《小波分析及其应用》word版
小 波 分 析 及 应 用
小 波 分 析 及 应 用第一部分 引 言小波分析及应用傅立叶分析的有效性19世纪，傅立叶变换把时间域与频率域联系起来，用信号的频谱特性去分析时域内难以看清的问题，解决了很多物理和工程学方面的问题。
这个突破使得科学家们和工程师们开始考虑如何将傅立叶变换作为分析各种现象的最佳工具。
这种普遍性迫使人们开始进一步研究这种方法。
问题及大胆设想直到20世纪即将结束时，数学家、物理学家和工程师们才开始认识到傅立叶变换的缺点：它们在分析短时信号或突变信号时，效果并不理想。
在整个20世纪的过程中，各个领域的科学家们都试图突破上述这些障碍。
从本质上讲，科学家们往往想同时获取到低分辨率的森林——重复的背景信号；以及高分辨率的树——个体的、在背景上的局部变化。
他们提出了大胆的设想：也许通过将一个信号分割成并非纯正弦波的元素，就可以同时在时间和频率两方面对信息进行描述。
问题的解决小波变换是傅里叶变换的新发展，它既保留了傅里叶变换的优点，又弥补了傅里叶变换在信号分析上的一些不足。
原则上讲，小波变换适用于以往一切傅里叶变换应用的领域。
但小波变换并不是万能的，作为一种数学工具，小波变换（分析）有其特定的应用范围，即面向更能发挥小波分析优势的时间—频率局域性问题。
本课程的内容安排理论部分第二部分从傅里叶变换开始，沿着傅里叶变换→短时傅里叶变换→小波变换的发展轨迹，从物理直观的角度对其逐一进行介绍，引出小波变换的概念；然后对小波变换的基本理论进行了详细的讲解；第三部分首先介绍多分辨分析和多分辨率滤波器组的概念，在此基础上讲解由滤波器组系数构造小波基的方法，最后给出对信号和图像进行小波变换的Mallat算法；第四部分介绍小波理论的最新进展和发展方向：多小波；M带小波和提升框架等；应用部分第五部分在给出小波域滤波基本原理的基础上，介绍三种小波滤波方法——模极大值重构滤波、空域相关滤波和基于阈值的小波域滤波方法，并对这三种方法进行分析和比较；第六部分对经典小波滤波方法的改进、较新的进展及发展趋势进行介绍；第七部分对目前国内外小波分析软件应用领域的情况进行总结，着重介绍我们开发的小波分析领域通用信号处理软件系统——“小波软体”（Wavesoft），对其安装、运行、操作进行说明、演示；最后给出几个小波滤波方法的应用实例。
(完整word版)小波分析-经典
时间序列—小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。
在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。
其中,时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换)虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析.然而，地学中许多现象(如河川径流、地震波、暴雨、洪水等)随时间的变化往往受到多种因素的综合影响,大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度"结构，具有多层次演变规律.对于这类非平稳时间序列的研究,通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息.显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。
20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时—频多分辨功能的小波分析(Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能,它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势,并能对系统未来发展趋势进行定性估计.目前,小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。
在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。
一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。
因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足:⎰+∞∞-=0dt )t (ψ (1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中,0a R,b a,≠∈ (2） 式中,)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。
小波分析及其应用
Wavelet Analysis and It’s Applications
西南交通大学 电气工程学院
何正友 （zheng_u@)
1
0.1信号的时－频联合分析
2
参考：
0”W.1av信elets号aM3nd..VS的1eutbt多ebr时alni,d分C－od辨in频g分“, 联析合原分理析
机器将要
锋利钻头
1.2 出现故障 时频分析的必要性
要 点 1.2机.2器例已经子 出现故障
钻头有点 钝
钻头很钝
机械故障诊断
15
小波分析概述
小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理 论深刻和应用十分广泛的双重意义。
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师 J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实 际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如 1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成 三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家 grange，place以及A.M.Legendre的认可一样。幸 运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空 间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上 的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小 波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波 基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的统一的方法。－多分辨 分析
9
10
11
1.2 时频分析的必要性
要 点 1.2.2例子
(a)线性调频信号 (b)正弦调制信号 ©三次方相位 (d)双曲型信号
小波分析及其应用
-1 2
∫
−∞
归一化因子
t-b f (t) ψ ( )d t a
时间平移参数
尺度伸缩参数 ψ(t)： 小波原型或母小波或基 本小波 t-b ψ a,b (t) =| a |-1/2 ψ( ), a ∈ R, a ≠ 0; b ∈ R ： 小波函数，简称小波 a
小波变换的思想来源于伸缩和平移方法。 尺度伸缩 对波形的尺度伸缩就是在时间轴上对信号进行压 缩和伸展，如图所示。
f (t ) = sin(t ); a = 1 f (t ) = sin(2t ); a = 1 f (t ) = sin(4t ); a = 1 2 4
f (t ) = ψ (t ); a = 1 f (t ) = ψ (2t ); a = 1 f (t ) = ψ (4t ); a = 1
小波分析是纯数学、应用数学和 工程技术的完美结合。从数学来说是 大半个世纪“调和分析”的结晶（包 括傅里叶分析、函数空间等）。 小波变换是20世纪最辉煌科学成 就之一。在计算机应用、信号处理、 图象分析、非线性科学、地球科学和 应用技术等已有重大突破，预示着小 波分析进一步热潮的到来。
“小波分析” 是分析原始信号各种 变化的特性，进一步用于数据压缩、噪 声去除、特征选择等。 例如歌唱信号：是高音还是低音， 发声时间长短、起伏、旋律等。从平稳 的波形发现突变的尖峰。小波分析是利 用多种 “小波基函数” 对 “原始信号 ” 进行分解。
则：
WFg ( ω, b) = ∫ f (t) g ω,b (t) d t
-∞
+∞
= f (t), g ω,b (t)
• 窗口傅立叶变换的物理意义： – 若g(t)的有效窗口宽度为Dt，则WFg(ω, b)给出的是f(t)在局部时 间范围[b - Dt/2, b + Dt/2]内的频谱信息。 – 有效窗口宽度Dt越小，对信号的时间定位能力越强。
小波分析及其应用
小波分析及其应用小波分析是一种将信号分解成不同频率的方法，它具有时频局域性等优点，广泛应用于信号处理、模式识别、图像处理、生物医学工程等领域。
本文将从小波分析的概念、算法及其应用等方面进行详细介绍。
小波分析最早由法国数学家莫尔。
尼斯特雷（Morlet）于20世纪80年代初提出。
它可以将原始信号分解成不同频率的小波基函数，通过对小波基函数进行不同尺度的平移和伸缩来适配信号的不同频率成分。
与传统的傅里叶变换相比，小波分析可以提供更精确的时频信息，适用于非平稳信号的分析。
小波分析的算法主要有两种：连续小波变换（CWT）和离散小波变换（DWT）。
连续小波变换是将信号与连续的小波基函数进行卷积得到小波系数，然后通过小波系数的时频表示来分析信号。
离散小波变换则是通过对信号进行多级滤波和下采样得到不同频率的小波系数，然后通过小波系数的分解和重构来还原信号。
小波分析的应用非常广泛。
在信号处理领域，小波分析可用于信号的去噪、特征提取和模式分析等。
例如，在语音信号处理中，小波分析可以提取出语音信号的共振峰位置和共振器参数，从而实现语音识别和语音合成。
在图像处理领域，小波分析可用于图像的边缘检测、纹理分析和压缩等。
例如，在图像压缩中，小波变换可以将图像的低频和高频信息分开编码，从而实现更高的图像压缩比。
在模式识别领域，小波分析可以用于图案识别和模式分类。
例如，在人脸识别中，小波分析可以对人脸图像的尺度和方向进行多尺度和多方向的分析，从而提取出不同特征，进而实现人脸的识别。
在生物医学工程领域，小波分析可用于心电信号的分析和疾病检测等。
例如，在心电信号的分析中，小波分析可以提取出心电信号的不同频率成分，从而实现对心脏疾病的检测和分析。
总之，小波分析是一种重要的信号分析方法，具有时频局域性和多分辨率分析的特点，广泛应用于信号处理、模式识别、图像处理和生物医学工程等领域。
通过对小波基函数进行不同尺度的平移和伸缩，可以实现对信号不同频率成分的分解和分析，并提取出信号的时频特征，从而实现对信号的处理和分析。
小波分析及应用
小波分析及其应用（学习总结）一、 初步认识小波小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，是小的波形。
所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。
与Fourier 变换相比，小波变换是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier 变换的困难问题，成为继Fourier 变换以来在科学方法上的重大突破。
小波变换被人们称为“数学显微镜”。
从数学的角度来看，小波实际上是在特定空间内按照称之为小波的基函数（通常具有鲜明的物理意义）对数学表达式的展开与逼近。
作为一种快速高效、高精度的近似方法，小波理论构成调和分析领域中Fourier 分析的重要发展。
与Fourier 变换由三角基函数构成相比，小波基函数大多具有快速衰减、充分光滑、能量集中在一个局部区域的函数()x ψ经过伸缩与平移得到的函数集合，其中b 起到平移的作用，而a 为伸缩因子（a 作为一种尺度在变化时产生多分辨特性）。
因此，从信号处理的角度来看，作为一种新的时频分析工具，小波克服了Fourier 分析方法表示信息时能够清晰的揭示出信号的频率特性而不能反映时间域上的局部信息的缺陷，而局部性质的描述无论是在理论上还是在实际应用方面都十分重要。
当利用小波实施视频分析时，由于同时具有时间和频率的局部特性以及多分辨分析特性，使得对非平稳信号的处理变得相对容易。
二、 第一代小波由L 2(R)空间的正交分解和变换相关知识，对于给定信号f(t)，关键是选择合适的标准正交基g i (t)，使得f(t)在这组基下的表现呈现出我们需要的特性，但是如果某一个基不满足要求，可通过变换将函数转换到另一个基下表示，才能得到我们需要的函数表示。
常用的变换有：(1) K-L 变换 (2) Walsh 变换 (3) Fourier 变换 (4) 小波变换如图1所示是信号f(t)的Fourier 变换示意图。
小波分析及应用
姓名：彭超学号：200710702012小波分析及应用1介绍Fourier变换只能告诉我们信号尺度的范围而无法给出信号的结构以及它蕴含的大小不同尺度的串级过程，即Fourier变换在时空域中没有任何分辨率。
此外，傅立叶分析无法解决信号奇异性的位置。
20世纪80年代初由法国油气工程师Morlet提出的小波分析[1](waveletAnalysis，又称子波分析)能成功地解决这些问题。
因此小波分析是Fourier分析发展史上的一个里程碑。
小波分析一面世，立刻成为国际研究热点。
目前小波分析在信号处理、图像压缩、语音编码、模式识别、地震勘探、大气科学以及许多非线性科学领域内取得了大量的研究成果。
小波分析之所以广泛得到应用在于:它具有时域和频域同时具有良好的局部性质;能将信号(时间序列)分解成交织在一起的多尺度成分，从而能够不断地聚集到所研究对象的任意微小细节;同时具有数学上严格意义的突变点诊断能力。
2 小波分析的形成及发展小波分析[1,2,3〕是一调和分析方法，是Fourier分析发展史上的一个里程碑式的进展，被人们誉为数学“显微镜”。
小波分析理论及其方法的形成和应用在科学技术界引起一场轩然大波并成蔓延之势。
小波理论形成经历了三个阶段:(1)Fourier变换(FT)阶段在信号分析中，我们对信号的基本刻化，往往采取时域和频域两种基本形式。
时域分析无法得到关于信号变化的更多信息(如采样、周期等)。
(2)短时Fourier变换(SFT)阶段1946年Gabor提出SFT。
SFT能实现信号时频局部化分析，但窗函数一选定，其窗口的大小和形状固定不变，其分辨率是有限的。
由于频率与周期成反比，高频信号需要窄的时间窗，低频信号需要宽的时间窗，即变换的窗口大小应随频率而变。
SFT解决不了这个问题。
(3)小波分析阶段在继承SFT的基础上，Morlct提出了小波变换法(WT)。
wT可研究信号在各个时刻或各空间位置在不同尺度上的演变情况，实现了时频局部化分析。
小波分析及其应用
3、不同变换比较
既叫做Gabor变换，又叫做短时傅立叶变换。
Gabor变换很好地解决了傅立叶变换的局部化性质。
高频信号采用小的窗口；低频信号采用大的窗口。 窗口的大小不能自动调整。
3、不同变换比较
3、小波变换：小波母函数相当于一个窗口函数， 通过伸缩参数a可以改变窗口的大小。
小波分析有“自动变焦功能”。
表示:信号f(t)在整个时间域中的频率特征，或者说 傅立叶变换在时间域中没有局部化性质。
3、不同变换比较
2、加窗傅立叶变换：
目的：为了进行信号的局部化性质研究，加入了窗 口函数g(t)进行处理。
Gf (, m)
f (t) g (t m)eit dt
随着m的变化，g(t)在时间轴上移动，从而得到不 同的局部化信息。
频域： 离散傅立叶变换\FFT
时频域： WVD、 小波变换、 短时傅立叶变换
3、小波变换介绍
小波变换：首先由法国地球物理学家Morlet 在20世纪80年代初在分析地球物理信号时提 出的。
研究小波的热潮在1986年后。
3、小波变换介绍
小波变换的应用：数据压缩、图像处理、机 械故障诊断、信号降噪、边缘检测、神经网 络、参数辨识、CT成像、语音识别与合成等。
3、Mallat算法
S.Mallat在1989年在多分辨分析的基础上提 出的快速算法。
Mallat算法在小波分析中的作用相当于FFT在 傅立叶变换中的作用。
Mallat算法又称为塔式算法，由小波分解滤 波器H、G和小波重构滤波器h、g对信号进 行分解与重构。
3、Mallat算法
分解算法：
2、离散小波变换定义
定义：
小波分析及其应用
小波分析及其应用小波分析是一种时间-频率分析方法，是对时域信号在时间和频率上的特征进行分析的一种数学工具。
它不仅具有频域分析方法的优点，如傅立叶变换，可以提供信号的频率成分，而且还能提供信号的时间信息，即信号的局部特征。
小波分析在信号处理、图像处理、语音识别等领域有着广泛的应用。
小波分析的基本原理是通过对信号进行分解和重构，将信号转化为不同尺度和频率的小波基函数的叠加，然后通过分析小波系数的大小和位置，得到信号的频率和局部时间信息。
在信号处理领域，小波分析常用于信号压缩、去噪和特征提取。
由于小波函数具有时频局部化特性，可以更准确地描述信号的局部特征，所以在信号压缩方面有很好的应用。
小波压缩将信号分解为不同频率分量，然后根据各个频率分量的重要程度进行压缩，以达到减小数据量的目的。
在信号去噪方面，小波分析可以通过滤除小波系数的低能量分量来抑制信号中的噪声。
此外，小波变换还可应用于语音识别和图像处理中的特征提取，提取信号的频率特征和时间特征，以实现对语音和图像的处理和识别。
在图像处理领域，小波分析有着广泛的应用。
小波变换可以将图像分解为不同尺度和方向的频域信号，从而提供了更加精细的图像特征信息。
基于小波变换的图像处理技术包括图像压缩、边缘检测、纹理分析等。
通过对图像进行小波分解和重构，可以实现图像的压缩和去噪。
同时，小波变换还具有多尺度分析的优势，能够更好地捕捉图像中的局部细节和全局结构。
在金融领域，小波分析被用于金融时间序列的特征提取和预测。
金融市场的价格序列通常具有非线性、非平稳和非高斯分布的特点，传统的统计方法常常无法处理。
而小波分析可以更好地揭示金融时间序列的时间和频率特征，提供更准确的数据分析和预测。
通过分析小波系数的大小和位置，可以提取金融时间序列中的主要特征和周期，为金融决策提供参考。
此外，小波分析还在医学影像处理、地震信号处理、生物信号处理等领域有广泛的应用。
在医学影像处理中，小波分析能够提取出图像中的不同频率和方向的特征，从而实现对病变的检测和分析。
小波分析及其应用研究
小波分析及其应用研究引言小波分析是一种近年来逐渐被广泛应用的数学工具，它在信号处理、图像处理等领域具有广泛的应用价值。
小波分析能够将一个信号或图像分解成多个小波系数，从而方便地对信号或图像进行频域和时域的分析。
本文旨在探讨小波分析的基本原理及其在信号处理和图像处理领域的应用研究，以期读者能够更好地理解小波分析的应用价值。
小波分析基本原理小波分析的基本原理主要包括小波基函数的选取、小波分解的过程以及小波重构的过程。
小波基函数具有尺度性和移位性，通过这些性质，可以将一个信号或图像从小波基函数展开，得到一系列的小波系数。
小波分解是将信号或图像分解成多个小波系数的过程，从而方便对信号或图像进行频域和时域的分析。
小波重构则是从小波系数出发，恢复原信号或图像的过程。
小波分析在信号处理中的应用小波分析在信号处理领域具有广泛的应用，主要包括信号压缩、去噪以及分类等方面。
小波分析能够将信号分解成多个小波系数，对于那些幅值较小的系数，可以将其置零或近似为零，从而实现信号压缩。
同时，小波分析在信号去噪方面也有着重要的应用，通过将信号分解成多个小波系数，可以有效地去除噪声，提高信号的信噪比。
此外，小波分析还可以应用于信号分类，例如基于小波包的分类方法可以有效地对信号进行分类。
小波分析在图像处理中的应用小波分析在图像处理领域同样具有广泛的应用，主要包括图像压缩、去噪以及分类等方面。
在图像压缩方面，小波分析可以通过将图像分解成多个小波系数，实现图像的压缩，从而减少存储空间的需求。
同时，小波分析在图像去噪方面也有着重要的应用，能够有效地去除图像中的噪声。
此外，小波分析还可以应用于图像分类，例如基于小波包的分类方法可以有效地对图像进行分类。
小波分析作为一种数学工具，在信号处理和图像处理领域具有广泛的应用价值。
通过将信号或图像分解成多个小波系数，可以方便地对信号或图像进行频域和时域的分析。
本文介绍了小波分析的基本原理及其在信号处理和图像处理领域的应用研究，希望读者能够更好地理解小波分析的应用价值。
小波分析及其应用
小波分析及其应用
小波分析，又称小波变换，是一种数字信号处理技术，它能有效地分
析和处理带有噪声的信号。
由于其分析和处理能力，小波变换正在广
泛应用于图像、音频和视频信号的处理中。
小波分析是基于多尺度分析理论的，其核心思想是从高频到低频把时
域信号分解为不同的尺度的组件，或者说从原始信号中提取出比较重
要的特征信息，从而使处理和分析过程更加准确、方便和快捷。
其作
用是将一个复杂的信号分解成它的低频和高频分量，以此来滤除杂讯，增强信号特征。
由于小波分析的复杂性和高效性，小波变换已经被广泛应用于图像处
理领域。
图像处理中用到的小波变换主要有小波去噪、压缩、识别和
检测等。
小波去噪是将目标图像的某些频率分量置零以抑制高频噪声
的方法；压缩则是将原信号或图片的文件大小降低，以节省存储空间；识别则是利用小波分析技术对图像进行形状特征提取；检测则是利用
小波分析技术对图像中目标物体的位置、纹理特征等进行识别。
此外，小波分析还被应用到语音和音频信号的处理中。
语音处理中，
小波变换可以提取信号的特征，分离目标信号与噪声，并提升语音识
别性能；音频处理中，小波分析可以对音频信号进行动态范围分析等。
总之，小波分析可以准确地分解和处理复杂的信号，提取信号特征，
从而提升信号分析和处理的准确性和效率。
因此，小波分析已经成为
图像、音频和视频信号处理领域的重要技术之一。
小波分析及应用(附常用小波变换滤波器系数)
第八章小波分析及应用8.1 引言把函数分解成一系列简单基函数的表示，无论是在理论上，还是实际应用中都有重要意义。
1822年法国数学家傅里叶(J. Fourier 1768-1830)发表的研究热传导理论的“热的力学分析”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数理论的基础[1]。
傅里叶级数理论研究的是把函数在三角函数系下的展开，使得对信号和系统的研究归结为对简单的三角函数的研究。
傅里叶级数与傅里叶变换共同组成了平常所说的傅里叶分析[2]。
傅里叶级数用于分析周期性的函数或分布，理论分析时经常假定周期是π2，定义如式(8.1-1)、(8.1-2)()()π2,02L x f ∈∀，()∑∞-∞==k ikxkec x f (8.1-1)其中 ()dx e x f c ikx k -⎰=ππ2021 (8.1-2) 然而，被分析函数的性质并不能完整地由傅里叶系数来刻划，这里有一个例子来说明[3]：从任一个平方可和的函数)(x f 出发，为了得到一个连续函数)(x g ，只需或者增大f(x)的傅里叶系数的模，或者保持它不变并适当地改变系数的位相。
因此，不可能仅根据傅里叶系数大小的阶就预知函数的性质（如大小、正则性）。
傅里叶变换的定义如式(8.1-3)、(8.1-4)()()dx e x f F x j ωω⎰∞∞-= (8.1-3)()()ωωπωd e F x f x j -∞∞-⎰=21 (8.1-4) 通过引入广义函数或分布的概念，可获得奇异函数（如冲击函数）的傅里叶变换的存在。
对于时域的常量函数，在频域将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局部化性质。
由式(8.1-3)可知，为了得到()ωF ，必须有关于f(x)的过去和未来的所有知识，而且f(x)在时域局部值的变化会扩散到整个频域，也就是()ωF 的任意有限区域的信息都不足以确定任意小区域的f(x)。
在时域，哈尔(Haar)基是一组具有最好的时域分辨能力的正交基，它在时域上是完全局部化的，但在频域的局部化却很不好，这是由于哈尔系的两个缺点：缺乏正则性与缺乏振动性。
小波分析及其应用
采取的教学方法和教学手段包括：
1、课堂讲授在强化基本概念、基本方法的基础上，注重将实际问题引入数学的学习中，强调数学概念的几何感知、抽象方法的几何意义，同时辅以其他学科中的实际问题凸显数学概念、数学思想和方法的作用；
2、分组研讨班则以数学问题中总结和提升为主，强调从不同角度看待同一问题，从不同方式延伸和推广数学的思想和方法；
1)小波级数
2)离散小波变换和小波系数
3) (*)Mallat算法
4)(*)Mallat算法的数值实现(矩阵实现和卷积实现方法)
4小波算法的应用（18学时）
介绍小波分析方法在信号和图像处理以及其它领域中的应用，让学生具备用小波分析的方法解决某些实际问题的能力。
1)(*)小波阈值去噪
2)(*)基于小波的图像去噪方法
前修课程、能力和知识结构要求：
明确学生学习本门课程的先修课程，主要能力和知识结构。
前修课程包括数值分析、实变函数、复变函数、泛函分析；在学习本课程前，学生应该具备良好的数学分析功底，尤其是函数项级数的各种性质有很好的的掌握，同时对于实变函数中的测度理论有一定的了解，并对于泛函分析中的基本概念（稠密、完备性、紧性）等概念有很好的掌握，并对其中重要且相对容易的基本空间（p平方可以函数空间等）的性质有一定的掌握。
4)(*)Fourier级数与Fourier变换
2．多分辨分析（10学时）
引入多分辨分析的概念，从多分辨分析的角度理解小波分析的思想。
1)(*)多分辨分析
2) 从多分辨分析构造小波
3．小波级数、Mallat算法、小波变换（14学时）
引入小波级数的定义，给出离散小波变换和连续小波变换的概念，以及Mallat算法，并介绍Mallat算法的两种数值实现方法：矩阵实现和卷积实现方法，为后面的小波在工程中的应用奠定基础。
小波分析理论与应用(清晰版)
ψ
1 2
+∞
−∞
x −b f (x )ψ dx =< f ,ψ a ,b > a
− 1 2
ψ a ,b ( x ) = a
x−b ψ a
1 f (x) = Cψ
da ∫−∞ ∫−∞ (Wψ f )(a, b)ψ a,b (x) a 2 db
+∞ +∞
基本概念：基小波与参数
• • • • • • 固有频率 振型 振型曲率 柔度矩阵 刚度矩阵 等……
敏感指标—小波包分量能
Ef = ∫
+∞ −∞
f
2
(t )dt = ∑ E ( f
i =1
+∞ −∞
2j
i j
)
E f
( )= ∫
i j
f (t ) dt
i j 2
f ji (t ) 是第j层第i个小波包分量
敏感指标—小波包分量能
小波分析理论与应用
•基本概念 •基于Matlab的使用 •健康监测等工程应用
发展历程
• 基础：现代调和分析理论 • 背景：泛函、傅里叶理论、数字信号等 • 历程：FT或FFT—STFT—WT与WPT
FT的优缺点——由其定义决定
• 优点：频域的分辩率最高 • 缺点：
– 频域丢失了时间信息，时域丢失了频率信息 – 仅适用于平稳信号
• 频带3，4
– 是由于一阶波浪效应引起
• 频带6，7
– 与结构共振有关，由风及二阶海浪效应引起
• 较大漂移由作用于结构的静水压力引起
对非平稳信号的把握
• 局部小波系数对瞬态事件的反映 • 从下例可看到能量在频带间的转移
频率调制信号的量图
小波分析及其应用
t 在 v 点为 Lipschitz
，当且仅当存在
常数 A 0 ，使得方程(3)中的模极大点 s , u 满足
Wf
s, u
As
1 2
(4)
即
Eagle Wolf Valentine (KSniper)
v
点的 Lipschitz 指数就是 lo g 2 W f s , u 作为 lo g 2 s 的函数沿着收敛于 v 的极大曲线的最大
斜率减去 1 2 ，这给我们提供了一种比较实用的计算 Lipschitz 指数的方法。 尺 度 - 空 间平 面 上 满 足 u v C s 的 所 有 点 s, u 的 集 合 称 为
t
Lipschitz 指数还可以扩展到 1 0 的范围。 如果 f t 的原函数 F t 在 v 点为 Lipschitz
1 ，则称 f t 在 v 点为 Lipschitz 。负的 Lipschitz 指数意味着函数具有比不连续
（ 0 ）更大的奇异性。对 Dirac 函数 t 而言，它的原函数为一个有界但不连续的函数 （称为阶跃信号） ，上面已经指出，阶跃信号的 Lipschitz 指数为零，故 t 的 Lipschitz 指 数为-1。 【白噪声】
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小波分析及其应用[1]
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1. 第 8 章 小波在信号奇异性检测及图像边 缘提取中的应用
称无限次可导的函数是光滑的或没有奇异性的。若函数在某处有间断或者某阶导数不连续， 则称该函数在此处有奇异性。信号的奇异性或非正则结构通常包含了信号的本质信息。 信号奇异点奇异性的强弱（在数学上，通常用 Lipschitz 指数刻画信号的奇异性大小）可以 由其小波变换模极大值随尺度参数的衰减性来刻画。
第6章小波分析及应用
信息， 通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度
分析（Multiscale Analysis），从而解决傅里叶变换不能解 决的许多问题。 因此小波变换被誉为“数学显微镜”。
第六章 小波分析的基本原理及其应用
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师
J.Morlet在1974年首先提出的，并且通过物理的直观和信号处 理的实际需要经验地建立了反演公式。早在20世纪70年代， A.Calderon表示定理的发现、 Hardy空间的原子分解和无条件 基的深入研究都为小波变换的诞生做了理论上的准备， 而且 J.O.Stromberg还 构 造了历史上非常类似于 现在的小波基； 1986年，著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基， 并与S. Mallat合作建立了构造小波基与多尺度分析。 之后，
第六章 小波分析的基本原理及其应用
频 率
时间
图 6.2.2 小波变换的分辨率特性的图解
第六章 小波分析的基本原理及其应用
3. 连续小波变换的频率域表达式
在定义了连续小波变换后， 对该表达式进行傅里叶变换, 可以得到
a * jΩ WTx (a, ) X (Ω) (aΩ)e dΩ 2π
度对应的是信号中的低频分量，而小的尺度则对应于信号的
高频部分。
第六章 小波分析的基本原理及其应用 （3） 采用不同的尺度a作处理时，各个Ψ(aΩ)的中心频率和 带宽都不一样，但是它们的品质因数Q却是相同的，即“中心 频率／带宽”为常数。
仍以Morlet小波为例：当a=1 时，ψ(t)的傅里叶变换的中心
其中X(Ω )和Ψ (Ω )分别对应于信号x(t)与母小波函数ψ (t)的
傅里叶变换。 (6.2.8)式可以由傅里叶分析理论简单得到证明：
小波分析及其应用
N −1
i
2πk n N
为序列{X(k)}的离散傅里叶逆变换(IDFT)。
1.2 短时傅里叶变换 由于标准傅里叶变换只在频域里有局部分 析的能力，而在时域里不存在局部分析的能力， 因此Dennis Gabor于1946年引入了短时傅里叶 变换(Short-time Fourier Transform)。短时傅里 叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的 时间间隔，用傅里叶变换分析每一个时间间隔， 以便确定该时间间隔存在的频率。其表达式为
之后，在地质学家、物理学家和数学家的共同 努力下，由实践经验上升为科学方法。 小波变换是一种信号的时间—尺度(时间—频率) 分析方法，它具有多分辨率分析(MultiresolutionAnalysis)的特点，而且在时频两域 都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口 大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和频 率窗都可以改变的时频局部化分析方法。所以 被誉为分析信号的显微镜。
(2)傅里叶变换用到的基本函数只有sin(ωt)、 cos(ωt)、exp(jωt)，具有唯一性；小波分析用 到的函数(即小波函数)则具有不唯一性，同一 个工程问题用不同的小波函数进行分析有时 结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析 应用到实际中的一个难点问题(也是小波分析 研究的一个热点问题)，目前，往往是通过经 验或不断的试验(对结果进行对照分析)来选择 小波函数。
1 ϖ f (at ) ↔ F ( ) a a
4 能量积分 设F(ω)为函数f(t)的傅里叶变换，则有
2 1 +∞ ∫−∞ [ f (t )] d t = 2 π ∫−∞ F (ω ) d ω +∞ 2
该式又称为巴塞瓦(Parseval)等式。
1.3 小波分析
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现代数字信号处理作业小波分析及其应用电研111梁帅小波分析及其应用1.小波分析的概念和特点1.1小波理论的发展概况20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪数学领域中研究的重要杰出成果之一。
小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。
它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。
而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。
它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。
另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。
小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。
在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。
在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。
然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。
首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。
在今后数年中，小波理论将成为科技工作者经常使用的又一锐利数学工具，极大地促进科技进步及各个领域工程应用的新发展。
小波分析的概念最早是在1974年由法国地质物理学家J.Morlet提出的，并通过物理直观和信号处理的实际经验建立了反演公示，但当时该理论未能得到数学家的认可。
1986年法国数学家YMcyer偶尔构造出一个真正的小波基，并与s.Mallat合作建立了构造小波基函数的多尺度分析方法后，小波分析才开始蓬勃发展起来，进而把这一理论引入到了工程应用中，特别是在信号处理领域。
在小波分析发展过程中，法国学者I.Daubeehies和s.Mallat发挥了极为重要的作用。
小波分析是20世纪80年代中后期发展起来的一门应用数学分支。
由于其数学的机理的创见性和完善性、方法的实用性和现实与过程的简便性，克服了Fourier变换的不足，使其在应用上得到迅速发展。
目前，小波分析在信号与图像处理、模式识别与影像匹配、大型机械故障的在线检测、音乐与语言的人工合成、地震勘探数据处理、医学成像与诊断等领域都得到了广泛的应用。
1.2连续小波变换1.2.1连续小波变换1.2.2连续小波变换的性质1.2.3小波变换的时频局部化性能此外，由式可知，小波窗函数的窗口形状大小是可变的。
由图2-1所示，该图表示是在时间-频率平面上的小波窗函数的变化情况。
对于高频信号而言，持续时间短，在小尺度下，时间窗口变窄，频率窗口变宽，有利于对信号的细节进行描述;对于低频信号而言，持续时间长，在大尺度下，时间窗口变宽，频率窗口变窄，有利于对信号的整体情况进行描述。
正是由于小波变换的这种时间-频率窗的可变特性，使它能够表示各种不同频率分量的信号，特别是具有突变特性的信号。
1.3离散小波变换1.3.1离散小波变换小波思想的建立是将连续小波及连续小波变换作为理论基础的，但是在实际应用过程中，考虑到计算过程的低冗余性和高效性，一般要对小波函数及其变换进行离散化处理。
1.3.2小波框架理论1.4二进小波变换1.4.1二进小波变换1.4.2二进小波变换的性质1、与离散小波相同，二进小波一定是一个允许小波，且有：1.5本章小结本章简单介绍了有关小波分析的基本概念、性质、局部化性能和小波框架理论，系统的研究了连续小波变换、离散小波变换和二进小波变换的基本理论，同时阐述了小波的优良特性。
2.小波分析在电力系统中的应用由于小波分析在时域和频域上同时具有良好的局部化性质,能对不同的频率成分采用逐渐精细的采样步长,聚焦到信号的任意细节,这对于检测高频和低频信号均很有效,特别适用于分析奇异信号,并能分辨奇异的大小。
小波分析还能准确地反映故障发生的时间、位置等信息，因此能对设备或整个系统进行实时、有效的状态监视和故障诊断。
此外小波分析在信号的分解和重构技术、特征提取技术、信号和噪声分离技术等方面的优异特点，也决定了它在电力系统谐波分析、神经网络和专家系统、输电线路故障定位、电力系统短期负荷预测等领域，具有重要的工程应用价值。
现将谐波分析在电力系统中的具体应用作如下简要分析。
2.1电力设备的状态监视和故障诊断电力设备的状态监视和故障诊断也就是分解和处理电力系统基本设备在运行中产生的各种电磁、机械等物理信号,实时地判别其状态，以期在故障初期或在故障时（有的甚至在故障前有异常情况时）发出警报。
电力设备在正常运行时发出的电磁信号较为平稳，一旦状态异常，则必然出现奇异信号。
运用小波分析理论对所得的奇异电磁信号做多分辨分析（MRA），将信号分解到不同的尺度上，每个尺度上的分量反映了原信号的不同频率成分，可以很明显地表现出故障信号，从而达到状态监视和故障诊断目的。
上述原理在电动机转子断条及发电机故障诊断中已得到成功的应用。
2.2电力系统谐波分析电力系统在正常运行和发生故障时，都伴随着产生各次谐波。
在高压直流输电系统中，换流站的换相以及故障也将产生大量的谐波。
为了避免这些谐波的不良影响，有必要对其进行分析和抑制。
小波分析将此类信号变换投影到不同的尺度上会明显地表现出这些高频、奇异高次谐波信号的特性，特别是小波包具有将频率空间进一步细分的特性。
运用小波分析理论进行谐波分析，有较高的精度和分辨率，为更好地分析和抑制谐波，提供了可靠的依据。
此外，小波分析为电力系统非整次谐波的分析和研究，创造了有了条件。
这方面的工作还处在探索阶段。
2.3电力系统暂态稳定当电力系统受到大扰动时,表征系统运行状态的各种电磁信号参数均会发生急剧变化和振荡。
对这一类突变信号的处理，小波分析无疑是一个最好的选择。
小波分析捕捉和处理微弱突变信号的能力，正是它的一个优点。
运用它的局部细化与放大的特性，能辨别和追踪系统中各个变量的微弱突变，进而精确地推断出引起突变的局部故障时间和地点，从而提高电力系统暂态稳定预测的实时性和准确性。
2.4电力系统动态安全分析当电力系统受到扰动时，会造成系统电压波动，影响电力系统运行稳定性，严重时可能发生电压雪崩。
因此，在研究电力系统电压的动态响应时，利用小波分析，可以将系统受到扰动后所产生的电压突变信号，分解到不同的尺度上，再分别分析该突变信号的幅值和相位，从而判别电力系统动态安全运行状况。
2.5神经网络和专家系统小波分析应用于神经网络和专家系统,主要是利用它对奇异信号敏感性和局部化等特性。
神经网络具有学习功能，它可对输入的数据通过自学习作出智能性质的判断。
通过采样得到的描述电力系统运行行为的各种参数（如故障等奇异信号）经小波分解，去掉一些不需要的成分（将与之相关的小波系数置为零）再经小波重构，获得需要的信号，并作为神经网络的输入。
此外，可采用收敛性好的小波系数作为神经网络分层结构间的联系纽带。
这样处理后的神经网络具有迅速收敛性、抗干扰性等优点。
专家系统的推理机根据以往专家经验而形成的知识库来进行推理。
小波分析主要体现在知识库的形成上。
由于小波变换的模极大值点能描述一个信号的奇异性，这样，小波分析可将电力系统的某些典型信号加以特征提取，形成电力系统某方面的专家系统知识库。
此外，通过存储小波变换的模极大值点和去掉奇异信号后剩余光滑信号的平均值，并通过Mallat塔式算法重构小波信号，可实现数据压缩，大大节约存储量，有利于知识库的实现和维护，为推理机的快速、准确工作创造条件。
2.6抗电磁干扰电力网产生大量的电磁干扰信号对提取电子设备运行行为的特征信号的提取造成一定的困难。
对于包含系统特征信号和电磁干扰信号的混合信号，可通过小波变换分解到不同的尺度上，将与干扰信号相联系的小波系数置为零（即清除干扰信号），再应用重构公式构造出所需的信号，也就是实现了所需信号和干扰信号的分离，达到抗电磁干扰的目的。
利用小波分析滤去信号中的白噪声，已有了成功的应用。
2.7输电线路故障定位电力系统大部分故障都发生在输电线路上,因此,对输电线路的故障定位就要求及时、准确。
虽然，现有的故障测距方法和故障定位仪已能实现这一功能，但在定位的精度以及对故障信号的处理还存在一些问题。
如果运用小波变换对具有奇异性和瞬时性的电流、电压信号进行分解，在不同的尺度上明显地反映出故障信号，由此可构造出距离函数（distance function），进而推断出引起此突变信号的故障地点，最终反映到故障距离上，达到故障定位的目的。
这样将提高故障定位的精度。
2.8电力系统短期负荷预测目前，电力系统负荷预测方法主要有时间序列法，神经网络法等，主要模型是ARMA。
由于电力负荷具有特殊的周期性，负荷以天、周、年为周期发生波动，大周期中嵌套小周期。
小波变换能将负荷序列分别按照其波动的程度投影到不同的尺度上，从而更加清楚地表现出负荷序列的周期性。
在此基础上，对不同的子负荷序列分别进行预测，然后通过序列重构，得到完整的小波负荷预测结果，其精确性和准确性都大为提高。
3.小波变换具体应用分析3.1小波分析在风电场短期风速预测中的应用3.1.1背景和意义从20世纪70年代发生世界性能源危机以来,能源问题和环境问题日益突出,风力发电作为一种清洁的可再生能源,受到越来越广泛的重视,许多国家把发展风力发电作为改善能源结构、减少环境污染和保护生态环境的一种重要措施。
近年来，风力发电机组单机容量和大型并网风电场的发电总容量都在迅速增长，对电力系统的影响越来越明显。
随着风力发电技术的不断发展，风电单机容量和并网风电场的规模不断增加，在电力供应中所占比例也越来越大。
由于风力发电具有很强的随机性，所以风电穿透功率超过一定值之后，会严重影响电能质量和电力系统的运行。
有效地进行风电场的风速预测可以为电力系统的工作人员提供参考，及时调整调度计划、采取正确的调度决策，减轻风电并网对整个电网的影响，减少电力系统运行成本，保证电力系统的安全稳定运行。