调性的方法.定理2-2 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且在开区间),(b a 内处处有导数. ⑴ 若()0()f x a x b '><<，则)(x f 在区间],[b a 上是增函数； ⑵ 若()0()f x a x b '<<<，则)(x f 在区间],[b a 上是减函数. （在有限个点上有0)(='x f 时，结论仍成立）证 设1x 和2x 为区间],[b a 上任意两点且21x x <，根据拉格朗日公式，则有2112121()()[()]()f x f x f x x x x x θ'-=+--若()0()f x a x b '><<，则21()()0f x f x ->，即)()(21x f x f <，因此()f x 是增函数；若()0()f x a x b '<<<，则21()()0f x f x -<，即12()()f x f x >，因此()f x 是减函数. 例18 设13)(23-+=x x x f ，则)2(363)(2+=+='x x x x x f 于是，方程0)(='x f 有根12x =-和20x =. 用这两个根把函数)(x f 的定义域),(+∞-∞分§2-4 微分中值定理及其应用 93成三个小区间 (图2-18)：]0)([),0(],0)([)0,2(],0)([)2,(>'+∞<'->'--∞x f x f x f可见，函数)(x f 在区间)2,(--∞和),0(+∞内增大，而在区间)0,2(-内减小.3.证不等式的方法情形Ⅰ 设函数)(x f 和)(x g 在区间),[b a 上连续且在),(b a 内有导数.若满足条件：()i )()(a g a f = 和 ()ii ()()()f x g x a x b ''><<则))(()(b x a x g x f <<>.(见图2-19)情形Ⅱ 设函数)(x f 和)(x g 在区间],(b a 上连续且在),(b a 内有导数.若满足条件：()i )()(b g b f = 和 ()ii ()()()f x g x a x b ''><<则))(()(b x a x g x f <<<.(见图2-20)证 譬如证情形Ⅰ(图2-19).令)()()()(b x a x g x f x h <≤-=.根据条件()i ，则0)(=a h ；根据条件()ii ，()0()h x a x b '><<.因此，)(x h 是增函数.于是，)()()(0b x a x h a h <<<=所以有))(()(b x a x g x f <<>.例19 证明：⑴ 当0>x 时，x x <+)1ln(； ⑵ 当1->x 且0≠x 时，xx x +>+1)1ln(.因此，当0>x 时，有x x xx <+<+)1ln(1.证 ⑴令)1ln()(,)(x x g x x f +==，则0)0()0(==g f 且)0(11)(1)(>+='>='x xx g x f [属于情形Ⅰ]因此，有)0()1ln(>+>x x x .图2-19图2-20图2-18•2-·0x第2章 微分和微分法·导数的简单应用94 ⑵ 令)1ln()(,1)(x x g xx x f +=+=. 在区间]0,1(-上，0)0()0(==g f 且 )(11)1(1)(2x g xx x f '=+>+=' [属于情形Ⅱ]因此，有)1ln(1x xx +<+)01(<<-x .其次，在区间),0[+∞上，0)0()0(==g f 且 )(11)1(1)(2x g xx x f '=+<+=' [属于情形Ⅰ]因此，有)1ln(1x xx +<+)0(+∞<<x .习 题1.不求导数，而根据罗尔定理证明：函数22)(23+--=x xx x f在区间)1,1(-内必有点c ，使0)(='c f .2.证明：不论m 为何值，多项式m x x x P +-=3)(3在区间]1,1[-上不会有两个实根.3.设多项式nn x a x a x a a x P ++++= 2210)(的系数满足等式01321210=+++++n a aa a n 证明：多项式)(x P 在区间)1,0(内必有实根. 提示：考虑函数1210121)(+++++=n n x n a x a x a x f .4.设函数)(x f 在有限开区间),(b a 内有导数，且A x f x f bx ax ==-+→→)(lim )(lim （有限值）证明：在),(b a 内至少有一点c ，使0)(='c f .提示：将函数()f x 连续延拓到闭区间[,]a b 上.5.设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间),(b a 内可微分，且()()0f a f b ==.证明：对任意实数λ，必存在点(,)a b ξ∈，使()()f f ξλξ'=提示：令()e()xF x f x λ-=.6.对于下列函数，在所示区间上应用拉格朗日中值公式，求出中值c ：⑴)51()(2≤≤=x x x f ； ⑵)42(1)(≤≤=x xx f ；⑶)94()(≤≤=x x x f ； ⑷)e 1(ln )(≤≤=x x x f .答案：⑴3=c ；⑵22=c ；⑶4/25=c ；⑷1e -=c .7.证明：对于0≥x ，则有)(x θθ=使§2-4 微分中值定理及其应用 95θ+=-+x x x 211而且)(x θθ=满足01111;lim ;lim 4242x x θθθ+→+∞→≤≤==8.设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且在开区间),(b a 内有导数.证明：必有点),(b a c ∈，使)()()()(c f c c f ab a af b bf '+=-- [ 提示：考虑函数)()(x xf x g =]9.设函数()f x 在点a 连续且有极限lim ()x af x →'.证明：必有导数()f a '且()lim ()x af a f x →''= [点a 的导数等于近旁导数的极限]同样，若函数()f x 在点a 左连续[右连续]且有左极限lim ()x af x -→'[右极限lim ()x af x +→']，则必有左导数()f a -'[右导数()f a +']且()lim ()x a f a f x --→''= ()lim ()x a f a f x ++→⎡⎤''=⎢⎥⎣⎦提示：()()()f a x f a f a x x θ'+∆-=+∆∆(01)θ<<.【注1】根据这个结论, 函数1,()0,x a f x x a=⎧=⎨≠⎩在含点a 的区间内没有原函数（用反证法证）。
微分中的中值定理及其应用
微分中的中值定理及其应用微分中的中值定理是微积分中的基本定理之一，它在数学和物理学中具有重要的应用。
本文将介绍微分中的中值定理及其应用，并展示其在实际问题中的解决方法。
一、中值定理的概念与原理中值定理是微分学中的重要理论，它涉及到函数在某个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的联系。
其中最常见的三种形式为：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 罗尔定理罗尔定理是中值定理的基础，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
罗尔定理可通过对函数在该区间的最大值和最小值进行讨论得出，它主要用于证明函数在某一区间上恒为常数的情况。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理的一种推广，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
拉格朗日中值定理的证明可以通过构造辅助函数g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]x来完成，它可以将任意两点间的斜率与函数在某一点的导数联系起来。
3. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的进一步推广，它的表述为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则至少存在一点c，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理可以用来研究函数间的关系，它提供了一种描述两个函数在某一区间上的变化率相等的条件。
二、中值定理的应用中值定理不仅仅是一种理论工具，还具有广泛的应用。
下面将介绍中值定理在实际问题中的应用案例。
1. 最速下降线问题最速下降线问题是求解两个给定点之间的最短路径问题。
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用微分中值定理是微积分中的一个重要定理，也是微分学中的基本定理之一。
该定理通常用于研究函数在某一点的变化情况，可以推导出许多与函数极值、单调性、零点和曲率等相关的性质。
微分中值定理的数学表述如下：若函数f(x)在[a, b]区间内满足以下条件：1、f(x)在[a, b]区间内可导；2、f(a)和f(b)存在；则在[a, b]内必有一个点c满足：f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)其中，f'(c)表示在点c处的导数。
这个定理的意义可以用图示表示为以下：此外，微分中值定理也可以用于求函数的 Taylor 展开式和曲率等问题。
下面我们来看一些微分中值定理的应用实例。
例1：证明一次函数f(x) = kx + b的图像线性。
我们知道，要证明一条直线呈现线性图像，需要证明其斜率k是恒定不变的。
因此，我们可以利用微分中值定理进行证明。
由于f(x)是一个一次函数，因此它在[a, b]区间内可导。
我们设该区间的两个端点为a和b，于是由微分中值定理可知，在[a, b]区间内必有一个点c满足：f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)根据f(x) = kx + b的定义，我们可以计算出其导数：f'(x) = k因此，有：即k是[b, a]区间上两个点间f(x)的变化率的平均值。
也就是说，k是线性函数在任何两个点间斜率的平均值，从而证明了一次函数的图像呈现线性。
例2：证明一段周期函数的平均值等于零。
假设f(x)是一个具有周期T的函数，即f(x+T) = f(x)，我们需要证明其平均值为0，即：(1/T) * ∫f(x)dx = 0 （其中，积分区间为一个周期）我们首先对函数进行平移（或反演）操作，得到：由于g(x)的平均值为0，那么根据微分中值定理，我们可以得到：∃c∈[x, x+T]，使得g'(c) = g(x+T) - g(x) / T = 0即：由此可得：因此，f(x)的周期平均值为f(c)，而由于函数具有周期性，因此f(c)等于函数的平均值，即证明了我们的论点。
第六章 微分中值定理及其应用
第六章 微分中值定理及其应用在这一章里，讨论了怎样由导数f ′的已知性质来推断函数所应具有的性质．微分中值定理正是进行这一讨论的有效工具．f 一、拉格朗日中值定理1．罗尔定理定理 设函数在区间满足：f ],[b a i）在区间上连续，f ],[b a ii）在区间上可导，f ),(b a iii），)()(b f a f =则在内至少存在一点),(b a ξ，使得0)(=′ξf ．几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端高度相同，则至少存在一条水平切线.例1 设f 为上的可导函数，证明：若方程R 0)(=′x f 没有实根，则方程至多只有一个实根.0)(=x f 2．拉格朗日定理：设函数在区间满足：f ],[b a i）在区间上连续f ],[b a ii）在区间上可导f ),(b a 则在内至少存在一点),(b a ξ，使得ab a f b f f −−=′)()()(ξ （拉格朗日公式） 注：几何意义：在满足条件的曲线上至少存在一点，曲线在该点处的切线平行于曲线端点的连线.拉格朗日公式的几种等价表示：))(()()(a b f a f b f −′=−ξ)))((()()(a b a b a f a f b f −−+′=−θ ， 10<<θh h a f a f h a f )()()(θ+′=−+ ， 10<<θ推论 （1）若函数在区间f I 上可导，且0≡′)(x f ，则为区间f I 上的常值函数.（2）若函数和f g 均在区间I 上可导，且)()(x g x f ′≡′，则在区间I 上和f g 只相差一个常数，即c x g x f +=)()(（3）导数的极限定理：设函数在点的某邻域连续，在内可导，且存在，则在可导，且 f 0x )(0x U )(0x U o )(lim 0x f x x ′→f 0x )(0x f ′＝ )(lim x f x x ′→0注：这个定理给出的是充分条件，即当)(lim x f x x ′→0不存在的时候，也可能存在．例如 )(0x f ′⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00012x x x x y ,,sin ．但是也要注意的是如果的左右极限都存在当不相等，则一定不存在．这一点也说明了若在区间)(lim x f x x ′→0)(0x f ′f I 上可导，那么要么连续，要么只可能有第二类间断点．)(x f ′3．拉格朗日定理的一些应用：（证明不等式）例 证明对一切0,1≠−>h h ，下列不等式成立h h hh <+<+)ln(11 （根的存在及个数的估计） 例 设为多项式，)(x p α为0)(=x p 的r 重根，证明α为0)(=′x p 的1−r 重根． (利用导数的极限定理求分段函数的导数)例 求分段函数⎩⎨⎧>+≤+=0),1ln(0,sin )(2x x x x x x f 的导数．（关于函数的单调性的讨论）定理 设函数在区间f I 上可导，则在区间f I 上递增（减）的充要条件是： ))(()(00≤′≥′x f x f例 讨论的单调区间．x x x f −=3)(定理 若函数在上可导，则在上严格递增（减）的充要条件是：f ),(b a f ),(b a i)对一切，有),(b a x ∈))(()(00≤′≥′x f x fii)在内的任何子区间上),(b a 0≠′)(x f .推论 若函数在上可导，且f ),(b a 0>′)(x f (0<′)(x f )，则在上严格递f ),(b a增（减）．注：若函数在上（严格）递增（减）且在点a 右连续，则在上（严格）递增（减），对右端点的讨论类似.（利用单调性证明不等式） f ),(b a f ),[b a 例 证明，0,1≠+>x x e x )2,0(,sin 2ππ∈<<x x x x 二 、柯西中值定理和不定式的极限1．定理（柯西中值）设函数和f g 满足：1)在区间上连续，],[b a 2)在区间上都可导，),(b a 3)与不同时为0，)(x f ′)(x g ′4)，)()(b g a g ≠则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得：)()()()()()(b g a g a f b f g f −−=′′ξξ 几何意义：与拉格朗日的类似．例 设函数在()上连续,在内可导，则至少存在一点f ],[b a 0>a ),(b a ),(b a ∈ξ，使得ab f a f b f ln )()()(ξξ′=− 2．不定式的极限0型的不定式 定理 若函数和f g 满足：1) ． =→)(lim x f x x 000=→)(lim x g x x 2)在点的某空心邻域内二者都可导，且0x )(0x U o 0)(≠′x g ．3) A x g x f x x =′′→)()(lim 0(A 可为实数，也可为无穷大)． 则)()(lim0x g x f x x →＝A x g x f x x =′′→)()(lim 0 例 求xx x 21tan cos lim +→π )1ln()21(lim 2210x x e x x ++−→ x x e x −+→1lim 0∞∞型的不定式 定理 若函数和f g 满足：1) ． =→)(lim x f x x 0∞=→)(lim x g x x 02)在点的某空心邻域内二者都可导，且0x )(0x U o 0≠′)(x g ．3) A x g x f x x =′′→)()(lim 0(A 可为实数，也可为无穷大)． 则 )()(lim x g x f x x 0→＝A x g x f x x =′′→)()(lim 0 例 x x x ln lim+∞→ (αx x x ln lim +∞→，只要0>α) 3lim x e xx +∞→注：在)()(lim x g x f x x ′′→0不存在的时候，并不能说明)()(lim x g x f x x 0→不存在. 比如以下几个不能使用罗比达法则的例子：x x x x sin lim +∞→ xx x x x sin sin lim −+∞→ 其他类型的不定式极限：型 ∞⋅0x x x ln lim +→0型 ∞121x x x )(cos lim → 型 00x k x x ln )(sin lim +→+10型 0∞x x x x ln )(lim 121+++∞→型 ∞−∞)ln 111(lim 1xx x −−→ 对于数列的极限也可以用罗比达法则来求．例 n n n n )(lim 2111+++∞→ → x x xx )(lim 2111+++∞→ 三、泰勒公式多项式是各种函数中最简单的一种，本节是考虑如何用多项式去逼近函数，因此是近似计算的重要内容.1.带有皮亚诺型余项的泰勒公式考察下列多项式n n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010−++−+−+=L则不难发现，)(00x p a n =!)(101x p a n ′=， !2)("01x p a n = ，… , !)()(n x p a n n n 0= 那么对于一般函数，设它在点具有直到阶的导数，由这些导数可以构造一个多项式f 0x n n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T )(!)()(!)()(!)()()()(0020000021−++−′′+−′+=L 称其为在的泰勒多项式，系数为泰勒系数．不难发现f 0x )()()()(00x T x f k n k = ),,,(n k L 10=定理 函数在点存在直到阶的导数，则有，即f 0x n ))(()()(n n x x o x T x f 0−+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!)()(!)()()()(0020000021−++−′′+−′+=L ……… 带有皮亚诺型余项的泰勒公式))((n x x o 0−+当时,称00=x )(!)(!)(!)()()()(n n n x o x n f x f x f f x f +++′′+′+=0201002L 为带有皮 亚诺型余项的麦克劳林公式．以下是几个常用函数的麦克劳林公式：)(!!n n x x o x n x x e +++++=12112L )()!()(!!sin !222531215131++++−+++−=m m m x o x m x x x x L)()!()(!!cos 122422141211++−+++−=m m mx o x m x x x L )()()ln(n n n x o x n x x x x +−+++−=+−132131211L )(n n x o x x x x+++++=−L 2111 利用上述麦克劳林公式，可间接求得一些函数的麦克劳林公式或泰勒公式以及求某种类型的函数极限．例 写出22x e x f −=)(的麦克劳林公式，并求，．)()(098f )()(099f 例 求在处的泰勒公式．x ln 2=x 例 求4202x e x x x −→−cos lim ． 2.带有拉格朗日型余项的泰勒公式 定理 若函数f 在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶的导数，则对任给的，至少存在一点],[b a n ),(b a 1+n ],[,b a x x ∈0),(b a ∈ξ，使得n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!)()(!)()()()(0020000021−++−′′+−′+=L 1011++−++n n x x n f )()!()()(ξ ………………带有拉格朗日型余项的泰勒公式 当时,称00=x n n x n f x f x f f x f !)(!)(!)()()()(0201002++′′+′+=L 111++++n n x n x f )!()()(θ 为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.1211211+++++++=n xn xx n e x n x x e )!(!!θL 3212533211215131++++−++−+++−=m m m m x m x x m x x x x )!(cos )()!()(!!sin !θL 2212422212141211+++−+−+++−=m m m mx m x x m x x x )!(cos )()!()(!!cos θL 11132111131211++−++−+−+++−=+n n n n n x x n x n x x x x ))(()()()ln(θL12211111++−+++++=−n n n x x x x x x )(θL 3．在近似计算中的应用例 计算e 的值，使其误差不超过，并且证明e 为无理数．610−例 用泰勒多项式逼近正弦函数，要求误差不超过，试以一次和二次的多项式逼近，分别讨论x sin 310−x 的范围． 四、函数的极值与最大（小）值1.极值的判别函数的极值是函数局部的又一性质．定理（极值的第一充分条件） 设在点连续，在某内可导． f 0x )(0x U o i) 若当),(00x x x δ−∈时0≤′)(x f ，当),(δ+∈00x x x 时0≥′)(x f ，则在点取得极小值.f 0x ii) 若当),(00x x x δ−∈时0≥′)(x f ，当),(δ+∈00x x x 时0≤′)(x f ，则在点取得极大值.f 0x 例 求3252x x x f )()(−=的极值点与极值定理（极值的第二充分条件） 设在某内一阶可导，在处二阶可导，且，，f );(δ0x U o 0x x =00=′)(x f 00≠′′)(x f i)若，则在点取得极大值.00<′′)(x f f 0x ii）若，则在点取得极小值.00>′′)(x f f 0x 例 求xx x f 4322+=)( 的极值与极值点 定理（极值的第三充分条件） 设在某内存在直到阶导函数，在处阶可导，且 f );(δ0x U o 1−n 0x n 00=)()(x f k ),,,121−=n k L ，，则 00≠)()(x f n i)当为偶数时，在点取得极值，且当时取极大值，时取极小值．n f 0x 00>)()(x f n 00<)()(x f n ii) 当为奇数时，在点不取得极值．n f 0x例 试求函数的极值.（可以利用第一充分和第三充分条件）)()(4−=x x x f 12．最大值与最小值若函数在上连续，则在上连续上一定有最大，最小值.我们只要比较在所有稳定点，不可导点和区间端点上的函数值，就能从中找到在上的最大，最小值．f ],[b a f ],[b a f f ],[b a 例 求函数x x x x f 129223+−=)(在],[2541−上的最大与最小值. 例 设f 在区间I 上连续，并且在I 上仅有唯一的极值点，证明：若是的极大（小）值点，则必是在0x 0x f 0x f I 上的最大（小）值. 五、函数的凸性与拐点根据函数图像的特点研究函数的凸凹性．1.定义 设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点和任意实数21x x ,),(10∈λ总有)()()())((212111x f x f x x f λλλλ−+≤−+则称为f I 上的凸函数.反之，如果总有)()()())((212111x f x f x x f λλλλ−+≥−+则称为f I 上的凹函数.通过图形来解释．引理 为f I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点，总有 321x x x <<≤−−1212x x x f x f )()(2323x x x f x f −−)()( 还可以证明≤−−1212x x x f x f )()(≤−−1313x x x f x f )()(2323x x x f x f −−)()( 定理 设f 为区间I 上的可导函数，则下述结论等价：1) 为区间f I 上的凸函数2)f 为′I 上的增函数3)对I 上的任意两点，有21x x , ))(()()(12112x x x f x f x f −′+≥(结论3的几何意义是：可导的凸函数其切线总在曲线的下方．)定理 设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上为凸函数的充要条件是：.f 0>′′)(x f 例 讨论函数的凸凹区间.x x f arctan )(=例 证明若函数为定义在内的可导的凸（凹）函数，则为的极小（大）值点的充要条件是为的稳定点，即f ),(b a 0x ),(b a ∈f 0x f 00=′)(x f .（说明：尽管可导的极值点未必是稳定点.但为可导的凸（凹）函数时，则极值点必为稳定点） f 例（Jesson 不等式） 若为上的凸函数，则对任意f ],[b a ],[b a x i ∈，0>i λ，),,,,(n i L 21=11=∑=ni i λ，有)()(i ni i n i i i x f x f ∑∑==≤11λλ例 设为区间f I 内的凸（凹）函数，证明在f I 内任一点都都存在左右导数.0x 2.拐点设曲线在点处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点为曲线的拐点.)(x f y =))(,(00x f x ))(,(00x f x )(x f y =定理 若f 在点二阶可导，则为曲线0x ))(,(00x f x )(x f y =的拐点的必要条件是 00=′′)(x f .定理 设f 在点可导，在某邻域内二阶可导.若在和上的符号相反，则为曲线0x );(δ0x U o )(0x U o +)(0x U o −f ′′))(,(00x f x )(x f y =的拐点.。
微分中值定理及其应用
（1） f ( x ), g ( x ) 在 (a −δ , a +δ ) 可导且g '( x ) ≠ 0 , 其中 δ > 0; （2）lim
x→a
f ( x) = lim g ( x ) = 0；
x→a
f '( x) lim = A; （3） x → a g '( x )
则
f ( x) =A lim x →a g ( x)
1
1
lim cos +
1
ξ
=0
§2 洛必达法则
前面遇到几种类型的极限：
定理5.6 若 f （1） ( x ) , g ( x) 在（a, a +δ ）可导且 g ′( x ) ≠ 0 ,其中 δ > 0 f '( x) =A lim （2） + f ( x) = lim g ( x) = 0 （3） lim+ + x → a g '( x ) x→a x→a 则 f ( x) lim+ =A x→a g ( x) 0 （ 型）在自变量的某个变化过程中 0 （1）f ( x ), g ( x )都为无穷小，即 xlim+ f ( x ) = 0, xlim+ g ( x ) = 0 →a →a
f '( x) ε | − A |< . g '( X ) 2
有
在(a, a + δ1 )内取定 x0，则对a < x < a + δ1 中任意x ≠ x0
| f ( x) − f ( x0 ) ε f '(ξ ) − A |=| − A |< , 2 g ( x) − g ( x0 ) g '(ξ )
微分中值定理及其应用
微分中值定理摘 要微分中值定理，是微分学的核心定理，研究函数的重要工具，历来受到人们的重视。
本文介绍了三个微分中值定理及其证明，并且举出几种中值定理的应用。
关 键 词 微分中值定理 罗尔定理 朗格朗日中值定理 柯西中值定理1、引言人们对微分中值定理的认识上溯到公元前古希腊时代，古希腊数学家在几何研究中，得到这样的结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线的底”，这正是拉格朗日定理的特殊情况。
希腊著名数学家阿基米德（Archimedes ，公元前287—前221）正式巧妙地利用这一结论，求出抛物弓形的面积。
人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了，按时历史顺序：1673年著名法国数学家费马（Fermat ，1601—1665）在《求最大者最小值的方法》中给出费马定理，在教科书中，人们通常将它作为微分中值定理的第一个定理。
1691年法多数学家罗尔(Rolle ，1652—1719)在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理。
1797年，法国数学家拉格朗日（Lagrange ，1736—1813）在《解析函数论》中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。
对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯西（Cauchy ，1789—1857），他首先赋予中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理。
在《无穷小计算教程概论》中，柯西首先严格地证明了拉格朗日定理，又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理，从而发现了最后一个微分中值定理。
2、中值定理及证明：1) Rolle 定理若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0f ξ'=。
证明：因为f 在［a,b ］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表示，现分两种情况讨论：(i)若M = m , 则 f 在［a,b ］上必为常数，从而结论显然成立。
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用一、本文概述《微分中值定理及其应用》是一篇深入探讨微分学中值定理及其在实际应用中的作用的学术性文章。
微分中值定理是数学分析领域中的一个核心概念，它建立了函数在特定区间内的变化与其导数之间的紧密联系。
本文旨在通过对微分中值定理的深入剖析，揭示其在理论研究和实际应用中的广泛价值。
文章首先介绍了微分中值定理的基本概念，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。
这些定理不仅在数学分析中占有重要地位，而且在实际应用中发挥着重要作用。
接着，文章通过一系列实例展示了微分中值定理在几何、物理、工程等领域的应用，如曲线形状的判定、物体运动的分析、工程设计的优化等。
本文还关注微分中值定理在经济学、生物学等社会科学领域的应用。
通过引入这些领域的实际案例，文章进一步强调了微分中值定理在解决实际问题中的重要作用。
文章对微分中值定理的应用前景进行了展望，探讨了其在未来科学研究和技术发展中的潜在影响。
《微分中值定理及其应用》是一篇系统介绍微分中值定理及其在各个领域应用的综合性文章。
通过本文的阅读，读者可以全面了解微分中值定理的基本知识和应用技巧，为深入研究和实际应用打下坚实基础。
二、微分中值定理概述微分中值定理是微积分理论中的核心内容之一，它揭示了函数在某区间内与导数之间的紧密联系。
这些定理不仅为函数的研究提供了重要的工具，还在解决实际问题中发挥了重要作用。
微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。
罗尔定理是微分中值定理的基础，它指出如果一个函数在某闭区间上连续，在开区间内可导，并且区间两端点的函数值相等，那么在这个开区间内至少存在一点，使得该点的导数值为零。
拉格朗日定理是罗尔定理的推广，它进一步指出，如果存在满足上述条件的点，那么该点的导数值等于函数在区间两端点值的差与区间长度的商。
柯西定理则是拉格朗日定理的推广，它涉及到两个函数在相同区间上的性质。
这些定理在实际应用中具有广泛的价值。
微分中值定理的证明以及应用
微分中值定理的证明以及应用1 微分中值定理的基本内容微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联系的三个定理 ,它们分别是罗尔(R olle )中值定理 、拉格朗日(Lagrange )中值定理和柯西(Cauchy )中值定理 .具体内容如下 :1.1 罗尔中值定理[2]如果函数f 满足:(1)在闭区间[,]a b 上连续 ; (2)在开区间(,)a b 内可导 ;(3)在区间端点的函数值相等,即()f a f b （）=,那么在区间(,)a b 内至少有一点a b ξξ（<<）,使函数()y f x =在该点的导数等于零,即'()0f ξ=. 1.2 拉格朗日中值定理[2]如果函数f 满足： (1)在闭区间[,]a b 上连续;(2)在开区间,a b （）内可导.那么,在,a b （）内至少有一点a b ξξ（<<）,使等式()()()=f a f b f b aξ-'-成立.1.3 柯西中值定理[2]如果函数f 及g 满足: (1)在闭区间[,]a b 上都连续; (2)在开区间,a b （）内可导; (3)'()f x 和'()g x 不同时为零; (4)()()g a g b ≠则存在,a b ξ∈（）,使得 ()()()()g ()()f f b f ag b g a ξξ'-='-2 三定理的证明2.1 罗尔中值定理的证明[2]根据条件在闭区间[,]a b 上连续和闭区间上连续函数的最大值和最小值定理,若函数()f x 在闭区间上连续,则函数()f x 在闭区间[,]a b 上能取到最小值m 和最大值M ,即在闭区间[,]a b 上存在两点1x 和2x ,使12(),()f x m f x M==且对任意[,x a b ∈],有()m f x M ≤≤.下面分两种情况讨论:①如果m M =,则()f x 在[,]a b 上是常数,所以对(,)x a b ∀∈,有()=0f x '.即,a b （）内任意一点都可以作为c ,使()=0f c '. ②如果m M <,由条件()=()f a f b ,()f x 在[,]a b 上两个端点a 与b 的函数值()f a 与()f b ,不可能同时一个取最大值一个取最小值,即在开区间,a b （）内必定至少存在一点c ,函数()f x 在点c 取最大值或最小值,所以()f x 在点c必取局部极值,由费尔马定理,有'()=0f c .2.2 拉格朗日中值定理的证明[2]作辅助函数()()()()f b f a F x fx a b x f a a--=-（）-（-） 显然,()()(0)F a F b ==,且F 在[,]a b 满足罗尔定理的另两个条件.故存在,a b ξ∈（）,使 ()()''()f b f a F f b aξξ--（）=-=0移项即得()()'()=f b f a f b aξ--2.3 柯西中值定理的证明[2]作辅助函数()()()g()-g()()g(f b f a F x f x f a x a g b a --（）=-()-（））易见F 在[,]a b 上满足罗尔定理条件,故存在(,)a b ξ∈,使得()()''()g'()=0()g(f b f a F f g b a ξξξ--（）=-）因为g'()0ξ≠(否则由上式'()f ξ也为零）,所以把上式改写成()'()()()g ()()f f b f ag b g a ξξ-='-证毕3 三定理的几何解释和关系3.1 几何解释[1]罗尔中值定理在曲线()y f x=上存在这样的点,过该点的切线平行于过曲线两端点的弦(或x轴).拉格朗日中值定理在曲线()y f x=上存在这样的点,过该点的切线平行于过曲线两端点的弦.柯西中值定理在曲线()()f xyxg x=⎧⎨=⎩(其中x为参数,a x b<<)存在一点,使曲线过该点的切线平行于过曲线两端点((),()),((),())A f a g aB f b g b的弦.综上所述,这三个中值定理归纳起来,用几何解释为:在区间[,]a b上连续且除端点外每一点都存在不垂直于x轴的切线的曲线,它们有个共同的特征()y f x=在曲线上至少存在一点,过该点的切线平行于曲线端点的连线.3.2 三定理之间的关系[3]从这三个定理的内容不难看出它们之间具有一定的关系.利用推广和收缩的观点来看这三个定理.在拉格朗日中值定理中,如果()()f a f b=,则变成罗尔中值定理,在柯西中值定理中,如果()F x x=,则变成拉格朗日中值定理.因此,拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.反之,拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例,罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例.总的来说,这三个定理既单独存在,相互之间又存在着联系.从上面的讨论中可以总结得到,罗尔中值定理是这一块内容的基石,而拉格朗日中值定理则是这一块内容的核心,柯西中值定理则是这一块内容的推广应用.4 三定理的深层阐述4.1 罗尔中值定理4.1.1 罗尔中值定理结论[8](1) 符合罗尔中值定理条件的函数在开区间,a b （）内必存在最大值或最小值. (2) 在开区间,a b （）内使'()=0f x 的点不一定是极值点. 例如 函数3()(53)4xf x x =-在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理的三个条件, 由25'()3()4f x x x =- ,显然0x =,有'(0)=0f 成立,但0x =不是()f x 的极值点.如果加强条件, 可得如下定理:定理 1 若函数在闭区间,a b []上满足罗尔中值定理的三个条件,且在开区间,a b （）内只有唯一的一个点,使()=0f x '成立,则点x 必是()f x 的极值点.完全按照罗尔中值定理的证法,即可证得使()'=0f x 成立的唯一点x 就是()f x 在,a b （）内的最值点,当然是极值点. 4.1.2 逆命题不成立[3]罗尔中值定理的逆命题 设函数()y=f x 在闭区间,a b []上连续,在开区间,a b （）内可导,若在点x 在,a b （）处,有()=0f x ',则存在,[,]p q a b ∈,使得()()=fp f q .例 函数3y x =,[,](0)x a a a ∈->,显然3y x =在,a a [-]上连续,在a a (-,)内可导,()=0f x ',但是不存在,[,]p q a a ∈- ,p q <,使得()()=f p f q .但如果加强条件,下述定理成立:定理2 设函数y ()f x =在闭区间,a b []上连续,在开区间,a b （）内可导,且导函数()f x '是严格单调函数,则在点(,)x a b ∈处,有()=0f x '的充分必要条件是存在,[,]p q a b ∈,p q<,使得()()=f p f q .4.2 拉格朗日中值定理4.2.1 点x 不是任意的[7]拉格朗日中值定理结论中的点x 不是任意的. 请看下例:问题 若函数()f x 在(,)a +∞(a 为任意实数)上可导,且lim ()x f x c →+∞=(c 为常数),则lim ()0x f x →+∞=这一命题正确吗?证明 设x 为任意正数,由题设知()f x 在闭区间[,2]x x 上连续,在开区间(,2)x x 内可导,由拉格朗日中值定理知,至少存在一点(,2)x x ξ∈,使得()(2)()=f x f x f xξ-',又因为li m ()x f x c →+∞=,故(2)()limx f x f x x→+∞-=.由于ξ夹在x与2x 之间,当x +→∞时,ξ也趋于+∞,于是lim '()lim '()0x x f x f ξ→+∞→+∞==.上述证明是错误的,原因在于ξ是随着x 的变化而变化,即()g x ξ=,但当+x →∞时,()g x 未必连续地趋于+∞,可能以某种跳跃方式趋于+∞,而这时就不能由()f ξ'趋于0推出lim ()0x f x →+∞=了.例如 函数()2s i n =x f x x满足l i m ()0x f x→+∞=,且2221'()2cos sin f x x xx=-在+∞（0，）内存在,但2221lim '()lim [2cos sin ]x x f x x x x→+∞→+∞=-并不存在,当然li m '()0x f x →+∞=不会成立.4.2.2 条件补充[5]定理 3 若函数()f x 在(,)a +∞(a 为任意实数)上可导,且lim '()x f x →+∞存在,若lim '()x f x c→+∞=(c 为常数),则lim '()0x f x →+∞=.4.3 柯西中值定理柯西中值定理的弱逆定理[8]设()()f x g x ，在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可微,且'()'()f g ξξ严格单调,'()0g x ≠,则对于12,a b x x ξξ∀∈∃<<（）, ,使得2121'()'()=[()()][()()]f g f x f x g x g x ξξ--成立.证明:对,a b ξ∀∈（）,作辅助函数 '()'()F x f x f g x ξξ（）=()-()g().显然,()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可微,并且由()()f x g x ，严格单调易知'()F x 也严格单调.由拉格朗日定理知,对于12,a b x x ξξ∀∈∃<<（）,,使得 2121()()'()()F x F x F x x ξ-=-成立.而'()='()('()'())'()0F f f g g ξξξξξ-=所以有21()()0F x F x -=即2211['()('()'())'()]['()('()'())'()]0f x f g g x f x f g g x ξξξξ---=整理得2121'()'()[()()][()()]f g f x f x g x g x ξξ=--证毕.5 定理的应用三个定理的应用主要有讨论方程根的存在性、求极限、证明等式不等式、求近似值等.以下主要以例题的形式分别展示三个定理的应用.5.1 罗尔中值定理的应用例1 设(1,2,3,,)i a R i n ∈= 且满足1200231n a a a a n ++++=+ ,证明：方程2012++++0n n a a x a a x x = 在（0,1）内至少有一个实根. 证明: 作辅助函数23+1120231n n a a a F x a x x x xn +++++ （）=则=0(0F （）,=(1)F 0,Fx （）在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,故满足罗尔中值定理条件,因此存在(0,1)ξ∈,使'()0F ξ=,又2012'()++++0nn F x a a x a x a x==由此即知原方程在(0,1)内有一个实根.例2 设函数()f x 在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,且()()0f a f b ==.试证: 在[,]0a b a >（）内至少存在一点ξ,使得'()f f ξξ=（）. 证明：选取辅助函数()()x F x f x e -=,则F x （）在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,(a)()0F F b ==,由R olle 定理,至少存在一点,a b ξ∈（）,使'()'()e['()()]0F f f f f ξξξξξξξξ---=-=-=（）e e因 0e ξ-> 即'()()=0f f ξξ-或'()=()f f ξξ.例 3 设函数()f x 于有穷或无穷区间,a b （）中的任意一点有有限的导函数()f x ',且0lim ()lim ()x a x b f x f x →+→-=,证明:'()0f c =,其中c 为区间,a b （）中的某点.证明: 当,a b （）为有穷区间时,设()(,)(),f x x a b F x A x a b ∈⎧=⎨=⎩，当时，当与时，其中0lim ()lim ()x a x b A f x f x →+→-==.显然()F x 在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,且有()()F a F b =,故由R o l l e 定理可知,在,a b （）内至少存在一点c ,使'()=0F c .而在,a b （）内,'()'()F x f x =,所以'()=0F c .下设,a b （）为无穷区间,若,a b =-∞=+∞,可设tan ()22x t t ππ=-<<,则对由函数()f x 与tan x t=组成的复合函数g()(tan )t f t =在有穷区间()22ππ-，内仿前讨论可知:至少存在一点0t (,)22ππ∈-,使20g '()'()sec 0t f c t =⋅=,其中t a n c t =,由于20s e c 0t ≠,故'()=0f c .若a 为有限数,b =+∞,则可取0m a x {,0}b a >,而令00()b a t x b t-=-.所以,对复合函数00()g()()b a t t f b t-=-在有穷区间0,a b （）上仿前讨论,可知存在00t ,a b ∈（）使000200()g '()'()=0)b b a t fc b t -=⋅-（,其中0000()b a t c b t -=-,显然a c <<+∞由于00200())b b a b t ->-（,故'()=0fc .对于a =-∞,b 为有限数的情形,可类似地进行讨论.5.2 拉格朗日中值定理的应用例 4 证明0x >时,ln(1)1x x x x<+<+证明： 设()ln(1)f x x =+ , 则()f x 在[0,]x 上满足Lagrange 中值定理1ln(1)ln(10)ln(1)'(),(0,)10x x f x x xξξξ+-++===∈+-又因为111x ξ<+<+所以1111+1xξ<<+所以1ln(1)11+x xx+<<即ln(1)1x x xx<+<+例 5 已知()()()11112na n n n n n n n =++++++ ,试求lim n x na →.解： 令()2f x x=,则对于函数()f x 在()(),1n n k n n k +++⎡⎤⎣⎦上满足L a g r a n g e定理可得： ()()()()21211n n k n n k n n k n n k ξ++-+=++-+ ,()()()(),1n n k n n k ξ∈+++所以()()111221n k n k nnn n k n n k +++<-<+++当0,1,,1k n =- 时,把得到的上述n 个不等式相加得：()()()()211111222121n n n n n n n n n n+++<-<+++++ ()()11221n n n n ++++-即112222n n a a n n<-<+-故11022212n a n ⎛⎫<--<- ⎪⎝⎭所以lim 222n n a →∞=-例 6 求0.97的近似值. 解： 0.97是()f x x=在0.97x =处的值, 令001,0.97x x x x ==+∆=,则0.03x ∆=-, 由Lagrange 中值定理,存在一点0.97,1ξ∈（）(1)(0.97)'()0.03f f f ξ-=可取1ξ≈近似计算,得110.971+)'(0.03)1(0.03)0.9852x x =≈⋅-=+-=（5.3 柯西中值定理的应用例 7 设0x >,对01α<<的情况,求证1xx ααα-≤-.证明：当1x =时结论显然成立,当1x≠时,取[],1x 或[]1,x ,在该区间设()f x xα=,()F x x α=由Canchy 定理得：()()()()()()11f x f f F x F F ξξ'-='- (),1x ξ∈或()1,x ξ∈ 即111x x ααααξξααα---==-当1x >时,(),1x ξ∈,11αξ->即11x x ααα->-又()10x x ααα-=-<故1x x ααα->-即11x αα-<-当1x >时,()1,x ξ∈,11αξ-<则()10x x ααα-=->故1x x ααα->-即11x αα-<-证毕例 8 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导,a b ≤≤（0）,()()f a f b ≠ ,试证 ,a b ξη∃∈，（）,使得'()'()2a b f f ξηξ+= .证明： 在等式'()'()2a b f f ξηξ+=两边同乘b a -,则等价于22'()'()()2f f b a b a ηξξ-=-（）,要证明此题, 只需要证明上式即可.在[,]a b 上,取()()F x f x =,G x x （）=,当,a b ξ∈（）时,应用Cauchy 中值定理()()'()()()'()f b f a f G b G a G ξξ-=-即()()'()1f b f a f b aξ-=-在[,]a b 上,再取()()F x f x =,2G x x （）= ,当,a b η∈（）时,应用C a u c h y 中值定理()()'()()()'()f b f a f G b G a G ηη-=-即22()()'()2f b f a f b aηη-=-即22'()'()()()2f f b a b a ηξξ-=-即'()'()2a b f f ξηξ+=例 9 设函数f 在[,]0a b a >（）上连续,在(,)a b 上可导.试证:存在(,)a b ξ∈使得()()'()lnb f b f a f aξξ-=证明： 设()ln g x x =,显然它在[,]a b 上与()f x 一起满足柯西中值定理条件,所以存在,a b ξ∈（）,使得 ()()'()1ln ln f b f a f b aξξ-=-整理后即得()()'()lnb f b f a f aξξ-=6 定理的应用总结 6.1 三定理的应用关系一般来说, 能用R o l l e 定理证得的也可用Lagrange 定理或C a u c h y 定理证得,因此,在解题的过程中根据问题本身的特点能选取合适的中值定理,以取得事半功倍的效果.如上面例9 利用R olle 中值定理.令()[()()]ln ()(ln ln )F x f b f a x f x b a =---,则()()F a F b -,所以存在,a b ξ∈（）使得'()0F x =, 即()()'()lnf b f a b f aξξ--=整理后即得所欲证明.上面的这个例子还不难看出在利用R olle 中值定理和Cauchy 中值定理证明的同一个不等式中,用R olle 中值定理时辅助函数的构造显然需要更多的观察和技术.相比之下,用Cauchy 中值定理则要简单得多.6.2 定理的应用方法技巧从定理应用的例题中不难发现,微分中值定理大多都是通过构造辅助函数来完成证明的.有的可以从函数本身出发构造辅助函数,有的需要利用指数、对数、三角函数等初等函数来构造辅助函数,还有的要根据需要证明的目标出发适当构造辅助函数.可见,在微分中值定理的应用中,广泛地使用辅助函数是做证明题的关键,在学习时应该掌握一些常用的构造辅助函数方法.在做证明题时一般先从要证的结论出发,观察目标式的特征,分析目标式可能要用的辅助函数,然后对目标式作相应的变形,这是构造辅助函数的关键.有了辅助函数就可以直接对辅助函数应用微分中值定理得到结论.7 结束语本课题的研究成果是通过大学阶段的有关数学分析知识的学习,和一些相关学科内容知识的学习,并结合一些相关的参考图书资料,以及通过网络收集期刊、报刊和杂志上的相关内容,其中还包括自己对这些内容的理解,还通过多方面的了解和研究,且在和老师及同学们的一起探讨下,了解到微分中值定理的内在联系,也对微分中值定理深层进行了探讨,还对微分中值定理的应用做了归纳总结.本课题主要是以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理三个微分中值定理,感受到了定理来解决数学问题的方便快捷,学以致用得到充分体现.微分中值定理是微分学的基本定理,而且它是微分学的理论核心,有着广泛的应用.本课题主要是对微分中值定理证明等式不等式,方程根的存在性,求极限以及求近似值等的应用.应用微分中值定理证明命题的关键是构造辅助函数,构造满足某个微分中值定理的条件而得到要证明的结论.而构造辅助函数技巧性强,构造合适的辅助函数往往是困难的.因此,在构造辅助函数上本文没有深入系统论述,有待于研究.9 参考文献[1] 党艳霞. 浅谈微分中值定理及其应用[J]. 廊坊师范学院学报(自然科学版).2010,(1): 28-31.[2] 陈传璋. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社. 2007.[3] 刘玉琏, 傅沛仁. 数学分析讲义[M]. 北京：高等教育出版社. 1982.[4] 林源渠, 方企勤等. 数学分析习题集[M]. 北京：高等教育出版社. 1986.[5] 赵香兰. 巧用微分中值定理[J]. 大同职业技术学院学报. 2004,（2）：64-66.[6] 刘章辉. 微分中值定理及其应用[J]. 山西大同大学学报（自然科学版）.2007.23(2): 12-15.[7] 何志敏. 微分中值定理的普遍推广[J]. 零陵学院学报. 1985. (1): 11-13.[8] 李阳, 郝佳. 微分中值定理的延伸及应用[J]. 辽宁师专学报. 2011.(3): 13-18.。
第三章 微分中值定理及其应用
第三章 微分中值定理及其应用3.1 中值定理 3.1.1 费马引理设函数)(x f 在点0x 处可导且在点0x 处取得极值，则0)(0'=x f 。
备注：费马引理实质上是可导函数极值存在的必要条件。
3.1.2 罗尔定理设函数)(x f 在[]b a ,上连续，),(b a 上可导，且)()(b f a f =，则至少存在一点),(b a ∈ε，使得0)('=εf 。
（1）罗尔定理的三个条件缺一不可。
（2）罗尔定理的几何意义是曲线)(x f 存在水平切线。
（3）罗尔定理只给出了导函数零点的存在性，通常这样的零点是不易具体求出的。
例1：设函数)(x f 在[]3,0上连续，在)3,0(上可导，3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f 。
证明：至少存在一点)3,0(∈ε，使得0)('=εf 。
例2：设函数)(x f 在[]b a ,上连续，0)()(==b f a f ，且)(x f 在),(b a 内可导，试证：对任意的实数α，存在一点),(b a ∈ξ，使得αξξ=)()('f f 例3：设函数)(x f 在[]b a ,上具有二阶导数，且0)()(==b f a f ，0)()('' b f a f 。
证明：（1）至少存在一点),(b a ∈ε，使得0)(=εf（2）至少存在一点),(b a ∈η，使得0)(''=ηf 。
例4：设n a a a 21,满足n i R a n a a a a i nn ,2,1,,012)1(531321=∈=--+++-- 证明：方程0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n 在)2,0(π内至少有一个实根。
例5：设函数)(x f ，)(x g 在[]b a ,上连续，在),(b a 内二阶可导且存在相等的最大值，又)()(),()(b g b f a g a f ==。
微分中值定理及导数的应用
积分因子法
通过引入一个积分因子，将微分方程转化为可解的一 阶线性方程组。
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微分中值定理及导数的应用
目录
• 微分中值定理 • 导数的定义与性质 • 导数在函数中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步研究
01
微分中值定理
微分中值定理的定义
微分中值定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，在开区间$(a, b)$上可 导，则存在$c in (a, b)$，使得$f'(c) = frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。
导数与积分的关系
牛顿-莱布尼兹公式
用导数和积分相互转化的方式，将定积分转化为求和的 形式，从而简化计算。
微积分基本定理
定积分可以表示为被积函数的一个原函数在积分上下限 的函数值的差，即牛顿-莱布尼兹公式的特殊形式。
导数与微分方程
微分方程
描述一个变量关于另一个变量的导数等于某个给定函 数的方程。
初值问题
导数在科学计算中的应用
数值分析
导数在数值分析中有着广泛的应用，例如在求解微分方程、 积分方程和线性代数方程时，导数可以帮助我们找到近似 解。
图像处理
在图像处理中，导数可以帮助我们进行边缘检测、图像滤 波和图像增强等操作，从而提高图像的清晰度和质量。
信号处理
在信号处理中，导数可以用来分析信号的变化趋势和频率 特征，例如在音频处理和图像处理中，导数可以帮助我们 提取信号中的重要信息。
详细描述
如果一个函数在某区间的导数大于0， 则该函数在此区间单调递增；如果导 数小于0，则函数单调递减。
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用微分中值定理是微分学中的重要定理之一，用于描述函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
本文将介绍微分中值定理的概念、表述形式以及其在实际问题中的应用。
一、微分中值定理的概念微分中值定理是由法国数学家拉格朗日于18世纪提出的，它是微分学的基石之一。
该定理基于连续函数的性质，揭示了连续函数在区间内的某个点存在瞬时变化率等于平均变化率的情况。
二、微分中值定理的表述形式微分中值定理有三种常见的表述形式，它们分别是拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
下面将分别对这三个定理进行详细介绍。
1. 拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)上存在一个点c，使得f'(c)等于函数f(x)在[a, b]上的平均变化率，即：f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)2. 柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）设函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，且g'(x)不为0，则在(a, b)上存在一个点c，使得：[f'(c)]/[g'(c)] = [f(b) - f(a)]/[g(b) - g(a)]3. 罗尔中值定理（Rolle's Mean Value Theorem）设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，且f(a)等于f(b)，则在(a, b)上存在一个点c，使得f'(c)等于0。
三、微分中值定理的应用微分中值定理在实际问题中具有重要的应用价值。
下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 判断函数的增减性通过微分中值定理，可以判断函数在某个区间内的增减性。
如果在该区间内的导数恒为正（负），则函数在该区间上单调递增（递减）。
第六章 微分中值定理及其应用
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例 1. 证明不等式
b−a b b−a < ln < , (0 < a < b) 。 b a a 1 1 分析 把不等式可以改写成 (b − a ) < ln b − ln a < (b − a ) 可见中项是函数 ln x b a
在区间 [ a , b] 两端值之差，而 ( b − a ) 是该区间的长度，于是可对 ln x 在 [ a , b] 上使用拉格朗 日中值定理。 证 明 ： 设 f ( x ) = ln x ， 则 f '( x ) =
f ( x) = f ( x0 ) +
f ′( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( n +1) (ξ ) ( x − x0 ) + L + ( x − x0 ) n + ( x − x0 ) n +1 1! n! (n + 1)!
9. 设 f 在点 x0 连续，在某邻域 U( x0 , δ )内可导， （1）若当 x ∈ ( x0 − δ , x0 ) 时， f ′( x0 ) ≤ 0 ；当 x ∈ ( x0 , x0 + δ ) 时， f ′( x0 ) ≥ 0 ，则 f 在 点 x0 取得最小值； （2）若当 x ∈ ( x0 − δ , x0 ) 时， f ′( x0 ) ≥ 0 ；当 x ∈ ( x0 , x0 + δ ) 时， f ′( x0 ) ≤ 0 ，则 f 在 点 x0 取得最大值； （3）若 f ′( x ) 在 ( x0 − δ , x0 ) 和 ( x0 , x0 + δ ) 内不等号，则点 x0 不是极值点。 10. 设 f 在点 x0 的某邻域 U( x0 , δ )内一阶可导，在 x＝ x0 处二阶可导，且 f ′( x0 ) = 0 ，
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第六章微分中值定理及其应用微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。
中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用.1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题.2．教学重点与难点：重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性.难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性.3．教学内容：§1 拉格朗日定理和函数的单调性本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性.一罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足(ⅰ)在[]ba,上连续;(ⅱ)在)a内可导;(b,(ⅲ))af=f)((b则),(b a ∈∃ξ使0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可.如: 1º ⎩⎨⎧=<≤=1 010x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足,结论不成立.2º x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立.3º x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立.(ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件.如:[]1,1)(22-∈⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ),(ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f .(ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线.例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根.证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式nnn n n dxx d n x P )1(!21)(2-⋅= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点.将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广泛的Lagrange 中值定理.定理6.2(拉格朗日(Lagrange 中值定理)设f 满足 (ⅰ)在[]b a ,上连续; (ⅱ)在),(b a 内可导 则),(b a ∈∃ξ使ab a f b f f --=')()()(ξ (2)[分析]（图见上册教材121页图6-3） 割线AB 的方程为)()()()(a x ab a f b f a f y ---+=问题是证明),(b a ∈∃ξ,使)(ξf '与割线在ξ处导数ξ='x y 相等 即证0])()()()()([='-----ξa x ab a f b f a f x f 证 作辅助函数],[),()()()()()(b a x a x ab a f b f a f x f x F ∈-----=注 (ⅰ)Lagrange 中值定理的几何意义是:在满足定理条件的曲线上至少存在一点使得曲线在该点处的切线平行于曲线两端点连线.(ⅱ)(2)式称为Lagrange(中值)公式,它还有以下几种等价形式(5)10,) ()()((4) 10),))((()()((3) ),)(()()(<<+'=-+<<--+'=-<<-'=-θθθθξξh h a f a f h a f a b a b a f a f b f b a a b f a f b f 另外,无论b a >,还是b a <, Lagrange(中值)公式都成立.此公式将由自变量的变化而引起的因变量的增量与导数联系起来,而且比上一章中有限增量公式前进了一大步,这也是Lagrange 中值定理应用更为广泛的原因之一.(ⅲ) Lagrange 中值定理是Rolle 中值定理的推广. (ⅳ) Lagrange 中值定理的证明方法是用辅助函数法.在教材中首先构造辅助函数],[),()()()()()(b a x a x ab a f b f a f x f x F ∈-----=然后验证)(x F 在[],b a 上满足Rolle 定理的三个条件,从而由Rolle 定理推出)(x F '存在零点而使定理得到证明.推而广之,许多中值命题常常使用这种构造辅助函数的方法.我们用框图示意如下:当然辅助函数构造的方法不是唯一的.针对本定理,教材是从Lagrange 中值定理的几何意义出发构造辅助函数)(x F .我们也可以构造以下两个辅助函数来证明该定理.1º 注意到(2)式成立),(b a ∈∃⇔ξ使得0)()()(=---'ab a f b f f ξ⇔a b a f b f x f ---')()()(在),(b a 内存在零点])()()(['---⇔x ab a f b f x f 在),(b a 内存在零点 根据以上分析我们作辅助函数x ab a f b f x f x G ---=)()()()((注意这种构造辅助函数的方法是常见的).2º 辅助函数)()()()()()()(111)(a f x f a f b f ax a b x f b f a f x b ax H ----==例3 证明对,0,1≠->∀h h 有h h hh<+<+)1ln(1 证 [法一]令),1ln()(x x f +=在],0[h 或]0,[h 上利用Lagrange 中值定理可证之.[法二]令,ln )(x x f =在]1,1[h +或]1,1[h +上利用Lagrange 中值定理可证之.推论1 若f 在区间I 上可导, I x x f ∈≡',0)(,则f 在I 上为常数. 推论2 若f ,g 都在区间I 上可导, 且)()(,x g x f I x '='∈∀,则在I 上,f 与g 仅相差一个常数,即存在常数C ,使对I x ∈∀有C x g x f +=)()(推论 3 (导数极限定理) 设f 在0x 的某邻域)(0x U 内连续,在)(00x U 内可导,且)(lim 0x f x x '→存在,则)(0x f '存在,且)()(lim 0x f x f x x o ''=→注 (ⅰ)由导数极限定理不难得出区间),(b a 上导函数)(x f '不会有第一类间断点.(ⅱ) 导数极限定理可以用来求分段函数在分段点处的导数.例4 证明恒等式2cot arctan ,2arccos arcsin ππ=+=+x arc x x x例5 求⎩⎨⎧>+≤+=0),ln(10,sin )(2x x x x x x f 的导数解 (ⅰ)先求0),(≠'x x f ;(ⅱ)利用推论3(先验证f 在0=x 处连续)求)0(f '. 二 单调函数函数的单调性是函数在区间上变化的整体性态之一.下面我们利用导数给出判定函数单调性的新的有效方法.定理6.3 设f 在区间I 上可导,则f 在区间I 上单调递增(减))0(0)(,≤≥'∈∀⇔x f I x定理 6.4 设f 在区间),(b a 内可导,则f 在区间),(b a 内严格单调递增(减)的充要条件是(ⅰ) )0(0)(),,(≤≥'∈∀x f b a x(ⅱ)在),(b a 的任何子区间上,)(x f ' 不恒等于0推论 设f 在区间I 上可导,若)0(0)(,<>'∈∀x f I x ,f 在区间I 上严格单调递增(减).注 (ⅰ)若 f 在区间),(b a 内(严格)单调递增(减),且在点a 右连续,则f 在区间),[b a 内(严格)单调递增(减).对],(b a 上的函数有类似结论.(ⅱ)讨论可导函数的严格单调性只须求出)(x f ',再判定其符号.为此,需求出使得f '取得正负值区间的分界点.当f '连续时,这些分界点必须满足0)(='x f .例6 求31292)(23-+-=x x x x f 的单调区间. 例7 证明0 ,1≠+>x x e x .证 令,1)(x e x f x --=考察函数)(x f 的严格单调性.§2 柯西中值定理与不定式极限本节介绍更为一般的微分中值定理并由此证明求不定式极限的L ＇Hospital 法则.一 柯西中值定理定理6.5 (柯西(Cauchy)中值定理) 设f ,g 满足 (ⅰ)在[]b a ,上都连续; (ⅱ)在),(b a 内都可导; (ⅲ) )(x f '与)(x g '不同时为零; (ⅳ) )()(b g a g ≠ 则),(b a ∈∃ξ,使)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ (1) [分析] 欲证(1),只须证0])()()()()()([='---ξx f x g a g b g a f b f 且0)(≠'ξg . 令),()()()()()()(x f x g a g b g a f b f x F ---=由Rolle 定理证之.注 (ⅰ) Cauchy 中值定理是Lagrange 中值定理的推广(当x x g =)(情形).(ⅱ) Cauchy 中值定理的几何意义（图见上册教材126页图6-5）:令],[ )()(b a x x g v x f u ∈⎩⎨⎧== 它表示uov 平面上的一段曲线AB.弦AB 的斜率即为(1)式右边,而(1)式左边ξξξ==''x dvdug f )()(表示与ξ=x 相对应的点))(),((ξξf g 处的切线斜率,因此(1)式表示上述切线与弦AB 平行.(ⅲ)研究下列函数可否作为证明Cauchy 中值定理的辅助函数 1)))]()(()()()()()([)()(a g x g a g b g a f b f a f x f x F ---+-=;2))]()()][()([)]()()][()([)(a g b g a f x f a g x g a f b f x F -----=; 3))]()()[()()]()([)(a g b g x f x g a f b f x F ---=; 4)1)()(1)()(1)()(21)(x f x g b f b g a f a g x F ±= 例1设f 在[]b a ,()0>>a b 上都连续, 在),(b a 内都可导,则),(b a ∈∃ξ,使ab f a f b f ln)()()(ξξ'=- 证 取x x g ln )(=,对f ,g 利用Cauchy 中值定理即证之. 二 不定式极限－两个无穷小量或无穷大量之比的极限 1. 00型不定式极限定理6.6(L ＇Hospital 法则Ⅰ)设 (ⅰ)0)()(lim lim 0==→→x g x f x x x x ;(ⅱ) f ,g 在0x 的某空心邻域)(00x U 内可导且0)(≠'x g ; (ⅲ) A x g x f x x =''→)()(lim(或∞∞±,).则 )()(lim 0x g x f x x →存在且) ,或()()(lim 0∞∞±=→A x g x f x x注 (ⅰ)定理 6.6中0x x →可换为∞→±∞→→±x x x x ,,0,此时条件(ⅱ)作相应修改即可.(ⅱ)若)()(x g x f ''当0x x →时仍属0型,且)(),(x g x f ''分别满足定理中)(x f ，)(x g 的条件,则可继续施用L ＇Hospital 法则Ⅰ,从而确定)()(limx g x f x x →,即 )()()()()()(lim lim lim 000x g x f x g x f x g x f x x x x x x ''''=''=→→→ 且可以依次类推.(ⅲ)“一花独秀不是春”，L ＇Hospital 法则虽是计算极限的强有力工具，但在使用中要注意与以前所学过的求极限方法结合使用才有更好的效果.例2 求)0,0(lim 0>>-→b a x b a xx x 例3 求xe e xxx 1sin11lim-∞→-(提示:先令xt 1=)例 4 求)1ln()21(2210limx x e xx ++-→(利用)1ln(2x +等价于2x )0(→x 原式转化为2210)21(lim x x e x x +-→) 例5 求xx ex -→1lim(提示:先令x t =)2. ∞∞型不定式极限定理6.7(L ＇Hospital 法则Ⅱ)设(ⅰ)∞==++→→)()(lim lim 00x g x f x x x x ;(ⅱ) f ,g 在0x 的某空心邻域)(00x U +内可导且0)(≠'x g ; (ⅲ) A x g x f x x =''+→)()(lim0(或∞∞±,).则 )()(lim 0x g x f x x +→存在且) ,或()()(lim 0∞∞±=+→A x g x f x x 注 定理6.7中+→0x x 可换为,,,00±∞→→→-x x x x x ∞→x 等情形,此时条件(ⅱ)作相应修改即可.例6 求)0(ln lim>∂∂∞→x xx 例7 求xxx 3tan tan lim2π→例8 求3lim xe xx --∞→例9 求)0(lim >∂∂∞→n n e n (提示:先证0)0(lim =>∂∂∞→x x ex )注 (ⅰ)当)()(lim 0x g x f x x ''→或)()()()(lim 0x gx f n n x x →不存在时, L ＇Hospital 法则不能用.如:1º x x x x x e e e e --∞→+-lim 不能用L ＇Hospital 法则(x x xx e e e e --+-=11122→+---xxe e ) 2º x x x x sin lim+∞→不能用L ＇Hospital 法则(xxx sin += 1sin 1→+xx) (ⅱ)只有不定式极限且满足L ＇Hospital 法则条件才能使用L ＇Hospital 法则求极限.3.其他类型不定式极限还有五种类型不定式极限,其形式转化方法为∞∞⋅∞=⋅∞=∞=∞=∞⋅⋅∞∞- );01ln (1 ;011001ln e (通分或提取公因式转化);).0);00ln 0(0ln 000ln 00∞⋅==∞∞⋅=⋅=∞⋅⋅e e例10 求x x x ln lim 0+→例11 求)11ln 1lim(1--→x x x 例12 求x x x )arctan 2(lim π+∞→例13 求x x x )(sin lim 0+→例14 求x x x ln 10)(cot lim +→例15 求数列极限n n n n )111(2lim ++∞→ (注意此题先求极限x x x x)111(2lim +++∞→) 例16 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠= 00 0 )()(x x x x g x f ,,3)0(,0)0()0(=''=='g g g 求)0(f '. 注 23)0(212)(2)()()0(lim lim lim 0020=''=''='=='→→→g x g x x g x x g f x x x ,对否? §3 泰勒公式本节包含两个泰勒(Taylor)公式,即分别带有皮亚诺(Peano)型余项的泰勒公式和带有拉格朗日型余项的泰勒公式,统称为泰勒定理.它们分别是上一章的有限增量公式和本章中的Lagrange 中值定理的推广.两个公式所要解决的问题是用多项式函数(各类函数中最简单的函数)去逼近一个函数,而这种逼近思想在近似计算和理论分析中有着重要意义.一 带有皮亚诺型余项的泰勒公式设f 在点0x 存在n 阶导数,称n 次多项式nn n x x n x f x x x f x x x f x f x T )(!)()(!2)()(!1)()()(00)(200000-+⋅⋅⋅+-''+-'+=(1)为f 在点0x 处的泰勒多项式,)(x T n 的各项系数),2,1(!)(0)(n k k x f k ⋅⋅⋅=称为f 的泰勒系数. 定理6.8(Taylor) 设f 在点0x 存在直到n 阶的导数,则))(()(!)())(()()(0000)(0n k n k k nn x x o x x k x f x x o x T x f -+-=-+=∑= (2) 注 (ⅰ) (2)式称为f 在点0x 处的Taylor 公式, )()()(x T x f x R n n -= 称为Taylor 公式的余项,形如))((0n x x o -的余项称为Peano 型余项,于是(2)式也称为带有Peano 型余项的Taylor 公式.(ⅱ) 若f 在点0x 附近满足+=)()(x P x f n ))((0n x x o - (3) 其中)(x P n 为形如n n x x a x x a x x a a )()()(0202010-+⋅⋅⋅+-+-+n 次多项式,这时并不意味着)(x P n 就是f 的Taylor 多项式)(x T n例如⋅⋅⋅==+2,1),()(1n x D x x f n其中)(x D 为Dirichlet 函数.易知f 仅在点00=x 处连续,可导且0)0(='f ,从而对)0(,,1)(k f N k k +∈>∀皆不存在.故f 在点00=x 处的Taylor 多项式)(x T n )1(>n 是不存在的.然而0)()(lim lim 00==→→x xD x x f x n x 即)()(n x o x f =,从而若取)(x P n =000002≡⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+n x x x ,则(3)式对+∈N n 皆成立.(ⅲ)满足(3)式要求(带有Peano 型误差)的n 次逼近多项式)(x P n 是唯一的,从而若f 满足定理6.8的条件,则满足(3)式要求的逼近多项式)(x P n 只能是f 的Taylor 多项式)(x T n .当00=x 时, Taylor 公式(2)成为 )(!)0()(0)(n k n k k x o x k f x f +=∑= (4) (4)式称为(带有皮亚诺型余项的)马克劳林(Maclaurin)公式.例1 验证下列函数的马克劳林公式(ⅰ) )(!1!2112n n x x o x n x x e ++⋅⋅⋅+++=; (ⅱ) )()!12(1)1(!51!31sin 212153m m m x o x m x x x x +--+⋅⋅⋅+-=--; (ⅲ) )()!2(1)1(!41!211cos 12242++-+⋅⋅⋅++-=m m m x o x m x x x ; (ⅳ) )(1)1(3121)1ln(132n n n x o x nx x x x +-+⋅⋅⋅+-=+-; (ⅴ) )(!)1()1(!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x ++-∂⋅⋅⋅-∂∂+⋅⋅⋅+-∂∂+∂+=+∂; (ⅵ) )(1112n n x o x x x x ++⋅⋅⋅+++=-. 上述几个简单函数的马克劳林公式是通过直接求出f 在点0=x 处的各阶导数)0()(k f ,代入公式(4)得到的.这种方法叫做马克劳林(或泰勒)公式的直接求法.利用这些公式,可以间接求得一些函数的马克劳林(或泰勒)公式,还可用来求某些类型的极限.例2 求22)(x e x f -=的马克劳林公式,并求)0()98(f 与)0()99(f .例3 求x ln 在2=x 处的Taylor 公式.例4 求下列极限(ⅰ)30)1(sin lim x x x x e x x +-→; (ⅱ)x x e x x sin )1(lim 0∂+-→ [提示] )(!21122x o x x e x +++=;)(!31sin 43x o x x x +-=. 定理6.8告诉我们, 若f 在点0x 处具有直到n 阶导数,我们可用一个n 次多项式)(x T n 去逼近)(x f 而且这样产生的误差)()(x T x f n -当0x x →时是比n x x )(0→更高阶的无穷小量.但这只是定性的估计,并不能提供误差的定量估计.下面给出的第二个Taylor 公式余项有确定的表达式(尽管出现了不确定的“中值”)从而给误差估计提供了理论依据.二 带有拉格朗日型余项的泰勒公式定理6.9 若f 在],[b a 上有直到n 阶的连续导函数,在),(b a内存在1+n 阶导函数,则对),(],,[,0b a b a x x ∈∃∈∀ξ,使10)1(00)(200000)()!1()( )(!)()(!2)()(!1)()()(++-++-+⋅⋅⋅+-''+-'+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ(5) 注 (ⅰ)(5)式也称为Taylor 公式,其余项为10),(,)()!1()()()()(0010)1(<<-+=-+=-=++θθξξx x x x x n f x T x f x R n n n n 称其为拉格朗日型余项,(5)式也称为带Lagrange 型余项的Taylor 公式.(ⅱ)若0=n ,则(5)式即Lagrange 中值公式))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ故定理6.9是Lagrange 中值定理的推广.当00=x 时, Taylor 公式(5)成为10,)!1() (!)0()(1)1(0)(<<++=++=∑θθn n k n k k x n x f x k f x f (6) 称(6)式为带Lagrange 型余项的马克劳林公式.例5 把例1中六个马克劳林公式改写为带Lagrange 型余项的形式.Taylor 公式是一元微分学的顶峰,它可以解决很多数学问题.本节最后一部分介绍其在近似计算上的应用,后面几节将会介绍在其它方面上的应用.三 在近似计算上的应用例6 (1)计算e 的值,使其误差不超过610-(2)证明e 是无理数[提示] (1)由例5(1)的结果有 )10()!1(!1!2111<<+++⋅⋅⋅+++=θθn e n e (7) (2)由(7)式得1)143!!(!+=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅++-n e n n n n e n θ,用反证法证之. 例7 用Taylor 多项式逼近正弦函数x sin ,要求误差不超过310-.试以1=m 和2=m 两种情形分别讨论x 的取值范围.§4 函数的极值与最大(小)值函数在一区间上的极值是函数局部性态的重要特征.利用极值确定函数的整体性态－最大值和最小值在实际问题中有着广泛的应用.一 极值判别费马定理(定理5.3)已经告诉我们极值的必要条件－函数在点0x 可导且0x 为f 的极值点则必有0)(0='x f .下面给出极值的三个充分条件.定理 6.10(极值的第一充分条件) 设f 在0x 连续,在0x 某邻域);(00δx U 内可导.(ⅰ)若当),(00x x x δ-∈时0)(≤'x f ,当),(00δ+∈x x x 时0)(≥'x f ,则f 在0x 取得极小值;(ⅱ) 若当),(00x x x δ-∈时0)(≥'x f ,当),(00δ+∈x x x 时0)(≤'x f ,则f 在0x 取得极大值.若f 是二阶可导函数,则有如下判别极值定理.定理6.11(极值的第二充分条件) 设f 在0x 某邻域);(0δx U 内一阶可导,在0x x =处二阶可导,且0)(0='x f ,0)(0≠''x f .(ⅰ)若0)(0<''x f ,则f 在0x 取得极大值;(ⅱ)若0)(0>''x f ,则f 在0x 取得极小值.例1 求32)52()(x x x f -=的极值点与极值.例2 求xx x f 432)(2+=的极值点与极值. 对于应用二阶导数无法判别的问题,可借助更高阶的导数来判别.定理 6.12(极值的第三充分条件) 设f 在0x 某邻域内直到1-n 阶导函数, 在0x 处n 阶可导, 且0)(0)(=x f k ),1,,2,1(-⋅⋅⋅=n k 0)(0)(≠x f n ,则(ⅰ)当n 为偶数时, f 在0x 取得极值,且当0)(0)(<x f n 时取得极大值, 当0)(0)(>x f n 时取得极小值;(ⅱ)当n 为奇数时, f 在0x 不取得极值.例3求34)1()(-=x x x f 的极值.注 定理6.12仅是判定极值的充分条件.如函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-000)(21x x e x f x 显然它在0=x 处取得极小值,但此时)(0)0()(+∈=N n f n .二 最大值与最小值极值是局部性概念,而最值是全局概念.极值是函数在极值点的某邻域内的最大值或最小值.最值是函数在所考察的区间上全部函数值中的最大值或最小值.若最值在区间内部取得则最值必是极值.在第四章中我们知道,闭区间],[b a 上连续函数一定存在最大值与最小值.下面我们给出求闭区间上连续函数且不可导点和驻点个数为有限个的函数的最大值和最小值的方法:(1)求出导函数)(x f ';(2)求)(x f 在),(b a 内的驻点和不可导点;(3)计算)(a f 、)(b f 及函数在所有驻点和不可导点处的函数值;(4)比较上述各值大小从而确定最大值和最小值.例4 求函数x x x x f 1292)(23+-=在闭区间]25,41[-上的最大值与最小值.在实际问题中,求函数的最大值或最小值往往碰到如下两种特殊情形,此时最值的求法可不必按照上述四个步骤.情形 1 函数)(x f 在一个区间上可导且只有一个极值点,则此极值点即为最值点.例5 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为10(km/h),燃料费为每小时6元,而其他与速度无关的费用为每小时96元.问轮船的速度为多少时,每航行1 km 所消耗的费用最小?情形 2 如果由实际问题的性质可判定可导函数)(x f 确有最大值或最小值,而且一定在定义区间内部取得,这时若)(x f 在定义区间内部只有一个驻点0x ,那么不必讨论)(0x f 是不是极值就可以断定)(0x f 是最大值或最小值.例6 一张1.4米高的图片挂在墙上,它的底边高于观察者的眼睛1.8米,问观察者应站在距墙多远处看图最清楚?(即视角最大)下面我们再看两个“最值应用”的例题.例7 用最值方法证明不等式1 ,1)1(211>≤-+≤-p x x p p p[提示] 令1],1,0[,)1()(>∈-+=p x x x x f p p ,可求出)(x f 在]1,0[上的最大值为1,最小值为121-p ,从而得所证不等式.例8 求数列{}n n 的最大项.[提示] 令),0()(1>=x x x f x可求出)(x f 在点e x =取得最大值,进一步地分析可知数列的最大项应是第三项.§5 函数的凸性与拐点凸函数是有着广泛应用的一类函数.本节将介绍凸函数的基本性质并以凸函数为工具来证明一些不等式.一 函数的凸性定义1 设f 为定义在区间I 上的函数,若对∈∀∈∀λ,,21I x x )1,0(总有 )()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ (1) 则称f 为I 上的凸函数.反之,若总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+ (2) 则称f 为I 上的凹函数.若(1),(2)中的不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.不难证明:若f -为I 上的凸函数, 则f 为I 上的凹函数.故今后只需讨论凸函数及其性质.引理1 f 为I 上的凸函数⇔对,),3,2,1(321x x x i I x i <<=∈∀总有 23231212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤-- (3) 引理2 f 为I 上的凸函数⇔对,),3,2,1(321x x x i I x i <<=∈∀总有232313131212)()()()()()(x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤-- (4) (仿引理1可证)对于可导函数,有定理6.13 设f 为区间I 上的可导函数,则下述论断互相等价: (ⅰ) f 为I 上的凸函数;(ⅱ) f '为I 上的增函数;(ⅲ) I x x ∈∀21,,有))(()()(12112x x x f x f x f -'+≥ (5) 注 论断(ⅲ)的几何意义是:曲线)(x f y =总是在它的任一条切线的上方.这是可导凸函数的几何特征.定理 6.14 设f 为区间I 上的二阶可导函数,则f 为I 上的凸(凹)函数的充要条件是I x x f ∈∀≤≥''),0(0)( .证 由定理6.3和定理6.13得. 例1 讨论2)(x e x f -=的凸性. 例 2 若f 为定义在开区间),(b a 内的可导凸(凹)函数,则),(0b a x ∈为f 的极大(小)值的充要条件是0x 为f 的稳定点,即0)(0='x f .下面的例子是定义1的一般情况.例 3 (詹森(Jensen)不等式)若f 为],[b a 上的凸函数,则对1),,,2,1(0],,[1=⋅⋅⋅=>∈∀∑=n i i i i n i b a x λλ,有)()(11i ni i i n i i x f x f ∑∑==≤λλ (6)证 应用数学归纳法并结合凸函数的性质证之.注 以Jensen 不等式为工具可以证明H Ölder 不等式、Minkowski 不等式等经典不等式.例4 证明0,, ,)(3>≤++c b a c b a abc c b a cb a证明 令)0(ln )(>=x x x x f 应用Jensen 不等式证之.例 5 设f 为开区间I 内的凸(凹)函数,则f 在I 内任一点都存在左、右导数.二 拐点定义 2 设曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 有穿过曲线的切线,且在切点附近,曲线在切线的两侧分别是严格凸的和严格凹的,则称点))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点.注 (ⅰ)拐点是曲线凸凹性的分界点.(ⅱ)拐点是曲线上的点.例6 正弦曲线x y sin =,其拐点为Z k k ∈),0,(π.定理 6.15 若f 在点0x 二阶可导,则))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点的必要条件是0)(0=''x f .定理6.16 设f 在点0x 可导, 在)(00x U 内二阶可导,若在)(00x U + 和)(00x U -上f ''的符号相反,则))(,(00x f x 为)(x f y =的拐点.注 拐点的的可疑点为两类:一类是0)(0=''x f 相应的点))(,(00x f x ,另一类是二阶导数不存在的点))(,(00x f x .例7 求2x e y -=的拐点例8.函数3x y =上点(0,0)是其拐点,但)0(f '不存在(在点(0,0)处有垂直切线).由此可见,若点))(,(00x f x 为)(x f y =的拐点, f 在点0x的导数未必存在.§6 函数图像的讨论在中学里,我们主要依赖描点作图法画出一些简单函数的图像.一般来说,这样得到的图像比较粗糙,无法确切反映函数的性态(如单调区间,极值点,凸性区间,拐点等).这一节里,我们将综合应用在本章前几节学过的方法,再综合周期性、奇偶性、渐近线等知识,较完善地作出函数地图像.作出函数图像的一般程序是:1.求函数地定义域;2.考察函数的奇偶性、周期性;3.求函数的某些特殊点,如与两个坐标轴的交点,不连续点,不可导点等;4.确定函数的单调区间,极值点,凸性区间以及拐点;5.考察渐近线;6.综合以上讨论结果画出函数的图像.例 作出函数23)1(2-=x x y 的图像。