微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用

微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用.

1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题.

2．教学重点与难点：

重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性.

难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性.

3．教学内容：

§1 拉格朗日定理和函数的单调性

本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性.

一罗尔定理与拉格朗日定理

定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足

(ⅰ)在[]b

a,上连续;

(ⅱ)在)

a内可导;

(b

,

(ⅲ))

a

f=

f

)

(

(b

则),(b a ∈∃ξ使

0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可.

如: 1º ⎩

⎨⎧=<≤=1 010

x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足,

结论不成立.

2º x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立.

3º x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立.

(ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件.

如:[]1,1

)(22-∈⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ),

(ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f .

(ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续

曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线.

例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根.

证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式

n

n

n n n dx

x d n x P )1(!21)(2-⋅= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点.

将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广

泛的Lagrange 中值定理.

定理6.2(拉格朗日(Lagrange 中值定理)设f 满足 (ⅰ)在[]b a ,上连续; (ⅱ)在),(b a 内可导 则),(b a ∈∃ξ使

a

b a f b f f --=

')

()()(ξ (2)

[分析]（图见上册教材121页图6-3） 割线AB 的方程为

)()

()()(a x a

b a f b f a f y ---+

=

问题是证明),(b a ∈∃ξ,使)(ξf '与割线在ξ处导数ξ='x y 相等 即证

0])()

()()()([='----

-ξa x a

b a f b f a f x f 证 作辅助函数],[),()

()()()()(b a x a x a

b a f b f a f x f x F ∈-----=

注 (ⅰ)Lagrange 中值定理的几何意义是:在满足定理条件的曲线上至少存在一点使得曲线在该点处的切线平行于曲线两端点连线.

(ⅱ)(2)式称为Lagrange(中值)公式,它还有以下几种等价形

式

(5)

10,) ()()((4) 10),))((()()((3) ),)(()()(<<+'=-+<<--+'=-<<-'=-θθθθξξh h a f a f h a f a b a b a f a f b f b a a b f a f b f 另外,无论b a >,还是b a <, Lagrange(中值)公式都成立.此公式将由自变量的变化而引起的因变量的增量与导数联系起来,而且比上一章中有限增量公式前进了一大步,这也是Lagrange 中值定理应用更为广泛的原因之一.

(ⅲ) Lagrange 中值定理是Rolle 中值定理的推广. (ⅳ) Lagrange 中值定理的证明方法是用辅助函数法.在教材中首先构造辅助函数

],[),()

()()()()(b a x a x a

b a f b f a f x f x F ∈----

-=

然后验证)(x F 在[],b a 上满足Rolle 定理的三个条件,从而由Rolle 定理推出)(x F '存在零点而使定理得到证明.推而广之,许多中值命题常常使用这种构造辅助函数的方法.我们用框图示意如下:

当然辅助函数构造的方法不是唯一的.针对本定理,教材是从Lagrange 中值定理的几何意义出发构造辅助函数)(x F .我们也可以构造以下两个辅助函数来证明该定理.

1º 注意到(2)式成立),(b a ∈∃⇔ξ使得0)

()()(=---'a

b a f b f f ξ

⇔a b a f b f x f ---

')

()()(在),(b a 内存在零点

])

()()(['---

⇔x a

b a f b f x f 在),(b a 内存在零点 根据以上分析我们作辅助函数x a

b a f b f x f x G ---

=)

()()()((注意这种构造辅助函数的方法是常见的).