_抛物线的切线及其性质初探

·童嘉森数学之窗·

“人”的结构就是相互支撑，“众”人的事业需要每个人的参与．

由均值不等式，得ｔａｎθ≤２ｙ槡２３ｙ＝槡３３

．因为θ为锐角，所以θ的最大值是３０°．

当且仅当ｙ２

＝３，

即ｙ＝±

槡３时取得最大值．３　利用定义与平面几何性质破解

例４　（２０１１年广东卷）

设动圆Ｃ与２个定圆（ｘ＋槡５）２＋ｙ２＝４，（

ｘ－槡５）２＋ｙ２

＝４中的一个内切，另一个外切．

（１）求动圆Ｃ的圆心的轨迹Ｌ的方程．

（２）已知点Ｍ（槡３　５５，槡４　５５），Ｆ（槡５，０），且点Ｐ为Ｌ上动点，求｜｜ＭＰ｜－｜ＦＰ｜｜的最大值及此时点Ｐ的坐标．

解　（１）设圆心Ｃ（ｘ，ｙ）

，由题设条件知｜（ｘ＋槡５）２＋ｙ槡２－（ｘ－槡５）２＋ｙ槡２

｜＝４，

化简，得Ｌ的方程为ｘ２４

－ｙ２

＝１．

（２）将ｌＭＦ：

ｙ＝－２（ｘ－槡５），代入Ｌ的方程，得１５ｘ２　

－槡３２　５ｘ＋８４＝０．解得ｘ１＝６５槡５，ｘ２＝１４１５

槡５．从而ｌＭＦ与Ｌ的交点是Ｔ１（６５槡５，－２５槡５）和Ｔ２（１４１５

槡５，２１５

槡５）．图２

如图２所示，因Ｔ１在线段ＭＦ外，Ｔ２在线段ＭＦ内，

故｜｜ＭＴ１｜－｜ＦＴ１｜｜＝｜ＭＦ｜＝２，｜｜ＭＴ２｜－｜ＦＴ２｜｜＜｜ＭＦ｜＝２．

若点Ｐ不在直线ＭＦ上，在△ＭＦＰ中有

｜｜ＭＰ｜－｜ＦＰ｜｜＜｜ＭＦ｜＝２．

故｜｜

ＭＰ｜－｜ＦＰ｜｜只在Ｔ１点取得最大值２．

利用圆锥曲线的定义和平面几何中的对称关系、

三角形三边关系、两点之

间线段最短等来处理，可使求最值问题的解答过程简捷明快．

（作者单位：甘肃省会宁县头寨中学）

◇　北京 李　锋１　于海龙２　童嘉森３

（

特级教师） 中学教材中比较透彻地研究了直线与圆相切问

题，对于直线与其他曲线，特别是圆锥曲线相切的问

题教材并未介绍

，

但这并不意味着高中学生对这个问题没有解决办法，特别是在引进了导数这一工具性知识后，对于一些简单的圆锥曲线的切线问题我们就有了一定的解决办法．本文就抛物线的切线及其性质问题进行一个初步的讨论．

例１　如右图，已知抛物

线ｘ２＝４ｙ的焦点为Ｆ，

ＡＢ是抛物线的焦点弦，过Ａ、Ｂ　

２点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．

证明（１）点Ｍ在抛物线的准线上；

（２）→ ＦＭ·→ ＡＢ为定值．

证明　（１）设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则ｙ１＝

ｘ２１４，ｙ２＝ｘ２

２

４

，由已知，焦点Ｆ（０，１）．设直线ＡＢ的方程为：ｙ＝ｋ

ｘ＋１，则由ｙ＝ｋｘ＋１，ｘ２

＝４ｙ｛

，

得ｘ２

－４ｋｘ－４＝０，所以ｘ１

ｘ２＝－４．由ｙ＝１４ｘ２求导得ｙ′＝１２

ｘ，所以过Ａ，Ｂ　

２点的切线方程分别为：

ｙ＝１２ｘ１（ｘ－ｘ１）

＋ｘ２

１

４，ｙ＝１２ｘ２（ｘ－ｘ２）

＋ｘ２

２

４

，即ｙ＝１２ｘ１ｘ－ｘ２１４，ｙ＝１２ｘ２

ｘ－ｘ２２

４

．由上式可得２（ｘ１－ｘ２）ｘ＝ｘ２１－ｘ２２．显然ｘ１≠

ｘ２，故

ｘ＝ｘ１＋ｘ２２，ｙ＝１２ｘ１

·ｘ１＋ｘ２２－ｘ２

１４＝ｘ１

ｘ２４

＝－１．９

·童嘉森数学之窗·

竞争颇似打网球，与球艺胜过你的对手比赛，可以提高你的水平．

因此Ｍ（ｘ１＋ｘ２

２

，－１）．由于抛物线准线方程为ｙ＝－１，故点Ｍ在抛物线的准线上．

（２）→ ＦＭ·→ ＡＢ＝（ｘ１＋ｘ２２，－２）·（ｘ２－ｘ１，１４

ｘ２２－

１４ｘ２１）＝

ｘ２２－ｘ２１２＋ｘ２１－ｘ２２

２＝０．因此，→ ＦＭ·→ ＡＢ为定值

，

其值为０．对于抛物线ｘ２

＝２ｐｙ（ｐ＞０）

，我们可以利用导数的知识求得过抛物线上一点处的切线

方程．

本例中还涉及到了设而不求的方法．由本例我们可以得到以下２个推广：

推广１　过抛物线ｘ２

＝２ｐｙ（ｐ＞０）

的焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ　２点，过Ａ、Ｂ　

２点的切线交于点Ｍ，则点Ｍ在抛物线的准线上，且→ ＦＭ⊥→ ＡＢ．

推广２　过抛物线ｙ２

＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ　２点，过Ａ、Ｂ　

２点的切线交于点Ｍ，则点Ｍ在抛物线的准线上，且→ ＦＭ⊥→ ＡＢ．

与抛物线的切线有关的结论还有如下几个命题：

命题１　抛物线ｙ２

＝２ｐｘ（ｐ＞０）上一点Ｐ（ｘ０，

ｙ０）处的切线方程是ｙ０ｙ＝ｐ（ｘ＋ｘ０）

；抛物线ｘ２

＝２ｐｙ（ｐ＞０）上一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）

处的切线方程是ｘ０ｘ＝ｐ（ｙ＋ｙ０）

；证明　设过Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线ｌ为ｙ－ｙ０＝

ｋ（ｘ－ｘ０）（ｋ≠０），代入抛物线ｙ２

＝２ｐｘ（ｐ＞０），消去ｙ，整理得

ｙ２

－２ｐ

ｋｙ＋２ｐｙ０ｋ

－２ｐ

ｘ０＝０，因为直线ｌ与抛物线相切，所以

Δ＝（－２ｐｋ）２

－４（２ｐｙ０ｋ

－２ｐｘ０）＝０，整理得２ｘ０ｋ２－２ｙ０

ｋ＋ｐ＝０，解得ｋ＝２ｙ０±４ｙ２

０－８ｘ０槡ｐ４ｘ０

．

又点Ｐ在抛物线上，所以ｙ２

０＝

２ｐｘ０，代入得ｋ＝ｙ０２ｘ０＝ｐｙ０

，所以抛物线ｙ２

＝２ｐｘ（ｐ＞０）上一点Ｐ（ｘ０，

ｙ０）处的切线方程是ｙ０ｙ＝ｐ（ｘ＋ｘ０）

．同理抛物线ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞０）上一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）

处的切线方程是ｘ０ｘ＝ｐ（ｙ＋ｙ０）

．命题２　过抛物线ｙ２

＝２ｐ

ｘ（ｐ＞０）外一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）

引２条切线，则切点弦所在的直线方程是ｙ０ｙ＝ｐ（ｘ＋ｘ０）

；过抛物线ｘ２

＝２ｐｙ（ｐ＞０）外一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）

引２条切线，则切点弦所在的直线方程是ｘ０

ｘ＝ｐ（ｙ＋ｙ０）

；证明　设切点Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）

，设切点弦ＡＢ所在直线的斜率为ｋ．

由命题１可知切线ＰＡ、ＰＢ的方程分别为ｙ１ｙ＝

ｐ（ｘ＋ｘ１）和ｙ２ｙ＝ｐ（ｘ＋ｘ２）

．将Ｐ（ｘ０，ｙ０）代入切线ＰＡ、ＰＢ的方程得ｙ１ｙ０＝ｐ（ｘ０＋ｘ１）

，①

ｙ２ｙ０＝ｐ（ｘ０＋ｘ２）

，②

由式①②说明点Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）

均在直线ｙｙ０＝ｐ（ｘ０＋

ｘ）上，因此切点弦ＡＢ所在的直线方程为ｙ０ｙ＝ｐ（ｘ＋ｘ０）

．同理过抛物线ｘ２

＝２ｐｙ（ｐ＞０）外一点Ｐ（ｘ０，

ｙ０）

引２条切线，则切点弦所在的直线方程是ｘ０ｘ＝ｐ（ｙ＋ｙ０）

．命题３　抛物线ｙ２

＝２ｐｘ（ｐ＞０）

与直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０相切的条件是ｐ

Ｂ２＝２ＡＣ．过抛物线上一点的切线方程与切点弦方程一致，可看作２切点重合时的极端情况．

可根据判别式法证明，请同学们自己完成

．根据以上结论我们可以更方便地解决与抛物线的切线有关的问题．

例２　（２００８年山东高考题改编）设过抛物线

ｙ２

＝２ｐｘ（ｐ＞０）上２点Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２）

的２条切线交于点Ｍ，求证：Ｐ、Ｍ、Ｑ　３点的横坐标成等比数列，纵坐标成等差数列．

证明　设Ｍ（ｘ０，ｙ０）

，则由命题２知切点弦ＰＱ所在直线方程为ｙ０ｙ＝ｐ（ｘ＋ｘ０），与抛物线方程ｙ２

＝２ｐｘ（ｐ＞０）联立，消去ｘ，得ｙ２

－２ｙ０ｙ＋２ｐ

ｘ０＝０．

由一元二次方程根与系数关系可知ｙ１＋ｙ２＝２ｙ０，ｙ１·ｙ２＝

２ｐｘ０，则可知Ｐ、Ｍ、Ｑ　３点的纵坐标成等差数列．

因为Ｐ、Ｑ两点均在抛物线上，所以ｙ２

１＝２ｐｘ１，ｙ２２＝２ｐｘ２，两式相乘得（ｙ１·ｙ２）２＝４ｐ２

ｘ１ｘ２，所以ｘ１

ｘ２＝ｘ２

０，即Ｐ、Ｍ、Ｑ　３点的横坐标成等比数列．以上我们对于抛物线的切线及其性质问题做了一个初步的讨论，抛物线的切线存在着许多有趣的性质，

同时对于椭圆、双曲线也可以按照上述的方法进行讨论，也会得到相类似的结论，留给有兴趣的读者继续思考．

（作者单位：１．北京市三里屯一中

２．北京市怀柔区第一中学３．北京市第八十中学

）

０

１