《小波分析及其应用》word版

现代数字信号处理作业

小波分析及其应用

电研111

梁帅

小波分析及其应用

1.小波分析的概念和特点

1.1小波理论的发展概况

20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪数学领域中研究的重要杰出成果之一。小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。

小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。在今后数年中，小波理论将成为科技工作者经常使用的又一锐利数学工具，极大地促进科技进步及各个领域工程应用的新发展。

小波分析的概念最早是在1974年由法国地质物理学家J.Morlet提出的，并通过物理直观和信号处理的实际经验建立了反演公示，但当时该理论未能得到数学家的认可。1986年法国数学家YMcyer偶尔构造出一个真正的小波基，并与

s.Mallat合作建立了构造小波基函数的多尺度分析方法后，小波分析才开始蓬勃发展起来，进而把这一理论引入到了工程应用中，特别是在信号处理领域。在小波分析发展过程中，法国学者I.Daubeehies和s.Mallat发挥了极为重要的作用。小波分析是20世纪80年代中后期发展起来的一门应用数学分支。由于其数学的机理的创见性和完善性、方法的实用性和现实与过程的简便性，克服了Fourier变换的不足，使其在应用上得到迅速发展。目前，小波分析在信号与图像处理、模式识别与影像匹配、大型机械故障的在线检测、音乐与语言的人工合成、地震勘探数据处理、医学成像与诊断等领域都得到了广泛的应用。

1.2连续小波变换1.

2.1连续小波变换

1.2.2连续小波变换的性质

1.2.3小波变换的时频局部化性能

此外，由式可知，小波窗函数的窗口形状大小是可变的。由图2-1所示，该图表示是在时间-频率平面上的小波窗函数的变化情况。对于高频信号而言，持续时间短，在小尺度下，时间窗口变窄，频率窗口变宽，有利于对信号的细节进行描述;对于低频信号而言，持续时间长，在大尺度下，时间窗口变宽，频率窗口变窄，有利于对信号的整体情况进行描述。正是由于小波变换的这种时间-频率窗的可变特性，使它能够表示各种不同频率分量的信号，特别是具有突变特性的信号。

1.3离散小波变换

1.3.1离散小波变换

小波思想的建立是将连续小波及连续小波变换作为理论基础的，但是在实际应用过程中，考虑到计算过程的低冗余性和高效性，一般要对小波函数及其变换进行离散化处理。

1.3.2小波框架理论

1.4二进小波变换

1.4.1二进小波变换

1.4.2二进小波变换的性质

1、与离散小波相同，二进小波一定是一个允许小波，且有：

1.5本章小结

本章简单介绍了有关小波分析的基本概念、性质、局部化性能和小波框架理论，系统的研究了连续小波变换、离散小波变换和二进小波变换的基本理论，同时阐述了小波的优良特性。

2.小波分析在电力系统中的应用

由于小波分析在时域和频域上同时具有良好的局部化性质,能对不同的频率成分采用逐渐精细的采样步长,聚焦到信号的任意细节,这对于检测高频和低频信号均很有效,特别适用于分析奇异信号,并能分辨奇异的大小。小波分析还能准确地反映故障发生的时间、位置等信息，因此能对设备或整个系统进行实时、有效的状态监视和故障诊断。此外小波分析在信号的分解和重构技术、特征提取技术、信号和噪声分离技术等方面的优异特点，也决定了它在电力系统谐波分析、神经网络和专家系统、输电线路故障定位、电力系统短期负荷预测等领域，具有重要的工程应用价值。现将谐波分析在电力系统中的具体应用作如下简要分析。

2.1电力设备的状态监视和故障诊断

电力设备的状态监视和故障诊断也就是分解和处理电力系统基本设备在运行中产生的各种电磁、机械等物理信号,实时地判别其状态，以期在故障初期或在故障时（有的甚至在故障前有异常情况时）发出警报。电力设备在正常运行时发出的电磁信号较为平稳，一旦状态异常，则必然出现奇异信号。运用小波分析理论对所得的奇异电磁信号做多分辨分析（MRA），将信号分解到不同的尺度上，每个尺度上的分量反映了原信号的不同频率成分，可以很明显地表现出故障信号，从而达到状态监视和故障诊断目的。上述原理在电动机转子断条及发电机故障诊断中已得到成功的应用。

2.2电力系统谐波分析

电力系统在正常运行和发生故障时，都伴随着产生各次谐波。在高压直流输电系统中，换流站的换相以及故障也将产生大量的谐波。为了避免这些谐波的不良影响，有必要对其进行分析和抑制。小波分析将此类信号变换投影到不同的尺度上会明显地表现出这些高频、奇异高次谐波信号的特性，特别是小波包具有将频率空间进一步细分的特性。运用小波分析理论进行谐波分析，有较高的精度和分辨率，为更好地分析和抑制谐波，提供了可靠的依据。此外，小波分析为电力系统非整次谐波的分析和研究，创造了有了条件。这方面的工作还处在探索阶段。