_抛物线的切线及其性质初探

·童嘉森数学之窗·
“人”的结构就是相互支撑，“众”人的事业需要每个人的参与．
由均值不等式，得ｔａｎθ≤２ｙ槡２３ｙ＝槡３３
．因为θ为锐角，所以θ的最大值是３０°．
当且仅当ｙ２
＝３，
即ｙ＝±
槡３时取得最大值．３　利用定义与平面几何性质破解
例４　（２０１１年广东卷）
设动圆Ｃ与２个定圆（ｘ＋槡５）２＋ｙ２＝４，（
ｘ－槡５）２＋ｙ２
＝４中的一个内切，另一个外切．
（１）求动圆Ｃ的圆心的轨迹Ｌ的方程．
（２）已知点Ｍ（槡３　５５，槡４　５５），Ｆ（槡５，０），且点Ｐ为Ｌ上动点，求｜｜ＭＰ｜－｜ＦＰ｜｜的最大值及此时点Ｐ的坐标．
解　（１）设圆心Ｃ（ｘ，ｙ）
，由题设条件知｜（ｘ＋槡５）２＋ｙ槡２－（ｘ－槡５）２＋ｙ槡２
｜＝４，
化简，得Ｌ的方程为ｘ２４
－ｙ２
＝１．
（２）将ｌＭＦ：
ｙ＝－２（ｘ－槡５），代入Ｌ的方程，得１５ｘ２　
－槡３２　５ｘ＋８４＝０．解得ｘ１＝６５槡５，ｘ２＝１４１５
槡５．从而ｌＭＦ与Ｌ的交点是Ｔ１（６５槡５，－２５槡５）和Ｔ２（１４１５
槡５，２１５
槡５）．图２
如图２所示，因Ｔ１在线段ＭＦ外，Ｔ２在线段ＭＦ内，
故｜｜ＭＴ１｜－｜ＦＴ１｜｜＝｜ＭＦ｜＝２，｜｜ＭＴ２｜－｜ＦＴ２｜｜＜｜ＭＦ｜＝２．
若点Ｐ不在直线ＭＦ上，在△ＭＦＰ中有
｜｜ＭＰ｜－｜ＦＰ｜｜＜｜ＭＦ｜＝２．
故｜｜
ＭＰ｜－｜ＦＰ｜｜只在Ｔ１点取得最大值２．
利用圆锥曲线的定义和平面几何中的对称关系、
三角形三边关系、两点之
间线段最短等来处理，可使求最值问题的解答过程简捷明快．
（作者单位：甘肃省会宁县头寨中学）
◇　北京 李　锋１　于海龙２　童嘉森３
（
特级教师） 中学教材中比较透彻地研究了直线与圆相切问
题，对于直线与其他曲线，特别是圆锥曲线相切的问
题教材并未介绍
，
但这并不意味着高中学生对这个问题没有解决办法，特别是在引进了导数这一工具性知识后，对于一些简单的圆锥曲线的切线问题我们就有了一定的解决办法．本文就抛物线的切线及其性质问题进行一个初步的讨论．
例１　如右图，已知抛物
线ｘ２＝４ｙ的焦点为Ｆ，
ＡＢ是抛物线的焦点弦，过Ａ、Ｂ　
２点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
证明（１）点Ｍ在抛物线的准线上；
（２）→ ＦＭ·→ ＡＢ为定值．
证明　（１）设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则ｙ１＝
ｘ２１４，ｙ２＝ｘ２
２
４
，由已知，焦点Ｆ（０，１）．设直线ＡＢ的方程为：ｙ＝ｋ
ｘ＋１，则由ｙ＝ｋｘ＋１，ｘ２
＝４ｙ｛
，
得ｘ２
－４ｋｘ－４＝０，所以ｘ１
ｘ２＝－４．由ｙ＝１４ｘ２求导得ｙ′＝１２
ｘ，所以过Ａ，Ｂ　
２点的切线方程分别为：
ｙ＝１２ｘ１（ｘ－ｘ１）
＋ｘ２
１
４，ｙ＝１２ｘ２（ｘ－ｘ２）
＋ｘ２
２
４
，即ｙ＝１２ｘ１ｘ－ｘ２１４，ｙ＝１２ｘ２
ｘ－ｘ２２
４
．由上式可得２（ｘ１－ｘ２）ｘ＝ｘ２１－ｘ２２．显然ｘ１≠
ｘ２，故
ｘ＝ｘ１＋ｘ２２，ｙ＝１２ｘ１
·ｘ１＋ｘ２２－ｘ２
１４＝ｘ１
ｘ２４
＝－１．９
·童嘉森数学之窗·
竞争颇似打网球，与球艺胜过你的对手比赛，可以提高你的水平．
因此Ｍ（ｘ１＋ｘ２
２
，－１）．由于抛物线准线方程为ｙ＝－１，故点Ｍ在抛物线的准线上．
（２）→ ＦＭ·→ ＡＢ＝（ｘ１＋ｘ２２，－２）·（ｘ２－ｘ１，１４
ｘ２２－
１４ｘ２１）＝
ｘ２２－ｘ２１２＋ｘ２１－ｘ２２
２＝０．因此，→ ＦＭ·→ ＡＢ为定值
，
其值为０．对于抛物线ｘ２
＝２ｐｙ（ｐ＞０）
，我们可以利用导数的知识求得过抛物线上一点处的切线
方程．
本例中还涉及到了设而不求的方法．由本例我们可以得到以下２个推广：
推广１　过抛物线ｘ２
＝２ｐｙ（ｐ＞０）
的焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ　２点，过Ａ、Ｂ　
２点的切线交于点Ｍ，则点Ｍ在抛物线的准线上，且→ ＦＭ⊥→ ＡＢ．
推广２　过抛物线ｙ２
＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ　２点，过Ａ、Ｂ　
２点的切线交于点Ｍ，则点Ｍ在抛物线的准线上，且→ ＦＭ⊥→ ＡＢ．
与抛物线的切线有关的结论还有如下几个命题：
命题１　抛物线ｙ２
＝２ｐｘ（ｐ＞０）上一点Ｐ（ｘ０，
ｙ０）处的切线方程是ｙ０ｙ＝ｐ（ｘ＋ｘ０）
；抛物线ｘ２
＝２ｐｙ（ｐ＞０）上一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）
处的切线方程是ｘ０ｘ＝ｐ（ｙ＋ｙ０）
；证明　设过Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线ｌ为ｙ－ｙ０＝
ｋ（ｘ－ｘ０）（ｋ≠０），代入抛物线ｙ２
＝２ｐｘ（ｐ＞０），消去ｙ，整理得
ｙ２
－２ｐ
ｋｙ＋２ｐｙ０ｋ
－２ｐ
ｘ０＝０，因为直线ｌ与抛物线相切，所以
Δ＝（－２ｐｋ）２
－４（２ｐｙ０ｋ
－２ｐｘ０）＝０，整理得２ｘ０ｋ２－２ｙ０
ｋ＋ｐ＝０，解得ｋ＝２ｙ０±４ｙ２
０－８ｘ０槡ｐ４ｘ０
．
又点Ｐ在抛物线上，所以ｙ２
０＝
２ｐｘ０，代入得ｋ＝ｙ０２ｘ０＝ｐｙ０
，所以抛物线ｙ２
＝２ｐｘ（ｐ＞０）上一点Ｐ（ｘ０，
ｙ０）处的切线方程是ｙ０ｙ＝ｐ（ｘ＋ｘ０）
．同理抛物线ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞０）上一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）
处的切线方程是ｘ０ｘ＝ｐ（ｙ＋ｙ０）
．命题２　过抛物线ｙ２
＝２ｐ
ｘ（ｐ＞０）外一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）
引２条切线，则切点弦所在的直线方程是ｙ０ｙ＝ｐ（ｘ＋ｘ０）
；过抛物线ｘ２
＝２ｐｙ（ｐ＞０）外一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）
引２条切线，则切点弦所在的直线方程是ｘ０
ｘ＝ｐ（ｙ＋ｙ０）
；证明　设切点Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）
，设切点弦ＡＢ所在直线的斜率为ｋ．
由命题１可知切线ＰＡ、ＰＢ的方程分别为ｙ１ｙ＝
ｐ（ｘ＋ｘ１）和ｙ２ｙ＝ｐ（ｘ＋ｘ２）
．将Ｐ（ｘ０，ｙ０）代入切线ＰＡ、ＰＢ的方程得ｙ１ｙ０＝ｐ（ｘ０＋ｘ１）
，①
ｙ２ｙ０＝ｐ（ｘ０＋ｘ２）
，②
由式①②说明点Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）
均在直线ｙｙ０＝ｐ（ｘ０＋
ｘ）上，因此切点弦ＡＢ所在的直线方程为ｙ０ｙ＝ｐ（ｘ＋ｘ０）
．同理过抛物线ｘ２
＝２ｐｙ（ｐ＞０）外一点Ｐ（ｘ０，
ｙ０）
引２条切线，则切点弦所在的直线方程是ｘ０ｘ＝ｐ（ｙ＋ｙ０）
．命题３　抛物线ｙ２
＝２ｐｘ（ｐ＞０）
与直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０相切的条件是ｐ
Ｂ２＝２ＡＣ．过抛物线上一点的切线方程与切点弦方程一致，可看作２切点重合时的极端情况．
可根据判别式法证明，请同学们自己完成
．根据以上结论我们可以更方便地解决与抛物线的切线有关的问题．
例２　（２００８年山东高考题改编）设过抛物线
ｙ２
＝２ｐｘ（ｐ＞０）上２点Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２）
的２条切线交于点Ｍ，求证：Ｐ、Ｍ、Ｑ　３点的横坐标成等比数列，纵坐标成等差数列．
证明　设Ｍ（ｘ０，ｙ０）
，则由命题２知切点弦ＰＱ所在直线方程为ｙ０ｙ＝ｐ（ｘ＋ｘ０），与抛物线方程ｙ２
＝２ｐｘ（ｐ＞０）联立，消去ｘ，得ｙ２
－２ｙ０ｙ＋２ｐ
ｘ０＝０．
由一元二次方程根与系数关系可知ｙ１＋ｙ２＝２ｙ０，ｙ１·ｙ２＝
２ｐｘ０，则可知Ｐ、Ｍ、Ｑ　３点的纵坐标成等差数列．
因为Ｐ、Ｑ两点均在抛物线上，所以ｙ２
１＝２ｐｘ１，ｙ２２＝２ｐｘ２，两式相乘得（ｙ１·ｙ２）２＝４ｐ２
ｘ１ｘ２，所以ｘ１
ｘ２＝ｘ２
０，即Ｐ、Ｍ、Ｑ　３点的横坐标成等比数列．以上我们对于抛物线的切线及其性质问题做了一个初步的讨论，抛物线的切线存在着许多有趣的性质，
同时对于椭圆、双曲线也可以按照上述的方法进行讨论，也会得到相类似的结论，留给有兴趣的读者继续思考．
（作者单位：１．北京市三里屯一中
２．北京市怀柔区第一中学３．北京市第八十中学
）
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１。