高斯小学奥数五年级上册含答案_物不知数与同余

高斯小学奥数五年级上册含答案_数字谜综合一

第二十讲数字谜综合一在三四年级，我们学过加减法填空格，破译字母、汉字的竖式谜、横式谜，添算符等数字谜问题，其中既有加减法，也有乘除法．它们各有一些特定的解题方法和思路，像加减法的进位、借位、错位，乘除法里面的末位分析、首位及位数的估算等，这些方法我们当然还要进一步的学习和训练．但在这一讲中，我们将主要运用前一阵刚学过的数论知识来解决相应的数字谜问题．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1.已知“BAD BAD GOOD+=”是一个正确的加法算式，其中相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字．已知GOOD不是8的倍数，那么四位数ABGD是多少？「分析」解决数字谜的题目，最关键在于找突破口．本题的突破口在哪里？练习1.在算式“+=路亨路亨刘吉吉”中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．已知刘吉吉是8的倍数，那么四位数亨吉刘路是多少？例题2．从1~9中选出8个数字填入下式的各个方框中，使等式成立．⨯=⨯=952「分析」从算式来看，是要找出两个两位数的乘积为952．但是把952写成两个两位数的乘积，方法非常多，要从中选出两种满足题目条件还是挺麻烦的．我们不妨先把952分解质因数，通过分析它的构成来选出满足题目条件的填法．练习2．从1~9中选出8个数字填入下式的各个方框中，使等式成立．1026⨯=⨯=- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题3．用0至9这10个数字恰好组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个（每个数字只能用一次），且这四个数两两互质．其中的四位数是2940．另外三个数可能是多少？「分析」其中四位数是2940，那么组成另外三个数的6个数字就确定了．这四个数两两互质，那么另外三个数都与2940互质，我们就从2940的质因数构成入手．练习3．用1、2、3、4、5、6、7这7个数字恰好组成一个一位数和两个三位数，每个数字只用一次，使得这三个数两两互质．已知其中一个三位数已填好，它是714，那么其他两个数是多少？在前面的例题中，我们通过分解质因数，分析其质因数的构成，从而解决了问题．那如果没有给出具体的数，而是由数字或字母构成的特殊形式又该如何？是否也能分解质因数呢？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4．数数科学学数学．⨯=在上面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．请问：“数学”所代表的两位数是多少？「分析」对于乘法数字谜问题，我们一般先考虑个位数字．“数”×“学”的个位数字是“学”，但符合这一条件的情况有好几种，讨论的过程会很长．我们不妨再来仔细观察算式，能发现题中的“数数”有什么特点吗？练习4．⨯数好学好=棒棒棒．在上面的乘法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．那么“好棒”所代表的两位数是多少？例题5．在下面两个算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．“花相似人不同”代表的六位数是多少？⨯=年年岁岁花相似÷=÷岁岁年年人不同「分析」“年年”、“岁岁”都是11的倍数，那么“花相似”所代表的三位数又是多少的倍数呢？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -在暑期中，我们学习了分数与循环小数的互化与四则运算，其实在数字谜里面也有分数与循环小数形式的问题．要解决这一类问题，需要我们灵活运用学过的循环小数的相关知识． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题6．已知a 是一个自然数，A 、B 是1至9中的数字，最简分数0.33222a A B =&&．请问：a 是多少？「分析」等式两边一个是分数，一个是循环小数，可以都化成分数来比较．美妙的竖式荣获斯大林奖金的前苏联数学家、教育家柯尔⋅詹姆斯基曾以开发心灵美为题，列举了一些令人叹服的巧妙算法，其中之一如下：⨯=．例：88883333296237048 8 8 8⨯ 3 3 3 32 42 4 2 42 4 2 4 2 42 4 2 4 2 4 2 42 4 2 4 2 42 4 2 42 42 9 6 23 7 0 4这道题如果只是要算出结果，办法有很多，甚至拿计算器一按答案就出来了．但结果并非是重点，趣味性才是它的精髓所在．作业1. 在算式12233221⨯=⨯的两个方框中填入一个相同的数字，使得等式成立且等式关于等号是对称的．作业2. 用0至9这十个数码各1次，组成四位数、三位数、两位数和一位数各1个，并使这四个数两两互质．已知组成的四位数是1860，那么其他的三个数是多少？作业3. 将1~9这九个数字各一个填到下面的横式中，使等式成立（其中1，5，6已经填好）．156⨯=⨯=作业4. 在算式“⨯⨯⨯=钓钓钓鱼岛钓鱼岛钓鱼岛钓鱼岛”中，“钓”、“鱼”、“岛”各代表一个不同的数字，要使算式成立，那么钓鱼岛表示的三位数是多少？作业5. 已知a 是一个自然数，b 是一个1至9中的数字，如果0.43555a b =&&，那么a 是多少？第二十讲数字谜综合一例题1. 答案：3810详解：列竖式，易知D 是0，G 是1，且O 是偶数．那么GOOD 可能是1220、1440、1660和1880，其中1220和1660不是8的倍数，对应的加法算式分别是6106101220+=和8308301660+=，只有第二个满足．那么ABGD 是3810．例题2. 答案：56172834952⨯=⨯=详解：39522717=⨯⨯．考虑最大的质因数17，可知等号两边的两位数中都有17的倍数，可能是17、34、68．那么952可以拆成5617⨯、2834⨯和1468⨯．考虑到8个数字不重复，只能是56172834952⨯=⨯=．例题3. 答案：1、67、583或1、67、853详解：2229402357=⨯⨯⨯，则另外三个数不能有质因数2、3、5、7．其中一位数只能是1．还剩3、5、6、7、8这五个数字．两位数要分情况讨论：（1）个位数字为3，有53、73、83三组符合要求．对应的，三位数的三个数字分别为6、7、8；5、6、8；5、6、7．经检验，均不符合要求．（2）个位数字为7，有37、67两组符合要求．对应的，三位数的三个数字分别为5、6、8；3、5、8．经检验，有583、 853符合要求．综上所述，一共有：1、67、583；1、67、853两组答案．例题4. 答案：16详解：数数是11的倍数，所以学数学也是11的倍数．三位数中满足学数学这种形式，又是11的倍数的数有：121、242、363、484、616、737、858、979．依次验证几种情况，发现：当学数学为616，那么“学”为6，“数”为1，“⨯=数数科学学数学”变为“116616⨯=科”，可知“科”为5，符合题意．其它情况逐一检验，没有符合题目要求的答案．所以“数学”代表的两位数为16．例题5. 答案：968510详解：第一个算式可以变为“121⨯⨯=年岁花相似”，所以“花相似”是121的倍数．121的倍数中，三位数有121、242、363、484、605、726、847、968，共8个．“花相似”中没有重复数字，所以只可能是605、726、847、968之一．依次验证几种情况，发现：当“花相似”是968，那么“⨯年岁”为8，只能分别是1、8或2、4．其中1、8这种情况与“似”等于8矛盾，2、4这种情况满足要求．由第二个算式可以看出，“岁”小于“年”，因此岁2=，年4=．第二个算式为2244÷=÷人不同，已经用过的数字为2、4、6、8、9，所以“人”、“不”、“同”只能在0、1、3、5、7中取，只能分别是5和10．综上所述，“花相似人不同”所代表的六位数是968510．例题6. 答案：83详解：按照混循环小数化分数的方法，3330.339990A B A B-=&&，因此等式变为3332229990a A B -=，即4533399909990a A B -=，可知45333a A B ⨯=-．那么333A B -一定是45的倍数，即为5和9的倍数，因此333A B -计算结果的个位一定是0后者5，那么33A B 的个位一定是3或者8，即3B =或8B =．当3B =时，3333333330A B A A -=-=一定是9的倍数，可知3A =，原数为0.3333L 不符合题意．当8B =时，3333383335A B A A -=-=是9的倍数，可知7A =，原数为0.3738&&，符合题意，可知453735a ⨯=，a 为83．练习1. 答案：2417简答：易知刘是1，且吉是偶数．那么刘吉吉可能是100、122、144、166、188，其中只有144是8的倍数．那么算式应该是7272144+=，要求的四位数是2417．练习2. 答案：1026简答：310262319=⨯⨯．考虑最大的质因数19．等号两边都有19的倍数，可以是19、38、57．1026可以拆成1954⨯、3827⨯或5718⨯．考虑到8个数字互不相同，只能是195438271026⨯=⨯=．练习3. 答案：5和263简答：还有2、3、5和6可以用．71423717=⨯⨯⨯，一位数只能是5．剩下的三位数只能以3结尾，而623是7的倍数，不满足条件，只能是263．练习4. 答案：79简答：棒棒棒是37的倍数，说明等号左边一定有37的倍数，可能是37或74．经验证算式只能是2737=999⨯．作业1. 答案：1223113221⨯=⨯简答：21中有质因数7，所以23应该是7的倍数，只能填1或8，经检验，应填1．作业2. 答案：7，43，529简答：2186023531=⨯⨯⨯，一位数只能是7，另外两个数的末尾只能是3和9．剩下的数字之和除以3余2，只能拆成两个除以3余1的组合，所以4和2、5是分成两组，49是7的倍数，所以两位数只能是43，259是7的倍数，所以三位数只能是529．⨯=⨯=作业3.答案：439278156⨯=⨯=．简答：21562313=⨯⨯，所以是439278156作业4.答案：137=⨯⨯，所以简答：两个重复的三位数组成的六位数一定是1001的倍数，而100171113“钓”、“鱼”、“岛”分别为1、3、7．作业5.答案：235b，b=2，a=235．简答：由分数化循环小数的方法可得，5943a b÷⨯=．所以943。

高斯小学奥数五年级上册含答案_数字谜综合一

第二十讲数字谜综合一在三四年级，我们学过加减法填空格，破译字母、汉字的竖式谜、横式谜，添算符等数字谜问题，其中既有加减法，也有乘除法．它们各有一些特定的解题方法和思路，像加减法的进位、借位、错位，乘除法里面的末位分析、首位及位数的估算等，这些方法我们当然还要进一步的学习和训练．但在这一讲中，我们将主要运用前一阵刚学过的数论知识来解决相应的数字谜问题．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1.已知“BAD BAD GOOD+=”是一个正确的加法算式，其中相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字．已知GOOD不是8的倍数，那么四位数ABGD是多少？「分析」解决数字谜的题目，最关键在于找突破口．本题的突破口在哪里？练习1.在算式“+=路亨路亨刘吉吉”中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．已知刘吉吉是8的倍数，那么四位数亨吉刘路是多少？例题2．从1~9中选出8个数字填入下式的各个方框中，使等式成立．⨯=⨯=952「分析」从算式来看，是要找出两个两位数的乘积为952．但是把952写成两个两位数的乘积，方法非常多，要从中选出两种满足题目条件还是挺麻烦的．我们不妨先把952分解质因数，通过分析它的构成来选出满足题目条件的填法．练习2．从1~9中选出8个数字填入下式的各个方框中，使等式成立．1026⨯=⨯=- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题3．用0至9这10个数字恰好组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个（每个数字只能用一次），且这四个数两两互质．其中的四位数是2940．另外三个数可能是多少？「分析」其中四位数是2940，那么组成另外三个数的6个数字就确定了．这四个数两两互质，那么另外三个数都与2940互质，我们就从2940的质因数构成入手．练习3．用1、2、3、4、5、6、7这7个数字恰好组成一个一位数和两个三位数，每个数字只用一次，使得这三个数两两互质．已知其中一个三位数已填好，它是714，那么其他两个数是多少？在前面的例题中，我们通过分解质因数，分析其质因数的构成，从而解决了问题．那如果没有给出具体的数，而是由数字或字母构成的特殊形式又该如何？是否也能分解质因数呢？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4．数数科学学数学．⨯=在上面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．请问：“数学”所代表的两位数是多少？「分析」对于乘法数字谜问题，我们一般先考虑个位数字．“数”×“学”的个位数字是“学”，但符合这一条件的情况有好几种，讨论的过程会很长．我们不妨再来仔细观察算式，能发现题中的“数数”有什么特点吗？练习4．⨯数好学好=棒棒棒．在上面的乘法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．那么“好棒”所代表的两位数是多少？例题5．在下面两个算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．“花相似人不同”代表的六位数是多少？⨯=年年岁岁花相似÷=÷岁岁年年人不同「分析」“年年”、“岁岁”都是11的倍数，那么“花相似”所代表的三位数又是多少的倍数呢？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -在暑期中，我们学习了分数与循环小数的互化与四则运算，其实在数字谜里面也有分数与循环小数形式的问题．要解决这一类问题，需要我们灵活运用学过的循环小数的相关知识． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题6．已知a 是一个自然数，A 、B 是1至9中的数字，最简分数0.33222a A B =&&．请问：a 是多少？「分析」等式两边一个是分数，一个是循环小数，可以都化成分数来比较．美妙的竖式荣获斯大林奖金的前苏联数学家、教育家柯尔⋅詹姆斯基曾以开发心灵美为题，列举了一些令人叹服的巧妙算法，其中之一如下：⨯=．例：88883333296237048 8 8 8⨯ 3 3 3 32 42 4 2 42 4 2 4 2 42 4 2 4 2 4 2 42 4 2 4 2 42 4 2 42 42 9 6 23 7 0 4这道题如果只是要算出结果，办法有很多，甚至拿计算器一按答案就出来了．但结果并非是重点，趣味性才是它的精髓所在．作业1. 在算式12233221⨯=⨯的两个方框中填入一个相同的数字，使得等式成立且等式关于等号是对称的．作业2. 用0至9这十个数码各1次，组成四位数、三位数、两位数和一位数各1个，并使这四个数两两互质．已知组成的四位数是1860，那么其他的三个数是多少？作业3. 将1~9这九个数字各一个填到下面的横式中，使等式成立（其中1，5，6已经填好）．156⨯=⨯=作业4. 在算式“⨯⨯⨯=钓钓钓鱼岛钓鱼岛钓鱼岛钓鱼岛”中，“钓”、“鱼”、“岛”各代表一个不同的数字，要使算式成立，那么钓鱼岛表示的三位数是多少？作业5. 已知a 是一个自然数，b 是一个1至9中的数字，如果0.43555a b =&&，那么a 是多少？第二十讲数字谜综合一例题1. 答案：3810详解：列竖式，易知D 是0，G 是1，且O 是偶数．那么GOOD 可能是1220、1440、1660和1880，其中1220和1660不是8的倍数，对应的加法算式分别是6106101220+=和8308301660+=，只有第二个满足．那么ABGD 是3810．例题2. 答案：56172834952⨯=⨯=详解：39522717=⨯⨯．考虑最大的质因数17，可知等号两边的两位数中都有17的倍数，可能是17、34、68．那么952可以拆成5617⨯、2834⨯和1468⨯．考虑到8个数字不重复，只能是56172834952⨯=⨯=．例题3. 答案：1、67、583或1、67、853详解：2229402357=⨯⨯⨯，则另外三个数不能有质因数2、3、5、7．其中一位数只能是1．还剩3、5、6、7、8这五个数字．两位数要分情况讨论：（1）个位数字为3，有53、73、83三组符合要求．对应的，三位数的三个数字分别为6、7、8；5、6、8；5、6、7．经检验，均不符合要求．（2）个位数字为7，有37、67两组符合要求．对应的，三位数的三个数字分别为5、6、8；3、5、8．经检验，有583、 853符合要求．综上所述，一共有：1、67、583；1、67、853两组答案．例题4. 答案：16详解：数数是11的倍数，所以学数学也是11的倍数．三位数中满足学数学这种形式，又是11的倍数的数有：121、242、363、484、616、737、858、979．依次验证几种情况，发现：当学数学为616，那么“学”为6，“数”为1，“⨯=数数科学学数学”变为“116616⨯=科”，可知“科”为5，符合题意．其它情况逐一检验，没有符合题目要求的答案．所以“数学”代表的两位数为16．例题5. 答案：968510详解：第一个算式可以变为“121⨯⨯=年岁花相似”，所以“花相似”是121的倍数．121的倍数中，三位数有121、242、363、484、605、726、847、968，共8个．“花相似”中没有重复数字，所以只可能是605、726、847、968之一．依次验证几种情况，发现：当“花相似”是968，那么“⨯年岁”为8，只能分别是1、8或2、4．其中1、8这种情况与“似”等于8矛盾，2、4这种情况满足要求．由第二个算式可以看出，“岁”小于“年”，因此岁2=，年4=．第二个算式为2244÷=÷人不同，已经用过的数字为2、4、6、8、9，所以“人”、“不”、“同”只能在0、1、3、5、7中取，只能分别是5和10．综上所述，“花相似人不同”所代表的六位数是968510．例题6. 答案：83详解：按照混循环小数化分数的方法，3330.339990A B A B-=&&，因此等式变为3332229990a A B -=，即4533399909990a A B -=，可知45333a A B ⨯=-．那么333A B -一定是45的倍数，即为5和9的倍数，因此333A B -计算结果的个位一定是0后者5，那么33A B 的个位一定是3或者8，即3B =或8B =．当3B =时，3333333330A B A A -=-=一定是9的倍数，可知3A =，原数为0.3333L 不符合题意．当8B =时，3333383335A B A A -=-=是9的倍数，可知7A =，原数为0.3738&&，符合题意，可知453735a ⨯=，a 为83．练习1. 答案：2417简答：易知刘是1，且吉是偶数．那么刘吉吉可能是100、122、144、166、188，其中只有144是8的倍数．那么算式应该是7272144+=，要求的四位数是2417．练习2. 答案：1026简答：310262319=⨯⨯．考虑最大的质因数19．等号两边都有19的倍数，可以是19、38、57．1026可以拆成1954⨯、3827⨯或5718⨯．考虑到8个数字互不相同，只能是195438271026⨯=⨯=．练习3. 答案：5和263简答：还有2、3、5和6可以用．71423717=⨯⨯⨯，一位数只能是5．剩下的三位数只能以3结尾，而623是7的倍数，不满足条件，只能是263．练习4. 答案：79简答：棒棒棒是37的倍数，说明等号左边一定有37的倍数，可能是37或74．经验证算式只能是2737=999⨯．作业1. 答案：1223113221⨯=⨯简答：21中有质因数7，所以23应该是7的倍数，只能填1或8，经检验，应填1．作业2. 答案：7，43，529简答：2186023531=⨯⨯⨯，一位数只能是7，另外两个数的末尾只能是3和9．剩下的数字之和除以3余2，只能拆成两个除以3余1的组合，所以4和2、5是分成两组，49是7的倍数，所以两位数只能是43，259是7的倍数，所以三位数只能是529．⨯=⨯=作业3.答案：439278156⨯=⨯=．简答：21562313=⨯⨯，所以是439278156作业4.答案：137=⨯⨯，所以简答：两个重复的三位数组成的六位数一定是1001的倍数，而100171113“钓”、“鱼”、“岛”分别为1、3、7．作业5.答案：235b，b=2，a=235．简答：由分数化循环小数的方法可得，5943a b÷⨯=．所以943。

五年级高斯奥数之余数含答案

第16讲余数内容概述掌握余数酌概念与基本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法．学会利用余数的可加性、可减性和可乘性计算余数；学会运用同期性处理各类余数计算问题；学会求解“物不知数’问题．典型问题兴趣篇1.72除以一个数，余数是7．商可能是多少？2.100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？3.20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？4.4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193.规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？5．某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：最后一包有多少个零件？6．(1)220除以7的余数是多少？(2)1414除以11的余数是多少？(3)28121除以13的余数是多少？7．8+8⨯8+ +8⨯8⨯ ⨯810个8除以5的余数是多少？8．一个三位数除以21余17，除以20也余17.这个数最小是多少？2．(1) 421421 421除以 4 和 125 的余数分别是多少？ (2) 808808 808 除以 9 和 11 的余数分别是多少？4．自然数 2 ⨯ ⨯ 2 -1 的个位数字是多少？9．有一个数，除以 3 的余数是 2，除以 4 的余数是 1．请问：这个数除以 12 余数是几？10．100 多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按 1，2，3，…，11 的顺序循环报数，最后一名同学报的数是 9；如果按 1，2，3，…，13 的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是 11.请问：一共有多少名小朋友？拓展篇1．1111 除以一个两位数，余数是 66. 求这个两位数．21个421 21个8083．一年有 365 天，轮船制造厂每天都可以生产零件 1234 个，年终将这些零件按 19 个一包的规格打包，最后一包不够 19 个．请问：最后一包有多少个零件？2 ⨯ 2 ⨯ 67个2 5．算式12007 + 22007 + 32007 + + 2006 2007 计算结果的个位数是多少？6．一个自然数除以 49 余 23，除以 48 也余 23.这个自然数被 14 除的余数是多少？7．一个自然数除以 19 余 9，除以 23 余 7．这个自然数最小是多少？9．123123 123 除以 99 的余数是多少？7 ⨯ 7 ⨯ ⨯ 78．刘叔叔养了 400 多只兔子，如果每 3 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 2只；如果每 5 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 4 只；如果每 7 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 5 只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？123个12310．把 63 个苹果，90 个橘子，130 个梨平均分给一些同学，最后一共剩下 25 个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？11．有一个大于 l 的整数，用它除 300、262、205 得到相同的余数，求这个数．12．用 61 和 90 分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数是后一次的 2 倍，如果这个数大于 1，那么这个数是多少？超越篇1．从 l 依次写到 99，可以组成一个多位数 12345…979899.这个多位数除以 11 的余数是多少？2．算式 7 + 7 ⨯ 7 + +计算结果的末两位数字是多少？ 2008个73．算式1⨯ 3 ⨯ 5 ⨯ 7 ⨯ ⨯ 2007 计算结果的末两位数字是多少？4．有 5000 多根牙签，按以下 6 种规格分成小包：如果 10 根一包，最后还剩 9 根；如果 9 根一包，最后还剩 8 根；如果依次以 8、7、6、5 根为一包，最后分别剩 7、6、5、4 根．原来一共有牙签多少根？5．有三个连续的自然数，它们从小到大依次是5、7、9的倍数，这三个连续自然数最小是多少？6．请找出所有的三位数，使它除以7、11、13的余数之和尽可能大．7．已知21!AB0909421717094CD000.那么四位数ABCD是多少？8．有一些自然数n，满足：2n-n是3的倍数，3n-n是5的倍数，5n-n是2的倍数，请问：这样的，n中最小的是多少？第12讲余数内容概述掌握余数的概念与基本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法．学会利用余数的可加性、可减性和可乘性计算余数；学会运用同期性处理各类余数计算问题；学会求解“物不知数’问题．典型问题兴趣篇1.72除以一个数，余数是7．商可能是多少？【答案】1或5【解析】72-7=65，再分解质因数65＝5×13，还有1×65＝65，所以商可能是1或52.100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？【答案】8或16【解析】100和84同余，做差后是这个数的倍数，100-84=16，所以这个除数可能是8或16 3.20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？【答案】8；0，8；0【解析】一个数除以9的方法：各位数字之和除以9，2+8+8+8=26，26÷9=2…8；除以8的方法：末三位除以8，808÷8=101…0；除以25的方法：末两位除以25，8÷25=0…8；除以11的方法：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差除以11，2+0+0+0=2，0+8+8+8=24，24-2=22，22÷11=2 04.4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193.规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？【答案】5【解析】1+0+1=2，2÷3=…2，1+2+6=9，9÷3=…0，1+7+3=11，11÷3=…2，1+9+3=13…1，最多打了5盘5．某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：最后一包有多少个零件？【答案】168 ⨯ 8 ⨯ ⨯ 8 【解析】余数问题，求 128×23×300÷17 的余数128÷17=7...9 23÷17=1...6 300÷17=17 (11)9×6×11=594 594÷17=34 (16)6．(1) 220 除以 7 的余数是多少？(2) 1414 除以 11 的余数是多少？(3) 28121 除以 13 的余数是多少？【答案】（1）4；（2）4；（3）2【解析】因为 23 除以 7 的余数是 1，20=3×6+2，所以 220 除以 7 的余数就是 22 除以 7 的余数即为 4；同理，1414 除以 11 的余数是 4；28121 除以 13 的余数是 27． 8 + 8 ⨯ 8 + +除以 5 的余数是多少？ 10个8【答案】2【解析】根据余数的和等于和的余数的方法，除以 5 的余数是 28．一个三位数除以 21 余 17，除以 20 也余 17.这个数最小是多少？【答案】437【解析】最小公倍数问题，【21，20】＝420，再加上 17，这个数最小是 4379．有一个数，除以 3 的余数是 2，除以 4 的余数是 1．请问：这个数除以 12 余数是几？【答案】5【解析】除以 3 的余数是 2 的数是 5，而 5 恰好除以 4 余 1，5 除以 12 余数是 510．100 多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按 1，2，3，…，11 的顺序循环报数，最后一名同学报的数是 9；如果按 1，2，3，…，13 的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是 11.请问：一共有多少名小朋友？【答案】141【解析】根据题意，可转化为一个 100 多的数除以 11 余 9，除以 3 余 11，所以先求 11 和 13 的最小公倍数，再减去 2 就是所求，一共有 141 名小朋友拓展篇1．1111 除以一个两位数，余数是 66. 求这个两位数．【答案】95【解析】先从 1111 里减去余数 66，再分解质因数，所求的两位数要大于余数 66，所以是2．(1) 421421 421除以 4 和 125 的余数分别是多少？ (2) 808808 808 除以 9 和 11 的余数分别是多少？4．自然数 2 ⨯ ⨯ 2 -1 的个位数字是多少？ 9521个42121个808 【答案】（1）1，46；（2）3，5【解析】（1）21÷4=5…1；421÷125=3…46；（2）（8+8）×21÷9=37…3；808808÷11 余 0，最后还剩一个 808，8+8=16，16÷11 余 53．一年有 365 天，轮船制造厂每天都可以生产零件 1234 个，年终将这些零件按 19 个一包的规格打包，最后一包不够 19 个．请问：最后一包有多少个零件？【答案】15【解析】先求出一年的总数，再除以 19 余数为 152 ⨯ 2 ⨯ 67个2【答案】7【解析】找出 2 的 n 次方的个位数字的周期，2，4，8，6…，再看 67 除以 4 的余数是 3，所以个位数字是 8－1＝75．算式12007 + 22007 + 32007 + + 2006 2007 计算结果的个位数是多少？【答案】1【解析】每个数乘方的个位数字的周期是 4，2007 除以 4 余 3，所以原式就与 1 到 2006 的 3 次方的个位数字是一样的，以 10 个数为一个周期列出为 1，8，7，4，5，6，3，2，9，0…， 2006 除以 10 余数为 6，所以前 6 个的和即是所求 1＋8＋7＋4＋5＋6＝31，所以个位数字是 16．一个自然数除以 49 余 23，除以 48 也余 23.这个自然数被 14 除的余数是多少？【答案】9【解析】【49，48】＋23＝2375，被 14 除余 97．一个自然数除以 19 余 9，除以 23 余 7．这个自然数最小是多少？9．123123 123 除以 99 的余数是多少？【答案】237【解析】7+23k -9 能被 19 整除，最小为 2378．刘叔叔养了 400 多只兔子，如果每 3 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 2 只；如果每 5 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 4 只；如果每 7 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 5 只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？【答案】404【解析】根据题意是一个 400 多的数除以 3 余 2，除以 5 余 4，除以 7 余 5，最后所求的数是 404123个123【答案】90【解析】6 个 123 能被 99 整除，123 里有 20 个 6 余 3，所以 123123123 除以 99 余数是 9010．把 63 个苹果，90 个橘子，130 个梨平均分给一些同学，最后一共剩下 25 个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？【答案】20【解析】三个数分别的余数不知道，但是余数的和是 25，可以把这三个数相加，根据余数的和等于余数的和来计算，63＋90＋130－25＝258，再分解质因数，最后剩下个数最多的水果剩下 20 个11．有一个大于 l 的整数，用它除 300、262、205 得到相同的余数，求这个数．【答案】19【解析】根据同余的两个数的差能被这个数整除，300－262＝38，262－205＝57，再求（38，57）＝1912．用 61 和 90 分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数是后一次的 2 倍，如果这个数大于 1，那么这个数是多少？【答案】17【解析】先把余数变相同，再作差求解即可。

高斯小学奥数五年级上册含答案_余数的性质与计算

第二十一讲余数的性质与计算37』桂除的余数足多少？我知沽玳，余数昂7!^1这一讲我们来学习余数问题.在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况. 当不能整除时，就会产生余数.一般地，如果a是整数，b是整数（b丰0）,若有a+ b=q r （也就是a b q r ）, 0当r 0 时，我们称a 能被b 整除；当r 0 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的商余数问题和整除问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起了．余数有如下一些重要性质．基本性质：被除数=除数X商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）*商；商=（被除数-余数）十除数.余数小于除数．理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题1．用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被除数和除数各是多少？「分析」如果设除数为a,被除数可以表示为什么？练习1．甲、乙两数的和是2014,甲数除以乙数商99余14,求甲、乙两数．我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除特性．这些数的整除特性稍加改造,即可成为求解余数的一类简便算法：1）一个数除以2或5的余数,等于这个数的个位数字除以2或5的余数；一个数除以4或25的余数,等于这个数的末两位数除以4或25的余数；一个数除以8或125的余数,等于这个数的末三位数除以8或125 的余数；2）一个数除以3或9的余数,等于这个数的各位数字和除以3或9的余数；一个数除以99（包括11、33）的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数；此外,求3和9的余数还可应用乱切的方法．（3）一个数除以11 的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11 再减即可．（4）一个数除以7、11和13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11 和13 的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个7、11 或13再减即可．这种利用整除特性来计算余数的方法叫做特性求余法．例题2．1）20132013 除以4和8 的余数分别是多少？2）20142014 除以3和9 的余数分别是多少？分析」根据4、8、3、9 的特性，可以很快计算出结果．练习2．（1）20121221 除以5和25 的余数分别是多少？（2）20130209 除以3和9 的余数分别是多少？例题3．（1）123456789 除以7和11的余数分别是多少？87654321 呢？（2）360360360 除以99 的余数是多少？「分析」根据7、1、99 的特性，可以计算出结果．在截断的时候要特别小心．练习3．201420132012 除以13和99 的余数分别是多少？为了更好地了解余数的其它一些重要性质，我们再来做几个练习：1）211除以9的余数是 _______ ；（2）137除以9的余数是_________(3) 211 137的和除以9的余数是___________ ; ( 4) 211 137的差除以9的余数是(5)211 137的积除以9的余数是__________ ; (6) 1372除以9的余数是________比较上面的结果，我们发现余数还有一些很好的性质：和的余数等于余数的和；差的余数等于余数的差；积的余数等于余数的积•这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性•在计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性每个数都用它除以7的质进行简算.例如计算33 37 15 80的结果除以7的余数就可以像右侧这样计算•这一简算方法又称替换求余法•需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗上口，但并不严格，在使用时还需要注意：(1)如果替换之后余数的计算结果大于除数，还需要再次计算结果的余数.例如：在计算423 317除以6的余数时，利用“和的余数等于余数的和”，结果就变成了3 5 8, 8 6，所以还需要再次计算8除以6的余数是2,才是423 317除以6最后的余数•再比如：在计算423 317除以6的余数时，也会遇到3 5 15 6的情况，同样的还需要计算15除以6的余数是3，才是最终的结果.(2)在计算减法时，会出现余数不够减的情况，这时只要再加上除数或除数的倍数即可•例如：在计算423 317除以6的余数时，会发现结果变成了3 5不够减.此时，只要再加上6,用6 3 5 4来计算即可.例题4.一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个•年终将这些零件按6个一包的规格打包，最后一包不够6个.请问：最后一包有多少个零件？「分析」最后一包的零件数实际上就是零件总数除以19的余数.练习4．（1）123 456 789除以111 的余数是多少？（2）224468 6678 的结果除以22 余数是多少？如果我们将“特性求余法”和“替换求余法”相结合，便可大大简化余数的计算．例题5．（1）87784 49235 81368除以4、9 的余数分别是多少？（2）365366+367368 369370除以7、11、13的余数分别是多少？「分析」要把结果算出来，再求余数，计算量很大．看看如何利用“替换求余”以及“特性求余”的方法来进行求解．例题6．（1）2100的个位数字是多少？32014除以10 的余数是多少？（2）32014除以7 的余数是多少？「分析」一个数的个位数字就是它除以10 的余数，大家来找一下个位数字的变化规律．小熊分粽子今天是端午节，猴爸爸一大早就领着猴儿们去观看龙舟比赛。

高斯小学奥数五年级上册含答案_直线形计算中的比例关系

第十八讲直线形计算中的比例关系- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -在前面的讲次中我们已经学习了两个等高三角形之间的倍数关系，下面我们复习一下其中的基本结论．如图所示，对于三角形ABD 与三角形BDC ，它们有共同的高BH ，可知ABD ADBDC DC=三角形的面积三角形的面积．例题1．如图，AE :EB =3:2，CD :DB =7:5，三角形ABC 的面积是60，求三角形AED 的面积．「分析」图中是否有等高的三角形？练习1．如图，:2:5CE AE =，:7:5CD DB =三角形ABC 面积为120，求三角形AED 的面积．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -在前面的漫画中我们认识了“小黎飞镖”．把“飞镖”立起来（如图），标好字母，会发现两个三角形：三角形ADE 与三角形ABC ．这两个三角形有一个公共的角A ，并且角A 的两边AD 、AE 分别在AB 、AC 上．对于符合这种情况的三角形ADE 与三角形ABC ，我们称之为“共角三角形”．AB B对于这两个“共角”的三角形，它们的面积之比等于对应两边长度之比的乘积，例如：在“小黎飞镖”中，有ADE AD AEABC AB AC=⨯三角形的面积三角形的面积．（同学们，可以想一想如何来证明这个结论．提示：连结四边形BDEC 的一条对角线）例如：如果在“小黎飞镖”中，D 点是AB 上靠近B 的3等分点，E 点是AC 上靠近A 的3等分点，那么23AD AB =，13AE AC =，那么三角形ADE 的面积就是三角形ABC 面积的212339⨯=．有了这个结论，在解决一些问题时，就方便很多了．请看下面的问题．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题2．如图，在三角形ABC 中，AD 的长度是BD 的3倍，AC 的长度是EC 的3倍．三角形AED 的面积是10，那么三角形ABC 的面积是多少？「分析」△ADE 占△ABC 的几分之几？应该怎么利用鸟头模型来计算？练习2．三角形ABC 中，BD 的长度是AB 的14，AE 的长度是AC 的13．三角形AED 的面积是8，那么三角形ABC 的面积是多少？例题3．如图，已知长方形ADEF 的面积是16，BE =3BD ，CE =CF ．请问：三角形BEC 的面积是多少？「分析」鸟头模型中有两个共角的三角形，可是在本题中只有一个三角形，另外一个三角形应该怎么构造呢？CCF练习3．如图，长方形ABCD 的面积是48，BE :CE =3:5，DF :CF =1:2．三角形CFE 的面积是多少？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -接着，我们来看一看在任意四边形中三角形之间的面积关系．如图，对于一个任意的四边形ABCD ，连结对角线AC 和BD ，将整个四边形分成4个小三角形，由等高三角形的基本结论，我们可以得到如下关系：- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4．如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成4个部分．三角形BOC 的面积是2平方千米，三角形COD 的面积是3平方千米，三角形AOB 的面积是1平方千米．如果公园由大小为6.9平方千米的陆地和一块人工湖组成，那么人工湖的面积是多少平方千米？「分析」△BOC 、△COD 和△AOB 的面积都知道了，那么△AOC 的面积是多少呢？练习4．四边形ABCD 中，AC 、BD 两条对角线交于O 点，三角形ABO 的面积为6，三角形AOD 的面积为8，三角形BOC 的面积是15，那么四边形ABCD 的面积是多少？ABCDO S 1S 2 S 3S 414142323S S S S BO DO S S S S +===+ 12124343S S S S AO CO S S S S +===+ 1324S S S S ⨯=⨯A B CD E FA例题5．如图，△ABC 的面积是36，并且13AE AC =，14CD BC =，15BF AB =，试求△DEF 的面积．「分析」同学们能从图形中发现“共角三角形”吗？如何利用这些三角形来计算呢？例题6．图中四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于O 点，如果△ABD 的面积是30平方厘米，△ABC 的面积是48平方厘米，△BCD 的面积是50平方厘米．请问：△BOC 的面积是多少？「分析」题目中给出了3个大三角形的面积，能不能找出四个小三角形之间的面积关系呢？A B CDE F C DAOB三角形中的五心重心：三角形各边上的中线交于一点，称为三角形重心；垂心：三角形各边上的高交于一点，称为三角形垂心；外心：三角形各边上的垂直平分线交于一点，称为三角形外心；内心：三角形三内角平分线交于一点，称为三角形内心；旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，称为三角形旁心．1. 如图，△ABC 中，BD 的长度是AB 的23，如果△ABC 的面积为15，那么△ADC 的面积是多少？2. 如图，:4:3AE EB =，:3:1CD DB =，三角形ABC 的面积是84，三角形AED 的面积是多少？3. 如图，:1:4AD DB =，:1:5AE EC =，如果△ABC 的面积是120，那么△ADE 的面积是多少？4. 如图所示，在长方形ABCD 中，DE CE =，2CF BF =，如果长方形ABCD 的面积为18，那么阴影部分的面积是多少？5. 如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 两条对角线交于O 点，△ADO的面积为30，△ABO 的面积为6，△DOC 的面积是20，那么四边形ABCD 的面积是多少？C第十八讲直线形计算中的比例关系例题1. 答案：15详解：因为三角形ACD 与三角形ADB 同高，所以::7:5ACD ADB S S CD DB ∆∆==，所以三角形ADB 面积为25；同理，三角形AED 与三角形BED 等高，所以::3:2AED BED S S AE EB ∆∆==，所以三角形AED 面积为15．例题2. 答案：20详解：AD 是AB 的34，AE 是AC 的23．根据鸟头模型，有△ADE 面积是△ABC 面积的321432⨯=．那么△ABC 的面积是20．例题3. 答案：3详解：连结DF ，根据鸟头模型，可知△BCE 面积是△DEF 面积的313428⨯=．那么△BCE 的面积是1316328⨯⨯=．例题4. 答案：0.6详解：由题意，:::BOC COD BOA DOA S S BO OD S S ∆∆∆∆==，三角形BOC 面积为2平方千米，三角形COD 面积为3平方千米，三角形BOA 面积为1平方千米，则三角形AOD 面积是1.5平方千米，陆地总面积6.9平方千米，则人工湖面积为231 1.5 6.90.6+++-=平方千米．例题5. 答案：15详解：由鸟头模型可得，414836535AEF S ∆=⨯⨯=，132736545BFD S ∆=⨯⨯=，1236643CDE S ∆=⨯⨯=，48273661555DEF S ∆=---=．例题6. 答案：30详解：::3:5ABD BCD AO CO S S ∆∆==，所以5308BOC ABC S S ∆∆=⨯=平方厘米．练习1. 答案：50简答：△ACD 的面积是()12075770÷+⨯=，△AED 的面积是()7025550÷+⨯=．练习2. 答案：32简答：3183243⎛⎫÷⨯=⎪⎝⎭．练习3.答案：10简答：1524810283⨯⨯⨯=．练习4.答案：49简答：△COD的面积是815620⨯÷=，四边形ABCD的面积为68152049+++=．作业1.答案：5简答：由BD的长度是AB的23得:1:3AD AB=，那么三角形ADC的面积为11553⨯=．作业2.答案：12简答：由于:3:1CD DB=，三角形ABC的面积是84，可知三角形ADB的面积为84(31)21÷+=，又由于:4:3AE EB=，可知三角形AED的面积为21(43)412÷+⨯=．作业3.答案：4简答：由已知条件得:1:5,:1:6AD AB AE AC==，利用“共角三角形”得三角形AED的面积是11 120456⨯⨯=．作业4.答案：6简答：由于长方形ABCD的面积为18，可知三角形BCD的面积为9，三角形CEF为三角形BCD的121233⨯=，那么阴影部分的面积是19163⨯-=（）．作业5.答案：60简答：利用任意四边形的结论得三角形BOC的面积是：620304⨯÷=，所以四边形ABCD 的面积是62030460+++=．。

高斯小学奥数五年级上册含答案_物不知数与同余

第二十二讲物不知数与同余农孙子算经〉是南北朝时一邮董要的数学苕诈，为我国古代伸经十书》之一• 三人阳行七十稀五树梅花廿一枝七子团圆正半月除百零五便得知除以3余N 除以5余汝除以7定2CP 2书中右一道暑皂的題目、我们称之为“物不知数冋题“ •这過题的实质圧一个余数问翹, 我国古代的学者很早就研究这个问题的斛注.我国明朝的数学家程人位柱抱暑的农算法统宗》中' 就用了四旬很通倍的口诀暗承了竝且的解法.IWWL 你能知道程大位先生口诀里的盍思叫？故事中的余数问题就是我们今天要研究的 “物不知数” 问题，也称为中国古余数问题．简单来说，这类问题就是先知道了除数和余数，反求被除数的问题．通常在不同的题目中，余数限制条件的数量也是不同的，但都是从一个条件入手，逐个条件的去满足．例题 1．（1）一个数除以 21 余 17，除以 20 也余 17．这个数最小是多少？第二小是多少？（2）一个数除以 11 余 7，除以 10 余 6．这个数最小是多少？第二小是多少？「分析」（1）这个数除以 21和20都余 17，那么减去 17以后得到的差跟 21和 20有什么关系呢：（2）除以 11和 10 的余数不一样，所以不能同时减去一个数了．反方向考虑一下？练习 1．4余 3，除以 5也余 3，这个自然数最小是多少？5余 1，除以 7余3，这个自然数最小是多少？例题 2．（1）一个三位数除以 8 余 3，除以 12 也余 3．这个三位数最小是多少？（2）一个三位数除以 6 余 1，除以 10 余 5．这个三位数最小是多少？「分析」看起来和例题 1没有太多区别．不过要小心哦， 8和12 的最小公倍数是 8 12 96 吗？练习 2．一个三位数除以 4 余 3，除以 6 也余 3．这个三位数最大是多少？例题 3．（1）一个数除以 7余2，除以 11余 1．这个数最小是多少？（2）有一队解放军战士，人数在 150 人到 200 人之间，从第一个开始依次按 1，2，3， L ，9 的顺序报数，最后一名战士报的数是 3；如果按 1，2，3，L ，7 的顺序报数，最后一名战士报的数是 4．请问：一共有多少名战士？「分析」所求自然数要满足两个余数条件，直接处理并不容易，但我们可以先让它满足其中一个余数条件，在此前提下满足另一个余数条件．练习3.一个三位数除以5余2,除以7余3.这个三位数最小是多少?1）一个自然数除以 2）一个自然数除以如果两个数除以同一个数，所得的余数相同，我们称这两个数同余•例如195除以9余6, 15除以9也余6,我们就说“ 195和15除以9同余”.我们之前总结的余数性质以及余数的可替代性都是在同余的前提下进行的，例如195与它的数字和除以9是同余的，1135与它的末两位数字除以4是同余的•而处理余数问题的方法，除了用余数性质、余数可替代性以及分解求余几种方法以外，我们还有一个极其有用的手段：转化成整除问题！195与15除以9的时候同余，195 15 180则是9的倍数；1135与35除以4的时候同余，贝U 1135 35 1100是4的倍数•也就是说：［如果两个数除以第三个数余数相同，则这两个数的差能被第三个数整除•反之亦然.例题4.(1)1024除以一个两位数，余数为23，那么这个两位数可能是多少？(2)100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0•这个除数可能是多少？「分析」(1 )由被除数除数商L余数，被除数是1024,余数是23,说明除数和商要满足什么条件？ ( 2)利用同余的定义就可以解决这个问题.练习4.(1 )用150除以一个整数，所得余数是15,请问：这个除数可能是多少？(2) 80和56除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0•这个除数可能是多少?例题5.刘叔叔养了400多只兔子.如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只; 如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里也有2只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只•请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？「分析」兔子数量要满足哪些余数条件？例题6．把63 个苹果，90个桔子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25 个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？「分析」这些同学一共分了多少个水果？人数和分掉的水果数有什么关系？未来的数学家节选自《怎样解题》乔治波利亚未来的数学家应该是一个聪明的解题者，但仅仅做一个聪明的解题者是不够的. 在适当的时候，他应该去解答重大的数学题目，而首先他应该搞清楚他的天资特别适合于哪种类型的题目对他来说，工作中最重要的那部分就是回去再看一下完整的解答. 通过考察他的工作过程和最后的解答形式，他会发现要认识的东西真是千变万化，层出不穷.他可以深思题目的困难之处及决定性的观念，他可以尝试去了解是什么阻碍了他，又是什么最后帮助了他.他可以注意寻找简单直观的念头：你能一眼就看出它来吗？他可以比较和发展各种方法：你能以不同的方式推导这个结果吗？他可以尝试通过将当前的题目和以前的解过的题目作比较以使当前的题目更加清晰. 他可以尝试创造一些新题目，而这些新题目可以根据他刚刚完成的工作解答出来：你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？如果他对解答过的题目尽可能地完全消化吸收，他就可以获得井然有序的知识，以备今后随时调用.和其他所有人一样，未来的数学家通过模仿和练习来学习. 他应该注意寻找正确的模范；他应该觉察到一个能激励人心的教师；他应该和一位能干的朋友竞赛. 然后，可能最重要的是，他不仅应该阅读通用的教材，还应阅读优秀作者的作品，直到他找到一个作者，其方式是他天生倾向于模仿的.他应该欣赏和寻求在他看来简单的或有启发性的或美的东西. 他应该解题，选择适合他思路的那些题目，思考它们的解答，并创造新的题目. 他应该通过这些方法及所有其他方法来努力做出他的第一个重大发现：他应该发现自己的好恶、趣味以及自己的思路.陶哲轩（1975-）澳籍华裔数学家，“菲尔兹”奖获得者. 13岁成为国际奥林匹克数学金牌得主. 20岁获得普林斯顿大学博士学位. 24岁成为加利福尼亚大学洛杉矶分校有史以来最年轻的正教授. 2006年，31岁时获得数学界的诺贝尔奖“菲尔兹”奖•目前已发表超过230篇学术论文.作业 1. 在小于50的数中,与67 除以11 同余的数有哪些？作业2. 一个自然数除以7余3,除以27余5,这个自然数最小是多少？作业3. 2025除以一个两位数,余数是75,这个两位数是多少？作业4. 1986和2011 这两个数除以同一个两位数,得到相同的余数,这个两位数是多少？作业 5. 韩信点兵：有兵四五百,五五数之余三,七七数之余四,九九数之余五.那么这队兵有多少人？第二十二讲物不知数与同余例题1. 答案：（1）17；437．（2）106；216详解：（1）这是一道余同的问题．这个数最小是17，第二小是[21,20] 17 437 ．（2）这是一道缺同的问题．这个自然数加上4 即可被11 和10 整除，[11,10] 110 ，因此这个数最小为110 4 106 ．第二小的是110 2 4 216 ．例题2. 答案：（1）123．（2）115详解：（1）这是一道余同的问题．满足条件的数可表示为[8,12] n 3，其中n 为自然数．要求满足条件的最小三位数，应令n 为5，即[8,12] 5 3 123 ．（2）这是一道缺同的问题．满足条件的数可表示为[6,10] n 5，其中n 为自然数．要求满足条件的最小三位数，应令n 为4，即[6,10] 4 5 115 ．例题3. 答案：（1）23；（2）165详解：（1）采用逐步满足条件法•满足第二个条件的数为1, 12 , 23,……发现23同时满足第一个条件，因此这个数最小是23；（2）战士的人数除以9余3，除以7余4，满足这两个条件最小的数是39,不断加63,直到满足限制条件,最后得到165．例题4. 答案：（1）77、91；（2）16、8详解：（1）1024 23 1001 ,可知除数是1001 的约数．其中大于23的有77和91；（2）100 84 16,可知除数是16的约数,可能是1、2、4、8和16．但因为余数不为0, 只能是16和8．例题5. 答案：467详解：兔子数除以3余2,除以5余2,除以7余5．所有满足前两个条件的数为2 [3,5] n, 其中n为自然数，即2, 17, 32, 47,……其中47同时满足第三个条件•所有满足条件的数为47 [3,5,7] n，其中n为自然数.n取4时满足条件，为467.例题6. 答案：20 详解：从整体的角度出发考虑问题, 水果总数减去没有分出去的水果数, 得到的数应为学生数的倍数.63 90 130 25 258 , 258 的约数有1、2、3、6、43、86、129、258, 其中43满足条件.苹果剩下20个，桔子剩下4个，梨剩下1个，因此剩下个数最多的水果剩下20 个.练习1. 答案：（1）3.（2）31 简答：（1）这个自然数减去3以后是4和5的公倍数,所以最小是3；（2）这个自然数加上4 以后是5 和7 的公倍数,所以最小是31.练习2. 答案：999 这是一道余同的问题.满足条件的数可表示为[4,6] n 3,其中n 为自然数.要求满足条件的最大三位数,应令n 为83,即[4,6] 83 3 999.练习3. 答案：122简答：使用逐步满足条件法，满足第一个条件的数依次为2、7、12、17，17 正好除以7 余3，那么同时满足两个条件的数最小是17．然后依次为52、87、122．最小是三位数是122．练习4. （1）27、45、135；（2）24、12、6、3简答：（1）150 15 135，除数是135 的约数．其中大于15 的有135、45和27；（2）80 5624 ，除数是24 的约数，可能是1、2、3、4、6、8、12 和24．但要满足余数不为0，除数只能是3、6、12 和24．作业1. 答案：1，12，23，34，45 简答：除以11 的余数都是1．作业2. 答案：59简答：除以27余5的数有5、32、59、…，其中除以7余3的第一个数是59.作业3. 答案：78 简答：这个两位数是2025 75 1950的约数，其中比75 大的只有78.作业4. 答案：25 简答：这个两位数是2011 1986 25 的约数，只能是25.作业5. 答案：473简答：先列出除以9余5的数，从中找除以7余4的数，再从剩下的数中找除以5余3 的数.。

高斯小学奥数五年级上册含答案_列方程解应用题

第二十四讲列方程解应用题---------------------------------------------------------------------方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具，利用方程我们可以解决生活、学习和生产中的很多实际问题．其思想如图所示：实际问题设未知数列方程数学问题（方程）解方程实际问题的答案检验列方程解应用题的方法和步骤数学问题的解步骤审题设元要求读懂题目、弄清题意、找出能够表示应用题全部含义的相等关系，分清已知数和未知数①设未知数②把所求的量用未知数表示③把各个量用含未知数的式子表示要注意的问题审题是分析解题的过程，解题程序中不用体现出来①设未知数一般是问什么，就直接设什么，即直接设元②直接设元有困难，可以间接设元出来列方程根据等量关系列出方程③设未知数时，必须写清未知数的单位方程两边所用的单位需一致解方程检验作答解出这个方程的解，求出未知数的值把方程的解代入方程检验，或根据实际问题进行检验写出答案，作出结论如果是间接设元，求出的未知数还需要利用其他算式得到所求的量检验的步骤在解题程序中不用写出来方程的解要符合实际情况，否则无解这一步在列方程解应用题中必不可少，是一种规范要求（练一练用含有字母的式子填空：1. （1）x 的 5 倍：_______； 2）x 的 k 倍：_______；2. 一块橡皮的单价是 x 元，笔盒的单价是橡皮的单价的 8 倍，那么笔盒的单价是_______元；3. 一辆摩托车的速度是 v 千米/小时，那么它 t 小时行驶的路程为_______千米；4. 某商店原有 5 袋大米，每袋大米为 x 千克，上午卖出 3 袋，下午又购进同样包装的大米 4 袋，进货后这个商店有大米_______千克．选择合适的量设为未知数，并列出方程：5. 环形跑道一周长 400 米，沿跑道跑多少圈，可以跑 3000 米？6. 一个梯形的下底比上底多 2 厘米，高是 5 厘米，面积是 40 平方厘米．求上底．7. 甲种铅笔每枝 0.3 元，乙种铅笔每枝 0.6 元，用 9 元钱买了两种铅笔共 20 枝，两种铅笔各买了多少枝？下来我们就来看看如何用一元一次方程解应用题．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1．一次考试，小高比萱萱高 6 分，但是比卡莉娅低 3 分，他们 3 人的平均分为 91 分．请问：小高考了多少分？「分析」列方程的第一步是设未知数，本题中应该设什么为 x ？练习 1．甲数比乙数的 3 倍还少 6，两数的平均数是 43．那么乙数是多少？例题2．阿范和阿统吃饺子，阿范一共要吃90个，而阿统一共要吃100个．如果阿范每分钟吃3个饺子，阿统每分钟吃5个饺子，经过若干分钟后，阿范剩下的饺子数比阿统剩下的饺子数的2倍少5个．请问：这时阿范和阿统各吃了多少个饺子？「分析」如果设吃的饺子数为x，方程就会很不好列．不妨换个角度，设经过的时间为x分钟．练习2．箱子里有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的3倍多2只．每次从箱子里取出7只白球和15只红球．经过若干次以后，箱子里剩下3只白球和53只红球．那么箱子里原有红、白球各多少个？例题3．给某班分苹果，第一组每人3个，第二组每人4个，第三组每人5个，第四组每人6个．已知第二组和第三组共有22人，第一组人数是第二组的2倍，第三组和第四组人数相等，总共分出去230个苹果．问该班一共有多少人？「分析」刚开始看这道题目，会觉得条件非常多，有些乱．不过稍加分析就会发现，本题的数量关系并不复杂．题目中虽然有四个组，但这四组人数之间有很多联系．如果某一组的人数知道了，其他各组的人数也就知道了．根据这一点，我们可以设出其中一组的人数，列方程求解．练习3．司机小王身上带有1元、2元、5元、10元四种面值的纸币共82元，其中1元与2元纸币共22张，5元和10元纸币共7张，2元纸币的张数是5元纸币张数的2.5倍．问：小王身上有多少张10元纸币？------------------------------------------------------------------------------------------看过前面这些一元一次方程解应用题的题目，大家是否有这样的体会：原本这些题目都属于不同的类型，算术方法迥异，难度差别也很大，但如果我们利用方程进行求解，那么解题方法就变得统一起来，而且难度也降低了不少．只要找到等量关系，列出方程，就可以得到答案——这就是方程的妙处，看上去只是一种简单的套路，却有着四两拨千斤的功效，轻描淡写就能化解难题．有些应用题中，如果只设一个未知数，有些未知量要表示出来就会比较困难．这时就需一个分数，分子与分母的和是 122，如果分子、分母都减去19，得到的分数约简后是，那所求的自然数 ……余 4 第一次商……余 1 17 第一次商 ……余 15 第二次商 ……余 7 2a要设两个未知数，列二元一次方程组来解题．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题 4．墨莫去超市里买了一些士力架和德芙，共重 266 克，共花了 30 元．已知士力架每块 3 元，德芙每块 2 元．每块士力架 35 克，每块德芙 14 克．那么墨莫各买了多少块士力架和德芙？「分析」假设买了 x 块士力架，y 块德芙，那么这两个未知数满足哪些等量关系？练习 4．王老师抓了一群外星人，其中火星人有 2 个头 3 个脚，金星人有 3 个头 5 个脚，王老师数了数，发现总共有 34 个头、54 个脚.那么请问王老师分别抓了多少个火星人和金星人？例题 5．15么原分数是多少？「分析」设原来的分子是 x ，那原来的分母就是 122 - x ．再由另外一个已知条件，不难列出方程求解．例题 6．如下图的短除式所示，一个自然数被 8 除余 1，所得的商被 8 除也余 1，第二次所得的商被 8 除后余 7，最后得到的商是 a ．同时这个自然数被 17 除余 4，所得的商被 17 除余 15，最后得到的商是 a 的 2 倍．求这个自然数．8 所求的自然数……余 1 1788a「分析」这是一个带余除法的问题，蕴含着等量关系：被除数＝除数 ⨯ 商＋余数．利用这一等量关系以及图中的两个短除式，不难用字母 a 表示出原来的自然数（有两种不同表示方式）．“多送几份牛奶最近，动物们流行喝鲜奶，都在鲜奶公司定了份牛奶，鲜奶公司每天派小狗早早和巧巧送鲜奶到东西大街，早早负责送东边的住户，巧巧负责送西边的住户，两边住户数目一样多。

高斯小学奥数五年级上册含答案_余数的性质与计算

高斯小学奥数五年级上册含答案_余数的性质与计算第二十一讲余数的性质与计算37』桂除的余数足多少？我知沽玳，余数昂7!^1这一讲我们来学习余数问题.在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况. 当不能整除时，就会产生余数.一般地，如果a是整数，b是整数（b丰0）,若有a+ b=q r （也就是a b q r ）, 0当r 0 时，我们称a 能被b 整除；当r 0 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的商余数问题和整除问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起了．余数有如下一些重要性质．基本性质：被除数=除数X商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）*商；商=（被除数-余数）十除数.余数小于除数．理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题1．用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被除数和除数各是多少？「分析」如果设除数为a,被除数可以表示为什么？练习1．甲、乙两数的和是2014,甲数除以乙数商99余14,求甲、乙两数．我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除1）一个数除以2或5的余数,等于这个数的个位数字除以2或5的余数；一个数除以4或25的余数,等于这个数的末两位数除以4或25的余数；一个数除以8或125的余数,等于这个数的末三位数除以8或125 的余数；2）一个数除以3或9的余数,等于这个数的各位数字和除以3或9的余数；特性．这些数的整除特性稍加改造,即可成为求解余数的一类简便算法：一个数除以99（包括11、33）的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数；此外,求3和9的余数还可应用乱切的方法．（3）一个数除以11 的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11 再减即可．（4）一个数除以7、11和13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11 和13 的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个7、11 或13再减即可．这种利用整除特性来计算余数的方法叫做特性求余法．例题2．1）20132013 除以4和8 的余数分别是多少？2）20142014 除以3和9 的余数分别是多少？分析」根据4、8、3、9 的特性，可以很快计算出结果．练习2．（1）20121221 除以5和25 的余数分别是多少？（2）20130209 除以3和9 的余数分别是多少？例题3．（1）123456789 除以7和11的余数分别是多少？87654321 呢？（2）360360360 除以99 的余数是多少？「分析」根据7、1、99 的特性，可以计算出结果．在截断的时候要特别小心．练习3．201420132012 除以13和99 的余数分别是多少？为了更好地了解余数的其它一些重要性质，我们再来做几个练习：1）211除以9的余数是_______ ；（2）137除以9的余数是_________(3) 211 137的和除以9的余数是___________ ; ( 4) 211 137的差除以9的余数是(5)211 137的积除以9的余数是__________ ; (6) 1372除以9的余数是________比较上面的结果，我们发现余数还有一些很好的性质：和的余数等于余数的和；差的余数等于余数的差；积的余数等于余数的积?这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性?在计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性每个数都用它除以7的质进行简算.例如计算33 37 15 80的结果除以7的余数就可以像右侧这样计算?这一简算方法又称替换求余法?需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗上口，但并不严格，在使用时还需要注意：(1)如果替换之后余数的计算结果大于除数，还需要再次计算结果的余数.例如：在计算423 317除以6的余数时，利用“和的余数等于余数的和”，结果就变成了3 5 8, 8 6，所以还需要再次计算8除以6的余数是2,才是423 317除以6最后的余数?再比如：在计算423 317除以6的余数时，也会遇到3 5 15 6的情况，同样的还需要计算15除以6的余数是3，才是最终的结果.(2)在计算减法时，会出现余数不够减的情况，这时只要再加上除数或除数的倍数即可?例如：在计算423 317除以6的余数时，会发现结果变成了3 5不够减.此时，只要再加上6,用6 3 5 4来计算即可.例题4.一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个?年终将这些零件按6个一包的规格打包，最后一包不够6个.请问：最后一包有多少个零件？「分析」最后一包的零件数实际上就是零件总数除以19的余数.练习4．(1)123 456 789除以111 的余数是多少？(2)224468 6678的结果除以22 余数是多少？如果我们将“特性求余法”和“替换求余法”相结合,便可大大简化余数的计算．例题5．(1)87784 49235 81368除以4、9 的余数分别是多少？(2)365366+367368 369370除以7、11、13 的余数分别是多少？「分析」要把结果算出来,再求余数,计算量很大．看看如何利用“替换求余”以及“特性求余”的方法来进行求解．例题6．( 1) 2100的个位数字是多少？32014除以10 的余数是多少？(2) 32014除以7 的余数是多少？「分析」一个数的个位数字就是它除以10 的余数,大家来找一下个位数字的变化规律．小熊分粽子今天是端午节, 猴爸爸一大早就领着猴儿们去观看龙舟比赛。

高斯小学奥数五年级上册含答案_分数应用题

第十六讲分数应用题在三、四年级的时候，同学们学习了“和差倍”问题．在这一讲，继续来学习“和差倍”问题．但不同的是，今天的学习中，我们将引入“分数倍”的概念．和“整数倍”一样，“分数倍”也是一种倍数关系，唯一的区别是用分数来表示．我们举一个例子：卡莉娅买了20个苹果，10个桔子，容易知道，卡莉娅买的苹果数量是桔子的2倍，那桔子是苹果的几倍呢？同样的，用一个除法算式来计算：110202÷=，即桔子的数量是苹果的12倍，或者桔子的数量是苹果的12．我们把分数倍，比如前面的“12”，称为分率．注意，每一个分率都有一个对应的总量．例如，桔子的数量是苹果的12，在这里，分率“12”所对应的总量是苹果总数，“12”表示的是苹果总数的一半．如果我们将苹果的数量设为“1”份，那桔子的数量就为“12”份．通常，将分率所对应的总量设为“1”份，也就是此分率所对应的单位“1”．在计算分数应用题的时候，一定要首先找到分率所对应的单位“1”．当知道单位“1”的数量时，计算分率的对应数量很容易．例如，卡莉娅有20个苹果，她的桔子数量是苹果数量的12，那卡莉娅就拥有120102⨯=个桔子．那知道了分率的对应量，如何来求单位“1”呢？请熟记公式：例如，小高有30张动物卡，他的动物卡是植物卡数量的25，那么他的植物卡有多少张呢？列算式计算：230755÷=张，即小高有75张植物卡．一般来说，每一个分率都会有一个数量和它对应（包括单位“1”），我们将这种对应关系称为量率对应．找到量率对应，是解决分数应用题的关键．例题1．小高买来一些巧克力，和墨莫、卡莉娅一起吃，不一会便把所有巧克力吃光了．墨莫吃了全部巧克力的25，卡莉娅吃了全部巧克力的310，小高吃了9块．请问小高一共买来多少块巧克力？「分析」小高吃的巧克力占全部的几分之几呢？口袋里装着红、黄、绿三种颜色的球．其中红球占总球数的13，黄球占总球数的14，绿球有50个．口袋里一共有几个球？在例题1中，容易找到分率与数量的对应．但有的题目并不直接给出分率所对应的数量，那就需要同学们仔细寻找和计算，完成量率对应．例题2．有一堆砖，搬走总数的14后又运来306块．这时这堆砖比最开始还多了15．这堆砖原来有多少块？「分析」这道题中只有一个具体的量：306块砖，那么我们就应该去寻找它所对应的分率．小言在练毛笔字．第1个小时结束的时候，还差13才完成练字计划．第2个小时，小言又写了84个毛笔字，结果总的练字数超过了练字计划的14．那么小言计划写多少个字？「分析」题目条件虽然比较多，好在分率只有一个，同学们能不能看出“120”这个分率是相对于哪个单位“1”来说的？它对应的又是哪个量呢？上届校运动会共有250名同学报名参加．本届校运动会的报名统计显示，男生减少了2人，而总人数却增加了4人，原因是女生增加了120．那么本届校运动会有多少女同学报名？在上面的分数应用题中，每题中分率所对应的单位“1”都是统一的，便于我们进行分率的加减．但如果题目中出现的分率所对应的单位“1”并不统一，又该如何处理呢？「分析」第二天走的“23”是全部路程的23吗？如果不是，它应该是全部路程的几分之几？小明看一本书，第一天看了全书的13，第二天看了剩下的25，还剩下144页没有看．问某人从甲城去乙城，第一天走了全程的14，第二天走了剩下的，这时距乙城还有40千米．问甲、乙两城相距多少千米？23五年级原来有学生325人，新学期男生增加25人，女生减少了，结果总人数增加了16人．请问：现有男生多少人？120这本书共有多少页？「分析」已知条件中又有好几个分率，它们对应的单位“1”也不一样，需要将它们统一．「分析」题目中的两个分率，都是以墨莫手里的牌数作为单位“1”，但墨莫手里的牌数前后不一样，需要将两个分率统一．阿呆和阿瓜一起玩游戏牌．开始时阿呆手里的牌数是阿瓜手里牌数的35；玩了若干局后，阿呆赢了阿瓜的20张牌，此时阿呆手里的牌数反而是阿瓜手里牌数的75．请问：阿呆此时一共有多少张牌？现有苹果、桔子、梨三种水果各若干个，苹果的数目是其它两种水果总数的16，桔子的数目是其它两种水果总数的516，梨有26个．这些水果一共有多少个？丢番图的墓志铭古希腊的大数学家丢番图。

高斯小学奥数五年级上册含答案_逻辑推理二

第十三讲逻辑推理相信学们之前已经接触过一些有趣的逻辑推理题目，其中比较典型的一类题目就是让我们来判断问题的真假.还记得我们用什么方法来判断吗？对了，假设法！假设法就像是测谎仪，用它来测一测，就知道谁说的是真话，谁说的是假话了.除此之外，如果有两个人说的话正好相反，那么我就可以断定其中必然有一个人说的是真话，另一个人说的是假话•我们可以把这个方法称为矛盾分析法.好了，下面就开始我们的推理之旅吧！例题1. 3位女神分别说了如下的话.雅典娜（智慧女神）：“阿佛洛狄忒不是最美的•”阿佛洛狄忒（爱和美的女神）：“赫拉不是最美的•”赫拉（天后）：“我是最美的.”只有最美的女神说了真话，请问她是谁？「分析」阿佛洛狄忒和赫拉的话是互相矛盾的，据此可以推理出什么呢？懒懒和笨笨是两只小猪，一只说真话，一只说假话.而且它们一只是公的，一只是母的.懒懒说：“说谎的是母猪.”笨笨说：“说谎的不是母猪.”请问懒懒和笨笨谁是母猪？例题2.艾趣、艾吕和艾游三姐妹参加了去英国的旅行团.回国后，三人向朋友们分享去英国的经历：艾趣：“我们去了爱丁堡，没去湖泊区，但参观了北威尔士. ”艾吕：“我们去了爱丁堡，也去了湖泊区，但没有参观北威尔士. ”艾游：“我们没有去爱丁堡，但是去了北威尔士. ”已知每个人都说了一句谎话，那么她们三人到底去了哪些景区？「分析」如果要用假设法，先根据谁的话来作假设会更简单一些？一位农夫建了一个三角形的鸡窝，三边都是等高的铁丝网.这位农夫在笔记本上做了如下记录：（1）面向仓库那边的铁丝网价钱：10美元；(2)面向水池那边的铁丝网价钱：20美元；(3)面向住宅那边的铁丝网价钱：30美元.而这三个价钱中有一个是错的.又知道每一边铁丝网的价钱都是10美元的倍数, 且三边铁丝网的价钱互不相同•那么这位农夫一共花了多少钱买铁丝网？除了真假问题之外，还有一类题目是告诉我们一些条件让我们做出判断或计算，我们可以把这类问题称为条件推理问题.例题3.现在要从六个人中挑选几个去参加数学竞赛，有以下要求：(1)赵甲和钱乙这两人至少去一个；(2 )赵甲和李丁不能都去；(3)赵甲、周戊和吴己这三个人中要去两人；(4)钱乙和孙丙要么都去，要么都不去；(5 )孙丙和李丁要去一人；(6)如果李丁不去，周戊也不去.应该挑选哪几个人去？「分析」虽然这道题目不是真话假话问题，但是也可以用假设法来解决. 根据第几个条件作假设会简单一些？A，B，C，D四名学生猜测自己的数学成绩. A说：如果我得优，那么B也得优.B说：如果我得优，那么C也得优.” C说：如果我得优，那么D也得优.”结果大家都没说错，但是只有两个人得优•谁得了优？例题4•热火队和雷霆队为了争夺NBA总决赛的冠军，斗得难分难解•在今天晚上的比赛中：(1)两队都没有换过人；(2)除了三名队员外，其他队员得分都互不相同.这三名队员都得了22分，但是不在同一个队中；(3)全场最高个人得分是30分，只有三名队员得分不到20；(4)热火队中，得分最多和得分最少的球员只相差3分；(5 )雷霆队每人的得分正好组成一个等差数列.这场比赛谁胜谁负？比分是多少？「分析」因为每个队都没有换过人，所以各队总分都是五个数的和. 根据第二个条件和第五个条件可知，雷霆队有一个22分，热火队有两个22分.接下来继续推理就容易了.甲、乙、丙、丁四人一起打牌，每人的姓是赵、钱、孙、李中的一个•他们约好第一把赢的人可以从其他三人手中各拿100元；第二把赢的人可以从其他三人手中各拿200元；第三把赢的人可以从其他三人手中各拿300元；第四把赢的人可以从其他三人手中各拿400元.他们一共玩了4把，每人各赢了一次.又知道：(1)第一把赢的人是孙先生；(2)第二把赢的人是乙；(3)第三把赢的人是钱先生；(4)第四把赢的人是丙；(5)打牌之前李先生的钱最多，打牌后丁的钱最多. 那么甲、乙、丙、丁分别姓什么？例5.鹿哼、雷婷、王萍和贺纯正在进行一场精彩的室内网球双打赛，通过下面观众的议论，我们知道以下信息：(1)鹿哼比雷婷年轻；(2)王萍比他的两个对手年龄都大；(3)鹿哼比他的搭档年纪大；(4)鹿哼和雷婷的年龄差距比王萍和贺纯的年龄差距更大. 请讲这四位运动员按照年龄大小顺序排列，并且找出鹿哼的搭档是谁.「分析」这道题目与大小顺序有关系，可以先画出四个位置，然后根据题目中的条件把人放到位置上.例题6．桌上放着3 红2 蓝5 个帽子．张三、李四和迟哼站成一排，须老师从桌上拿出 3 个帽子，分别戴到三个人的头上．排队的人都能看到前面的人头上帽子的颜色，但是看不到自己的（当然也看不到后面的人，但是三个人都知道帽子一共有3红2 蓝）．这时须老师问队伍最后面的张三是否知道自己帽子的颜色，张三说不知道．须老师又问中间的李四是否知道自己帽子的颜色，李四说不知道．想不到这时候站在最前面的迟哼，竟然非常有把握的说：“老师，我知道我帽子的颜色！” 请问，迟哼头上的帽子是什么颜色的，他又是怎么知道的？「分析」张三的回答是不知道．那如果张三的回答是知道，能说明什么呢？第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学（也就是作为演绎系统的纯粹数学）来源于古希腊的毕达哥拉斯学派。

五年级高斯奥数之余数含答案

第16讲余数内容概述掌握余数酌概念与基本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法．学会利用余数的可加性、可减性和可乘性计算余数；学会运用同期性处理各类余数计算问题；学会求解“物不知数’问题．典型问题兴趣篇1. 72除以一个数，余数是7．商可能是多少？2. 100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？3. 20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？4. 4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193.规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？5．某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：最后一包有多少个零件？6．(1) 220除以7的余数是多少？(2) 1414除以11的余数是多少？(3) 28121除以13的余数是多少？7．810888888个⨯⨯⨯++⨯+除以5的余数是多少？8．一个三位数除以21余17，除以20也余17.这个数最小是多少？9．有一个数，除以3的余数是2，除以4的余数是1．请问：这个数除以12余数是几？10．100多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按1，2，3，…，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按1，2，3，…，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11.请问：一共有多少名小朋友？拓展篇1．1111除以一个两位数，余数是66. 求这个两位数．2．(1) 42121421421421个除以4和125的余数分别是多少？(2) 80821808808808个除以9和11的余数分别是多少？3．一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个．请问：最后一包有多少个零件？4．自然数12222267-⨯⨯⨯⨯个的个位数字是多少？5．算式20072007200720072006321++++ 计算结果的个位数是多少？6．一个自然数除以49余23，除以48也余23.这个自然数被14除的余数是多少？7．一个自然数除以19余9，除以23余7．这个自然数最小是多少？8．刘叔叔养了400多只兔子，如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有4只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？9． 123123123123123个除以99的余数是多少？10．把63个苹果，90个橘子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？11．有一个大于l 的整数，用它除300、262、205得到相同的余数，求这个数．12．用61和90分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数是后一次的2倍，如果这个数大于1，那么这个数是多少？超越篇1．从l 依次写到99，可以组成一个多位数12345…979899.这个多位数除以11的余数是多少？2．算式72008777777个⨯⨯⨯++⨯+计算结果的末两位数字是多少？3．算式20077531⨯⨯⨯⨯⨯ 计算结果的末两位数字是多少？4．有5000多根牙签，按以下6种规格分成小包：如果10根一包，最后还剩9根；如果9根一包，最后还剩8根；如果依次以8、7、6、5根为一包，最后分别剩7、6、5、4根．原来一共有牙签多少根？5．有三个连续的自然数，它们从小到大依次是5、7、9的倍数，这三个连续自然数最小是多少？6．请找出所有的三位数，使它除以7、11、13的余数之和尽可能大．7．已知.0000940909421717!21CD AB 那么四位数ABCD 是多少？8．有一些自然数n ，满足：2n - n 是3的倍数，3n - n 是5的倍数，5n - n 是2的倍数，请问：这样的，n 中最小的是多少？第12讲余数内容概述掌握余数的概念与基本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法．学会利用余数的可加性、可减性和可乘性计算余数；学会运用同期性处理各类余数计算问题；学会求解“物不知数’问题．典型问题兴趣篇1. 72除以一个数，余数是7．商可能是多少？【答案】1或5【解析】72-7=65，再分解质因数65＝5×13，还有1×65＝65，所以商可能是1或52. 100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？【答案】8或16【解析】100和84同余，做差后是这个数的倍数，100-84=16，所以这个除数可能是8或163. 20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？【答案】8；0，8；0【解析】一个数除以9的方法：各位数字之和除以9，2+8+8+8=26，26÷9=2…8；除以8的方法：末三位除以8， 808÷8=101…0；除以25的方法：末两位除以25，8÷25=0…8；除以11的方法：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差除以11， 2+0+0+0=2，0+8+8+8=24，24-2=22，22÷11=2 04. 4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193.规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？【答案】5【解析】1+0+1=2，2÷3=…2，1+2+6=9，9÷3=…0，1+7+3=11，11÷3=…2，1+9+3=13…1，最多打了5盘5．某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：最后一包有多少个零件？【答案】16【解析】余数问题，求128×23×300÷17的余数128÷17=7...9 23÷17=1...6 300÷17=17 (11)9×6×11=594 594÷17=34 (16)6．(1) 220除以7的余数是多少？(2) 1414除以11的余数是多少？(3) 28121除以13的余数是多少？【答案】（1）4；（2）4；（3）2【解析】因为23除以7的余数是1，20=3×6+2，所以220除以7的余数就是22除以7的余数即为4；同理，1414除以11的余数是4；28121除以13的余数是27．810888888个⨯⨯⨯++⨯+除以5的余数是多少？【答案】2【解析】根据余数的和等于和的余数的方法，除以5的余数是28．一个三位数除以21余17，除以20也余17.这个数最小是多少？【答案】437【解析】最小公倍数问题，【21，20】＝420，再加上17，这个数最小是4379．有一个数，除以3的余数是2，除以4的余数是1．请问：这个数除以12余数是几？【答案】5【解析】除以3的余数是2的数是5，而5恰好除以4余1，5除以12余数是510．100多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按1，2，3，…，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按1，2，3，…，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11.请问：一共有多少名小朋友？【答案】141【解析】根据题意，可转化为一个100多的数除以11余9，除以3余11，所以先求11和13的最小公倍数，再减去2就是所求，一共有141名小朋友拓展篇1．1111除以一个两位数，余数是66. 求这个两位数．【答案】95【解析】先从1111里减去余数66，再分解质因数，所求的两位数要大于余数66，所以是952．(1) 42121421421421个除以4和125的余数分别是多少？(2) 80821808808808个除以9和11的余数分别是多少？【答案】（1）1，46；（2）3，5【解析】（1）21÷4=5…1；421÷125=3…46；（2）（8+8）×21÷9=37…3；808808÷11余0，最后还剩一个808，8+8=16， 16÷11 余53．一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个．请问：最后一包有多少个零件？【答案】15【解析】先求出一年的总数，再除以19余数为154．自然数12222267-⨯⨯⨯⨯个的个位数字是多少？【答案】7【解析】找出2的n 次方的个位数字的周期，2，4，8，6…，再看67除以4的余数是3，所以个位数字是8－1＝75．算式20072007200720072006321++++ 计算结果的个位数是多少？【答案】1【解析】每个数乘方的个位数字的周期是4，2007除以4余3，所以原式就与1到2006的3次方的个位数字是一样的，以10个数为一个周期列出为1，8，7，4，5，6，3，2，9，0…，2006除以10余数为6，所以前6个的和即是所求1＋8＋7＋4＋5＋6＝31，所以个位数字是16．一个自然数除以49余23，除以48也余23.这个自然数被14除的余数是多少？【答案】9【解析】【49，48】＋23＝2375，被14除余97．一个自然数除以19余9，除以23余7．这个自然数最小是多少？【答案】237【解析】7+23k-9能被19整除，最小为2378．刘叔叔养了400多只兔子，如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有4只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？【答案】404【解析】根据题意是一个400多的数除以3余2，除以5余4，除以7余5，最后所求的数是4049． 123123123123123个除以99的余数是多少？【答案】90【解析】6个123能被99整除，123里有20个6余3，所以123123123除以99余数是9010．把63个苹果，90个橘子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？【答案】20【解析】三个数分别的余数不知道，但是余数的和是25，可以把这三个数相加，根据余数的和等于余数的和来计算，63＋90＋130－25＝258，再分解质因数，最后剩下个数最多的水果剩下20个11．有一个大于l 的整数，用它除300、262、205得到相同的余数，求这个数．【答案】19【解析】根据同余的两个数的差能被这个数整除，300－262＝38，262－205＝57，再求（38，57）＝1912．用61和90分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数是后一次的2倍，如果这个数大于1，那么这个数是多少？【答案】17【解析】先把余数变相同，再作差求解即可。

高斯小学奥数五年级上册含答案_余数的性质与计算

第二十一讲余数的性质与计算37』桂除的余数足多少？我知沽玳，余数昂7!^1这一讲我们来学习余数问题.在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况. 当不能整除时，就会产生余数.一般地，如果a是整数，b是整数（b丰0）,若有a+ b=q r （也就是a b q r ）, 0当r 0 时，我们称a 能被b 整除；当r 0 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的商余数问题和整除问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起了．余数有如下一些重要性质．基本性质：被除数=除数X商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）*商；商=（被除数-余数）十除数.余数小于除数．理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题1．用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被除数和除数各是多少？「分析」如果设除数为a,被除数可以表示为什么？练习1．甲、乙两数的和是2014,甲数除以乙数商99余14,求甲、乙两数．我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除1）一个数除以2或5的余数,等于这个数的个位数字除以2或5的余数；一个数除以4或25的余数,等于这个数的末两位数除以4或25的余数；一个数除以8或125的余数,等于这个数的末三位数除以8或125 的余数；2）一个数除以3或9的余数,等于这个数的各位数字和除以3或9的余数；特性．这些数的整除特性稍加改造,即可成为求解余数的一类简便算法：一个数除以99（包括11、33）的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数；此外,求3和9的余数还可应用乱切的方法．（3）一个数除以11 的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11 再减即可．（4）一个数除以7、11和13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11 和13 的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个7、11 或13再减即可．这种利用整除特性来计算余数的方法叫做特性求余法．例题2．1）20132013 除以4和8 的余数分别是多少？2）20142014 除以3和9 的余数分别是多少？分析」根据4、8、3、9 的特性，可以很快计算出结果．练习2．（1）20121221 除以5和25 的余数分别是多少？（2）20130209 除以3和9 的余数分别是多少？例题3．（1）123456789 除以7和11的余数分别是多少？87654321 呢？（2）360360360 除以99 的余数是多少？「分析」根据7、1、99 的特性，可以计算出结果．在截断的时候要特别小心．练习3．201420132012 除以13和99 的余数分别是多少？为了更好地了解余数的其它一些重要性质，我们再来做几个练习：1）211除以9的余数是 _______ ；（2）137除以9的余数是_________(3) 211 137的和除以9的余数是___________ ; ( 4) 211 137的差除以9的余数是(5)211 137的积除以9的余数是__________ ; (6) 1372除以9的余数是________比较上面的结果，我们发现余数还有一些很好的性质：和的余数等于余数的和；差的余数等于余数的差；积的余数等于余数的积•这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性•在计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性每个数都用它除以7的质进行简算.例如计算33 37 15 80的结果除以7的余数就可以像右侧这样计算•这一简算方法又称替换求余法•需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗上口，但并不严格，在使用时还需要注意：(1)如果替换之后余数的计算结果大于除数，还需要再次计算结果的余数.例如：在计算423 317除以6的余数时，利用“和的余数等于余数的和”，结果就变成了3 5 8, 8 6，所以还需要再次计算8除以6的余数是2,才是423 317除以6最后的余数•再比如：在计算423 317除以6的余数时，也会遇到3 5 15 6的情况，同样的还需要计算15除以6的余数是3，才是最终的结果.(2)在计算减法时，会出现余数不够减的情况，这时只要再加上除数或除数的倍数即可•例如：在计算423 317除以6的余数时，会发现结果变成了3 5不够减.此时，只要再加上6,用6 3 5 4来计算即可.例题4.一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个•年终将这些零件按6个一包的规格打包，最后一包不够6个.请问：最后一包有多少个零件？「分析」最后一包的零件数实际上就是零件总数除以19的余数.练习4．(1)123 456 789除以111 的余数是多少？(2)224468 6678的结果除以22 余数是多少？如果我们将“特性求余法”和“替换求余法”相结合,便可大大简化余数的计算．例题5．(1)87784 49235 81368除以4、9 的余数分别是多少？(2)365366+367368 369370除以7、11、13 的余数分别是多少？「分析」要把结果算出来,再求余数,计算量很大．看看如何利用“替换求余”以及“特性求余”的方法来进行求解．例题6．( 1) 2100的个位数字是多少？32014除以10 的余数是多少？(2) 32014除以7 的余数是多少？「分析」一个数的个位数字就是它除以10 的余数,大家来找一下个位数字的变化规律．小熊分粽子今天是端午节, 猴爸爸一大早就领着猴儿们去观看龙舟比赛。

高斯小学奥数五年级上册含答案_直线形计算中的比例关系

J望昆大侠溝了！这个故事说起来就久远了■ ■ ■ ■ 1■律!□-5T L不打里思与蔡川因为这一战攀道剑鮒眾翳胡请1乍亦第十八讲直线形计算中的比例关系很久以前.青一场n惊江鬭的人战.匚原大侠望昆与魔救蹌一高手黎川相约在华山之昴决斗.苓苓「这个飞繚是怎么来的呼这就是 ■小黎飞镖" 的来由了！望昆用尽力■击出一劃”正好打在•小養飞 *JT 上，井在无星不轉的飞傑上留下了一道削*决斗的情况十幷滋熱.熾后黎川发出了自己的绝招•小柴飞象，打向了箋昆.在前面的讲次中我们已经学习了两个等高三角形之间的倍数关系, 中的基本结论.当两个三角形同高或等高的时候，它们面积的比等于对应底之比.如图所示，对于三角形ABD与三角形BDC ,它们有共同的高BH ,可知三角形ABD的面积AD 三角形BDC的面积DC °例题1.如图，AE:EB=3:2, CD:DB=7:5,三角形ABC的面积是60,求三角形AED的面积.「分析」图中是否有等高的三角形?练习1.如图，CE : AE 2:5 , CD : DB 7:5三角形ABC面积为120，求三角形AED的面积.在前面的漫画中我们认识了“小黎飞镖” •把“飞镖”立起来（如图），标好字母，A 会发现两个三角形：三角形ADE与三角形ABC •这两个三角形有一个公共的角A,并且■'角A的两边AD、AE分别在AB、AC上.对于符合这种情况的三角形ADE与三角形ABC, 我们称之为“共角三角形” . DF面我们复习一下其AB对于这两个“共角”的三角形，它们的面积之比等于对应两边长度之比的乘积，例如：在“小黎飞镖”中，有三角形ADE的面积AD AE .（同学们，可以想一想如何来证明这三角形ABC的面积AB AC个结论.提示：连结四边形BDEC的一条对角线）例如：如果在“小黎飞镖”中，D点是AB上靠近B的3等分点，E点是AC上靠近AAD 2 AE 1的3等分点，那么，，那么三角形ADE的面积就是三角形ABC面积的AB 3 AC 32 1 23 3 9 .有了这个结论，在解决一些问题时，就方便很多了•请看下面的问题.例题2.如图，在三角形ABC中，AD的长度是BD的3倍，AC的长度是EC的3倍.三角形AED的面积是10,那么三角形ABC的面积是多少？「分析」△ ADE占厶ABC的几分之几？应该怎么利用鸟头模型来计算?练习2. 积是8, 三角形ABC中，BD的长度是AB的丄,AE的长度是AC的1 .三角形AED的面4那么三角形ABC的面积是多少？例题3•如图，已知长方形ADEF的面积是16, BE=3BD, CE=CF .请问：三角形BEC的面积是多少?「分析」鸟头模型中有两个共角的三角形，可是在本题中只有一个三角形，另外一个三角形应该怎么构造呢？练习3 .如图，长方形 ABCD 的面积是48, BE:CE=3:5 , DF:CF=1:2 .三角形CFE 的面积是接着，我们来看一看在任意四边形中三角形之间的面积关系. 如图，对于一个任意的四边形ABCD ，连结对角线 AC 和BD ，将整个四边形分成本结论，我们可以得到如下关系:例题4.如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD ，被对角线AC 、BD 分成4个部分.三角形BOC 的面积是2平方千米，三角形 COD 的面积是3平方千米，三角形 AOB 的面积是1平方千米.如果公园由大小为 6.9平方千米的陆地和一块人工湖组成，那么人工湖的面积是多少平方千米？「分析」△ BOC 、A COD 和厶AOB 的面积都知道了，那么△ AOC 的面积是多少呢？练习4.四边形ABCD 中，AC 、BD 两条对角线交于 O 点，三角形 ABO 的面积为6,三角形AOD 的面积为8,三角形BOC 的面积是15,那么四边形 ABCD 的面积是多少？4个小三角形，由等高三角形的基BO DO§S2 §4 §3AO S ( S, CO S 4§3§i S 4 §2 §3 3 S 2 §1 S 3§1 S 3§>§4D「分析」同学们能从图形中发现“共角三角形”吗？如何利用这些三角形来计算呢?例题6 .图中四边形 ABCD 的对角线AC 和BD 交于0点，如果△ ABD 的面积是30平方厘米，△ ABC 的面积是48平方厘米，△ BCD 的面积是50平方厘米.请问：△ BOC 的面积是多少？「分析」题目中给出了 3个大三角形的面积，能不能找出四个小三角形之间的面积关系呢？1例题5.如图，△ ABC 的面积是36,并且AE AC , CD3的面积.1BC , BF 】AB ，试求△ DEF 4 5BC 0三角形中的五心重心：三角形各边上的中线交于一点，称为三角形重心；垂心：三角形各边上的高交于一点，称为三角形垂心；外心：三角形各边上的垂直平分线交于一点，称为三角形外心；内心：三角形三内角平分线交于一点，称为三角形内心；旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，称为三角形旁心.锐箱三劑形金第三箱形註第三垢形三角形的垂心三角形的旁心三角形的内心三朿形附W21.如图，△ ABC 中，BD 的长度是AB 的，如果△ ABC 的面积为15,那么3△ ADC 的面积是多少？如图所示，在长方形 ABCD 中，DE CE , CF 2BF ，如果长方形ABCD 的面积为18,那么阴影部分的面积是多少？如图，四边形 ABCD 中，AC 、BD 两条对角线交于 0点，△ ADO的面积为30, △ ABO 的面积为6,^ DOC 的面积是20,那么四边形 ABCD 的面积是多少？2. 3. 如图，AE : EB 4:3 , CD : DB 形AED 的面积是多少？如图，AD:DB 1:4 , AE: EC ADE 的面积是多少？3:1 ,三角形ABC 的面积是84,1:5，如果△ ABC 的面积是120, 三角那么△4.5.B F C第十八讲直线形计算中的比例关系例题1.答案：15详解：因为三角形ACD与三角形ADB同高，所以S ACD :S ADB CD: DB 7:5，所以角形ADB面积为25 ;同理，三角形AED与三角形BED等高，所以S AED : S BED AE:EB 3: 2，所以三角形AED面积为15.例题2.答案：20详解：AD是AB的3, AE是AC的-.根据鸟头模型，有厶ADE面积是△ ABC面积的4 33 2 1.那么△ ABC的面积是20.4 3 2例题3.答案：3详解：连结DF，根据鸟头模型，可知△ BCE面积是△ DEF面积的1 3.那么△4 2 81 3BCE的面积是16 3 .2 8例题4.答案：0.6详解：由题意，S BOC : S COD BO :OD S BOA : S DOA ,三角形BOC面积为2平方千米，三角形COD面积为3平方千米，三角形BOA面积为1平方千米，则三角形AOD面积是1.5平方千米，陆地总面积 6.9平方千米，则人工湖面积为 2 3 1 1.5 6.9 0.6平方千米.例题5.答案：15详解:由鸟头模型可得，S AEF36 4 148S BFD 36—3275 35545124827SCDE36 -6, S DEF 36615 .4355例题6.答案：30详解:AO:CO §AB D:S BCD 3:5，所以S BOC S ABC 8 30平万厘米练习1. 答案：50简答：△ ACD的面积是1207 5 7 70 ,△ AED的面积是70 2 5 5 50.练习2. 答案：32简答：83 - 32 .4 3练习3.答案：10简答：4815 2“10 .2 8 3练习4. 答案：49简答：△ COD的面积是8 15 6 20，四边形ABCD的面积为6 8 15 20 49.作业1.答案：52 1简答：由BD的长度是AB的—得AD: AB 1:3，那么三角形ADC的面积为15 - 5 .3 3作业2. 答案：12简答：由于CD:DB 3:1，三角形ABC的面积是84，可知三角形ADB的面积为84 (3 1) 21，又由于AE : EB 4:3，可知三角形AED的面积为21 (4 3) 4 12. 作业3.答案：4简答：由已知条件得AD : AB 1:5 , AE : AC 1:6，利用“共角三角形”得三角形AED1 1的面积是120 - - 4.5 6作业4.答案：6简答：由于长方形ABCD的面积为18,可知三角形BCD的面积为9,三角形CEF为三12 1 1角形BCD的--1，那么阴影部分的面积是9 (1 J) 6.2 3 3 3作业5. 答案：60简答：利用任意四边形的结论得三角形BOC的面积是：6 20 30 4，所以四边形ABCD的面积是6 20 30 4 60.。

高斯小学奥数五年级上册含答案_列方程解应用题

第二十四讲列方程解应用题- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具，利用方程我们可以解决生活、学习和生产中的很多实际问题．其思想如图所示：列方程解应用题的方法和步骤练一练用含有字母的式子填空：1.（1）x的5倍：_______；（2）x的k倍：_______；2.一块橡皮的单价是x元，笔盒的单价是橡皮的单价的8倍，那么笔盒的单价是_______元；3.一辆摩托车的速度是v千米/小时，那么它t小时行驶的路程为_______千米；4.某商店原有5袋大米，每袋大米为x千克，上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋，进货后这个商店有大米_______千克．选择合适的量设为未知数，并列出方程：5.环形跑道一周长400米，沿跑道跑多少圈，可以跑3000米？6.一个梯形的下底比上底多2厘米，高是5厘米，面积是40平方厘米．求上底．7.甲种铅笔每枝0.3元，乙种铅笔每枝0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20枝，两种铅笔各买了多少枝？下来我们就来看看如何用一元一次方程解应用题．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1．一次考试，小高比萱萱高6分，但是比卡莉娅低3分，他们3人的平均分为91分．请问：小高考了多少分？「分析」列方程的第一步是设未知数，本题中应该设什么为x？练习1．甲数比乙数的3倍还少6，两数的平均数是43．那么乙数是多少？例题2．阿范和阿统吃饺子，阿范一共要吃90个，而阿统一共要吃100个．如果阿范每分钟吃3个饺子，阿统每分钟吃5个饺子，经过若干分钟后，阿范剩下的饺子数比阿统剩下的饺子数的2倍少5个．请问：这时阿范和阿统各吃了多少个饺子？「分析」如果设吃的饺子数为x，方程就会很不好列．不妨换个角度，设经过的时间为x分钟．练习2．箱子里有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的3倍多2只．每次从箱子里取出7只白球和15只红球．经过若干次以后，箱子里剩下3只白球和53只红球．那么箱子里原有红、白球各多少个？例题3．给某班分苹果，第一组每人3个，第二组每人4个，第三组每人5个，第四组每人6个．已知第二组和第三组共有22人，第一组人数是第二组的2倍，第三组和第四组人数相等，总共分出去230个苹果．问该班一共有多少人？「分析」刚开始看这道题目，会觉得条件非常多，有些乱．不过稍加分析就会发现，本题的数量关系并不复杂．题目中虽然有四个组，但这四组人数之间有很多联系．如果某一组的人数知道了，其他各组的人数也就知道了．根据这一点，我们可以设出其中一组的人数，列方程求解．练习3．司机小王身上带有1元、2元、5元、10元四种面值的纸币共82元，其中1元与2元纸币共22张，5元和10元纸币共7张，2元纸币的张数是5元纸币张数的2.5倍．问：小王身上有多少张10元纸币？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -看过前面这些一元一次方程解应用题的题目，大家是否有这样的体会：原本这些题目都属于不同的类型，算术方法迥异，难度差别也很大，但如果我们利用方程进行求解，那么解题方法就变得统一起来，而且难度也降低了不少．只要找到等量关系，列出方程，就可以得到答案——这就是方程的妙处，看上去只是一种简单的套路，却有着四两拨千斤的功效，轻描淡写就能化解难题．有些应用题中，如果只设一个未知数，有些未知量要表示出来就会比较困难．这时就需要设两个未知数，列二元一次方程组来解题．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4．墨莫去超市里买了一些士力架和德芙，共重266克，共花了30元．已知士力架每块3元，德芙每块2元．每块士力架35克，每块德芙14克．那么墨莫各买了多少块士力架和德芙？「分析」假设买了x 块士力架，y 块德芙，那么这两个未知数满足哪些等量关系？练习4．王老师抓了一群外星人，其中火星人有2个头3个脚，金星人有3个头5个脚，王老师数了数，发现总共有34个头、54个脚.那么请问王老师分别抓了多少个火星人和金星人？例题5．一个分数，分子与分母的和是122，如果分子、分母都减去19，得到的分数约简后是15，那么原分数是多少？「分析」设原来的分子是x ，那原来的分母就是122x -．再由另外一个已知条件，不难列出方程求解．例题6．如下图的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，第二次所得的商被8除后余7，最后得到的商是a ．同时这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的商是a 的2倍．求这个自然数．「分析」这是一个带余除法的问题，蕴含着等量关系：⨯被除数＝除数商＋余数．利用这一等量关系以及图中的两个短除式，不难用字母a 表示出原来的自然数（有两种不同表示方式）．a 所求的自然数 8……余1 第一次商 8 ……余1 8第二次商 ……余7 2a 所求的自然数 17……余4 第一次商 17……余15多送几份牛奶最近，动物们流行喝鲜奶，都在鲜奶公司定了份牛奶，鲜奶公司每天派小狗早早和巧巧送鲜奶到东西大街，早早负责送东边的住户，巧巧负责送西边的住户，两边住户数目一样多。

高斯小学奥数五年级上册含答案_整除问题进阶

第二讲整除问题进阶例题1. 答案：120087详解：能被9和11整除可以看作是能被99整除，可以两位截断求数段和，那么有□2 0 O是99的倍数，只能是99 •两个空中先后要填1和7.例题2. 答案：123483789详解：设这个九位数为1234ab789，两位截断求和1 23 b7 89 160 ba是99 的倍数，只能是198 .所以a=8, b=3.例题3.答案：6详解：利用7的整除特性，口89 59 □30能被7整除，只能填6.例题4.答案：5详解：555555、999999能被13整除，前面依次去掉555555，后面一次去掉999999后仍然是13的倍数.所以只需要满足13|兀帀就可以了.空格中要填5.例题5. 答案：768768详解：形如abcabc一定能被7整除，可以考虑由两个相同的三位数来组成这个六位数，三位数由6、7、8组成.又可知这个六位数一定能被3整除，所以只要保证后三位能被8整除就可以了.答案不唯一.例题6. 答案：20999详解：利用数字谜，从后往前逐位确定.313913 232323239 f39 f 739626269 999 99999999练习1. 答案：6237简答：两位截断后的和是99 .练习2. 答案：12327678简答：两位截断后的和是198.练习3.答案：5712 或5782简答：利用7的整除特性，右2与5的差是7的倍数，空格中可以填1或8.练习4. 答案：0简答：前面依次去掉111111,后面依次去掉333333，最后剩下匚•它是13的倍数, 那么空格中只能填0.作业1.答案：7 的倍数有7315, 58674, 360360; 13 的倍数有325702, 360360简答：牢记7和13的判断方法.作业2.答案：6336简答：这个四位数是99的倍数，两位截断后求和即可.作业3. 答案：2758简答：应用三位截断法，可知和6能被7整除，框中填5满足条件.作业4.答案：9简答：应用三位截断，可知8C 能被7和13整除，即8C 是91的倍数，框中填9 满足条件.作业5.答案：3简答：应用三位截断，可知口3能被7整除，框中填3满足条件.第二讲整除问题进阶厂我只能填在中同、怎样才能保证是11的倍数呢7 /"我翌填在白位和、个位上+怎么填才好呢?墨莫和小高在黑板前玩一个填三位数的游戏.如果填岀的三位数是H的倍数，那么小高就ST, 如果不是11的倍数则墨莫嬴.观察小高和墨英的话，逆冇必胜的策略上次课我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用数字和判断等•现在我们再来学习一些新的判断方法.一、截断作和六位数L_l2003LJ能冋时被9和11整除.这个六位数是多少？皿U 能被99整除的数的特征:从个位开始每两位一截,得到的所有两位数（最前面的可以是一位【分析】能同时被9和11整除，说明这个六位数能被99整除.想一想，99的整除特性是什么？四位数23 能同时被9和11整除，这个四位数是多少?【分析】这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数.这个99的倍数可能是多少呢？已知八位数123口口678能被99整除，这个八位数是多少?、截断作差阿呆写了一个两位数59,阿瓜写了一个两位数89,他们让小咼写一个一位数放在59与89之间辩需一金右佶豹kal I PQ估徂仪金右佶貓■台次朮7敕阵洁白•小直官的貓■具虫/卜：【分析】根据能被7整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7整除，我们可以由此将问题简化.四位数5^[2能被7整除，那么这个四位数可能是多少?接下来我们处理一些较复杂的问题.25个5 25个9变得简短一些.因为 1001是13的倍数，而555555、999999分别是555、999与1001的乘积，说明它们都是13的倍数.那我们是不是可以去掉这个 51位数上的一些5和9,并仍然保证它能被13整除？已知多位数[1L 1 {33L 3能被13整除，那么中间方格内的数字是多少?2010 个 12010 个 3【分析】能被6, 7, 8整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被 7整除, 我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被 7整除呢？题目只要求我们写出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可.【分析】在本题中，55L 35^992L39能被13整除.这个数的位数太多，我们可以想办法使它用数字6, 7, 8各两个，要组成能同时被6, 7, 8整除的六位数.请写出一个满足要求的六位数.【分析】我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘积，因此不可能根据整除特征来考虑•我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数能被23整除，就是说它能写成23与另一个数的乘积•接下来，大家想到该怎么办了吗？枚举法和尝试法在解决数论问题时经常使用.当看到一个问题很难下手时，不妨先从简单情形出发试一试，也许能找出规律和思路.胡适（学者，诗人，1946〜1948年任北京大学校长），在他的作品《尝试集》的序言中写到：“尝试成功自古无，放翁这话未必是.我今为下一转语，自古成功在尝试”这首诗中第一句为陆游所说，但他所说的尝试只是简单的浅尝辄止，当然不能成功.而最后一句则是胡适对第一句的改编：如果尝试是大胆的，深入的，那么一定能够成功.我们在解决某些数学问题时，需要的正是胡适所说的这种尝试.作业i1. 在7315, 58674, 325702 , 96723 , 360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些?2. 四位数33 能同时被9和11整除，这个四位数是多少?3. 四位数2^8能被7整除，那么这个四位数是多少?4. 已知多位数81口154258切2l§8 （2012个258）能同时被7和13整除，方格内的数字是2012 个258多少？5. 已知多位数［1L 1 03L 3能被7整除，那么中间方格内的数字是多少?2011 个1 2011 个3。

高斯小学奥数五年级上册含答案_解方程与解方程组

第七讲解方程与解方程组方程这个词，最早见于我国古代算书《九章算术》．可见人们在很早以前就已经掌握了与方程有关的知识和方法．相信同学们已经会解简单的一元一次方程．下面我们先对相关的概念做一个简要的复习．我们将用等号“＝”连接，表示相等关系的式子，叫做等式．而方程就是含有未知数的等式．等式有两个基本性质：等式性质1：等式两边加上或减去一个数，结果仍相等．如果a b =，那么______a c b ±=．等式性质2:等式两边乘上一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等．如果a b =，那么_______a c b ⨯=．如果a b =，那么()0a b c c c=≠．利用等式的性质我们可以解一些简单的方程．首先我们来看一下一元一次方程．所谓一元一次方程就是只含有一种未知数且未知数的最高次数是1的方程．在解一元一次方程的时候，我们需要将含有未知数的项一起算，也就是合并同类项．有的时候，当含有未知数的项不在等式同一侧时，我们还需要将这样的项从等式的一侧移动到另一侧，也就是所谓的移项．注意方程中的每一项都包括数值与符号两部分，移项的时候要改变符号．例题1. 解下列方程：（1）4338x x +=+；（2）153194x x -=-；（3）123718x x -=-．【分析】移项的时候记得要变号哦．（1）65103x x +=+；（2）56179x x -=-；（3）102511x x -=-．有的时候，方程如果含有括号，我们要先去括号．去括号的时候特别要注意的是，如果括号前面是减号，去掉括号后，原有的项要変号．例题2. 解下列方程：（1）531965x x +-=（）；（2）73222x x --=（）．【分析】去括号的时候也要注意符号．（1）16243x x +-=（）；（2）1836x x --=（）．对于更为复杂的一元一次方程，还可能含有分母，这个时候我们要先去分母．例题3.解下列方程：（1）357523x x +-=；（2）1135x x --=．【分析】以第一个方程为例，等号左边的分母是2，要去掉它需要左右两边都乘2或2的倍数．而要消掉右边的分母需要左右两边都乘3或3的倍数，那只需要都乘多少就可以了？（1）318225x x +-=；（2）3155148x x +-+=．通过前面的练习，相信同学们对于一元一次方程有了进一步认识．下面我们总结一下一元一次方程的一般解法：（1）去分母（如果有分母）：等号两边同时乘以各分母的最小公倍数；（2）去括号（如果有括号）：由内向外去括号；（3）移项：把含有未知数的项移到等号的一边（通常是左边），已知数移到等号的另一边；（4）合并同类项：把方程两边分别合并，化简成()0ax b a =≠的形式；（5）系数化1：在方程两边同除以未知数系数a ，得到方程的解b x a=；（6）把得到的解代回原方程检验．一元一次方程我们已经会解了，在解决实际问题的过程中我们还会遇到需要设两个未知数的情形．也就是可能要解二元一次方程．所谓二元一次方程就是方程中含有两种未知数，且未知数的次数是1．解决二元一次方程的关键就是将两个未知数变为一个未知数，也就是所谓的消元．加减消元法是比较常用的消元方法．该方法的步骤和要点可总结如下：1. 若有某个未知数，它前面的系数在两个方程中恰好相反或者相同，就可以通过把两个方程相加或者相减的方法消去该未知数；如果没有上述特点，可以通过等式两边同乘以一个数，将其凑出可以加减消元的形式；2. 解消元后得到的一元一次方程；3. 把得到的解带入原方程中，求出另一个未知数；4. 代回原方程检验．注意：最后方程的解要写成x a y b =⎧⎨=⎩的形式．例题4. 解下列方程组：（1）233429x y x y -=⎧⎨+=⎩；（2）272516x y x y +=⎧⎨+=⎩．【分析】加减消元法掌握好了吗？解下列方程组：（1）352532x y x y -=⎧⎨+=⎩；（2）372715x y x y +=⎧⎨+=⎩．例题5. 解方程：（1）213148y y --=-；（2）21322x x +=+；（3）()2352x x x x +-=+．【分析】熟练掌握一元一次方程的解法，向更高的难度进发吧！例题6.解下列方程组：（1）9220351x yx y+=⎧⎨-=⎩；（2）52162313x yx y+=⎧⎨+=⎩．【分析】解二元一次方程组最基本的想法就是“消元”，想想看，对于这两个题目是消x还是消y更好做？应用方程和方程组可以解决应用题、几何、数论等各种类型的题目，同学们在后续的学习中就会体会到方程的强大威力．方程的来历方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》．《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章．这一章里的所谓“方程”，是指一次方程组．其中有一个问题实际上就是求解三元一次方程组：323923342326x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③古代是将它用算筹布置起来解的．如下图所示，图中各列由上而下列出的算筹表示x 、y 、z 的系数与常数项．一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程．上述方程的概念，在世界上要数《九章算术》中的“方程”章最早出现．其中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产．这一成就进一步证明：中华民族是一个充满智慧和才干的伟大民族．作业1. 求下列方程的解：（1）615x -=；（2）3517x +=．作业2. 求下列方程的解：（1）58320x x +=+；（2）65820x x -=-．作业3. 求下列方程的解：（1）321545x x +-=（）；（2）922219x x --=（）．作业4. 解方程：376745x x +-=．作业5. 解下列方程组：（1）40326x y x y -=⎧⎨+=⎩．（2）54335319x y x y +=⎧⎨-=⎩．第七讲解方程与解方程组例题1.答案：（1）5；（2）4；（3）3．例题2.答案：（1）4；（2）5．例题3.答案：（1）5；（2）6．例题4.答案：（1）72xy=⎧⎨=⎩；（2）32xy=⎧⎨=⎩．例题5.答案：（1）73；（2）4；（3）5．例题6.答案：（1）21xy=⎧⎨=⎩；（2）23xy=⎧⎨=⎩．练习1.答案：（1）2；（2）4；（3）3．练习2.答案：（1）8；（2）6．练习3.答案：（1）9；（2）1．练习4.答案：（1）112xy=⎧⎨=⎩；（2）41xy=⎧⎨=⎩．作业1.答案：（1）21；（2）4．作业2.答案：（1）6；（2）2简答：提示，注意移项的时候要改变符号．作业3.答案：（1）15；（2）3简答：提示，去括号的时候注意括号前面是减号，去掉括号要变号．作业4.答案：7简答：首先要去分母，方程两边同时乘以20即可．作业5.答案：（1）82xy=⎧⎨=⎩；（2）52xy=⎧⎨=⎩简答：提示，第一个方程组采用代入消元法较为方便，第二个方程组采用加减消元法较为方便．。

高斯小学奥数五年级上册含答案_物不知数与同余

第二十二讲物不知数与同余- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -故事中的余数问题就是我们今天要研究的“物不知数”问题，也称为中国古余数问题．简单来说，这类问题就是先知道了除数和余数，反求被除数的问题．通常在不同的题目中，余数限制条件的数量也是不同的，但都是从一个条件入手，逐个条件的去满足．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1．（1）一个数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是多少？第二小是多少？（2）一个数除以11余7，除以10余6．这个数最小是多少？第二小是多少？「分析」（1）这个数除以21和20都余17，那么减去17以后得到的差跟21和20有什么关系呢：（2）除以11和10的余数不一样，所以不能同时减去一个数了．反方向考虑一下？练习1．（1）一个自然数除以4余3，除以5也余3，这个自然数最小是多少？（2）一个自然数除以5余1，除以7余3，这个自然数最小是多少？例题2．（1）一个三位数除以8余3，除以12也余3．这个三位数最小是多少？（2）一个三位数除以6余1，除以10余5．这个三位数最小是多少？「分析」看起来和例题1没有太多区别．不过要小心哦，8和12的最小公倍数是81296⨯=吗？练习2．一个三位数除以4余3，除以6也余3．这个三位数最大是多少？例题3．（1）一个数除以7余2，除以11余1．这个数最小是多少？（2）有一队解放军战士，人数在150人到200人之间，从第一个开始依次按1，2，3，，9的顺序报数，最后一名战士报的数是3；如果按1，2，3，，7的顺序报数，最后一名战士报的数是4．请问：一共有多少名战士？「分析」所求自然数要满足两个余数条件，直接处理并不容易，但我们可以先让它满足其中一个余数条件，在此前提下满足另一个余数条件．一个三位数除以5余2，除以7余3．这个三位数最小是多少？如果两个数除以同一个数，所得的余数相同，我们称这两个数同余．例如195除以9余6，15除以9也余6，我们就说“195和15除以9同余”．我们之前总结的余数性质以及余数的可替代性都是在同余的前提下进行的，例如195与它的数字和除以9是同余的，1135与它的末两位数字除以4是同余的．而处理余数问题的方法，除了用余数性质、余数可替代性以及分解求余几种方法以外，我们还有一个极其有用的手段：转化成整除问题！195与15除以9的时候同余，19515180-=则是9的倍数；1135与35除以4的时候同余，则1135351100-=是4的倍数．也就是说：- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4．（1）1024除以一个两位数，余数为23，那么这个两位数可能是多少？（2）100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？被除数除数商余数，被除数是1024，余数是23，说明除数和商要满「分析」（1）由÷=足什么条件？（2）利用同余的定义就可以解决这个问题．练习4．（1）用150除以一个整数，所得余数是15，请问：这个除数可能是多少？（2）80和56除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？例题5．刘叔叔养了400多只兔子．如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里也有2只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？「分析」兔子数量要满足哪些余数条件？把63个苹果，90个桔子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？「分析」这些同学一共分了多少个水果？人数和分掉的水果数有什么关系？未来的数学家——节选自《怎样解题》乔治·波利亚未来的数学家应该是一个聪明的解题者，但仅仅做一个聪明的解题者是不够的．在适当的时候，他应该去解答重大的数学题目，而首先他应该搞清楚他的天资特别适合于哪种类型的题目．对他来说，工作中最重要的那部分就是回去再看一下完整的解答．通过考察他的工作过程和最后的解答形式，他会发现要认识的东西真是千变万化，层出不穷．他可以深思题目的困难之处及决定性的观念，他可以尝试去了解是什么阻碍了他，又是什么最后帮助了他．他可以注意寻找简单直观的念头：你能一眼就看出它来吗？他可以比较和发展各种方法：你能以不同的方式推导这个结果吗？他可以尝试通过将当前的题目和以前的解过的题目作比较以使当前的题目更加清晰．他可以尝试创造一些新题目，而这些新题目可以根据他刚刚完成的工作解答出来：你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？如果他对解答过的题目尽可能地完全消化吸收，他就可以获得井然有序的知识，以备今后随时调用．和其他所有人一样，未来的数学家通过模仿和练习来学习．他应该注意寻找正确的模范；他应该觉察到一个能激励人心的教师；他应该和一位能干的朋友竞赛．然后，可能最重要的是，他不仅应该阅读通用的教材，还应阅读优秀作者的作品，直到他找到一个作者，其方式是他天生倾向于模仿的．他应该欣赏和寻求在他看来简单的或有启发性的或美的东西．他应该解题，选择适合他思路的那些题目，思考它们的解答，并创造新的题目．他应该通过这些方法及所有其他方法来努力做出他的第一个重大发现：他应该发现自己的好恶、趣味以及自己的思路．陶哲轩（1975-）澳籍华裔数学家，“菲尔兹”奖获得者．13岁成为国际奥林匹克数学金牌得主．20岁获得普林斯顿大学博士学位．24岁成为加利福尼亚大学洛杉矶分校有史以来最年轻的正教授．2006年，31岁时获得数学界的诺贝尔奖“菲尔兹”奖．目前已发表超过230篇学术论文．作业1.在小于50的数中，与67除以11同余的数有哪些？作业2.一个自然数除以7余3，除以27余5，这个自然数最小是多少？作业3.2025除以一个两位数，余数是75，这个两位数是多少？作业4.1986和2011这两个数除以同一个两位数，得到相同的余数，这个两位数是多少？作业5.韩信点兵：有兵四五百，五五数之余三，七七数之余四，九九数之余五．那么这队兵有多少人？第二十二讲物不知数与同余例题1.答案：（1）17；437．（2）106；216详解：（1）这是一道余同的问题．这个数最小是17，第二小是[21,20]17437+=．（2）这是一道缺同的问题．这个自然数加上4即可被11和10整除，[11,10]110=，因此这个数最小为1104106⨯-=．-=．第二小的是11024216例题2.答案：（1）123．（2）115详解：（1）这是一道余同的问题．满足条件的数可表示为[8,12]3⨯+，其中n为自然n数．要求满足条件的最小三位数，应令n为5，即[8,12]53123⨯+=．（2）这是一道缺同的问题．满足条件的数可表示为[6,10]5⨯-，其中n为自然数．要求满足条件的最n小三位数，应令n为4，即[6,10]45115⨯-=．例题3.答案：（1）23；（2）165详解：（1）采用逐步满足条件法．满足第二个条件的数为1，12，23，……发现23同时满足第一个条件，因此这个数最小是23；（2）战士的人数除以9余3，除以7余4，满足这两个条件最小的数是39，不断加63，直到满足限制条件，最后得到165．例题4.答案：（1）77、91；（2）16、8详解：（1）1024231001-=，可知除数是1001的约数．其中大于23的有77和91；（2）-=，可知除数是16的约数，可能是1、2、4、8和16．但因为余数不为0，1008416只能是16和8．例题5.答案：467详解：兔子数除以3余2，除以5余2，除以7余5．所有满足前两个条件的数为2[3,5]n+⨯，其中n为自然数，即2，17，32，47，……其中47同时满足第三个条件．所有满足条件的数为47[3,5,7]n+⨯，其中n为自然数．n取4时满足条件，为467．例题6.答案：20详解：从整体的角度出发考虑问题，水果总数减去没有分出去的水果数，得到的数应为学生数的倍数．639013025258++-=，258的约数有1、2、3、6、43、86、129、258，其中43满足条件．苹果剩下20个，桔子剩下4个，梨剩下1个，因此剩下个数最多的水果剩下20个．练习1.答案：（1）3．（2）31简答：（1）这个自然数减去3以后是4和5的公倍数，所以最小是3；（2）这个自然数加上4以后是5和7的公倍数，所以最小是31．练习2.答案：999这是一道余同的问题．满足条件的数可表示为[4,6]3⨯+，其中n为自然数．要求满n足条件的最大三位数，应令n为83，即[4,6]833999⨯+=．练习3.答案：122简答：使用逐步满足条件法，满足第一个条件的数依次为2、7、12、17，17正好除以7余3，那么同时满足两个条件的数最小是17．然后依次为52、87、122．最小是三位数是122．练习4.（1）27、45、135；（2）24、12、6、3简答：（1）15015135-=，除数是135的约数．其中大于15的有135、45和27；（2）-=，除数是24的约数，可能是1、2、3、4、6、8、12和24．但要满足余数805624不为0，除数只能是3、6、12和24．作业1.答案：1，12，23，34，45简答：除以11的余数都是1．作业2.答案：59简答：除以27余5的数有5、32、59、…，其中除以7余3的第一个数是59．作业3.答案：78简答：这个两位数是2025751950-=的约数，其中比75大的只有78．作业4.答案：25简答：这个两位数是2011198625-=的约数，只能是25．作业5.答案：473简答：先列出除以9余5的数，从中找除以7余4的数，再从剩下的数中找除以5余3的数．。

高斯小学奥数五年级上册含答案_整除问题初步

第一讲整除问题初步从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论．什么是数论呢？人类从学会数数开始，就一直和整数打交道．人们在对整数的应用和研究中，探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现了数论这门学科．确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科．我们就从最基本的性质——整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧．数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇冠”．一、整除的定义二、整除的一些基本性质：1．尾数判断法（1）（2（32．数字求和法3．奇偶位求差法我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，……，统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2、4、6位，……，统称为偶数位．我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和”，把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”．下面我们来看一下如何运用这些性质．例题1.判断下面11个数的整除性：23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407（1）这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？（2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？（3）哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？（4）哪些数能被11整除？【分析】关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不妨根据整除特性判断一下．练习1.在数列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314中哪些数能被4整除，哪些数能被3整除，哪些数能被11整除？如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被3整除；同样的，如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11整除．从中我们可以总结出如下规律：例题2.173是一个四位数．文老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9，11，8整除．”问：文老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？【分析】本题包括三个小问题，我们逐个分析．需要分别用到9、11和8的整除特性．练习2.在23的方框内先后填上3个数字，分别组成3个三位数，使它们依次被3、4、5整除．上面我们已经学习了如何利用“整除特征”，解决单个数的整除问题．下面我们再来看一看，涉及多个数的整除问题应该如何解决．例题3.牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上．但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“678”，其中方框表示破了的洞．牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元．请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？【分析】这45名员工的工资都一样，所以总工资就能被45整除．我们没有学过被45整除的数的特征．但注意到4559=⨯，于是678应该能同时被5和9整除，那么先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？练习3.四位数33能被36整除，那么这个四位数可能是多少？在例3中，我们并不知道45的整除特征，但是，能被45整除的数，也能被5和9整除，那么只需考虑5和9的整除特征即可．请同学们注意，虽然，但是在考虑能否被45整除时，不能只考虑被3和15整除．你能想明白为什么吗？例题4. 一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话．服务人员告诉他，目前只有形如“123468”的号码可以申请．也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动．王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码．请问：他申请的号码可能是多少？【分析】要被8整除，说明号码的后三位68是8的倍数．想一下，这样的三位数是唯一的吗？练习4. 七位数22333能被44整除，那么这个七位数是多少？有时候满足题目条件的答案会非常多．如果只要求找出最大的或最小的，我们只需要从极端情况考虑即可．例题5. 在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？最大是多少？【分析】要想让五位数最大且数字不重复，每个数位上的数字应该依次是9、8、…．如果想让五位数尽量小，是不是应该依次是1、2、…呢？例题6. 由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【分析】要想能被11整除，奇位和与偶位和的差应该是11的倍数．那么奇位和与偶位和的和又是什么呢？45315=⨯ 4559=⨯200的方框中填入两个数整除，实际根本不用考虑4，只要考虑整除．如果你还要再考虑4的整除性，那就多作业1.下面有9个自然数：48，75，90，122，650，594，4305，7836，4100．其中能被4整除的有哪些？能被25整除的有哪些？2.有如下5个自然数：12345，189，72457821，333666，54289．其中能被9整除的有哪些？3.有如下5个自然数：3124，3823，45235，5289，5588．其中能被11整除的有哪些？4.125是一个四位数．王老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9，11，8整除．”问：王老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？5.阿呆买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：11.4元（表示不明数字）．请问总价应该是多少？第一讲整除问题初步例题1.答案：（1）能被4整除的有3568、5880、6512、864；能被8整除的有3568、5880、6512、864．（2）能被25整除的有8875、93625；能被125整除的有8875、93625．（3）能被3整除的有23487、6765、5880、198954、864；能被9整除的有198954、864．（4）能被11整除的有407、6765、6512．例题2.答案：21详解：要想让四位数能被9整除，数字和得是9的倍数，空格中要填7．要想让四位数能被11整除，奇位和与偶位和的差得是11的倍数，空格中要填8．要想让四位数能被8整除，需要后三位即73是8的倍数，空格中要填6．三个数字之和是21．例题3.答案：67680或67185详解：根据题意，这个数能被45整除，即能同时被5和9整除，个位只能是0或5，对应的百位是6或1．例题4.答案：12345608、12341648、12348688详解：末三位被8整除，十位数字只能是0、4、8．要满足号码能被11整除对应的千位数字只能是5、1、8．例题5.答案：10395；98730详解：要被45整除，五位数既得是5的倍数，也得是9的倍数．那么五位数的末尾只能是0或5．先来看最小的数．要让前面数位上的数字尽量小，可以是105．要满足它是9的倍数且最小，应该是10395．再来看最大，要让前面数位上的数字尽量大，可以是985或980．要满足它是9的倍数且最大，应该是98730．例题6.答案：875413详解：要想是11的倍数，奇位和与偶位和的差得是11的倍数．这六个数字的和是28，而最大的三个数的和是20，也就是说无论是奇位还是偶位之和都不会超过20，所以只能把28分成两个14，偶位为8、5、1，奇位为7、4、3．练习1.答案：能被4整除的数有3124、312、5588；能被3整除的数有312、5289、7314；能被11整除的数有3124、5588．练习2.答案：本题的答案不止一种，要想被3整除，空格中可以填1、4、7．要想被4整除，空格中可填2或6．要想被5整除，空格中可填0或5．练习3.答案：3132或3636简答：要想被36整除，这个四位数要既是4的倍数，也是9的倍数．要想是4的倍数，个位上的空格中可填2或6．要想满足四位数是9的倍数，百位上的空格对应要填1或6．练习4.答案：2213332或2283336简答：这个七位数既是4的倍数，也是11的倍数．要想是4的倍数，个位上的空格中可填2或6，剩下的空格中对应可填1或8．作业1.答案：48，7836，4100；75，650，4100简答：4和25看末两位．作业2.答案：189，72457821，333666简答：被9整除看数字和．作业3.答案：3124，5588简答：被11整除看奇位和与偶位和的差．作业4.答案：11简答：填入的三个数字分别为1，4，6，数字和为11．作业5.答案：811.44元简答：7289=⨯，分别考虑8和9的整除特性．。