北师大版数学高一必修1练习 指数函数及其性质的应用

[A 基础达标]
1．当x ∈[－1，1]时，f (x )＝3x －2的值域是( )
A.⎣⎡⎦
⎤－53，1 B ．[－1，1] C.⎣⎡⎦⎤1，53 D ．[0，1]
解析：选A.f (x )在R 上是增函数，由f (－1)＝－53
，f (1)＝1得当x ∈[－1，1]时，f (x )＝3x －2的值域是⎣⎡⎦
⎤－53，1. 2．设f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |，x ∈R ，那么f (x )是( )
A ．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B ．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C ．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D ．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
解析：选D.f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，排除A 、C ；当x >0时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数，排除B.故选D.
3．函数y ＝6x 与y ＝－6－x 的图像( )
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于原点对称
D ．关于直线y ＝x 对称
解析：选C.y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图像关于原点对称．
4．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2在下列哪个区间上是减少的( )
A ．(－∞，0]
B ．[0，＋∞)
C ．(－∞，2]
D ．[2，＋∞)
解析：选B.设u ＝x 2－2，u 在(－∞，0]是减函数，在[0，＋∞)上是增加的，y ＝⎝⎛⎭⎫12u 是
减函数，
所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2
－2在[0，＋∞)上是减少的．
5．下列图像中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝ ⎝⎛⎭⎫b a x
的图像只可能是( )
解析：选A.由指数函数图像可以看出0<b a <1，抛物线方程是y ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2－b 24a
，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 2a ，－b 2
4a .又由0<b a <1，可知－12<－b 2a
<0.四个选项的图像中，只有A 选项中抛物线的顶点坐标在⎝⎛⎭
⎫－12，0内． 6．满足方程4x ＋2x －2＝0的x 值为________．
解析：设t ＝2x (t ＞0)，则原方程化为t 2＋t －2＝0，
所以t ＝1或t ＝－2.
因为t ＞0，所以t ＝－2舍去．
所以t ＝1，即2x ＝1，所以x ＝0.
答案：0
7．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在[－2，
－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________． 解析：函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在定义域内是递减的，所以m ＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3，n ＝⎝⎛⎭
⎫13－2＝9.所以m ＋n ＝12.
答案：12
8．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0恒成立，即x 2＋2ax －a ≥0恒成立，所以Δ＝4a 2＋4a ≤0，即－1≤a ≤0.
答案：[－1，0]
9．已知函数f (x )＝ax 2－1(a ＞0且a ≠1)．
(1)若函数f (x )的图像经过点P (3，4)，求a 的值；
(2)判断并证明函数f (x )的奇偶性；
(3)比较f (－2)与f (－2.1)的大小，并说明理由．
解：(1)因为函数f (x )的图像经过点P (3，4)，
所以f (3)＝a 2＝4，所以a ＝2.
(2)函数f (x )为偶函数．
因为函数f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝a (－x )2－1＝ax 2－1＝f (x )，
所以函数f (x )为偶函数．
(3)因为y ＝x 2－1在(－∞，0)上是递减的，
所以当a ＞1时，f (x )在(－∞，0)上是递减的，
所以f (－2)＜f (－2.1)；
当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，0)上是递增的，
所以f (－2)＞f (－2.1)．
10．已知函数f (x )＝1－2
5x ＋1.
(1)证明：f (x )是R 上的增函数；
(2)当x ∈[－1，2)时，求函数f (x )的值域．
解：(1)证明：在R 内任取x 1, x 2，且设x 1<x 2，
因为f (x 1)－f (x 2)＝5x 1 －15x 1＋1－5x 2－15x 2＋1＝2（5x 1－5x 2）
（5x 1＋1）（5x 2＋1）
，
又因为x 1<x 2，所以5x 1<5x 2，
所以5x 1－5x 2<0，而5x 1＋1>0，5x 2＋1>0，
所以f (x 1)<f (x 2)，
所以f (x )是R 上的增函数．
(2)因为f (－1)＝－23，f (2)＝1213，
所以f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫－23，1213.
[B 能力提升]
1．若函数f (x )＝2x ＋a ×2－x ，则对任意实数a ，函数f (x )在R 上不可能是(
)
A ．增函数
B ．减函数
C ．奇函数
D ．偶函数
解析：选B.当a ＝0时，f (x )＝2x 为增函数；当a ＝1时，f (x )＝2x ＋2－x 为偶函数；当a ＝－1时，f (x )＝2x －2－x 为奇函数，排除A 、C 、D ，故选B.
2．已知函数f (x )＝a x 在[－1，1]上恒有f (x )＜2，则实数a 的取值范围为________． 解析：当a ＞1时，f (x )在[－1，1]上是增函数．
因为在x ∈[－1，1]上恒有f (x )＜2，所以1＜a ＜2.
当0＜a ＜1时，f (x )在[－1，1]上是减函数．
因为在x ∈[－1，1]上恒有f (x )＜2，
所以1a ＜2且0＜a ＜1，所以12
＜a ＜1. 综上所述，实数a 的取值范围是12
＜a ＜1或1＜a ＜2. 答案：⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，2)
3．已知函数f (x )＝b ·a x ，(其中a ，b 为常数且a >0，a ≠1)的图像经过点A (1，6)，B (3，
24)．
(1)求f (x )的解析式；
(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x
＋1－2m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧a ·
b ＝6，b ·a 3＝24⇒a ＝2，b ＝3， 所以f (x )＝3·2x .
(2)设g (x )＝⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x
，则y ＝g (x )在R 上为减函数，
所以当x ≤1时，g (x )min ＝g (1)＝56
， 所以⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x ＋1－2m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，即2m －1≤56⇒m ≤1112
， 所以m 的取值范围为m ≤1112
. 4．(选做题)已知函数f (x )＝3－x 2＋2x ＋3，
(1)求f (x )的定义域和值域；
(2)请写出f (x )的单调区间，不需证明．
解：(1)f(x)的定义域为R.
设u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4≤4，
又y＝3u在(－∞，4]上是增加的，
所以0<y≤34，即f(x)的值域为(0，81]．
(2)u＝－x2＋2x＋3在(－∞，1]上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的，又y＝3u在u∈R 上是增加的．
所以f(x)＝3－x2＋2x＋3在(－∞，1]上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的．。