(完整版)三角不等式

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三角形不等式(含练习题)

三角形不等式的应用根据两点之间线段最短导出了三角形任意两边之和大于第三边，我们把这个关系叫做三角形不等式.这一定理在证明一些结构特别的不等式中有广泛应用.下面我们举几个例子来说明这个定理的应用.类型一：证明形如a b c +>型的不等式例1、已知x y z 、、证明:作角∠120AOB =，∠120BOC =，则∠120AOC =，设x y z OA OB OC ===、、，由余弦定理：==又OA OB OC,+>所以原不等式成立.例2、已知x y z 、、证明:在空间直角坐标系中，取A(,0,0)B 0,0)C 00)x y z 、(,、(,,，则BC C A ==又AB BC C,A +>所以原不等式成立.类型二：证明形如a b c d ++>型的不等式例3、已知x y z 、、y z).++证明：以x y z ++为边作正方形，).BC CD AB x y z =++≥++DAx yzx y z类型三：证明形如a b c d e +++>型的不等式例4、设01,01x y <<<<求证：≥证明：左边即表示动点(,)P x y 到四个定点(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C 的距离之和. 另由题设知，P 在边长为1的正方形OABC 的内部.由()()OP BP CP AP OB AC +++≥+=.应当注意，有些不等式从表面上看很难用三角形不等式来证明，似乎只能用代数方法证明，但是如果仔细分析，也可能用上三角形不等式，一般说来，用三角形不等式证明要比代数方法简单的多，但是其构造的难度也很大，需要一些很技巧的变形，例如配方变形法，凑两点间距离公式等.例5、已知正数x y 、满足1x y +＝， 2.≥分析：用代数法可以使用分析法，并随时利用1x y +＝这个条件进行化简.证明：2,只要证22224,x y y ++++≥x即证22224,x y y ++++x即证22224,x y y ++++≥x即证22[()2]x y xy x y +-+++注意到1x y +＝，即证2[12]14,xy -++即证14,xy +即证224(4()52)1816(),xy xy xy xy -+≥++即证287,xy -≥-1,4xy ≤而21(),24x y xy +≤=故14xy ≤成立. 所以原不等式成立.如果用几何法，开始要用消元法，中间利用两点间距离公式配凑，最后也用到了三角形不等式：证明：左边===设(,0)P x ，1(,)44A ，3(,44B ，则|||)PA PB =+左边，1(4A 关于x 轴的对称点为11(,4A ，由对称及三角形不等式知1||||||PA PB A B +≥，当P 为1A B 与x 轴交点时取等号.1A B ==2.≥左边即原不等式成立比较两种解法，可以看出利用三角形不等式证明运算量较小，但是思考的难度是很大的. 但是，我们仔细思考可以发现，编拟这些题目时，命题者大都是从几何的角度入手.因此，我们在这里研究一下几何的证明方法，对于走进命题人的思维是很有好处的，希望同学们在解题过程中多进行一些数形结合方面的思考.下面的练习可以利用三角形不等式来证明或求解：1、求y =.（答案：5）2、已知a b ≠，求证：||.a b <-3、求证：01≤<.4、已知x y z 、、为正数，求证：（1>（2）|<。

三角不等式公式大全

三角不等式公式大全1.三角不等式的基本形式：对于任意三角形ABC，有以下不等式成立：AB+AC>BCAC+BC>ABBC+AB>AC2.三角不等式的推广形式：对于任意三角形ABC，有以下不等式成立：AB + AC + BC > 2(max{AB, AC, BC})AB+AC-BC<ABAB+BC-AC<BCAC+BC-AB<AC3.正弦定理：对于任意三角形ABC，设a,b,c分别为三边对应的角A,B,C的对边长度，则有：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R其中，R为三角形外接圆的半径。

4.余弦定理：对于任意三角形ABC，设a,b,c分别为三边长度，A,B,C分别为对应的角，则有：a² = b² + c² - 2bc*cos(A)b² = c² + a² - 2ca*cos(B)c² = a² + b² - 2ab*cos(C)5.正弦不等式：对于任意三角形ABC，有以下不等式成立：sin(A) < sin(B) + sin(C)sin(B) < sin(A) + sin(C)sin(C) < sin(A) + sin(B)6.余弦不等式：对于任意三角形ABC，有以下不等式成立：cos(A) > cos(B) - cos(C)cos(B) > cos(A) - cos(C)cos(C) > cos(A) - cos(B)7.等角公式：对于任意三角形ABC，设a,b,c分别为三边长度，A,B,C分别为对应的角(b+c)sin(A/2) = (c+a)sin(B/2) = (a+b)sin(C/2) = 2 p其中，p为三角形的半周长。

8.密耳定理：对于任意三角形ABC，设a,b,c分别为三边长度，A,B,C分别为对应的角，则有：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R其中，R为三角形外接圆的半径。

《三角不等式》知识清单

《三角不等式》知识清单在数学的广阔天地中，三角不等式是一个非常重要的概念。

它不仅在数学理论中有着关键地位，还在实际应用中发挥着巨大作用。

接下来，让我们一同深入探索三角不等式的奥秘。

一、什么是三角不等式三角不等式是指在三角形中，任意两边长度之和大于第三边的长度。

用数学语言表述就是：对于一个三角形的三条边 a、b、c，有 a ＋ b ＞c，a ＋ c ＞ b，b ＋ c ＞ a。

这看起来似乎很简单，但却是构建三角形的基本规则。

如果不满足这个条件，就无法构成一个有效的三角形。

二、三角不等式的证明证明三角不等式可以通过多种方法。

其中一种常见的方法是利用两点之间线段最短的原理。

假设存在三个点 A、B、C，如果要从点 A 到点 C，直接连接 A、C 两点的线段长度是最短的。

而如果先经过点 B 再到点 C，那么所经过的路径长度（即 AB ＋ BC）必然大于直接连接 A、C 的线段长度，即AC。

同理可证其他两边的情况。

另一种证明方法可以通过代数运算。

假设三角形的三条边分别为a、b、c，并且 c 是最大边。

根据余弦定理：c²＝ a²＋ b² 2ab cos C。

由于－1 ≤ cos C ≤ 1，所以 2ab cos C 的取值范围是－2ab, 2ab。

因此，c²＝ a²＋b² 2ab cos C ≤ a² ＋ b²＋ 2ab ＝（a ＋ b)²，即c ≤a ＋ b。

三、三角不等式的推广三角不等式不仅仅局限于三角形的三条边，还可以推广到更多的情况。

例如，在平面直角坐标系中，对于两个点 A(x₁, y₁)和 B(x₂, y₂)，它们之间的距离 d ＝√（x₂ x₁)²＋（y₂ y₁)²。

如果有三个点 A、B、C，那么｜AB| ＋｜BC| ≥ ｜AC|，这也是三角不等式的一种推广形式。

在三维空间中，对于三个点 A(x₁, y₁, z₁)、B(x₂, y₂, z₂)、C(x₃, y₃, z₃)，它们之间的距离分别为 d₁＝√（x₂ x₁)²＋（y₂ y₁)²＋（z₂ z₁)²，d₂＝√（x₃ x₂)²＋（y₃ y₂)²＋（z₃ z₂)²，d₃＝√（x₃ x₁)²＋（y₃ y₁)²＋（z₃ z₁)²，同样有 d₁＋ d₂ ≥ d₃。

三角形不等式公式大全

三角形不等式公式大全三角形是几何学中的基本图形之一，它具有丰富的性质和特点。

而三角形不等式则是研究三角形性质的重要内容之一。

在本文中，我们将详细介绍三角形不等式的相关公式，包括三角形的边长不等式、角度不等式以及面积不等式等内容。

一、三角形的边长不等式1. 任意两边之和大于第三边对于任意三边长分别为a、b、c的三角形来说，有下列不等式成立：a +b > ca + c > bb +c > a2. 两边之差小于第三边对于任意三边长分别为a、b、c的三角形来说，有下列不等式成立：|a - b| < c|a - c| < b|b - c| < a3. 两边之和大于两边之差对于任意三边长分别为a、b、c的三角形来说，有下列不等式成立：a +b > |a - b|a + c > |a - c|b +c > |b - c|二、三角形的角度不等式1. 三个内角之和为180度对于任意三角形来说，其三个内角A、B、C的和等于180度，即：A +B +C = 180°2. 任意内角的大小对于任意三角形来说，其任意内角A所对的边长为a、B所对的边长为b、C所对的边长为c，有下列不等式成立：sinA/a = sinB/b = sinC/c其中，sin为正弦函数。

三、三角形的面积不等式1. 海伦公式对于任意三角形来说，其面积S可以由三边长a、b、c计算得出，公式如下：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中，s为半周长，即s = (a + b + c)/2。

2. 三角形面积与边长关系对于任意三角形来说，其面积S与任意两边之积的正弦函数成正比，公式如下：S = (1/2)ab·sinCS = (1/2)ac·sinBS = (1/2)bc·sinA以上便是关于三角形不等式的一些常用公式。

通过掌握和应用这些公式，可以更好地理解和分析三角形的性质，解决与三角形相关的问题。

第24讲_三角不等式

第四讲三角不等式含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式．三角不等式首先是不等式，因此，处理不等式的常用方法如配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、反证法、数学归纳法等也是解决三角不等式的常用方法．其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图像特征、三角公式及三角恒等变形的方法等都是处理三角不等式的常用工具．A 类例题例1 已知α、β为锐角，且()02x παβ+->，求证对一切0x ≠，有(cos )(sin )x x αβ<分析要证的不等式两边均为指数式，且指数相同，可考虑利用函数()f x x α=的单调性，因此首先应比较cos α与sin β的大小，而函数()f x x α=的单调性与α的符号有关，可分情况讨论．证明（1）若x >0，则2παβ+>，则022ππβα>>->，由正弦函数的单调性，得0sin()sin 12παβ<-<<，即0cos sin 1αβ<<<，又x >0，故有(cos )(sin )x x αβ<．（2）若x <0，则2παβ+<，则022ππβα<<-<，由正弦函数的单调性，得0s i n s i n ()12πβα<<-<，即0s i n c o s 1βα<<<，又x <0，故有(cos )(sin )x x αβ<．说明比较不同角的正弦与余弦的大小，可先化同名，再利用正余弦函数的单调性比较，而一组2πα±的诱导公式是实现正、余弦转化的有力工具．例2 已知0απ<<，试比较2sin2α和cot 2α的大小．分析两个式子分别含有2α与2α的三角函数，故可考虑都化为α的三角函数，注意到两式均为正，可考虑作商来比较．解法一2sin 21cos 4sin cos tan4sin cos 2sin cot2ααααααααα-== =2214cos 4cos 4(cos )12ααα-=--+，∵0απ<<，所以当1cos 2α=，即3πα=时，上式有最大值1，当0απ<<且3πα≠时，上式总小于1．因此，当3πα=时，2sin2α=cot2α；当0απ<<且3πα≠时，2sin2α<cot2α．解法二设tan2t α=，由0απ<<得022απ<<，故tan 02t α=>，则1cot 2tα=，2224(1)22sin 24sin cos (1)t t t ααα-⋅==+，于是有 cot 2α-2sin2α=2422222222214(1)2961(31)0(1)(1)(1)t t t t t t t t t t t -⋅-+--==≥+++ 因此，当3πα=时，2sin2α=cot 2α；当0απ<<且3πα≠时，2sin2α<cot2α．例3 已知[0,]x π∈，求证：cos(sin x )>sin(cos x )分析一从比较两数大小的角度来看，可考虑找一个中间量，比cos(sin x )小，同时比sin(cos x )大，即可证明原不等式．证法一（1）当0,,2x ππ=时，显然cos(sin x )>sin(cos x )成立．（2）当2x ππ<<时，0s i n 12x π<<<，cos 02x π-<<，则cos(sin x )>0>sin(cos x )．（3）当02x π<<时，有0<sin x <x <2π，而函数y =cos x 在(0,)2π上为减函数，从而有cos(sin x )>cos x ；而0c o s 2x π<<，则sin(cos x )<cos x ，因此cos(sin x ) >cos x >sin(cos x )，从而cos(sin x )>sin(cos x )．分析二 cos(sin x )可看作一个角sin x 的余弦，而sin(cos x )可看作一个角cos x 的正弦，因此可考虑先用诱导公式化为同名三角函数，再利用三角函数的单调性来证明．证法二当02x π<<时，有0<sin x <1，0<cos x <1，且sin x +cos x )4x π+2π≤，即0<sin x <2π-cos x <2π，而函数y =cos x在(0,)2π上为减函数，所以cos(sin x )>cos(2π-cos x )=sin(cos x )，即cos(sin x )>sin(cos x )．x 在其他区域时，证明同证法1．说明（1）本题的证明运用到结论：(0,)2x π∈时，sin tan x x x <<，这是实现角与三角函数值不等关系转化的重要工具，该结论可利用三角函数线知识来证明．（2）证法一通过中间量cos x 来比较，证法二利用有界性得sin x +cos x 2π<，再利用单调性证明，这是比较大小常用的两种方法；（3）本题结论可推广至x R ∈.情景再现1．在锐角△ABC 中，求证： sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++.2．已知,(0,)2x y π∈，tan 3tan x y =，求证：6x y π-≤.3．当[0,]2x π∈时，求证：coscos sinsin x x >.B 类例题例4 在ABC ∆中，证明： sin sin sin A B C ++≤分析一本题中有三个变量A 、B 、C ，且满足A +B +C =180°，先固定其中一个如角C ，由于A +B =180°- C ,故对不等式的左边进行和差化积，将其转化为与A －B 有关的三角函数进行研究．证法一我们先假定C 是常量，于是A +B =π-C 也是常量.sin sin sin 2sincos sin 22A B A B A B C C +-++=+2cos cos sin 22c A BC -=+，显然，对于同一个C 值，当A =B 时，上式达到最大值．同样，对同一个A 或B ，有类似结论；因此,只要A 、B 、C 中任意两个不等，表达式sin sin sin A B C ++就没有达到最大值，因而，当A =B =C =3π时，sin sin sin A B C ++，∴原不等式得证．说明不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分变量，求其他变量变化时，相应表达式的最值，这种方法称为逐步调整法．分析二即证sin sin sin 3A B C ++观察左边的形式，从而考虑用琴生不等式进行证明．证法二函数sin y x =是区间（0，π）上的上凸函数，从而对任意的三个自变量123,,(0,)x x x π∈，总有123123sin sin sin sin()33x x x x x x ++++≥，等号当123x x x ==时成立．因此有sin sin sin sin()33A B C A B C++++≥，从而有sin sin sin 180sin 33A B C ++︒≤=，因此原不等式成立．说明本方法是利用凸函数性质解题，三角函数在一定区间内均为凸x )为上凸函数，不等号反向．例5 已知,,x y z R ∈,02x y z π<<<<．求证：2sin cos 2sin cos sin 2sin 2sin 22x y y z x y zπ++>++（90年国家集训队测试题）分析将二倍角均化为单角的正余弦，联想单位圆中的三角函数线，两两正余弦的乘积联想到图形的面积．证明即证sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 4x y y z x x y y z z π++>++即证明sin (cos cos )sin (cos cos )sin cos 4x x y y y z z z π>-+-+注意到上式右边是如图所示单位圆中三个阴影矩形的面积之和，而4π为此单位圆在第一象限的面积，所以上式成立，综上所述，原不等式成立．例6 63)cos()2sin 24sin cos a πθθθθ+-+-+36a <+对于[0,]2πθ∈恒成立．求a 的取值范围．（2004年首届东南地区数学奥赛试题）分析所给不等式中有两个变量，给出其中一个的范围，求另一个的范围，常采用分离变量的方法．注意到与角θ有关的几个三角函数式，cos()cos )4πθθθ-=+，sin22sin cos θθθ=，因此考虑令sin cos x θθ+=进行变量代换，以化简所给不等式，再寻求解题思路．解设sin cos x θθ+=，则2cos(),sin 2142x x πθθ-==-，当[0,]2πθ∈时，x ⎡∈⎣．从而原不等式可化为：26(23)2(1)36a x x a x ++--<+，即26223340x ax x a x ---++>，222()3()0x x a x a x x +--+->，()2(23)0(1)x x a x x ⎛⎫⎡-+->∈ ⎪⎣⎝⎭∴原不等式等价于不等式（1），1,,230x x ⎡∈∴-<⎣（1）不等式恒成立等价于()20x a x x⎡+-<∈⎣恒成立．从而只要m a x 2()()a x x x ⎡>+∈⎣．又2()f x x x =+在⎡⎣上递减，m a x 2()3()x x x⎡∴+=∈⎣，所以3a >．例7 三个数a ,b ,c ∈(0,)2π，且满足cos a a =，sincos b b =，cossin c c =，按从小到大的顺序排列这三个数．（第16届全苏竞赛题）分析比较a ,b ,c 三数的大小，cos a a =，sincos cos b b b =<，cossin cos c c c =>，等式的两边变量均不相同，直接比较不易进行，故考虑分类讨论，先比较a 与b ，由cos sin cos a ab b==，对等号两边分别比较，即先假定一边的不等号方向，再验证另一侧的不等号方向是否一致．解（1）若a b =，则cos si n cos a a =，但由c o s a (0,)2π∈，故有cos si n cos a a >矛盾，即a ≠b ．（2）若a b <，则由单调性可知cos cos a b >，又由a b <及题意可得cos sincos a b <，而sincos cos b b <，因此又可得cos cos a b <，从而产生矛盾．综上，a b >．类似地，若c a =，则由题意可得cos cossin a a =，从而可得sin a a =与sin a a >矛盾；若c a <，则s i n s i n c a a <<，即s i n c a <，cossin cos c a ∴>，即c a >矛盾．综上可得：b a c <<．说明本题的实质是用排除法从两个实数的三种可能的大小关系排除掉两种，从而得第三种，体现了“正难则反”的解题策略．情景再现4．在三角形ABC 中，求证：（1）3sinsin sin 2222A B C ++≤；（2）sin sin sin A B C ． 5．设12x y z π≥≥≥，且2x y z π++=，求乘积cos sin cos x y z 的最值．（1997年全国高中数学联赛）6．求证：|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥（2004年福建省数学竞赛题）C 类例题例8 已知当[0,1]x ∈时，不等式22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->恒成立，试求θ的取值范围．（1999年全国高中数学联赛题）分析一不等式左边按一、三两项配方，求出左边式子的最小值，根据最小值应当为正求出θ的取值范围．解法一设22()cos (1)(1)sin f x x x x x θθ=--+-，则由[0,1]x ∈时()0f x >恒成立，有(0)sin 0f θ=>，(1)cos 0f θ=>，22()([(12(12(1f x x x x x x ∴=+----(1)x x --21[(12(1)(02x x x =--->，当x =(10x -=，令0x =，则001x <<，0001()2(1)02f x x x =->12>，即1sin 22θ>，且sin 0,cos 0θθ>>，所求范围是：522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈，反之，当522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈时，有1sin 22θ>，且s i n 0,c o s 0θθ>>，于是只要[0,1]x ∈必有()0f x >恒成立．分析二不等式左边视为关于x 的二次函数，求出此二次函数的最小值，令其大于0，从而求出θ的取值范围．解法二由条件知，cos 0,sin 0θθ>>，若对一切[0,1]x ∈时，恒有()f x =22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->，即2()(cos 1sin )(12sin )sin 0f x x x θθθθ=++-++>对[0,1]x ∈时恒成立，则必有cos (1)0,sin (0)0f f θθ=>=>，另一方面对称轴为12sin 2(cos sin 1)x θθθ+=++[0,1]∈，故必有24(cos sin 1)sin (12sin )04(cos sin 1)θθθθθθ++-+>++，即4cos sin 10θθ->，1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈．分析三原不等式看作关于x 与1-x 的二次齐次式，两边同除x (1-x )．解法三原不等式化为：x 2cos θ+(1-x )2sin θ>x (1-x )，①x =0得sin θ>0，x =1得cos θ>0；②当x ≠0且x ≠1时，上式可化为：1x x -cos θ+1x x-sin θ>1对x ∈(0,1)恒成立，由基本不等式得1x x -cos θ+1xx-sin θ≥，∴1x x -cos θ+1xx-sin θ的最小值为，等号当1x x -cos θ=1x x -sin θ即x =时取到，因此．∴1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈．例9已知,,,a b A B 都是实数，若对于一切实数x ，都有()1cos sin cos2sin 20f x a x b x A x B x =----≥，求证：222a b +≤，221A B +≤．（1977第十九届IMO ）分析根据函数式的特征及所要证明的式子易知，应首先将不等式化成()1))0f x x x θϕ=++≥，其中x 为任意实数，注意到所要证的结论中不含未知数x ，故考虑用特殊值方法．证明若220a b +=，220A B +=，则结论显然成立；故下设220a b +≠，220A B +≠：令sin θθϕϕ===()1))f x x x θϕ=++，即对于一切实数x ，都有()1))0f x x x θϕ=++≥（1）()1))02f x x x πθϕ+=++≥ （2）（1）+（2）得：2)cos()]0x x θθ+++≥，即sin()cos()x x θθ+++≤对于一切实数x ≥因此222a b +≤．()1))0f x x x πθϕ+=++≥ （3）（1）+（3）得：2)0x ϕ-+≥，即sin(2)x ϕ+1≥，∴ 221A B +≤．例10 设αβγπ++=，求证：对任意满足0x y z ++=的实数,,x y z 有222sin sin sin 0yz zx xy αβγ++≤分析由0x y z ++=消去一个未知数z ，再整理成关于y 的二次不等式，对x 恒成立，即可得证．证明由题意，则将()z x y =-+代入不等式左边得，不等式左边=2222222[sin sin (sin sin sin )]y x xy αβαβγ-+++- （1）当sin 0α=，易证不等式左边0≤成立．；（2）当sin 0α≠，整理成y 的二次方程，证△≤0．左边2222(sin sin sin )[sin ]2sin x y αβγαα+-=-+22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--+，由222222(sin sin sin )4sin sin αβγαβ+--222222(sin sin sin 2sin sin )(sin sin sin 2sin sin )αβγαβαβγαβ=+-++--2sin sin [1cos()]2sin sin [1cos()]αβαβαβαβ=-+⋅--+2224sin sin [1cos ()]0αβαβ=--+≤，∴22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--0≤，∴不等式左边0≤成立．情景再现7．证明：对于任意△ABC ，不等式a cos A +b cos B +c cos C ≤p 成立，其中a 、b 、c 为三角形的三边，A 、B 、C 分别为它们的对角，p 为半周长．（第十六届全俄数学竞赛题）8．设,,αβγ是一个锐角三角形的三个内角，求证：sin sin sin tan tan tan 2αβγαβγπ+++++>习题1．求证：对所有实数,x y ，均有22cos cos cos 3x y xy +-<． 2．在锐角三角形ABC 中，求证： tan tan tan 1A B C > 3．在锐角三角形ABC 中．求证： sin sin sin 2A B C ++>4．求证：222sin (cos(sin )sin(cos )2sin (44x x ππ≤-≤5．已知,(0,)2παβ∈，能否以sin ,sin ,sin()αβαβ+的值为边长，构成一个三角形？6．已知,αβ为锐角，求证：2222119cos sin sin cos ααββ+≥ 7．已知A +B +C =π，求证：222tan tan tan 1222A B C ++≥ 8．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，求证：3π≥++++c b a cC bB aA ．9．设A 、B 、C 为锐角三角形之内角，n 为自然数，求证：12tan tan tan 3nnnnA B C +++≥．（93年第三届澳门数学奥林匹克赛题）10．已知02πθ<<，,0a b >，求证：223332()sin cos a b a b θθ+≥+11．设P 是三角形ABC 内任一点，求证：∠P AB ，∠PBC ，∠PCA 中至少有一个小于或等于30°．12．解方程coscoscoscos sinsinsinsin x x =（1995年全俄竞赛题）本节“情景再现”解答：1．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而sin cos A B >，同理sin cos ,sin cos B C C A >>，三式相加得证．2．证明：由已知得tan 3tan tan x y y =>及,(0,)2x y π∈知，x y >，从而(0,)2x y π-∈，要证6x y π-≤，只须证明tan()tan 6x y π-≤=，由于2tan tan 2tan tan()1tan tan 13tan x y yx y x y y--==++，于是问题归结为证22tan 13tan y y ≤+，即21)0y -≥，而上式显然成立，因此原不等式成立．3．证法一：当x ∈(0,2π)时，∵0<sin x <x <2π,∴sinsin x <sin x ,再比较sin x 与coscos x 的大小，由sin x =cos (2π-x )，即比较(2π-x )与cos x ，而cos x =sin (2π-x ),因此(2π-x )＞cos x ，从而cos (2π-x )<coscos x ，即sin x <coscos x ，从而得证．证法二： sin x +cos x 2π≤，即0<cos x <2π-sin x <2π，所以cos(cos x )>cos(2π-sin x )=sin(sin x )． 4．证明：（1）由琴生不等式即得．（2sin sin sin sin 33A B C A B C ++++≤，从而得证． 5．解：由条件知，312x y z ππ≥≥≥≥，()222123x y z ππππ=-+≤-⨯=，sin()0y z -≥，于是cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2x y z y z ++-1cos sin()2x y z ≥+22111cos cos 2238x π=≥=，当,312x y z ππ===时取等号，故最小值为18（y 与z 相等，且x 达到最大时，乘积有最小值）．又cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2z x y x y +--211cos sin()cos 22z x y z ≤+=21cos 212π≤，且当5,1224z x y ππ===时等号成立，故cos sin cos x y z6．证明：设()|s i n c o s t a n c o t f x x x x x x x=+++++，sin cos t x x=+，则有21sin cos 2t x x -=，2222()||11t f x t t t =++--22|||11|11t t t t =+=-++-- 当1t >时，2()1111f x t t =-++≥-；当1t <时，2()(1)111f x t t =--+-≥-因此|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥．7．证明：因为cos x （x ∈（0，π））递减，所以a -b 与cos A -cos B 异号，从而（a -b ）（cos A -cos B ）≤0．即a cos A +b cos B ≤a cos B +b cos A =C （l ）当且仅当a =b 时等号成立．同理a cos A +c cos C ≤b （2） b cos B +c cos C ≤a （3），1[(1)(2)(3)]2⨯++即得所要证的不等式． 8．证明：2242tan2tan4tan222sin tan 4tan 21tan 1tan 1tan 222ααααααααα+=+=>+--， 0,tan,sin tan 4tan22222πααααααα<<∴>∴+>>，同理得另两个，命题得证．“习题”解答：1．证明：22cos cos cos 3x y xy +-≤显然成立，下面证明等号不能成立．用反证法．若等号成立，则22cos 1,cos 1,cos 1x y xy ===-，则222,2,,*x k y n k n N ππ==∈，则2224,,*x y nk k n N π=∈，则,,*xy k n N =∈，cos 1xy ≠-，因此等号不成立．2．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而sin cos A B >，同理sin cos ,sin cos B C C A >>，三式相乘得sin sin sin cos cos cos A B C A B C >．从而可得tan tan tan 1A B C >．3．解：22sin sin ,sin sin A A B B >>，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+22cos cos cos cos cos cos B B A A B A >+=+，三式相加得证．4．证明：cos(sin )sin(cos )cos(sin )cos(cos )2x x x x π-=--cos sin cos sin 2sin()sin()4242x x x xππ+-=--又cos sin 2x x ±≤ cos sin 4424x x πππ±≤-≤，又04π>，4π2π<，由正弦函数在[0,]2π上的单调性可知，原不等式成立．5．证法一：sin sin 2sincos2sincossin()2222αβαβαβαβαβαβ+-+++=>=+ |sin sin |2cos|sin|2cossinsin()2222αβαβαβαβαβαβ+-++-=<=+，因此可以构成三角形．证法二：在直径为1的圆内作内接三角形ABC ，使,A B αβ∠=∠=，()C παβ∴∠=-+则sin ,sin ,sin()BC AC AB αβαβ===+，因此可构成三角形．6．解：左222222214145tan 4cot 9cos sin sin 2cos sin ααααβαα=+≥+=++≥． 7．证：左tantan tan tan tan tan 222222A B B C C A ≥++ tan tan tan (tan tan )22222A B C B A=++ tantan cot tan (1tan tan )1222222A B A B A B A B ++≥+-=8．分析：注意到π可写成A +B +C ，故即证：3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )π,即证3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )（A +B +C ），即证(a -b )(A -B )+(b -c )(B -C )+(c -a )(C -A )≥0，由大边对大角得上式成立．9．证明：设tan ,tan ,tan x A y B z C ===，则,,0x y z >，x y z xyz ++=，而x y z ++≥，代入得323xyz ≥，故123n n n nx y z +++≥≥．10．证明：要证原不等式，即证222333()()sin cos a b a b θθ+≥+，即2222222sin cos sin cos a b aba b θθθθ++≥++上式中将θ看作变量，,a b 看作常数，考虑从左边向右边转化即证222222sin cos cot tan 2sin cos a b abθθθθθθ+++≥即2222cot tan 2tan 2cot a b ab ab θθθθ+++≥因为22222c o t 2t a n c o t t a n t a a a b a a b a b b θθθθθ+=++，同理可得22tan 2cot b ab θθ+≥11．证明：如图，P A sin 1θ=PB sin θ5，PB sin θ2=PC sin θ6，PC sin θ3=P A sin θ4，三式相乘得sin 1θsin θ2 sin θ3= sin θ4 sin θ5 sin θ6，因此有(sin 1θsin θ2 sin θ3)2= sin 1θsin θ2 sin θ3 sin θ4 sin θ5 sin θ66123456sin sin sin sin sin sin 6θθθθθθ+++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭661234561sin ()62θθθθθθ+++++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，从而sin 1θsin θ2 sin θ331()2≤，因此sin 1θ、sin θ2 、sin θ3中至少有一个小于或等于12，不妨设sin 1θ12≤，则1θ≤30°或1θ≥150°，此时三个角中至少有一个角小于30°．12．解：考虑周期性，只要先解决[0,2)x π∈的解的情况，而当[,2)x ππ∈时，左边为正，右边非正，因此方程无解．由于[0,]2x π∈时有coscos sinsin x x >，将x 换成cos cos x 得（换成sinsin x也可以）：coscoscoscos sinsincoscos x x >，又由于sin sin y x =在[0,]2x π∈时为增函数，因此有sinsincoscos sinsinsinsin x x >，综上可得：coscoscoscos sinsinsinsin x x >，因此原方程无解．当(,)2x ππ∈时，令2y x π=-，则(0,)2y π∈，在coscos sinsin x x >，[0,]2x π∈中，将x 换成cossin y 得，coscos(cossin )sinsin(cossin )sinsin(sin cos )y y y >>，将2y x π=-代入得，coscoscoscos sinsinsinsin x x >，原方程也无解．综上所述，对x R ∈，恒有coscoscoscos sinsinsinsin x x >，原方程无解．。

第24讲三角不等式

《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》第1页（共18页）第四讲三角不等式含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式．三角不等式首先是不等式，因此，处理不等式的常用方法如配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、反证法、数学归纳法等也是解决三角不等式的常用方法．其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图像特征、三角公式及三角恒等变形的方法等都是处理三角不等式的常用工具．A 类例题例1 已知α、β为锐角，且()02x παβ+->，求证对一切0x≠，有(cos )(sin )xxαβ<分析要证的不等式两边均为指数式，且指数相同，可考虑利用函数()f x xα=的单调性，因此首先应比较cos α与sin β的大小，而函数()f x xα=的单调性与α的符号有关，可分情况讨论．证明（1）若x >0，则2παβ+>，则022ππβα>>->，由正弦函数的单调性，得0sin()sin 12παβ<-<<，即0cos sin 1αβ<<<，又x >0，故有(cos )(sin )xxαβ<．（2）若x <0，则2παβ+<，则022ππβα<<-<，由正弦函数的单调性，得0s i n s i n ()12πβα<<-<，即0s i n c o s 1βα<<<，又x <0，故有《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》第2页（共18页）(cos )(sin )x xαβ<．说明比较不同角的正弦与余弦的大小，可先化同名，再利用正余弦函数的单调性比较，而一组2πα±的诱导公式是实现正、余弦转化的有力工具．例2 已知0απ<<，试比较2sin 2α和cot2α的大小．分析两个式子分别含有2α与2α的三角函数，故可考虑都化为α的三角函数，注意到两式均为正，可考虑作商来比较．解法一2sin 21cos 4sin cos tan4sin cos 2sin cot2ααααααααα-===2214cos 4cos 4(cos )12ααα-=--+，∵0απ<<，所以当1cos 2α=，即3πα=时，上式有最大值1，当0απ<<且3πα≠时，上式总小于1．因此，当3πα=时，2sin 2α=cot2α；当0απ<<且3πα≠时，2sin 2α<cot2α．解法二设tan2tα=，由0απ<<得022απ<<，故tan2t α=>，则1cot2tα=，2224(1)22sin 24sin cos (1)t t t ααα-⋅==+，于是有cot2α-2sin 2α=2422222222214(1)2961(31)0(1)(1)(1)t t t t t tt t t t t -⋅-+--==≥+++因此，当3πα=时，2sin 2α=cot 2α；当0απ<<且3πα≠时，2sin 2α<cot2α．《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》第3页（共18页）例3 已知[0,]x π∈，求证：cos(sin x )>sin(cos x )分析一从比较两数大小的角度来看，可考虑找一个中间量，比cos(sin x )小，同时比sin(cos x )大，即可证明原不等式．证法一（1）当0,,2xππ=时，显然cos(sin x )>sin(cos x )成立．（2）当2x ππ<<时，0s i n 12x π<<<，cos 02x π-<<，则cos(sin x )>0>sin(cos x )．（3）当02x π<<时，有0<sin x <x <2π，而函数y =cos x 在(0,)2π上为减函数，从而有cos(sin x )>cos x ；而0c o s 2x π<<，则sin(cos x )<cos x ，因此cos(sin x ) >cos x >sin(cos x )，从而cos(sin x )>sin(cos x )．分析二 cos(sin x )可看作一个角sin x 的余弦，而sin(cos x )可看作一个角cos x 的正弦，因此可考虑先用诱导公式化为同名三角函数，再利用三角函数的单调性来证明．证法二当02x π<<时，有0<sin x <1，0<cos x <1，且《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》第4页（共18页）sin x +cos x)4x π+2π≤，即0<sin x <2π-cos x <2π，而函数y =cos x在(0,)2π上为减函数，所以cos(sin x )>cos(2π-cos x )=sin(cos x )，即cos(sin x )>sin(cos x )．x 在其他区域时，证明同证法1．说明（1）本题的证明运用到结论：(0,)2x π∈时，sin tan x x x<<，这是实现角与三角函数值不等关系转化的重要工具，该结论可利用三角函数线知识来证明．（2）证法一通过中间量cos x 来比较，证法二利用有界性得sin x +cos x 2π<，再利用单调性证明，这是比较大小常用的两种方法；（3）本题结论可推广至x R ∈.情景再现1．在锐角△ABC 中，求证： sin sin sin cos cos cos A B C A B C++>++.2．已知,(0,)2x y π∈，tan 3tan xy=，求证：6x y π-≤.3．当[0,]2x π∈时，求证：cos cos sin sin x x >.B 类例题例4 在ABC ∆中，证明：sin sin sin A B C ++≤分析一本题中有三个变量A 、B 、C ，且满足A +B +C =180°，先固定其中一个如角C ，由于A +B =180°- C ,故对不等式的左边进行和差化积，将其转化为与A －B 有关的三角函数进行研究．证法一我们先假定C 是常量，于是A +B =π-C 也是常量.《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》第5页（共18页）sin sin sin 2sincossin 22A B A B A B C C +-++=+2coscossin 22c A B C-=+，显然，对于同一个C 值，当A =B 时，上式达到最大值．同样，对同一个A 或B ，有类似结论；因此,只要A 、B 、C 中任意两个不等，表达式sin sin sin A B C++就没有达到最大值，因而，当A =B =C =3π时，sinsin sin A B C++说明不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分变量，求其他变量变化时，相应表达式的最值，这种方法称为逐步调整法．分析二即证sin sin sin 32A B C++≤，观察左边的形式，从而考虑用琴生不等式进行证明．证法二函数sin y x =是区间（0，π）上的上凸函数，从而对任意的三个自变量123,,(0,)x x x π∈，总有123123sin sin sin sin()33x x x x x x ++++≥，等号当123x x x ==时成立．因此有sin sin sin sin()33A B CA B C++++≥，从而有sin sin sin 180sin332A B C++︒≤=说明本方法是利用凸函数性质解题，三角函数在一定区间内均为凸函数，因此很多三角不等如均可利用凸函数的性质证明．《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》第6页（共18页）例5 已知,,x y z R ∈,02x y z π<<<<．求证：2sin cos 2sin cos sin 2sin 2sin 22x y y z x y zπ++>++（90年国家集训队测试题）分析将二倍角均化为单角的正余弦，联想单位圆中的三角函数线，两两正余弦的乘积联想到图形的面积．证明即证sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 4x y y z x x y y z zπ++>++即证明sin (cos cos )sin (cos cos )sin cos 4x x y y y z z zπ>-+-+注意到上式右边是如图所示单位圆中三个阴影矩形的面积之和，而4π《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》第7页（共18页）为此单位圆在第一象限的面积，所以上式成立，综上所述，原不等式成立．例663)cos()2sin 24sin cos a πθθθθ+-+-+36a <+对于[0,]2πθ∈恒成立．求a 的取值范围．（2004年首届东南地区数学奥赛试题）分析所给不等式中有两个变量，给出其中一个的范围，求另一个的范围，常采用分离变量的方法．注意到与角θ有关的几个三角函数式，cos()cos )42πθθθ-=+，sin 22sin cos θθθ=，因此考虑令sin cos xθθ+=进行变量代换，以化简所给不等式，再寻求解题思路．解设sin cos xθθ+=，则2cos(),sin 2142x πθθ-==-，当[0,]2πθ∈时，x ⎡∈⎣．从而原不等式可化为：26(23)2(1)36a x x a x++--<+，即26223340x ax x a x---++>，222()3()0x x a x a xx+--+->，()2(23)0(1)x x a x x ⎛⎫⎡-+->∈ ⎪⎣⎝⎭∴原不等式等价于不等式（1），,230x x ⎡∈∴-<⎣（1）不等式恒成立等价于()20x a x x⎡+-<∈⎣恒成立．从而只要m a x 2()()ax x x⎡>+∈⎣．又2()f x x x=+在⎡⎣上递减，m a x 2()3(2)x x x⎡∴+=∈⎣，所以3a >．例7 三个数a ,b ,c ∈(0,)2π，且满足cos a a =，sin cos b b =，cos sin c c=，按从小到大的顺序排列这三个数．（第16届全苏竞赛题）《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》第8页（共18页）分析比较a ,b ,c 三数的大小，cos a a =，sin cos cos b b b =<，cos sin cos c c c =>，等式的两边变量均不相同，直接比较不易进行，故考虑分类讨论，先比较a 与b ，由cos sin cos a a b b==，对等号两边分别比较，即先假定一边的不等号方向，再验证另一侧的不等号方向是否一致．解（1）若a b=，则c o s s i n c o s a a =，但由c o s a (0,)2π∈，故有c o s s i n c o sa a >矛盾，即a ≠b ．（2）若a b <，则由单调性可知cos cos a b >，又由a b <及题意可得cos sin cos a b <，而sin cos cos b b <，因此又可得cos cos a b <，从而产生矛盾．综上，a b >．类似地，若c a =，则由题意可得cos cos sin a a =，从而可得sin a a =与sin a a >矛盾；若c a <，则sin sin c a a <<，即sin c a <，cos sin cos c a ∴>，即c a >矛盾．综上可得：b a c <<．说明本题的实质是用排除法从两个实数的三种可能的大小关系排除掉两种，从而得第三种，体现了“正难则反”的解题策略．情景再现4．在三角形ABC 中，求证：（1）3sinsinsin2222A B C ++≤；（2）sinsin sin A B C ≤．5．设12x y z π≥≥≥，且2x y z π++=，求乘积cos sin cos x y z 的最值．（1997年全国高中数学联赛）6．求证：|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥-（2004年福建省数学竞赛题）C 类例题《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》第9页（共18页）例8 已知当[0,1]x ∈时，不等式22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->恒成立，试求θ的取值范围．（1999年全国高中数学联赛题）分析一不等式左边按一、三两项配方，求出左边式子的最小值，根据最小值应当为正求出θ的取值范围．解法一设22()cos (1)(1)sin f x x x x x θθ=--+-，则由[0,1]x ∈时()0f x >恒成立，有(0)sin 0f θ=>，(1)cos 0f θ=>，22()([(12(12(1f x x x x x x ∴=+----(1)x x --21[(12(1)(02x x x =---->，当x =时，(10x -=，令0x =，则001x <<，0001()2(1)02f x x x =->12>，即1sin 22θ>，且sin 0,cos 0θθ>>，所求范围是：522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈，反之，当522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈时，有1sin 22θ>，且sin 0,cos0θθ>>，于是只要[0,1]x ∈必有()0f x >恒成立．分析二不等式左边视为关于x 的二次函数，求出此二次函数的最小值，令其大于0，从而求出θ的取值范围．解法二由条件知，cos 0,sin 0θθ>>，若对一切[0,1]x ∈时，恒有()f x =22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->，即2()(cos 1sin )(12sin )sin 0f x x x θθθθ=++-++>对[0,1]x ∈时恒成立，则必有cos (1)0,sin (0)0f f θθ=>=>，另一方面对称轴为《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》第10页（共18页）12sin 2(cos sin 1)x θθθ+=++[0,1]∈，故必有24(cos sin 1)sin (12sin )4(cos sin 1)θθθθθθ++-+>++，即4cos sin 10θθ->，1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Zπππθπ+<<+∈．分析三原不等式看作关于x 与1-x 的二次齐次式，两边同除x (1-x )．解法三原不等式化为：x 2cos θ+(1-x )2sin θ>x (1-x )，①x =0得sin θ>0，x =1得cos θ>0；②当x ≠0且x ≠1时，上式可化为：1x x-cos θ+1x x-sin θ>1对x ∈(0,1)恒成立，由基本不等式得1x x-cos θ+1x x-sin θ≥，∴1x x-cos θ+1x x-sin θ的最小值为，等号当1x x-cos θ=1x x-sin θ即x =时取到，因此>1．∴1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Zπππθπ+<<+∈．例9已知,,,a b A B 都是实数，若对于一切实数x ，都有()1cos sin cos 2sin 20f x a x b x A x B x =----≥，求证：222a b +≤，221A B +≤．（1977第十九届IMO ）分析根据函数式的特征及所要证明的式子易知，应首先将不等式化成()1))0f x x x θϕ=-+-+≥，其中x 为任意实数，注意到所要证的结论中不含未知数x ，故考虑用特殊值方法．证明若220a b +=，220A B +=，则结论显然成立；故下设220a b +≠，220A B +≠：令sin cos sin cos θθϕϕ====得，《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》第11页（共18页）()1))f x x x θϕ=-+-+，即对于一切实数x，都有()1))0f x x x θϕ=-+-+≥（1）()1))02f x x x πθϕ+=-+++≥（2）（1）+（2）得：2)cos()]0x x θθ-+++≥，即sin()cos()x x θθ+++≤对于一切实数x≥因此222a b +≤．()1))0f x x x πθϕ+=++-+≥ （3）（1）+（3）得：2)0x ϕ-+≥，即sin(2)x ϕ+≤恒1≥，∴ 221A B +≤．例10 设αβγπ++=，求证：对任意满足0x y z ++=的实数,,x y z 有222sin sin sin 0yz zx xy αβγ++≤分析由0x y z ++=消去一个未知数z ，再整理成关于y 的二次不等式，对x 恒成立，即可得证．证明由题意，则将()z x y =-+代入不等式左边得，不等式左边=2222222[sin sin (sin sin sin )]y x xy αβαβγ-+++-（1）当sin 0α=，易证不等式左边0≤成立．；（2）当sin 0α≠，整理成y 的二次方程，证△≤0．左边2222(sin sin sin )[sin ]2sin x y αβγαα+-=-+《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》第12页（共18页）22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--+，由222222(sin sin sin )4sin sin αβγαβ+--222222(sin sin sin 2sin sin )(sin sin sin 2sin sin )αβγαβαβγαβ=+-++--2sin sin [1cos()]2sin sin [1cos()]αβαβαβαβ=-+⋅--+ 2224sin sin [1cos ()]0αβαβ=--+≤，∴22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--0≤，∴不等式左边0≤成立．情景再现7．证明：对于任意△ABC ，不等式a cos A +b cos B +c cos C ≤p 成立，其中a 、b 、c 为三角形的三边，A 、B 、C 分别为它们的对角，p 为半周长．（第十六届全俄数学竞赛题）8．设,,αβγ是一个锐角三角形的三个内角，求证：sin sin sin tan tan tan 2αβγαβγπ+++++>习题1．求证：对所有实数,x y ，均有22cos cos cos 3x y xy +-<．2．在锐角三角形ABC 中，求证： tan tan tan 1A B C > 3．在锐角三角形ABC 中．求证： sin sin sin 2A B C ++>4．求证：222sin (cos(sin )sin(cos )2sin (4242x x ππ-≤-≤+5．已知,(0,)2παβ∈，能否以sin ,sin ,sin()αβαβ+的值为边长，构成一个三角形？《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》第13页（共18页）6．已知,αβ为锐角，求证：2222119cos sin sin cos ααββ+≥7．已知A +B +C =π，求证：222tan tantan1222A B C ++≥8．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，求证：3π≥++++cb a cC bB aA ．9．设A 、B 、C 为锐角三角形之内角，n 为自然数，求证：12tan tan tan 3nn n nA B C +++≥．（93年第三届澳门数学奥林匹克赛题）10．已知02πθ<<，,0a b >，求证：223332()sin cos a b a b θθ+≥+11．设P 是三角形ABC 内任一点，求证：∠P AB ，∠PBC ，∠PCA 中至少有一个小于或等于30°．12．解方程cos cos cos cos sin sin sin sin x x =（1995年全俄竞赛题）本节“情景再现”解答： 1．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而sincos A B>，同理sin cos ,sin cos BC C A>>，三式相加得证．2．证明：由已知得tan 3tan tan xy y=>及,(0,)2x y π∈知，x y>，从而(0,)2x y π-∈，要证6x y π-≤，只须证明tan()tan63x y π-≤=2tan tan 2tan tan()1tan tan 13tan x yy x y x yy--==++，于是问题归结为证22tan 313tan y y≤+，即21)0y -≥，而上式显然成立，因此原不等式成立．《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》第14页（共18页）3．证法一：当x ∈(0,2π)时，∵0<sin x <x <2π,∴sinsin x <sin x ,再比较sin x 与coscos x 的大小，由sin x =cos (2π-x )，即比较(2π-x )与cos x ，而cos x =sin (2π-x ),因此(2π-x )＞cos x ，从而cos (2π-x )<coscos x ，即sin x <coscos x ，从而得证．证法二： sin x +cosx 2π≤，即0<cos x <2π-sin x <2π，所以cos(cos x )>cos(2π-sin x )=sin(sin x )．4．证明：（1）由琴生不等式即得．（2）sin sin sin sin332A B CA B C++++≤≤=，从而得证．5．解：由条件知，312x y z ππ≥≥≥≥，()222123xy z ππππ=-+≤-⨯=，sin()0y z -≥，于是cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2x y z y z ++-1cos sin()2x y z ≥+22111cos cos2238x π=≥=，当,312xy z ππ===时取等号，故最小值为18（y与z 相等，且x 达到最大时，乘积有最小值）．又cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2z x y x y +--211cos sin()cos 22z x y z≤+=21cos2128π≤=5,1224z x y ππ===时等号成立，故cos sin cos x y z86．证明：设()|s i n c o s t a n c o t f x x x x x x x=+++++，《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》第15页（共18页）sin cos t x x=+，则有21s i nco2t xx -=，2222()||11t f x t t t =++--22|||11|11t t t t =+=-++--当1t >时，2()1111f x t t =-++≥-；当1t <时，2()(1)111f x t t =--+-≥-因此|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥．7．证明：因为cos x （x ∈（0，π））递减，所以a -b 与cos A -cos B 异号，从而（a -b ）（cos A -cos B ）≤0．即a cos A +b cos B ≤a cos B +b cos A =C （l ）当且仅当a =b 时等号成立．同理a cos A +c cos C ≤b （2） b cos B +c cos C ≤a （3），1[(1)(2)(3)]2⨯++即得所要证的不等式．8．证明：2242tan2tan 4tan 222sin tan 4tan21tan1tan1tan222ααααααααα+=+=>+--，0,tan,sin tan 4tan22222πααααααα<<∴>∴+>> ，同理得另两个，命题得证．“习题”解答： 1．证明：22cos cos cos 3x y xy +-≤显然成立，下面证明等号不能成立．用反证法．若等号成立，则22cos 1,cos 1,cos 1x y xy ===-，则222,2,,*x k y n k n N ππ==∈，则2224,,*x y nk k n N π=∈，则《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》第16页（共18页）,,*xy k n N =∈，不可能为奇数，因此cos 1xy ≠-，因此等号不成立．2．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而sincos A B>，同理sin cos ,sin cos BC C A>>，三式相乘得sin sin sin cos cos cos A B C A B C >．从而可得tantan tan 1A B C >．3．解：22sin sin ,sin sin A A B B >>，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+22cos cos cos cos cos cos B B A A B A>+=+，三式相加得证．4．证明：cos(sin )sin(cos )cos(sin )cos(cos )2x x x x π-=--cos sin cos sin 2sin()sin()4242x xx xππ+-=--又cos sin 222x x±≤≤，cos sin 424242x xπππ±-≤-≤+，又042π->，42π+2π<，由正弦函数在[0,]2π上的单调性可知，原不等式成立．5．证法一：sin sin 2sincos2sincossin()2222αβαβαβαβαβαβ+-+++=>=+ |sin sin |2cos|sin|2cossinsin()2222αβαβαβαβαβαβ+-++-=<=+，因此可以构成三角形．证法二：在直径为1的圆内作内接三角形ABC ，使,A B αβ∠=∠=，()C παβ∴∠=-+则sin ,sin ,sin()BC AC AB αβαβ===+，因此可构成三角形．《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》第17页（共18页）6．解：左222222214145tan 4cot 9cos sin sin 2cos sin ααααβαα=+≥+=++≥．7．证：左tan tan tantantantan222222A B B C C A ≥++tantantan(tan tan)22222A B C B A =++tan tan cottan(1tantan)1222222A B A B A B A B ++≥+-=8．分析：注意到π可写成A +B +C ，故即证：3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )π,即证3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )（A +B +C ），即证(a -b )(A -B )+(b -c )(B -C )+(c -a )(C -A )≥0，由大边对大角得上式成立．9．证明：设tan ,tan ,tan x A y B z C ===，则,,0x y z >，x y z xyz ++=，而x y z ++≥，代入得323xyz ≥，故123nnnnx y z +++≥≥．10．证明：要证原不等式，即证222333()()sin cos a b a b θθ+≥+，即2222222sin cos sin cos abab a b θθθθ++≥++上式中将θ看作变量，,a b 看作常数，考虑从左边向右边转化即证222222sin cos cot tan 2sin cos ab abθθθθθθ+++≥即2222cot tan 2tan 2cot a b ab ab θθθθ+++≥因为22222c o t 2t a n c o t t a n t a a a b a a b a b b θθθθθ+=++，同理可得22tan 2cot b ab θθ+≥11．证明：如图，PA sin 1θ=PB sin θ5，PB sin θ2=PC sin θ6，PC sin θ3=P A sin θ4，《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》第18页（共18页）三式相乘得sin 1θsin θ2 sin θ3= sin θ4 sin θ5 sin θ6，因此有(sin 1θsin θ2 sin θ3)2= sin 1θsin θ2 sin θ3 sin θ4 sin θ5 sin θ 66123456sin sin sin sin sin sin 6θθθθθθ+++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭661234561sin ()62θθθθθθ+++++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，从而sin 1θsin θ2 sin θ331()2≤，因此sin 1θ、sin θ2 、sin θ3中至少有一个小于或等于12，不妨设sin 1θ12≤，则1θ≤30°或1θ≥150°，此时三个角中至少有一个角小于30°．12．解：考虑周期性，只要先解决[0,2)x π∈的解的情况，而当[,2)x ππ∈时，左边为正，右边非正，因此方程无解．由于[0,]2x π∈时有c o s c o s s i n s i n x x>，将x 换成c o s c o s x 得（换成sinsin x也可以）：cos cos cos cos sin sin cos cos x x>，又由于sin sin y x =在[0,]2x π∈时为增函数，因此有sin sin cos cos sin sin sin sin x x>，综上可得：cos cos cos cos sin sin sin sin x x>，因此原方程无解．当(,)2x ππ∈时，令2yx π=-，则(0,)2y π∈，在cos cos sin sin xx>，[0,]2x π∈中，将x 换成cos sin y 得，cos cos(cos sin )sin sin(cos sin )sin sin(sin cos )y y y >>，将2y x π=-代入得，cos cos cos cos sin sin sin sin x x>，原方程也无解．综上所述，对x R ∈，恒有cos cos cos cos sin sin sin sin x x>，原方程无解．C。

《三角不等式》知识清单

《三角不等式》知识清单一、什么是三角不等式在数学中，三角不等式是涉及三角形边长和角度的不等式关系。

它是研究三角形性质和解决几何问题的重要工具。

简单来说，三角不等式描述了三角形任意两边长度之和大于第三边长度，以及三角形内角和为 180 度等基本性质的不等式表达。

二、常见的三角不等式1、边的不等式对于一个三角形，其三条边分别为 a、b、c，则有：a ＋b ＞ cb ＋c ＞ aa ＋ c ＞ b这是最基本也是最常见的三角不等式，它保证了三条线段能够构成一个三角形。

2、角的不等式在一个三角形中，大角对大边，大边对大角。

即如果角A ＞角B，则边 a ＞边 b；反之，如果边 a ＞边 b，则角 A ＞角 B。

3、正弦定理和余弦定理中的不等式正弦定理：＼（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），根据正弦函数的值域，可得到一些不等式关系。

余弦定理：＼（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc ＼cos A\），＼（b^2 ＝ a^2＋ c^2 2ac ＼cos B\），＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab ＼cos C\），通过这些式子也能推导出相关的不等式。

三、三角不等式的证明方法1、几何方法通过画图，利用三角形的直观性质进行证明。

例如，对于边的不等式，可以通过两点之间线段最短的原理来证明。

2、代数方法将三角形的边和角用代数表达式表示，然后通过代数运算和推理来证明不等式。

3、利用已知定理如利用均值不等式、柯西不等式等已知的数学定理来辅助证明三角不等式。

四、三角不等式的应用1、判断三条线段能否构成三角形给定三条线段的长度，如果它们满足三角不等式，那么就可以构成一个三角形；否则，不能构成三角形。

2、求解三角形的边长范围已知三角形的某些条件，如两边长度和一个夹角，利用三角不等式可以求出第三边的长度范围。

3、证明几何问题在一些复杂的几何证明中，常常会用到三角不等式来得出关键的结论。

高中数学解题技巧之三角不等式

高中数学解题技巧之三角不等式三角不等式是高中数学中一个重要的概念，它在解决不等式问题时起着关键作用。

本文将介绍三角不等式的概念和性质，并通过具体题目的解析，帮助读者掌握解题技巧。

一、三角不等式的概念和性质三角不等式是指涉及三角函数和不等式的关系。

常见的三角不等式包括正弦不等式、余弦不等式和正切不等式。

这些不等式可以帮助我们确定三角函数的取值范围，从而解决不等式问题。

以正弦不等式为例，对于任意一个角度θ，有如下不等式成立：-1 ≤ sinθ ≤ 1这意味着正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间。

类似地，余弦函数和正切函数也有相应的不等式。

三角不等式的性质包括：1. 三角函数的取值范围是有界的，即存在上下界；2. 不等式中的等号成立的条件可以帮助我们找到特殊解；3. 不等式可以通过代数运算和几何图形的分析来解决。

二、正弦不等式的解题技巧正弦不等式常用于解决角度范围的问题。

下面通过一个具体的例子来说明解题技巧。

例题：求解sinθ > 0的解集。

解析：首先，我们知道正弦函数在第一和第二象限为正，而在第三和第四象限为负。

因此，sinθ > 0成立的条件是θ属于第一和第二象限。

接下来，我们可以通过几何图形的分析来确定解集。

将单位圆的正弦函数图像绘制出来，我们可以看到正弦函数在[0, π]和[2π, 3π]区间内为正。

所以，解集可以表示为θ∈[0, π]∪[2π, 3π]。

这个例子展示了如何通过对三角函数的性质和图像的分析，来解决三角不等式问题。

在解题过程中，我们可以利用相关知识点，如角度的周期性和对称性，来简化计算和确定解集。

三、余弦不等式的解题技巧余弦不等式常用于解决角度的范围和区间的问题。

下面通过一个具体的例子来说明解题技巧。

例题：求解cosθ ≤ 1/2的解集。

解析：根据余弦函数的性质，我们知道余弦函数在第一和第四象限为正，而在第二和第三象限为负。

因此，cosθ ≤ 1/2成立的条件是θ属于第一和第四象限。

三角不等式定理

三角不等式定理1. 引言三角不等式定理是几何中一个重要的定理，它描述了三角形边长之间的关系。

三角不等式定理在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

本文将详细介绍三角不等式定理的定义、证明、应用以及相关的例题。

2. 定义三角不等式定理是指对于任意三角形ABC，其任意两边之和大于第三边的关系，即：AB + BC > AC AC + BC > AB AB + AC > BC3. 证明要证明三角不等式定理，可以使用几何证明和代数证明两种方法。

3.1 几何证明首先，假设三角形ABC的边长分别为AB、BC、AC。

我们可以通过以下步骤来证明三角不等式定理：1.作边AD，使得AD与BC平行，并延长AD至交点E；2.连接BE，AE；3.根据平行线的性质，我们可以得到△BDE与△ACD相似；4.根据相似三角形的性质，我们可以得到BD/AC = BE/AD 和 DE/AC = CD/AD；5.由于BE = BD + DE，所以BD/AC + DE/AC = (BD + DE)/AC = BE/AD =BC/AD；6.由于DE/AC = CD/AD，所以DE/AC + CD/AD = (DE + CD)/AC = DC/AD；7.根据三角形的内角和为180°，我们知道∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180°；8.由于∠BAC + ∠ACB = ∠BAE，所以∠BAE + ∠ABC = 180°；9.由于∠BAC + ∠ABC = ∠BAD，所以∠BAD + ∠ACB = 180°；10.根据三角形内角和为180°，我们知道∠BAD + ∠ACB + ∠BCD = 180°；11.由于∠BAD + ∠ACB = ∠BAE，所以∠BAE + ∠BCD = 180°；12.由于∠BAD + ∠BCD = ∠BAC，所以∠BAC + ∠BAE = 180°；13.根据三角形内角和为180°，我们知道∠BAC + ∠BAE + ∠ACB = 180°；14.由于∠BAC + ∠BAE + ∠ACB = ∠BAC + ∠BCD，所以∠BAC + ∠BCD =180°；15.根据三角形内角和为180°，我们得到∠BAC + ∠BCD + ∠ABC = 180°；16.由于∠BAC + ∠ABC = ∠BAD，所以∠BAD + ∠BCD = 180°；17.根据三角形内角和为180°，我们得到∠BAD + ∠BCD + ∠ACB = 180°；18.由于∠BAD + ∠BCD + ∠ACB = ∠BAD + ∠ACB，所以∠BAD + ∠ACB =180°；19.根据三角形内角和为180°，我们得到∠BAD + ∠ACB + ∠ABC = 180°；20.综上所述，我们可以得到∠BAD + ∠ACB + ∠ABC = ∠BAC + ∠BCD +∠ABC = ∠BAC + ∠BAE + ∠ACB = 180°；21.根据角度关系，我们可以得到△ABC与△BAD相似；22.根据相似三角形的性质，我们可以得到AC/BD = BC/AD；23.根据BD/AC + DE/AC = BC/AD 和 DE/AC + CD/AD = DC/AD，我们可以得到BD/AC + CD/AD = BC/AD；24.根据AC/BD = BC/AD 和 BD/AC + CD/AD = BC/AD，我们可以得到AC/BD +CD/AD = BC/AD；25.根据两边之和大于第三边的性质，我们可以得到AC/BD + BD/AC > CD/AD；26.根据相似三角形的性质，我们可以得到AC/BD + BD/AC = AB/AD；27.综上所述，我们可以得到AB/AD > CD/AD，即AB + BC > AC。

△ABC中的三角不等式

tan n
A+
tan n
B
+
tan n
C
>
3+
3 2
n
(n Î N*)
(2)
1+ cos A + cos B + cos C < sin A + sin B + sin C (3)
19.
cos2
æçççè
A
2
B
ö÷÷÷ø
cos
2
æçççè
B
2
C
öø÷÷÷
cos
2
æèçççC
2
Aöø÷÷÷ ³ 8æèçççsin
B' B
+
cos sin
C C
'
25. Carfunkel-Baukoff 不等式：
tan2 A + tan2 B + tan2 C ³ 2 -8sin A sin B sin C
2
2
2
222
26. G 为△ABC 重心
a2 + GA2 = b2 + GB2 = c2 + GC 2
27. P 为△ABC 内任意一点
PA2 + PB2 + PC 2 = GA2 + GB2 + GC 2 + 3PG2
28.
1 2
æçççè
1 a
+
1 b
+
1c ö÷÷÷ø
£
cos a
A
+
cos b
B
+
cos c
C
29.
a

三角不等式

定义域：解sinx<a （或sinx>a ）。

以sinx<a 为例： ①在y 轴上取有向线段OP ,使得Op=a.(a>0时在在y 轴正半轴取有向线段Op 。

(a<0时在在y 轴负半轴取有向线段Op 。

)②过P 点做与x 轴平行的虚线，交单位圆与12p p 、两点，连接12op p 、o 。

则在扇形12p op 的下方，sinx<a 。

在扇形12p op 的上方，sinx>a 。

③标方向：沿逆时针方向在阴影外标出小角、大角。

④找锐角代表：设sin x a x =⇒=锐锐。

⑤找阴影两头代表：正角代表角找法。

第一象限：α锐。

第二象限：πα-锐；第三象限：πα+锐。

第四象限2πα-锐。

负角代表角的找法：第四象限α-锐。

第三象限：πα-+锐。

第二象限；则它是πα--锐；。

第一象限：2πα-+锐 ⑥从阴影外标出小角到大角代表写出范围，后加2()k k Z π∈。

注：若阴影含x 轴的正半轴，则开始出发的角选为负角。

y =如求函数（∵）122120--⎛⎝ ⎫⎭⎪=-≥cos sin πx x ∴，如图：sin x ≤22()∴，25424012k x k k Z y ππππ-≤≤+∈≤≤+解cosx<a （或cosx>a ）①在x 轴上取有向线段OM,使得OM=a.(a>0时在在x 轴正半轴取有向线段OM 。

(a<0时在在x 轴负半轴取有向线段OM 。

)②过P 点做与y 轴平行的虚线，交单位圆与12M M 、两点，连接12OM M 、O。

则在扇形12M OM 的左方，cosx<a 。

在扇形12M OM 的右方，cosx>a 。

③标方向：沿逆时针方向在阴影外标出小角、大角。

④找锐角代表：设cos x a x =⇒=锐锐。

⑤找阴影两头代表：正角代表角找法。

第一象限：α锐。

第二象限：πα-锐；第三象限：πα+锐。

第四象限2πα-锐。

三角不等式绝对值公式取等条件

三角不等式绝对值公式取等条件1. 引言嘿，小伙伴们，今天我们要聊聊数学中的一个经典话题——三角不等式绝对值公式。

乍一听，可能会觉得有点儿枯燥，但其实，这个公式在实际生活中可是挺有趣的哦！让我们一起揭开它的神秘面纱，看看它背后有哪些有趣的秘密。

2. 三角不等式绝对值公式简介2.1 基本概念简单来说，三角不等式绝对值公式就是：对于任意的两个实数 (a) 和 (b)，有 (|a +b| leq |a| + |b|)。

哎呀，这句话说起来可能有点复杂，但其实就是告诉我们，两个数的绝对值之和总是大于等于它们相加后的绝对值。

这就像你去超市购物，你总是能找到购物清单上的所有东西，总花费肯定不会比每样东西的单独价格之和少，对吧？2.2 直观理解用个简单的例子来说，如果你从家到学校的距离是5公里，从学校到朋友家是3公里，那么你从家到朋友家的距离怎么也得大于等于从家到学校的距离和学校到朋友家的距离的差。

也就是说，你不能一边走一边缩短路程，这不现实吧？3. 取等条件解析3.1 取等条件的直观感受好啦，知道了三角不等式的基本公式，我们再来说说它什么时候会取等。

其实，三角不等式等号成立的情况挺特殊的。

它告诉我们：只有当两个数 (a) 和 (b) 其中一个是另一个的负数时，公式的等号才会成立。

就是说，如果你走的路线完全是一条直线，没有任何绕弯，那这时候等号才成立。

直白一点说，就是 (a) 和 (b) 的“方向”完全一致或者完全相反。

3.2 实际应用举个实际的例子吧。

假设你在某个游戏里，有两个角色，一个是攻击型的，一个是防御型的。

如果攻击型角色的能力值是 (a)，防御型角色的能力值是 (b)，那么在进行组合攻击时，你会发现，能量值的总和不会少于它们单独攻击的绝对值之和。

只有当两个角色的攻击方向完全一致或者完全对立时，才会达到等号情况。

4. 总结与思考说了这么多，大家有没有觉得三角不等式绝对值公式比你想的要有趣多了？它不仅仅是一个数学公式，更是一种思维方式。

三角形不等式

三角形不等式的窍门
• 窍门1：在解决三角形不等式问题时，要学会观察题目中的条件，找到解决问题的关键。 • 窍门2：在解决三角形不等式问题时，要学会运用三角形不等式的性质，简化问题，提高解题效率。 • 窍门3：在解决三角形不等式问题时，要学会运用代数方法，如代入法、因式分解法等，帮助解决问题。
三角形不等式的实际应用案例
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三角形不等式的习题拓展
• 拓展1：已知三角形的三边长分别为a、b、c，求证a^2 + b^2 > c^2，b^2 + c^2 > a^2，a^2 + c^2 > b^2。 • 拓展2：已知三角形的三内角分别为A、B、C，求证sin(A + B) + sin(B + C) + sin(A + C) < 3。 • 拓展3：已知三角形的两边长分别为a、b，求证|a^2 - b^2| < c^2，|b^2 - c^2| < a^2， |a^2 - c^2| < b^2。
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三角形不等式的习题与解答
三角形不等式的经典习题
• 三角形不等式的经典习题 • 题目1：已知三角形的三边长分别为a、b、c，求证a + b > c，b + c > a，a + c > b。 • 题目2：已知三角形的三内角分别为A、B、C，求证A + B + C < 180°，A + B > 90°，B + C > 90°，A + C > 90°。 • 题目3：已知三角形的两边长分别为a、b，求证|a - b| < c， |b - c| < a，|a - c| < b。

《三角不等式》知识清单

《三角不等式》知识清单一、什么是三角不等式在数学中，三角不等式是涉及三角形边长和角度关系的不等式。

简单来说，它描述了在一个三角形中，任意两边长度之和大于第三边长度，任意两边长度之差小于第三边长度。

三角不等式在平面几何和三角函数中都有着重要的地位，它不仅是解决几何问题的基础工具，也是研究三角函数性质的重要依据。

二、基本三角不等式1、边的不等式对于任意一个三角形，其三条边分别为 a、b、c，那么有以下不等式成立：a ＋b ＞ ca ＋ c ＞ bb ＋c ＞ a同时，也有：｜a b| ＜ c｜a c| ＜ b｜b c| ＜ a这些不等式保证了三条边能够构成一个有效的三角形。

2、角的不等式在一个三角形中，大角对大边，大边对大角。

即如果角A ＞角B，那么边 a ＞边 b；反之，如果边 a ＞边 b，那么角 A ＞角 B。

三、常见的三角不等式类型1、正弦定理相关的不等式正弦定理表述为：＼（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B}＝＼frac{c}｛＼sin C} ＝ 2R\）（其中 R 为三角形外接圆半径）。

由此可以推导出一些不等式，例如：＼（＼sin A ＋＼sin B ＞＼sin C\）2、余弦定理相关的不等式余弦定理为：＼（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A\），＼（b^2 ＝ a^2＋ c^2 2ac\cos B\），＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cos C\）。

基于余弦定理，可以得到：＼（＼cos A ＜＼frac{b^2 ＋ c^2 a^2}｛2bc}＼）等不等式。

3、面积相关的不等式三角形面积可以用多种公式表示，如＼（S ＝＼frac{1}｛2}ab\sin C\）。

由此可以推出一些与面积有关的不等式，比如在给定面积和某些边长的条件下，限制其他边长或角度的范围。

四、三角不等式的证明方法1、几何方法通过画图，利用三角形的性质和几何直观进行证明。

《三角不等式》知识清单

《三角不等式》知识清单一、什么是三角不等式在数学中，三角不等式是涉及三角形边长和角度关系的不等式。

它是解决几何问题、三角函数问题以及在数学分析等领域中经常用到的重要工具。

简单来说，如果我们有一个三角形，其三条边的长度分别为 a、b、c，那么三角不等式告诉我们：任意两边之和大于第三边，即 a ＋ b ＞c，a ＋ c ＞ b，b ＋ c ＞ a。

同时，对于三角形的三个内角 A、B、C，也存在一些与三角函数相关的不等式关系。

二、常见的三角不等式形式1、边的不等式基本形式：a ＋ b ＞ c，a ＋ c ＞ b，b ＋ c ＞ a。

推论：若a ≥ b，则 a b ＜ c ＜ a ＋ b。

2、角的不等式对于任意三角形，三个内角之和为 180°，即 A ＋ B ＋ C ＝ 180°。

大角对大边：若 A ＞ B，则 a ＞ b。

3、与三角函数相关的不等式正弦定理：＼（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），由此可得\（＼sin A ：＼sin B ：＼sin C ＝ a ：b ： c\），并且\（＼sin A ＋＼sin B ＞＼sin C\）。

余弦定理：＼（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A\），＼（b^2 ＝ a^2 ＋c^2 2ac\cos B\），＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cos C\）。

三、三角不等式的证明方法1、几何方法通过画图，利用三角形的性质和几何直观来证明。

例如，对于边的不等式，可以通过两点之间线段最短的原理来理解。

2、代数方法利用代数运算和不等式的性质进行证明。

例如，对于余弦定理的推导，可以通过向量的方法或者利用三角函数的定义和恒等式进行证明。

四、三角不等式的应用1、几何问题判断三条线段能否构成三角形，已知两边和夹角求第三边的范围等。

2、三角函数问题求解三角函数的取值范围，证明三角函数的不等式等。

005学生---等式与不等式(4)基本不等式及其应用---三角不等式

①若12-=k n ，*N k ∈（函数图像含顶点），则当k x x =，即21+=n x x 时，)(x f 有最小值；②若k n 2=，*N k ∈（函数图像为“平底锅”），则当k x x [∈，]1+k x ，即2[n x x ∈，]12+n x 时，)(x f 有最小值。

典型例题：【例1】不等式462≥-+-x x 对所有实数x 恒成立，等号成立时x 的取值范围为______________。

巩固训练：⑴不等式862-≥--+x x 对所有实数x 恒成立，等号成立时x 的取值范围为______________。

⑵方程24432+=++-x x x ，R x ∈的解集为______________。

⑶设x x x y 2512-+-++=，无论x 取什么实数值，总有6≥y ，当6=y 时，x 的取值范围为______________。

⑷【2023长宁区二模10】若对任意1[∈x ，]2，均有x x a x a x +=++-22，则实数a 的取值范围为__________。

【例2】不等式a x x >-++|2||1|的解集为一切实数，求实数a 的范围________________。

巩固训练：⑴不等式a x x <-++|2||1|的解集为空集，求实数a 的范围________________。

⑵不等式a x x <-++|2||1|的解集非空，求实数a 的范围________________。

⑶不等式a x x <--+|2||1|有实数解，求实数a 的范围________________。

⑷【2023松江区一模8】对任意R x ∈，不等式a a x x +≥-+-2232恒成立，则实数a 的取值范围为__________。

【例3】函数2020642)(-+⋅⋅⋅+-+-+-=x x x x x f 的最小值为____________。

巩固训练：⑴关于x 的不等式3>-+1-2||||a x x 恒成立，则a 的取值范围为____________。

三角函数不等式

三⾓函数不等式若0<β<α<π2,求证: sinα−sinβ<α−β<tanα−tanβ.sinα−sinβ=2cosα+β2sinα−β2≤2sinα−β2≤α−β.⽽tanα−tanβ=tan(α−β)⋅(1+tanαtanβ)>tan(α−β)>α−β.lim\begin{example}(2010年湖北)已知函数f\left( x \right) = ax + \dfrac{b}{x} + c（a > 0）的图象在\left( {1 , f\left( 1 \right)} \right)处的切线⽅程为y = x-1.(1)⽤a表⽰出b, c;(2)若f\left( x \right) \geqslant \ln x在\left[ {1, + \infty } \right)上恒成⽴,求a的取值范围;(3)证明: 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n} > \ln \left( {n + 1} \right) + \dfrac{n}{{2\left( {n + 1} \right)}} (n \in {\mathcal N^ * }). \end{example}\begin{solution}\end{solution}\begin{example}(2013年湖北)设n是正整数, r为正有理数.(I)求函数f(x)=(1+x)^{r+1}-(r+1)x-1\,(x>-1)的最⼩值;(II)证明: \frac{n^{r+1}-(n-1)^{r+1}}{r+1}<n^r <\frac{(n+1)^{r+1}-n^{r+1}}{r+1};(III)设x\in \mathbb{R},记[x]为不⼩于x的最⼩整数,例如[2]=2,[\pi]=4,\left[ -\frac{3}{2} \right] =-1.令S=\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{82}+\sqrt[3]{83}+\cdots+\sqrt[3]{125},求[S]的值.(参考数据: 80^{\frac{4}{3}}\approx 344.7,81^{\frac{4}{3}}\approx 350.5,124^{\frac{4}{3}}\approx 618.3,126^{\frac{4}{3}}\approx 631.7)\end{example}\begin{solution}(I)因为f'(x)=(r+1)(1+x)^r-(r+1) =(r+1)\left[(1+x)^r-1\right],令f'(x)=0,解得x=0.当-1<x<0时, f'(x)<0,所以f(x)在(-1,0)内是减函数;当x>0时, f'(x)>0,所以f(x)在(0,+\infty)内是增函数.故函数f(x)在x=0处取得最⼩值f(0)=0.(II)由(I),当x\in (-1,+\infty)时,有f(x)\geqslant f(0)=0,即(1+x)^{r+1}\geqslant 1+(r+1)x,且等号当且仅当x=0时成⽴,故当x>-1且x\neq 0时,有(1+x)^{r+1}> 1+(r+1)x.\tag*{\ding{172}}在\ding{172}中,令x=\frac{1}{n} (这时x>-1且x\neq 0),则有\left( 1+\frac{1}{n} \right) ^{r+1}>1+\frac{r+1}{n}.上式两边同乘n^{r+1},得(n+1)^{r+1}>n^{r+1}+n^r(r+1),即n^r<\frac{(n+1)^{r+1}-n^{r+1}}{r+1}.\tag*{\ding{173}}当n>1时,在\ding{172}中令x=-\frac{1}{n} (这时x>-1且x\neq 0),类似可得n^r>\frac{n^{r+1}-(n-1)^{r+1}}{r+1}.\tag*{\ding{174}}且当n=1时, \ding{174}也成⽴.综上\ding{173},\ding{174}得\frac{n^{r+1}-(n-1)^{r+1}}{r+1}<n^r <\frac{(n+1)^{r+1}-n^{r+1}}{r+1}. \tag*{\ding{175}}(III)在\ding{175}中,令r=\frac{1}{3}, n分别取值81,82,83,\cdots,125,得\begin{align*} \frac{3}{4}\left( 81^{\frac{4}{3}}-80^{\frac{4}{3}} \right) &<\sqrt[3]{81}<\frac{3}{4}\left( 82^{\frac{4}{3}}-81^{\frac{4}{3}} \right) , \\ \frac{3}{4}\left( 82^{\frac{4}{3}}-81^{\frac{4}{3}} \right) &<\sqrt[3]{82}<\frac{3}{4}\left( 83^{\frac{4}{3}}-82^{\frac{4}{3}} \right) , \\ \frac{3}{4}\left( 83^{\frac{4}{3}}-82^{\frac{4}{3}} \right) &<\sqrt[3]{83}<\frac{3}{4}\left( 84^{\frac{4}{3}}-83^{\frac{4}{3}} \right) ,\\ &\cdots\cdots\\ \frac{3}{4}\left( 125^{\frac{4}{3}}-124^{\frac{4}{3}} \right) &<\sqrt[3]{125}<\frac{3}{4}\left( 126^{\frac{4}{3}}-125^{\frac{4}{3}} \right). \end{align*}将以上各式相加,并整理得\frac{3}{4}\left( 125^{\frac{4}{3}}-80^{\frac{4}{3}} \right)<S<\frac{3}{4}\left( 126^{\frac{4}{3}}-81^{\frac{4}{3}} \right).代⼊数据计算,可得\frac{3}{4}\left( 125^{\frac{4}{3}}-80^{\frac{4}{3}} \right)\approx 210.2, \frac{3}{4}\left( 126^{\frac{4}{3}}-81^{\frac{4}{3}}\right)\approx 210.9.由[S]的定义,得[S]=211.\end{solution}\begin{example}(2014湖北卷, 理科第22题)\pi 为圆周率, e=2.718\,28\cdots 为⾃然对数的底数.\begin{itemize}\item[(I)] 求函数f(x)=\frac{\ln x}{x}的单调区间;\item[(II)] 求e^3,3^e,e^{\pi},\pi^e,3^{\pi}, \pi^3这6个数中的最⼤数与最⼩数;\item[(III)] 将e^3,3^e,e^{\pi},\pi^e,3^{\pi}, \pi^3这6个数按从⼩到⼤的顺序排列, 并证明你的结论.\end{itemize}\end{example}\begin{solution}(I)函数f(x)的定义域为(0,+\infty),因为f(x)=\frac{\ln x}{x},所以f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}.当f'(x)>0,即0<x<e时,函数f(x)单调递增;当f'(x)<0,即x>e时,函数f(x)单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+\infty).(II)因为e<3<\pi,所以e\ln 3<e\ln \pi,\pi\ln e<\pi \ln 3,即\ln 3^e<\ln \pi^e,\ln e^\pi<\ln 3^\pi.于是根据函数y=\ln x,y=e^x,y=\pi^x在定义域上单调递增,可得3^e<\pi^e<\pi^3,e^3<e^\pi<3^\pi.故这6个数的最⼤数在\pi^3与3^\pi之中,最⼩数在3^e与e^3之中.由e<3<\pi及(I)的结论,得f(\pi)<f(3)<f(e),即\frac{\ln \pi}{\pi}<\frac{\ln 3}{3}<\frac{\ln e}{e}.由\frac{\ln \pi}{\pi}<\frac{\ln 3}{3},得\ln \pi^3<\ln 3^\pi,所以3^\pi>\pi^3;由\frac{\ln 3}{3}<\frac{\ln e}{e},得\ln 3^e<\ln e^3,所以3^e<e^3.综上, 6个数中的最⼤数是3^\pi,最⼩数是3^e.(III)由(II)知, 3^e<\pi^e<\pi^3<3^\pi,3^e<e^3.⼜由(II)知, \frac{\ln\pi}{\pi}<\frac{\ln e}{e},得\pi^e<e^\pi.故只需⽐较e^3与\pi^e和e^\pi与\pi^3的⼤⼩.由(I)知,当0<x<e时, f(x)<f(e)=\frac{1}{e},即\frac{\ln x}{x}<\frac{1}{e}.在上式中,令x=\frac{e^2}{\pi}.⼜\frac{e^2}{\pi}<e,则\ln \frac{e^2}{\pi}<\frac{e}{\pi},从⽽2-\ln\pi<\frac{e}{\pi},即得\ln\pi>2-\frac{e}{\pi}.\tag*{\ding{172}}由\ding{172}得, e\ln \pi >e\left( 2-\frac{e}{\pi} \right) >2.7\times \left( 2-\frac{2.72}{3.1} \right) >2.7\times \left( 2-0.88 \right) =3.024>3,即e\ln \pi >3,亦即\ln\pi^e>\ln e^3,所以e^3<\pi^e.⼜由\ding{172}得, 3\ln \pi >6-\frac{3e}{\pi}>6-e>\pi,即3\ln \pi >\pi,所以e^\pi<\pi^3.综上可得, 3^e<e^3<\pi^e<e^\pi<\pi^3<3^\pi.即6个数从⼩到⼤的顺序为3^e,e^3,\pi^e,e^\pi,\pi^3,3^\pi.\end{solution}\begin{example}(2015年湖北卷, 理科第22题)已知数列\{a_n\}的各项均为正数, b_n=n\left(1+\frac{1}{n}\right)^na_n\,(n\in \mathbb{N}_+), e为⾃然对数的底数.\begin{itemize}\item[(I)] 求函数f(x)=1+x-e^x的单调区间, 并⽐较\left(1+\frac{1}{n}\right)^n与e的⼤⼩;\item[(II)] 计算\frac{b_1}{a_1},\frac{b_1b_2}{a_1a_2},\frac{b_1b_2b_3}{a_1a_2a_3}, 由此推测计算\frac{b_1b_2\cdots b_n}{a_1a_2\cdots a_n}的公式, 并给出证明;\item[(III)] 令c_n=(a_1a_2\cdots a_n)^{\frac{1}{n}}, 数列\{a_n\}, \{c_n\}的前n项和分别记为S_n,T_n, 试证明: T_n<eS_n.\end{itemize}\end{example}\begin{solution}(I) f(x)的定义域为(-\infty,+\infty),f'(x)=1-e^x.当f'(x)>0,即x<0时, f(x)单调递增;当f'(x)<0,即x>0时, f(x)单调递减.故f(x)的单调递增区间为(-\infty,0),单调递减区间为(0,+\infty).当x>0时, f(x)<f(0)=0,即1+x<e^x.令x=\frac{1}{n},得1+\frac{1}{n}<e^{\frac{1}{n}},即\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<e.\tag*{\ding{172}}(II) \frac{b_1}{a_1}=1\cdot \left( 1+\frac{1}{1} \right) ^1=1+1=2;\frac{b_1b_2}{a_1a_2}=\frac{b_1}{a_1}\cdot \frac{b_2}{a_2}=2\cdot 2\left( 1+\frac{1}{2} \right) ^2=\left( 2+1 \right) ^2=3^2;\frac{b_1b_2b_3}{a_1a_2a_3}=\frac{b_1b_2}{a_1a_2}\cdot \frac{b_3}{a_3}=3^2\cdot 3\left( 1+\frac{1}{3} \right) ^3=\left( 3+1 \right) ^3=4^3.由此推测:\frac{b_1b_2\cdots b_n}{a_1a_2\cdots a_n}=\left( n+1 \right) ^n. \tag*{\ding{173}}下⾯⽤数学归纳法证明\ding{173}.(1)当n=1时,左边=右边=2, \ding{173}成⽴.(2)假设当n=k时, \ding{173}成⽴,即\frac{b_1b_2\cdots b_k}{a_1a_2\cdots a_k}=\left( k+1 \right) ^k.当n=k+1时, b_{k+1}=\left( k+1 \right) \left( 1+\frac{1}{k+1} \right) ^{k+1}a_{k+1},由归纳假设可得\begin{align*} \frac{b_1b_2\cdots b_kb_{k+1}}{a_1a_2\cdots a_ka_{k+1}} &=\frac{b_1b_2\cdots b_k}{a_1a_2\cdots a_k}\cdot \frac{b_{k+1}} {a_{k+1}} \\ &=\left( k+1 \right) ^k\left( k+1 \right) \left( 1+\frac{1}{k+1} \right) ^{k+1}=\left( k+2 \right) ^{k+1}. \end{align*}所以当n=k+1时, \ding{173}也成⽴.根据(1) (2),可知\ding{173}对⼀切正整数n都成⽴.(III)由c_n的定义, \ding{173},算术-⼏何平均值不等式, b_n的定义及\ding{172}得\begin{align*} T_n= &c_1+c_2+c_3+\cdots +c_n \\ =&\left( a_1 \right) ^{\frac{1}{1}}+\left( a_1a_2 \right) ^{\frac{1}{2}}+\left( a_1a_2a_3 \right) ^{\frac{1}{3}}+\cdots +\left( a_1a_2\cdots a_n \right) ^{\frac{1}{n}} \\ =&\frac{\left( b_1 \right) ^{\frac{1}{1}}}{2}+\frac{\left( b_1b_2 \right) ^{\frac{1} {2}}}{3}+\frac{\left( b_1b_2b_3 \right) ^{\frac{1}{3}}}{4}+\cdots +\frac{\left( b_1b_2\cdots b_n \right) ^{\frac{1}{n}}}{n+1} \\ \leqslant &\frac{b_1} {1\times 2}+\frac{b_1+b_2}{2\times 3}+\frac{b_1+b_2+b_3}{3\times 4}+\cdots +\frac{b_1+b_2+\cdots +b_n}{n\left( n+1 \right)} \\ =& b_1\left[ \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots +\frac{1}{n\left( n+1 \right)} \right] \\ & +b_2\left[ \frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots+\frac{1}{n\left( n+1 \right)} \right] +\cdots +b_n\cdot \frac{1}{n\left( n+1 \right)} \\ = &b_1\left( 1-\frac{1}{n+1} \right) +b_2\left( \frac{1}{2}-\frac{1} {n+1} \right) +\cdots +b_n\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) \\ <&\frac{b_1}{1}+\frac{b_2}{2}+\cdots +\frac{b_n}{n} \\ <&\left( 1+\frac{1}{1} \right) ^1a_1+\left( 1+\frac{1}{2} \right) ^2a_2+\cdots +\left( 1+\frac{1}{n} \right) ^na_n \\ <& ea_1+ea_2+\cdots +ea_n=eS_n. \end{align*}即T_n<eS_n.\end{solution}\begin{example} (2007年湖北卷, 理科第21题) 已知$m,n$均为正整数.\\ (I) ⽤数学归纳法证明: 当$x>-1$时, $(1+x)^m\geqslant 1+mx$.\\ (II) 对于$n\geqslant 6$, 已知$\left( 1-\frac{1}{n+3}\right)^n<\frac{1}{2}$, 求证: \[ \displaystyle \Bigl( 1-\frac{m}{n+3}\Bigr)^n<\Bigl( \frac{1}{2}\Bigr)^m,\quad m=1,2,\cdots,n; \] (III) 求出满⾜等式$3^n+4^n+\cdots +(n+2)^n=(n+3)^n$的所有正整数$n$. \end{example}\begin{solution}\textbf{解法⼀:} (I)证明:⽤数学归纳法证明:(i)当m=1时,原不等式成⽴;当m=2时,左边=1+2x+x^2,右边=1+2x,因为x^2\geqslant 0,所以左边\geq 右边,原不等式成⽴;(ii)假设当m=k时,不等式成⽴,即(1+x)^k\geqslant 1+kx,则当m=k+1时,因为x>-1,所以1+x>0.于是在不等式(1+x)^k\geqslant 1+kx两边同乘以1+x得\begin{align*} (1+x)^k\cdot (1+x)&\geqslant (1+kx)(1+x)\\ &=1+(k+1)x+kx^2\\ &\geqslant 1+(k+1)x, \end{align*}所以(1+x)^{k+1}\geqslant 1+(k+1)x.即当m=k+1时,不等式也成⽴.综合(i) (ii)知,对⼀切正整数m,不等式都成⽴.(II)证明:当n\geqslant 6,m\leqslant n时,由(I)得\left( 1-\frac{1}{n+3} \right) ^m\geqslant 1-\frac{m}{n+3}>0,于是\begin{align*} \left( 1-\frac{m}{n+3} \right) ^n &\leqslant \left( 1-\frac{1}{n+3} \right) ^{mn}=\left[ \left( 1-\frac{1}{n+3} \right) ^n \right] ^m \\ &<\left( \frac{1}{2} \right) ^m,\quad m=1,2,\cdots,n. \end{align*}(III)解:由(II)知,当n\geqslant 6时,\begin{align*} &\left( 1-\frac{1}{n+3} \right) ^1+\left( 1-\frac{1}{n+3} \right) ^2+\cdots +\left( 1-\frac{1}{n+3} \right) ^n \\ &<\frac{1}{2}+\left( \frac{1} {2} \right) ^2+\cdots +\left( \frac{1}{2} \right) ^n=1-\frac{1}{2^n}<1, \end{align*}所以\left( \frac{n+2}{n+3} \right) ^n+\left( \frac{n+1}{n+3} \right) ^n+\cdots +\left( \frac{3}{n+3} \right) ^n<1,即3^n+4^n+\cdots+(n+2)^n<(n+3)^n,即当n\geqslant 6时,不存在满⾜该等式的正整数n.故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形;当n=1时, 3\neq 4,等式不成⽴;当n=2时, 3^2+4^2=5^2,等式成⽴;当n=3时, 3^3+4^3+5^3=6^3,等式成⽴;当n=4时, 3^4+4^4+5^4+6^4为偶数,⽽7^4为奇数,故3^4+4^4+5^4+6^4\neq 7^4,等式不成⽴;当n=5时,同n=4的情形可分析出,等式不成⽴.综上,所求的n只有n=2,3.\textbf{解法⼆:} (I)证明:当x=0或m=1时,原不等式中等号显然成⽴.下⽤数学归纳法证明:当x>-1,且x\neq 0时, m\geqslant 2,(1+x)^m> 1+mx.\tag*{\ding{172}}(i)当m=2时,左边=1+2x+x^2,右边=1+2x,因为x\neq 0,所以x^2>0,即左边>右边,不等式\ding{172}成⽴;(ii)假设当m=k\,(k\geq 2)时,不等于\ding{172}成⽴,即(1+x)^k>1+kx,则当m=k+1时,因为x>-1,所以1+x>0.⼜因为x\neq 0,k\geq 2,所以kx^2>0.于是在不等式(1+x)^k>1+kx两边同乘以1+x得\begin{align*} (1+x)^k\cdot (1+x)&\geqslant (1+kx)(1+x)\\ &=1+(k+1)x+kx^2\\ &>1+(k+1)x, \end{align*}所以(1+x)^{k+1}>1+(k+1)x.即当m=k+1时,不等式\ding{172}也成⽴.综上所述,所证不等式成⽴.(II)证明:当n\geqslant 6,m\leqslant n时,因为\left( 1-\frac{1}{n+3} \right) ^n<\frac{1}{2},所以\left[ \left( 1-\frac{1}{n+3} \right) ^m \right] ^n<\left( \frac{1}{2} \right) ^m,⽽由(I),\left( 1-\frac{1}{n+3} \right) ^m\geqslant 1-\frac{m}{n+3}>0,所以\left( 1-\frac{m}{n+3} \right) ^n\leqslant \left[ \left( 1-\frac{1}{n+3} \right) ^m \right] ^n<\left( \frac{1}{2} \right) ^m.(III)解:假设存在正整数n_0\geqslant6使等式3^{n_0}+4^{n_0}+\cdots+(n_0+2)^{n_0}=(n_0+3)^{n_0}成⽴,即有\left( \frac{3}{n_0+3} \right) ^{n_0}+\left( \frac{4}{n_0+3} \right) ^{n_0}+\cdots +\left( \frac{n_0+2}{n_0+3} \right) ^{n_0}=1. \tag*{\ding{173}}⼜由(II)可得\begin{align*} &\left( \frac{3}{n_0+3} \right) ^{n_0}+\left( \frac{4}{n_0+3} \right) ^{n_0}+\cdots +\left( \frac{n_0+2}{n_0+3} \right) ^{n_0} \\ &=\left( 1-\frac{n_0}{n_0+3} \right) ^{n_0}+\left( 1-\frac{n_0-1}{n_0+3} \right) ^{n_0}+\cdots +\left( 1-\frac{1}{n_0+3} \right) ^{n_0} \\ &<\left( \frac{1}{2} \right) ^{n_0}+\left( \frac{1}{2} \right) ^{n_0-1}+\cdots +\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2^{n_0}}<1, \end{align*}与\ding{173}式⽭盾.故当n\geqslant 6时,不存在满⾜该等式的正整数n.下同解法⼀.\end{solution}Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。

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