直线型一级倒立摆状态反馈控制设计及实现
电气系统综合设计实验报告直线一级倒立摆控制系统设计
电气控制系统设计——直线一级倒立摆控制系统设计学院轮机工程学院班级电气1111姓名李杰学号 36姓名韩学建学号 35成绩指导老师肖龙海2014 年 12 月 25 日小组成员与分工：韩学建主要任务：二阶系统建模与性能分析,二阶控制器的设计,二阶系统的数字仿真与调试,二阶系统的实物仿真与调试;二阶状态观测器的数字仿真与调试,二阶状态观测器的实物仿真与调试;李杰主要任务：四阶系统建模与性能分析,四阶控制器的设计,四阶系统的数字仿真与调试,四阶系统的实物仿真与调试;四阶状态观测器的数字仿真与调试,四阶状态观测器的实物仿真与调试;前言倒立摆系统是非线性、强耦合、多变量和自然不稳定的系统,倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合,其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统,可以作为一个典型的控制对象对其进行研究;倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段,为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台,以用来检验某种控制理论或方法的典型方案,促进了控制系统新理论、新思想的发展;本报告通过设计二阶、四阶两种倒立摆控制器来加深对实际系统进行建模方法的了解和掌握随动控制系统设计的一般步骤及方法;熟悉倒立摆系统的组成及基本结构并利用MATLAB对系统模型进行仿真,利用学习的控制理论对系统进行控制器的设计,并对系统进行实际控制实验,对实验结果进行观察和分析,研究调节器参数对系统动态性能的影响,非常直观的了解控制器的控制作用;目录第一章设计的目的、任务及要求倒立摆系统的基本结构 (4)设计的目的 (4)设计的基本任务 (4)设计的要求 (4)设计的步骤 (5)第二章一级倒立摆建模及性能分析微分方程的推导 (5)系统的稳定性和能控能观性分析 (11)二阶的能观性、能控性分析 (13)四阶的能观性、能控性分析 (18)第三章倒立摆系统二阶控制器、状态观测器的设计与调试设计的要求 (22)极点配置 (22)控制器仿真设计与调试 (23)状态观测器仿真设计与调试 (28)第四章倒立摆系统四阶控制器、状态观测器的设计与调试设计的要求 (26)极点配置 (26)控制器仿真设计与调试 (27)状态观测器仿真设计与调试 (28)心得体会 (31)参考文献 (31)第一章设计的目的、任务及要求倒立摆系统的基本结构与工作原理图倒立摆系统硬件框图图倒立摆系统工作原理框图倒立摆系统通过计算机、I/O卡、伺服系统、倒立摆本体和光电码盘反馈测量元件组成一个闭环系统;以直线一级倒立摆为例,其工作原理框图如图所示;图中光电码盘1由伺服电机自带,小车的位移可以根据该码盘的反馈通过换算获得,速度信号可以通过对位移的差分得到;各个摆杆的角度由光电码盘2测量并直接反馈到I/O卡,而角速度信号可以通过对角度的差分得到;计算机从I/O卡实时读取数据,确定控制决策电机的输出力矩,并发给I/O卡;I/O卡经过电控箱内部电路产生相应的控制量,驱动电机转动,使小车按控制要求进行运动,以达到控制目的;实验过程中需要了解倒立摆装置基本结构;了解编码盘、行程开关等的基本工作原理;进行行程开关、编码盘和电机基本测试;设计的目的本设计要求我们针对设计要求,利用课堂所学知识及实验室实测来的系统数据采用工程设计法进行一级直线倒立摆控制系统设计;绘制原理图,同时在实验室进行实验检验设计结果,分析数据,编写设计报告;目的是使学生掌握随动控制系统设计的一般步骤及方法;设计的基本任务本课程设计的被控对象采用固高科技生产的GLIP2001一级直线倒立摆;通过设计与调试使学生能够：1熟悉倒立摆系统的组成及其基本结构；2掌握通过解析法建立系统数学模型及进行工作点附近线性化的方法；3掌握系统性能的计算机辅助分析；4掌握系统控制器的设计与仿真；5研究调节器参数对系统动态性能的影响;设计的要求1.熟悉倒立摆系统结构,熟悉倒立摆装置的基本使用方法；2.建立系统的数学模型,并在工作点附近线性化；3.分析系统的稳定性、频域性能、能控性与能观性；4.采用状态空间的极点配置法设计控制器,要求系统调节时间ts<=3s,阻尼比ξ>= and ξ<=1;实验步骤1.倒立摆系统基本结构分析2.对象的建模3..系统性能分析4.控制器设计与调试5.设计报告的撰写第二章一级倒立摆建模及性能分析系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模;实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号,激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出, 应用数学手段建立起系统的输入－输出关系;这里面包括输入信号的设计选取,输出信号的精确检测,数学算法的研究等等内容;机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上,通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系;对于倒立摆系统,由于其本身是自不稳定的系统,实验建模存在一定的困难;但是忽略掉一些次要的因素后,倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统,可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程;下面采用牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型;微分方程的推导在忽略了空气阻力和各种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统,如图所示;我们不妨做以下假设：M 小车质量m 摆杆质量b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度I 摆杆惯量 F 加在小车上的力x 小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角考虑到摆杆初始位置为竖直向下图是系统中小车和摆杆的受力分析图;其中,N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量;注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定,因而矢量方向定义如图所示,图示方向为矢量正方向;分析小车水平方向所受的合力,可以得到以下方程：①由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：②即：③把这个等式代入①式中,就得到系统的第一个运动方程④为了推出系统的第二个运动方程,对摆杆垂直方向上的合力进行分析,可以得到下面方程：⑤⑥力矩平衡方程如下：⑦注意：此方程中力矩的方向,由于θ= π+φ,cosφ= -cosθ,sinφ= -sinθ,故等式前面有负号; 合并这两个方程,约去P 和N ,得到第二个运动方程：⑧设θ=π+φφ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角,假设φ与1单位是弧度相比很小,即φ<<1,则可以进行近似处理：用u 来代表被控对象的输入力F ,线性化后两个运动方程如下：⑨对式3-9进行拉普拉斯变换,得到⑩注意：推导传递函数时假设初始条件为0;由于输出为角度φ,求解方程组的第一个方程,可以得到：⑾⑿如果令则有⒀把上式代入方程组的第二个方程,得到：⒁整理后得到传递函数：⒂其中,该系统状态空间方程为：⒃方程组对解代数方程,得到解如下：⒄整理后得到系统状态空间方程：⒅由9的第一个方程为对于质量均匀分布的摆杆有：于是可以得到：化简得到：⒆⒇以小车加速度为输入的系统状态空间方程：稳定性分析P=polyA;r=rootsP;ii=findrealr>0;n=lengthii;ifn>0disp'不稳定';elsedisp'稳定';end不稳定由此得到系统在未加控制器之前是发散的,不稳定的能控能观性分析A= 0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;B= 0 1 0 3';C= 1 0 0 0;0 0 1 0;D= 0 0 ';>> n=4;Uc=ctrbA,B;Vo=obsvA,C;>> ifrankUc==nifrankVo==ndisp'系统状态即能控又能观'else disp'系统状态即能控,但不能观'endelse ifrankVo==ndisp'系统状态能观,但不能控'else disp'系统状态不能控,但也不能观' endend系统状态即能控又能观二阶的能观性、能控性分析>> A=0 1; 0;>> B=0 3';>> C=0 0 ;1 0;>> D=0;二阶能控性分析：>> M=ctrbA,BM =0 33 0>> rankMans =2说明系统是能控的二阶能观性分析：>> N=obsvA,CN =0 11 0>> rankNans =2说明系统是能观的四阶的能观性、能控性>> A=0 1 0 0; 0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;;>> B=0 1 0 3';>> C= 1 0 0 0;0 0 1 0;>> D=0 0';四阶能控性分析:>> M=ctrbA,BM =0 0 00 0 00 00 0>> rankMans =4说明系统是能控的四阶能观性分析：>> N=obsvA,CN =0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0 00 0 00 0 0 00 0 0>> rankNans =4说明系统是能观的第三章倒立摆系统二阶控制器的设计设计的要求建立以X’’为输入,Φ与Φ’为状态变量,y为输出的模型分析系统的稳定性,能控能观性设计状态反馈控制器进行极点配置,是系统ξ>= ts<=3s极点配置取ξ=,Ts=；则Wn=,极点为±利用MATLAB进行计算:clear;T=input'T=';zeta=input'zeta=';Wn=4/Tzeta;A=0 1; 0;B=0;3;S1=-zetaWn-Wnsqrtzeta^2-1;S2=-zetaWn+Wnsqrtzeta^2-1;P=S1,S2;K=placeA,B,P则：K0=,K1=;控制器的仿真测试与调试图二阶系统结构图以小车加速度为输入,摆杆偏移角度和角速度为状态变量的模型,K值为反馈矩阵,输出为角度的波形图仿真波形图：取 &= 极点为：Wn=则 K0= K1= 图仿真结果波形图有次图可得加入控制器之后系统可以稳定,可见控制器的设计是合理的硬件调试硬件调试结构图以小车加速度为输入,摆杆偏移角度和角速度为状态变量的模型,加入Л模块纠正反馈角度符号通过调试K值,当K取的时候,可使仿真结果较稳定;从摆杆的角度可以看出,角度可以稳定下来,施加一干扰后,摆杆可以很快恢复稳定;状态观测器的仿真测试与调试图二阶状态观测器数字仿真图以小车加速度为输入,摆杆偏移角度和角速度为状态变量的模型,K值为反馈矩阵,输出为角度的波形图仿真波形图：取 &= 极点为：Wn=则 K0= K1= 图仿真结果波形图反馈矩阵G的求法T=input'T=';zeta=input'zeta=';Wn=4/Tzeta;A=0 1; 0;B=0;3;C=1 0;S1=-zetaWn-Wnsqrtzeta^2-1;S2=-zetaWn+Wnsqrtzeta^2-1;P=S1,S2;OP=5P;G=placeA',C',OPG=实物调试由图可知,施加扰动后摆杆能很快恢复,符合系统要求;第四章倒立摆系统四阶控制器的设计设计要求根据设计要求,确定系统闭环极点,设计状态反馈控制器,并进行仿真、调试验证;极点配置取 &= T= Wn= 极点为：±；-20±利用MATLAB进行计算:T=input'T=';zeta=input'zeta=';Wn=4/Tzeta;A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;B=0;1;0;3;S1=-zetaWn-Wnsqrtzeta^2-1;S2=-zetaWn+Wnsqrtzeta^2-1;P=,-20+,S1,S2;K=placeA,B,Pk0=,k1=,k2= ,k3=;则K=控制器的仿真测试与调试图四阶系统仿真结构图以小车加速度为输入,摆杆角度、角速度、小车位移、加速度为状态变量,上半部分为位移输出,下半部分为角度输出仿真结果：位移：角度：实物调试：图硬件调试结构图将K1、K2、K3、K4合并后反馈作用系统,系统为单输入双输出四阶一级倒立摆状态空间极点配置实时控制结果平衡时上为位移,下位角度直线一级倒立摆状态空间极点配置实时控制结果施加干扰上为位移,下位角度状态观测器仿真设计与调试图四阶状态观测器数字仿真图四阶系统仿真结构图以小车加速度为输入,摆杆角度、角速度、小车位移、加速度为状态变量,上半部分为位移输出,下半部分为角度输出反馈矩阵G的求法T=input'T=';zeta=input'zeta=';Wn=4/Tzeta;A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;B=0;1;0;3;C=1 0 0 0;0 0 1 0;S1=-zetaWn-Wnsqrtzeta^2-1;S2=-zetaWn+Wnsqrtzeta^2-1;P=,-10+,S1,S2;OP=3P;G=placeA',C',OP'G =实物调试反馈矩阵G和增益矩阵K分别调用matlab程序即可实物仿真与结果心得体会通过此次课程设计,使我更加扎实的掌握了有关MATLAB方面的知识,在设计过程中虽然遇到了一些问题,但经过一次又一次的思考,一遍又一遍的检查终于找出了原因所在,也暴露出了前期我在这方面的知识欠缺和经验不足;实践出真知,通过亲自动手制作,使我们掌握的知识不再是纸上谈兵;课程设计诚然是一门专业课,给我很多专业知识以及专业技能上的提升,同时又是一门讲道课,一门辩思课,给了我许多道,给了我很多思,给了我莫大的空间;同时,设计让我感触很深;使我对抽象的理论有了具体的认识;通过这次课程设计,我掌握了倒立摆装置的识别和测试；熟悉了控制系统的设计原理；了解了现代控制理论的设计方法；以及如何提高倒立摆系统的性能等等,掌握了MATLAB、simulink的使用方法和技术,通过查询资料,对所学知识有了很多新的认识;自己写主要参考文献：1.夏德玲、翁贻方,自动控制理论．北京,北京工业大学出版社,2006年1月2.刘豹、唐万生,现代控制理论．北京,机械工业出版社,2006年6月3.李国勇、谢克明,计算机仿真技术与CAD．北京,电子工业出版社,2009年1月4.Googol Technology直线倒立摆系统GLIP系列安装与使用手册固高科技。
直线一级倒立摆的自动起摆与稳摆控制
直线一级倒立摆的自动起摆与稳摆控制（Simulink仿真）通过对倒立摆系统的力学及运动学分析，建立系统的非线性数学模型为可见，直线一级倒立摆为单输入双输出系统，利用Simulink可建立上式的框图模型，如图1所示。
图1 直线一级倒立摆系统的非线性Simulink模型倒立摆的起摆问题，是控制理论中的一个经典实验，其实质是倒立摆系统从一个稳定的平衡状态（垂直向下）在外力的作用下自动转移到另一个平衡状态（垂直向上）。
在这个过程中，要求起摆快速，但又不能过于超调。
由于输入、输出之间的非线性，许多常用的线性控制理论都不适用。
基于非线性理论，目前常用的几种起摆方法为：Bang-Bang控制、能量控制、仿人智能控制等。
这里采用Bang-Bang控制作为起摆方法，LQR控制作为稳摆方法，Simulink框图如图2所示。
图2 倒立摆自动起摆控制Simulink框图（Bang-Bang + LQR）图2中，子系统“Inverted Pendulum”是直线一级倒立摆的非线性模型，如图1所示；S函数“ang_proc”模块用于摆杆角度的处理，即将任意角度信号转换为“ -π ~ π”之间的对应值；子系统“Bang-Bang Controller”为Bang-Bang控制器；子系统“LQR Controller”为LQR 控制器。
双击“Bang-Bang Controller”模块可打开Bang-Bang控制器框图如下：图3 Bang-Bang控制器框图图3中，bang_controller是为实现Bang-Bang控制算法而编写的S函数，信号Ang_s是Bang-Bang控制切换角，F_bang是Bang-Bang控制作用力。
双击“LQR Controller”子系统，打开LQR控制器框图如下：图4 LQR控制器框图运行图2中的仿真框图，则基于Bang-Bang控制和LQR控制算法的直线一级倒立摆自动起摆控制效果如图5所示。
直线一级倒立摆PID控制实验报告
直线一级倒立摆PID 控制实验一.实验目的本实验的目的是让实验者理解并掌握PID 控制的原理和方法，并应用于直线一级倒立摆的控制，PID 控制并不需要对系统进行精确的分析，因此我们采用实验的方法对系统进行控制器参数的设置。
二.实验设备1：直线一级倒立摆：直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载一级倒立摆。
2．PC机和运动控制卡主机箱三.实验原理经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型。
PID 控制器因其结构简单，容易调节，且不需要对系统建立精确的模型，在控制上应用较广。
首先，对于倒立摆系统输出量为摆杆的角度，它的平衡位置为垂直向上的情况。
系统控制结构框图如下：图 1 直线一级倒立摆闭环系统图图中KD(s) 是控制器传递函数，G(s) 是被控对象传递函数。
考虑到输入r(s) = 0，结构图可以很容易的变换成：图 2 直线一级倒立摆闭环系统简化图该系统的输出为：其中num ——被控对象传递函数的分子项den ——被控对象传递函数的分母项numPID ——PID 控制器传递函数的分子项denPID ——PID 控制器传递函数的分母项通过分析上式就可以得到系统的各项性能。
由(3-13)可以得到摆杆角度和小车加速度的传递函数：PID 控制器的传递函数为：需仔细调节PID 控制器的参数，以得到满意的控制效果。
在控制的过程中，小车位置输出为：通过对控制量v 双重积分即可以得到小车位置。
四.仿真步骤及结果图 3 直线一级倒立摆PID 控制MATLAB 仿真模型其中PID Controller 为封装（Mask ）后的PID 控制器，双击模块打开参数设置窗口 先设置PID 控制器为P 控制器，令0,0,===kd ki kp ，得到以下仿真结果图4从图4中可以看出，闭环控制系统持续振荡，周期约为0.7s 。
大学课程设计-直线一级倒立摆控制系统设计
摘要倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，对倒立摆的控制研究无论在理论上和方法上都有深远的意义。
本论文以实验室原有的直线一级倒立摆实验装置为平台，重点研究其PID控制方法，设计出相应的PID控制器，并将控制过程在MATLAB上加以仿真。
本文主要研究内容是：首先概述自动控制的发展和倒立摆系统研究的现状；介绍倒立摆系统硬件组成，对单级倒立摆模型进行建模，并分析其稳定性；研究倒立摆系统的几种控制策略，分别设计了相应的控制器，以MATLAB为基础，做了大量的仿真研究，比较了各种控制方法的效果；借助固高科技MATLAB实时控制软件实验平台；利用设计的控制方法对单级倒立摆系统进行实时控制，通过在线调整参数和突加干扰等，研究其实时性和抗千扰等性能；对本论文进行总结，对下一步研究作一些展望。
关键词：一级倒立摆，PID，MATLAB仿真目录第1章MATLAB仿真软件的应用 (9)1.1 MA TLAB的基本介绍 (9)1.2 MA TLAB的仿真 (9)1.3 控制系统的动态仿真 (10)1.4 小结 (12)第2章直线一级倒立摆系统及其数学模型 (13)2.1 系统组成 (13)2.1.1 倒立摆的组成 (14)2.1.2 电控箱 (14)2.1.3 其它部件图 (14)2.1.4 倒立摆特性 (15)2.2 模型的建立 (15)2.2.1 微分方程的推导 (16)2.2.2 传递函数 (17)2.2.3 状态空间结构方程 (18)2.2.4 实际系统模型 (20)2.2.5 采用MA TLAB语句形式进行仿真 (21)第3章直线一级倒立摆的PID控制器设计与调节 (34)3.1 PID控制器的设计 (34)3.2 PID控制器设计MA TLAB仿真 (36)结论 (41)致谢 (42)参考文献 (43)第1章 MATLAB仿真软件的应用1.1 MATLAB的基本介绍MTALAB系统由五个主要部分组成，下面分别加以介绍。
现控实验一级倒立摆状态反馈设计及时间响应实验总结
现控实验一级倒立摆状态反馈设计及时间响应实验总结
控制实验一级倒立摆的状态反馈设计可以分为以下几个步骤：
1. 系统建模：根据实际倒立摆的物理特性，建立系统的数学模型，包括倒立摆的运动方程和输出方程。
2. 设计状态反馈控制器：根据系统模型，设计状态反馈控制器的反馈矩阵K，使得系统在闭环下能够稳定并达到期望的性能指标。
3. 实施状态反馈控制器：根据设计好的控制器，对倒立摆系统进行实施。
4. 时间响应实验：进行时间响应实验，观察控制系统在不同输入下的响应情况。
可以通过给定不同的参考输入信号，如阶跃信号、正弦信号或任意波形信号等，来测试控制系统的性能。
根据实验结果进行总结时，需要注意以下几个方面：
1. 稳定性分析：观察控制系统是否能够保持稳定状态，即系统是否能够回到平衡位置并保持在该位置。
2. 超调量和调整时间分析：观察控制系统的过渡过程，检查系统是否出现过大的超调量和调整时间是否满足要求。
3. 鲁棒性分析：考察控制系统对参数变化、不确定性以及外部扰动的鲁棒性能。
4. 性能指标分析：根据实验结果，评估控制系统的性能指标，如误差大小、稳态误差、响应速度等。
总结实验时，尽量基于客观的实验数据和分析，对实验结果进行客观的评价和总结。
请注意，以上回答仅涉及到了一级倒立摆的状态反馈控制设计及时间响应实验总结的一般步骤，具体设计和总结要根据具体情境和实验要求进行。
直线一级倒立摆系统的状态空间极点配置控制设计详细实验报告
一、直线一级倒立摆建模根据自控原理实验书上相关资料，直线一级倒立摆在建模时,一般忽略掉系统中的一些次要因素.例如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度等，之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示：倒立摆系统是典型的机电一体化系统,其机械部分遵循牛顿的力学定律,其电气部分遵守电磁学的基本定理.因此,可以通过机理建模方法得到较为准确的系统数学模型,通过实际测量和实验来获取系统模型参数.无论哪种类型的倒立摆系统,都具有3个特性,即:不确定性、耦合性、开环不稳定性. 直线型倒立摆系统,是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的匀质长杆组成的系统. 小车可以通过传动装置由交流伺服电机驱动. 小车导轨一般有固定的行程,因而小车的运动范围是受到限制的。
虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性:1) 非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制。
也可以利用非线性控制理论对其进行控制。
倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。
2) 不确定性主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。
3) 耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。
4) 开环不稳定性倒立摆的平衡状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。
由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。
为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车的撞边现象。
由此，约束限制直线型一级倒立摆系统的实际控制要求可归结为3点:(1)倒立摆小车控制过程的最大位移量不能超过小车轨道的长度;(2)为保证倒立摆能顺利起立,要求初始偏角小于20°;(3)为保证倒立摆保持倒立的平衡态,要求控制系统响应速度足够快。
直线一级倒立摆系统实验报告
直线一级倒立摆系统实验报告1. 实验目的：通过对直线一级倒立摆系统进行分析，掌握系统的基本原理、参数设置和控制策略；提高学生实际动手能力和科学实验能力。
2. 实验内容：（1）搭建直线一级倒立摆系统实验平台；（2）设置系统的动力学模型，采集系统的状态变量；（3）根据系统的特性设计控制策略，实现系统的稳定控制；（4）记录实验数据，并进行数据处理和分析。
3. 实验原理：直线一级倒立摆系统是一种经典的非线性控制系统，其原理和稳定性分析可以使用动力学建模方法来描述。
系统由直线弹簧、质量块、直线导轨和质量块的摆杆组成。
当摆杆处于垂直状态时，系统处于平衡状态；当摆杆被扰动后，系统进入不稳定状态，需要通过控制策略来实现其稳定控制。
在实验中，我们选取了单摆系统作为直线一级倒立摆系统的原形。
单摆系统由一个质点和一个线性弹簧组成，其状态变量为质点的位置和速度。
当质点处于平衡位置时，系统拥有稳定状态；当质点被扰动后，系统进入不稳定状态，需要通过控制策略来实现其稳定控制。
因此，我们可以使用单摆系统来研究直线一级倒立摆系统的控制策略。
4. 实验步骤：（1）搭建实验平台：搭建直线一级倒立摆系统实验平台，包括直线导轨、摆杆、质点、力传感器、位移传感器和控制电路等。
将质点放置在导轨上，并用摆杆将其固定在弹簧上。
使用力传感器和位移传感器来测量系统的状态变量。
（2）设置系统模型：对实验平台的动力学模型进行建模，将系统的状态变量与控制策略联系起来。
（3）设计控制策略：根据系统的特性设计相应的控制策略，使系统保持稳定状态。
常用的控制策略包括模型预测控制、PID控制、滑模控制等。
（4）记录实验数据：实验过程中需要记录系统的状态变量和控制参数，并进行数据处理和分析，得到实验结论。
5. 实验结果分析：通过对直线一级倒立摆系统的实验研究，我们发现系统的稳定控制需要根据其特性和实际情况来确定相应的控制策略。
在实验中，我们采用了模型预测控制策略，通过对系统的状态变量进行预测和调节，成功实现了系统的稳定控制。
直线一级倒立摆建模与控制
期望特征多项式为
s 2 k2 20 s 20 k1 k2 1
* 由设计者选取，考虑“引入状态反馈向量后系统特 1*、2
* f * s s 1* s 2 =s2 (1* 2* )s 1*2*
征多项式”和“期望特征多项式”的系数相等即可求出状态反 馈向量。
，线性化运动方程。
倒立摆系统单输入-单输出传递函数模型
线性化后运动方程（参考）：
I ml mgl mlx
2
以小车加速度为输入、摆杆角度为输出，令
ax
拉普拉斯变换后系统传递函数模型（参考）：
s ml G s A s I ml 2 s 2 mgl
双击“Controller1”，输入选取的4个闭环极点对应的增益，运行仿真后双击 “Scope1”观测响应曲线，其中小车位置应该很好的收敛到0.01，小车速度、摆杆角
度和角速度应该收敛到0。若响应曲线效果不好则需重新选取闭环极点。
状态空间极点配置实物控制
选取了合适的4个闭环极点并通过了仿真测试后即可进行倒立摆系统实物控制。 进入 MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打 开 “Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Swing-Up Control”中的“Swing-Up Control Demo，如下图。
状态空间极点配置仿真控制
参考上述实例，选取倒立摆系统的4个闭环极点，进入 MATLAB Simulink 实时 控制工具箱“Googol Education Products”打开“Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Experiment\ Poles Placement Experiments”中的“Poles Control Simulink”，如下图。
一阶倒立摆系统模型分析状态反馈与观测器设计
一阶倒立摆系统模型分析状态反馈与观测器设计一阶倒立摆系统是控制工程中常见的一个具有非线性特点的系统，它由一个摆杆和一个质点组成，质点在摆杆上下移动，而摆杆会受到重力的作用而产生摆动，需要通过控制来实现倒立的功能。
以下是一阶倒立摆系统的模型分析、状态反馈与观测器设计的详细介绍。
一、系统模型分析:一阶倒立摆系统是一个非线性动力学系统，可以通过线性化的方式来进行模型分析。
在进行线性化之前，首先需要确定系统的状态变量和输入变量。
对于一阶倒立摆系统，可以将摆杆角度和质点位置作为状态变量，将水平推力作为输入变量。
在对系统进行线性化之后，可以得到系统的状态空间表达式:x_dot = A*x + B*uy=C*x+D*u其中，x是状态向量，u是输入向量，y是输出向量。
A、B、C和D是系统的矩阵参数。
二、状态反馈设计:状态反馈是一种常用的控制方法，通过测量系统状态的反馈信号，计算出控制输入信号。
在设计状态反馈控制器之前，首先需要确定系统的可控性。
对于一阶倒立摆系统，可以通过可控性矩阵的秩来判断系统是否是可控的。
如果可控性矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是可控的。
在确定系统可控性之后，可以通过状态反馈控制器来实现控制。
状态反馈控制器的设计可以通过选择适当的反馈增益矩阵K来实现。
具体的设计方法是，根据系统的状态空间表达式，将状态反馈控制器加入到系统模型中。
状态反馈控制器的输入是状态变量，输出是控制输入变量。
然后，通过调节反馈增益矩阵K的值，可以实现对系统的控制。
三、观测器设计:观测器是一种常用的状态估计方法，通过测量系统的输出信号，估计系统的状态。
在设计观测器之前，首先需要确定系统的可观性。
对于一阶倒立摆系统，可以通过可观性矩阵的秩来判断系统是否是可观的。
如果可观性矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是可观的。
在确定系统可观性之后，可以通过观测器来实现状态估计。
观测器的设计可以通过选择适当的观测增益矩阵L来实现。
具体的设计方法是，根据系统的状态空间表达式，将观测器加入到系统模型中。
一级倒立摆实验报告
一级直线倒立摆极点配置控制实验一、实验目的1.运用经典控制理论控制直线一级倒立摆,包括实际系统模型的建立、根轨迹分析和控制器设计、PID 控制分析等内容。
2.熟悉利用极点配置方法来进行倒立摆实验的原理方法。
3.学习MATLAB工具软件在控制工程中的应用。
3.掌握对实际系统进行建模的方法，熟悉利用MATLAB 对系统模型进行仿真，利用学习的控制理论对系统进行控制器的设计，并对系统进行实际控制实验，对实验结果进行观察和分析，非常直观的感受控制器的控制作用。
二、实验设备计算机及MATLAB相关软件元创兴倒立摆系统的软件元创兴一级直线倒立摆系统,包括运动卡和倒立摆实物倒立摆相关安装工具三、倒立摆系统介绍倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。
由于倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来。
学习自动控制理论的学生通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法，非常的直观、简便，在轻松的实验中对所学课程加深了理解。
倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。
由于倒立摆系统本身所具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法，相关的科研成果在航天科技和机器人学方面获得了广阔的应用。
四、倒立摆工作原理和物理模型以及数学模型（简述）1、工作原理：数据采集卡（也称运动控制卡，安装于计算机机箱的PCI插槽上）采集到旋转编码器数据和电机尾部编码器数据，旋转编码器与摆杆同轴，电机与小车通过皮带连接，所以通过计算就可以得到摆杆的角位移以及小车位移，角位移差分得角速度，位移差分可得速度，然后根据自动控制中的各种理论转化的算法计算出控制量。
控制量由计算机通过运动控制卡下发给伺服驱动器，由驱动器实现对电机控制，电机尾部编码器连接到驱动器形成闭环，从而可以实现闭环控制。
直线型一级倒立摆系统的控制器设计
直线型一级倒立摆系统的控制器设计引言1. 设计目的（1）熟悉直线型一级倒立摆系统（2）掌握极点配置算法（3）掌握MATLAB/simulink动态仿真技术2. 设计要求基于极点配置算法完成对于直线型一级倒立摆系统的控制器设计3. 系统说明倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。
通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。
同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。
4. 设计任务（1）建立直线型一级倒立摆系统的状态空间表达式。
（2）对该系统的稳定性、能观性、能控性进行分析。
（3）应用极点配置法对该直线型一级倒立摆系统进行控制器设计。
（4）使用MATLAB/simulink软件验证设计结果目录设计目的........................................................................................... 2-4设计要求：. (4)系统说明：....................................................................................... 4-5设计任务........................................................................................... 5-8运行结果......................................................................................... 8-11收获与体会.. (10)参考文献 (12)1. 设计目的（1）熟悉直线型一级倒立摆系统倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。
直线一级倒立摆实验报告
Gs KDs2 KPs KI
s
相当于给系统增加了一个位于原点的开环极点和两个位置可变的开环零点，因此 对于低阶已知数学模型的系统，根据期望的性能指标可以采用根轨迹法确定PID 参数。
2、频域法确定PID参数 对于已知频率特性曲线的系统，PID控制器相当于 给频率特性曲线增加了积分环节和一个二阶微分环节，通过调整PID参数，可以 改变PID控制器的频率特性，进而改变闭环系统的频率特性。
当摆杆被控时，小车的运动的位移也受到导轨实际长度的限制。因此，输出量除 了摆杆角度外，还有一个小车运动的位移。位移与输入量小车加速度之间的关系 为：
X (s) 1
Rs s2
控制系统结构图:
1
s2
Transfer Fcn1
Pos
3
In1 Out1
Step
s2+-29.4
Addห้องสมุดไป่ตู้
Transfer Fcn
Step 0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Pos.
0
-2
-4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ang.
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
由曲线可以看出，系统角度超调量为33.6%，调整时间接近0.55秒，位移变化平 稳，角度输出稳定。故这组参数可以作为PID控制参数；
2、基于计算机MATLAB 平台进行现场倒立摆控制，绘制实验曲线； 直线一级倒立摆系统是小车在光滑的导轨上运动，小车上铰链了一根摆杆，
一阶倒立摆控制设计与实现
一阶倒立摆控制设计与实现一阶倒立摆是一种常见的控制系统模型，它由一个垂直的支柱和一个质量为m 的物体组成，物体通过支柱与地面相连。
在控制系统中，我们需要设计一个控制器来控制物体的位置和速度，使其保持在垂直位置上。
本文将介绍一阶倒立摆控制设计与实现的相关内容。
一、一阶倒立摆模型一阶倒立摆模型可以用以下方程描述：m*d^2y/dt^2 = -mg*sin(y) + u其中，y是物体的位置，u是控制器的输出，m是物体的质量，g是重力加速度，t是时间。
该方程可以通过拉普拉斯变换转换为传递函数：G(s) = Y(s)/U(s) = 1/(ms^2 + mg)二、控制器设计为了控制一阶倒立摆，我们需要设计一个控制器来产生控制信号u。
常见的控制器包括比例控制器、积分控制器和微分控制器，它们可以组合成PID控制器。
在本文中，我们将使用比例控制器来控制一阶倒立摆。
比例控制器的输出与误差成正比，误差越大，输出越大。
比例控制器的传递函数为：Gc(s) = Kp其中，Kp是比例增益。
三、闭环控制系统将控制器和一阶倒立摆模型组合起来，得到闭环控制系统的传递函数：G(s) = Y(s)/R(s) = Kp/(ms^2 + mg + Kp)其中，R(s)是参考信号，表示我们期望物体保持的位置。
四、控制系统实现在实现控制系统之前，我们需要对一阶倒立摆进行建模和仿真。
我们可以使用MATLAB等工具进行建模和仿真。
在MATLAB中，我们可以使用Simulink模块来建立一阶倒立摆模型和控制器模型。
在建立模型之后，我们可以进行仿真，观察系统的响应和稳定性。
在实现控制系统时，我们需要选择合适的硬件平台和控制器。
常见的硬件平台包括Arduino和Raspberry Pi等，常见的控制器包括PID控制器和模糊控制器等。
在实现控制系统之后，我们需要进行调试和优化，以达到最佳控制效果。
五、总结本文介绍了一阶倒立摆控制设计与实现的相关内容，包括一阶倒立摆模型、控制器设计、闭环控制系统和控制系统实现。
一级倒立摆状态反馈控制系统设计
关 键词 ：倒 立摆 ；状 态反 馈 ；极 点配 置；状 态观 测器 中图分 类号 ：Ｔ １ Ｐ ３ 文献 标 识码 ：ｍ ｄ ｉ １ ． ９ ９ Ｊ ｉ － １ ０ — ９ ０ ２ １ ． ２ ０ ２ ｏ ： ０ ３ ６ ／ ． Ｓ ． ０ ６ ７ ． ０ １ ． １ ｓｌ ｉ ３ ０
ｔ ｅ ｃ ｒ ｉｐ ａ ｅ ｎ ，ｖ ｌ ｃ ｔ ， ｈ ｅ ｄ ｌ ｍ ｎ ｌ ｎ ｈ ｎ ｌ ｅ ｏ ｉ ｓｔ ｅ ｆ ｕ ｔ ｔ ａ ｉｂ ｅ ， ｃ ｏ ｄ ｎ ｏ ｔ ｅ ｃ ｎ ｒ ｌ ｈ ａ ｔｄ ｓ ｌｃ ｍｅ ｔ ｅ ｏ ｉ ｔ ｅ ｐ ｎ ｕ ｕ ａ ｇ ｅ ａ ｄ ｔ ｅ ａ ｇ ｅ ｖ ｌ ｃｔ ａ ｈ ｏ ｒ ｓａ ｅ ｖ ｒａ ｌ ｓ ａ ｃ ｒ ｉ ｇ ｔ ｈ ｏ ｔｏ ｙ ｙ
Ｄ ｅ ｉ ｎ ｏｆ ｆ ｒ ｔ ｏ ｄｅ ｎｖｅ ｔ ｄ ｐｅ ｓ￣ ｓ． ｒ ｒ ｉ ｉ ． ｒ ｅ ｎｄｕｌ ｕｍ ｔ ｔ ｅ ｄｂａ ｋ ｃ ｎｔ ｏ ｓａ ｅ ｆｅ ｃ ｏ ｒ ｌ
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ＨＵ Ｗ ｅ ｋ ｎ ｕｉ
（ ｏ ｅ ｅ ｆ ｎ ｒｙａ ｄ ｌｃ ｃ ｌ ｎ ｉｅ ｔ ｇ Ｈ ｉ ｎ ｖｒ ￣Ｎａ Ｊ ｇ２ １ ０） Ｃ ｌｇ Ｅ ｅ ｌ ｏ ｇ ｎ Ｅ ｅ ｔ ａ Ｅ ｇｎ ｅｉ ， ｉ ｒ ｎ Ｈｏ ａ ｉｅｓ Ｕ ｉ ｎ ｉ １ １ ０ ｎ
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一级直线倒立摆的控制策略与仿真分析
一级直线倒立摆的控制策略与仿真分析一、引言倒立摆系统是研究控制理论的一种典型的实验装置，具有成本低廉，结构简单，参数和结构易于调整的优点。
然而倒立摆系统具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，是一个绝对不稳定系统。
倒立摆实物仿真实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案，它对一类不稳定系统的控制以及对深入理解反馈控制理论具有重要意义。
倒立摆系统在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果已经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。
二、一级直线倒立摆模型的建立图1 一级直线倒立摆物理模型图2 小车和摆杆的受力分析图2.1 传递函数模型图1、2是系统中小车和摆杆的受力分析图。
设小车质量为M，摆杆质量为m，小车摩擦系数为b，摆杆转动轴心到杆质心的长度为l，摆杆的转动惯量为I，根据牛顿第二定律，可以得到系统的两个运动方程：F ml ml x b x m M =-+++∙∙∙∙∙∙θθθθsin cos )(2（1）θθθcos sin )(2∙∙∙∙-=++x m l m gl m l I （2）设φπθ+=, 假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即c <<1，则可以进行近似处理：1cos -=θ,φθ-=sin ，0)(2=dtd θ。
用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：2()()I ml mgl ml x M m x b x ml uϕϕϕ∙∙∙∙∙∙∙∙∙+-=++-= （3）假设初始条件为0，对式(3)进行拉普拉斯变换得到：22222()()()()()()()()()I ml s s mgl s mlX s s M m X s s bX s s ml s s U s +Φ-Φ=++-Φ=（4）由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：mgl s ml I mls s X s -+=Φ222)()()(（5）令∙∙=x v ，则有：mgls ml I mls V s -+=Φ22)()()(（6） 把上式代入方程组的第二个方程，得到：)()()(])([)(])()[(222222s U s s ml s s sg ml ml I b s s s g ml ml I m M =Φ-Φ+++Φ-++（7）整理后得到传递函数：232()()()()mlss qb I ml M m mgl bmgl U s s s s q q qΦ=+++--（8） 其中])())([(22ml ml I m M q -++=。
针对直线一级倒立摆的LQR控制系统设计
沈阳航空航天大学课程设计（论文）题目针对直线一级倒立摆的LQR控制系统设计班级 94070201学号 2009学生姓名 SONG指导教师关沈阳航空航天大学课程设计任务书课程名称计算机控制技术课程设计院（系）自动化学院专业自动化班级9407201 学号2009 姓名song课程设计题目针对直线一级倒立摆的LQR控制系统设计课程设计时间: 2012 年7 月9 日至2012 年7 月20日课程设计的内容及要求：1. 内容以直线一级倒立摆实验平台为实验对象，根据LQR方法设计控制律。
保证倒立摆的摆杆垂直于水平面。
2. 要求（1）制定设计方案，并绘制出系统工作框图。
（2）按要求了解LQR方法并根据LQR方法设计控制律，且编写程序。
（3）用matlab进行程序设计与调试并进行仿真。
（4）通过直线一级倒立摆实验平台检验控制律的实际控制效果。
（5）撰写一篇6000~8000字左右的课程设计报告。
指导教师年月日负责教师年月日学生签字年月日目录0. 前言 (1)1. 针对直线一级倒立摆的LQR控制系统的基本理论 (2)1.1倒立摆的相关基础知识 (2)1.2倒立摆系统控制方法简介 (2)1.2基于牛顿—欧拉方法的直线一级倒立摆系统的数学模型 (3)1.2系统的可控性分析 (6)1.3线性二次最优控制LQR的基本原理 (7)2. 方案设计 (8)3. 部分硬件电路图 (9)4. 软件编程 (10)5. 系统调试和结果分析 (12)5.1系统仿真调试与结果分析 (12)5.2实际系统调试与结果分析 (13)6. 结论及进一步设想 (16)参考文献 (17)课设体会 (18)针对直线一级倒立摆的LQR控制系统设计宋沈阳航空航天大学自动化学院摘要：针对一级倒立摆这个被控制对象，由于其本身是具有绝对的不稳定、高阶次、多变量、强耦合的一个非线性自然的不稳定系统，是验证各种控制理论和方法有效性的典型理想模型，许多抽象的控制概念如控制系统的稳定性、系统收敛速度等，都可以通过倒立摆系统直观的表现出来。
直线一级倒立摆控制详细报告
直线一级倒立摆控制一、课程设计目的学习直线一级倒立摆的数学建模方法，运用所学知识设计PID控制器，并应用MATLAB进行仿真。
通过本次课程设计，建立理论知识与实体对象之间的联系，加深和巩固所学的控制理论知识，增加工程实践能力。
二、课程设计要求1. 应用动力学知识建立直线一级倒立摆的数学模型（微分方程形式），并建立系统的开环传递函数模型。
2. 运用经典控制理论知识，按设计要求设计控制器。
3. 应用MATLAB的Simulink建立控制系统的仿真模型，得出仿真结果。
4. 控制要求：※小车的位置x和摆杆角度的稳定时间小于10秒；※阶跃响应摆杆角度的摆幅小于2°；※θ有≤8°扰动时，摆杆的稳定时间小于三秒。
对比仿真结果与控制要求，修正设计值，使之满足设计要求。
三、控制系统建模过程1、控制对象示意图图1.控制对象示意图图中对象参数：M 小车质量 1.32kg l 摆杆转动中心到杆质心的距离0.27mm 摆杆质量0.132kg F 作用在系统上的外力X 小车位移θ 摆杆与竖直方向的夹角，以垂直向上为起始位置,取逆时针方向为正方向。
b 小车摩擦阻尼系数 m/sec 2. 控制系统模拟结构图：图2.系统的模拟结构图其中G1（s ）表示关于摆角θ的开环传递函数，D(S)表示PID 控制器的传递函数，G2（s ）表示小车位移x 的传递函数。
由于摆角与垂直向上方向夹角为0时为平衡状态，故摆角的理想输出值应为R （S ）=0。
3. 建模过程：T图3.小车及摆杆的受力分析图如图3所示，对小车及摆杆进行受力分析，得到以下平衡方程：对小车有： 22..................................(1)dx d xF F b N M dt dt=--=∑小车对摆杆有：2222(cos ) (2)(cos ).............................(3)d F N m x l dt d Fmg P m l l dtθθ==-=-=-∑∑水平竖直转矩：2222sin cos ...................................(4)1 (5)23ll d T I Pl Nl dt mr I dr ml l θθθ-==+==∑⎰为使摆杆直立，需使θ≪1，则有sin ,cos 1θθθ≈≈， 线性化（2）（3）（4）方程得：2222() (6)0.......................................................................(7)..............................d N m x l dtmg P d I Pl Nl dtθθθ=--==+................................(8) 由（1）（5）（6）（7）（8）式联立解得：222222222() (9)4 (10)3d x d dxF M m ml b dt dt dtd d xmgl ml ml dt dtθθθ=+-+=- 对（9）（10）两式进行拉式变换，得：22222()()()()()4()()()3F S M m s X s Mls s bsX s mgl s ml s s mls X s θθθ=+-+=- 传递函数：13222432()3()()(4)43()3()43()()(4)43()3s sG s F s Ml ml s bls M m gs gbX s ls gG s F s Ml ml s bls M m gs gbsθ==++-+--==++-+-将数值带入后得到系统的传递函数：132224323() 1.461240.10842.6888 2.941.0829.4() 1.461240.10842.6888 2.94sG s s s s s G s s s s s =+---=+--四、应用Simulink建立仿真模型进行实验1．控制系统的simulink仿真结构图及仿真结果其中PID控制器的传递函数参数的初步范围可以由劳斯判据确定，具体过程如下：设PID控制器的传递函数为1()P I DD s K K K ss=++，则以θ为输出量的系统特征方程为111()()0P ID K K K s G s s+++= 整理得321.46124(30.108)(342.6888)(3 2.94)0D P I s K s K s K +++-+-=通过劳斯判据可以确定，若使系统稳定，则有0.48708(3 2.94)0.98,0,14.22960.1083I I D P DK K K K K ->>>++通过模拟系统反复实验，根据PID 各个参数的作用进行数值调整，得到使系统满足要求的PID 控制器的传递函数为：1()90092650D s s s=++2. 系统响应曲线在单位阶跃输入下，θ（t ）的响应曲线为：从该响应曲线可以看出，此时系统的稳定时间小于10s ，且摆杆的摆幅小于2度，满足控制要求。
一级直线型倒立摆的控制及实现
制器 ｆ２ 的鲁棒性； 而后一阶段的切换则 依赖切换角大小的限制， 如取切换角为
２０°．
３ 小车位置跟踪
对第二阶 段设计 的控 制 器 ｆ２， 我 们 对其跟踪性能作进一步考察．
在 倒 立 摆 切 换 至 稳 摆 算 法 １０ ｓ 后 ， 对小车给出 ｘｄ ＝ ０．３ ｍ 的平移指令． 图 ３ 是小车位置调节时摆角和小车位移随时 间变化曲线． 从图中可看出， 对所设计
１ ２
（Ｅ
－
Ｅｒｅｆ） ２，
Ｅｒｅｆ 为最
高点能量， 则：
３０
汕头大学学报（ 自然科学版）
第 ２２ 卷
ｄ Ｖ／ｄ ｔ ＝ － （ Ｅ － Ｅｒｅｆ） ｍ ｕｌθ! ｃｏｓ θ．
因此， 令： ｕ ＝ ｋ（ Ｅ － Ｅｒｅｆ） θ! ｃｏｓ θ， ｋ 为增益矩阵． 另外， 由于系统的物理限制， 控制
量不能太大， 因此采用控制量 ｆ１：
２００７ 年 ５ 月 Ｍａｙ ２００７
汕头大学学报 （ 自然科学版）
Ｊ ｏｕｒ ｎａｌ ｏｆ Ｓｈａｎｔｏｕ Ｕｎｉｖｅｒ ｓｉｔｙ （ Ｎａｔｕｒ ａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ ）
文章编号： １００１ － ４２１７（２００７）０２ － ００２８ － ０５
第 ２２ 卷 第 ２ 期 Ｖｏｌ．２２ Ｎｏ．２
一级直线型倒立摆的控制及实现
Ｅ ＝ １ Ｊ θ! ２ ＋ ｍｇｌ（ ｃｏｓ θ－ １） ， ２
因此， ｄ Ｅ／ｄ ｔ ＝ Ｊ θ! θ" － ｍｇｌ θ! ｓｉｎ θ＝ － ｍｕｌθ! ｃｏｓ θ， 其中 ， ｕ 为水平 向右方向 的作用 力，
即模型中的 ｆ，
Ｊ ＝ ｍｌ ２／ ３．
应用 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 方法，
令能量函数 Ｖ ＝
直线一级倒立摆自动摆起控制实验
第5章 直线一级倒立摆自动摆起控制实验 对于直线一级倒立摆，其初始状态为静止下垂状态，为使其转化到竖直向上的状态，需要给摆杆施加力的作用。
上面的实验，我们都是采用手动的方法将摆杆提起，下面我们采用自动摆起的方法对其进行控制。
5.1 摆起的能量控制策略单个不受约束的倒立摆系统的能量为：)1(cos 212−+=⋅φφmgl J E 有：φφφφφφCos mul Sin mgl J dtdE ...−=−=⋅⋅ 其中 u ——为水平向右的控制量。
应用李亚普诺夫方法，令：2)(21ref E E V −= 则：φφCos mul E E dtdV ref .)(−−= 因此，令：φφCos E E k u ref .)(−=注意当00.＝或＝φφCos 时，0=u 。
另外，由于实际物理系统的限制，控制量不能太大，因此采用：⎪⎩⎪⎨⎧≤⋅−=02])[(.πθφφng Cos E E sign v ref其中，()sign 为取符号函数，g v n /max =为常数。
5.2 直线一级倒立摆摆起控制实验实时控制实验在MATALB Simulink 环境下进行，用户在实验前请仔细阅读使用手册。
z在进行MATLAB实时控制实验时，请用户检查倒立摆系统机械结构和电气接线有无危险因素存在，在保障实验安全的情况下进行实验。
实验步骤：1)在MATLAB Simulink中打开直线一级倒立摆起摆控制程序：（进入MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打开“Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Swing-Up Control”中的“Swing-Up Control Demo）图 5-1直线一级倒立摆摆起实时控制程序2)其中“Swing-up Controller”为起摆控制模块。
直线一级倒立摆控制器设计
*注：此任务书由课程设计指导教师填写。
一、系统建模1) 直线一级倒立摆数学模型的推导直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一。
用牛顿力学方法建模：在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示：图1直线一级倒立摆模型系统受力分析如图2：图2及摆杆受力分析本系统参数定义如下：M——小车质量；m——摆杆质量。
b——小车摩擦系数；l——摆杆转动轴心到杆质心的长度；I——摆杆惯量；F——加在小车上的力；x ——小车位置；φ——摆杆与垂直向上方向的夹角。
θ——摆杆与垂直向下方向的夹角根据牛顿第二定律分析小车水平方向受力方程为：Mx F bx N=--因此主动控制力可近似线性化地表示为：()22sin d N m x l dtθ=+即：2cos sin N mx ml ml θθθθ=+-代入上式：()2cos sin M m x bx ml ml F θθθθ+++-=垂直方向上：()22cos d P mg m l dt θ-=-即：2sin cos P mg ml ml θθθθ-=+ 力矩平衡方程：sin cos Pl Nl I θθθ--=注意等式前面的负号，由于,cos cos ,sin sin θπφφθφθ=+=-=-()22sin cos I ml mgl mlxθθθ++=-1.微分方程模型设θπφ=+，近似处理:2cos 1,sin ,()0d dtθθθφ=-=-= 设u=F ，则线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式如下：()()2M m x bx ml u I ml mgl mlx φφφ⎧++-=⎪⎨+-=⎪⎩2.传递函数模型对上式拉氏变换处理，设初始条件为0，则：()()22222()()()()()()()M m X s s bX s ml s s U s I ml s s mgl s mlX s s ⎧++-Φ=⎪⎨+Φ-Φ=⎪⎩输出为角度为φ，由第二式得到()22()()I ml g X s s ml s ⎡⎤+⎢⎥=-Φ⎢⎥⎣⎦或者()222()()s mls X s I ml s mglΦ=+-如果令x ν=，则有()22()()s mlV s I ml s mglΦ=+-把上式代入10式，则有：()()()22222()()()()I ml I ml g g M m s s b s s ml s s U s ml s ml s ⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥+-Φ++Φ-Φ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦整理：()()212432()()()ml s s q G s U s b I ml M m mgl bmgl s s s sqqqΦ==+++--其中()()()22q Mm I ml ml ⎡⎤=++-⎣⎦从而，有()()()()()222222432222432()()()()()X s s G s s U s ml s I ml s mglq mlsb I ml M m mgl bmgl s ss sqqqI ml mgls q q b I ml M m mgl bmgl s ss sqqqΦ=⨯Φ+-=⨯+++--+-=+++--3.状态空间数学模型控制系统的状态空间方程可写成如下形式：X AX Bu Y CX Du=+=+，可得状态方程()()()()()()()()()2222222222x x I ml b I ml m gl x x u I M m Mml I M m Mml I M m Mml mgl M m mlb ml x u I M m Mml I M m Mml I M m Mml φφφφφ=⎧⎪-++⎪=++⎪++++++⎪⎨=⎪⎪+-⎪=++⎪++++++⎩()()()()()()()()()22222222220100000000100010000010x x I ml b I ml m gl x x I M m Mml I M m Mml I M m Mml u mlb mgl M m ml I M m Mml I M m Mml I M m Mmlx y φφφφφ-++++++++=+-+++++++==⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦00x x uφφ+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎡⎤⎪⎢⎥⎡⎤⎪⎢⎥⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎢⎥⎩⎣⎦2) 系统阶跃响应分析通过对上面得到的系统的状态方程进行阶跃响应分析得图3： %实际系统参数M=0.5; m=0.2; b=0.1; l=0.3; I=0.006; g=9.8; T=0.005;%求传递函数gs(输出为摆杆角度)和gspo(输出为小车位置)q=(M+m)*(I+m*l^2)-(m*l)^2; num=[m*l/q 0];den=[1 b*(I+m*l^2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q]; gs=tf(num,den);numpo=[(I+m*l^2)/q 0 -m*g*l/q];denpo=[1 b*(I+m*l^2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0];gspo=tf(numpo,denpo);%求状态空间sys(A,B,C,D)p=I*(M+m)+M*m*l^2;A=[0 1 0 0;0 -(I+m*l^2)*b/p m^2*g*l^2/p 0;0 0 0 1;0 -m*b*l/p m*g*l*(M+m)/p 0];B=[0;(I+m*l^2)/p;0;m*l/p];C=[1 0 0 0;0 0 1 0];D=0;sys=ss(A,B,C,D);%通过传递函数求系统(摆杆角度和小车位置)的开环阶越响应t=0:T:5;y1=step(gs,t);y2=step(gspo,t);figure(1);plot(t,y2,'b',t,y1,'r');axis([0 2.5 0 80]);legend('Car Position','Pendulum Angle');图3 摆杆和小车位置的开环阶跃响应注：左边红色代表小车位置，右边蓝色代表摆杆角度响应。
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± 0 . 831 9 j - 56 . 586 0 - 34 . 178 8
根据线性二次型最优状态反馈的设计有了方 案 1. 为了研究极点配置设计方法 ,反推出闭环极 点 (见表 1 ) . 方案 2 的主导极点是由性能指标算 出的 . 方案 4 则是取用了方案 1 的靠近虚轴的一 对共扼复极点 . 方案 3 原是方案 4 的一个误操作 , 因漏输入虚数符号 j而实际配置了 4 个实极点 . 几种方案的仿真试验和实验相应曲线见图 6. 由图 6a 至图 6d (分图中变化大的曲线为摆 角曲线 ,变化小的曲线为车位曲线 ) 可以看出 : 方 案 1,方案 3,方案 4 的仿真试验效果十分相近 ,最
Φ Φ
・ ・
・
0 - m lb 2 I (M +m ) +Mm l 0
I +m l 2 I (M + m ) +Mm l
2
0
m gl (M +m ) 2 I (M +m ) +Mm l
x
Φ Φ
・
+
0
ml 2 ( I M + m ) +Mm l
u
x
・y=xຫໍສະໝຸດ Φ=1 0
0 0
0 1
0
x
・
0 Φ
+
0 0
u
( 1)
倒立摆系统 ,是由沿直线导轨运动的小车以及一 端固定于小车上的匀质长杆组成的系统 . 小车可 以通过传动装置由交流伺服电机驱动 . 小车导轨 一般有固定的行程 , 因而小车的运动范围是受到 限制的 . 直线型一级倒立摆系统的实际控制要求可归 结为 3 点 : ( 1 )倒立摆小车控制过程的最大位移量不能 超过小车轨道的长度 ; ( 2 )为保证倒立摆能顺利起立 , 要求初始偏 角小于 20 ° ; ( 3 )为保证倒立摆保持倒立的平衡态 , 要求 控制系统响应速度足够快 . 为此 ,设调整时间小于
The D esign and I m plem en ta tion of An I nversed Pendulum Sta te Var ia ble Feedback Con trol System
YANG Ping, XU Chun 2 mei, W ANG Huan, ZHU Ying , YU Chao
( S chool of E lectric Pow er & A u tom a tion Eng ineering, S hangha i U n iversity of E lectric Pow er, S hangha i 200090, Ch ina )
Abstract: The four schem es for an inversed pendulum state variable feedback control system are designed. The feasibility of the four schem es is confirmed by sim ulation tests and p ractical tests . The analytical results demonstrate that the LQR based design and dom inant poles based design m ethods are effective. Key words: state variable feedback control; inverted pendulum; real2tim e control; control design
图 4 最优状态反馈系统响应曲线 (Q 和 R 取初值 )
方案 2 方案 3 方案 4
σp =20
从图 4 可以看出 , 摆角和车位的调整时间均 大于 2 s,摆角最大振幅约 0. 1 rad, 车位最大振幅 约 0. 9 m. 显然控制强度偏弱 . 为此 , 尝试逐渐加 大加权矩阵 Q 的值并观察系统响应 . 系统响应比 较理想的一组二次型最优状态反馈矩阵为 K = [ - 70. 710 7, - 37. 834 4, 105. 529 5, 20. 923 8 ]. 系统响应如图 5 所示 .
2 s,峰值时间小于 0. 5 s .
M— — — 小车质量 ; x— — — 小车的位移 ;
・
x— — — 小车的速度 ;
Φ— — — 摆杆的摆角 ; Φ— — — 摆杆的角速度 ;
u— — — 输入 , 即施加在小车上的外力 ; y— — — 输出 .
・
针对所使用的固高公司生产的倒立摆装置 ( GL IP2001 ) ,具体的数学模型如式 ( 2 )所示 .
第 23 卷第 1 期 2007 年 3 月
上 海
电 力
学
院 学
报
Vol . 23, No. 1 Mar . 2007
Jou rnal of S hanghai U n iversity of E lectric Pow er
文章编号 : 1006 - 4729 ( 2007 ) 01 - 0021 - 05
3. 3 试验方案设计与实现
表 1 给出了倒立摆状态反馈极点配置试验方 案.
表 1 倒立摆状态反馈极点配置方案
方案类型 方案 1 性能指标
/%
极 点
-8 . 491 2 ± 7 . 928 j - 4. 759 ± 0 . 831 - 2± 2 . 794 2 j - 8 - 12 -3 . 927 5 -9 . 001 3 -4 . 758 8 -9 . 001 5 -5 . 590 1 - 11 . 999 0 - 11 . 998 9
图 3 倒立摆状态反馈控制系统 实际试验系统组态示意
略 ,但最基本的是状态反馈的极点配置法和最优 控制的 LQR 方法 . 极点配置法通过设计状态反馈 控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望 的位置上 ,从而使系统满足工程师提出的瞬态和 稳态性能指标 . 最优控制理论主要是依据庞德里亚金的极值 原理 ,通过对性能指标的优化 ,寻找使目标极小的 控制器 ,其中线性二次型性能指标可以通过求解 R iccatti方程得到控制器参数 ,利用线性二次型性 能指标设计的控制器被称为 LQR 控制器 . 这两种控制方法都需用系统状态的全反馈 . 实际系统中直接可测得的状态有小车的位置和倒 立摆的角位移 ,而小车的速度和倒立摆的角速度 可通过串接微分器得到 , 所以就不需要采用专用 的状态观测器 .
σp = 20 % ts = 2 s, 可求出系统的主导极点 s1, 2 = - 2 ± 2. 794 2 j 再加上两个实极点 s3 = - 8 s4 = - 12 可求出系统的反馈矩阵 k = [ - 25 . 446 2, - 14 . 021 6, 58 . 355 6, 10 . 848 6 ]
倒立摆系统是一个非线性自然不稳定系统 , 是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想 实验平台 . 许多抽象的控制概念 ,如控制系统的稳定性 、 可控性 、 系统抗干扰能力等 ,都可以通过倒立摆系 统直观地表现出来 . 除教学用途外 , 倒立摆系统的高阶次 、 不稳 定、 多变量 、 非线性和强耦合等特性 , 使得许多现 代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象 . 他们不断从研究倒立摆控制方法中发掘出新的控
3. 1 线性二次型最优控制器设计
3 状态控制器设计与实现试验
一般情况下 ,倒立摆系统均是可控的 ,其可控 性与系统本身的特性有关 . 这些特性主要包括 : 倒 立摆杆的长度及其相对比例 ; 转动惯量的大小及 其相对比例 . 倒立摆系统的控制设计可以采用很多种策
使用线性二次型最优控制器进行控制系统设 计 ,只需根据系统的相应曲线寻找出合适的状态 变量和状态量的加权矩阵即可 , 所求得的控制器 是误差指标 J 最优意义下的控制器 . 设计线性二次型最优控制器的关键是选择加
在 MATLAB 的 Sim ulink 环境下 ,可以搭建出 如图 2 所示的状态反馈控制系统仿真试验研究平 台.
图 2 倒立摆状态反馈控制系统仿真试验研究平台
图 3 所示的状态反馈控制系统是固高公司提 供的组态图 . 只要把状态反馈矩阵系数值设置于 Controller模块中 ,就可实现新的状态反馈控制方 案.
反馈矩阵
- 70 . 710 7 - 37 . 834 4 105 . 529 5 58 . 355 6 100 . 715 9 102 . 361 5 20 . 923 8 10 . 848 6 20 . 084 6 20 . 345 4 - 25 . 446 2 - 14 . 021 6 - 53 . 232 7 - 33 . 526 8
23
2 试验研究平台的搭建
2. 1 仿真平台
2. 2 实物平台
利用固高公司的倒立摆装置和配套的计算机 控制软硬件 ( GL IP2001 ) 可构成直线一级倒立摆 实验研究系统 . 利用 MATLAB6. 5 版所提供的实 时测控功能 ,可将控制器直接联接在 Sim ulink 环 境下组态 .
作者简介 : 杨 平 ( 1954 - ) ,男 ,教授 ,浙江诸暨人 . 主要研究方向为计算机测控技术及电站自动化 . 基金项目 : 上海市重点学科项目 ( P1301) ; 上海市市级精品课程建设项目 ; 上海电力学院重点教改项目 .
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上 海 电 力 学 院 学 报 2007 年
・
x
・ ・
0 = 0 0 0
x
・
1 - 0. 181 8 0 - 0. 454 5 0 + 1. 818 2 0 4. 545 5
0 2. 672 7 0 31. 181 8
0 0 1 0
x
Φ Φ
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×
1 控制对象建模
为简单起见 ,在建模时 ,一般忽略掉系统中的 一些次要因素 . 例如空气阻力 、 伺服电机的静摩擦力 、 系统连 接处的松弛程度等 . 根据有关文献 , 一级倒立摆的数学模型如式 ( 1 )所示 . ・ 0 1 0 0