直线型一级倒立摆状态反馈控制设计及实现

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2 试验研究平台的搭建
2. 1 仿真平台
2. 2 实物平台
利用固高公司的倒立摆装置和配套的计算机 控制软硬件 ( GL IP2001 ) 可构成直线一级倒立摆 实验研究系统 . 利用 MATLAB6. 5 版所提供的实 时测控功能 ,可将控制器直接联接在 Sim ulink 环 境下组态 .
第 23 卷第 1 期 2007 年 3 月
上 海
电 力
学
院 学
报
Vol . 23, No. 1 Mar . 2007
Jou rnal of S hanghai U n iversity of E lectric Pow er
文章编号 : 1006 - 4729 ( 2007 ) 01 - 0021 - 05
在 MATLAB 的 Sim ulink 环境下 ,可以搭建出 如图 2 所示的状态反馈控制系统仿真试验研究平 台.
图 2 倒立摆状态反馈控制系统仿真试验研究平台
图 3 所示的状态反馈控制系统是固高公司提 供的组态图 . 只要把状态反馈矩阵系数值设置于 Controller模块中 ,就可实现新的状态反馈控制方 案.
Φ 式中 : m — — — 摆杆质量 ; l— — — 长度 ;
b— — — 小车摩擦系数 ; I— — — 倒立单摆的惯量 I = m l / 3;
2
图 1 固高公司倒立单摆 ( GL IP2001) 的阶跃响应曲线 (仿真 )
杨 平 ,等 : 直线型一级倒立摆状态反馈控制设计及实现
・
x
・ ・
0 = 0 0 0
x
・
1 - 0. 181 8 0 - 0. 454 5 0 + 1. 818 2 0 4. 545 5
0 2. 672 7 0 31. 181 8
0 0 1 0
x
Φ Φ
・ ・
・
×
1 控制对象建模
为简单起见 ,在建模时 ,一般忽略掉系统中的 一些次要因素 . 例如空气阻力 、 伺服电机的静摩擦力 、 系统连 接处的松弛程度等 . 根据有关文献 , 一级倒立摆的数学模型如式 ( 1 )所示 . ・ 0 1 0 0
2 s,峰值时间小于 0. 5 s .
M— — — 小车质量 ; x— — — 小车的位移 ;
・
x— — — 小车的速度 ;
Φ— — — 摆杆的摆角 ; Φ— — — 摆杆的角速度 ;
u— — — 输入 , 即施加在小车上的外力 ; y— — — 输出 .
・
针对所使用的固高公司生产的倒立摆装置 ( GL IP2001 ) ,具体的数学模型如式 ( 2 )所示 .
Φ Φ
・ ・
・
0 - m lb 2 I (M +m ) +Mm l 0
I +m l 2 I (M + m ) +Mm l
2
0
m gl (M +m ) 2 I (M +m ) +Mm l
x
Φ Φ
・
+
0
ml 2 ( I M + m ) +Mm l
u
x
・
y=
x
Φ
=
1 0
0 0
0 1
0
x
・
0 Φ
+
0 0
u
( 1)
作者简介 : 杨 平 ( 1954 - ) ,男 ,教授 ,浙江诸暨人 . 主要研究方向为计算机测控技术及电站自动化 . 基金项目 : 上海市重点学科项目 ( P1301) ; 上海市市级精品课程建设项目 ; 上海电力学院重点教改项目 .
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3. 1 线性二次型最优控制器设计
3 状态控制器设计与实现试验
一般情况下 ,倒立摆系统均是可控的 ,其可控 性与系统本身的特性有关 . 这些特性主要包括 : 倒 立摆杆的长度及其相对比例 ; 转动惯量的大小及 其相对比例 . 倒立摆系统的控制设计可以采用很多种策
使用线性二次型最优控制器进行控制系统设 计 ,只需根据系统的相应曲线寻找出合适的状态 变量和状态量的加权矩阵即可 , 所求得的控制器 是误差指标 J 最优意义下的控制器 . 设计线性二次型最优控制器的关键是选择加
The D esign and I m plem en ta tion of An I nversed Pendulum Sta te Var ia ble Feedback Con trol System
YANG Ping, XU Chun 2 mei, W ANG Huan, ZHU Ying , YU Chao
图 4 最优状态反馈系统响应曲线 (Q 和 R 取初值 )
方案 2 方案 3 方案 4
σp =20
从图 4 可以看出 , 摆角和车位的调整时间均 大于 2 s,摆角最大振幅约 0. 1 rad, 车位最大振幅 约 0. 9 m. 显然控制强度偏弱 . 为此 , 尝试逐渐加 大加权矩阵 Q 的值并观察系统响应 . 系统响应比 较理想的一组二次型最优状态反馈矩阵为 K = [ - 70. 710 7, - 37. 834 4, 105. 529 5, 20. 923 8 ]. 系统响应如图 5 所示 .
直线型一级倒立摆状态反馈控制 3 设计及实现
杨 平 , 徐春梅 , 王 欢, 朱 颖, 于 超
(上海电力学院 电力与自动化工程学院 , 上海 200090 )
摘 要 : 针对单级倒立摆装置 ,设计了 4 种状态反馈制方案 . 通过仿真试验和实验证实所提出的状态反馈控 制方案都是成功的 . 分析和对比结果表明 : 基于 LQR 的反推法和基于主导基点的设计方法都是有效的 . 关键词 : 状态反馈控制 ; 倒立摆 ; 实时控制 ; 控制设计 中图分类号 : TP13 文献标识码 : A
3. 3 试验方案设计与实现
表 1 给出了倒立摆状态反馈极点配置试验方 案.
表 1 倒立摆状态反馈极点配置方案
方案类型 方案 1 性能指标
/%
极 点
-8 . 491 2 ± 7 . 928 j - 4. 759 ± 0 . 831 - 2± 2 . 794 2 j - 8 - 12 -3 . 927 5 -9 . 001 3 -4 . 758 8 -9 . 001 5 -5 . 590 1 - 11 . 999 0 - 11 . 998 9
倒立摆系统 ,是由沿直线导轨运动的小车以及一 端固定于小车上的匀质长杆组成的系统 . 小车可 以通过传动装置由交流伺服电机驱动 . 小车导轨 一般有固定的行程 , 因而小车的运动范围是受到 限制的 . 直线型一级倒立摆系统的实际控制要求可归 结为 3 点 : ( 1 )倒立摆小车控制过程的最大位移量不能 超过小车轨道的长度 ; ( 2 )为保证倒立摆能顺利起立 , 要求初始偏 角小于 20 ° ; ( 3 )为保证倒立摆保持倒立的平衡态 , 要求 控制系统响应速度足够快 . 为此 ,设调整时间小于
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权矩阵 Q. 一般来说 , Q 选择越大 , 调整时间越短 . 然而 Q 选择越大 , 控制量越大 . 因此 , 应当考虑实 际系统的可实现性 . 本文中的选初值为 Q = C ′ × C, R = 1. 利用 MATLAB 编程可求得线性二次型最优状态反馈矩 阵为 K = [ - 1. 000 0, - 1. 656 7, 18. 685 2, 3. 459 4 ], 还可求得线性二次型最优状态反馈系 统响应曲线 , 如图 4 所示 .
收稿日期 : 2007 - 02 - 26 (特约稿 )
制方法 ,并将其应用于航天科技和机器人学等高 新科技领域 . 倒立摆系统是典型的机电一体化系统 , 其机 械部分遵循牛顿的力学定律 , 其电气部分遵守电 磁学的基本定理 . 因此 ,可以通过机理建模方法得到较为准确 的系统数学模型 , 通过实际测量和实验来获取系 统模型参数 . 无论哪种类型的倒立摆系统 , 都具有 3 个特 性 ,即 : 不确定性 、 耦合性 、 开环不稳定性 . 直线型
± 0 . 831 9 j - 56 . 586 0 - 34 . 178 8
根据线性二次型最优状态反馈的设计有了方 案 1. 为了研究极点配置设计方法 ,反推出闭环极 点 (见表 1 ) . 方案 2 的主导极点是由性能指标算 出的 . 方案 4 则是取用了方案 1 的靠近虚轴的一 对共扼复极点 . 方案 3 原是方案 4 的一个误操作 , 因漏输入虚数符号 j而实际配置了 4 个实极点 . 几种方案的仿真试验和实验相应曲线见图 6. 由图 6a 至图 6d (分图中变化大的曲线为摆 角曲线 ,变化小的曲线为车位曲线 ) 可以看出 : 方 案 1,方案 3,方案 4 的仿真试验效果十分相近 ,最
x
・ ・
x
Φ Φ
・
x
・
y=
x
Φ
=
1 0
0 0
0 1
0
x
・
0 Φ
+
0 0
u
( 2)
x
0 = 0 0
x
・
2 - ( I +m l ) b 2 I (M +m ) +Mm l
m gl 2 I (M +m ) +Mm l
2
2
Biblioteka Baidu
0 1 0
Φ × 利用 MATLAB 编程可求得被控系统的特征 值和阶跃响应 , 所求得的特征值为 0, 5. 565 1, - 0. 142 8, - 5. 604 1, 可看出有一个右半平面的 极点 . 因此 ,该被控系统是不稳定的 . 其阶跃响应曲 线也证实了这一点 ,见图 1.
反馈矩阵
- 70 . 710 7 - 37 . 834 4 105 . 529 5 58 . 355 6 100 . 715 9 102 . 361 5 20 . 923 8 10 . 848 6 20 . 084 6 20 . 345 4 - 25 . 446 2 - 14 . 021 6 - 53 . 232 7 - 33 . 526 8
σp = 20 % ts = 2 s, 可求出系统的主导极点 s1, 2 = - 2 ± 2. 794 2 j 再加上两个实极点 s3 = - 8 s4 = - 12 可求出系统的反馈矩阵 k = [ - 25 . 446 2, - 14 . 021 6, 58 . 355 6, 10 . 848 6 ]
倒立摆系统是一个非线性自然不稳定系统 , 是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想 实验平台 . 许多抽象的控制概念 ,如控制系统的稳定性 、 可控性 、 系统抗干扰能力等 ,都可以通过倒立摆系 统直观地表现出来 . 除教学用途外 , 倒立摆系统的高阶次 、 不稳 定、 多变量 、 非线性和强耦合等特性 , 使得许多现 代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象 . 他们不断从研究倒立摆控制方法中发掘出新的控
图 3 倒立摆状态反馈控制系统 实际试验系统组态示意
略 ,但最基本的是状态反馈的极点配置法和最优 控制的 LQR 方法 . 极点配置法通过设计状态反馈 控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望 的位置上 ,从而使系统满足工程师提出的瞬态和 稳态性能指标 . 最优控制理论主要是依据庞德里亚金的极值 原理 ,通过对性能指标的优化 ,寻找使目标极小的 控制器 ,其中线性二次型性能指标可以通过求解 R iccatti方程得到控制器参数 ,利用线性二次型性 能指标设计的控制器被称为 LQR 控制器 . 这两种控制方法都需用系统状态的全反馈 . 实际系统中直接可测得的状态有小车的位置和倒 立摆的角位移 ,而小车的速度和倒立摆的角速度 可通过串接微分器得到 , 所以就不需要采用专用 的状态观测器 .
( S chool of E lectric Pow er & A u tom a tion Eng ineering, S hangha i U n iversity of E lectric Pow er, S hangha i 200090, Ch ina )
Abstract: The four schem es for an inversed pendulum state variable feedback control system are designed. The feasibility of the four schem es is confirmed by sim ulation tests and p ractical tests . The analytical results demonstrate that the LQR based design and dom inant poles based design m ethods are effective. Key words: state variable feedback control; inverted pendulum; real2tim e control; control design