绳末端速度的分解处理方法及提升

绳末端速度的分解处理方法及提升

林西一中物理组王冰

在学习“运动的合成和分解”这一部分内容时，会遇到这样一类题：跟不可伸长的绳有关，解题时要进行绳末端速度的分解。学生在学习时表现出困惑和不理解，同时这是学生学习中的难点和易错点。现就这类题结合例题说明，并举一反三，进行解题的提高。

题1. 如图1，人在岸上用跨过滑轮的绳，拉水中小船，人以速度v匀速前进，求当船头绳与水平方向的夹角为θ时，船速V的大小。

学生常见错误：

把船速看作是绳速v

这样画的错误在于：物体的实际运动速度才是合速度，在人拉小船靠岸的过程中，小船的实际运动速度（即合速度）为水平向前，那么把v当做小船的实际速度，当然是不对的。解决问题的关键：

(1)弄清题目中所涉及的速度关系；

(2)分清哪个是合速度，哪个是分速度；

(3)我们的研究对象是物体，用什么手段研究它的运动。

为解决问题，对几个速度及研究对象加以说明：

几个速度：

1，绳端速度：即绳子末端的速度，也就是与绳末端相连的物体的速度，是合速度。例如题1中，绳左端的速度就是人的速度v，绳右端的速度是小船的速度V，v与V都是合速度。2，绳身的“移动”速度：是指绳子通过滑轮的速度，其大小对于同一根绳来说，个点均相同，其方向总是沿着绳子方向。绳身移动速度是联系两端物体速度关系的纽带，它在绳的两端往往又扮演着不同角色，可能等于物体速度，也可能是物体速度的一个分量。

判断方法是：看绳端物体速度方向是否沿着绳子方向，如果绳端速度沿着绳子的方向，那么绳身移动的速度就是物体的速度。例如题1中，绳身移动速度在左端等于人的速度v；

若绳端物体速度方向与绳子有一定夹角时，则绳身速度就是物体的一个分速度，例如题1中，绳身移动速度在右端就是小船速度V的一个分量。

3，绳身的“转动”速度：当绳身移动速度作为绳子某端物体速度的一个分速度时，该绳端物体速度的另一个分速度，就是与绳子垂直的“转动”速度，该速度反映绳子以滑轮为轴，向上或向下转动的快慢。例如题1中，小船靠岸的过程中，绳右端绕滑轮向下转动，则绳右端转动速度的方向是垂直于绳子向下的。

研究对象：

从问题入手，求船速V的大小，以小船为研究对象，那我们分析小船在靠岸的过程中，是一直向前走的，这不能是我们得打答案。题目中给了人的速度v，怎样把人和小船联系起来呢？

通过绳子！小船与绳子末端相连，我们把小船与绳端的接触点作为研究对象，它既是船上的一点，与船拥有相同的速度，也是绳上的一点。在小船向前运动的过程中对绳产生了什么样的效果呢？我们不妨让小船移动一下，看图在小船向前移动的过程中，绳末端P 点是如何运动的呢？

绳末端P 点实际在向前移动，这是P

同时P 点亦是绳上的一点，在运动中绳产生了这样两个效果，1，滑轮右端的绳子在缩短，人拉了绳在时间

t 内伸长的绳长为L ，那么在相同时间t 里。滑轮右端缩短的绳长也为L ，所以绳身移动的速度就是人移动的速度v 。

2，在绳末端P

点向前移动的过程中，与水平方向的夹角θ，在不断变大，就像P 点以滑轮上的一点在摆动一样，摆动的速度方向与绳身垂直。

解答;

由以上分析可知，人拉着小船靠岸的过程中小船速度V 可分解为沿绳方向的移动速度v

和垂直与绳向下的速度v1.

V 船 = v/cos θ

提升1.根据速度关系找受力关系。

题2． 如图，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车以速度v 匀速向右运动时，物体A 的受力情况是（ ） A. 绳的拉力大于A 的重力 B. 绳的拉力等于A 的重力 C. 绳的拉力小于A 的重力

D. 绳的拉力先大于A 的重力，后变为小于重力。

分析：

小车向右运动的速度，就是绳子末端的速度，为合速度，它的两个分速度v1和v2. v1是拉长绳子的速度，v2是绳末端向上摆动的速度。

所以A 上升的速度V 就等于绳伸长的速度。

V=v1=vcos θ

小车匀速向右运动，θ逐渐减小，cos θ变大， 可知，A 的速度V 变大，故A 做加速运动，

由A 得受力及牛顿第二定律可知绳的拉力大于A 的重力。 故答案选A 。

提升2，无绳似有绳。=

题3. 高空气象气球是研究气象的重要工具，它可以进入云层中，实测云的气压，湿度和温度等参量而无需人为操纵，已知在海拔2000m 内，每升高12m ，气压降低1mmHg.当气球上压强计读书为660 mmHg 时，地面气压为1标准大气压，如气球上测速仪损坏后，地面上的研究人员用一束激光照射气球，并随气球一起移动，假定气球在相同高度沿直线向前漂行，激光束在竖直面内以角速度ω=0.02rad/s 匀速移动，当光束偏离竖直方向夹角θ=60°时，此高空气球移动的速度是多大？

分析:

此题将绳演变为激光束，更为抽象，并涉及大气压和圆周运动的有关知识，具有较强的

从问题入手，所求气球移动速度V 气球为高H 处气球的实际速度，亦为激光束末端光斑（演化为绳末端）移动的速度，两个分速度，v1似绳伸长的速度，v2为绳绕激光束转动的速度，角速度与激光束光源转动的角速度ω相同。

解：气球离地高度：H=12（760-660）=1200m ， 激光束光源到气球的距离：r=H/cos θ=2400。

v2=ωr=0.02•2400=48m/s 所以；V=v2/ cos θ=96m/s

提升3，“不可伸长的绳” VS “不可伸长的杆”

题4：如图所示，一轻杆两端分别固定质量为m A 和m B 的两个小球A 和B （可视为质点）。将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成α角时，A 球沿槽下滑的速度为V A ，求此时B 球的速度V B ？

解析：A 球以V A 的速度沿斜槽滑下时，可分解为：一个使杆压缩的分运动，设其速度为V A1；一个使杆绕B 点转动的分运动，设其速度为V A2。而B 球沿斜槽上滑的运动为合运动，设其速度为V B ，可分解为：一个使杆伸长的分运动，设其速度为V B1，V B1=V A1；一个使杆摆动的分运动设其速度为V B2；

由图可知：ααcos sin 11A A B B V V V V ===

αcot ⋅=A B V V

提升4，巧解综合问题

题5 ：一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A （此时杆与水平方向夹角为θ）。

解析：从问题入手，求小球A 的线速度。必是根据已知条件物块的速度v 求解。A 与物块有什么关系呢？都与杆接触。

以物块与杆的接触点为研究对象，接触点在物块上，与物块的速度相同，又在杆上，参与杆的运动。在物块向前移动的过程中，接触点沿杆滑动，同时又随杆转动。 对接触点进行速度的分解：v 2=vsin θ。 杆上转动的角速度相同；

设此时OB 长度为a ，则a=h/sin θ。 令棒绕O 点转动角速度为ω，则：

ω=v 2/a=vsin 2θ/h 。 故A 的线速度v A =ωL =vLsin 2θ/h 。

B