第二章 几何组成分析
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结构力学第2章平面几何组成分析
几何组成作业题
2-3, 2-5 2-7, 2-8 2-10, 2-12 2-16, 2-21 交作业时间:周 3
§2. 几何组成分析
补充作业:（不做） 2-1 (b)试计算图示体系的计算自由度
解:
或:
W 8 3 11 2 3 1 W 1 3 5 2 2 2 10 1
方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分 析其它部分 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.
例4: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为瞬变体系. 方法3: 将只有两个铰与其它 部分相连的刚片看成链杆. 书上例题2-1、2-3同。
方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分 析其它部分 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.
计算自由度大于零一定可变; 若等于零则一定不变吗? 五. 计算自由度 六. 多余约束 必要约束 计算自由度小于零一定不变吗? 计算自由度小于零一定有多余约束
§2.1 基本概念
§2-1 基本概念 一. 几何不变体系 几何可变体系 二. 刚片 三. 自由度 四. 约束(联系) 链杆 单铰 复铰 虚铰 实铰 五. 计算自由度 六. 多余约束 必要约束
练习: 对图示体系作几何组成分析
方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分 析其它部分 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法4: 去掉二元体. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.
练习: 对图示体系作几何组成分析
无多余约束的几何不变体系。
三杆不平行不变 平行且等长常变 平行不等长瞬变
§1. 几何组成分析
几何组成分析
3
1 2
3
A
A
1
B
2
C
3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
几何常变体系
几何瞬变体系
几何瞬变体系
2.基本原则二： 三刚片组成原则 三刚片由三个不共线的铰两两相连，组成无多余约束几 何不变体系。
1.基本原则一： 二刚片组成原则
二刚片由三个不平行、不交于一点的链杆相连，组成无 多余约束几何不变体系。
虚铰
无多余约束几何不变体系
无多余约束几何不变体系
两个链杆相当于一个铰,故二刚片组成原则可改写为: 二刚片由不共线的一个铰和一个链杆相连，组成无多余约 束几何不变体系。
几何常变体系
1 2
几何瞬变体系
4.有多余约束几何不变体系: 减少一个或多个约束(链杆)仍为几 何不变的体系。
无多余约束几何不变体系
有多余约束几何不变体系
无多余约束几何不变体系 二、约束
有多余约束几何不变体系
＝
一个链杆为一个约束 一个铰链相当于两个链杆,为两个约束
虚铰 交于无穷远
＝
固定端相当于三个链杆,为三个约束
二、无多余约束几何不变体系的组成原则
无多余约束几 何不变体系
无多余约束几 何不变体系
几何瞬变体系
3.二元片理论 一个铰连接两个不共线的链杆称为二元片。 在一个体系上增加或减少一个二元片，不改 变原体系的几何组成性质。 二元片
＝
无多余约束几何不变体系
＝
有一个多余约束几何不变体系
三、刚片的划分 1. 铰接三链杆的三角形为无多余约束几何不变体系，可作为一 个刚片。在此基础上增加若干个二元片，仍为无多余约束几何不 变体系，可视作该刚片的扩大。
1 2
3
A
A
1
B
2
C
3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
几何常变体系
几何瞬变体系
几何瞬变体系
2.基本原则二： 三刚片组成原则 三刚片由三个不共线的铰两两相连，组成无多余约束几 何不变体系。
1.基本原则一： 二刚片组成原则
二刚片由三个不平行、不交于一点的链杆相连，组成无 多余约束几何不变体系。
虚铰
无多余约束几何不变体系
无多余约束几何不变体系
两个链杆相当于一个铰,故二刚片组成原则可改写为: 二刚片由不共线的一个铰和一个链杆相连，组成无多余约 束几何不变体系。
几何常变体系
1 2
几何瞬变体系
4.有多余约束几何不变体系: 减少一个或多个约束(链杆)仍为几 何不变的体系。
无多余约束几何不变体系
有多余约束几何不变体系
无多余约束几何不变体系 二、约束
有多余约束几何不变体系
＝
一个链杆为一个约束 一个铰链相当于两个链杆,为两个约束
虚铰 交于无穷远
＝
固定端相当于三个链杆,为三个约束
二、无多余约束几何不变体系的组成原则
无多余约束几 何不变体系
无多余约束几 何不变体系
几何瞬变体系
3.二元片理论 一个铰连接两个不共线的链杆称为二元片。 在一个体系上增加或减少一个二元片，不改 变原体系的几何组成性质。 二元片
＝
无多余约束几何不变体系
＝
有一个多余约束几何不变体系
三、刚片的划分 1. 铰接三链杆的三角形为无多余约束几何不变体系，可作为一 个刚片。在此基础上增加若干个二元片，仍为无多余约束几何不 变体系，可视作该刚片的扩大。
第2章 平面体系的几何组成分析
瞬变体系
去支座后再分析
有
是什么 体系？
O是虚 O不是
铰吗？
O
无多不变
II
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆。 方法4: 去掉暴露在最外边的二元体.使结构简化。 例:对图示体系作几何组成分析
刚片Ⅲ
2.几何组成分析的目的
1）如何设计一个体系为几何不变体系，从而能承受荷载。 2）判断一个已知体系是否为几何不变体系，从而确定能否作 为结构。 3）区分静定与超静定结构，以便选择计算方法。
3.几何组成分析时的注意点
1）一个结构的几何属性只于结构的几何组成有关，而与所 受荷载无关。 2）由于不考虑材料的自身应变，因此可把一根梁、一根 杆、或体系中已经确定为几何不变的某个部分看作一个刚片。
5）定向支座（平行支链杆）：可以减少二个自由度。
3.多余约束
材力中多余约束的概念是从平衡方程的个数和未知力的个数的 比较找出多余约束的。从体系自由度的角度同样可以引出多余约束 的概念 。
在一个体系中增加或减少一个约束，体系的自由度并不因 此而减少或增加，则该约束称为多余约束。
4.体系的计算自由度
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。
方法2: 利用规则3将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。
例：对图示体系作几何组成分析
解:该体系为瞬变体系.
方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆。
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。
方法2: 利用规则3将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。
结构力学第二章 平面体系的几何组成分析
不完全铰节点 1个单铰
13/73
2-1 几何构造分析的几个概念
四、约束 两个互不相连的刚片，若用刚结点连接， 则两者被连为一体成为一个刚片，自由 度由6减少为3。 一个单刚结点相当于3个约束。 单刚结点
三个互不相连的刚片，若用刚结点连接， 自由度由9减少为3。
由此类推:
复刚节点
连接 n 个刚片的复刚结点，它相当于n－1 个单刚结点或3(n－ 1)个约束。
A A
1 B
2 C B
1
3
2 C
B 1
A 2
C
几何可变 几何不变 有多余约束
几何不变 无多余约束
规律1 一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在同一 直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。
23/73
2-2 平面几何不变体系的组成规律
二、两个刚片之间的联结方式
A 2 B I 3 C
A II B I 3 C
16/73
2-1 几何构造分析的几个概念
六、瞬变体系
B 1
I II A
2
I
C
A
II
1 B
2 C
两根链杆彼此共线 1、从微小运动的角度看，这是一个可变体系。 左图两圆弧相切，A点可作微小运动； 右图两圆弧相交，A点被完全固定。
17/73
2-1 几何构造分析的几个概念
六、瞬变体系
B 1
I II A
2
I A 1 B C 2 D
在体系运动的过程中，瞬铰的位臵随之变 化。 用瞬铰替换对应的两个链杆约束，这种约 束的等效变换只适用于瞬时微小运动。
20/73
2-1 几何构造分析的几个概念
八、无穷远处的瞬铰
第2章 平面体系的几何组成分析
[例] 试对图示体系进行几何组成分析
因三铰在一直线上， 故该体系为瞬变体系。
例 试分析图所示体系的几何组成。
解 (1) 用公式 (2-1) 计算体 系的自由度 m = 3， h = 2， r = 5 W = 3m－2h－r = 3 × 3－2 × 2－5 = 0
(2)几何组成分析 先把杆 AB 、 BC 及地基分别看作是刚片 I ，Ⅱ，Ⅲ， 相互用实铰 A(1 ， 3) 、实铰 B(1 ， 2) 及虚铰 (2 ， 3) 相连， （虚铰是在两平行支承链杆的交点处，即无限远处。） 三铰不在 — 直线上，此部分是几何不变的。然后再加上 一个二元体，亦是几何不变。 因此，整个体系是几何不变的。
2.平面链杆系的自由度
仅在杆的两端用铰连接的杆件称为链杆，它是刚 片的特殊形式，桁架是由这类杆件组成。 链杆系的自由度也可以用式W = 3m – 2h – r ，但 在链杆系中复铰较多，计算有所不便，因此另外从 节点出发推导两个方便计算的公式。
在链杆系中，假如各节点都是互不相连地独 立存在，则每一节点在平面内的自由度是2。
例2-4 计算图所示体系的自由度。
解： 用式(2-3)计算 W=2j–b–r 因为 j＝9，b＝15，r＝3 所以 W= 2×9 –15 – 3 = 0 即体系没有自由度。
例2-5 计算图所示体系的自由度。
解：图中 A ， B ， C 应算作 节点。其余与地基相连的 铰不算入节点数 j 内 (因为两 斜杆视作支承链杆)。 因为 j = 3，b = 2，r = 5 所以 W = 2 j－b－r = 2× 3－2－5＝－1 即体系不但没有自由度， 且多一个约束。
解： 该体系不与基础相连，r=0，故 用式(2-2) V = 3m – 2h – 3 因为 m=7，h=7+2=9
第2章-结构的几何组成分析
平面刚体——刚片
B
x
n=3
A
y
注:基础为不动刚片，其自由度为零。
2021/4/614:46
： 元朱 、占 李元 静、李静朱占元、李静朱上占一张 下一张 主 页 1退0 出
2.2.2 约束（或联系）
1、定义：
物体的自由度，将会因加入限制运动的装置而 减少，凡减少自由度的装置称为约束（联系）
2、常见约束装置对自由度的影响：
瞬变体系和常变体系
瞬变体系
常变体系
2021/4/614:46
思考题：瞬变体系能 否作为结构？为什么？
： 元朱 、占 李元 静、李静朱占元、李静朱上占一张 下一张 主 页 退4 出
2、几何不变体系
在任意荷载作用下，几何形状及位置均 保持不变的体系。（不考虑材料的变形）
2021/4/614:46
： 元朱 、占 李元 静、李静朱占元、李静朱上占一张 下一张 主 页 退5 出
W=3m-(2n+r) = 3*4-(2*4+6) =-2 <0
2021/4/614:46
： 元朱 、占 李元 静、李静朱占元、李静朱上占一张 下一张 主 页 1退6 出
小结
W>0, 缺少足够联系，体系几何可变。 W=0, 具备成为几何不变体系所要求
的最少联系数目。 W<0， 体系具有多余联系。
W> 0 W≤ 0
2021/4/614:46
： 元朱 、占 李元 静、李静朱占元、李静朱上占一张 下一张 主 页 2退1 出
2.3.2 三刚片规则
规则： 三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相 连，组成的体系是几何不变的，且无多余约束。
应用条件：不在同一直线上的三个铰两两相连，若在 同一直线上则为瞬变体系。
第2章几何组成分析
6、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式 的前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个 等效（与外部连结等效）刚片代替它。
有一个多余约束的几何不变体系
Ⅰ Ⅱ Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
两个刚片用三根平行不等长的链杆相连，几何瞬变体系
体系是无多余约束的几何不变体系
三、进一步举例
例题1
结论:
无多余约束的几何不变体系
A
A
相交在∞点
6 多余约束与必要约束 不减少体系自由度的约束称为多余约束。反之为必要约束。
▽注意：多余约束不改变体系的自由度，但将影响结构的受力与Байду номын сангаас形。
几何组成分析
二、 几何不变体系的基本组成规则
1、两个刚片之间的联结（规则一）： 两个刚片上用一个铰和一根不通过此铰的一根链杆相连结，形成无 多余约束的几何不变体系（或：两个刚片上用三根不交于一点、也不 全平行的三根链杆相连结 ，形成无多余约束的几何不变体系）。
几何组成分析
2.4 几何组成分析举例
一、思路 1可先考察体系的计算自由度，若W0，则体系为几 何可变，不必进行几何组成分析；若W<0，则应进行几何 组成分析（辅助）。 2若体系可视为两个或三个刚片时，则直接应用三规则 分析。 3若体系不能直接视为两个或三个刚片时，可先把其中 已分析出的几何不变部分视为一个刚片或撤去“二元体”， 使原体系简化。
一、几何可变体系 一般无静力解答。
实饺
虚饺
三饺共线 （瞬变）
几何组成分析 3、一个刚片与一个结点之间的联结（规则三）： 在刚片上用两根不在一条直线上的链杆联结出一个结点，形成 无多余约束的几何不变体系（或：在一个刚片上增加二元体）。
结构力学第2章平面体系的几何组成分析
➢ 在任意体系上依次增加，或依 次拆除二元体，原体系的自由度 数不变。
(a)
(b)
3、基本组成规则中约束方式 的影响
利用这两个规则的要点是规则中 的三个要素：
❖ 刚片及刚片数 ❖ 约束、约束数及约束的方式 ❖ 结论
两个刚片用三个链杆相连 的情况：
❖ 当三个链杆平行并且长度相等时， 是几何可变体系
两平行链杆构成一交点在无穷远的虚铰其作用相当于无穷远处的一个实铰的作用一个铰接三角形是无多余约束的几何不变体系或是刚片或是内部几何不变体系基本三角形规则基本三角形规则可用以下12两个简单组成规则等效
结构力学第2章平面体系的几何 组成分析
第二章 平面体系的几何组成分析
§2.1 概述
本章研究平面杆系结构的基本 组成规律和合理形式。
(b)
(c)
虚铰的典型运动特征为：瞬心
从瞬时运动角度来看，刚片1与刚 片2的相对运动，相当于绕两链杆 的交点处的一个实铰的转动。
(a)
(b)
➢ 两平行链杆构成一交点在 无穷远的虚铰，其作用相当于
无穷远处的一个实铰的作用 。
§2.3 平面几何不变体系的基 本组成规律
1.基本组成规律的产生 (a)
例2-4-6（多余约束）
分析图： (a)
说明：
对于有多余约束的几何不变体系， 可以用去掉约束的方法，使体系成 为无多余约束的几何不变体系，所 去掉的约束数就是原体系所具有的
多余约束数，这种方法叫拆除约束 法。
例2-4-7
分析图：
说明：
把四周用连续杆、刚结点及固定端 构成的体系叫封闭框。一个封闭框 是有3个多余约束的几何不变体系。
❖ 当三个链杆平行但长度不全相 等时，是几何瞬变体系
结构力学第二章结构的几何组成分析
链杆法
链杆选取
选择适当的链杆，作为分析的基本单元。
约束条件分析
分析链杆的约束条件，确定结构的几何特性。
几何组成判定
根据链杆的几何特性和约束条件，判断结构 的几何组成。
混合法
1 2
方法选择
根据结构特点，选择刚片法或链杆法进行分析。
综合分析
综合运用刚片法和链杆法，对结构进行几何组成 分析。
3
结果判定
常变体系
在荷载作用下，体系的几何形状会发生变化，且这种变化是持续的。例如，一个由三个链杆连接的刚片，在荷载 作用下会持续发生变形。
03
几何组成分析方法
刚片法
刚片选取
选择适当的刚片，作为分析的基本单 元。
自由度计算
几何不变体系判定
根据约束条件，判断结构是否为几何 不变体系。
计算各刚片的自由度，确定约束条件。
结构力学第二章结构的几何组成分析
目录 Contents
• 几何组成分析基本概念 • 几何组成分析基本规则 • 几何组成分析方法 • 几何组成与结构性能关系 • 复杂结构几何组成分析示例 • 几何组成分析在工程应用中的意义
01
几何组成分析基本概念
几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状和位置都不会改变。
几何可变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状或位置可以发生改变。
自由度与约束
自由度
描述体系运动状态的独立参数，即体系可以独立改变的坐标 数目。
约束
对体系运动状态的限制条件，即减少体系自由度的因素。
刚片与链杆
刚片
在力的作用下，形状和大小保持不变 的平面或空间图形。
第二章 几何组成分析
2. 正确区分静定结构与超静定结构。
二、基本概念
1. 几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状不会改变。
2
几何不变体系
几何可变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状是可以改变的。 常变体系
几何可变体系
瞬变体系
常变体系 ——可以发生大位移的几何可变体系
叫作常变体系。 3
1）链杆 简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单链 杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一根 简单链杆相当于一个约束。yyx Nhomakorabeaφ
x
x,
链杆约束
3 2 x 1
y x
x, y,1,2,3
7
复杂链杆 连结三个或三个以上结点的杆件称 为复杂链杆，一根复杂链杆相当于（2n-3）根 简单链杆，其中n为一根链杆连结的结点数。
2. 在进行分折应时，宜先判别体系中有无二元体，如 有，则应先撤去，以使体系得到简化。
3. 如果体系仅通过三根既不完全平行，又不完全相交 的支座链杆与基础相联接的体系，则可直接分析体系内 部的几何组成。如果体系与基础相连的支座连杆数多于 三根，应把基础也看成刚片作整体分析。
4. 已知为几何不变的部分宜作为大刚片。 5. 两根链杆相当于其交点处的虚铰。 6. 运用三刚片规则时，如何选择三个刚片是关键，刚 片选择的原则是使得三者之间彼此的连接方式是铰结。
思考题： 18-3、18-4、18-7、18-8
习题：
18-24、18-26、18-27、 18-28、18-32、18-35
预习静定梁与静定刚架
36
若连结的刚片数为m，则该复杂铰相当于(m-1) 个简单铰，故其提供的约束数为2(m-1)个。
二、基本概念
1. 几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状不会改变。
2
几何不变体系
几何可变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状是可以改变的。 常变体系
几何可变体系
瞬变体系
常变体系 ——可以发生大位移的几何可变体系
叫作常变体系。 3
1）链杆 简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单链 杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一根 简单链杆相当于一个约束。yyx Nhomakorabeaφ
x
x,
链杆约束
3 2 x 1
y x
x, y,1,2,3
7
复杂链杆 连结三个或三个以上结点的杆件称 为复杂链杆，一根复杂链杆相当于（2n-3）根 简单链杆，其中n为一根链杆连结的结点数。
2. 在进行分折应时，宜先判别体系中有无二元体，如 有，则应先撤去，以使体系得到简化。
3. 如果体系仅通过三根既不完全平行，又不完全相交 的支座链杆与基础相联接的体系，则可直接分析体系内 部的几何组成。如果体系与基础相连的支座连杆数多于 三根，应把基础也看成刚片作整体分析。
4. 已知为几何不变的部分宜作为大刚片。 5. 两根链杆相当于其交点处的虚铰。 6. 运用三刚片规则时，如何选择三个刚片是关键，刚 片选择的原则是使得三者之间彼此的连接方式是铰结。
思考题： 18-3、18-4、18-7、18-8
习题：
18-24、18-26、18-27、 18-28、18-32、18-35
预习静定梁与静定刚架
36
若连结的刚片数为m，则该复杂铰相当于(m-1) 个简单铰，故其提供的约束数为2(m-1)个。
第2章体系的几何组成分析
§2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况
一铰无穷远
几何不变体系
瞬变体系
可变体系
§2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况
两铰无穷远
几何不变体系
瞬变体系
可变体系
§2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况
无穷远元素的性质： 一组平行直线相交于同一个无穷远点； 三铰无穷远 方向不同的平行直线相交于不同的无穷远点； 平面上所有的无穷远点均在同一条直线上。
§2-5 机动分析示例
例2-3 试分析图所示桁架的几何构造。 解：ADCF和BECG都是几何 不变的部分，可作为刚片， 地基作为一个刚片。
几何不变体系， 且无多余联系(三刚片规则) 刚片I和II用铰C相连， 刚片I和III相当于用虚铰O相连，
刚片II和III相当于用虚铰O’相连，
§2-5 机动分析示例
第二章 平面体系的机动分析
§2-1 概述 §2-2 平面体系的计算自由度 §2-3 几何不变体系的基本组成规则 §2-4 瞬变体系 §2-5 机动分析示例 §2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况 §2-7 几何构造与静定性的关系
§2-1 概述
一般结构必须是 几何不变体系
几何不变体系—在不考虑材料应变的条件下，体系的位置 和形状是不能改变的。（图a） 几何可变体系—在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和 形状是可以改变的。（图b）
分析图示体系的内力： 由平衡条件AC杆BC杆的轴力为：
F FN 2 sin
0 F
§2-4 瞬变体系
分析图示体系：
两刚片用三根交于同一点的链杆
相连，可绕交点O作相对转动， 但发生微小转动后，三根杆就不
再交于同一点，运动也就不再继
2 几何组成分析
n=2
刚 片
定义：在平面内可以看成是几何形状不变的物体。
一根杆件（一根梁、一个柱）、地基基础或体系中已经 肯定为几何不变的某个部分都可看作一个平面刚片。
刚片Ⅱ
刚片Ⅰ
刚片Ⅲ
刚片形状可以任意替换
每个自由刚片有 多少个 自由度呢？
平面刚体——刚片
B
刚片 自由度数
x
A
y
n=3
几何不变体系的自由度一定等于零 S=0 几何可变体系的自由度一定大于零 S>0
W=3 ×10-(2×14+3)=-1<0 W=2 ×6-13=-1<0
◆在计算自由度的式子中，部件可以是点，也可以是
刚片。但刚片必须是内部没有多余约束的刚片，如果
遇到内部有多余约束的刚片，则应把它变成内部无多 余约束的刚片，而它的附加约束则在计算体系的约束
总数时应当考虑进去。
无多余 约 束的刚片
W=2 ×6-11=1 W=3 ×8-(2×10+3)=1
例4：求下列图示体系的计算自由度
2 2
有 几 个 单 铰？
体系W 等于多少？
可变吗？
3 1
3
1
W=0,体系 是否一定 几何不变呢？
W=3 ×9-(2×12+3)=0
W<0,体系 是否一定 几何不变呢？
例5：求图 示体系的计 算自由度
上部 具有多 余联系
W=2j-b-r
其中： j--结点数 b--链杆数 r-支座链杆
应用上述公式时注意：
（1）复铰要换算成单铰。 一个复铰相当于（n-1)个单铰， 其中，n：复铰联接的杆件数。 如下图所示：
（2）铰支座、定向支座相当于两个链杆， 固定端相当于三个链杆。
第二章 平面体系的几何组成分析
(6) 复刚结点（P.15）
联结n个刚片间的刚结点相当于（n-1）个单刚结点 （P.16） (7) 复链杆
一般来说，联结n个点的复链杆相当于（2n-3） 个单链杆（P.16）
五、不同的装置对自由度的影响
1．一个支杆（或链杆）、可动铰支座→减少一个自由度。 2．两个相交的支杆、固定铰支座→ 减少两个自由度。 3．单铰（中间铰）：一个单铰减少两个自由度。 4．固定支座或刚结点：减少三个自由度。
几何不变体系的要求：杆件和支承数量要足够，组成方式 要合理。
可变
不变
可变
可变
可变
不变
二、二元体规则：一个点与一个刚片之间的连接方式。 1.约束：一个平面内的点有两个自由度，采用两个联系， 可使其几何不变。 2.规律I：一个刚片与一个点用不在同一直线上的两根 链杆相连，则组成没有多余约束的几何不变体系。
三、刚片与自由度
刚片：在平面内可以看成是几何形状不变的物体。 一根梁、一个柱、一根链杆、地基基础、地球
或体系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看作 一个平面刚片。
四、约束（联系）： 减少自由度的装置或连接。
常见的约束：
(1)链杆：两端用铰与其它物体相连的杆。 链杆可以是直杆、折杆、曲杆。
y
O
x
进行几何组成分析时，应注意：
1）体系中的每根杆件和约束都不能遗漏，也不能 重复使用。 2）当分析无法进行下去时，一般是使用的刚片或 约束不恰当，应重新选择刚片或约束再试。 3）对于某一体系，可能有多种分析途径，但结论 是唯一的。
练习：分析图示体系的几何组成。
D
C
ED
C
E
D
C
E
A
B
A
B
第二章 结构的几何组成分析
m=7，n=9，r=3 W=3×m－2×n－r
=3×7－2×9－3
=0
注意：1、W并不一定代表体系的实际自由度，仅说明了体系 必须的约束数够不够。即： W>0 体系缺少足够的约束，一定是几何可变体系。 W=0 实际约束数等于体系必须的约束数 W<0 体系有多余约束
不能断定体系 是否几何不变
由此可见:W≤0 只是保证体系为几何不变的必要条件,而不是 充分条件。
方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.
例5: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为常变体系. 方法4: 去掉二元体.
方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分
方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.
例7: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为有一个多余约束几何不变体系.
谢谢大家
（2）有两对平行链杆（有两个虚铰在无穷远处）：
结论：
这两对平行链杆互相平行——几何可变； 这两虚铰的两对 链不平行则几何不变；否则几何可变；
（3）有三对平行链杆（有三个虚铰在无穷远处）：
结论：
几何可变
虚铰
§2.3 几何组成分析方法
四、约束：在体系内部加入的减少自由度的装置
常见才约束有：铰、链杆、刚性支座等。
1.铰
①、单铰： 联结两个刚片的铰 加单铰前体系有六个自由度 加单铰后体系有四个自由度 单铰可减少体系两个 自由度相当于两个约束
1 C 2
x
y
②、虚铰（瞬铰）
联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单 铰即瞬铰。 瞬铰
第2章体系几何组成分析
联结n个刚片的复铰相当于n-1 个单铰，相当于 2(n-1)个约束！
10
4、刚性连接：刚结点、固定端支座
将两刚片联结成一个整体的结点 图示两刚片有六个自由度, 加刚性联结后有三个自由度
一个单刚结点可减少三个自由 度相当于三个约束。 刚结点将刚片连成整体（新刚片）。若是发散的，无多余 约束,若是闭合的，则每个无铰封闭框都有三个多余约束。
A
B
A
4、由一基本刚片开始，逐步增 加二元体，扩大刚片的范围， 将体系归结为两个刚片或三个 刚片相连，再用规则判定。
E C A D
F
B
25
(2,3)
(1,3)
Ⅱ Ⅲ
(1,2)
Ⅰ
三刚片用不共线三铰相连，故无多余约束的几何不变体系。26
5、当体系杆件数较多 时，将刚片选得分散些， 用链杆相连，而不用单 铰相连。
因此，静定结构的几何组成特征是几何不变且无多 余约束，超静定结构也为几何不变但有多余约束。通过 几何组成分析可以判定结构是静定的还是超静定的。
绝大部分的建筑结构都是超静定结构。
38
§2-5 静定结构和超静定结构
从受力特征看： 凡只需利用静力平衡条件就能确定全部支座反力和内 力的结构称为静定结构。 全部支座反力或内力不能只由静力平衡条件来确定的 结构称为超静定结构。
6、刚片的等效代换：在不改变刚片 与周围的连结方式的前提下，可以改变 它的大小、形状及内部组成。即用一个 等效（与外部连结等效）刚片代替它。
如：链杆即刚片，刚片可化为链杆， 折杆与直杆等效，实铰与虚铰等效， 几何不变体可看为刚片 Ⅰ Ⅱ
.
几何瞬变体系
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
两个刚片用三根平行不等长的链杆相连，几何瞬变体系 29
第二章 几何组成分析
在两刚片之间至少应该加入3个约束，才可能将这 两个刚片组成一个几何不变的体系。
下面讨论怎么布置这些约束才能达到上述目的。
一、两刚片法则
首先回顾一下铰结点的特点。
实铰
(a）
虚铰 O
刚片I
①
②
刚片II
(b）
图(b)中，刚片I和Ⅱ用两根不平行的链杆①、②联结。 若刚片I固定不动，那么刚片Ⅱ可绕两杆延长线的交点O转 动；反之，若设刚片Ⅱ固定不动，那么刚片I也可绕O点转 动。
三、二元体法则
二元体：由两根不共线的链杆联结一个新结点（特指 铰结点）的装置。
二元体
二元体法则：在一个体系上增加或者去掉一个二元体，不 会改变原体系的几何组成性质。即： 1）若原体系为几何可变体系，则增加或者去掉一个二元体 后，体系仍为几何可变体系； 2）若原体系为几何不变体系，则增加或者去掉一个二元体 后，体系仍为几何不变体系。
4、总结：静定结构、超静定结构的两种定义
• 用静力平衡条件叙述 全部反力和内力是否可以由静力平衡条件全部求得。
• 用几何组成规则叙述 静定结构：几何不变、无多余约束； 超静定结构：几何不变、有多余约束。
作业：书P.17 2-1、2-2、2-7、2-9、2-11、2-12
（a）
（b）
3、从几何组成上定义
1）静定结构：几何不变、无多余约束的体系。
凡是无多余约束的几何不变体系一定是静定结构； 反之，静定结构一定是几何不变且无多余约束的体系。
2）超静定结构：几何不变、有多余约束的体系。
凡是有多余约束的几何不变体系一定是超静定结构； 反之，超静定结构一定是几何不变且有多余约束的体系。
球或体系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看 作一个刚片。
下面讨论怎么布置这些约束才能达到上述目的。
一、两刚片法则
首先回顾一下铰结点的特点。
实铰
(a）
虚铰 O
刚片I
①
②
刚片II
(b）
图(b)中，刚片I和Ⅱ用两根不平行的链杆①、②联结。 若刚片I固定不动，那么刚片Ⅱ可绕两杆延长线的交点O转 动；反之，若设刚片Ⅱ固定不动，那么刚片I也可绕O点转 动。
三、二元体法则
二元体：由两根不共线的链杆联结一个新结点（特指 铰结点）的装置。
二元体
二元体法则：在一个体系上增加或者去掉一个二元体，不 会改变原体系的几何组成性质。即： 1）若原体系为几何可变体系，则增加或者去掉一个二元体 后，体系仍为几何可变体系； 2）若原体系为几何不变体系，则增加或者去掉一个二元体 后，体系仍为几何不变体系。
4、总结：静定结构、超静定结构的两种定义
• 用静力平衡条件叙述 全部反力和内力是否可以由静力平衡条件全部求得。
• 用几何组成规则叙述 静定结构：几何不变、无多余约束； 超静定结构：几何不变、有多余约束。
作业：书P.17 2-1、2-2、2-7、2-9、2-11、2-12
（a）
（b）
3、从几何组成上定义
1）静定结构：几何不变、无多余约束的体系。
凡是无多余约束的几何不变体系一定是静定结构； 反之，静定结构一定是几何不变且无多余约束的体系。
2）超静定结构：几何不变、有多余约束的体系。
凡是有多余约束的几何不变体系一定是超静定结构； 反之，超静定结构一定是几何不变且有多余约束的体系。
球或体系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看 作一个刚片。
2平面体系的几何组成分析
（2）从内部刚片出发构造
例如三铰拱
大地、AC、无BC多为余刚几片何;A不、变B、C为单铰
减加二元体简组化成分结析构
如何减二元体？
试分析图示体是系什的么几何组成。 体系？
有二元
体吗？
没有
有虚 铰吗？
有
无多余几何不变
F
D
E
C
A
B
D
E
C
A
B
例1
F
D
E
C
A
B
F
D
E
C
A
B
例2
1,.3
2.,3 .1,2
就称为瞬变体系；反之则为常变体系。
应避C免设计常变体系，
A 也应避免设B 计A 成瞬变
B
0 0' 或接近瞬变瞬变的体体系的系两C个’ 特征：
P
M 0 0
(1) 多余约束的存在
N3 P r 0 (2) 很小的荷载引起很大的内
N1
N2
N3
N3
Pr
力；构件的微小变形引起体 系显著的位移。
第二章 平面体系的几何组成分析
Construction Analysis of Plan Structures
基本假定：不考虑材料的变形
几何组成分析的目的主要是分析、判断一个体系是否几何可
变或如何保证它成为几何不变体系，只有几何不变体系才可以 作为结构。同时几何分析能为结构受力分析提供合理途径。
§2-1 几何组成分析的几个概念 一、几何不变体系和几何可变体系
5 4 (1,2)
6
.
(2,3)
例6
A
B C DE F
例如三铰拱
大地、AC、无BC多为余刚几片何;A不、变B、C为单铰
减加二元体简组化成分结析构
如何减二元体？
试分析图示体是系什的么几何组成。 体系？
有二元
体吗？
没有
有虚 铰吗？
有
无多余几何不变
F
D
E
C
A
B
D
E
C
A
B
例1
F
D
E
C
A
B
F
D
E
C
A
B
例2
1,.3
2.,3 .1,2
就称为瞬变体系；反之则为常变体系。
应避C免设计常变体系，
A 也应避免设B 计A 成瞬变
B
0 0' 或接近瞬变瞬变的体体系的系两C个’ 特征：
P
M 0 0
(1) 多余约束的存在
N3 P r 0 (2) 很小的荷载引起很大的内
N1
N2
N3
N3
Pr
力；构件的微小变形引起体 系显著的位移。
第二章 平面体系的几何组成分析
Construction Analysis of Plan Structures
基本假定：不考虑材料的变形
几何组成分析的目的主要是分析、判断一个体系是否几何可
变或如何保证它成为几何不变体系，只有几何不变体系才可以 作为结构。同时几何分析能为结构受力分析提供合理途径。
§2-1 几何组成分析的几个概念 一、几何不变体系和几何可变体系
5 4 (1,2)
6
.
(2,3)
例6
A
B C DE F
结构力学第二章几何组成分析
所以：W≤0是体系几何不变的必要条件，而不是充分条件。 实际自由度=各刚片自由度总数-非多余联系数 由此可见：当体系上没有多余联系时，计算自由度就是体系的 实际自由度。
C
计算体系的自由度
m=7，n=9，r=3 W=3×m－2×n－r
A
F
G B
=3×7－2×9－3
=0
D
E
计算图示体系的自由度
F
①
E ②
§2-1 概述
在忽略材料应变的前提下，体系可分为两类：
(1)几何不变体系：
体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料应变的情况下， 若能保持原有的几何形状和位置，这样的体系称为几何不变 体系。 如图2-1任意荷载作用下，都能维持几何形状和位置不变。
(2)几何可变系：
即使受到很小的外力，也能引起其几何形状或位置的改变，这 类体系称为几何可变体系。如图2-2在外力作用下，其形状或 位置会改变。
如刚片数m，单铰数n，支承链杆数r，则
应用时注意：
W=3m －（2n+r）（2—1）
（1）复铰要换算成单铰，如图2-5。
图2-5 （2）铰支座、定向支座相当于两个链杆， 固定端相当于三个链杆。 （3）对于铰结链杆体系也可将结点视为平面内的自由点，链杆视为联系。计算体系自 由度的公式为：
W=2j－b－r
§2-1 体系的计算自由度
2.2.1 自由度： 体系的自由度是指体系运动时，可以独立改变的几何参 数的数目； 即确定体系位置所需要的独立坐标的数目。
在平面内确定一个自由点的位置需要两个独立坐标， 如图2-3（a），所以，平面内一个自由点有两个自由度。 在平面内确定一个自由刚片的位置需要三个独立坐标，如 图2-3（b）， 所以，平面内一个自由刚片有三个自由度。
C
计算体系的自由度
m=7，n=9，r=3 W=3×m－2×n－r
A
F
G B
=3×7－2×9－3
=0
D
E
计算图示体系的自由度
F
①
E ②
§2-1 概述
在忽略材料应变的前提下，体系可分为两类：
(1)几何不变体系：
体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料应变的情况下， 若能保持原有的几何形状和位置，这样的体系称为几何不变 体系。 如图2-1任意荷载作用下，都能维持几何形状和位置不变。
(2)几何可变系：
即使受到很小的外力，也能引起其几何形状或位置的改变，这 类体系称为几何可变体系。如图2-2在外力作用下，其形状或 位置会改变。
如刚片数m，单铰数n，支承链杆数r，则
应用时注意：
W=3m －（2n+r）（2—1）
（1）复铰要换算成单铰，如图2-5。
图2-5 （2）铰支座、定向支座相当于两个链杆， 固定端相当于三个链杆。 （3）对于铰结链杆体系也可将结点视为平面内的自由点，链杆视为联系。计算体系自 由度的公式为：
W=2j－b－r
§2-1 体系的计算自由度
2.2.1 自由度： 体系的自由度是指体系运动时，可以独立改变的几何参 数的数目； 即确定体系位置所需要的独立坐标的数目。
在平面内确定一个自由点的位置需要两个独立坐标， 如图2-3（a），所以，平面内一个自由点有两个自由度。 在平面内确定一个自由刚片的位置需要三个独立坐标，如 图2-3（b）， 所以，平面内一个自由刚片有三个自由度。
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第二章 几何组成分析
1. 图示铰接体系是超静定结构。
（ ）
2. 图中多余联系数目为4。
（ ）
3. 图示体系是超静定结构。
（ ）
4. 图示体系在给定荷载情况下可处于平衡，因此可作为结构承担荷载。
（ ）
5. 图示体系是超静定结构。
（ ）
6. 图中体系多余联系数目为。
（ ）
7. 图中体系多余联系数目为。
（ ）
8. 铰A相当于几个简单铰。
( )
9. 图示多余联系数目为 ( )
10. 图示多余联系数目为 ( )
11. 两刚片用一杆一铰彼此相连，所组成的体系是 ( )
A.有多余联系几何不变体系
B.可变性无法确定
C.无多余联系几何不变体系
D.瞬变体系
12. 图示体系是 ( )
A.常变的
B.无多余联系几何不变的
C.瞬变的
D.有多余联系几何不变的
13. 静定结构是 ( )
A.常变体系
B.有多余联系几何不变体系
C.体系
D.余联系几何不变
14. 三刚片用三个不共线的铰两两相连，则所组成的体系是 ( )
A. 瞬变
B. 常变
C.余联系几何不变
D.变也可能瞬变
15. 图示体系是 ( )
A. 常变的
B. 无多余约束几何不变的
C. 瞬变的
D. 有多余约束几何不变的
16. 图示铰接体系是 ( )
A. 常变的
B. 无多余约束几何不变的
C. 瞬变的
D. 有多余约束几何不变的
17. 图示铰接体系是 ( )
A. 常变的
B. 无多余约束几何不变的
C. 瞬变的
D. 有多余约束几何不变的
18. 图示体系是 ( )
A. 常变的
B. 无多余约束几何不变的
C. 瞬变的
D. 有多余约束几何不变的
19. 图示体系是 : ( )
A. 无多余约束几何不变的体系
B. 常变体系
C. 有多余约束几何不变的体系
D. 瞬变体系
20. 图示体系是 ( )
A. 无多余约束几何不变的体系
B. 常变体系
C. 有多余约束几何不变的体系
D. 瞬变体系。