椭圆的简单几何性质(省级优质课一等奖)

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1
例2: 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1） 经过点Ｐ（-3，0）、Ｑ（0，-2）；（2）长 轴的长等于20，离心率等于3/5 。 解：(2) 由已知得， 2a 20, e c 3 ,
a 10, c 6, b2 102 62 64.
a
5
由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上， 所以所求椭圆的标准方程为 ：
小 顶点坐标 结
焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c 的关系
对称性
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称 (a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
长半轴长为a,短半轴长为b. (a>b)
二、导学导思：
x y 2 1(a b 0) [1]椭圆标准方程 2 a b
所表示的椭圆的范围是什么？ [2] 椭圆有几条对称轴？几个对称中心？ [3]上述方程表示的椭圆有几个顶点？顶点坐标是什么？ [4]2a 和 2b表示什么？ a和 b又表示什么？ [5]椭圆离心率是如何定义的？范围是什么？
B2
A1
b F1
a F2
A2
o c
B1
x
x2 y2 2、椭圆 2 2 1( a b 0)的对称性： a b
从图形上看， 椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
x2 y2 从方程上看： 2 2 1(a b 0) a b
（1）把x换成-x方程不变，图象关于 y 轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于 x 轴对称； Y （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变， 图象关于原点 成中心对称。
c e a
c e a
a2=b2+c2 (a b 0)
a2=b2+c2 (a b 0)
四、例题讲解：
例题1: 求椭圆 9 x2 + 4y2 =36的长轴和短轴的长、离心 2 2 率、焦点和顶点坐标。 x y 1 解：把已知方程化成标准方程
a 3, b 2, c
练习:求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离 心率、焦点和顶点坐标。 解：把已知方程化成标准方程
x2 y2 2 1 2 5 4
a 5, b 4, c
椭圆的长轴长是: 离心率: 2a=10
25 16 3
椭圆的短轴长是: 2b=8 焦点坐标是:
c 3 e 0.6 a 5
2 2
[6]如何通过椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度？
三、新课讲解：
x2 y2 1、椭圆 2 2 1( a b 0) 的范围： a b 2 2
x 1, 由 2 a
y 1得： 2 b
-a≤x≤a, -b≤y≤b ∴椭圆位于直线x=±a,y= ± b所围成的矩形中， 如图所示： y
x2 y2 y2 x2 1或 1. 100 64 100 64
练习：书本48页第1、2、3题
标准方程 范围
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a
-a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b
-a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b
y
*顶点：椭圆与它的对称轴的四个
交点，叫做椭圆的顶点。
A1 B2 (0,b)
*长轴、短轴：
线段A1A2、B1B2分别 叫做椭圆的长轴和短轴。 它们的长分别等于2 a和2 b 。
b
a F2
A2(a，0)
(-a，0) F1
o c
B1
(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
根据前面所学有关知识画出下列图形
P1（-x，y） P（x，y）
坐标轴是椭圆的对称轴， 原点是椭圆的对称中心。
O
P2（-x，-y）
X
中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
x2 y2 3、椭圆 2 2 1( a b 0)的顶点： a b
±b ）， 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点为（ ±a, 0 ）。
令 x=0，得 y=？说明椭圆与 y轴的交点为（ 0,
F (3,0), F2 (3,0) 1
四个顶点坐标是:
A1 (5,0), A2 (5,0), B1 (0,4), B2 (0,4)
例2: 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1） 经过点Ｐ（-3，0）、Ｑ（0，-2）； 解： ⑴方法一：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n ＞0，m≠n），将点的坐标代入方程，求出m＝1/9,n＝ x2 y2 1/4。所以椭圆的标准方程为 1 9 4 方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭 圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上， 且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a＝3， 2 2 y b＝2，所以椭圆的标准方程为 x
c e a
a2=b2+c2 ，a b 0) (
小结：
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、 对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。 了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解 决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学 习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几 何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度 来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌 握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性 质，待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中， 准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。
半轴长
离心率 a、b、c的关系
c e a a2=b2+c2
，a b 0) (
标准方程 范围
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a
-a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
[3]e与a,b的关系:
c e a
a 2 b2 b2 1 2 2 a a
知识归纳
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
-a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. (a>b)
-a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴 长为b. (a>b)
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 长半轴Biblioteka 为a,短半轴 长为b.(a>b)
x y 1 （1） 25 16
y
4 B2 3 2 1 A2 A1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4
2 2
x2 y2 1 （2） 25 4
y
4 3 B 2 2 1 A2 A1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 B1 -4
椭圆的长轴长是: 2a=6
4
9 94
5
椭圆的短轴长是: 2b=4
焦点坐标是: c 5 离心率: e F1 (0, 5 ), F2 (0, 5 ) a 3 四个顶点坐标是: A1 (2,0), A2 (2,0), B1 (0,3), B2 (0,3)
解题步骤： 1、将椭圆方程转化为标准方程求a、b： 2、确定焦点的位置和长轴的位置.
一、复习回顾：
1.椭圆的定义:
平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数2a （大于|F1F2 |）的动点M的轨迹叫做椭圆。
| MF1 | | MF2 | 2a(2a | F1 F2 |) 2.椭圆的标准方程： 2 2
x y 2 1(a b 0) 当焦点在X轴上时 2 a b 2 2 y x 2 1(a b 0) 当焦点在Y轴上时 2 a b 3.椭圆中a,b,c的关系: a2=b2+c2 ，a b 0) (
B1
4、椭圆的离心率 (e用来刻画椭圆扁平程度的量) c 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率。 c a 用e表示，即 e a
[1]离心率的取值范围：0<e<1 [2]离心率对椭圆形状的影响： ①e 越接近 1，椭圆就越扁； ②e 越接近 0，椭圆就越圆。
思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲线又是什么？