随机变量及其概率分布
2.1随机变量及其概率分布
例1
袋中有3只红球， 只白球 从中任意取出3只球 只白球， 只球， 袋中有 只红球，2只白球，从中任意取出 只球， 只红球 写出所有的基本事件，并观察取出的3只球中的红 写出所有的基本事件，并观察取出的 只球中的红 球的个数． 球的个数． 我们将3只红球分别记作 只红球分别记作1， ， 号 我们将 只红球分别记作 ，2，3号，2只白球分别 只白球分别 记作4，5号，则该试验的所有基本事件为： 记作 ， 号 则该试验的所有基本事件为： ）（1， ， ）（ ）（1， ， ） （1，2，3）（ ，2，4）（ ，2，5） ， ， ）（ ）（1， ， ）（ ）（1， ， ） （1，3，4）（ ，3，5）（ ，4，5） ， ， ）（ ）（2， ， ）（ ）（2， ， ） （2，3，4）（ ，3，5）（ ，4，5） ， ， ）（ （3，4，5） ， ， ）
例题分析：
例 4、同时掷两颗质地均匀的骰子， 、同时掷两颗质地均匀的骰子， 观察朝上一面出现的点数。求两颗骰 观察朝上一面出现的点数。 的概率分布， 子中出现的最大点数 X 的概率分布， 并求 X 大于 2 小于 5 的概率 P(2<X<5).
例题分析：
个灯泡， 例 5、已知盒中有 10 个灯泡，其 、 个正品， 个次品.需要从中 中 8 个正品，2 个次品 需要从中 取出 2 个正品，每次取出 1 个， 个正品， 取出后不放回， 取出后不放回，直到取出 2 个正 品为止.设 为取出的次数， 品为止 设ξ为取出的次数，求ξ 的分布列
此表称为随机变量X的概率分布表。它和① 此表称为随机变量 的概率分布表。它和①都叫做随 机变量X的概率分布。 机变量 的概率分布。
随机变量X的概率分布列：
X P x1 p1 x2 p2 … … xn pn
概率分布与随机变量的分布函数计算
概率分布与随机变量的分布函数计算随机变量是概率论和统计学中一个重要的概念，它被用来描述随机试验的结果。
概率分布是随机变量的可能取值及其相应概率的分布。
在本文中，我们将讨论如何计算概率分布和随机变量的分布函数。
一、概率分布的计算概率分布可以通过概率质量函数（probability mass function，简称PMF）或概率密度函数（probability density function，简称PDF）来描述。
这取决于随机变量是离散型还是连续型。
1. 离散型随机变量的概率分布计算对于离散型随机变量，其概率分布可以通过概率质量函数来计算。
概率质量函数给出了每个可能取值的概率。
假设随机变量X的取值集合为{x1, x2, ... , xn}，对应的概率分布为{P(X=x1), P(X=x2), ... , P(X=xn)}。
其中P(X=xi)表示X取值为xi的概率。
2. 连续型随机变量的概率分布计算对于连续型随机变量，其概率分布可以通过概率密度函数来计算。
概率密度函数是一个函数，描述了随机变量在某个取值点附近的概率密度。
假设随机变量X的概率密度函数为f(x)，则X在区间[a, b]上的概率可以通过计算f(x)在该区间上的面积来得到，即P(a ≤ X ≤ b) = ∫(a to b)f(x)dx。
二、随机变量的分布函数计算随机变量的分布函数是一种用来描述随机变量取值分布情况的函数。
对于离散型随机变量和连续型随机变量，它们的分布函数的计算方式是不同的。
1. 离散型随机变量的分布函数计算离散型随机变量的分布函数（cumulative distribution function，简称CDF）定义为随机变量小于等于某个取值的概率。
CDF可以通过累加概率质量函数来计算。
对于随机变量X的概率分布{P(X=x1), P(X=x2), ... , P(X=xn)}，其对应的分布函数为F(x) = P(X≤x) = ∑(xi≤x) P(X=xi)。
第二章随机变量及其分布
第二章 随机变量及其概率分布§2.1 一维离散型随机变量一、基本概念★知识点精讲1.一维离散型随机变量的分布及分布律（1）离散型随机变量：若随机变量X 只取有限多个或可列无限多个值，则称X 为离散型随机变量。
（2）分布律： ,2,1,}{===k p x X P k k或（3）性质：① ,2,1,0=≥k p k ②∑∞==11k k p2.常用的离散型分布 （1）0-1分布),1(p B分布律 ：X 0 1 P p -1 p 其中 p 为事件A 出现的概率，0<p<1. （2）二项分布),(p n B在n 重伯努利试验中，每次试验事件A 出现的概率为p ，X 表示在n 次试验中事件A 出现的次数，X 的分布律为：n k p p C k X P k n k kn,,2,1,0,)1(}{ =-==- 当n 充足大时，随机变量X 也服从np =λ的泊松分布。
（3）泊松分布)(λP 分布律为： ,2,1,0,!}{===-k e k k X P kλλ3.离散型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，其概率分布为则)(X f Y =的概率分布为：（1）当),2,1)(( ==i x f y i i 的各值i y 互不相等时，Y 的概率分布为：（2）当),2,1)(( ==i x f y i i 的各值i y 不是互不相等时，应把相等的值分别合并，并相对应地将其概率相加。
例如j i y y =，则Y 的概率分布为：★ 题型归纳及解题技巧例1.设随机变量X则k=（ ） A.0.1 B.0.2 C.0.3D.0.4 解：选Ｄ。
因为∑==11k k p ，故11.03.02.0=+++k ，得4.0=k 。
例2．设离散型随机变量X 的分布律为 （关于离散型随机变量概率求法）则P{-1<X ≤1}=（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7解：选AP{-1<X ≤1}=P{X=1}=0.3例3.已知随机变量X 的分布律为则A.0.2B.0.7C.0.55D.0.8 解：选Ｂ。
第二章随机变量及其概率分布(概率论)
当 x ≥ 1 时,F ( x) = P( X ≤ x) =P( X = 0) + P( X = 1) =1 ⎧0 x < 0
所以 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1. ⎪⎩1 1 ≤ x
⎧0 x < 0 分布函数为 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1
⎪⎩1 1 ≤ x
分布函数图形如下
F(x) 1 0.3
x 01
3
例 设X的概率分布律如下,求X的分布函数. X012 P 0.4 0.35 0.25
解
⎧0
x<0
F
(
x)
=
⎪⎪ ⎨
⎪
0.4 0.75
0≤ x<1 1≤ x<2
⎪⎩ 1
x≥2
由此可见
(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分 段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯 形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的 对应概率值.
z 泊松在数学方面贡献很多。最突出的是1837 年在提出泊松分布。
z 除泊松分布外，还有许多数学名词是以他的 名字命名的，如泊松积分、泊松求和公式、 泊松方程、泊松定理。
当一个随机事件,以固定的平均瞬时速率 λ随机独立地出现时,那么这个事件在单 位时间(面积或体积)内出现的次数或个数 就近似地服从泊松分布。
解: 依题意, X可取值 0, 1, 2, 3.
设 Ai ={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路口3
路口2
P(X=0)= P(A1)=1/2,
路口1
X=该汽车首次停下时通过的路口的个数. 设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
随机变量及其分布
f ( x) lim
x 0
xLeabharlann x xlim P{x X x x} lim x
f (x)dx .
x 0
x
x 0
x
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 (x,x+△x] 上的概率与区间长度 △x之比的极限. 这里，如果把概率理解为质 量， f (x)相当于线密度.
f (x)
a
ba
当x b时，
x
a
b
x
F (x) f (t)dt f (t)dt f (t)dt f (t)dt 1.
a
b
因此X ～ U(a, b)的分布函数为：
0
F ( x)
P( X
x)
x b
a
a 1
xa a xb
xb
例1 长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发
车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随
解: 设X表示400次独立射击中命中的次数，则
X～B(400, 0.02)，故 P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1} ＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399) ＝0.9972
例5 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障只能 由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法,其一 是由4人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护 30台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及 时维修的概率大小.
称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
(4) 若x是f(x)的连续点，则 dF(x) F(x) f (x)
dx
设随机变量X的分布函数
F
随机变量及其概率分布
随机变量及其概率分布随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，描述了随机事件的数值特征。
概率分布则用于描述随机变量取值的概率情况。
本文将介绍随机变量及其概率分布的基本概念和常见的概率分布模型。
一、随机变量的定义与分类随机变量是对随机事件结果的数值化描述。
随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量两种。
1. 离散型随机变量离散型随机变量只能取有限个或可数个值，常用字母X表示。
例如，抛掷骰子的点数就是一个离散型随机变量，可能取1、2、3、4、5、6之一。
2. 连续型随机变量连续型随机变量可以取某个区间内的任意值，通常用字母Y表示。
例如，测量某个物体长度的随机误差就可看作是一个连续型随机变量。
二、概率分布的概念与性质概率分布描述了随机变量取值的概率情况。
常见的概率分布包括离散型分布和连续型分布。
1. 离散型概率分布离散型概率分布描述了离散型随机变量取值的概率情况。
离散型概率分布函数可以用概率质量函数（probability mass function，PMF）来表示。
PMF表示了随机变量取某个特定值的概率。
离散型概率分布函数具有以下性质：①非负性，即概率大于等于0；②归一性，即所有可能取值的概率之和等于1。
常见的离散型概率分布有：伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布等。
2. 连续型概率分布连续型概率分布描述了连续型随机变量取值的概率情况。
连续型概率分布函数可以用概率密度函数（probability density function，PDF）来表示。
PDF表示在随机变量取某个特定值附近的概率密度。
连续型概率分布函数具有以下性质：①非负性；②积分为1。
常见的连续型概率分布有：均匀分布、正态分布、指数分布等。
三、常见的1. 伯努利分布伯努利分布描述了一次随机试验中两个互斥结果的概率情况，取值为0或1。
其概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，k=0或1其中，p为成功的概率，1-p为失败的概率。
概率论与数理统计随机变量及其分布
2.2 离散型随机变量及其概率分布
二项分布的图形特点： （1）当（n+1）p不为整数时，二项概率 P{X=k}在k=[(n+1)p]时达到最大值 （2）当（n+1）p为整数时，二项概率 P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达
“未命中目标”;它们都可用（0－1）分布来描述．（0－1）分
布是实际中经常用到的一种分布．
2.2 离散型随机变量及其概率分布
二项分布：若一个随机变量X的概率分布由式
给P出{x，则k称} X服C从nk p参k (数1为pn),np的k , 二k 项0分,1布,..。., n记. 为X~b(n,p)(或
到最大值 讲课本例3和例4 注意二项分布b(n,p)和两点分布的关系
2.2 离散型随机变量及其概率分布
在实际中，我们经常要计算n次独立重 复的贝努利试验中恰好k次成功的概 率 Cnk pk (1 p)nk ，至少有次成功的概
n
率为 Cni pi (1 p)ni 等，当n很大时，要计 i 1
算出它们的确切数值很不容易,那我们 应该怎么做呢?
P{a
xi
b}
P{ {X axi b
xi}}
axi b
pi
而且X所成的任何事件的概率都能够求出来，
P{X I} P{X xi} pi
xi I
xi I
2.2 离散型随机变量及其概率分布
3 常用离散分布
两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X只有两个可能取值， 且其分布为
即求随机变量X的概率分布P(X=0)
3.已知随机变量的分布是
X －2 －1 0 1 2 3
P
1 12
11 43
1 12
1 6
1 12
若 Y 1 X 1, 则Y的分布为 2
Y P
3.已知随机变量的分布是
X －2 －1 0 1 2 3
P
1 12
11 43
1 12
1 6
1 12
若Z=X 2－2X , 则Z的分布为
Y P
布列，也可以用表格表示
X
x1
x2
…
xn
P
P1,
p2
…
pn
此表叫概率分布表，它和分布列都 叫做概率分布。
Pi的性质
• （1）Pi≥0(i=1,2,…,n) • （2）P1+p2+ …+pn=1
例1: 从装有6只白球和4 只红球的口袋 中任取一只白球，用X表示“取到的 白球个数”，即
1 当取到白球时, X 0 当取到红球时,
解:(1)由随机变量的分布的性质有
0.16 a a2 a 0.3 1
10 解得： a
9（5舍）或 a
3
10
5
(2)P(1<ξ<4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.12+0.3=0.42
练习2:已知随机变量 的分布表如下：
－2 －1 0 1 2 3
1 1 1 1 11 P 12 4 3 12 6 12
X0 1 2 3 4 P 3/8 1/3 1/4 0 1/24
课堂练习： 1.把3个骰子全部掷出, 设出现6点的骰 子次数是X , 则(X<2)=___________ .
随机变量及其概率分布
随机变量及其概率分布简介随机变量是概率论和统计学中非常重要的概念之一。
它用于描述随机试验中的不确定性量。
在本文档中，我们将介绍随机变量的概念以及常见的概率分布。
随机变量随机变量是随机试验中的某种观察结果，它可以取不同的值，并且每个值都有一定的概率。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
离散型随机变量离散型随机变量的取值是离散的，它通常用来描述一些可以数清的个体情况，比如扔一次硬币正面朝上的次数。
常见的离散型随机变量包括二项分布、泊松分布等。
连续型随机变量连续型随机变量的取值是连续的，它通常用来描述一些可以测量的连续变量，比如某时间范围内的降水量。
常见的连续型随机变量包括正态分布、指数分布等。
概率分布概率分布是描述随机变量取值的概率的函数。
对于离散型随机变量，概率分布可以用概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）表示；对于连续型随机变量，概率分布可以用概率密度函数（Probability Density Function，PDF）表示。
二项分布二项分布是一种描述离散型随机变量的概率分布。
它描述了在一系列独立的、相同概率的试验中成功的次数。
二项分布的概率质量函数由试验次数、成功次数和成功概率决定。
正态分布正态分布是一种描述连续型随机变量的概率分布。
它是一种钟形曲线，对称分布在均值周围。
正态分布的概率密度函数由均值和标准差决定。
结论随机变量及其概率分布是概率论和统计学中重要的概念。
通过了解随机变量和不同的概率分布，我们可以更好地理解随机事件发生的概率，并应用于实际问题的分析和决策中。
引用本文档所含内容均为作者独立创作，未引用他人内容。
随机变量及其概率分布
离散型随机变量及其概率分布
X
x1
P(X=xi)
p1
x2
……
xi
……
p2
……
pi
……
4
4.3.2 随机变量的概率分布
2、连续型随机变量的概率分布 （1） 对于连续型随机变量，无法研究个别值的概率，只能研究某个区间
的概率： 研究事件X≥x的概率： “超过概率”（exceedance probability）
15
总体统计特征 --- 矩 ➢ 给定随机变量(离散或者连续型)的理论分布, 可以采用矩来描述随机变量 的总体分布特征 ➢ 均值、均方差、变差系数和偏态系数等统计参数可以用矩来表示 ➢ 矩可分为原点矩和中心矩两种
16
---- 原点矩
随机变量X对原点离差的 r 次幂的数学期望 E(Xr) ，称为随机变量X的 r
x_bar= 270
(x-x_bar)^2 28900 25600 22500 16900 14400 532900
Dx= 106867
(x-x_bar)^3 -4913000 -4096000 -3375000 -2197000 -1728000 389017000
sum= 372708000
(Cs>0)
（2）概率分布: 随机变量的取值与其概率的对应关系 （3）通常随机变量用大写字母X表示，它的种种可能取值用相应的小写字 母x表示。 若取n个， 则X＝x1，X=x2 ，……，X＝xn。一般将x1，x2 ，……， xn称为系列。而可能取值出现的概率用P表示。
3
1、离散型随机变量的概率分布 离散型随机变量的概率分布一般以分布列表示，如下表所示。
其计算式为:
CV x
(ki 1)2 n
第二章 随机变量及其函数的概率分布
第二章 随机变量及其函数的概率分布§2.1 随机变量与分布函数§2.2 离散型随机变量及其概率分布一、 填空题1. 某射手每次命中目标的概率为0.8，若独立射击了三次，则三次中命中目标次数为k 的概率==)(k X P 3,2,1,0,)2.0()8.0(33=-k C k k k ；2. 设随机变量X 服从泊松分布，且)2()1(===X P X P ，则==)4(X P 0.0902 ；3. 设X 服从参数为p 的两点分布，则X 的分布函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<=1 ,110 ,10,0)(x x p x x F ；4. 已知随机变量X 的概率分布：P(X =1)=0.2, P(X =2)=0.3, P(X =3)=0.5, 则其分布函数)(x F =0 10.2 120.5 231 3x x x x <⎧⎪≤<⎪⎨≤<⎪⎪≥⎩，，，，；5. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=3,131 ,8.011 ,4.01, 0)x x x x x F （, 则X 的概率分布为(1)0.4,(1)0.4,(3)0.2P X P X P X =-=====。
二、选择题设离散型随机变量X 的分布律为λ>=λ==则且,0),,2,1()(b k b k X P k 为（B ） (A) λ>0的任意实数; (B) ；11+=b λ (C) λ=b +1; (D) 11-=b λ. 三、 计算下列各题1. 袋中有10个球，分别编号为1~10，从中任取5个球，令X 表示取出5个球的最大号码，试求X 的分布列。
解 X 的可能取值为5，6，7，8，9，10 且10,9,8,7,6,5 ,)(51041===-k C C k X P k所以X 的分布列为2. 一批元件的正品率为4，次品率为4，现对这批元件进行有放回的测试，设第X 次首次测到正品，试求X 的分布列。
随机变量及其概率分布
第二章随机变量及其概率分布【内容提要】一、随机变量及其分布函数设是定义于随机试验的样本空间上的实值函数，且，是随机事件，则称为随机变量，而称为其概率分布函数。
随机变量的概率分布函数具有如下性质:⑴．非负性:，有；⑵．规范性:；⑶．单调性: 若，则；⑷．右连续性:，有。
二、离散型随机变量1．离散型随机变量及其概率分布律若随机变量只取一些离散值，且取到这些值的概率满足，则称为离散型随机变量，而称为其概率分布律，记为，也可用下表来表示:而其概率分布函数是单增、右连续的阶梯形函数。
2．常用离散型分布⑴．单点分布:为常数；⑵．二项分布:；特别当时，二项分布退化为两点分布；⑶．超几何分布:；⑷．分布:；特别当时，分布退化为几何分布；⑸．分布:。
三、连续型随机变量1．连续型随机变量及其概率密度函数若随机变量的一切可能取值充满了某一区间，且存在一个实值函数，使其概率分布函数，且，则称为连续型随机变量，而称为其概率密度函数，记为。
连续型随机变量的密度函数与分布函数之间有满足。
2．常用连续型分布⑴．分布:设为常数，则分布的密度函数为:,特别当时，分布即均匀:；⑵．分布:设为常数，则分布的密度函数为:,特别当时，分布即指数分布:；⑶．正态分布:。
四、随机变量函数的分布设为随机变量，而为连续的确定型函数。
⑴．若为离散型随机变量，且，则也是离散型随机变量，其概率分布律为: ；⑵．若为连续型随机变量，且，则也是连续型随机变量，其概率密度函数为:。
【第二章作业】1、从的自然数中随机地取出个数，用表示所取的个数中的最大值，求其概率分布。
解:发生所取的个数中有一个是，其余个是从中取到的，故，，即2、将一枚均匀的硬币连掷次，用表示出现的正、反面次数之差，求其概率分布。
解:用表示将一枚均匀的硬币连掷次时，正面出现了次，则，即3、设随机变量的概率分布如下，求:0 1 2 3 4 5解:由题设知所求概率为:，，。
4、设随机变量的概率分布为，求常数。
第四章 随机变量及其概率分布
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6
第二章 随机变量及其概念分布
即有 X (红色)=1 , X (白色)=0.
X
(e
)
1,
0,
e 红色, e 白色.
这样便将非数量的 ={红色，白色} 数量化了.
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第二章 随机变量及其概念分布
实例2 抛掷骰子,观察出现的点数. 则有
P{ x1 X x2} P{ X x2}P{ X x1}
?
F ( x2 )
F ( x1 ) 分布
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ).
函数
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第二章 随机变量及其概念分布
2.分布函数的定义
定义 设 X 是一个随机变量, x是任意实数,函数 F(x) P{X x}
={1，2，3，4，5，6}
样本点本身就是数量 恒等变换
X (1) 1, X (2) 2, X (3) 3, X (4) 4, X (5) 5, X (6) 6,
且有
P{ X i} 1 , (i 1,2,3,4,5,6). 6
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第二章 随机变量及其概念分布
实例3 结果:
掷一个硬币, 观察出现的面 , 共有两个 e1 (反面朝上), e2 (正面朝上),
若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有
e1 (反面朝上)
X (e)
0 X (e1) 0
e2 (正面朝上)
1 X (e2 ) 1
即 X (e) 是一个随机变量.
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鼠的标号为 Y ，则随机变量 Y 的可能取值有哪些？
．随机变量的概率分布：
随机变量分布列的性质：
数学运用 例 2 ．从装有 6 只白球和 4 只红球的口袋中任取一只球，用
X 表示“取到的白球个数”， 即
1, 当取到白球时，
X
求随机变量 X 的概率分布．
0, 当取到红球时，
例 3：同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．求两颗骰子中出现的最大点
数 X 的概率分布，并求 X 大于 2 小于 5 的概率 P(2 X 5) ．
例 4：从装有 6 个白球、 4 个黑球和 2 个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑 球赢 2 元，而每取出一个白球输 1 元，取出黄球无输赢，以 X 表示赢得的钱数，随机变量 X 可以取哪些值呢？求 X 的分布列
回顾小结 : 作业：步步高 P103
抛掷一颗骰子，向上的点数 Y 是 1， 2， 3， 4 ， 5， 6 中的某一个数；
新生婴儿的性别， 抽查的结果可能是男，也可能是女．如果将男婴用
0 表示，女
婴用 1 表示，那么抽查的结果 Z 是 0 和 1 中的某个数；
……
二、建构数学 随机变量：
例 1．（ 1 ）掷一枚质地均匀的硬币一次，用 X 表示掷得正面的次数，则随机变量 X 的可能
练习： 1、设 X 的分布列为
-1
1
2
P
1/3
1/2
1/6
求 P(0<X ≤2)
2、若随机变量 X 的分布列为：试求出常数 c．
X
０
１
P
9 c 2 -C
3-8C
3、设有一批产品 20 件，其中有 3 件次品，从中任意抽取 2 件，如果用 X 表示取得的次品 数，求随机变量 X 的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。
教学目标
随机变量及其概率分布
（ 1）在对具体问题的分析中，了解随机变量、离散型随机变量的意义，理解取有限值
的离散型随机变量及其概率分布的概念；
（ 2）会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布，认识概率分布对于刻画随机现象
的重要性； 教学过程 一、问题情境
在一块地里种下 10 棵树苗，成活的树苗棵数 X 是 0 ， 1 ，…， 10 中的某个数；