概率论与数理统计05 第五节 二维随机变量及其联合分布函数
3.1 二维随机变量及其联合分布函数
FX ( x) F ( x, ) , FY ( x) F (, y) .
称为随机变量 ( X , Y ) 关于X 和Y的边缘分布函数 .
例3.1 设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为
x y F ( x, y ) A B arctan C arctan 2 3
二维随机变量
二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
二、联合分布函数
(1)分布函数的定义 定义 设( X , Y )是二维随机变量，对于任意实
数x , y , 二元函数:
F ( x , y ) P { X x ,Y y }
称为二维随机变量( X , Y )的联合分布函数，
简称为分布函数.
y
y2
( x1 , y2 )
( x2 , y2 )
y1
( x1 , y1 )
( x2 , y1 )
x2
O
x1
x
(2) 分布函数的性质
定理3.1
(1) 有界性 0 F ( x, y ) 1 (2) 单调不减性
F ( x, y) P{ X x, Y y}
联合分布函数具有以下性质
F ( x, y)是变量x和y的不降函数,
三、用联合分布函数表示概率
如果知道了二维随机变量 X , Y 的联合分布函数 F ( x , y ) ， 那么可以求出它落在任何矩形内的概率.
P x1 X x2 , y1 Y y2 F x2 , y2 F x1 , y1 F x1 , y2 F x2 , y1
称该分布为二维指数分布,其中参数 0 . 则边缘分布函数为
1 e x , x 0 FX ( x ) F ( x, ) x0 0,
概率论与数理统计课件二维随机变量及其联合分布PPT学习教案
k e2xdx e3ydy
0
0
k[
1 2
e 2 x
]0 [
1 3
e3 y
]0
k1 1 6
所以
k 6
第11页/共25页
xy
(2)
F(x, y) f (u,v)dudv
当
时，
x 0,或y 0
F(x, y) 0
当
时，
x 0,且y 0
F(x, y) x y 6e2x3ydudv (1 e2x )(1 e3y ) 00
Ｐ{Ｘ＝１，Ｙ＝２}＝(1/3) × (2/2)＝1/3， Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝１}＝(2/3) ×(1/2)＝1/3， Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝２}= (2/3) ×(1/2)＝1/3，
Ｙ Ｘ
１
２
１
０
1/3
２
1/3
1/3
第6页/共25页
例见书P69，习题1 解 ( X , Y ) 的可能取值为
(0， 0)， (-1， 1)， (-1， 1/3)，（2，0）
y)
4
x
1 2
2
,
( 1 x 0, 2x 1 y) 2
2
y
1
y 2
,
(0 x, 0 y 1)
1,
(x 0, y 1)
第22页/共25页
P
Y
1 2
4dxdy 梯形
3 4
y=2x+1 0.5
-1/2
第23页/共25页
二维正态分布
N
(1,
2
,
12
,
2 2
,
)
设二维随机变量
( X , Y ) 的概率密度为
二维离散型随机变量的联合分布函数
例1 设
F
(x,
y)
0, 1,
x y 1 x y 1
讨论F (x, y)能否成为二维随机变量的分布函
数？
y
(0,2) •
解 F (2,2) F (0,2)
4
9 99 0
9
11
2
2
99 00 9
1
1
3
27 0 0 0 27
pi•
84 2
1
27 9 9
27 1
(2) 由表可知
P(Y X ) 7 27
P(Y X ) 10 27
(3) 省略．
例4 把3个红球和3个白球等可能地放入编 号为1，2，3的三个盒子中，每盒容纳的球数无 限，记X为落入1号盒的白球数，Y 为落入1号盒 的红球数．求(X ,Y)的联合分布律和边缘分布 律．解
2
8 2 27 9
3
81 27 27
pi•
8 27
1
4 8 9 27 44 99 42 99 4 1 9 27
4 9
2
3 p• j
2 8 1 8 8 9 27 27 27 27
24 1 4 4 9 9 27 9 9 22 1 2 2 9 9 27 9 9 2 1 1 1 1 9 27 27 27 27
(X x) (Y y) (记为 X x,Y y)
的概率 PX x,Y y， 定义了一个二元实
函数 F ( x , y )，称为二维随机变量( X ,Y ) 的分 布函数，即
《概率论与数理统计》课件3-1二维随机变量及其联合分布
二维随机变量联合分布函数
F(x,y) = P{X x,Y y}
(1) 有界性 0 F(x,y) 1，且有F(− ,y) = lim F(x,y) = 0
x→−
F(x，− ) = lim F(x,y) = 0 F(− ，− ) = lim F(x,y) = 0 ，
1
F(
) 1 F( y) 0 F(x ) 0
F ( , ) A(B )(C ) 1
2
2
F ( , y) A(B )(C arctan y) 0 2
F ( x,
) A( B arctan x) ( C
)0
2
A
F (x, y) y).
1
2
,
B
1
2 (2
C.
2
arctan x)( 2
arctan
(2) P 0 X , 0 Y 1 F( ,1) F(0,1) F( , 0) F(0, 0) ．
则〈
l
0，
它
P 恳1 < X 共 2,3 < Y 共 5}
x > 0, y > 0 其
= F(2,5) − F(1,5) − F(1,3) + F(2,3)
A) V
B) 根
A
B
提交
1 F(x, y) A(B arctan x)(C arctan y).
1
A, B,C 2 P 0 X , 0 Y 1
A.
B.
C.
D.
A
C
B
D
提交
1. F(x, y) P{X x,Y y}.
2.
二维随机变量的联合分布函数
二维随机变量的联合分布函数随机变量是概率论和数理统计中的重要概念之一，它可以描述一个随机事件以及该事件可能出现的结果。
二维随机变量则是另一种更为复杂的随机变量类型，它可以同时描述两个随机事件之间的关系。
在二维随机变量中，我们有一个联合分布函数，它描述了两个随机变量的值同时出现的可能性，也就是两个随机变量之间的联合关系。
二维随机变量的联合分布函数定义为：F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)
其中，X和Y是两个二维随机变量，F(x,y)表示X≤x且Y≤y的概率。
联合分布函数可以用来描述两个随机变量之间的关系，从而可以计算出相应的统计特征，如均值、方差、协方差等。
在实际应用中，联合分布函数也可以用于概率分布估计、预测和建模等问题。
例如，如果我们有两个随机变量X和Y，它们分别表示某个商品的价格和销量。
我们可以通过计算它们之间的联合分布函数，来研究价格和销量之间的关系。
如果联合分布函数的曲线表现为随价格上升而
销量下降的趋势，那么我们可以得出这个商品的价格和销量之间是负
相关的。
另外，联合分布函数还可以衍生出边际分布函数和条件分布函数。
边际分布函数指的是某一个随机变量的概率分布函数，而条件分布函
数则指的是在已知另一个随机变量取某一值的情况下，另一个随机变
量的概率分布函数。
总之，二维随机变量的联合分布函数是概率论和数理统计中重要
的概念之一。
通过联合分布函数，我们可以研究和描述两个随机变量
之间的相互关系，从而得出相应的统计特征，如均值、方差、协方差等。
同时，联合分布函数还可以衍生出边际分布函数和条件分布函数，有助于在实际应用中进行概率分布估计、预测和建模等问题的解决。
概率论第三章：二维随机变量及其联合分布
第三章 二维随机变量及其联合概率分布考试内容：二维随机变量的联合分布函数 / 离散型二维随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布 / 连续型二维随机变量的联合概率密度、边缘密度/ 随机变量的独立性和相关性 / 常见二维随机变量的概率分布 / 两个随机变量的函数的概率分布 考试要求：1、理解二维随机变量的联合分布函数的概念和基本性质。
2、理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本表达形式：离散型二维随机变量联合概率分布和连续型二维随机变量联合概率密度。
掌握已知两个随机变量的联合分布时分别求它们的边缘分布的方法。
3、理解随机变量的独立性和相关性的概念，掌握随机变量独立的条件；理解随机变量的不相关性与独立性的关系。
4、掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义。
5、掌握根据两个随机变量的联合概率分布求其函数概率分布的方法。
一、知识要点1、二维随机变量的分布函数),(Y X 的联合分布函数 },{),(y Y x X P y x F ≤≤=， 性质:1),(0≤≤y x F ，单调不减，右连续，0),(=-∞-∞F ，0),(=-∞y F ，0),(=-∞x F ，1),(=+∞+∞F ； X 的边缘分布函数：),()(+∞=x F x F X ； Y 的边缘分布函数：),()(y F y F Y +∞=.2、二维离散型随机变量),(Y X联合分布律：ij j p y Y x X P ===),(1， ,2,1,=j i ，一般用矩形表格列出； 边缘分布律：⋅===∑i jiji p px X P 记)(， ,2,1=ij iijj p py Y P ⋅===∑记)(， ,2,1=j .3、二维连续型随机变量),(Y X若⎰⎰∞-∞-=x yv u v u f y x F d d ),(),(，称),(y x f 为),(Y X 的联合密度函数；),(y x f 的性质:(1) 0),(≥y x f ；(2)1d d ),(=⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x f ；(3)若),(y x f 连续，则),(),(2y x f yx y x F =∂∂∂； (4)⎰⎰=∈Dy x y x f D Y X P d d ),(}),{(；边缘密度: ⎰∞+∞-=y y x f x f X d ),()(；⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()(；二维均匀分布：⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它 , 0),( , 1),(Dy x S y x f D ，D S 为D 的面积；二维正态分布);,;,(222121ρσσμμN ：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=222221121122212)1(21exp 121),(σμσμσμρσμρρσπσy y x x y x f 其边缘分布分别为一维正态分布),(~211σμN X ，),(~222σμN Y .4、随机变量的独立性若)()(),(y F x F y x F Y X ⋅=，称X 与Y 相互独立； 离散型：j i ij p p p ⋅⋅=. ， ,2,1,=j i ；连续型：)()(),(y f x f y x f Y X ⋅=)()(y f x f Y X ⋅=，R y x ∈,.5、条件分布离散型：在j y Y =条件下X 的条件分布为jij j i p p y Y x X P ⋅===)|(， ,2,1=j .6、二维随机变量函数的分布主要研究Y X Z +=的分布： 连续型，卷积公式：⎰∞+∞--=x x z x f z f Z d ),()(或⎰∞+∞--=y y y z f z f Z d ),()(；若Y X ,相互独立，则⎰∞+∞--=x x z f x f z f Y X Z d )()()(或⎰∞+∞--=y y f y z f z f Y X Z d )()()(；可加性定理：(1) 设),(~p m B X ，),(~p n B Y ，且Y X ,相互独立，则),(~p n m B Y X ++； (2) 设)(~1λP X ，)(~2λP Y ，且Y X ,相互独立，则)(~21λλ++P Y X ;(3) 设),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，且Y X ,相互独立，则有),(~222121σσμμ+++N Y X ;推广到有限多个，若),(~2i i i N X σμ，n i ,,2,1 =，且n X X X ,,,21 相互独立，则有∑∑∑====n i ni i i i i n i i i a a N X a Z 11221),(~σμ，称为正态分布的可加性.二、典型例题题型1：二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布【例1】 (研97) 设两个随机变量X 和Y 相互独立且同分布：21}1{}1{=-==-=Y P X P ，21}1{}1{====Y P X P ，则下列各式成立的是 【 】(A)21}{==Y X P (B) 1}{==Y X P (C) 41}0{==+Y X P (D) 41}0{==XY P【详解】 由X 和Y 相互独立知}1,1{}1,1{}{==+-=-===Y X P Y X P Y X P}1{}1{}1{}1{=⋅=+-=⋅-==Y P X P Y P X P 2121212121=⨯+⨯=。
概率论与数理统计二维连续型随机变量及其概率分布编号ppt文档
4
PXY4,X1 PX1
2
dx
4x 1 (6 x y)dy
1 2 8
2
dx
4 1 (6 x y)dy
1 28
2
7 48 7 3 8 18
12
5.二维均匀分布
1).定义 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为
f(x,y)
1, A
0,
(x,y)D, otherwise.
二. 联合密度函数与边缘密度函数
1. 定若义存在非负函数 f(x,y)，使得对任意实数x，y，
二元随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)
可表示成如下形式
xy
F(x,y)
f(u,v)dudv
则称(X,Y)是二维连续型随机变量。f(x,y) 称为二 元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.
2.联合概率密度函数的性质
y2x1时，
F(x,
y) 4dxdy
三角形
4S三角形
4x122
.
（c）当 x 时0 ，
y0， f(x,y)0,
y=2x+1
所 以 ， F(x,y)0
D
随机事件的概率=曲顶柱体的体积; 点和平面曲线对应的概率为0.
特别的,
x
Dy
P { x 1 X x 2 ,y 1 Y y 2 } x x 1 2
y 2f(x ,y ) d y d x .
y 1
4. 边缘密度函数 1). 定义
x
FX(x) fX(t)dt; y
FY(y) fY(t)dt.
(1x0,0y2x1) 2
0, otherwise,
分布函数为 F (x,y)P Xx,Yy
概率论与数理统计 二维连续性随机变量及其分布
概率论与数理统计
例5 (X,Y)分布律如下，求cov(X,Y) X,Y)
−1 0 2 P +∞ 0.3 0.45 0.25 P 0.55 0.25 0.2 E( X ) = ∑xi pi = 0×0.3+1×0.45 + 2×0.25 = 0.95,
E ( X ) = ∫−∞ xf ( x)dx
+∞
概率论与数理统计
3.随机变量函数的数学期望 （1）X为随机变量，Y=g(X), 离散型： 离散型： E (Y ) = E[ g ( X )] = ∑ g ( xi ) pi
i =1 ∞
连续型： 连续型：E (Y ) = E[ g ( X )] =
∫
]
E{[ X − E ( X )][Y − E (Y )]} D ( X ) D(Y ) Cov( X , Y )
D ( X ) D(Y )
概率论与数理统计
若D (X ) > 0, D (Y ) > 0 ,称
( X − E( X ))(Y − E(Y) cov( X ,Y) E = D( X ) D(Y) D( X ) D(Y)
−∞ −∞
概率论与数理统计
j =1 i =1
解 X 型区域D : 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1;
y
D
O
x
概率论与数理统计
X 型区域D : 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1;
概率论与数理统计
1.E (C ) = C 2. E (aX ) = a E (X ) 3.E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
概率论与数理统计—二维随机变量
P{ X 1,Y 2} 1 2 1 , P{ X 2,Y 1} 2 1 1 ,
32 3
32 3
P{X 2,Y 2} 2 1 1 . 32 3
p11 0,
p12
p21
p22
1, 3
故 ( X , Y ) 的分布律为
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,, 称此为二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布律, 或随机变量 X 和Y 的联合分布律.
其中 pij 0,
pij 1.
i1 j1
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
X Y
y1 y2
yj
x1
x2 xi
机变量 X 和 Y 的联合概率密度.
2.性质
(1) f ( x, y) 0.
(2)
f ( x, y) d x d y F (,) 1.
(3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域, 点 ( X ,Y ) 落在
G 内的概率为
P{(X ,Y ) G} f ( x, y) d x d y.
,
(x, y) D,
0, 其他.
则称 ( X , Y ) 在 D 上服从 均匀分布.
例3 已知随机变量 ( X , Y ) 在 D上服从均匀分布, 试求( X , Y )的分布密度,其中D为x 轴, y 轴及直线 y = x+1 所围成的三角形区域 .
解
由
f
( x,
y)
1 S
0,
,
(x, y) D, 其他.
G
(4)若 f ( x, y)在( x, y)连续,则有2F ( x, y) f ( x, y). xy
概率论与数理统计 --- 第三章{多维随机变量及其分布} 第五节：两个随机变量的函数的分布(1)
当 0<s<2时, 如图所示, 有:
概率论
F(s) f (x,y)dxd y1 1
xys
2
2
s
1 sd ydx x
s (1 ln2 lns) 2
于是:
0,
F
(s)
s 2
(1
ln2
lns),
1,
s 0, 0 s 2,
s2
故S的概率密度为:
f
(s)
F
(s)
1 (ln 2 2
ln
由独立性
i0
r
P( X i)P(Y r i)
i0
=a0br+a1br-1+…+arb0 , r=0,1,2, …
例2 若X 和Y 相互独立,
概率论
它们分别服从参数为 λ1, λ2 的泊松分布,
证明: Z=X+Y服从参数为λ1+λ2的泊松分布.
解: 依题意:
P(X
i)
e1 i 1
,
i = 0,
它们的分布函数分别为 FX(x) 和 FY(y), 我们来求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函数.
1. M = max(X,Y) 的分布函数 FM(z)=P(M≤z) =P(X≤z,Y≤z) 由于 X 和 Y 相互独立,
M
z
X Y
z z
于是得到 M = max(X,Y) 的分布函数为:
1, 2,…;
P(Y
j)
e2 j 2
,j =
0, 1, 2, …
于是:
i!
j!
r
P(Z r) P(X i,Y r i)
i0
大学《概率论与数理统计》教学大纲
《概率论与数理统计》课程教学大纲（“Probability and Mathematical Statistics” Course Syllabus）一、课程说明课程编码：00000548、课程总学时（理论总学时/实践总学时）：60（58/2）、周学时：4、学分：3、开课学期：第四学期。
1．课程性质：公共必修课。
是研究随机现象并找出其规律性的一门学科，被广泛应用于社会、经济、科学等各个领域。
它为各个专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。
2．课程目标：该课程是学生专业课程的基础课程和先修课程，该课程能够培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力，从而在培养具有良好科学素养、人文精神和创新能力的数学及应用人才方面起着十分重要的作用。
该课程的内容和重要结论在自然科学与人文社会科学中均具有广泛的应用。
（1）让学生掌握和理解概率论与数理统计的基本概念、知识结构、典型方法。
（2）培养学生的思维能力，提升数学素养。
（3）培养学生应用所学的数学知识解决实际问题的意识和能力。
（4）培养学生的团队意识和协作意识。
（5）培养学生的自主学习和终生学习的能力。
（6）培养学生不畏艰难，稳中求进的能力。
（7）培养学生热爱生活的能力。
3.课程目标与毕业要求指标点对应关系4．适用专业与学时分配：适用于计算机科学与技术、计算机科学与技术（师范）、软件工程、网络工程、物理学（师范）、电子信息工程、物流管理、市场营销、国际经济与贸易（中外合作）、金融学（中外合作）、旅游管理、酒店管理专业。
教学内容与时间安排表5．课程教学目的与要求知识能力培养目标：一方面使学生掌握专业学习所必须的概率论与数理统计的基本理论、基本知识和基本技能。
了解概率论与数理统计的基本概念的发展历史，从中管窥科学知识发生发展的共同规律；另一方面培养学生应用概率统计理论及思想方法解决实际问题的意识和能力，使学生能够利用概率统计知识处理一些实际问题。
引导学生将概率统计知识与现实世界建立联系，能够做到学以致用。
概率论与数理统计 二维随机变量及其分布PPT课件
1
y
kxydxdy 0 dy0 kxydx
D
1 y2
k
k 0 y 2 dy 8 1
第14页/共40页
0
k 8
y= x
x
(2) P( 1)
8xydxdy x y1
1
y
dy 8xydx
0.5
1 y
y 5/6.
yy
11
0.5 00
y =yx= x xx
1
y=x
P( 0.5)
0
0.5
（2）fξ(x) （3）fη(y) 解： （2）
f (x)
f (x, y)dy
x
1dy
0
x
0 其他
x
1
2x 0
0 x 1 其他
back
第30页/共40页
例题7 1.(ξη)～U(G) ，G＝{0<x<1,|y|<x}, 求（1）f(x,y)
（2）fξ(x) （3）fη(y) 解： （3）
f ( y)
xy
F (x, y) f (u,v)dvdu
第10页/共40页
联合密度函数性质
二、联合密度函数性质
(1) f (x, y) 0
(2)
f (x, y)dxdy 1
(3)P(( ,) D) f (x, y)dxdy
D
(4)F (x, y)为连续函数，且在f (x, y)的边续点处有
求（1）(ξ,η)的分布律
（2）P(ξ≥ξη)η 1
2
解: (2)
1
0
1/3
P(ξ≥η) 2
1/3 1/3
=P(ξ=1,η=1)+P(ξ=2,η=1)+ P(ξ=2,η=2)bac=k2/3
第五章 二维随机变量及其分布
∫
y
p(u, v )dudv .
则称（ 则称（X,Y）为二维连续型随机变量,p(x,y)称为 为二维连续型随机变量, （X,Y）的联合密度（函数）。 的联合密度（函数）。 偏导存在的点处有： 注：在F(x,y)偏导存在的点处有： ∂2 p( x, y) = F( x, y). ∂x∂y
1 1 2 + P ( X = 2,Y = 2) = 0 + + = . 3 3 3
2011-11-8 皖西学院 数理系 13
一口袋装有3个球 分别标有数字1，2，2， 个球， 例2 一口袋装有 个球，分别标有数字 从袋中任取一球；放回袋中，再从袋中任取一球。 从袋中任取一球；放回袋中，再从袋中任取一球。
变量分成离散型、连续型及混合型， 变量分成离散型、连续型及混合型，主要研究离 散型和连续型的随机变量。 散型和连续型的随机变量。
2011-11-8 皖西学院 数理系 3
二、二维随机变量的分布函数 定义：设有二维随机变量( X ,Y ), 对∀x, y ∈ R, 称概率 P( X ≤ x,Y ≤ y)为随机变量( X ,Y )的联合分布函数。记 概 率 作：F ( x, y), 即 F ( x, y) = P( X ≤ x,Y ≤ y).
概 率 论 与 数 理 统 计
x1 < x2 ⇒ F ( x1 , y) ≤ F( x2 , y);
y1 < y2 ⇒ F ( x, y1 ) ≤ F ( x, y2 ) .
有界性: 有界性:
0 ≤ F ( x, y) ≤ 1; F (−∞, y) = 0, F ( x, −∞) = 0, F (+∞, +∞) = 1.
xi
M
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机现象的结果。
而在实际问题中，往往会涉及到多个随机变量的联合分布问题，这时就需要引入多维随机变量的概念。
在本文中，我们将重点讨论二维连续型随机变量的分布函数及概率的计算方法。
一、二维连续型随机变量的概念我们来了解一下二维连续型随机变量的概念。
二维连续型随机变量可以用一个二元组(X, Y)来表示，其中X和Y都是连续型随机变量。
其分布函数可以表示为F(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y)，而密度函数则可以表示为f(x, y) = ∂^2F(x, y)/∂x∂y。
需要注意的是，对于二维连续型随机变量来说，概率密度函数并不是概率，而是通过其在某个区域上的积分来得到概率。
对于二维连续型随机变量的分布函数，我们可以按照以下步骤进行计算：1. 确定联合密度函数f(x, y)。
2. 然后，计算边际密度函数f1(x)和f2(y)，其中f1(x) = ∫f(x, y)dy，f2(y) =∫f(x, y)dx。
3. 根据边际密度函数，计算联合分布函数F(x, y)，其中F(x, y) = ∫∫f(u,v)dudv。
举个例子来说明，假设有一个二维连续型随机变量(X, Y)，其联合密度函数为f(x, y) = 2xy，且定义域为0<x<1，0<y<1。
那么我们可以按照上述步骤计算其分布函数：通过以上步骤计算得到了二维连续型随机变量的分布函数F(x, y) = x^2y。
这样，我们就可以用这个分布函数来计算各种概率。
在实际问题中，我们经常需要计算二维连续型随机变量在一个特定区域内的概率。
而对于二维连续型随机变量来说，其概率可以由其在特定区域上的积分来表示。
具体来说，如果我们需要计算二维连续型随机变量(X, Y)在区域D上的概率，可以通过以下步骤进行计算：1. 确定区域D的范围，并利用联合密度函数f(x, y)计算在该区域上的积分∫∫f(x, y)dxdy。
3.1 二维随机变量及其联合分布函数
Dx
y
故
P{a X b,c Y d}
b a
d c
f
( x,
y)dy
dx
注：1在几何上，z f (x, y)表示空间一个曲面，
介于它和xoy平面的空间区域的体积为1
2 P((X ,Y ) D)等于以D为底，以曲面z f (x, y)
为顶面的柱体体积。
9 25
例3.1.1 一箱中有10件产品，其中6件一级品，4件二级品， 现随机抽取2次，每次任取一件，定义两个随机变量X和Y：
1 第一次抽到一级品， X 0 第一次抽到二级品.
1 Y 0
第二次抽到一级品， 第二次抽到二级品.
(2)第一次抽取后不放回， 求(X,Y)的联合分布律.
4 7
e6
3 7
e14
本例是一个典型题.大家应掌握分析与 计算的方法。特别是会根据不同形状的概 率密度非零区域与所求概率的事件区域G来 处理这类问题。
例 已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
f
(
x,
y)
1 8
(6
x
y),
0 x 2, 2 y 4
0,
解 (1)
f (x, y)dxdy
Ae(3x4 y)dxdy 00
A e3xdx e4 ydy
0
0
A[
1 3
e3x ]0[
1 4
e4 y ]0
A 1 1 12
所以 A 12
12e(3 x4 y) , x 0, y 0
A （x，y）
3.1.2 联合分布函数及其性质 定义3.1.3 设(X,Y)是二维随机变量, 对任意 实数 x, y，二元函数
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第五节 二维随机变量及其分布函数内容要点：一、 二维随机变量定义1 设随机试验的样本空间为}{e S =, S e ∈为样本点，而)(),(e Y Y e X X ==是定义在S 上的两个随机变量, 称),(Y X 为定义在S 上的二维随机变量或二维随机向量.二、 二维随机变量的分布函数定义2 设),(Y X 是二维随机变量, 对任意实数y x ,, 二元函数},{)}{()}{(),(y Y x X P y Y P x X P y x F ≤≤≤≤=记为称为二维随机变量),(Y X 的分布函数或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数.联合分布函数的性质: （1） ,1),(0≤≤y x F 且对任意固定的,y ,0),(=-∞y F 对任意固定的,0),(,=-∞x F x ;1),(,0),(=+∞+∞=-∞-∞F F(2) ),(y x F 关于x 和y 均为单调非减函数, 即对任意固定的,y 当),,(),(,1212y x F y x F x x ≥> 对任意固定的,x 当);,(),(,1212y x F y x F y y ≥>(3) ),(y x F 关于x 和y 均为右连续, 即 ).0,(),(),,0(),(+=+=y x F y x F y x F y x F三、 二维离散型随机变量及其概率分布定义 3 若二维随机变量),(Y X 只取有限个或可数个值, 则称),(Y X 为二维离散型随机变量.结论：),(Y X 为二维离散型随机变量当且仅当Y X ,均为离散型随机变量.若二维离散型随机变量),(Y X 所有可能的取值为),(j i y x ,,2,1, =j i 则称),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ijj i为二维离散型随机变量),(Y X 的概率分布(分布律), 或Y X 与的联合概率分布(分布律). 与一维情形类似,有时也将联合概率分布用表格形式来表示, 并称为联合概率分布表: 注：对离散型随机变量而言, 联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观, 而且能够更加方便地确定),(Y X 取值于任何区域D 上的概率，即∑∈=∈Dy x ijj i pD Y X P ),(}),{(,特别地, 由联合概率分布可以确定联合分布函数:.},{),(,∑≤≤=≤≤=yy x x ijj i p y Y x X P y x F四、二维连续型随机变量及其概率密度定义 设),(Y X 为二维随机变量,),(y x F 为其分布函数, 若存在一个非负可积的二元函数),(y x f , 使对任意实数),(y x , 有,),(),(⎰⎰∞-∞-=xydsdt t s f y x F则称),(Y X 为二维连续型随机变量, 并称),(y x f 为),(Y X 的概率密度(密度函数), 或Y X ,的联合概率密度(联合密度函数).概率密度函数),(y x f 的性质:;0),()1(≥y x f ;1),(),()2(=+∞+∞=⎰⎰∞∞-∞∞-F dxdy y x f(3) 设D 是xOy 平面上的区域,点),(Y X 落入D 内的概率为⎰⎰=∈Ddxdy y x f D y x P ),(}),{(特别地, 边缘分布函数},{}{)(+∞<≤=≤=Y x X P x X P x F X ,),(),(⎰⎰⎰⎰∞-+∞∞-∞-+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡==x x ds dt t s f dsdt t s f上式表明: X 是连续型随机变量, 且其密度函数为:,),()(⎰+∞∞-=dy y x f x f X同理, Y 是连续型随机变量, 且其密度函数为:⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(,分别称)(x f X 和)(y f Y 为),(Y X 关于X 和Y 的边缘密度函数. (4) 若),(y x f 在点),(y x 连续, 则有).,(),(2y x f yx y x F =∂∂∂ 进一步, 根据偏导数的定义, 可推得:当y x ∆∆,很小时, 有,),(},{y x y x f y y Y y x x X x P ∆∆≈∆+≤<∆+≤<即, ),(Y X 落在区间],(],(y y y x x x ∆+⨯∆+上的概率近似等于.),(y x y x f ∆∆五、二维均匀分布设G 是平面上的有界区域,其面积为A .若二维随机变量),(Y X 具有概率密度函数 ⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它,0),(,1),(Gy x Ay x f 则称),(Y X 在G 上服从均匀分布.六、二维正态分布若二维随机变量),(Y X 具有概率密度⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=222221121122)1(21221121),(σμσμσμρσμρρσπσy y x x ey x f其中ρσσμμ,,,,2121均为常数,且1||,0,021<>>ρσσ,则称),(Y X 服从参数为ρσσμμ,,,,2121的二维正态分布.注：二维正态随机变量的两个边缘分布都是一维正态分布，且都不依赖于参数ρ，亦即对给定的2121,,,σσμμ，不同的ρ对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布都是相同的，因此仅由关于X 和关于Y 的边缘分布，一般来说是不能确定二维随机变量),(Y X 的联合分布的.例题选讲：二维随机变量的分布函数例1 (讲义例1) 设二维随机变量),(y x 的分布函数为+∞<<∞-+∞<<∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x y C x B A y x F ,,3arctan 2arctan ),((1) 试确定常数.,,C B A(2) 求事件}30,2{≤<+∞<<Y X 的概率.解 (1) 由二维随机变量的分布函数的性质, 可得 ,1)2/)(2/(),(=++=+∞+∞ππC B A F ,0)2/)(2/(),(=+-=+∞-∞ππC B A F ,0)2/)(2/(),(=-+=-∞+∞ππC B A F由这三个等式中的第一个等式知,0≠A ,02/≠+πB ,02/≠+πC 故由第二、三个等式知,02/=-πB ,02/=-πC 于是得,2/π==C B 2/1π=A 故),(Y X 的分布函数为.3arctan 22arctan 21),(2⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x y x F πππ(2) 由(1)式得}30,2{<<∞+<Y X P )0,2()3,2()0,()3,(F F F F +-+∞-+∞=.16/1=二维离散型随机变量及其概率分布例2 (讲义例1) 设随机变量X 在1, 2, 3, 4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y 在1~X 中等可能地取一整数值，试求),(y x 的分布律.解 由乘法公式容易求得),(Y X 的分布律. 易知},{j Y i X ==的取值情况是: ,4,3,2,1=i 取不大于i 的正整数, 且}{}|{},{i X P i X j Y P j Y i X P ======,411⋅=i ,4,3,2,1=i i j ≤于是),(Y X 的分布律为例3 (讲义例2) 把一枚均匀硬币抛掷三次, 设X 为三次抛掷中正面出现的次数, 而Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值, 求),(Y X 的概率分布及),(Y X 关于Y X ,的边缘分布.解 ),(Y X 可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3),8/1)2/1(}3,0{3====Y X P,8/3)2/1(3}1,1{3====Y X P,8/3}1,2{===Y X P ,8/1}3,3{===Y X P故),(Y X 的概率分布如右表.从概率分布表不难求得),(Y X 关于Y X ,的边缘分布.,8/1}0{==X P ,8/3}1{==X P ,8/3}2{==X P ,8/1}3{==X P ,8/68/38/3}1{=+==Y P ,8/28/18/1}3{=+==Y P例4 设二维随机变量的联合概率分布为求,1{≤Y X P 解 }0,1{≥≤Y X P}1,1{}0,1{=-=+=-==Y X P Y X P }1,1{}0,1{==+==+Y X P Y X P.4.002.01.01.0=+++=}0,1{}2,1{)0,0(=-=+-=-==Y X P Y X P F .4.01.03.0=+=二维连续型随机变量及其概率密度例5 (讲义例4) ),(Y X 的概率分布由下表给出，求}0,0{},0,0{≤≤=≠Y X P Y X P |}.||{|},{},0{y X P Y X P XY P ===解 ,0{≠Y X P ,05}0,0{=≠Y X P }0,0{}1,0{==+-===Y X P Y X P ,3.02.01.0=+=}1,1{}0,0{|}||{|-==+====Y X P Y X P Y X P }1,1{-==+Y X P .6.01.03.02.0=++=例6 一整数N 等可能地在10,,3,2,1 十值中取一个值. 设=D )(N D 是能整除N 的正整数的个数，)(N F F =是能整除N 的素数的个数（注意1不是素数）. 试写出D 和F 的联合分布律.并求分布律.解 将试验的样本空间及F D ,取值的情况列表如下:2111211110434242322110987654321F D D 所有可能取值为1,2,3,4; F 所有可能取值为0,1,2.容易得到),(F D 取),,(j i ,4,3,2,1=i 2,1,0=j 的概率, 可得D 和F 的联合分布律及边缘分布律如下表:即有边缘分布律10/310/210/410/14321k p D10/210/710/1210kp F例7 (讲义例3) 具有概率密度设二维随机变量),(Y X⎪⎩⎪⎨⎧>>=+-.,0,0,0,2),()2(其它y x ey x f y x(1) 求分布函数);,(y x F (2) 求概率}.{X Y P ≤ 解(1) ⎰⎰∞-∞-=xy dxdy y x f y x F ),(),(⎪⎩⎪⎨⎧>>=⎰⎰+-,,00,0,20)2(0其它y x dxdy e xy x y即有 .,00,0),1)(1(),(2⎩⎨⎧>>--=--其它y x e e y x F y x (2) 将),(Y X 看作是平面上随机点的坐标, 即有},),{(}{G Y X X Y ∈=≤ 其中G 为xOy平面上直线x y =及其下方的部分, 如图. 于是G y x P X Y P ∈=≤),{(}{⎰⎰=Gdxdy y x f ),(⎰⎰+∞+-+∞=yy x dxdy e )2(02⎰⎰+∞+-+∞∞-=yy x dx e dy)2(2⎰+∞∞-∞+---=dyee y xy ][2.313==⎰+∞∞--dy e y。